Deformações na Flexão

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DO OESTE
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ALIMENTOS
Centro de Educação Superior do Oeste - CEO
MECÂNICA DOS SÓLIDOS A - 4MESA
Deformação na Flexão
Prof. Neudi José Bordignon
E-mail:neudi.bordignon@gmail.com
1 Lei de Hooke – Deformação na Flexão
 Lei de Hooke
 Material Frágil: apresenta pouca deformação antes da ruptura.
Exemplo: Ferro fundido, concreto.
A
F

L
L

1 Lei de Hooke – Deformação na Flexão
 Lei de Hooke
 Material Dúctil: sofre grande alongamento antes de romper-se.
Exemplo: Aço.
A
F

L
L

1 Lei de Hooke – Deformação na Flexão
 Lei de Hooke
  Módulo de elasticidade (módulo de Young)


E
E
1 Lei de Hooke – Deformação na Flexão
 Lei de Hooke


E
1 Deformação na Flexão
 Deformações nas vigas
 As cargas transversais que atuam nas vigas causam
deformações, curvando seu eixo longitudinal.
 A curva na qual se transforma o eixo da viga, inicialmente
reto, recebe o nome de linha elástica.
1 Deformação na Flexão
dx
dy
dx
dv
tg 
1 Deformação na Flexão
Derivando-se o ângulo  em relação a x:
dx
dy
dx
dv
tg 
2
2
2
2
dx
yd
dx
vd
dx
d


1 Deformação na Flexão
 Da geometria analítica, a expressão da curvatura para um ponto
de ordenadas x e y vale:
 Como: é pequeno 
 Logo:
   2
3
22
3
2
2
2
2
3
2
2
2
´1
´´
11
1
v
v
dx
dv
dx
vd
dx
dy
dx
yd



































dx
dv
dx
dy
 0
2






dx
dy
2
2
2
21
dx
yd
dx
vd


1 Deformação na Flexão
 Da geometria, define-se curvatura como:
 Da teoria da flexão sabe-se que:

EI
M


1
2
2
2
21
dx
yd
dx
vd
dx
d



EI
M
dx
yd
dx
vd

2
2
2
2
M
dx
vd
EI 
2
2
1 Deformação na Flexão
 x e v são as coordenadas da linha elástica;
 E é o módulo de elasticidade do material;
 I é o momento de inércia da seção transversal da viga.
 A equação acima foi deduzida a partir das seguintes hipóteses:
1) Validade da Lei de Hooke (material no regime elástico linear);
2) As seções planas permanecem planas após a deformação;
3) Deslocamentos pequenos:
4) Barra prismática (barra de eixo reto e seção transversal constante).
5) Despreza-se a deformação por cisalhamento que é pequena comparada à da
flexão.
M
dx
vd
EI 
2
2
 tg
1 Deformação na Flexão
Resumindo:
 equação simplificada da elástica
 A primeira integração da equação simplificada da linha elástica
representa o declive da elástica (ângulo) .
 A segunda integração da equação simplificada da linha elástica
representa a flecha y.
EI
M
dx
yd

2
2
1 Deformação na Flexão
 Equação da declividade da elástica = rotação da elástica.
  12
2
cdx
EI
M
dx
yd
dx
dy
1 Deformação na Flexão
 Equação do afundamento da elástica (flecha) = deslocamento
linear.
  2cdxdx
dy
y 
1 Deformação na Flexão
 C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas condições do
problema, quer nos apoios, quer nos limites dos trechos de variação da
expressão .
 Condições de contorno:
1) nos apoios articulados fixos ou móveis, não haverá afundamentos
(y=0)   máximos (viga bi-apoiada);
EI
M
1 Deformação na Flexão
 C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas condições do
problema, quer nos apoios, quer no limites dos trechos de variação da
expressão .
 Condições de contorno:
2) Nos engastes não há afundamento nem rotação;
EI
M
1 Deformação na Flexão
 C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas condições do
problema, quer nos apoios, quer no limites dos trechos de variação da
expressão .
 Condições de contorno:
3) Por outro lado, nos engastes, em pontos de balanço, teremos os
máximos afundamentos e as máximas rotações;
EI
M
1 Deformação na Flexão
 C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas condições do
problema, quer nos apoios, quer no limites dos trechos de variação da
expressão .
 Condições de contorno:
4) Em viga apoiada simétrica o afundamento máximo (flecha
máxima), dar-se-á no meio do vão, onde ocorrerá giro nulo;
EI
M
1 Deformação na Flexão
 C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas condições do
problema, quer nos apoios, quer no limites dos trechos de variação da
expressão .
 Condições de contorno:
5) Nos nós rígidos, teremos iguais giros e afundamentos nulos.
EI
M
1 Deformação na Flexão
 Exercícios:
1) Determinar a Equação diferencial da elástica, o giro e a flecha no
ponto C.
EI
M
dx
yd

2
2
1 Deformação na Flexão
 Exercícios:
1) Determinar a Equação diferencial da elástica, o giro e a flecha no
ponto C.
 Eq. dif. da Elástica: 22
2
2
2 qx
x
ql
dx
yd
EI 
1 Deformação na Flexão
 Exercícios:
1) Determinar a Equação diferencial da elástica, o giro e a flecha no
ponto C.
 Eq. da Curvatura: 2446
3
2
3 ql
x
qlqx
EI 
1 Deformação na Flexão
 Exercícios:
1) Determinar a Equação diferencial da elástica, o giro e a flecha no
ponto C.
 Eq. da flecha: x
ql
x
qlqx
EIy 
241224
3
3
4
1 Deformação na Flexão
 Exercícios:
1) Determinar a Equação da elástica, o giro e a flecha no ponto C.
 Giro em C:
 323 64
24
lxlx
EI
q
C 
1 Deformação na Flexão
 Exercícios:
1) Determinar a Equação da elástica, o giro e a flecha no ponto C.
 Flecha em C:
 xlxlx
EI
q
yC 
334 2
24
1 Deformação na Flexão
 Exercícios:
2) Determinar a flecha máxima e os giros nos pontos A e B.
1 Deformação na Flexão
 Exercícios:
2) Determinar a flecha máxima e os giros nos pontos A e B.
EI
ql
lyymáx



384
5
)2/(
4
EI
ql
A
24
3

EI
ql
B
24
3

1 Deformação na Flexão
 Exercícios:
3) Uma viga acha-se engastada por uma das extremidades em um
pilar de grande rigidez, enquanto que a outra extremidade está
simplesmente apoiada. A viga tem comprimento l e sua carga é q
kgf por unidade de comprimento. A deflexão y à distância x da
extremidade engastada satisfaz a equação:
onde E é o módulo de elasticidade do material (depende do tipo de
material de que é constituida a viga), e I é o momento de inércia
(depende da forma da seção transversal).
A que distância da extremidade engastada ocorre a deflexão
máxima?