Aula 01 - DEFLEXÃO DE VIGAS E EIXOS

Prévia do material em texto

Engenharia Civil Integrada
Universidade Paulista
Prof. Jefferson Rosa
DEFLEXÃO DE VIGAS E EIXOS
Resistência dos Materiais – 7ª edição – R.C. HIBBELER
Capítulo 12
ECIntegrada 1
Objetivos
❑ Conceituar Linha Elástica,
❑ Relação momento-curvatura,
❑ Conjunto de equações de inclinação e deslocamento,
❑ Convenção de sinais e coordenadas,
❑ Condições de contorno e continuidade e
❑ Elencar o procedimento de análise.
ECIntegrada 2
A linha elástica e deflexão
 Linha elástica: digrama de deflexão do eixo longitudinal que passa
pelo centroide de cada área de seção transversal da viga.
 A deflexão (𝑣) é o deslocamento de qualquer ponto no eixo da viga.
ECIntegrada 3
Gere (2003)
A linha elástica
 É útil o traçado de um rascunho da forma defletida da viga
quando carregada para visualizar e verificar os resultados
calculados.
 A inclinação ou deslocamento são restringidos pelos vários
tipos de apoios.
 Apoio resistente à força → restringe deslocamento
 Apoio resistente à momento → restringe rotação ou
inclinação e deslocamento.
ECIntegrada 4
A linha elástica
 Traçado do diagrama de momento fletor.
 Momento positivo: curva a viga com concavidade para cima.
 Momento negativo: curva a viga com concavidade para 
baixo.
ECIntegrada 5
A linha elástica
ECIntegrada 6
Deslocamento
nulo
Concavidade para
baixo -
+
Concavidade para
cima
Momento
nulo
A linha elástica
 Os deslocamentos máximos são especialmente críticos.
 Onde a inclinação da linha elástica é nula (ponto E), a
deflexão da viga pode ser máxima.
 Se atentar aos apoios, cargas e suas localizações.
ECIntegrada 7
Relação momento-curvatura
 Raio de curvatura (𝜌) é relacionado com o momento fletor.
 Considerações:
 Três coordenadas – eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑣.
 Eixo 𝑥 – positivo para direita; Eixo 𝑦 – positivo para cima (fibras)
 Eixo 𝑣 – positivo para cima (centroides)
ECIntegrada 8
Relação momento-curvatura
 Considerações:
 O plano 𝑥𝑦 é um plano de simetria da viga e todos os
carregamentos atuam nesse plano. O material é homogêneo,
segue a Lei de Hooke e portanto, comporta-se de maneira linear
elástica;
 O raio de curvatura é definido pela distância 𝜌 do centro de
curvatura 𝑂’ e está sujeito a uma deformação normal 𝜖 de acordo
com a posição em relação ao eixo neutro 𝑦.
ECIntegrada 9
Relação momento-curvatura
ECIntegrada 10
1
𝜌
= −
𝜖
𝑦
𝜖 = ൗ𝜎 𝐸 𝜎 = − ൗ
𝑀𝑦
𝐼
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
1
𝜌
= −
𝜎
𝐸𝑦
Rigidez à flexão
Conjunto de equações de inclinação e
deslocamento
 Representar Τ1 𝜌 em termos de 𝑣 e 𝑥.
 A utilização da matemática superior fornece soluções da elástica
para casos simples de geometria e cargas de vigas.
 Geralmente, a rigidez à flexão será constante ao longo do
comprimento da viga.
 Três equações são utilizadas para representar a relação:
ECIntegrada 11
Conjunto de equações de inclinação e
deslocamento
𝑑2𝑣
𝑑𝑥²
=
𝑀(𝑥)
𝐸𝐼
𝑑3𝑣
𝑑𝑥3
=
𝑉 𝑥
𝐸𝐼
𝑑4𝑣
𝑑𝑥4
= −
w x
EI
 Segunda derivada fornece a
equação do momento fletor pela
rigidez à flexão.
 Terceira derivada fornece a
equação do cortante pela rigidez
à flexão.
 Quarta derivada fornece a
equação do carregamento linear
distribuído pela rigidez à flexão.
ECIntegrada 12
Conjunto de equações de inclinação e
deslocamento
 A solução de qualquer dessas equações requer integrações
sucessivas para obter a deflexão 𝑣 da linha elástica.
 Para cada integração é necessário introduzir uma
CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO e então resolver para obter
uma SOLUÇÃO ÚNICA para um problema particular.
 Se houver descontinuidade do carregamento sobre a viga,
deve-se escrever várias funções para o momento interno
(𝑥1, 𝑥2, 𝑒𝑡𝑐).
ECIntegrada 13
Convenção de sinais e coordenadas
ECIntegrada 14
O ângulo de inclinação 𝜃 é dado em
radianos e pode ser determinado
diretamente por
𝜽 ≈ 𝒕𝒈𝜽 = 𝒅𝒗/𝒅𝒙
Condições de contorno e continuidade
 As constantes de integração
são determinadas pela
avaliação das funções para
cisalhamento, momento,
inclinação ou deslocamento
em um determinado ponto.
 CONDIÇÕES DE CONTORNO
ECIntegrada 15
Condições de contorno e continuidade
 Caso não seja possível usar
as equações de inclinação
ou deslocamento, deve-se
usar as CONDIÇÕES DE
CONTINUIDADE para
calcular algumas constantes.
ECIntegrada 16
As funções de inclinação e a deflexão
devem dar os mesmos valores no ponto
em comum (ponto B) de modo que a
linha elástica seja contínua.
Procedimento de análise (metodologia da
integração)
1. Desenhar a linha elástica;
2. Função da carga ou do momento fletor;
3. Inclinação ( Τ𝑑𝑣 𝑑𝑥) e curva da linha elástica – deflexão 𝑣.
 ATENÇÃO EM RELAÇÃO À: descontinuidades de cargas;
constantes devem ser adicionadas à cada integração; usar as
condições de contorno e se necessário, as de continuidade;
localizar o deslocamento ou inclinação em pontos
específicos.
ECIntegrada 17
Exemplo
 Viga engastada com extremidade em balanço e carga 𝑃,
assumindo que 𝐸𝐼 é constante no comprimento 𝐿 ,
determinar a equação da linha elástica e os valores máximos
de deflexão e inclinação.
𝜃 =
𝑃
2𝐸𝐼
𝐿2 − 𝑥2 → 𝜃𝑚á𝑥 =
𝑃𝐿²
2𝐸𝐼
𝑣 =
𝑃
6𝐸𝐼
(−𝑥3 + 3𝐿2𝑥 − 2𝐿3) → 𝑣𝑚á𝑥 = −
𝑃𝐿3
3𝐸𝐼
ECIntegrada 18