Probabilidade, amostragem

Estatística II

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UVV VITÓRIA

0

Pedro Sampaio

23/01/2018

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Experimento Aleatório
Experimento aleatório é um procedimento cujo resultado é incerto
Exemplos:
Jogar uma moeda
Sortear um número inteiro de um a cem
Lançar um dado
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Espaço amostral
(ou de probabilidades)
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o espaço amostral (S)
Jogar uma moeda
S = {cara, coroa}
Sortear um número inteiro de um a cem
S = {1,2,...,100}
Lançar um dado
S = {1,2,3,4,5,6}
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Evento
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral
E = {cara} 		(sortear cara)
E = {25, 27, 26} 	(sortear no. entre 24 e 28)
E = {3, 5, 1} 		(lançar no. impar no dado)
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União de eventos
Ocorre quando pelo menos um dos eventos A e B ocorre
A  B
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Interseção de Eventos
Ocorre quando os dois eventos A e B ocorrem simultaneamente
A  B
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Complemento do evento
Ocorre quando não ocorre o evento a
A’
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Eventos mutuamente excludentes
A e B são eventos mutuamente excludentes se a ocorrência de um deles ocorre, implica necessariamente na não-ocorrência do outro
(i.e., não há elementos comuns entre eles)
Exemplo: os resultados cara e coroa ao jogar uma moeda.
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Probabilidade (objetiva)
Proporção de ocorrência de um evento
Freqüência relativa: 
(resultados favoráveis) / (resultados possíveis)
Assume valores entre 0 e 1
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Probabilidade (subjetiva)
Interpretação subjetiva: é uma estimativa do que o indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento.
Exemplo: Há 30% de chance de chuva nas próximas 24 horas
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Probabilidade da União
Eventos mutuamente excludentes,i.e., P(A  B) =0
P(A  B) = P(A) + P(B)
Eventos não excludentes
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
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Probabilidade do complemento
Complemento de A: qualquer evento que não seja A
P(não A) = 1 – P(A), ou
P(A’) = 1 – P(A)
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Probabilidade Condicionada
Probabilidade de um evento A, dado que aconteceu um outro evento B
P(A | B) = P(A  B) / P(B)
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Probabilidade da Interseção
Ocorrência simultânea de A e B
P(A  B) = P(A | B) * P(B)
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Eventos independentes
A e B são independentes se a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente:
P(A | B) = P(A)
Pela expressão anterior, se A e B são independentes:
P(A  B) = P(A).P(B)
Note que neste caso A  B denota a possibilidade de ocorrência simultânea dos dois eventos
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Exercício:
Cálculos com probabilidade
União e interseção de eventos; probabilidade condicional
Exercício em planilha de cálculo
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Variável aleatória
O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X)
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Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade associa cada possível valor da variável aleatória (X) à sua probabilidade de ocorrência P(X)
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Tipos de Variável Aleatória
Variável aleatória discreta
Os resultados possíveis são finitos e podem ser enumerados (jogadas de moedas, dados, etc.)
Variável aleatória contínua
Os resultados possíveis são infinitos e não podem ser enumerados (ex.: peso, altura, rendimento, saldo, duração de percurso, etc.)
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Cálculos com distribuições de probabilidade
Distribuição binomial
Distribuição normal
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Distribuição Binomial (discreta)
De cada 5 clientes que entram numa certa loja, 2 realizam uma compra.
P(compra) = P(C) = 0,40
Qual a probabilidade dos dois primeiros clientes realizarem compras?
S = {(CC), (CC’), (C’C), (C’C’)}
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Binomial: forma geral
E se quisermos saber as probabilidades de X compras dos 10 primeiros clientes? Ou dos 100 primeiros?
P(x) = Cn, x px q(n-x)
Onde Cn,x = n! / (x!(n-x)!)
p = probabilidade de sucesso
q = (1 –p) = probabilidade de insucesso
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Binomial: parâmetros
Para uma variável com probabilidade de sucesso p, em n tentativas:
Média	 = np
Desvio-padrão	  = (npq)1/2
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Exercício:
distribuição binomial
Funções de planilha:
Função DISTRBINOM
*
*
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Distribuição Normal
*
*
*
Distribuição Normal
Gráfico1
		0.0044329722
		0.0175327452
		0.0540046573
		0.1295504381
		0.2420320823
		0.3521546018
		0.3990434422
		0.3521546018
		0.2420320823
		0.1295504381
		0.0540046573
		0.0175327452
		0.0044329722
média=moda=mediana
Homogêneo
Probabilidade
Distribuição Normal
HISTOGR
		9-12		6
		12-15		12
		15-18		26
		18-21		36
		21-24		11
		24-27		11
		27-30		6
		30-33		4
HISTOGR
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
CLASSE
FREQÜÊNCIA
HISTOGRAMA
SETORIAL
		
SETORIAL
		6
		12
		26
		36
		11
		11
		6
		4
GRAFICO SETORIAL
BARRA NOM
		CAMACARI		135
		LAURO FREITAS		97		310
		SIMOES FO		78
		CANDEIAS		69
		ITAPARICA		45		2702370
BARRA NOM
		0
		0
		0
		0
		0
MUNICIPIO
POPULACAO
BARRAS NOMINAIS
POLIGONO
		
POLIGONO
		6
		12
		26
		36
		11
		11
		6
		4
CLASSE
FREQÜÊNCIA
POLIGONO DE FREQÜÊNCIA
normal
		X		Homogêneo		Heterogêneo
		-3		0.0044329722		0.0647752191
		-2.5		0.0175327452		0.0913477003
		-2		0.0540046573		0.1210160411
		-1.5		0.1295504381		0.1506068966
		-1		0.2420320823		0.1760773009
		-0.5		0.3521546018		0.1933830831
		0		0.3990434422		0.1995217211
		0.5		0.3521546018		0.1933830831
		1		0.2420320823		0.1760773009
		1.5		0.1295504381		0.1506068966
		2		0.0540046573		0.1210160411
		2.5		0.0175327452		0.0913477003
		3		0.0044329722		0.0647752191
normal
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
Homogêneo
Heterogêneo
Probabilidade
Qui quadr
		X		Homogêneo		Heterogêneo		Qui-quadrado
		-3		0.1826954007		0.1210160411		0.0480224916
		-2.5		0.3012137931		0.1506068966		0.1134121865
		-2		0.3867661662		0.1760773009		0.1805912832
		-1.5		0.3867661662		0.1933830831		0.1869850842
		-1		0.3012137931		0.1995217211		0.1305386664
		-0.5		0.1826954007		0.1933830831		0.0707746263
		0		0.0862991966		0.1760773009		0.0384507672
		0.5		0.0317477002		0.1506068966		0.0236903538
		1		0.0090958684		0.1210160411		0.014727617
		1.5		0.0020295626		0.0913477003		0.0083485215
		2		0.0003526851		0.0647752191		0.0041959534
		2.5		0.0000477307		0.0431495983		0.0018618901
		3		0.0000050308		0.0270023286		0.0007291258
		
		Mi 2 =		-1
		Mi 1 =		-1.75
Qui quadr
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
média
moda
mediana
Qui-quadrado
X
P(X)
Distribuição Assimétrica
Quartis
		X		Qui-quadrado		Acum
		-3		0.004		0.004
		-2.5		0.009		0.013
		-2		0.018		0.030
		-1.5		0.039		0.070
		-1		0.090		0.159
		-0.5		0.161		0.321
		0		0.199		0.520
		0.5		0.161		0.681
		1		0.090		0.771
		1.5		0.039		0.810
		2		0.018		0.828
		2.5		0.009		0.837
		3		0.004		0.841
		
		
		Ponto		X		Ordem		Porcentagem		Ponto		Qui-quadrado		Ordem		Porcentagem
		13		3		1		100.00%		7		0.199044586		1		100.00%
		12		2.5		2		91.60%		6		0.1614098804		2		83.30%
		11		2		3		83.30%		8		0.1614098804		2		83.30%
		10		1.5		4		75.00%		5		0.0895827447		4		66.60%
		9		1		5		66.60%		9		0.0895827447		4		66.60%
		8		0.5		6		58.30%		4		0.0394657533		6		50.00%
		7		0		7		50.00%		10		0.0394657533		6		50.00%
		6		-0.5		8		41.60%		3		0.0175613852		8		33.30%
		5		-1		9		33.30%		11		0.0175613852		8		33.30%
		4		-1.5		10		25.00%		2		0.0086517995		10		16.60%
		3		-2		11		16.60%		12		0.0086517995		10		16.60%
		2		-2.5		12		8.30%		1		0.0042154802		12		.00%
		1		-3		13		.00%		13		0.0042154802
12		.00%
Quartis
		0.0480224916
		0.1134121865
		0.1805912832
		0.1869850842
		0.1305386664
		0.0707746263
		0.0384507672
		0.0236903538
		0.014727617
		0.0083485215
		0.0041959534
		0.0018618901
		0.0007291258
Q1
Q2 = mediana
Q3
Qui-quadrado
X
P(X)
Distribuição Assimétrica - Quartis
desvio
		X		Homogêneo		Heterogêneo
		-3		0.0044329722		0.0647752191
		-2.5		0.0175327452		0.0913477003
		-2		0.0540046573		0.1210160411
		-1.5		0.1295504381		0.1506068966
		-1		0.2420320823		0.1760773009
		-0.5		0.3521546018		0.1933830831
		0		0.3990434422		0.1995217211
		0.5		0.3521546018		0.1933830831
		1		0.2420320823		0.1760773009
		1.5		0.1295504381		0.1506068966
		2		0.0540046573		0.1210160411
		2.5		0.0175327452		0.0913477003
		3		0.0044329722		0.0647752191
desvio
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
Homogêneo
Probabilidade
Distribuição Normal Padronizada
Plan9
		X		Y		Aleat
		1		-0.18		-1.18
		2		-1.99		-3.99
		3		3.96		0.96
		4		7.99		3.99
		5		8.85		3.85
		6		10.58		4.58
		7		2.14		-4.86
		8		7.07		-0.93
		9		12.63		3.63
		10		6.39		-3.61
		5.50		5.75
média
desvio-padrão
CV = DP/média
Homogêneo
Probabilidade
Critério de Teste
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Plan9
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
Y
X
Y
Covariância e Correlação
Plan10
		
*
*
*
Distribuição Normal
Expressão formal
*
*
*
Distribição Normal: propriedades
Área total sob a curva é 1
Cálculos de probabilidades dentro de intervalos (distr. Contínua)
P(a  X  b) é a área sob a curva entre a e b
Distribuição simétrica:
P(X  a) = P(X  -a)
P(X<μ) = 0,50 = 50%
*
*
*
Distribição Normal: mais propriedades
P(a  X  b) = P(X  b) - P(X  a)
Figura
Maior concentração de freqüências no centro da distribuição
Cálculo das probabilidades notáveis sob a curva normal: função DIST.NORM
(11dist.prob)
*
*
*
Gráf1
		0.0044329722
		0.0175327452
		0.0540046573
		0.1295504381
		0.2420320823
		0.3521546018
		0.3990434422
		0.3521546018
		0.2420320823
		0.1295504381
		0.0540046573
		0.0175327452
		0.0044329722
68%
95%
Homogêneo
Probabilidade
Distribuição Normal
HISTOGR
		9-12		6
		12-15		12
		15-18		26
		18-21		36
		21-24		11
		24-27		11
		27-30		6
		30-33		4
HISTOGR
		
CLASSE
FREQÜÊNCIA
HISTOGRAMA
SETORIAL
		
SETORIAL
		6
		12
		26
		36
		11
		11
		6
		4
GRAFICO SETORIAL
BARRA NOM
		CAMACARI		135
		LAURO FREITAS		97		310
		SIMOES FO		78
		CANDEIAS		69
		ITAPARICA		45		2702370
BARRA NOM
		
MUNICIPIO
POPULACAO
BARRAS NOMINAIS
POLIGONO
		
POLIGONO
		6
		12
		26
		36
		11
		11
		6
		4
CLASSE
FREQÜÊNCIA
POLIGONO DE FREQÜÊNCIA
normal
		X		Homogêneo		Heterogêneo
		-3		0.0044329722		0.0647752191
		-2.5		0.0175327452		0.0913477003
		-2		0.0540046573		0.1210160411
		-1.5		0.1295504381		0.1506068966
		-1		0.2420320823		0.1760773009
		-0.5		0.3521546018		0.1933830831
		0		0.3990434422		0.1995217211
		0.5		0.3521546018		0.1933830831
		1		0.2420320823		0.1760773009
		1.5		0.1295504381		0.1506068966
		2		0.0540046573		0.1210160411
		2.5		0.0175327452		0.0913477003
		3		0.0044329722		0.0647752191
normal
		
Homogêneo
Heterogêneo
Probabilidade
Qui quadr
		X		Homogêneo		Heterogêneo		Qui-quadrado
		-3		0.1826954007		0.1210160411		0.0480224916
		-2.5		0.3012137931		0.1506068966		0.1134121865
		-2		0.3867661662		0.1760773009		0.1805912832
		-1.5		0.3867661662		0.1933830831		0.1869850842
		-1		0.3012137931		0.1995217211		0.1305386664
		-0.5		0.1826954007		0.1933830831		0.0707746263
		0		0.0862991966		0.1760773009		0.0384507672
		0.5		0.0317477002		0.1506068966		0.0236903538
		1		0.0090958684		0.1210160411		0.014727617
		1.5		0.0020295626		0.0913477003		0.0083485215
		2		0.0003526851		0.0647752191		0.0041959534
		2.5		0.0000477307		0.0431495983		0.0018618901
		3		0.0000050308		0.0270023286		0.0007291258
		
		Mi 2 =		-1
		Mi 1 =		-1.75
Qui quadr
		
média
moda
mediana
Qui-quadrado
X
P(X)
Distribuição Assimétrica
Quartis
		X		Qui-quadrado		Acum
		-3		0.004		0.004
		-2.5		0.009		0.013
		-2		0.018		0.030
		-1.5		0.039		0.070
		-1		0.090		0.159
		-0.5		0.161		0.321
		0		0.199		0.520
		0.5		0.161		0.681
		1		0.090		0.771
		1.5		0.039		0.810
		2		0.018		0.828
		2.5		0.009		0.837
		3		0.004		0.841
		
		
		Ponto		X		Ordem		Porcentagem		Ponto		Qui-quadrado		Ordem		Porcentagem
		13		3		1		100.00%		7		0.199044586		1		100.00%
		12		2.5		2		91.60%		6		0.1614098804		2		83.30%
		11		2		3		83.30%		8		0.1614098804		2		83.30%
		10		1.5		4		75.00%		5		0.0895827447		4		66.60%
		9		1		5		66.60%		9		0.0895827447		4		66.60%
		8		0.5		6		58.30%		4		0.0394657533		6		50.00%
		7		0		7		50.00%		10		0.0394657533		6		50.00%
		6		-0.5		8		41.60%		3		0.0175613852		8		33.30%
		5		-1		9		33.30%		11		0.0175613852		8		33.30%
		4		-1.5		10		25.00%		2		0.0086517995		10		16.60%
		3		-2		11		16.60%		12		0.0086517995		10		16.60%
		2		-2.5		12		8.30%		1		0.0042154802		12		.00%
		1		-3		13		.00%		13		0.0042154802		12		.00%
Quartis
		0.0480224916
		0.1134121865
		0.1805912832
		0.1869850842
		0.1305386664
		0.0707746263
		0.0384507672
		0.0236903538
		0.014727617
		0.0083485215
		0.0041959534
		0.0018618901
		0.0007291258
Q1
Q2 = mediana
Q3
Qui-quadrado
X
P(X)
Distribuição Assimétrica - Quartis
desvio
		X		Homogêneo		Heterogêneo
		-3		0.0044329722		0.0647752191		-3dp
		-2.5		0.0175327452		0.0913477003
		-2		0.0540046573		0.1210160411		-2dp
		-1.5		0.1295504381		0.1506068966
		-1		0.2420320823		0.1760773009		-1dp
		-0.5		0.3521546018		0.1933830831
		0		0.3990434422		0.1995217211		média
		0.5		0.3521546018		0.1933830831
		1		0.2420320823		0.1760773009		+1dp
		1.5		0.1295504381		0.1506068966
		2		0.0540046573		0.1210160411		+2dp
		2.5		0.0175327452		0.0913477003
		3		0.0044329722		0.0647752191		+3dp
desvio
		
Homogêneo
Probabilidade
Distribuição Normal Padronizada
Cov
		
média
desvio-padrão
CV = DP/média
Homogêneo
Probabilidade
Critério de Teste
68%
95%
Homogêneo
Probabilidade
Distribuição Normal
Plan10
		X		Y		Aleat
		1		-0.18		-1.18
		2		-1.99		-3.99
		3		3.96		0.96
		4		7.99		3.99
		5		8.85		3.85
		6		10.58		4.58
		7		2.14		-4.86
		8		7.07		-0.93
		9		12.63		3.63
		10		6.39		-3.61
		5.50		5.75
Plan10
		
Y
X
Y
Covariância e Correlação
		
*
*
*
Normal Reduzida
Antes dos aplicativos de estatística, cálculos da distribuição normal eram feitos com uma tabela
Essa tabela dava os valores da normal reduzida ou padronizada
Média zero
Variância e desvio-padrão 1
Hoje a normal reduzida não é mais tão necessária, mas ajuda a perceber os valores notáveis
*
*
*
Normal Reduzida
Gráfico2
		0.0044329722
		0.0175327452
		0.0540046573
		0.1295504381
		0.2420320823
		0.3521546018
		0.3990434422
		0.3521546018
		0.2420320823
		0.1295504381
		0.0540046573
		0.0175327452
		0.0044329722
Homogêneo
Probabilidade
Distribuição Normal Padronizada
HISTOGR
		9-12		6
12-15		12
		15-18		26
		18-21		36
		21-24		11
		24-27		11
		27-30		6
		30-33		4
HISTOGR
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
CLASSE
FREQÜÊNCIA
HISTOGRAMA
SETORIAL
		
SETORIAL
		6
		12
		26
		36
		11
		11
		6
		4
GRAFICO SETORIAL
BARRA NOM
		CAMACARI		135
		LAURO FREITAS		97		310
		SIMOES FO		78
		CANDEIAS		69
		ITAPARICA		45		2702370
BARRA NOM
		0
		0
		0
		0
		0
MUNICIPIO
POPULACAO
BARRAS NOMINAIS
POLIGONO
		
POLIGONO
		6
		12
		26
		36
		11
		11
		6
		4
CLASSE
FREQÜÊNCIA
POLIGONO DE FREQÜÊNCIA
normal
		X		Homogêneo		Heterogêneo
		-3		0.0044329722		0.0647752191
		-2.5		0.0175327452		0.0913477003
		-2		0.0540046573		0.1210160411
		-1.5		0.1295504381		0.1506068966
		-1		0.2420320823		0.1760773009
		-0.5		0.3521546018		0.1933830831
		0		0.3990434422		0.1995217211
		0.5		0.3521546018		0.1933830831
		1		0.2420320823		0.1760773009
		1.5		0.1295504381		0.1506068966
		2		0.0540046573		0.1210160411
		2.5		0.0175327452		0.0913477003
		3		0.0044329722		0.0647752191
normal
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
		0		0
Homogêneo
Heterogêneo
Probabilidade
Qui quadr
		X		Homogêneo		Heterogêneo		Qui-quadrado
		-3		0.1826954007		0.1210160411		0.0480224916
		-2.5		0.3012137931		0.1506068966		0.1134121865
		-2		0.3867661662		0.1760773009		0.1805912832
		-1.5		0.3867661662		0.1933830831		0.1869850842
		-1		0.3012137931		0.1995217211		0.1305386664
		-0.5		0.1826954007		0.1933830831		0.0707746263
		0		0.0862991966		0.1760773009		0.0384507672
		0.5		0.0317477002		0.1506068966		0.0236903538
		1		0.0090958684		0.1210160411		0.014727617
		1.5		0.0020295626		0.0913477003		0.0083485215
		2		0.0003526851		0.0647752191		0.0041959534
		2.5		0.0000477307		0.0431495983		0.0018618901
		3		0.0000050308		0.0270023286		0.0007291258
		
		Mi 2 =		-1
		Mi 1 =		-1.75
Qui quadr
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
média
moda
mediana
Qui-quadrado
X
P(X)
Distribuição Assimétrica
Quartis
		X		Qui-quadrado		Acum
		-3		0.004		0.004
		-2.5		0.009		0.013
		-2		0.018		0.030
		-1.5		0.039		0.070
		-1		0.090		0.159
		-0.5		0.161		0.321
		0		0.199		0.520
		0.5		0.161		0.681
		1		0.090		0.771
		1.5		0.039		0.810
		2		0.018		0.828
		2.5		0.009		0.837
		3		0.004		0.841
		
		
		Ponto		X		Ordem		Porcentagem		Ponto		Qui-quadrado		Ordem		Porcentagem
		13		3		1		100.00%		7		0.199044586		1		100.00%
		12		2.5		2		91.60%		6		0.1614098804		2		83.30%
		11		2		3		83.30%		8		0.1614098804		2		83.30%
		10		1.5		4		75.00%		5		0.0895827447		4		66.60%
		9		1		5		66.60%		9		0.0895827447		4		66.60%
		8		0.5		6		58.30%		4		0.0394657533		6		50.00%
		7		0		7		50.00%		10		0.0394657533		6		50.00%
		6		-0.5		8		41.60%		3		0.0175613852		8		33.30%
		5		-1		9		33.30%		11		0.0175613852		8		33.30%
		4		-1.5		10		25.00%		2		0.0086517995		10		16.60%
		3		-2		11		16.60%		12		0.0086517995		10		16.60%
		2		-2.5		12		8.30%		1		0.0042154802		12		.00%
		1		-3		13		.00%		13		0.0042154802		12		.00%
Quartis
		0.0480224916
		0.1134121865
		0.1805912832
		0.1869850842
		0.1305386664
		0.0707746263
		0.0384507672
		0.0236903538
		0.014727617
		0.0083485215
		0.0041959534
		0.0018618901
		0.0007291258
Q1
Q2 = mediana
Q3
Qui-quadrado
X
P(X)
Distribuição Assimétrica - Quartis
desvio
		X		Homogêneo		Heterogêneo
		-3		0.0044329722		0.0647752191
		-2.5		0.0175327452		0.0913477003
		-2		0.0540046573		0.1210160411
		-1.5		0.1295504381		0.1506068966
		-1		0.2420320823		0.1760773009
		-0.5		0.3521546018		0.1933830831
		0		0.3990434422		0.1995217211
		0.5		0.3521546018		0.1933830831
		1		0.2420320823		0.1760773009
		1.5		0.1295504381		0.1506068966
		2		0.0540046573		0.1210160411
		2.5		0.0175327452		0.0913477003
		3		0.0044329722		0.0647752191
desvio
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
Homogêneo
Probabilidade
Distribuição Normal Padronizada
Plan9
		
média
desvio-padrão
CV = DP/média
Plan10
		
*
*
*
Exercício
Braule: 11exercícios Braule
Cálculo das probabilidades notáveis sob a curva normal: função DIST.NORM