Cap_tulo_2_parte_2

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Professor: Carlos Alberto Simões Pires Wayhs 
 
Engenheiro Civil – Mestre – UFRGS 
MBA em Gestão de Negócios da Construção Civil - FGV 
Capítulo 2 
Estática dos Pontos Materiais 
Parte 2 
2º Semestre 2012 
UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO 
GRANDE DO SUL 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS – DCEENG 
CURSO DE ENGENHARIAS CAMPUS IJUÍ 
DISCIPLINA DE MECÂNICA GERAL I 
8. Adição de forças pela soma das componentes segundo x e y 
11. Diagrama de corpo livre 
9. Equilíbrio de um ponto material 
10. Primeira Lei do Movimento de Newton 
7. Componentes cartesianas de uma força. Vetores unitários 
6. Decomposição de uma força em componentes 
COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA 
 Em muitos problemas é desejável a decomposição da força F em 
componentes perpendiculares entre si. 
 
 
Eixos x e y: 
Perpendiculares 
Geralmente nas direções horizontal e vertical 
Ângulo θ medido a partir de Fx até a força F no sentido 
anti-horário 
 
 
 
 Fx e Fy são denominadas componentes cartesianas da força F. 
 
 
 VETORES UNITÁRIOS 
 Podemos definir dois vetores de intensidade igual a 1, orientados 
segundo os eixos x e y: 
 Vetor i: na direção do eixo x 
 Vetor j: na direção do eixo y 
 Decomposição de F 
 Fx = Fx.i 
 Fy = Fy.j 
 
 
 
VETORES UNITÁRIOS 
 F = Fx i + Fy j 
 
 
 Onde: 
 Fx e Fy: componentes vetoriais de F 
 Fx e Fy: componentes escalares de F (intensidade dos vetores Fx e Fy) 
 Relação entre F, Fx, Fy e θ 
 
Fx = F cosƟ Fy = F senƟ 
 
 EXEMPLO 1 
Uma força de 800 N é exercida sobre um parafuso A. Determine as 
componentes horizontal e vertical da força F. 
 
 
Resolução: 
Fx = - F cosα = - 800.cos35
o 
Fx = - 655 N 
Fy = + F senα = 800.sen35
o 
Fy = + 459 N 
 
As componentes vetoriais de F são: 
Fx = - (655 N)i 
Fy = + (459 N)j 
F = – (655 N)i + (459 N)j 
 
 
 EXEMPLO 2 
Um homem puxa, com uma força de 300 N, uma corda fixada a uma 
construção. Quais as componentes horizontal e vertical da força exercida 
pela corda no ponto A? 
 Resolução: 
tg α = (6/8) .: α = 36,87o 
Fx = +(300)cos α = 240 N e Fy = -(300)senα = -180 N 
As componentes vetoriais de F são: F = (240 N) i – (180N) j 
 
 EXEMPLO 3 
A força F=(3,5kN)i + (7,5kN)j é aplicada a um parafuso A. Determine a 
intensidade da força e o ângulo que ela forma com a horizontal. 
Resolução: 
tgθ = (Fy / Fx) = (7,5 / 3,5) 
θ = 65o 
F2 = Fy
2 + Fx
2 = (7,5)² + (3,5)² 
F = 8,28 kN 
 
• ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA DAS COMPONENTES 
SEGUNDO “X” E “Y” 
 
 Soma de 2 forças 
 Lei do paralelogramo ou regra do triângulo 
 
 Soma de mais de 2 forças 
 Solução analítica pode ser obtida pela decomposição de cada uma das 
forças em suas componentes cartesianas 
 
• ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA DAS COMPONENTES 
SEGUNDO “X” E “Y” 
Ex: 3 forças P, Q e S 
R = P + Q + S 
 
Sendo: 
P = Pxi + Pyj 
Q = Qxi + Qyj 
S = Sxi + Syj 
Então podemos escrever: 
R = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj 
R = (Px+ Qx + Sx)i + (Py + Qy + Sy)j 
• ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA DAS COMPONENTES 
SEGUNDO “X” E “Y” 
 
Onde: Rx = Px+ Qx + Sx = Σ Fx e Ry = Py+ Qy + Sy = Σ Fy 
• EXEMPLO 4 – PR 2.3 
 Quatro forças atuam no parafuso A. Determine a resultante das forças que 
agem no parafuso. 
• EXEMPLO 4 – PR 2.3 
 Resolução 1: (somatório) 
• EXEMPLO 4 – PR 2.3 
 Resolução 2: (tabela) 
𝐑 = 𝑅𝑥𝐢 + 𝑅𝑦𝐣 = 199,13N 𝐢 + (14,3𝑁)j 
tan 𝜶 =
𝑅𝑦
𝑅𝑥
=
14,3𝑁
199,1𝑁
 ∴ 𝛼 = 4,11º 
𝐑 =
14,3
sin 𝛼
= 199,6 𝑁 
𝐑𝐞𝐬𝐩𝐨𝐬𝐭𝐚: 𝐑 = 199,6 𝑁∡4,11º ⟸ 
• EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL 
 Quando a resultante de todas as forças que atuam 
sobre um ponto material é zero, este ponto está em 
equilíbrio. 
 
Σ F = 0 
Σ (Fxi + Fyj) = 0 
(Σ Fx)i + (Σ Fy)j = 0 
 Então: Σ Fx = 0 e Σ Fy = 0 
• PRIMEIRA LEI DO MOVIMENTO DE NEWTON 
 Relembrando: Primeira Lei de Newton 
 Se a força resultante que atua sobre um ponto material 
tem intensidade igual a zero, esse ponto permanece em 
repouso ou se move em movimento retilíneo uniforme. 
 
• DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 Resolução de problemas da vida real reduzindo-se o 
problema do equilíbrio do ponto material, 
esquematizando-se em um diagrama separado todas as 
forças que sobre ele são exercidas. 
 
 
 
 
Diagrama do Corpo Livre do nó A 
 
 
• EXEMPLO 5 – pág. 50 do Beer e Johnston 
Tem-se um caixote de 75kg sendo colocado sobre um caminhão. O caixote é 
suportado por um cabo vertical, unido no ponto A as duas cordas fixadas nos 
prédios em B e C. Deseja-se determinar a tração nas 2 cordas AB e AC. 
 
T1=3,66 kN 
T2=2,59 kN 
 
 
Obrigado pela atenção ! 
Exercícios: Capítulo 2 do livro do Beer e Johnston – 2.16 a 2.21 e 
PR. 2.4, 2.5 e 2.6