Capitulo_1_-_Finalizado

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1
Ciência que descreve e prediz as 
condições de repouso ou de 
movimento de corpos sob a ação 
de forças.
Mecânica 
dos Corpos 
Rígidos
Mecânica 
dos Corpos 
Deformáveis
Mecânica
dos
Fluídos
Mecânica
O que é
ESTÁTICA – CONCEITOS e
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS
2
3
UNIDADES USADAS EM MECÂNICA
4
Obs.: PSI: lbf/in2
Ex.: F = 5000 N 
PREFIXOS USADOS EM MECÂNICA
5
= 5 kN= 5 x 103 N 
• Quando escritos por extenso, os nomes de unidades devem ser
iniciados com letra minúscula, mesmo quando representem um nome
próprio. Ex.: newton, watt, ampere, joule, ... exceto o grau Celsius.
• Na expressão do valor numérico de uma grandeza, a respectiva unidade
pode ser escrita por extenso, ou representada pelo seu símbolo.
Ex.: newton por metro ou N/m. Não são admitidas partes escritas por
extenso misturadas com partes escritas por símbolo. Ex.: newton/m.
• Os símbolos são invariáveis, não sendo permitido colocar ponto
significando abreviatura, ou acrescentar "S" no plural.
Ex.: joule é J e não J. ou Js (no plural).
• O valor numérico e o símbolo da unidade devem ser separados por um
espaço. EX.: 35 mm, e não 35mm.
• Não deve ser colocado espaço entre o prefixo e a unidade. 
Ex.: 10 GPa, e não 10 G Pa.
PRESCRIÇÕES GERAIS
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REGRAS DE ARREDONDAMENTO
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• Se o algarismo anterior ao da casa decimal que você quer 
arredondar for maior ou igual a 5, devemos aumentar 1 na 
casa decimal escolhida para o arredondamento. 
Ex: 29,785 = 29,79
• Se o número for menor do que 5, é só tirarmos as casas 
decimais que não nos interessam, e o número não se 
altera.
Ex: 29,784 = 29,78
Obs. Nos cálculos desta disciplina vamos utilizar as respostas 
dos exercícios com duas casas decimais.
 Grandeza Escalar é uma quantidade física (positiva ou
negativa) que pode ser especificada por sua magnitude.
Exemplos: massa, comprimento e tempo.
 Grandeza Vetorial é uma quantidade física que para sua
descrição requer três elementos fundamentais: magnitude,
direção e sentido. Exemplos: força, momento.
GRANDEZAS VETORIAS E ESCALARES
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 VETOR
Um vetor é um ente imaginário, representado graficamente
por uma flecha, caracterizado por:
- Intensidade (comprimento da flecha);
- Direção (ângulo entre o eixo de referência e a linha de ação
da flecha);
- Sentido (indicado pela seta).
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PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS
O estudo da Estática baseia em quatro Princípios
Fundamentais , com base em evidências experimentais:
1- Regra do Paralelogramo para Adição de Forças
Estabelece que duas forças atuando numa partícula podem
ser substituídas por uma única força, chamada Resultante,
obtida traçando a diagonal do paralelogramo que tem por lados
as duas forças dadas.
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2- Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia):
Se a resultante das forças que atuam numa partícula é nula,
esta permanecerá em repouso (se estava inicialmente em
repouso) ou mover-se-á com velocidade constante segundo
uma linha reta (se estava inicialmente em movimento).
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2- Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia):
Se a resultante das forças que atuam numa partícula é nula,
esta permanecerá em repouso (se estava inicialmente em
repouso) ou mover-se-á com velocidade constante segundo
uma linha reta (se estava inicialmente em movimento).
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Primeira Lei de Newton
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 F = 0
Repouso  Equilíbrio
Movimento
Se a resultante das forças que atuam num corpo é nulo, este
permanecerá em repouso.
FR = 0
 F  0FR  0
3- Terceira Lei de Newton (Principio Ação e Reação)
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As forças de ação e reação entre corpos interagindo têm as
mesmas intensidades, mesma linha de ação e sentidos opostos.
4 – Princípio da Transmissibilidade: 
Estabelece que as condições de equilíbrio ou de
movimento de um corpo rígido não se alteram se
substituirmos uma força atuando num ponto do corpo por
outra força com a mesma intensidade, direção e sentido, mas
atuando em um outro ponto do corpo, desde que ambas as
forças possuam a mesma linha de ação.
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O Cálculo da força resultante pode ser obtido através da soma vetorial 
com a aplicação da regra do paralelogramo.
OPERAÇÕES VETORIAS
 REGRA DO PARALELOGRAMO
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Substituição de um sistema composto por duas forças por uma única 
força resultante.
• Representação Prática do Paralelogramo
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• Método de Paralelogramo
 Sen
F
Sen
F
Sen
R 21
)180(


• Triângulo de Forças
 2 2 21 2 1 22 180R F F F F Cos    
18
(lei dos cossenos)
(lei dos senos)
Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas
componentes para estudar seu efeito em duas direções específicas.
 COMPONENTES DE UM VETOR
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20
 F = 0
T=P
 F = 0
T1, T2 = ? 
 Fh = 0
T1 + T2h = 0
 Fv = 0
P + T3 + T2v = 0
(Forças mesma direção)
(Forças direções diferentes)
T3 = P 
• Decomposição em Notação Vetorial: 
Onde:
i, j são vetores unitários (versores)
• Decomposição em Notação Escalar: 
• Intensidade: 3
• Direção: i (eixo x)
• Sentido: (-)
21
 DETERMINAÇÃO DA FORÇA RESULTANTE
• Notação Vetorial:
• Notação Escalar:
Módulo da Resultante:
Direção da Resultante:
1 2 3Rx x x xF F F F  
1 2 3Ry y y yF F F F   23
1) A estrutura abaixo é submetida à forças F1 e F2. Determinar a
intensidade e direção da força resultante utilizando notação
escalar e vetorial.
EXERCÍCIO:
24
25
2) Determine a intensidade da força resultante FR = F1 + F2 e sua
direção, medida no sentido anti-horário, a partir do eixo x positivo.
26
3) A chapa está submetida a duas forças em A e B, como
mostrado na figura. Se =60º, determine a intensidade da
resultante das duas forças e sua direção medida a partir da
horizontal.
27
4) A força vertical F atua para baixo em A nos dois elementos da
estrutura. Determine as intensidades dos dois componentes de F
orientados ao longo dos eixos de AB e AC. Considerar F = 350 lbf
28
5) Duas forças são aplicadas na extremidade de um olhal a fim de
remover a estaca. Determine o ângulo  (0≤ ≤ 90) e a intensidade
da força F, de modo que a força resultante que atua sobre a
estaca seja orientada verticalmente para cima e tenha intensidade
de 750N.
29
6) A caminhonete deve ser rebocada usando-se duas cordas.
Determine a intensidade das forças FA e FB que atuam em cada
corda a fim de produzir uma força resultante de 950 N, orientada
ao longo do eixo x positivo. Considere que  =50º.
30
7) Determine a intensidade e a direção, medida no sentido anti-
horário, a partir do eixo x, da força resultante das três forças que
atuam sobre o anel A. Considere que F1 = 500 N e  =20º.
31
8) Expresse cada uma das três forças que atuam sobre a coluna
na forma vetorial cartesiana e calcule a intensidade da força
resultante.
32
9) As três forças concorrentes que atuam sobre o olhal produzem
uma força resultante FR=0. Se F2=2/3 F1 e F1 estiver a 90º de F2,
como mostrado, determine a intensidade necessária de F3
expressa em termos de F1 e do ângulo .
• O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo,
fornece uma medida da tendência dessa força provocar a rotação de
um corpo em torno do ponto ou do eixo.
• Para problemas em duas dimensões é mais conveniente se utilizar 
uma formulação escalar e para problemas em três dimensões a 
formulação vetorial é mais conveniente.
MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO
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• O que induz a uma maior ou menor tendência de rotação produzida
por uma força é o chamado braço de alavanca d (distância do ponto
de referência à linha de ação da força).
• A tendência de rotação também é chamada de Torque, Momento
de uma Força ou simplesmente Momento.
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 ANÁLISE ESCALAR
Onde:
d’ (braço do momento) é distância 
perpendicular do ponto O até a 
linha de ação da força.
35
Mo = F . d´
 Intensidade:
 Rotação no sentido horário – Momento negativo
 Rotação no sentido anti-horário – Momento positivo
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 Sentido: 
O sentido do Eixo do Momento é dado 
pela Regra da Mão Direita (RMD): 
Curva dos dedosdefine o sentido de 
rotação e o polegar o sentido do Eixo 
do Momento
37
 Direção: Definida pelo Eixo do Momento
É o eixo que passa pelo ponto O e é 
perpendicular ao plano de ação da força. 
 Momento Resultante de Um sistema de Forças Coplanares
38
Exercicio
10) Determinar o momento resultante das forças atuando no ponto 
O da estrutura abaixo.
39
O vetor posição é definido como um vetor que localiza um
ponto do espaço em relação a outro.
O vetor posição localizado na origem do sistema de
coordenadas pode ser escrito na seguinte forma cartesiana.
VETOR POSIÇÃO
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O Vetor Posição é determinado a partir da subtração das
coordenadas x, y, z das extremidades dos vetores em análise. O
vetor posição indica o comprimento real ou a distância entre dois
pontos no espaço.
 VETOR POSIÇÃO ENTRE DOIS PONTOS A E B FORA DA ORIGEM
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A regra do produto vetorial para o cálculo de momentos geralmente é 
aplicada para sistemas em três dimensões.
ANÁLISE VETORIAL:
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OBS. A propriedade comutativa não 
é válida; ou seja, A x B ≠ B x A.
A direção e o sentido do momento são 
determinados pela Regra da Mão Direita do 
produto vetorial: o sentido da rotação é indicado 
pela curva dos dedos, e o polegar é direcionado 
ao longo do eixo do momento, ou linha de ação 
do momento.
43
O produto vetorial entre dois vetores resulta em um vetor, 
que é perpendicular aos vetores U e V
Mx = yFz - zFy
My = zFx - xFz
Mz = xFy - yFx
Mo = r x F 
Mo = (y Fz - z Fy)i + (zFx - xFz ) j + (xFy - yFx )k
Podemos tambem escrever
MO na Forma Matricial
Mo = rx F =
j
y
Fy
k
z
Fz
i
x
Fx
Mo = (xi+yj+zk) x (Fxi+Fy j+Fz k)
44
A direção de uma força F pode ser definida pela
coordenada de dois pontos A e B, pelos quais passa sua linha
de ação.
F F λ
 

r
λ
r
AB
AB




O vetor unitário λ ao longo da linha 
de ação de F, pode ser obtido por:
(1)
(2)
Subst. (1) em 
(2), temos: 
45
Vetor Força Orientado ao Longo de Uma Reta
46
11) O poste da figura está sujeito a uma força de 60 N na direção de
C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em
relação ao suporte em A.
47
12) Uma placa retangular é sustentada por dois suportes A e B e por
um fio CD. Sabendo que a tração no fio é de 200N, determine o
momento em relação a A da força exercida pelo fio no ponto C
MRo = (r1 x F1) + (r2 x F2) + (r3 x F3)
TEOREMA VARIGNON 
48
O momento em relação a um dado ponto O da resultante de 
diversas forças concorrentes é igual à soma dos momentos das 
várias forças em relação ao mesmo ponto O.
49
13) Três forças atuam numa barra mostrada na figura abaixo.
Determine o momento resultante criado pelas três forças em relação
a O.
50
MOMENTO DE UM BINÁRIO
Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma 
intensidade, sentidos opostos e separadas por um distância d 
perpendicular.
51
Como a força resultante é nula, o único efeito de um binário é 
produzir rotação ou tendência de rotação em determinada 
direção. 
52
 FORMULAÇÃO ESCALAR
A direção e o sentido é dado pela RMD (Regra da Mão Direita): 
Polegar indica o sentido do eixo do momento e os demais dedos o 
sentido de rotação. 
OBS. M sempre atua perpendicularmente ao plano das forças.
d é a distância perpendicular entre as 
linhas de ação das respectivas forças.
53
Podemos determinar o momento de um binário, calculando a soma 
dos momentos das forças que compõem o binário, em relação a 
um ponto arbitrário.
Como: 
 FORMULAÇÃO VETORIAL:
O momento do binário em relação a 
O, é dado por: 
Temos: 
54
O vetor momento de um binário independe do ponto de referência, 
caracterizando-o como um Vetor Livre que pode ser representado 
em qualquer posição, ou seja, a localização do binário não 
influencia o efeito deste sobre um corpo.
Se o ponto A é escolhido, 
o momento –F é zero
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 BINÁRIOS EQUIVALENTES
Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento.
O momento resultante de dois binários é obtido pela soma dos binários. 
56
14) Determine o momento de binário que atua sobre a estrutura 
de tubos mostrada na Figura abaixo. O segmento AB está 
orientado em 30º abaixo do plano x-y.
EXERCÍCIOS:
57
15) Substitua os dois binários que atuam na coluna tubular 
da Figura abaixo por um momento binário resultante.
58
 Substituição de uma Força por uma Força e um Binário
Qualquer força F que atua sobre um corpo rígido pode ser deslocada para 
um ponto arbitrário O, desde que seja adicionado um binário de momento 
igual ao momento de F em relação a O.
F aplicada em A
Podemos aplicar um para de forças F e 
–F iguais e opostas em O, sem modificar a 
ação da força original sobre o corpo rígido. 
A força F aplicada em A, e –F em B, 
formam um binário.
O binário produz o momento de binário
M = rOA x F.
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A combinação de uma força resultante WR e um 
momento de binário (MR)O tenderá a transladar e girar 
o corpo em relação ao seu eixo. 
Representa um sistema no qual as forças e os momentos
resultantes produzam na estrutura o mesmo efeito que o
carregamento original aplicado.
SISTEMA EQUIVALENTE
60
16) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força 
resultante e um momento atuante no ponto A.
61
EXERCÍCIOS:
62
17) Cada uma das forças é paralela a um dos eixos de coordenadas. 
Substitua essas forças por um sistema força-binário em C. O 
diâmetro do cilindro é de 60 m.
63
 Sistema Equivalente de Forças Concorrentes e Centradas
O sistema equivalente pode ser representado por uma única força 
resultante agindo em O (centro do corpo rígido). 
FR é dado pela regra do paralelogramo ou pelo sistema de decomposição
Forças Concorrentes Centradas aplicadas em um
corpo rígido podem induzir apenas a translações, 
onde a força resultante pode ser obtida 
empregando, por exemplo, a regra do paralelogramo.
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 Sistema Equivalente de Forças Não Concorrentes e 
Concorrentes e Não Centradas
Forças não concorrentes e concorrentes não centradas podem induzir a 
rotações combinadas ou não com translações
65
A distância d pode ser determinada através da equação escalar: 
Para as Forças não concorrentes e concorrentes não centradas, temos: 
FR = F1 + F2 + F3 + F4
Ponto de Aplicação = ??
18) A lâmina da figura abaixo está submetida a quatro forças 
paralelas. Determine a intensidade, a direção e o sentido da força 
resultante equivalente ao sistema de forças dado e localize o seu 
ponto de aplicação. Dimensões da lâmina: 10 x 8 metros.
66
EXERCÍCIOS:
19) 3 forças paralelas de travamento atuam nas bordas de uma
chapa circular de cobertura, como mostrado na figura. Determine a
intensidade, a direção e o sentido da força resultante equivalente ao
sistema de força dado, e localize o seu ponto de aplicação, sobre a
chapa.
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20) A estrutura mostrada na figura está submetida a um momento M 
e as forças F1 e F2. Substitua esse sistema por uma única força e um
momento equivalente atuante no ponto O.
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Um momento de binário é um vetor 
livre e, consequentemente, causa o 
mesmo efeito rotacional em um corpo, 
independentemente de onde o 
momento de binário é aplicado ao 
corpo.
F1
F3
F2
Sistema de forças Fi
Translação
vertical
Translação
horizontal
Rotação
Efeitos
EQUILIBRIO DE UM CORPO RÍGIDO NO 
PLANO
Movimento ou 
tendência de 
movimento
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Para que um corpo rígido esteja em equilíbrio é necessário que a
soma vetorial de todas as força externas, assim como a soma
vetorial dos correspondentes momentos, sejam nulos.
70
Y
XO
Fx=0
MA=0
F1
F3 F2
• A
FY=0
Ponto qualquer
Fx componentes horizontais 
Fy componentes verticais
MA momentos em relação ao ponto A 
 CONDIÇÕES DE EQUILIBRIO NO PLANO
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A função dos vínculos (apoios) é a de restringir os
movimentos do corpo, provocando reações nas direções dos
movimentos impedidos.
1 - Apoio Móvel (rolete): Impede movimento em uma direção.
Representação:R
 Tipos de Apoios (plano):
VÍNCULOS E REAÇÕES
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2 – Articulação, Pino ou Rótulo: Impede movimento translação em duas direções.
V
H
Representação:
3 – Apoio Fixo ou Engastado: Impede os movimentos de translação e rotação.
H
M
Representação:
V
73
74
VIGA EM BALANÇO OU ENGASTADA
VIGA SIMPLESMENTE APOIADA
75
VIGA SIMPLESMENTE APOIADA COM BALANÇOS
VIGA ENGASTADA E APOIADA
As estruturas são classificadas em função do número de reações de
apoio ou vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita
a ser determinada. Conforme visto, para as estruturas planas, a
Estática fornece três equações fundamentais:
 Estruturas Hipostáticas:
Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de
apoio ou vínculos é inferior ao número de equações fornecidas pelas
condições de equilíbrio da Estática.
TIPOS DE ESTRUTURAS
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 Estruturas Isostáticas:
Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou
vínculos é igual ao número de equações fornecidas pelas condições de
equilíbrio da Estática.
 Estruturas Hiperestáticas
Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio
ou vínculos é superior ao número de equações fornecidas pelas
condições de equilíbrio da Estática.
77
O Diagrama de Corpo Livre (DCL) é uma representação do corpo 
(modelo) com as forças atuantes sobre ele.
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
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Diagrama Espacial: Um esboço 
mostrando condições físicas as do 
problema 
Diagrama de Corpo Livre: Um 
esboço mostrando apenas as 
forças que atuam sobre a 
partícula escolhida para 
análise. 
Real Esboço DCL
79
Análise de uma Plataforma:
21) O membro mostrado na Figura abaixo está conectado por 
um pino em A e apoia-se em um suporte liso em B. Determine 
as componentes horizontal e vertical da reação no ponto A
Exercícios:
80
22) A alavanca ABC é sustentada por um pino em A e
conectada a uma ligação curta BD, como mostrado na
figura abaixo. Se o peso dos membros é desprezado,
determine a força do pino sobre a alavanca em A.
81
EQUILIBRIO DE UM CORPO RÍGIDO NO ESPAÇO
82
Módulo de F
(intensidade)
Forma Vetorial
REPRESENTAÇÃO ESPACIAL DE UM VETOR
83
23) Determine as tensões nos cabos BC e BD e as reações na 
junta esférica A para o mastro mostrado abaixo.
EXERCÍCIOS
84
24) A barra AB mostrada na Figura abaixo está sujeita a uma 
força de 200N. Determine as reações na junta esférica A e a 
tensão nos cabos BD e BE.
85
MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM EIXO
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O momento de uma força em relação a um eixo é dado pelo 
produto triplo envolvendo um vetor unitário que define o eixo de 
interesse (μ) , um vetor posição (r) e o vetor força (F).
87
Se Ma é calculado como um escalar 
negativo, então o sentido da direção 
de Ma é oposto a μa.
r
λ
 r 




Vetor unitário ao longo do eixo aa´
25) A força F = - 40i + 20j + 10k atua no ponto A mostrado na 
figura abaixo. Determine os momentos dessa força em relação 
aos eixos x e a 
EXERCÍCIOS
88