Aula Vigas José Lucas

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Universidade Federal do Paraná 
Departamento de Contrução Civil 
Professor José Lucas Sobral Marques
14/08/2017
1
VIGAS
Prof.º Msc José Lucas Sobral Marques
Profº Dr. Elvidio Gavassoni Neto
VIGAS
Prof.º Msc José Lucas Sobral Marques
Profº Dr. Elvidio Gavassoni Neto
SETOR DE TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL
1
Definição:
Barras retas dispostas seqüencialmente 
solicitadas no seu próprio plano
Eixo
Carregamento
INTRODUÇÃO
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2
Barras de múltiplas forças (mais que duas)
Eixo
Forças ou momentos 
intermediários
INTRODUÇÃO
Para se poder dimensionar uma estrutura é necessário que se 
conheçam os esforços internos atuando na mesma, para verificar se o 
material utilizados os suporta.
O QUE SÃO ESFORÇOS INTERNOS?
QUAIS SÃO OS ESFORÇOS INTERNOS?
INTRODUÇÃO
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3
Esforço Normal: ds
INTRODUÇÃO
dsEsforço Cortante:
INTRODUÇÃO
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4
dsMomento Fletor:
+
-
Tração fibra inferior
Tração fibra superior
INTRODUÇÃO
http://www.allposters.com
Os esforços internos são uma função da posição, x, 
da seção de uma viga.
INTRODUÇÃO
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5
Quanto à Lei de formação:
1. Simples
2. Compostas (Vigas Gerber)
INTRODUÇÃO
Simples – biapoiada
http://www.peyrani.org
INTRODUÇÃO
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Simples – Engastada e livre
http://static.guim.co.uk
INTRODUÇÃO
Simples – Viga com balanço
vão balanço
INTRODUÇÃO
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Simples – Contínua
littleletterstolondon.blogspot.com
INTRODUÇÃO
Compostas - Gerber
Sussekind, 1981
INTRODUÇÃO
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Vigas Gerber
São estruturas estaticamente determinadas, constituídas de 
associação de vigas simples, com e sem balanço, obtidos a 
partir de uma viga contínua, pela articulação para torná-la 
isostática.
Fonte: www.tocnotícias.com.br
INTRODUÇÃO
Vigas Gerber
Qual a utilização?
Quando se deseja evitar esforços adicionais provenientes de 
recalques diferenciais dos apoios, variação térmica, retração, 
razões construtivas, etc.
Desvantagens:
Problemas que podem ocorrer na articulação  desgastes 
devido deslocamento contínuo da estrutura, infiltração, 
dificuldade de manutenção.
INTRODUÇÃO
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Classificação quanto a estaticidade:
Isostática
vão balanço
3 reações de apoio
3 equações de equilíbrio
INTRODUÇÃO
Classificação quanto a estaticidade:
Hiperestática
4 reações de apoio
3 equações de equilíbrio
INTRODUÇÃO
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A
VA
HA
HB
Hipoestática
INTRODUÇÃO
A
VA VC VEVD
B C D E
Hipoestática
INTRODUÇÃO
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• O modelo estrutural representa o isolamento de uma 
estrutura em relação ao meio externo.
• Assim sendo, as cargas externas devem estar em equilíbrio 
com as reações de apoio!
Equilíbrio estático:
෍ 𝐹ு = 0
෍ 𝐹௏ = 0
෍ 𝑀ை = 0
INTRODUÇÃO
• Para se dimensionar uma estrutura é necessário se conhecer 
os esforços internos nela atuando para verificar se o material 
utilizado os suporta.
• Esses esforços internos podem ser calculados pelo método 
das seções.
INTRODUÇÃO
Esforço normal
Esforço corte
Momento fletor
Momento torcedor
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• Se eu tenho uma viga carregada e quero saber os esforços em B.
INTRODUÇÃO
• Faço uma seção imaginária a-a perpendicular ao eixo da viga, 
passando pelo ponto B.
• A estrutura precisa estar em equilíbrio:
– Não pode haver translação ou rotação relativa entre as duas 
partes da viga.
INTRODUÇÃO
• Como a estrutura precisa estar em equilíbrio eu faço o equilíbrio 
em algum dos membros da viga, melhor usar aquele que não 
precisa calcular as reações de apoio. 
∑ 𝐹ு = 0  Nb
∑ 𝐹௏ = 0  Vb
∑ 𝑀ை = 0Mb
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INTRODUÇÃO
• Numa análise 3D não serão apenas 3 resultantes da força:
– 1 resultante normal
– 2 resultantes de esforço cortante
– 2 componentes de momento fletor
– 1 componente de momento torcedor
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EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA 
ESTÁTICA
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REVISÃO ÚLTIMA AULA
27
• Esforço interno de flexão
28
• Esforço interno de cisalhamento
REVISÃO ÚLTIMA AULA
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29
• Método das seções
Como a estrutura precisa estar em equilíbrio 
eu faço o equilíbrio em algum dos membros da 
viga, melhor usar aquele que não precisa 
calcular as reações de apoio. 
Se eu quero calcular os esforço no ponto B, 
faço uma seção imaginária a-a perpendicular 
ao eixo da viga, passando pelo ponto B.
REVISÃO ÚLTIMA AULA
30
• Método das seções
∑ 𝐹ு = 0 para determiner esforço normal
∑ 𝐹௏ = 0 para determinar esforço cortante
∑ 𝑀ை = 0 para determinar momento fletor
REVISÃO ÚLTIMA AULA
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31
෍ 𝐹௫ = 0 → 𝑑𝑁 + 𝑞 𝑥 = 0 → 
𝑑𝑁
𝑑𝑥
= −𝑝(𝑥)
෍ 𝐹௬ = 0 → 𝑄 − 𝑄 − 𝑑𝑄 + 𝑞 𝑥 ȉ 𝑑𝑥 = 0 → 
𝑑𝑄
𝑑𝑥
= 𝑞(𝑥)
෍ 𝑀௢ = 0 → −𝑀 + 𝑀 + 𝑑𝑀 − 𝑄 + 𝑑𝑄 ȉ 𝑑𝑥 + 𝑞 𝑥 ȉ
𝑑𝑥ଶ
2
= 0 → 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑄 𝑥
→ 
𝑑ଶ𝑀
𝑑𝑥ଶ
= 𝑞(𝑥)
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA 
ESTÁTICA
32
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= 0 → 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜, 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
→ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎, é 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
f(x)
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA 
ESTÁTICA
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Inclinação do diagrama de forças cortantes é igual a intensidade da carga distribuída
33
෍ 𝐹௬ = 0 → 𝑄 − 𝑄 − 𝑑𝑄 + 𝑞 𝑥 ȉ 𝑑𝑥 = 0 → 
𝑑𝑄
𝑑𝑥
= 𝑞(𝑥)
∆𝑄 = 𝑞 𝑥 ȉ 𝑑𝑥 → ∆𝑄
= න 𝑞 𝑥 ȉ 𝑑𝑥
Variação do esforço cortante é igual a área sob a curva de carregamento
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA 
ESTÁTICA
34
෍ 𝑀௢ = 0 → −𝑀 + 𝑀 + 𝑑𝑀 − 𝑄 + 𝑑𝑄 ȉ 𝑑𝑥 + 𝑞 𝑥 ȉ
𝑑𝑥ଶ
2
= 0 → 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑄 𝑥
Inclinaçãodo diagrama de momento fletor é igual a força cortante
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 0 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
∆𝑀 = 𝑄 ȉ 𝑑𝑥 → ∆𝑀 = න 𝑄 ȉ 𝑑𝑥
Variação do momento fletor é a área sob o diagrama de esforço cortante
Essas relações não valem para pontos em que estejam aplicados forças ou 
momentos de binário concentrados.
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA 
ESTÁTICA
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EQUAÇÕES DE CORTANTE E 
MOMENTO
• Vigas são membros estruturais projetos para suportar cargas aplicadas 
perpendiculares ao seu próprio eixo;
• Geralmente são classificadas de acordo com são apoiadas:
35
Simples biapoiadas Simples engastada e livre Simples com balanço
Simples contínuas Compostas - Gerber
• Para o correto dimensionamento é preciso ter o conhecimento 
detalhada da variação do esforço cortante e da força normal, ou seja, 
saber seus valores em cada ponto da estrutura.
• Pode-se obter esse variação utilizando o método das seções, deixando 
os valore de V e M em função da distância “x” da seção de análise a 
um dos apoios.
• Com essa metodologia obteremos umas equação para cada 
um dos esforços, função da distância “x”;
• Essas equações podem ter descontinuidades em pontos onde 
são aplicadas cargas pontuais ou pontos onde a carga 
distribuída varia ou onde haja momentos aplicados;
36
EQUAÇÕES DE CORTANTE E 
MOMENTO
As funções precisam ser determinadas para cada seguimentos 
das viga, situado entre duas descontinuidades.
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• Procedimento de análise:
1. Calcular as reações de apoio;
2. Escrever as funções de esforço cortante e 
momento fletor;
3. Obter os diagramas de esforço cortante e 
momento fletor.
37
EQUAÇÕES DE CORTANTE E 
MOMENTO
38
CÁLCULO ESFORÇOS 
CORTANTES
Trecho A𝐶 → 60 0 < 𝑥 < 4
Trecho 𝐶𝐷 → 10 4 < 𝑥 < 8
Trecho 𝐷𝐸 → −20 8 < 𝑥 < 11
Trecho 𝐸𝐵 → −110 11 < 𝑥 < 13
න 𝑄𝑑𝑥
௟
଴
= 0 → 60 ȉ 4 + 10 ȉ 4 − 20 ȉ 3 − 110 ȉ 2 = 0
𝐻஺
𝑉஺ = 60 𝑘𝑁 𝑉஻ = 110 𝑘𝑁
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𝐻஺
𝑉஺ = 60 𝑘𝑁 𝑉஻ = 110 𝑘𝑁
Trecho A𝐶 → 60 ȉ 𝑥 0 < 𝑥 < 4
Trecho 𝐶𝐷 → 60 ȉ 𝑥 − 50 ȉ 𝑥 − 4 4 < 𝑥 < 8
Trecho 𝐷𝐸 → 60 ȉ 𝑥 − 50 ȉ 𝑥 − 4 − 30 ȉ 𝑥 − 8 8 < 𝑥 < 11
Trecho 𝐸𝐵 → 60 ȉ 𝑥 − 50 ȉ 𝑥 − 4 − 30 ȉ 𝑥 − 8 − 90 𝑥 − 11 11 < 𝑥 < 13
CÁLCULO MOMENTOS 
FLETORES
EXEMPLOS DE APLICÃÇÃO
40
Fonte: www.metélica.com.br
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Viga biapoiada com carga concentrada no meio do vão
VIGA BIAPOIADA
VIGA BIAPOIADA
Viga biapoiada com carga concentrada no meio do vão
1. Reações de apoio
෍ 𝐹ு = 0 → 𝐻஺ = 0෍ 𝐹௩ = 0 → 𝑉஺ + 𝑉஻ = 𝑃
෍ 𝑀஺ = 0 → 𝑉௕ ȉ 𝑙 − 𝑃 ȉ
𝑙
2
= 0 ∴ 𝑉஻ =
𝑃
2
 𝑒 𝑉஺ =
𝑃
2
2. Equações do esforço cortante
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐶 → 𝑄 = 𝑉஺ ∴ 𝑄 =
𝑃
2+
𝑃
2
−
𝑃
2 𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐶𝐵 → 𝑄 = 𝑉஺ − 𝑃 ∴ 𝑄 = −
𝑃
2
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VIGA BIAPOIADA
Viga biapoiada com carga concentrada no meio do vão
3. Equação do momento fletor
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐶 → 𝑀 = 𝑉஺ ȉ 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙
𝑃 ȉ 𝑙
4
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 → 𝑀 = 0
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑙 → 𝑀 =
𝑃
2
ȉ
𝑙
2
 ∴ 𝑀 =
𝑃 ȉ 𝑙
4
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐶𝐵 → 𝑀 = 𝑉஺ ȉ 𝑥 − 𝑃 𝑥 −
𝑙
2
 
𝑙
2
≤ 𝑥 ≤ 𝑙
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 =
𝑙
2
→ 𝑀 =
𝑃
2
ȉ
𝑙
2
− 𝑃
𝑙
2
−
𝑙
2
 ∴ 𝑀 =
𝑃 ȉ 𝑙
4
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑙 → 𝑀 =
𝑃
2
ȉ 𝑙 − 𝑃 𝑙 −
𝑙
2
 ∴ 𝑀 = 0
44
1. Reações de apoio
෍ 𝐹ு = 0 → 𝐻஺ = 0෍ 𝐹௩ = 0 → 𝑉஺ + 𝑉஻ = 𝑃
෍ 𝑀஺ = 0 → 𝑉௕ ȉ 𝑙 − 𝑃 ȉ 𝑎 = 0 ∴ 𝑉஻ =
𝑃 ȉ 𝑎
𝑙
 𝑒 𝑉஺ =
𝑃 ȉ 𝑏
𝑙
2. Equações do esforço cortante
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐶 → 𝑄 = 𝑉஺ ∴ 𝑄 =
𝑃 ȉ 𝑏
𝑙
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐶𝐵 → 𝑄 = 𝑉஺ − 𝑃 ∴ 𝑄 = −
𝑃 ȉ 𝑎
𝑙
Viga biapoiada com carga concentrada não no meio do vão
VIGA BIAPOIADA
+𝑃𝑏
𝑙
−𝑃𝑎
𝑙
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23
45
3. Equação do momento fletor
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐶 → 𝑀 = 𝑉஺ ȉ 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 → 𝑀 = 0
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑎 → 𝑀 =
𝑃 ȉ 𝑏
𝑙
ȉ 𝑎 ∴ 𝑀 =
𝑃 ȉ 𝑎 ȉ 𝑏
𝑙
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐶𝐵 → 𝑀 = 𝑉஺ ȉ 𝑥 − 𝑃 𝑥 − 𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑎 → 𝑀 =
𝑃 ȉ 𝑏
𝑙
ȉ 𝑎 − 𝑃 𝑎 − 𝑎 ∴ 𝑀 =
𝑃 ȉ 𝑎 ȉ 𝑏
𝑙
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑙 → 𝑀 =
𝑃 ȉ 𝑏
𝑙
ȉ 𝑙 − 𝑃 𝑙 − 𝑎 ∴ 𝑀 = 0
Viga biapoiada com carga concentrada não no meio do vão
VIGA BIAPOIADA
+𝑃𝑎𝑏
𝑙
Na seção onde está aplicada a carga, o cortante não é
definido, existe uma descontinuidade;
O valor desta descontinuidade é igual a carga;
Na seção onde está aplicada a carga, o diagrama de
momento possui um ponto anguloso;
Diagramas de esforços internos são representações
gráficas onde os esforços são traçados perpendiculares ao
eixo da estrutura.
VIGA BIAPOIADA
Viga biapoiada com carga concentrada:
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Carga Distribuída Uniforme – peso próprio de viga de 
seção constante
VIGA BIAPOIADA
Carga Distribuída Uniforme – peso alvenaria
residencialespelhodasaguas.com.br
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Viga biapoiada com carga distribuída uniforme
1. Reações de apoio
෍ 𝐹ு = 0 → 𝐻஺ = 0෍ 𝐹௩ = 0 → 𝑉஺ + 𝑉஻ = 𝑝𝑙
෍ 𝑀஺ = 0 → 𝑉௕ ȉ 𝑙 − 𝑝 ȉ 𝑙 ȉ
𝑙
2
= 0 ∴ 𝑉஻ =
𝑝 ȉ 𝑙
2
 𝑒 𝑉஺ =
𝑝 ȉ 𝑙
2
2. Equações do esforço cortante
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐵 → 𝑄 = 𝑉஺ − 𝑝 ȉ 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 =
𝑙
2
→ 𝑄 = 0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 → 𝑄 =
𝑝𝑙
2
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑙 → 𝑄 = −
𝑝𝑙
2
+𝑃𝑙
2
−𝑃𝑙
2
VIGA BIAPOIADA
50
3. Equações do momento fletor
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐵 → 𝑀 = 𝑉஺ ȉ 𝑥 − 𝑝𝑥 ȉ
𝑥
2
 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 =
𝑙
2
→ 𝑄 =
𝑝𝑙ଶ
8
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 → 𝑀 = 0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑙 → 𝑄 = 0
Viga biapoiada com carga distribuída uniforme
+𝑝𝑙ଶ
8
VIGA BIAPOIADA
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• Dicas para o traçado do diagrama de momento fletor.
51
Viga biapoiada com carga distribuída uniforme
1. MMଵ =
୯୪మ
଼
2. Marcamos MଵMଶ
3. Criamos AMଶ e BMଶ
4. Dividimos AMଶ e BMଶ em quatro 
partes iguais, cada uma.
5. Obtemos pontos I, II, III, IV, V e VI
6. Criamos IVI , IIV e IIIIV
Dessa forma os pontos em vermelho são pontos da 
parábola. Se for necessário aumentar a precisão 
basta dividir AMଶ e BMଶ em 8, 16, .... partes ao 
invés de 4, repetindo o mesmo traçado.
VIGA BIAPOIADA
Carga Distribuída Triangular
http://indac.org.br
VIGA BIAPOIADA
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VIGA BIAPOIADA
Carga Distribuída Triangular
Viga biapoiada com carga distribuída triangular
1. Reaçõesde apoio
෍ 𝐹ு = 0 → 𝐻஺ = 0෍ 𝐹௩ = 0 → 𝑉஺ + 𝑉஻ =
𝑝𝑙 
2
෍ 𝑀஺ = 0 → 𝑉௕ ȉ 𝑙 −
𝑝𝑙
2
ȉ
2𝑙
3
= 0 ∴ 𝑉஻ =
𝑝 ȉ 𝑙
3
 𝑒 𝑉஺ =
𝑝 ȉ 𝑙
6
2. Equações do esforço cortante
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐵 → 𝑄 = 𝑉஺ −
𝑝𝑥
𝑙
ȉ
𝑥
2
=
𝑝𝑙
6
−
𝑝𝑥ଶ
2𝑙
 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 → 𝑄 =
𝑝𝑙
6
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑙 → 𝑄 = −
𝑝𝑙
3
Para achar o ponto onde 𝑄 = 0 basta igualar a
equação a zero
+𝑝𝑙
6
−𝑝𝑙
3
𝑙
3ൗ
VIGA BIAPOIADA
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28
Viga biapoiada com carga distribuída triangular
3. Equações do momento fletor
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐵 → 𝑀 = 𝑉஺ ȉ 𝑥 −
𝑝𝑥ଶ
2𝑙
ȉ
𝑥
3
 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 0 → 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 → 𝑀 = 0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑙 → 𝑄 = 0
∴ 𝑀 =
𝑝𝑙
6
ȉ 𝑥 −
𝑝𝑥ଷ
6𝑙
 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙
Momento é máximo quando x = ௟
ଷ
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 =
𝑙
3
 → 𝑄 = 0,064𝑝𝑙ଶ
𝑙
3ൗ
0,064𝑝𝑙ଶ
VIGA BIAPOIADA
h1
h
1
h2 h2
Halsttat, AT
Peso próprio de mísulas – vigas com seção variável
x
VIGA BIAPOIADA
Viga biapoiada com carga distribuída trapezoidal
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Princípio da Superposição dos Efeitos!
Viga biapoiada com carga distribuída trapezoidal
VIGA BIAPOIADA
http://blogeberickv8.altoqi.com.br
P1 P2
a b P1 + P2
(a+b)P1 + bP2
Viga biapoiada com carga momento
VIGA BIAPOIADA
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30
1. Reações de apoio
෍ 𝐹ு = 0 → 𝐻஺ = 0
෍ 𝐹௩ = 0 → 𝑉஺ + 𝑉஻ = 0 ∴ 𝑉஺ =
𝑀
𝑙
෍ 𝑀஺ = 0 → 𝑉௕ ȉ 𝑙 − 𝑀 = 0 ∴ 𝑉஻ =
𝑀
𝑙
2. Equações do esforço cortante
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐵 → 𝑄 = 𝑉஺ ∴ 𝑄 = −
𝑀
𝑙
Viga biapoiada com carga momento
−𝑀
𝑙
VIGA BIAPOIADA
3. Equação do momento fletor
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐶 → 𝑀 = 𝑉஺ ȉ 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑎 → 𝑀 = −
𝑀
𝑙
ȉ 𝑎 
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐶𝐵 → 𝑀 = 𝑉஺ ȉ 𝑥 − 𝑀 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑙 → 𝑀 =
𝑀
𝑙
ȉ 𝑏
Viga biapoiada com carga momento
−𝑀𝑎
𝑙
−𝑀𝑏
𝑙
VIGA BIAPOIADA
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Prof. Gavassoni
Viga biapoiada com carga inclinada
VIGA BIAPOIADA
𝑃𝑠𝑒𝑛𝛼 ȉ 𝑎𝑏
𝑙
𝑃𝑠𝑒𝑛𝛼 ȉ 𝑏
𝑙
−𝑃𝑠𝑒𝑛𝛼 ȉ 𝑎
𝑙
+𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑧𝑒𝑟𝑜Diagrama Q
Diagrama M
Diagrama N
VIGA BIAPOIADA
Viga biapoiada com carga inclinada
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63
Viga engastada e livre
Surge momento reativo no apoio
VIGA ENGASTADA 
E LIVRE
1. Reações de apoio
෍ 𝐹௩ = 0 → 𝑉஺ = 𝑞𝑙 + 𝑃 → 𝑉஺ = 160 kN
෍ 𝑀஺ = 𝑀 → −30 ȉ 4 ȉ
4
2
− 40 ȉ 2 = 𝑀 ∴ 𝑀 = −320 𝑘𝑁. 𝑚
2. Equações do esforço cortante
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐶𝐵 → 𝑄 = 30 ȉ 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 → 𝑄 = 60 𝑘𝑁
𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐶
M
𝑉஺
𝐻஺
C
C
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐶 → 𝑄 = 30 ȉ 𝑥 + 40 2 ≤ 𝑥 ≤ 4
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 → 𝑄 = 100 𝑘𝑁
𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐶
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 4 → 𝑄 = 160 𝑘𝑁
160 100
60
VIGA ENGASTADA 
E LIVRE
Viga engastada e livre
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C
C
3. Equações do momento fletor
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐶𝐵 → 𝑀 = −30 ȉ 𝑥 ȉ
𝑥
2
 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 → 𝑀 = −60 𝑘𝑁. 𝑚
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐵𝐶 → 𝑀 = −30 ȉ 𝑥 ȉ
𝑥
2
− 40 ȉ (𝑋 − 2) 2 ≤ 𝑥 ≤ 4
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 4 → 𝑀 = −320 𝑘𝑁. 𝑚
−320
−60
VIGA ENGASTADA 
E LIVRE
Viga engastada e livre
66
−320
−60
𝑞𝑙ଶ
8
= 15
𝑞𝑙ଶ
8
= 15
VIGA ENGASTADA 
E LIVRE
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34
vãobalanço
http://img356.imageshack.us
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COM BALANÇO
68
1. Reações de apoio
෍ 𝐹௩ = 0 → 𝑉஺ + 𝑉஻ = 10 ȉ 2 + 20 ȉ 4 + 10 ȉ 2 + 20 = 140 kN
෍ 𝑀஻ = 0 → −10 ȉ 2 ȉ 1 − 𝑉஼ ȉ 4 + 20 ȉ 4 ȉ 2 + 10 ȉ 2 ȉ 5 + 20 ȉ 6 = 0 ∴ 𝑉஼ = 90𝑘𝑁
∴ 𝑉஻ = 50𝑘𝑁
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35
69
2. Equações do esforço cortante
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐵 → 𝑄 = −10 ȉ 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 → 𝑄 = −20 𝑘𝑁
𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐵
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐵𝐶 → 𝑄 = −10 ȉ 2 + 𝑉஺ − 20 𝑥 − 2 2 ≤ 𝑥 ≤ 6
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 → 𝑄 = +30 𝑘𝑁
𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐵
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 6 → 𝑄 = −50 𝑘𝑁
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐵𝐶 → 𝑄 = −10 ȉ 2 + 𝑉஺ − 20 ȉ 4 + 𝑉஼ − 10 ȉ (𝑥 − 6) 6 ≤ 𝑥 ≤ 8
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 6 → 𝑄 = +40 𝑘𝑁
𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐶
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 8 → 𝑄 = +20 𝑘𝑁
VIGA BIAPOIADA 
COM BALANÇO
70
3. Equações do momento fletor
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐵 → 𝑀 = −10 ȉ 𝑥 ȉ
𝑥
2
 
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 → 𝑀 = −20 𝑘𝑁. 𝑚
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐵𝐶 → 𝑀 = −20 ȉ 𝑥 − 1 + 𝑉஺ ȉ 𝑥 − 2 − 20 ȉ 𝑥 − 2 ȉ
𝑥 − 2
2
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 6 → 𝑀 = −60 𝑘𝑁. 𝑚
𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐵𝐶 → 𝑀 = −20 ȉ 𝑥 − 1 + 𝑉஺ ȉ 𝑥 − 2 + 𝑉஼ ȉ 𝑥 − 6 − 80 ȉ 𝑥 − 4 − 10 ȉ 𝑥 − 6 ȉ
𝑥 − 6
2
6 ≤ 𝑥 ≤ 8
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 8 → 𝑀 = 0 𝑘𝑁. 𝑚’
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
2 ≤ 𝑥 ≤ 6
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COM BALANÇO
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71
−20
+30
+40
−50
+20
Momento é máximo quando ௗெ
ௗ௫
= 0 → quando 𝑥 = 3,5 𝑚
Diagrama de esforço cortante
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COM BALANÇO
72
Momento é máximo quando ௗெ
ௗ௫
= 0 → quando 𝑥 = 3,5 𝑚
Diagrama de momento fletor
−20
−60
𝑞𝑙ଶ
8
= 5
𝑞𝑙ଶ
8
= 5 𝑞𝑙ଶ
8
= 40
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COM BALANÇO
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• Os trechos AB e CD podem ser encarados como vigas engastadas e livres, 
sendo a obtenção dos diagramas de esforço cortante e momento fletor
imediata.
• O trecho BC pode ser avaliado como uma viga biapoiada. A viga é “rompida” a 
esquerda de B e a direita de C, sendo necessário a transferência dos 
carregamentos atuantes em casa um dos trechos “rompidos” à estrutura 
restante. Dessa maneira, do ponto de vista estático, nada será alterado.
73
VIGA BIAPOIADA 
COM BALANÇO
74
CASO GERAL DE 
CARREGAMENTO
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38
CURIOSIDADES
• A seguir serão apresentadas algumas curiosidades.
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P=ql
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Cortantes Máximos
ENGASTE = 2X APOIADA
DISTRIBUÍDA = CONCENTRADAVIGA BIAPOIADA
Momento fletor 
máximo
ENGASTE = 4X APOIADA
2xDISTRIBUÍDA = CONCENTRADA
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