Capítulo 6

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Capítulo VI – Dimensionamento à Cortante 
 
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VI.1 INTRODUÇÃO 
VI.1.1 - Classificação das Solicitações 
 
 A ação dos diversos carregamentos sobre o modelo estrutural definido resulta no 
conhecimento das solicitações para cada uma das diversas seções que a ele pertencem. 
Podem ser classificadas em: 
 
 Solicitações normais: Flexão e Normal (de tração ou de compressão); 
 Solicitações tangenciais: Cortante e Torção. 
 
 No caso específico do Concreto Armado, o dimensionamento da solicitação 
normal de flexão, como já apreciado no módulo II, é conduzido com base em modelo 
físico-matemático construído a partir do estudo do comportamento de uma seção isolada 
do restante do elemento estrutural. 
 
 
 
Figura 1 - Solicitações Normais: Seções Isoladas 
Construção dos Modelos de Dimensionamento na Seção 
 
 Em módulo próximo será visto que o mesmo procedimento de isolamento da 
seção servirá de suporte para o dimensionamento de elementos submetidos às 
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solicitações normais de tração/compressão e também à flexão composta reta ou 
oblíqua, de fundamental importância no estudo de pilares, colunas estacas e outros 
elementos flexo-comprimidos. 
 A construção de modelo de dimensionamento para solicitações tangenciais de 
cortante e torção não pode mais ser feita com base no estudo de seções isoladas. 
 Em face da maior complexidade de funcionamento do elemento estrutural, para 
este grupo de solicitações, se faz necessário que os modelos de dimensionamento 
sejam construídos a partir da análise e do entendimento do elemento estrutural em sua 
totalidade. 
 
 
Figura 2 - Solicitações Tangenciais: Cortante e Torção 
Construção dos Modelos de Dimensionamento no Elemento 
 
VI.1.2 – Abrangência Inicial do Estudo de Solicitações Tangenciais 
 
 Os elementos estruturais podem ser simplificadamente classificados em função 
da relação entre suas dimensões D1, D2 e D3, de forma que: 
 
 D1>>D2D3: Elementos unidimensionais – comprimento é bem superior à largura 
e à altura, que se equivalem. Ex.: vigas, pilares, etc. 
 
 D1D2>>D3: Elementos bidimensionais – o comprimento e a largura são bem 
superiores à espessura. Ex.: lajes, vigas-parede, etc. 
 
 D1D2D3: Elementos tridimensionais – o comprimento, a largura e a altura são 
equivalentes. Ex.: consoles, blocos de fundação, etc. 
 No caso dos elementos bidimensionais a classificação deve ainda ser 
complementada diante do plano de ação de seus principais carregamentos, além da sua 
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geometria. Como exemplo, pode-se registrar a diferença entre lajes, elementos 
bidimensionais cujos principais carregamentos atuam na direção normal ao seu plano, 
enquanto vigas-parede, que também são elementos bidimensionais, têm carregamentos 
atuantes em seu próprio plano. 
 O desenvolvimento didático impõe que a abordagem do tema seja focada, 
inicialmente, em elementos lineares (vigas). O dimensionamento e detalhamento de 
elementos lineares bidimensionais serão estudados posteriormente. 
A ruptura por efeito dos esforços cisalhantes é iniciada após o surgimento de 
fissuras inclinadas, causadas pela combinação de força cortante, momento fletor e 
possíveis forças axiais. 
VI.2 A FUNÇÃO da ARMADURA TRANSVERSAL 
VI.2.1 – A Abertura de Fissuras e a Armadura Transversal 
 
 Com base na Mecânica dos Sólidos e na Teoria da Elasticidade, sabe-se que 
uma viga submetida a momentos fletores constantes não apresentam esforço cortante, 
havendo somente a ação de tensões normais () nas seções. A Eq (6.1) demonstra tal 
efeito: 
0C
dx
dM
V te  (6.1) 
 A Figura 3 mostra uma viga biapoiada submetida a duas cargas concentradas de 
baixa intensidade, equidistantes dos apoios. Na região central, entre as cargas, há 
somente flexão pura, não existindo esforços cortantes. A viga é composta por uma 
armadura longitudinal inferior de flexão, superior de montagem e estribos a 90º 
distribuídos ao longo do seu comprimento. 
 Observam-se as trajetórias das tensões principais de compressão e de tração da 
viga ainda não fissurada (estádio I). Na região de flexão pura, estas trajetórias são 
paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nas extremidades da viga, estas trajetórias são 
inclinadas devido à presença dos esforços cortantes que geram as tensões cisalhantes. 
Nota-se que estas trajetórias são perpendiculares entre si. 
 Faz-se o diagrama de deformações e tensões da seção a-a, podendo estas 
serem calculadas pela equação da Lei de Hooke (Eq.6.2): 
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 E (6.2) 
onde: 
 E é o módulo de elasticidade do concreto; 
  é a tensão normal de compressão ou tração; 
 c é deformação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Tensões Principais no Estádio I 
Observa-se ainda na Figura 3 que: 
c é a tensão normal de compressão no concreto; 
s é a tensão normal de tração na armadura longitudinal; 
DEQ 
DMF 
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c é deformação de encurtamento no concreto; 
s é deformação de alongamento na armadura longitudinal tracionada; 
fct,f é a resistência à tração na flexão no concreto. 
 Aumentando-se a intensidade das forças aplicadas, podem surgir as primeiras 
fissuras de flexão no trecho central da viga, caso as tensões normais de tração 
ultrapassem a tensão de tração limite do concreto (fct,f), passando do Estádio I para o 
Estádio II, conforme pode ser visto na Figura 4. 
 
Figura 4 – Tensões Principais no Estádio I e II 
 Crescendo ainda mais o valor das cargas concentradas, as fissuras de flexão se 
acentuam e surgem as fissuras devidas ao cisalhamento nas extremidades da viga, 
próximas ao apoio, onde os momentos fletores são quase inexistentes (Figura 5). Na 
região do quarto de vão, as fissuras são devidas à flexão e ao cisalhamento. 
 
Figura 5 – Quadro fissuratório no Estádio II 
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 A Figura 6 indica as trajetórias de tensões principais para o carregamento 
uniforme atuando sobre viga de material homogêneo, equivalente ao concreto armado 
solicitado a carregamentos ainda reduzidos com a peça trabalhando ainda no Estádio I, 
isto é, com concreto submetido a tensões abaixo de sua resistênciaà tração. 
 
Figura 6 – Tensões Principais no Estádio I 
Na LN as tensões principais 1 e 2 estão inclinadas a 45º em relação ao eixo da 
viga. Outros estados de tensão, como por exemplo, aqueles dispostos segundo os 
eixos x-y, podem ser representados, definindo as tensões normais x e y e as tensões 
tangenciais xy e yx. 
 
Conhecer as trajetórias das tensões principais é importante para posicionar 
corretamente as armaduras de tração e conhecer a direção das bielas de compressão. 
 
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 As fissuras de cortante, inclinadas, indicadas na Figura 8, formam-se a partir do 
momento que as tensões de tração no concreto ultrapassam sua resistência fct e se 
abrem na direção da trajetória de tensões trativas, sendo sempre perpendiculares à 
direção da tensão principal de tração. As tensões principais de tração 1 devem ser 
resistidas por uma armadura de cisalhamento que atravesse as fissuras. As tensões 
principais de compressão 2 são resistidas pelo concreto comprimido, localizado entre 
as fissuras (bielas de compressão). 
 
 
Figura 8 – Inclinação das Fissuras nos Estádios II e III 
 
 A amplificação da abertura das fissuras indicadas nas figuras anteriores tende a 
partir a viga em dois corpos. A disposição da armadura transversal, indicada nas Figuras 
9 e 10, impede a evolução e restringe a abertura destas fissuras. 
 O natural é dispor a armadura sempre na direção principal de tração, 
perpendicular à fissura, conforme mostra a Figura 9. Por isso, a armadura transversal, 
que combate as fissuras devido ao cisalhamento, era disposta, em princípio, a 45º e a 
armadura de flexão, que combate as fissuras de flexão, é colocada horizontalmente. 
Devido a aspectos construtivos, a armadura para combater o cisalhamento é montada 
a 90º, conforme indicado na Figura 10. 
 
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Figura 9 – Disposição dos Estribos na Direção das Trajetórias de Tração 
 
 
 
Figura 10 – Disposições dos Estribos Verticais 
A armadura de flexão ancorada junto aos apoios exerce também função 
importante, ainda que de ordem secundária. 
abertura de fissuras 
controlada por estribos 
abertura de fissuras 
controlada por estribos 
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Figura 11 – A Função da Armadura Transversal 
 
 Na atualidade, a técnica de armar fica praticamente restrita a disposição acima. 
 
VI.3 OS ENSAIOS MONITORADOS 
VI.3.1 – Os Ensaios Solicitados a Cortante em Elementos Lineares 
 
 A formação de um modelo de dimensionamento para elementos submetidos a 
cortantes tem também como ponto de partida a realização de ensaios instrumentados 
para aquisição de dados. 
 Os ensaios de Sttutgart, nos quais vigas de concreto armado são rompidas e 
monitoradas do início do carregamento até seu colapso final, foram descritos nos 
estudos de dimensionamento à flexão que conduziram às conclusões sobre Estádios e 
binário interno resistente. 
 Estes ensaios podem ser reorientados em seus objetivos, de forma que as peças 
não atinjam o colapso por flexão e sim por cortante. São realizados em vigas isostáticas 
simplesmente apoiadas, de concreto armado, submetidas à ação de duas cargas 
concentradas crescentes e equidistantes em relação à linha de simetria do elemento 
conforme indicado na Figura 12. 
 
Figura 12 – Viga Ensaiada: Cargas Concentradas e Estribos Verticais 
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 As peças são armadas com armadura longitudinal de flexão no bordo tracionado 
e armadura transversal para cortante, constituída por estribos verticais. 
 Os ensaios são inteiramente monitorados a partir de instante inicial de aplicação 
das cargas concentradas, que, com intensidade crescente, levam gradativamente as 
peças ao colapso final, caracterizado por suas ruínas. 
 Ajustando-se as dimensões da seção das vigas e a quantidade da armação 
transversal. 
Pode-se também desdobrar a ruptura por cortante nas formas em que esta pode 
ocorrer: 
1. Ruptura pelo alongamento excessivo do aço da armadura transversal. 
2. Ruptura pelo esmagamento do concreto na região da biela comprimida. 
 
As Figuras 13 e 14 indicam, respectivamente, as configurações finais das vigas 
ensaiadas, rompidas pelo aço tracionado e pelo esmagamento do concreto comprimido. 
O quadro fissuratório, com distribuição, inclinação e abertura de fissuras, embora 
distinto para cada caso anterior, mantém como ponto comum a inclinação das fissuras 
na medida em que estas se afastam da região central da peça, onde a flexão é máxima 
e o cortante é mínimo. 
 
 
 
 
Figura 13 – Quadro na Ruptura por Cortante: 
Alongamento Excessivo do Aço dos Estribos 
 
 
Alongamento excessivo da armadura de cortante 
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Figura 14 – Quadro na Ruptura por Cortante: 
Esmagamento do Concreto 
VI.3.2 – A Configuração das Tensões Segundo os Ensaios a Cortante 
 
 A aquisição e processamento de dados durante os ensaios oferecem uma 
visualização do comportamento estrutural da peça e do seu fluxo de tensões internas, 
em especial nos momentos que precedem o colapso final e ruína do elemento. 
 
 Tanto na ruptura pelo aço tracionado como na que se dá pelo concreto 
comprimido, representada, respectivamente, pelas Figuras 13 e 14, pode-se observar o 
comportamento integral da peça, configurado na Figura 15 e a seguir descrito: 
 
 
Figura 15 – Quadro na Ruptura por Cortante: Alongamento do Aço 
 
No trecho central: 
 
 A peça submetida exclusivamente à flexão resiste internamente formando um 
bloco de tensões compressivas junto ao bordo superior equilibrado pela armadura 
ruptura por esmagamento da biela comprimida 
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tracionada junto ao bordo inferior, funcionando de acordo com modelo do binário 
interno resistente à flexão (já estudado). 
 
Nos trechos extremos: 
 
 A peça rompendo por cortante apresenta fissuração com inclinação variando 
entre 30º e 60º, com fissuras e trincas tanto mais abertas e mais inclinadas à 
medida que se aproximam dos apoios; 
 Entre as fissuras inclinadas formam-se diagonais de concreto comprimido; 
 A armadura transversal atravessando as fissuras e tracionada. 
VI.4 A ANALOGIA da TRELIÇA DE MÖRSCH 
 Mörsch, no início do séculoXX, percebeu que a complexidade do comportamento 
integral da peça poderia ser superada a partir das seguintes observações extraídas dos 
resultados dos ensaios na fase de ruptura. 
O conjunto de diagonais comprimidas poderia ser visto como um arco natural 
onde o concreto absorveria a compressão gerada pela descida das cargas concentradas 
em direção aos apoios. (Figura 16) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 – Descida de Cargas Formando Arco de Concreto Comprimido 
Um exame detalhado deste arco de concreto no momento da ruptura da peça 
indicaria que a descida da carga, em função da fissuração e por não encontrar apoio 
nos pontos intermediários, só poderia ser equilibrada sendo “suspensa” pela armadura 
transversal, para logo em seguida descer por outra diagonal comprimida, sendo 
novamente suspensa, até o ciclo se encerrar no apoio onde a carga encontraria sua 
descida efetiva (Figuras 17 e 18). 
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Figura 17 – Diagonais Comprimidas e Estribos Tracionados 
 
 
Figura 18 – Simplificação do Caminhamento da Carga 
 O modelo teórico idealizado por Mörsch consiste em se associar o funcionamento 
da peça ao de uma treliça isostática, no qual as armaduras e o concreto, trabalhando 
em conjunto, equilibrassem o esforço cortante. Este mecanismo pode ser visualizado 
em dois estágios: 
 
 
1º Estágio de Modelagem da Treliça Clássica de Mörsch: Treliçado 
 
 Mörsch assume que a fissuração da peça nos trechos extremos se dá a 45º, 
denominando cada uma das diagonais de concreto situadas entre as fissuras “bielas 
comprimidas”. Os estribos que atravessam as fissuras mantendo a integridade do 
elemento são denominados “montantes tracionados”. O bordo superior forma o “banzo 
comprimido” em concreto e o bordo inferior constitui o “banzo tracionado” composto pela 
armadura longitudinal de flexão. 
 
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Figura 19 – Formação da Treliça Hiperestática: o 1º Estágio 
O resultado é uma estrutura treliçada de elevado grau de hiperestaticidade 
imprópria ainda para representar um modelo teórico. 
 
2º Estágio de Modelagem da Treliça de Mörsch: Condensação 
 
 Buscando uma configuração de treliça isostática, Mörsch condensa diversas 
bielas comprimidas representando-as por poucas bielas com áreas equivalentes de 
seção transversal. Da mesma forma, poucos montantes tracionados passam a 
representar, com área maior, a totalidade de estribos da peça. 
 Tendo em vista o ângulo de 45º para fissuras e bielas entre elas confinadas, a 
configuração de uma treliça isostática só pode ser alcançada se o conjunto de bielas e 
tirantes for condensado em intervalos “h” iguais a altura da treliça, definida pela distância 
entre os eixos dos elementos que formam seus banzos comprimido e tracionado. Como 
já estudado no dimensionamento à flexão, esta distância corresponde ao braço de 
alavanca “z”. A Figura 20 representa esta condensação e a treliça isostática que dela 
resulta. 
 
 
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Figura 20 – Formação da Treliça Isostática: 2º Estágio 
 
 Assim, fica formado o modelo denominado Treliça de Mörsch, com o concreto 
contribuindo com os sub-elementos comprimidos: banzo e bielas; o aço com os sub-
elementos tracionados: banzo e montantes. 
VI.5 DIMENSIONAMENTO ao CORTANTE PELA NORMA BRASILEIRA 
A norma permite dois tipos de verificação para o cortante, uma mais simples 
(Modelo de Cálculo I) e outra mais sofisticada (Modelo de Cálculo II). 
MODELO DE CÁLCULO I 
No Modelo de Cálculo I o ângulo das bielas de compressão é considerado  = 45° 
e as armaduras, no caso estribos  = 90° - a norma permite variação de 45° a 90°, mas 
na prática atual do concreto armado não se usam mais estribos inclinados e nem barras 
dobradas. A parcela complementar Vc, absorvida pelo concreto, independe do esforço 
cortante Vsd. 
 Com base na Analogia da Treliça, o concreto, que funciona como biela de 
compressão, é verificado para que não ultrapasse 0,85fcd e o aço que funciona na forma 
de estribos é quantificado para que determine sua área por unidade de comprimento, 
definindo-se o As e o espaçamento “s” dos mesmos. 
 
 
 
 
 
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VI.5.1 – Verificação do Concreto: Vsd<Vrd2. 
 
Estudando o equilíbrio da treliça através de duas seções de Ritter (A-A e B-B), 
ilustradas na Figura 21, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21 – Tensão de Compressão na Alma 
 
Tem se então as equações de equilíbrio adiante indicadas: 
 
sd
o
bd VF  45cos
 (6.3) 
o
sd
bd
V
F
45cos

 (6.4) 
 
A força resultante de compressão na biela é representada por Fbd e calculada 
fazendo o equilíbrio de forças, conforme indicado na Figura 21. A tensão média de 
compressão no concreto, atuante na alma é representada por cd.e calculada por: 
 
b5,0d9,0
V
b45cosz
45cos
V
A
F sd
o
o
sd
bd
cd




 (6.5) 
bd
Vsd
cd


5,09,0

 (4) 
 
onde A é a área da seção transversal da biela. 
 
Vsd
Fbd
cd 
Vsd 
Fbd 
z 
 
45º 
A 
A 
B 
B 
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A tensão limite no concreto, considerando-se o efeito Rüsch seria: 
 
cdmáx cd f85,0
 (5) 
 
Porém, alguns fatores, relacionados a seguir, afetam a tensão na biela e não são 
considerados nesta analogia. 
 
 As fissuras na peça de concreto não são exatamente paralelas e, portanto, nos 
seus pontos mais estreitos, a tensão na biela aumenta; 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 – Estreitamento da Biela com Aumento da Tensão Compressiva 
 A ligação rígida entre a biela e o banzo comprimido produz flexão, além da 
compressão, majorando-se a tensão normal de compressão; 
 
 O fato de a biela estar atravessada por barras tracionadas acarreta em uma 
diminuição da tensão última de ruptura nesta; 
 
Por esses fatores, o limite da tensão de compressão na alma é reduzido a 70% da 
tensão de 0,85 fcd: 
 
cdcdcd ff  6,085,07,0máx 
 (6) 
 
Além disso, considera-se um fator de segurança de redução que aumenta com a 
resistência do concreto, v. A tensão máxima de compressão do concreto passa a ter a 
seguinte expressão: 
 
Ligação rígida no nó 
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vcdcd f   6,0máx 
 (7) 
 
onde: 
 






250
f
1 ckv
 (8) 
 
Igualando-se cd a cd Máx, deduz-se a expressão da força cortante resistente de 
cálculo pela ruptura do concreto (Vrd2): 
 
cdcd  máx 
 (9) 
 
bd
V
f sdcdv


5,09,0
6,0 
 (10) 
 
cdvsd fdbV  6,09,05,0máx 
 (11) 
 
máx 2 sdrd VV 
 (12) 
 
dbfV cdvrd  27,02
 (13) 
 
 A verificação do concreto à ruptura pela ruína das diagonais comprimidas de 
concreto (bielas) é satisfeita se: 
 
2rdsd VV 
 (14) 
 
 
VI.5.2– Cálculo da Armadura Transversal – Asw: Vsd < Vrd3 = Vc + Vsw 
 
Para o cálculo da armadura transversal deve-se satisfazer a seguinte condição: 
 
swcrdsd VVVV  3
 (15) 
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Sendo: 
 
 Vrd3 – Força cortante resistente de cálculo por ruptura do aço; 
 Vsw – Parcela da força cortante transportada pela armadura transversal; 
 Vc – Parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares (efeito 
de pino, engrenamento dos agregados nas fissuras, participação do banzo 
comprimido, etc.), indicados na Figura 19. 
 
Figura 19 – Mecanismos Complementares (Fusco) 
 
 
a) Banzo Comprimido: Em vigas altas de pequeno porte, biapoiadas, a força de 
cisalhamento pode ser transmitida diretamente aos apoios pelo efeito de arco, 
mostrado na Figura 20. 
 
Figura 20 – Mecanismos Complementares (Fusco) 
 
b) Engrenamento dos agregados graúdos (Fig.21): este engrenamento permite que 
haja a transmissão de forças oblíquas através das fissuras de flexão. A 
transmissão de esforços permitida pelo engrenamento dos agregados, 
particularmente dos grãos de agregado graúdo, amplia a zona colaborante de 
concreto tracionado que transfere as forças cortantes. Esta área de contato é 
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tanto maior quanto menor a abertura da fissura e maior quantidade de agregado 
graúdo. 
 
Figura 21 – Engrenamento dos agregados (Fusco) 
c) Efeito de pino: é gerado pela armadura longitudinal de tração. O aço é submetido 
a deformações transversais em relação ao eixo da barra, relacionadas aos 
mecanismos de corte e flexão das barras causadas pela distorção, conforme 
ilustra a Figura 22. Este efeito amplia a região de concreto colaborante na 
transmissão das forças cortantes. 
 
Figura 22 – Efeito de Pino (Fusco) 
 
A parcela Vc, considerando somente flexão simples, pode ser calculada como: 
 
a) Elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção: 
0Vc  (16) 
 
b) Na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção: 
 
dbf6,0VV wctd0cc  (17) 
 
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Capítulo VI – Dimensionamento à Cortante 
 
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onde: 
 
 Vc0 representa a resistência ao cortante de uma viga sem estribos, ou seja, é a 
força cortante que uma viga sem estribos pode resistir. Essa força tem valor 
empírico e é devida à soma de outras três forças, difíceis de serem quantificadas, 
que são: Vcc (força cortante resistida pela região de concreto comprimido pelas 
tensões da flexão), Vengr,y (componente vertical do cortante resistido pelo 
engrenamento dos agregados ao longo da fissura inclinada) e Vpino (força cortante 
devida ao efeito de pino da armadura longitudinal). 
 fctd é a resistência à tração do concreto, dada por: 
 
𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
=
0,7𝑓𝑐𝑡𝑚
𝛾𝑐
 (18) 
 
Com: 
 fctk,inf sendo o valor inferior da resistência média à tração do concreto; 
 fct,m sendo a resistência média à tração. 
 Para concretos com fck até 50 MPa: 
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 × 𝑓𝑐𝑘
2/3 (19) 
 
 Para concretos com fck de 50 a 90 MPa: 
 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,12 × ln⁡(1 + 0,11 × 𝑓𝑐𝑘) (20) 
 
 Com fct,m e fck expressos em megapascals (MPa). 
 
c) Na flexo-compressão: 
 
0c
máx,sd
0
0cc V2
M
M
1VV 









 (21) 
 
onde: 
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 M0 é o momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da 
seção (tracionada por Md,máx) provocada pelas forças normais de diversas origens 
concomitantes com Vsd; 
 Msd,máx é o momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise, que pode 
ser tomado como o de maior valor no semi-tramo considerado, (para esse cálculo, 
não se consideram os momentos isostáticos de protensão, apenas os 
hiperestáticos). 
 
Com o valor de Vc conhecido, calcula-se a parcela do esforço cortante a ser resistida 
pela armadura transversal: 
 
csdsw VVV  (22) 
A resultante de tração, Rs, no montante, representado na Figura 1.23, é relativa ao 
comprimento de influência z, medida na direção do seu eixo longitudinal, que deve ser 
resistida por uma armadura Asw, composta por barras espaçadas pela distância s. 
 
 
 
Figura 23 – Mecanismo de Funcionamento da Armadura Transversal 
 
De acordo com a Figura 19, a área total de armadura no comprimento z é dada por: 
 
s
z
AA swtotsw ,
 (23) 
 
 
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 A tensão correspondente nos montantes para a treliça clássica é: 
 
totsw
s
sw
A
R
,

 (24) 
Como: 
 
sds VR 
 (25) 
 
E, substituindo-se (20) em (21), tem-se: 
 
zA
sV
A
V
sw
sd
totsw
sd
sw



,

 (26) 
 
Onde: 
 
 Asw – Armadura transversal; 
 s – Espaçamento longitudinal entre armaduras transversais; 
 Fywd – Tensão de escoamento do aço de armadura transversal (w). 
 
A premissa básica neste dimensionamento a cortante é a de que a ruptura 
acontece por escoamento do aço e não pelo esmagamento da biela comprimida. Assim, 
tem-se a tensão no aço expressa por: 
 
ywdsw f
 (27) 
 
Substituindo-se z por 0,9 d e Vsd por Vsw, a equação (25) modifica-se para: 
 
dA
sV
f
sw
sw
ywd



9,0
 (28) 
 
Ou 
 
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ywd
swsw
fd
V
s
A


9,0
 (29) 
 
Essa equação indica a quantidade de armação transversal por metro, sendo 
usualmente expressa em cm2/m. 
 A taxa volumétrica de armadura transversal é a relação entre a área da seção da 
armadura transversal e a área da seção de concreto que a envolve, expressa por: 
 


senbs
A
w
sw
w


 (30) 
Para estribos verticais, α = 90º, daí: 
 
w
sw
w
bs
A


 (31) 
 
Portanto, para definir a área de aço pormetro a partir da taxa volumétrica de 
armadura, faz-se: 
 
ww
sw b
s
A
 
 (32) 
 
Obs.: A NBR 6118/14 (item 17.4.2.2) limita a tensão fywd ao valor de fyd para a armadura 
transversal constituída por estribos, e a 70% de fyd quando forem utilizadas barras 
dobradas inclinadas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 
MPa. 
 
MODELO DE CÁLCULO II 
 
 As diagonais de compressão têm inclinação variável entre 30º e 45º com relação 
ao eixo longitudinal do elemento estrutural. Admite-se que a parcela complementar Vc 
tenha redução com o aumento de Vsd. 
 Na verificação do concreto comprimido a expressão do Vrd2 passa a ser: 
 
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  gcotgcotsendbf54,0V 2cd2v2rd
 (33) 
 
 
 A armadura transversal é dada por: 
 
  


sengcotgcotfd9,0
V
s
A
ywd
sw,sw
 (34) 
 Sabe-se que: 
csdsw VVV  (35) 
 
Com Vc dado por: 
 
a) Elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção: 
0Vc  (36) 
 
b) Na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção: 
 
1cc VV 
 (37) 
 
sendo: 
 
0c1c VV  , quando 0csd VV  (38) 
0V 1c  , quando 2rdsd VV  (39) 
 
Interpola-se linearmente para valores intermediários. 
 
c) Na flexo-compressão: 
 
1c
máx,sd
0
1cc V2
M
M
1VV 









 (40) 
 
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 A Figura 24 ilustra o gráfico de variação de Vc1 com Vsd. Para Vsd maior que Vc0, 
a força Vc1 é dada por: 
 
0c2rd
sd2rd
0c1c
VV
VV
VV



 (41) 
 
 
Figura 24 – Variação de Vc1 
VI.6 DETALHAMENTO da ARMADURA TRANSVERSAL: DISPOSIÇÕES GERAIS 
VI.6.1 – A Evolução da Técnica de Armar 
 
 A dificuldade em se lidar apropriadamente com as solicitações cortantes no 
concreto armado, no início do século passado, fica evidenciada na Figura 25, pela 
disposição da armadura segundo as trajetórias de tração. Ideia que foi muito discutida, 
porém abandonada em razão da complexidade construtiva dela derivada. 
 
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Figura 25 - Disposição da Armadura Segundo Trajetórias de Tração 
 A Figura 26 indica a evolução natural do conceito anterior, tendo sido por muito 
tempo empregado. Esta forma de armar, proposição aparentemente melhor, permitia 
que as barras de flexão fossem dobradas na medida em que esta solicitação diminuía, 
resistindo assim ao cortante na medida em que este aumentava. Gradativamente, por 
questões de ordem executiva e também em função de restrições normativas, que vieram 
a se impor, foi também abandonada. 
 
 
Figura 26 - Armadura única com Dupla Função: Barras Dobradas 
 
 A Figura 27 indica solução largamente empregada no passado, na qual se faz a 
separação das armaduras de flexão e cortante. A armadura longitudinal é mantida 
retilínea em toda a sua extensão e a armadura para resistir ao cortante, denominada 
estribos, é formada por barras verticais fechadas, envolvendo as de flexão e inclinadas 
a 45º. Foi bem utilizada até que, por questões de simplificação construtiva também 
entrou em desuso. 
 
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Figura 27 - Separação das Armaduras: Longitudinal e Estribos Inclinados 
 
 Por fim, a verticalidade dos estribos, apresentada na Figura 28, faz com que estes 
percam eficiência na mesma proporção em que se afastam da inclinação natural da 
trajetória de tensões internas e da abertura de fissuras. Compensam este fato, com 
comprimentos inferiores aos estribos inclinados e com a simplificação dos 
procedimentos executivos. Na atualidade, é praticamente a única solução usada em 
armadura passiva, tanto por razões construtivas como pelas restrições normativas às 
demais alternativas. 
 
 
Figura 28 - Separação das Armaduras: Longitudinal e Estribos Verticais 
 
VI.6.2 – Armadura Mínima 
 
A existência de uma armadura mínima, segundo Garcia (2002), deve ser disposta 
no interior das vigas para atender os seguintes objetivos: 
 
a) as vigas não apresentem ruptura brusca logo após o surgimento das primeiras 
fissuras inclinadas caso surjam carregamentos não previstos no cálculo; 
 
b) limitar a inclinação das bielas e a abertura das fissuras inclinadas; 
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c) evitar a flambagem da armadura longitudinal comprimida. 
 
 Conforme a NBR 6118/03 (item 17.4.1.1), todas as vigas com bw  5d (d = altura 
útil) devem ter uma armadura transversal mínima constituída por estribos, com a 
seguinte taxa geométrica: 
 
ywk
ctm
w
sw
sw
f
f
2,0
sensb
A



 (42) 
 
onde: 
 
 Asw é a área transversal dos estribos; 
 
 s é o espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento 
estrutural; 
 
  é a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento 
estrutural; 
 
 bw é a largura média da alma, medida ao longo da altura da seção; 
 
 fywk é a resistência ao escoamento do aço da armadura transversal; 
 
 fct,m é a resistência média à tração do concreto dada por: 
 
MPa) em (f ,f3,0f ck
3 2
ckm,ct

 (43) 
 
 Isolando 
s
Asw
 na eq. (42) e fazendo como armadura mínima, tem-se: 
 
 senb
f
f
2,0
s
A
w
ywk
ctmmín,sw
 (44) 
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com: 
 
 
mín,swA
 é igual a área da seção transversal de todos os ramos verticais do estribo 
(cm2/m); 
 
 bw em cm; 
 
 fywk em kN/cm2. 
 
 
VI.7 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
VI.7.1 – Diâmetro dos Estribos 
 
 O diâmetro da barra do estribo de estar compreendido entre: 
10
b
 mm 5 wt 
 (45) 
 
 Para barra lisa, o diâmetro deve ser inferior a 12,5 mm; 
 
 Para estribos formados por telas soldadas, o diâmetro mínimo pode ser 
reduzido para 4,2 mm, desde que sejam tomadas precauções contra a corrosão 
dessa armadura. 
 
VI.7.2 – Espaçamento Mínimo e Máximo entre os Estribos 
 
 Segundo a NBR 6118/03, item 18.3.3.2: “O espaçamento mínimo entre estribos, 
medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para 
permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento da massa”. Portanto, 
 
cm 1s vibr 
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 Objetivando-se evitar que uma fissura não seja interceptada por pelo menos um 
estribo, o espaçamento entre estribos não deve ser maior que: 
 





mm 200d3,0s então ,V67,0
mm 300d6,0s então ,V67,0
V
máx2Rd
máx2Rd
sd
 (47) 
 
VI.7.3 – Espaçamento Máximo entre os Ramos Verticais dos Estribos 
 
O espaçamento transversal (st) é usado para definir o número de ramos verticais 
que deve ser especificado para os estribos, principalmente no caso de estribos de vigas 
largas. Recomenda-se que vigas largas com bw maior que 40 cm devem ter estribos com 
mais de dois ramos verticais. 
 
 Se a distância entre os ramos superar o espaçamento máximo permitido, deve-
se então, aumentar o número de ramos, geralmente em números pares para que os 
estribos sejam idênticos. 
O maior número de ramos é obtido sobrepondo-se os estribos na mesma seção 
transversal, como mostrado na Figura 29. 
 
 
Figura 29 – Estribos com quatro ramos 
 
 O espaçamento transversal entre os ramos verticais sucessivos dos estribos 
não deve exceder os seguintes valores: 
 
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





mm 350d6,0s então ,V20,0
mm 800ds então ,V20,0
V
máxt,2Rd
máxt,2Rd
sd
 (48) 
 
VI.7.4 – Emendas dos Estribos 
 
 O item 18.3.3.2 da NBR 6118/14 explica que: “As emendas por traspasse são 
permitidas apenas quando os estribos forem constituídos por telas ou por barras de 
alta aderência”. 
 
 
 
VI.7.5 – Ancoragem dos Estribos 
 
 “A ancoragem dos estribos deve ser necessariamente ser garantida por meio de 
ganchos ou barras longitudinais soldadas” (item 9.4.6, NBR 6118/03) O diâmetro interno 
da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual ao índice dado na Tabela 1 (9.2 
NBR 6118/03) A Figura 30 ilustra esquematicamente os tipos de ganchos: 
 
 Os ganchos dos estribos podem ser: 
a) Semicirculares ou em ângulo de 45º (interno), com ponta reta de comprimento 
igual a 5t, porém não inferior a 5 cm; 
b) Em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10t, porém 
não inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios 
lisos). 
 
Tabela 1 – Diâmetro dos Pinos de Dobramento para Estribos 
 
Bitola 
(mm) 
Tipo de Aço 
CA - 25 CA - 50 CA - 60 
 10 3 t 3 t 3 t 
10<  < 20 4 t 5 t - 
 20 5 t 8 t - 
 
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Figura 30 – Tipos de Ganchos