7 Coordenadas Polares e Curvas Paramétricas

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MATEMÁTICA II 
(Módulo de Análise Matemática) 
 
 
Apontamentos das aulas 
 
Problemas propostos 
 
Soluções dos problemas propostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mestrado Integrado em Engenharia Química 
 
FEUP 
 
 
 
 
João M. M. Mendonça 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo # 7 
 
 
COORDENADAS POLARES E 
CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
 
 
7.1 Coordenadas polares no plano 
 
7.2 Curvas paramétricas no plano 
 
7.A Curvas planas do 2º grau ou “cónicas” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO 
________________________________________________________________ 
1 
7.1 Coordenadas polares no plano 
 
 
A posição de qualquer ponto P do plano pode ser representada pelas suas 
coordenadas polares (r,θ), depois de definirmos um ponto O como sendo o pólo, 
e uma semi-recta com origem em O como sendo o eixo polar. A coordenada 
radial r representa a distância do ponto P ao pólo O, enquanto que a coordenada 
angular θ representa o ângulo que o segmento 
� 
OP faz com o eixo polar: 
 
 
 
Por definição, o sentido positivo para a marcação da coordenada angular ou 
ângulo polar é o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. O valor de θ é 
arbitrário para o pólo O, já que este é o único ponto do plano cuja coordenada 
radial é igual a zero. 
 
 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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2 
As coordenadas polares de um ponto, ao contrário das suas coordenadas 
rectangulares, não têm um valor único, pois o ponto P(r,θ) também pode ser 
representado por P(r, θ + 2kπ), com k ∈ Z. 
 
Por vezes, é conveniente utilizar coordenadas radiais negativas, definidas da 
seguinte forma: (r,θ) e (– r, θ + π) são representações alternativas do mesmo 
ponto em coordenadas polares. Como iremos ver mais à frente, esta definição é 
particularmente útil quando lidamos com curvas em coordenadas polares. 
 
 
7.1.1 Relações entre coordenadas polares e rectangulares 
 
 
Em muitos problemas, há necessidade de utilizar simultaneamente coordenadas 
polares e coordenadas rectangulares no plano. Quando tal acontecer, considera- 
-se por convenção que o pólo do sistema de coordenadas polares é coincidente 
com a origem do sistema de coordenadas rectangulares, e que o eixo polar é 
coincidente com a parte positiva do eixo Ox: 
 
 
 
Utilizando esta convenção, resultam imediatamente da figura as seguintes 
relações entre os dois sistemas de coordenadas: 
 
 
7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO 
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3 
� 
x = r cos θ
y = r senθ
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 e 
� 
r2 = x2 + y2
tg θ = yx , se x ≠ 0
θ = ± π /2 , se x = 0 e y ≠ 0
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
 
 
Se x > 0, o ponto P estará situado no 1º ou no 4º quadrantes, e então podemos 
escrever que θ = arctg (y/x); porém, se x < 0, o ponto P estará situado no 2º ou 
no 3º quadrantes, e deveremos escrever θ = π + arctg (y/x), já que, como é 
sabido, o contradomínio da função arctg é o intervalo ]– π/2, π/2[. 
 
Como a coordenada θ não está definida para a origem das coordenadas, este 
ponto pode ser representado em coordenadas polares por (0, θ), em que o ângulo 
θ é arbitrário. 
 
Exemplo 7.1 Escrever todas as representações possíveis em coordenadas 
polares do ponto com coordenadas rectangulares (1, 
� 
3). 
 
 
� 
x = 1
y = 3
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 ⇒ 
� 
r2 = 4
tg θ = 3
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
 ⇒ 
� 
r = ± 2
θ = π /3 ∨ θ = 4π /3
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 
 
Como o ponto em causa é do 1º quadrante (x > 0 ∧ y > 0), se utilizarmos o 
valor positivo para a coordenada radial, a correspondente coordenada angular 
deverá ser π/3: 
 
(2, π/3) ou, mais geralmente, (2, π/3 + 2kπ), com k ∈ Z. 
 
Se, porém, utilizarmos o valor negativo para a coordenada radial, então a 
correspondente coordenada angular deverá ser 4π/3: 
 
(– 2, 4π/3) ou, mais geralmente, (– 2, 4π/3 + 2kπ), com k ∈ Z. 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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4 
7.1.2 Curvas em coordenadas polares 
 
 
Algumas curvas têm equações muito mais simples em coordenadas polares do 
que em coordenadas rectangulares, o que justifica a utilização de coordenadas 
polares em muitos problemas que envolvam essas curvas. 
 
O gráfico da equação F(r,θ) = 0 é definido como sendo o conjunto de todos os 
pontos do plano Oxy em que cada ponto tem pelo menos um par de coordenadas 
polares (r,θ) que satisfaz aquela equação. Em muitos casos, verifica-se que a 
equação F(r,θ) = 0 pode ser resolvida em ordem a r, isto é, pode ser escrita na 
chamada forma explícita, r = f(θ). 
 
A curva correspondente poderá ser esboçada se prepararmos uma tabela com 
alguns valores de (r,θ) que satisfaçam a equação dada. Apresentamos a seguir 
três testes de simetria que poderão ser utilizados com vantagem para esboçar os 
gráficos de curvas em coordenadas polares. 
 
 
7.1.2.1 Testes de simetria 
 
 
Se a equação não se alterar 
quando se substitui θ por – θ, 
o gráfico é simétrico com 
respeito ao eixo Ox: 
 
 
 
7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO 
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5 
 
Se a equação não se alterar 
quando se substitui θ por 
π – θ, o gráfico é simétrico 
com respeito ao eixo Oy: 
 
 
Se a equação não se alterar 
quando se substitui r por – r, 
o gráfico é simétrico com 
respeito à origem: 
 
 
Estas são condições suficientes de simetria, mas não são necessárias; isto 
significa que as simetrias referidas podem ocorrer mesmo que estas condições 
não sejam satisfeitas. 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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6 
7.1.2.2 Rectas em coordenadas polares 
 
 
As únicas rectas que têm uma representação simples em coordenadas polares 
são as rectas verticais, as rectas horizontais e as rectas que passam pela origem 
das coordenadas: 
 
A recta vertical que passa 
pelo ponto de coordenadas 
rectangulares (a, 0) tem a 
seguinte equação em 
coordenadas polares: 
 
r cos θ = a 
 
ou 
 
r = a sec θ 
 
em que θ ∈ ]– π/2, π/2[. 
 
A recta horizontal que passa 
pelo ponto de coordenadas 
rectangulares (0, a) tem a 
seguinte equação em 
coordenadas polares: 
 
r sen θ = a 
 
ou 
 
r = a cosec θ 
 
em que θ ∈ ]0, π[. 
 
 
 
7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO 
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7 
Uma recta que passe pela 
origem das coordenadas e que 
faça um ângulo θo com a 
parte positiva do eixo Ox tem 
a seguinte equação em 
coordenadas polares: 
 
θ = θo 
 
em que r ∈ ]– ∞, ∞[. 
 
 
7.1.2.3 Circunferências em coordenadas polares 
 
 
As únicas circunferências com equações simples em coordenadas polares são as 
circunferências centradas na origem, e as circunferências centradas num dos 
eixos e tangentes ao outro eixo na origem das coordenadas 
 
Uma circunferência com 
centro na origem e de raio 
igual a 
� 
a tem a seguinte 
equação em coordenadas 
polares: 
 
r = a 
 
em que θ ∈ [0, 2π]. 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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8 
Uma circunferência com 
centro no ponto (a, 0) e de 
raio igual a 
� 
a tem a seguinte 
equação em coordenadas 
polares: 
 
r = 2a cos θ 
 
em que θ ∈ [– π/2, π/2]. 
 
 
Uma circunferência com 
centro no ponto (0, a) e de 
raio igual a 
� 
a tem a seguinte 
equação em coordenadas 
polares:r = 2a sen θ 
 
em que θ ∈ [0, π]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO 
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9 
 
Exemplo 7.2 Mostre que a curva polar de equação r = – 4 sen θ é uma 
circunferência, obtendo a sua equação em coordenadas 
rectangulares; em seguida, calcule as coordenadas polares de 
alguns pontos e faça um esboço da curva. 
 
 
r = – 4 sen θ ⇒ r2 = – 4 r sen θ ⇒ x2 + y2 = – 4y ⇒ x2 + (y + 2)2 = 4 
 
A equação r = – 4 sen θ representa uma circunferência de raio 2 centrada no 
ponto (0, – 2); calculemos as coordenadas polares de alguns pontos do gráfico: 
 
θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 
r 0 – 2 – 2
� 
3 – 4 – 2
� 
3 – 2 0 
 
Se considerarmos o intervalo [π, 2π], obtemos exactamente os mesmos pontos: 
 
θ π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π 
r 0 2 2
� 
3 4 2
� 
3 2 0 
 
A circunferência é gerada quando θ percorre qualquer intervalo [α, π + α]: 
 
 
 
 
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10 
7.1.2.4 Caracóis de Pascal 
 
 
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações: 
 
r = a + b cos θ ou r = a + b sen θ 
 
Trata-se de curvas fechadas, que podem ser traçadas fazendo θ percorrer o 
intervalo [0, 2π]. A forma do caracol de Pascal é determinada apenas pelo valor 
absoluto do quociente a/b: 
 
� 
0 < a /b < 1: caracol de Pascal com laço
a /b = 1: cardióide
1 < a /b < 2 : caracol de Pascal com reentrância
a /b > 2 : caracol de Pascal convexo
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
 
 
Quanto à posição do caracol de Pascal em relação aos eixos coordenados, ela 
depende de a/b ser positivo ou negativo, e de aparecer cos θ ou sen θ na equação 
respectiva: 
 
 
 
Caracol com laço de equação r = 1 + 2 cos θ: 
� 
a /b = 1/2 
 
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11 
 
 
 
Cardióide de equação r = 2 + 2 cos θ: 
� 
a /b = 1 
 
 
 
 
 
Caracol com reentrância de equação r = 3 + 2 cos θ: 
� 
a /b = 3/2 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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Caracol convexo de equação r = 5 + 2 cos θ: 
� 
a /b = 5/2 
 
A resolução analítica de duas equações simultâneas em coordenadas polares 
nem sempre produz todos os pontos de intersecção dos respectivos gráficos, 
devido ao facto de cada ponto ter múltiplas representações em coordenadas 
polares. Assim, a única forma certa de visualizar todos os pontos de intersecção 
de duas curvas polares consiste em traçar os gráficos dessas curvas. 
 
Exemplo 7.3 Determine as coordenadas polares de todos os pontos de 
intersecção dos cardióides de equações r = 1 + cos θ e 
r = 1 – cos θ. 
 
 
Comecemos por determinar as coordenadas polares de todos os pontos que 
satisfazem simultaneamente as duas equações dadas: 
 
1 + cos θ = 1 – cos θ ⇒ 2 cos θ = 0 ⇒ θ = π/2 ∨ θ = 3π/2 ⇒ r = 1 
 
As soluções encontradas algebricamente são portanto as seguintes, utilizando 
coordenadas polares: 
 
A(1, π/2) e B(1, 3π/2) 
 
7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO 
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13 
A única forma certa de verificar se existem mais pontos de intersecção consiste 
em traçar as duas curvas no mesmo gráfico: 
 
 
 
Claramente, há um terceiro ponto de intersecção, que é a origem. Porém, as 
coordenadas polares deste ponto não podem ser obtidas por métodos algébricos, 
já que essas coordenadas são (0, π) para o cardióide de equação r = 1 + cos θ, 
mas são (0, 0) para o cardióide de equação r = 1 – cos θ. 
 
 
 
7.1.2.5 As rosáceas 
 
 
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações: 
 
r = a cos nθ ou r = a sen nθ 
 
em que n ∈ IN . Trata-se de curvas fechadas, que podem ser traçadas fazendo θ 
percorrer o intervalo [0, 2π] quando n for par, ou o intervalo [0, π] quando n for 
ímpar. A posição da rosácea em relação aos eixos coordenados, depende de a ser 
positivo ou negativo, e de aparecer cos nθ ou sen nθ na equação. 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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Se n for par, as rosáceas apresentam 2n “laços”, igualmente espaçados em torno 
da origem (em termos angulares); se n for ímpar, as rosáceas só apresentam n 
“laços”, também igualmente espaçados. O comprimento do diâmetro de cada 
um dos “laços”, medido a partir da origem até à sua extremidade, é igual a 
� 
a : 
 
 
Rosácea de 4 laços de equação r = 2 cos 2θ 
 
 
 
Rosácea de 3 laços de equação r = 2 cos 3θ 
 
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15 
 
 
Rosácea de 8 laços de equação r = 2 cos 4θ 
 
 
 
Rosácea de 5 laços de equação r = 2 cos 5θ 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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7.1.2.6 As espirais 
 
 
Este é o nome genérico que é dado a todas as curvas polares abertas que dão 
infinitas “voltas” em torno da origem à medida que θ aumenta ou diminui. 
 
Há vários tipos diferentes de espirais, dos quais mencionaremos apenas os três 
exemplos mais conhecidos: 
 
• Espirais de Arquimedes: 
 
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico da equação r = aθ, em 
que θ ≥ 0 ou θ ≤ 0, e a ∈ IR \ {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em 
torno da origem depende apenas do sinal de a e de θ: 
 
 
Espiral de Arquimedes de equação r = 2θ, com θ ≥ 0 
 
• Espirais logarítmicas: 
 
Estas são curvas que se obtêm como gráfico da equação r = eaθ, em que θ ∈ IR , 
e a ∈ IR \ {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em torno da origem 
depende apenas do sinal de a: 
 
 
7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO 
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Espiral logarítmica de equação r = eθ/5 
 
• Espirais hiperbólicas: 
 
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico da equação r = a/θ , em 
que θ > 0 ou θ < 0, e a ∈ IR \ {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em 
torno da origem depende apenas do sinal de a e de θ: 
 
 
Espiral hiperbólica de equação r = 10/θ, com θ > 0 (notar a assímptota y = 10) 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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Note-se que a recta de equação y = a é uma assímptota horizontal do gráfico da 
espiral hiperbólica de equação r = a/θ, já que: 
 
� 
lim
θ→0
 y = 
� 
lim
θ→0
 r sen θ = 
� 
lim
θ→0
 (a/θ) sen θ = a 
� 
lim
θ→0
 
� 
sen θ
θ
 = a (1) = a. 
 
 
7.1.2.7 As lemniscatas (de Bernoulli) 
 
 
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações: 
 
r2 = ± a2 cos 2θ ou r2 = ± a2 sen 2θ 
 
Trata-se de curvas fechadas “em forma de hélice”, que podem ser traçadas 
fazendo θ percorrer um intervalo de amplitude π/2, e considerando apenas os 
pontos em que r2 ≥ 0. A posição da lemniscata com respeito aos eixos 
coordenados depende de o sinal de a2 ser positivo ou negativo, e de aparecer 
cos 2θ ou sen 2θ na equação: 
 
 
A lemniscata de equação r2 = 4 cos 2θ, com θ ∈ [– π/4, π/4] 
 
 
 
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A lemniscata de equação r2 = 4 sen 2θ, com θ ∈ [0, π/2] 
 
 
7.1.2.8 As curvas “em forma de oito” 
 
 
Estas são as curvaspolares que se obtêm como gráfico das seguintes equações: 
 
r2 = ± a2 cos θ ou r2 = ± a2 sen θ 
 
Trata-se de curvas fechadas “em forma de oito”, que podem ser traçadas 
fazendo θ percorrer um intervalo de amplitude π, e considerando apenas os 
pontos em que r2 ≥ 0. 
 
A posição destas curvas com respeito aos eixos coordenados depende apenas de 
aparecer cos θ ou sen θ na equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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20 
 
A curva “em forma de oito” de equação r2 = 4 cos θ, com θ ∈ [– π/2, π/2] 
 
 
 
A curva “em forma de oito” de equação r2 = 4 sen θ, com θ ∈ [0, π] 
 
 
 
 
 
 
7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO 
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21 
7.1.3 Área em coordenadas polares 
 
 
Para deduzir a fórmula integral que nos permite calcular a área delimitada por 
uma curva polar utiliza-se a conhecida expressão da área de um sector circular 
de raio r e ângulo-ao-centro ∆θ, ou seja: 
 
Área do sector circular = 
� 
1
2 r
2 Δθ 
 
 
Seja r = f(θ) uma função contínua e não-negativa de θ, em que α ≤ θ ≤ β e 
0 < β – α ≤ 2π. Começamos por fazer uma partição regular de [α, β] em n sub- 
-intervalos todos iguais, de comprimento ∆θ = 
� 
β − α
n . Em seguida, escolhemos 
um ponto qualquer θ
� 
i
* ∈ [θi–1, θi], em que i = 1, ..... , n: 
 
 
 
É evidente da figura junta que quanto maior for n e menor for ∆θ, mais as 
regiões obtidas com esta partição se assemelharão a sectores circulares. 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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22 
Portanto, se ∆θ ≈ 0, podemos afirmar que a área de cada uma dessas regiões é 
praticamente igual à área de um sector circular de raio f
� 
θ i
*( ) e ângulo-ao-centro 
∆θ, ou seja: 
 
∆Ai ≈ 
� 
1
2 
� 
f θ i
*( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 
2
 ∆θ ⇒ A = 
� 
i=1
n
∑ ∆Ai ≈ 
� 
i=1
n
∑
� 
1
2 
� 
f θ i
*( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 
2
 ∆θ 
 
No limite, quando n 
� 
→ ∞ e ∆θ 
� 
→ 0, esta soma de Riemann dá-nos o valor 
exacto da área delimitada pela curva polar de equação r = f(θ) no intervalo 
α ≤ θ ≤ β, valor esse que pode ser calculado por meio do seguinte integral: 
 
A =
� 
α
β
∫
� 
1
2 
� 
f θ( )[ ]2 dθ =
� 
α
β
∫
� 
1
2 r
2 dθ 
 
Frequentemente, a aplicação prática desta fórmula é facilitada se se entrar em 
linha de conta com as possíveis simetrias do gráfico da equação r = f(θ) que 
delimita a região cuja área se pretende calcular. 
 
Como regra geral, o intervalo de integração [α, β] deverá ser o intervalo mais 
pequeno que permita calcular a área pretendida; note-se em particular a restrição 
β – α ≤ 2π. 
 
Deverá ainda ter-se especial cuidado nos casos em que r2 for negativo, o que 
obviamente não faz qualquer sentido. 
 
Exemplo 7.4 Calcule a área interior ao caracol de Pascal de equação 
r = 3 + 2 cos θ. 
 
 
Já vimos atrás que o caracol de Pascal é uma curva fechada que é 
completamente traçada quando θ percorre o intervalo [0, 2π[: 
 
θ 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π 
r 5 3+
� 
2 3 3–
� 
2 1 3–
� 
2 3 3+
� 
2 5 
 
 
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23 
 
 
A =
� 
0
2π
∫
� 
1
2 (3 + 2 cos θ)
2 dθ = (por simetria) = 2
� 
0
π
∫
� 
1
2 (3 + 2 cos θ)
2 dθ = 
 
=
� 
0
π
∫ (9 + 12 cos θ + 4 cos2 θ) dθ =
� 
0
π
∫ (9 + 12 cos θ + 4 
� 
1 + cos 2θ
2 ) dθ = 
 
=
� 
0
π
∫ (11 + 12 cos θ + 2 cos 2θ) dθ = 
 
� 
⎛ 
⎝ 
� 
0
π
∫ cos θ dθ =
� 
0
π
∫ cos 2θ dθ = 0
� 
⎞ 
⎠ 
 
=
� 
0
π
∫ 11 dθ = 11π 
 
Acontece muitas vezes que a curva que delimita a região cuja área se pretende 
calcular “começa” na origem das coordenadas. Neste caso, o valor do ângulo α 
terá de ser determinado por resolução da equação r = f(θ) = 0. Se esta equação 
tiver mais do que uma solução, deverá ser escolhida aquela que for adequada, 
atendendo à posição no plano Oxy da região cuja área se pretende calcular. 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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Considerações análogas são válidas para a determinação do ângulo β, quando a 
curva “acabar” na origem das coordenadas, ou então para a determinação dos 
dois limites, quando a curva “começar” e “acabar” na origem das coordenadas: 
 
 
α é uma solução da equação f(θ) = 0 
 
β é uma solução da equação f(θ) = 0 
 
Se r = f(θ) e r = g(θ) forem as equações de duas curvas polares contínuas tais 
que 0 ≤ g(θ) ≤ f(θ) no intervalo α ≤ θ ≤ β, com 0 < β – α ≤ 2π, a área da região 
delimitada pelas duas curvas naquele intervalo será dada pela diferença entre as 
áreas das regiões delimitadas pela curva mais afastada da origem, r = f(θ), e pela 
curva mais próxima da origem, r = g(θ), ou seja: 
 
A =
� 
α
β
∫
� 
1
2 
� 
f θ( )[ ]2 − g θ( )[ ]2{ } dθ 
 
 
7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO 
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25 
Todas as considerações feitas para o caso anterior são ainda aplicáveis neste 
caso, nomeadamente no que diz respeito a: 
 
• possíveis simetrias dos gráficos; 
• intervalo de integração [α, β] mais adequado, sempre com β – α ≤ 2π; 
• casos em que r2 for negativo. 
 
Exemplo 7.5 Calcule a área interior ao caracol de Pascal de equação 
r = 1 + 2 cos θ e exterior à circunferência r = 2. 
 
 
Comecemos por fazer um esboço da região cuja área se quer obter, fazendo θ 
percorrer o intervalo [0, 2π[: 
 
θ 0 π/3 π/2 2π/3 π 4π/3 3π/2 5π/3 2π 
r 3 2 1 0 – 1 0 1 2 3 
 
É possível observar a simetria com respeito ao eixo Ox da região cuja área se 
pretende calcular: 
 
 
 
Neste caso, os dois pontos de intersecção podem ser obtidos algebricamente: 
 
r = 1 + 2 cos θ = 2 ⇒ cos θ = 1/2 ⇒ θ = π/3 ∨ θ = 5π/3 (θ = – π/3) 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
26 
Devido à simetria com respeito ao eixo Ox, a área pretendida será dada por: 
 
A =
� 
− π/3
π/3
∫
� 
1
2 (1 + 2 cos θ)
2 − 22{ } dθ = 
 
= 2
� 
0
π/3
∫
� 
1
2 (1 + 2 cos θ)
2 − 22{ } dθ = 
 
= 
� 
0
π/3
∫ (1 + 4 cos θ + 4 cos2 θ – 4) dθ = 
 
= 
� 
0
π/3
∫ (1 + 4 cos θ + 4 
� 
1 + cos 2θ
2 – 4) dθ = 
 
= 
� 
0
π/3
∫ (– 1 + 4 cos θ + 2 cos 2θ) dθ = 
� 
15 3 − 2π
6 . 
 
 
 
Problemas propostos / Secção 7.1 
 
1. Determine as coordenadas rectangulares dos pontos cujas coordenadas 
polares são: 
(a) (1, – π/3); 
(b) (– 2, 2π/3); 
(c) (– 2, – 7π/6). 
 
2. Determine duas representações em coordenadas polares, uma com r > 0 e 
outra com r < 0, para os pontos cujas coordenadas rectangulares são: 
(a) (– 1, – 1); 
(b) (
� 
3 , – 1); 
(c) (– 3, 
� 
3). 
 
3. Exprima cada uma das equações seguintes em coordenadas polares: 
(a) x = 3y; 
(b) xy = 1; 
(c) y = x2. 
7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO 
________________________________________________________________ 
27 
4. Exprima cada uma das equações seguintes em coordenadas rectangulares: 
(a) r = – 5 cos θ; 
(b) r = 1 – cos 2θ; 
(c) r = 3 sec θ. 
 
5. Esquematize o gráfico de cada uma das curvas polares indicadas a seguir, 
referindo possíveis simetrias com respeito aos eixos principais ou à 
origem: 
(a) r = 2 cos θ; 
(b) r = 1 + cos θ; 
(c) r = 2 + 4 cosθ; 
(d) r2 = 4 sen 2θ; 
(e) r = 2 sen 2θ; 
(f) r = 3 cos 3θ. 
 
6. Determine todos os pontos de intersecção das curvas polares a seguir 
indicadas: 
(a) r = 2 e r = cos θ; 
(b) r = sen θ e r = cos 2θ; 
(c) r = 1 – cos θ e r2 = 4 cos θ. 
 
7. Determine a área delimitada pelas curvas polares a seguir indicadas: 
(a) r = 1 + cos θ; 
(b) r = 2 – cos θ; 
(c) r = – 4 cos θ; 
(d) r = 2 cos 2θ; 
(e) r2 = 4 sen 2θ. 
 
8. Determine a área das regiões do plano abaixo descritas: 
(a) Interior a r = cos θ e a r = 
� 
3 sen θ; 
(b) Interior a r = 3 + 2 cos θ e exterior a r = 4; 
(c) Interior a r2 = cos 2θ e a r2 = sen 2θ. 
 
Soluções dos problemas propostos / Secção 7.1 
 
1. (a) (1/2, – 
� 
3/2); 
(b) (1, – 
� 
3); 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
28 
(c) (
� 
3 , – 1). 
 
2. (a) (
� 
2 , 5π/4) e (–
� 
2 , π/4); 
(b) (2, 11π/6) e (– 2, 5π/6); 
(c) (2
� 
3 , 5π/6) e (– 2
� 
3 , 11π/6). 
 
3. (a) θ = arctg 
� 
1
3 ; 
(b) r2 sen 2θ = 2, com θ ∈ ]0, π/2[; 
(c) r = tg θ sec θ, com θ ∈ [0, π/2[ ∪ ]π/2, π]. 
 
4. (a) (x + 5/2)2 + y2 = (5/2)2; 
(b) (x2 + y2)3 = 4y4; 
(c) x = 3. 
 
 
 
5. (a) Circunferência de raio 1 e centro em (1, 0); simetria com respeito 
 ao eixo Ox; 
(b) Cardióide; simetria com respeito a Ox; 
(c) Caracol de Pascal com laço; simetria com respeito a Ox; 
(d) Lemniscata; simetria com respeito à origem; 
(e) Rosácea de 4 pétalas; simetrias com respeito a Ox, Oy e à origem; 
(f) Rosácea de 3 pétalas; simetria com respeito a Ox. 
 
 
7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO 
________________________________________________________________ 
29 
 
 
6. (a) {
� 
∅}; 
(b) (1/2, π/6), (1/2, 5π/6), (1, π/2) e (0, 0); 
(c) (2 (
� 
2 – 1), arccos (3 – 2
� 
2 )), (2 (
� 
2 – 1), – arccos (3 – 2
� 
2 )), 
(2, π) e (0, 0). 
 
 
6.(b) 
 
6.(c) 
 
7. (a) 3π/2; 
(b) 9π/2; 
(c) 4π; 
(d) 2π; 
(e) 4. 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
30 
 
 
8. (a) 
� 
5π − 6 3
24 ; 
(b) 
� 
39 3 − 10π
6 ; 
(c) 
� 
2 − 2
2 . 
 
 
 
7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
31 
7.2 Curvas paramétricas no plano 
 
 
Qualquer curva no plano Oxy pode sempre ser representada analiticamente se 
exprimirmos as coordenadas rectangulares x e y como funções contínuas de uma 
terceira variável t, normalmente designada por parâmetro, o qual toma valores 
num dado intervalo I ⊆ IR : 
 
� 
x = f(t)
y = g(t)
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 , com t ∈ I ⊆ IR 
 
O conjunto de todos os pontos do plano Oxy que satisfazem estas duas equações 
simultâneas é designado por curva paramétrica plana, e as equações acima 
escritas são chamadas equações paramétricas dessa curva plana. 
 
Se o intervalo I for um intervalo fechado do tipo [a, b], os pontos A
� 
f(a),g(a)( ) e 
B
� 
f(b),g(b)( ) são chamados pontos terminais da curva. Se estes dois pontos 
coincidirem, a curva plana diz-se fechada. Se a curva não tiver pontos onde se 
auto-intersecta, dizemos que é uma curva simples. 
 
 
7.2.1 Orientação de uma curva paramétrica 
 
 
A mesma curva plana pode ser representada por infinitos pares de equações 
paramétricas do tipo {x = f(t), y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR}. É costume dizer-se que 
cada uma destas representações constitui uma parametrização diferente da 
mesma curva. Portanto, quando nos referimos a uma curva paramétrica plana, 
estamos a falar de uma curva plana com uma parametrização bem definida. 
 
Definição: A orientação de uma curva paramétrica plana é o sentido em 
que a curva é percorrida quando o parâmetro da curva aumenta. 
 
A orientação de uma curva está intimamente associada à parametrização 
utilizada para descrever essa curva, e poderá ser invertida se utilizarmos uma 
parametrização diferente para a mesma curva. 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
32 
Se for possível eliminar o parâmetro t das equações paramétricas, perde-se a 
informação acerca da orientação da curva, e pode mesmo acontecer que a 
extensão do gráfico da curva seja alterada. 
 
 
7.2.2 Equações paramétricas da recta 
 
 
Qualquer recta do plano Oxy pode sempre ser representada pelas suas equações 
paramétricas, que exprimem x e y como funções lineares do parâmetro t: 
 
� 
x = xo + a t
y = yo + b t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 , com t ∈ IR 
 
em que (xo, yo) são as coordenadas rectangulares de um ponto arbitrário da 
recta, e em que a e b são duas constantes relacionadas com o seu declive: 
 
 
 
Se a ≠ 0 e b ≠ 0, o parâmetro t pode ser facilmente eliminado daquelas duas 
equações, obtendo-se a equação da recta em coordenadas rectangulares: 
 
� 
x − xo
a =
y − yo
b ⇒ y − yo =
b
a (x − xo) 
 
7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
33 
pelo que o declive da recta é exactamente igual a 
� 
b
a . Se a = 0 e b ≠ 0, obtém-se 
a recta vertical x = xo; se a ≠ 0 e b = 0, obtém-se a recta horizontal y = yo. 
 
 
7.2.3 Equações paramétricas da elipse (circunferência) 
 
 
Qualquer elipse de semieixos paralelos aos eixos coordenados pode sempre ser 
representada pelas equações paramétricas 
 
� 
x = xo + a cos t
y = yo + b sen t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 , com t ∈ [0, 2π], a > 0 e b > 0 
 
em que a e b representam o comprimento dos semieixos da elipse na direcção 
dos eixos Ox e Oy, respectivamente, e (xo, yo) são as coordenadas rectangulares 
do seu centro. A orientação associada a esta representação paramétrica equivale 
a percorrer a elipse no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio: 
 
 
 
O parâmetro t pode agora ser eliminado utilizando a identidade fundamental da 
Trigonometria, obtendo-se a equação em coordenadas rectangulares de uma 
elipse centrada em (xo, yo) e com os eixos paralelos a Ox e a Oy: 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
34 
cos2 t + sen2 t = 1 ⇒ 
� 
(x − xo)2
a2
 + 
� 
(y − yo)2
b2
 = 1 
 
Se a = b, as equações acima escritas (quer as equações paramétricas, quer a 
equação em coordenadas rectangulares) representam uma circunferência de raio 
a centrada no ponto de coordenadas rectangulares (xo, yo). 
 
Exemplo 7.6 Orientação associada a duas parametrizações diferentes da 
circunferência de raio 1 centrada na origem, de equação 
x2 + y2 = 1: 
 
 
Se utilizarmos a parametrização 
� 
x = cos t
y = sen t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 , 0 ≤ t ≤ 2π, a circunferência é 
descrita a partir do ponto de coordenadas (1, 0) no sentido contrário ao dos 
ponteiros do relógio: 
 
t 0 π/2 π 3π/2 2π 
x 1 0 – 1 0 1 
y 0 1 0 – 1 0 
 
Se, porém, utilizarmos a parametrização 
� 
x = cos t
y = − sen t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 , 0 ≤ t ≤ 2π, a mesma 
circunferência é descrita a partir do ponto de coordenadas (1, 0) no sentido dos 
ponteiros do relógio: 
 
t 0 π/2 π 3π/2 2π 
x 1 0 – 1 0 1 
y 0 – 1 0 1 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
35 
7.2.4 Equações paramétricas do ciclóide 
 
 
O ciclóide é a curva descrita por um ponto fixo P da periferia de um círculo de 
raio a, quando esse círculo roda sem deslizar ao longo do eixo Ox: 
 
 
 
As equações paramétricas do ciclóide são (ver exemplo seguinte): 
 
� 
x = a (t − sen t)
y = a (1 − cos t)
⎧⎨ 
⎩ 
 , com t ∈ IR e a ∈ IR+ 
 
Exemplo 7.7 Dedução geométrica das equações paramétricas do ciclóide: 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
36 
As equações paramétricas do ciclóide podem ser deduzidas geometricamente se 
interpretarmos o parâmetro t como sendo o ângulo de rotação do círculo, 
expresso em radianos (ver figura anterior): 
 
1. arco 
� 
PT = 
� 
OT, porque o círculo roda sem deslizar, e o ponto P 
encontrava-se inicialmente em O; 
2. arco 
� 
PT = at, porque é o comprimento de um arco de circunferência de 
raio a e ângulo-ao-centro t; 
3. 
� 
PQ = 
� 
OT – 
� 
Ox = at – x (evidente da figura); 
4. 
� 
PQ = a sen t, do triângulo rectângulo PQC; 
5. at – x = a sen t ⇒ x = at – a sen t = a (t – sen t), de 3. e 4.; 
6. 
� 
CQ = 
� 
Oa – 
� 
Oy = a – y (evidente da figura); 
7. 
� 
CQ = a cos t, do triângulo rectângulo PQC; 
8. a – y = a cos t ⇒ y = a – a cos t = a (1 – cos t), de 6. e 7. 
 
É possível eliminar o parâmetro t das equações paramétricas e relacionar 
directamente x com y, mas o resultado que se obtém por este processo é muito 
mais complicado do que as equações paramétricas acima escritas. 
 
 
7.2.5 Funções definidas por representações paramétricas 
 
 
Definição: Uma curva plana representada pelo par de equações paramétricas 
{x = f(t),y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR}, diz-se uma curva suave (ou 
curva lisa) se as derivadas 
� 
dx
dt e 
� 
dy
dt forem contínuas e não se 
anularem simultaneamente para nenhum valor de t ∈ I. 
 
Mostremos que uma curva paramétrica suave pode sempre ser considerada 
como sendo o gráfico de uma função do tipo y = F(x) numa certa vizinhança de 
qualquer ponto da curva onde 
� 
dx
dt ≠ 0: 
 
� 
dx
dt > 0 (ou < 0), ∀t ∈ I ⇒ x = f(t) é crescente (ou decrescente), ∀t ∈ I ⇒ 
 
⇒ Existe a função inversa t = f–1(x) ⇒ y = g(t) = g(f–1(x)) = F(x) 
7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
37 
Os dois gráficos seguintes mostram estas situações para o caso em que I = [a,b]: 
 
 
 
Repare-se bem que, se 
� 
dx
dt ≠ 0, apenas podemos garantir que a função y = F(x) 
existe, mas isso não significa que possamos saber qual é essa função! Para isso 
acontecer, teríamos de ser capazes de eliminar o parâmetro t das duas equações 
paramétricas, o que na maior parte dos casos é impossível. 
 
 
7.2.5.1 Derivação de funções do tipo y = F(x) 
definidas por representações paramétricas 
 
 
Se for verificada a condição 
� 
dx
dt ≠ 0 num intervalo contido em I, a derivada da 
função y = F(x) nesse intervalo poderá ser obtida directamente das equações 
paramétricas, sem que seja necessário eliminar o parâmetro t para conhecer a 
função y = F(x). 
 
De facto, se 
� 
dx
dt ≠ 0, mostrámos acima que t = f
–1(x) ⇒ y = g(f–1(x)) = F(x). 
Aplicando as conhecidas regras de derivação da função composta e da função 
inversa, obtém-se o seguinte resultado para a derivada de F(x): 
 
F´(x) = 
� 
g f−1(x)( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 
′
= 
� 
g ′ f−1(x)( ) 
� 
f−1(x)( )′ = 
� 
g ′ f−1(x)( ) 
� 
1
f ′ f−1(x)( ) = 
� 
g ′ f−1(x)( )
f ′ f−1(x)( ) 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
38 
Substituindo agora f–1(x) por t na última expressão, vem o resultado pretendido: 
 
F´(x) = 
� 
g ′(t)
f ′(t) , se f´(t) ≠ 0 
 
Repare-se que nesta fórmula o símbolo de derivação se refere à variável x no 1º 
membro e à variável t no 2º membro! Se utilizarmos a notação diferencial para 
as derivadas, o resultado é muito mais “intuitivo” e fácil de memorizar: 
 
� 
dy
dx = 
� 
dy
dt
dx
dt
 , se 
� 
dx
dt ≠ 0 
 
Para calcularmos F´´(x), basta repetir o procedimento anterior, derivando 
� 
g ′(t)
f ′(t) 
em ordem a x por intermédio de t: 
 
F´´(x) = 
� 
d
dx 
� 
g ′(t)
f ′(t)
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
 = 
� 
d
dt
g ′(t)
f ′(t)
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
dx
dt
 = 
� 
g ′(t)
f ′(t)
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
′
f ′(t) , se f´(t) ≠ 0 
 
Este resultado também pode ser escrito utilizando apenas a notação diferencial: 
 
� 
d2y
dx2
 = 
� 
d
dx 
� 
dy
dx
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ = 
� 
d
dt
dy/dt
dx/dt
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
dx
dt
 , se 
� 
dx
dt ≠ 0 
 
Exemplo 7.8 Considere a curva paramétrica seguinte: 
� 
x = 2t2 + 1
y = 3t3 + 2
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
 , com t ∈ IR . 
(a) Escreva a equação da tangente à curva no ponto onde 
o parâmetro t toma o valor 1; 
(b) Determine o sinal da concavidade no mesmo ponto. 
 
7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
39 
(a) 
 
� 
dx
dt = 4t
dy
dt = 9t
2
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
 ⇒ 
� 
dy
dx = 
� 
9t2
4t = 
� 
9 t
4 , se t ≠ 0 
 
Para t = 1, obtém-se x = 3, y = 5 e 
� 
dy
dx
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ t = 1
 = 
� 
9
4 , logo a equação da tangente à 
curva no ponto correspondente a t = 1 será: (y – 5) = 
� 
9
4 (x – 3). 
 
(b) 
 
� 
d2y
dx2
 = 
� 
d
dx 
� 
9 t
4
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ = 
� 
d
dt
9 t
4
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
dx
dt
 = 
� 
9
4
4t = 
� 
9
16 t , se t ≠ 0 ⇒ 
 
⇒ 
� 
d2y
dx2
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
t = 1
 = 
� 
9
16 > 0 ⇒ concavidade positiva. 
 
 
 
7.2.5.2 Integração de funções do tipo y = F(x) 
definidas por representações paramétricas 
 
 
Suponhamos que era dada a curva paramétrica suave de equações {x = f(t), 
y = g(t)}, com a ≤ t ≤ b; para garantir que esta curva representa o gráfico de uma 
função não-negativa y = F(x) no intervalo [c,d] correspondente, vamos admitir 
que 
� 
dx
dt ≠ 0 e que y = g(t) ≥ 0 em [a,b]: 
 
Podemos então calcular directamente a área delimitada pelo gráfico de y = F(x) 
e pelo eixo Ox entre c e d, utilizando as equações paramétricas da curva, mesmo 
sem conhecermos a função F(x): 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
40 
A = 
� 
c
d
∫ F(x) dx = 
� 
c
d
∫ y dx = 
� 
y = g(t)
dx = dxdt dt
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ = 
� 
*
**
∫ y(t) 
� 
dx
dt dt 
 
em que a notação y(t), aqui utilizada pela primeira vez, significa que devemos 
exprimir y em função de t (y = g(t)) para calcularmos o integral, e em que * = a 
e ** = b se 
� 
dx
dt > 0, mas * = b e ** = a se 
� 
dx
dt < 0, como se depreende facilmente 
das duas figuras abaixo representadas: 
 
 
 
Note-se pois que a integração com respeito a t poderá ser feita de a para b ou de 
b para a, conforme a orientação da curva paramétrica que representa o gráfico 
de y = F(x); em qualquer dos casos, independentemente dessa orientação, isto 
corresponde a uma integração com respeito a x feita de c para d. 
 
O volume dos sólidos de revolução que se obtêm por rotação da mesma região 
do plano em torno de Ox ou de Oy também pode ser calculado directamente a 
partir da representação paramétrica, sem termos de eliminar o parâmetro t: 
 
• Rotação em torno de Ox (método das secções rectas): 
 
Vx = π
� 
c
d
∫ [F(x)]2 dx = π
� 
c
d
∫ y2 dx = 
 
= 
� 
y = g(t)
dx = dxdt dt
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ = π
� 
*
**
∫ [y(t)]2 
� 
dx
dt dt 
7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
41 
• Rotação emtorno de Oy (método das cascas cilíndricas): 
 
Vy = 2π
� 
c
d
∫ x F(x) dx = 2π
� 
c
d
∫ x y dx = 
 
= 
� 
x = f(t)
y = g(t)
dx = dxdt dt
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ 
⎜ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
⎟ 
⎟ 
⎟ 
 = 2π
� 
*
**
∫ x(t) y(t) 
� 
dx
dt dt 
 
Nestes integrais, mais uma vez, a notação x(t) e y(t) significa que devemos 
exprimir estas duas variáveis em função do parâmetro t, e os limites * e ** têm 
o significado já explicado: * = a e ** = b se 
� 
dx
dt > 0, ou * = b e ** = a se 
� 
dx
dt < 0. 
 
Exemplo 7.9 Calcule a área delimitada pelo arco de ciclóide de equações 
paramétricas {x = t – sen t, y = 1 – cos t, 0 ≤ t ≤ 2π} e pelo 
eixo Ox, e o volume que se obtém rodando essa região do 
plano Oxy em torno do eixo Ox. 
 
 
 
 
� 
x = t − sen t
y = 1 − cos t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 , com 0 ≤ t ≤ 2π 
 
� 
dx
dt = 1 – cos t 
 
A =
� 
0
2π
∫ y(t) 
� 
dx
dt dt =
� 
0
2π
∫ (1 – cos t) (1 – cos t) dt = 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
42 
=
� 
0
2π
∫ (1 – 2 cos t + cos2t) dt =
� 
0
2π
∫ (
� 
3
2 – 2 cos t + 
� 
1
2 cos 2t) dt = 3π 
 
Vx = π
� 
0
2π
∫ [y(t)]2 
� 
dx
dt dt = π
� 
0
2π
∫ (1 – cos t)2 (1 – cos t) dt = 
 
= π
� 
0
2π
∫ (1 – 3 cos t + 3 cos2t – cos3t) dt = 
� 
cos t dt = 0
0
2π
∫
cos3 t dt = 0
0
2π
∫
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ 
⎜ ⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
⎟ 
⎟ ⎟ 
 = 
 
= π
� 
0
2π
∫ (1 + 3 cos2t) dt = π
� 
0
2π
∫ (
� 
5
2 + 
� 
3
2 cos 2t) dt = 5π
2 
 
Podemos calcular o comprimento do arco de curva suave, que constitui o gráfico 
da função y = F(x) em [c,d], sem eliminar t das equações {x = f(t), y = g(t)}: 
 
s =
� 
c
d
∫
� 
1 + F′(x)[ ]2 dx = 
� 
c
d
∫
� 
1 + dydx
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ 
2
 dx = 
 
= 
� 
dy
dx =
dy
dt
dx
dt
; dx = dxdt dt
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ ⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
⎟ ⎟ 
 = 
� 
*
**
∫
� 
dx
dt
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ 
2
+
dy
dt
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ 
2
dx
dt
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ 
2 
� 
dx
dt dt = 
 
=
� 
*
**
∫
� 
dx
dt
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ 
2
+
dy
dt
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ 
2
 
� 
dx
dt
dx
dt
 dt = 
� 
a
b
∫
� 
dx
dt
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ 
2
+
dy
dt
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ 
2
 dt 
 
A justificação da última passagem é a seguinte: (* = a e ** = b) se 
� 
dx
dt > 0 ⇒ 
⇒ 
� 
dx
dt = 
� 
dx
dt , mas (* = b e ** = a) se 
� 
dx
dt < 0 ⇒ 
� 
dx
dt = – 
� 
dx
dt . Portanto, 
neste caso, a integração é sempre feita de a para b, quer 
� 
dx
dt > 0, quer 
� 
dx
dt < 0. 
7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
43 
 
Exemplo 7.10 Calcule o comprimento do arco de ciclóide de equações 
paramétricas {x = t – sen t, y = 1 – cos t}, em que 0 ≤ t ≤ 2π. 
 
 
 
 
� 
x = t − sen t
y = 1 − cos t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 , com 0 ≤ t ≤ 2π 
 
� 
dx
dt = 1 – cos t ; 
� 
dy
dt = sen t 
 
s =
� 
0
2π
∫
� 
dx
dt
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ 
2
+
dy
dt
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ 
2
 dt =
� 
0
2π
∫
� 
1 − cos t( )2 + sen t( )2 dt = 
 
=
� 
0
2π
∫
� 
2 − 2 cos t dt = [porque 1 – cos t ≡ 2 sen2 (t/2)] 
 
=
� 
0
2π
∫
� 
4 sen2 (t /2) dt =
� 
0
2π
∫ 2 
� 
sen (t /2) dt = 
 
[porque 0 ≤ t ≤ 2π ⇒ 0 ≤ t/2 ≤ π ⇒ 
 
⇒ sen (t/2) ≥ 0 ⇒ 
� 
sen (t /2) = sen (t/2)] 
 
= 2
� 
0
2π
∫ sen (t/2) dt = 8 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
44 
7.2.5.3 Derivação e integração de funções do tipo x = G(y) 
definidas por representações paramétricas 
 
 
Uma curva paramétrica suave de equações {x = f(t), y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR} 
pode sempre ser considerada como sendo o gráfico de uma função do tipo x = 
= G(y) numa certa vizinhança de qualquer ponto da curva onde 
� 
dy
dt ≠ 0: 
 
� 
dy
dt > 0 (ou < 0), ∀t ∈ I ⇒ y = g(t) é crescente (ou decrescente), ∀t ∈ I ⇒ 
 
⇒ Existe a função inversa t = g–1(y) ⇒ x = f(t) = f(g–1(y)) = G(y) 
 
Os dois gráficos seguintes mostram estas situações para o caso em que I = [a,b]: 
 
 
 
É possível escrever fórmulas análogas às que deduzimos atrás para calcular 
derivadas ou integrais (por exemplo áreas, ou volumes de sólidos de revolução, 
ou comprimentos de arcos de curva), sem termos necessidade de eliminar o 
parâmetro t, ou seja, sem termos de conhecer a função x = G(y). 
 
Por exemplo, a derivada da função x = G(y) será agora dada pela fórmula: 
 
� 
dx
dy = 
� 
dx
dt
dy
dt
 , se 
� 
dy
dt ≠ 0 
7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
45 
Se 
� 
dy
dt > 0 ou 
� 
dy
dt < 0, e se adicionalmente for x = f(t) ≥ 0 em [a,b], a área que é 
delimitada pelo gráfico de x = G(y) em [c,d] e pelo eixo Oy é dada por: 
 
A = 
� 
c
d
∫ G(y) dy = 
� 
c
d
∫ x dy = 
� 
x = f(t)
dy = dydt dt
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ = 
� 
*
**
∫ x(t) 
� 
dy
dt dt 
 
em que (* = a e ** = b) se 
� 
dy
dt > 0, mas (* = b e ** = a) se 
� 
dy
dt < 0. As fórmulas 
para o cálculo de volumes de sólidos de revolução e comprimentos de arcos de 
curva no caso em que x = G(y) podem ser facilmente deduzidas. 
 
 
7.2.6 Representação paramétrica de curvas 
em coordenadas polares 
 
 
Uma curva plana também pode ser representada se exprimirmos as coordenadas 
polares (r, θ) de um ponto “corrente” da curva como funções contínuas de um 
parâmetro t qualquer: 
 
� 
r = r(t)
θ = θ(t)
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 , com t ∈ I ⊆ IR 
 
Esta representação paramétrica em coordenadas polares pode sempre ser 
transformada numa representação paramétrica da mesma curva em coordenadas 
rectangulares, com a mesma parametrização: 
 
� 
x = r cos θ = r(t) cos (θ(t)) = f(t)
y = r sen θ = r(t) sen (θ(t)) = g(t)
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 , com t ∈ I ⇒ 
 
⇒ 
� 
dx
dt =
dr
dt cos (θ(t)) − r(t) sen (θ(t))
dθ
dt
dy
dt =
dr
dt sen (θ(t)) + r(t) cos (θ(t))
dθ
dt
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
46 
Supondo que as equações paramétricas acima escritas definem uma função 
y = F(x) (ou x = G(y)) num intervalo contido em I, podemos agora utilizar as 
expressões de x = f(t), y = g(t), 
� 
dx
dt e 
� 
dy
dt acima obtidas para calcular derivadas 
e/ou integrais (áreas, volumes, etc.) envolvendo essa função, sem termos de 
saber exactamente qual é a função, conforme foi explicado atrás. 
 
Exemplo 7.11 A trajectória de uma partícula material no plano Oxy pode 
ser representada pelas equações paramétricas 
� 
r = cos t
θ =
1
2 t
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
, 
com t ≥ 0, em que t é o tempo. Qual a forma da trajectória da 
partícula? Quais as componentes da velocidade segundo os 
eixos Ox e Oy em cada instante t? 
 
 
� 
r = cos t
θ =
1
2 t
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
 ⇒ t = 2θ ⇒ r = cos 2θ (rosácea de 4 laços) 
 
 
 
A partícula inicia o seu movimento no instante t = 0 no ponto de coordenadas 
rectangulares (1, 0), e percorre a rosácea de 4 laços representada na figura junta, 
voltando ao ponto de partida quando t = 4π (θ = 2π), e recomeçando novamente 
a percorrer a mesma trajectória. 
7.2CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
47 
As componentes da velocidade da partícula em cada instante t são 
� 
dx
dt e 
� 
dy
dt : 
 
� 
x = r cos θ = cos t cos 12 t
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
y = r sen θ = cos t sen 12 t
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
⎧ 
⎨ 
⎪ ⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
 ⇒ 
 
⇒ 
� 
dx
dt = − sen t cos
1
2 t
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ −
1
2 cos t sen
1
2 t
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
dy
dt = − sen t sen
1
2 t
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ +
1
2 cos t cos
1
2 t
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
⎧ 
⎨ 
⎪ ⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
 
 
 
 
7.2.7 Utilização da coordenada θ como parâmetro 
 
 
Sempre que uma curva polar puder ser representada por uma equação explícita 
do tipo r = r(θ), a escolha mais natural para o parâmetro t da curva polar é a 
própria coordenada angular θ: 
 
r = r(θ) ⇒ 
� 
x = r cos θ = r(θ) cos θ = f(θ)
y = r sen θ = r(θ) sen θ = g(θ)
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 ⇒ 
 
⇒ 
� 
dx
dθ =
dr
dθ cos θ − r(θ) sen θ
dy
dθ =
dr
dθ sen θ + r(θ) cos θ
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
 
 
Supondo que a curva polar de equação r = r(θ) representa uma função y = F(x) 
(ou x = G(y)) no intervalo considerado, podemos agora utilizar as expressões 
acima obtidas para calcular derivadas e/ou integrais (áreas, volumes, etc.) 
envolvendo essa função, sem termos de saber exactamente qual é a função. Por 
exemplo, se quisermos calcular 
� 
dy
dx = F´(x): 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
48 
� 
dy
dx = 
� 
dy
dθ
dx
dθ
 = 
� 
dr
dθ sen θ + r(θ) cos θ
dr
dθ cos θ − r(θ) sen θ
 
 
desde que 
� 
dx
dθ ≠ 0, ou seja, 
� 
dr
dθ cos θ ≠ r(θ) sen θ. 
 
Exemplo 7.12 Obtenha as coordenadas polares dos pontos do cardióide de 
equação r = 1 – cos θ onde a tangente ao gráfico é vertical. 
 
 
 
 
Tangente vertical ⇒ 
� 
dy
dx→ ± ∞ ⇒ 
� 
dx
dy = 0 
 
� 
x = r cos θ = (1 − cos θ) cos θ
y = r sen θ = (1 − cos θ) sen θ
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 ⇒ 
� 
dx
dθ = sen θ (2 cos θ − 1)
dy
dθ = cos θ − cos 2θ
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
 
 
� 
dx
dy = 
� 
dx
dθ
dy
dθ
 = 0 ⇒ 
� 
dx
dθ = 0 ∧ 
� 
dy
dθ ≠ 0 ⇒ 
 
7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
49 
⇒ sen θ (2 cos θ – 1) = 0 ∧ cos θ – cos 2θ ≠ 0 ⇒ 
 
⇒ (sen θ = 0 ∨ cos θ = 1/2) ∧ cos θ – cos 2θ ≠ 0 ⇒ 
 
⇒ (θ = 0 ∨ θ = π ∨ θ = 2π ∨ θ = π/3 ∨ θ = 5π/3) ∧ cos θ – cos 2θ ≠ 0 ⇒ 
 
⇒ θ = π/3 (r = 1/2) ∨ θ = π (r = 2) ∨ θ = 5π/3 (r = 1/2) 
 
Se a curva polar de equação r = r(θ) passar pela origem das coordenadas quando 
θ = θo (isto é, se r(θ) = 0 ⇒ θ = θo), e se 
� 
dr
dθ ≠ 0 no mesmo ponto, então, 
substituindo r(θ) = 0 e θ = θo na equação 
� 
dy
dx = 
� 
dr
dθ sen θ + r(θ) cos θ
dr
dθ cos θ − r(θ) sen θ
 e 
simplificando, obtemos imediatamente 
� 
dy
dx
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ r = 0
 = tg θo, o que significa que a 
recta θ = θo é tangente à curva polar r = r(θ) na origem (r = 0): 
 
 
 
Exemplo 7.13 A rosácea de equação r = 2 cos 3θ, com 0 ≤ θ ≤ π, passa três 
vezes pela origem das coordenadas. Calcule o declive das 
três rectas tangentes à rosácea na origem. 
 
 
Na origem das coordenadas, r = 0 ⇒ cos 3θ = 0 ⇒ 3θ = (2k + 1) 
� 
π
2 , k ∈ Z ⇒ 
⇒ θ = (2k + 1) 
� 
π
6 , k ∈ Z. Como 0 ≤ θ ≤ π, as três soluções possíveis são: 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
50 
θ = 
� 
π
6 (k = 0) ; θ = 
� 
3π
6 = 
� 
π
2 (k = 1) ; θ = 
� 
5π
6 (k = 2) 
 
Verifiquemos se 
� 
dr
dθ ≠ 0 em cada um destes três pontos: 
 
� 
dr
dθ = – 6 sen 3θ ⇒ 
� 
dr
dθ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ θ = π /6
= − 6 sen (π /2) = − 6 ≠ 0
dr
dθ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ θ = π /2
= − 6 sen (3π /2) = 6 ≠ 0
dr
dθ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ θ = 5π /6
= − 6 sen (5π /2) = − 6 ≠ 0
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎪ 
⎪ ⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
 
 
Podemos então concluir que as rectas de equações θ = 
� 
π
6 , θ = 
� 
π
2 e θ = 
� 
5π
6 são 
tangentes à rosácea de equação r = 2 cos 3θ na origem das coordenadas: 
 
 
 
A fórmula que permite calcular o comprimento de um arco de curva suave tem 
um aspecto muito simples para uma curva polar de equação explícita r = r(θ): 
 
� 
dx
dθ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
 + 
� 
dy
dθ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
 = 
� 
dr
dθ cos θ − r(θ) sen θ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
 + 
� 
dr
dθ sen θ + r(θ) cos θ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
 
 
7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
51 
Desenvolvendo o 2º membro e simplificando (verificar!), obtém-se: 
 
� 
dx
dθ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
 + 
� 
dy
dθ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
 = [r(θ)]2 + 
� 
dr
dθ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
 
 
Substituindo este resultado na fórmula que foi obtida atrás para o cálculo do 
comprimento de um arco de uma curva paramétrica suave, com t = θ, a = α e 
b = β, obtém-se a fórmula pretendida: 
 
s =
� 
α
β
∫
� 
r(θ)[ ]2 + drdθ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
 dθ 
 
Exemplo 7.14 Calcular o comprimento do cardióide de equação r = 1 – cos θ. 
 
 
r(θ) = 1 – cos θ ⇒ 
� 
dr
dθ = sen θ ⇒ 
 
⇒ [r(θ)]2 + 
� 
dr
dθ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
 = (1 – cos θ)2 + (sen θ)2 = 2 – 2 cos θ = 
 
= 2 (1 – cos θ) = [1 – cos θ ≡ 2 sen2 (θ/2)] = 4 sen2 (θ/2) ⇒ 
 
⇒ 
� 
r(θ)[ ]2 + drdθ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
= 2 sen2 (θ/2) = 2 sen (θ/2) 
 
0 ≤ θ ≤ 2π ⇒ 0 ≤ θ/2 ≤ π ⇒ sen (θ/2) ≥ 0 ⇒ 
� 
r(θ)[ ]2 + drdθ
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
 = 2 sen (θ/2) 
 
s =
� 
0
2π
∫ 2 sen (θ/2) dθ = [– 4 cos (θ/2)]
� 
2π
0 = – 4 cos π + 4 cos 0 = 8. 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
52 
Problemas propostos / Secção 7.2 
 
1. Em cada caso, elimine o parâmetro t e represente graficamente a 
correspondente curva, indicando qual a sua orientação: 
(a) x = 3t – 4, y = 6t + 2, t ∈ IR ; 
(b) x = 2 cos t, y = 5 sen t, 0 ≤ t ≤ 2π; 
(c) x = t2, y = t3, t ∈ IR ; 
(d) x = t2, y = 2 ln t, t ≥ 1. 
 
2. Para cada uma das curvas paramétricas abaixo referidas, escreva a 
equação da tangente à curva no ponto indicado, e verifique em seguida se 
a concavidade é positiva ou negativa no mesmo ponto, tudo isto sem 
eliminar o parâmetro t: 
(a) x = 2t3 + 2 , y = 3t2 + 1, quando t = 1; 
(b) x = t sen t, y = t cos t, quando t = π/2; 
(c) x = 
� 
3t
1 + t3
 , y = 
� 
3t2
1 + t3
 , quando t = 1. 
 
3. Em cada caso, determine a área delimitada pela curva paramétrica dada e 
pelo eixo Ox, e calcule em seguida o volume que se obtém ao rodar essa 
região em torno do eixo Ox: 
(a) x = t3, y = 2t2 + 1, – 1 ≤ t ≤ 1; 
(b) x = e3t, y = e–t, 0 ≤ t ≤ ln 2; 
(c) x = cos t, y = sen2 t, 0 ≤ t ≤ π; 
(d) x = cos t, y = et, 0 ≤ t ≤ π. 
 
4. Em cada caso, determine o comprimento da curva paramétrica dada: 
(a) x = 2t, y = 
� 
2
3 t
3/2, 5 ≤ t ≤ 12; 
(b) x = 
� 
1
2 t
2, y = 
� 
1
3 t
3, 0 ≤ t ≤ 1; 
(c) x = sen t – cos t, y = sen t + cos t, π ≤ 4t ≤ 2π; 
(d) x = et sen t, y = et cos t, 0 ≤ t ≤ π. 
 
 
 
7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
53 
5. Para cada uma das curvas polares abaixo referidas, escreva a equação da 
tangente à curva no ponto indicado: 
(a) r = exp (
� 
3θ), quando θ = π/2; 
(b) r = sen3θ, quando θ = π/6; 
(c) r = 
� 
1
θ
 , quando θ = 2. 
 
6. Determine as coordenadas rectangulares de todos os pontos da curva 
polar r = 1 – 2 sen θ em que a tangente à curva é horizontal. 
 
7. Em cada caso, determine o comprimento da curva polar dada: 
(a) r = eθ/2, 0 ≤ θ ≤ 4π; 
(b) r = θ, 2π ≤ θ ≤ 4π. 
 
Soluções dos problemas propostos / Secção 7.2 
 
1. (a) y = 2x + 10; 
(b) 25 x2 + 4 y2 = 100; 
 
 
 
(c) y2 = x3; 
(d) y = ln x, x ≥ 1. 
 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
54 
2. (a) y = x e concavidade negativa; 
(b) y = 
� 
π
2
π
2 − x
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ e concavidade negativa; 
(c) y = – x + 3 e concavidade negativa. 
 
 
 
3. (a) 
� 
22
5 e 
� 
358π
35 ; 
(b) 
� 
9
2 e 3π; 
 
 
 
(c) 
� 
4
3 e 
� 
16π
5 ; 
(d) 
� 
1
2 e
π + 1( ) e 
� 
π
5 e
2π + 1( ) . 
 
 
 
7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
55 
4. (a) 
� 
74
3 ; 
(b) 
� 
1
3 2 2 − 1( ); 
 
 
 
(c) 
� 
2 π
4 ; 
(d) 
� 
2 eπ − 1( ). 
 
 
 
5. (a) y = e
� 
3 π /2 – 
� 
3 x; 
(b) y = 2 – 
� 
3 x; 
(c) 
� 
y − sen 22
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ = 
� 
tg 2 − 2
2 tg 2 + 1
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
 
� 
x − cos 22
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ . 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
________________________________________________________________ 
56 
6. (0, – 1), (0, – 3), 
� 
15 /8, 1/8( ) e 
� 
− 15 /8, 1/8( ). 
 
 
 
7. (a) 
� 
5 e2π − 1( ); 
(b) 
� 
2π 1 + 16π2 + 12 ln 4π + 1 + 16π
2⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
⎡ 
⎣ ⎢ 
 – 
– 
� 
π 1 + 4π2 − 12 ln 2π + 1 + 4π
2⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
⎤ 
⎦ ⎥ 
. 
 
 
 
7.A: CURVAS PLANAS DO 2º GRAU OU “CÓNICAS” 
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57 
7.A Curvas planas do 2º grau ou “cónicas” 
 
 
Se exceptuarmos os chamados “casos degenerados” (por exemplo, x2 + y2 = 0, 
ou y2 – x2 = 0) há apenas três tipos de curvas planas do 2º grau, que também 
são chamadas (secções) “cónicas”: a parábola, a elipse (de que a circunferência 
é um caso particular), e a hipérbole. 
 
Iremos aqui recordar a representação analítica destas três curvas do 2º grau, mas 
apenas no caso mais simples em que os eixos de simetria são paralelos aos eixos 
coordenados no plano Oxy. Se for este o caso, pode-se mostrar que não aparece 
o termo em xy na equação da curva do 2º grau, ou seja, ela será do tipo seguinte: 
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0. 
 
 
7.A.1 Parábola 
 
 
A equação 
 
(x – h)2 = ± 4p (y – k) 
 
representa uma parábola com 
vértice em (h,k) e eixo de 
simetria paralelo a Oy, 
“abrindo” na direcção positiva 
ou na direcção negativa do eixo 
Oy, conforme o sinal ± no 2º 
membro. 
 
 
O número positivo p, que aparece nesta equação e na seguinte, representa a 
distância entre o vértice e o foco da parábola, em que ambos os pontos estão 
situados sobre o eixo de simetria da parábola. 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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58 
A equação 
 
(y – k)2 = ± 4p (x – h) 
 
representa uma parábola com 
vértice em (h,k) e eixo de 
simetria paralelo a Ox, 
“abrindo” na direcção positiva 
ou na direcção negativa do eixo 
Ox, conforme o sinal ± no 2º 
membro. 
 
 
 
7.A.2 Elipse 
 
 
A equação 
 
� 
(x − h)2
a2
 + 
� 
(y − k)2
b2
 = 1 
 
com a > 0 e b > 0, representa 
uma elipse com centro em (h,k) 
e semieixos de comprimentos a 
e b, na direcção dos eixos Ox e 
Oy, respectivamente. 
 
 
No caso particular em que a = b, resulta uma circunferência com centro em 
(h,k), de raio a = b, cuja equação é (x – h)2 + (y – k)2 = a2. 
 
 
7.A: CURVAS PLANAS DO 2º GRAU OU “CÓNICAS” 
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59 
7.A.3 Hipérbole 
 
 
A equação 
 
� 
(y − k)2
b2
 – 
� 
(x − h)2
a2
 = 1 
 
com a > 0 e b > 0, representa 
uma hipérbole com centro em 
(h,k) e eixo focal paralelo a Oy, 
sendo a distância dos vértices 
ao centro da hipérbole igual a 
b. 
 
 
O eixo focal duma hipérbole é a recta sobre a qual estão situados os dois focos, 
assim como os dois vértices e o centro da hipérbole. 
 
A equação 
 
� 
(x − h)2
a2
 – 
� 
(y − k)2
b2
 = 1 
 
com a > 0 e b > 0, representa 
uma hipérbole com centro em 
(h,k) e eixo focal paralelo a Ox, 
sendo a distância dos vértices 
ao centro da hipérbole igual a 
a. 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 
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60 
Para decidirmos qual destas curvas é que é representada por uma equação do 
tipo Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, temos em 1º lugar de “completar o 
quadrado” nas variáveis x e/ou y, para em seguida podermos comparar com as 
equações acima escritas: 
 
Exemplo 7A.1 Descreva de forma sucinta o gráfico no plano Oxy das 
equações do 2º grau a seguir indicadas: 
(a) y2 – 8x – 6y – 23 = 0; 
(b) 16x2 + 9y2 – 64x – 54y + 1 = 0; 
(c) x2 – y2 – 4x + 8y – 21 = 0. 
 
 
(a) y2 – 8x – 6y – 23 = 0 ⇒ y2 – 6y = 8x + 23 ⇒ 
 
⇒ y2 – 6y + 9 = 8x + 32 ⇒ (y – 3)2 = 8 (x + 4). 
 
Esta equação representa uma parábola com vértice em (– 4, 3) e eixo de simetria 
paralelo a Ox, “abrindo” na direcção positiva do eixo Ox. 
 
 
(b) 16x2 + 9y2 – 64x – 54y + 1 = 0 ⇒ 16 (x2 – 4x) + 9 (y2 – 6y) = – 1 ⇒ 
 
⇒ 16 (x2 – 4x + 4) + 9 (y2 – 6y + 9) = – 1 + 64 + 81 ⇒ 
 
⇒ 16 (x – 2)2 + 9 (y – 3)2 = 144 ⇒ 
� 
(x − 2)2
9 +
(y − 3)2
16 = 1. 
 
Esta equação representa uma elipse com centro em (2, 3) e com semieixos de 
comprimentos 3 e 4 na direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente. 
 
 
(c) x2 – y2 – 4x + 8y – 21 = 0 ⇒ (x2 – 4x) – (y2 – 8y) = 21 ⇒ 
 
⇒ (x2 – 4x + 4) – (y2 – 8y + 16) = 21 + 4 – 16 ⇒ 
 
 
7.A: CURVAS PLANAS DO 2º GRAU OU “CÓNICAS” 
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61 
⇒ (x – 2)2 – (y – 4)2 = 9 ⇒ 
� 
(x − 2)2
9 −
(y − 4)2
9 = 1. 
 
Esta equação representa uma hipérbole com centro em (2, 4) e eixo focal 
paralelo a Ox, sendo a distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a 3. 
 
 
 
Problemas propostos / Secção 7.A 
 
Descreva de forma sucinta o gráfico no plano Oxy das equações do 2º grau a 
seguir indicadas: 
(a) x2 – 4x + 2y = 1; 
(b) x2 + 9y2 + 2x – 18y + 1 = 0; 
(c) 4x2 – 9y2 – 16x – 54y – 29 = 0; 
(d) y2 – 6y – 2x + 1 = 0; 
(e) 5x2 + 9y2 + 20x – 54y = – 56; 
(f) x2 – 4y2 + 2x + 8y – 7 = 0. 
 
Soluções dos problemas propostos / Secção 7.A 
 
(a) Parábola com vértice em (2, 5/2) e eixo de simetria paralelo a Oy, 
“abrindo” na direcção negativa do eixo Oy; 
(b) Elipse com centro em (– 1, 1) e com semieixos de comprimentos 3 e 1 na 
direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente; 
(c) Hipérbole com centro em (2, – 3) e eixo focal paralelo a Oy, sendo a 
distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a 2; 
(d) Parábola com vértice em (– 4, 3) e eixo de simetria paralelo a Ox, 
“abrindo” na direcção positiva do eixo Ox; 
(e) Elipse com centro em (– 2, 3) e com semieixos de comprimentos 3 e 
� 
5 , 
na direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente; 
(f) Hipérbole com centro em (– 1, 1) e eixo focal paralelo a Ox, sendo a 
distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a 2.