Avaliação optativa

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Avaliação Optativa: 07/03/2018 
 
 
 
INSTRUÇÕES 
 
 
1. O trabalho deverá ser realizado em grupo composto de 02 (dois) ou 03 
(três) alunos. 
 
2. Os trabalhos deverão ser entregues digitalizados no e-mail 
professor.daniel.guimaraes@gmail.com, até às 12:00 horas do dia 07 de 
março de 2018, impreterivelmente. Trabalhos recebidos fora de prazo 
serão desconsiderados. 
 
3. As questões deverão ser apresentadas de forma clara e legível e os 
cálculos intermediários não deverão ser omitidos. 
 
4. Qualquer dúvida pode ser elucidada no e-mail acima. 
 
5. As notas serão publicadas, através do AVA-UFPel e COBALTO com a 
maior brevidade possível devido à proximidade com a data do exame final. 
 
6. Cada questão vale 1,0 ponto. 
 
 
NOME DOS COMPONENTES DO GRUPO: 
 
• 1) ............................................................................................... 
 
• 2) ............................................................................................... 
 
• 3) ............................................................................................... 
 
 
 
 
 
 
 
 
Avaliação Optativa: 07/03/2018 
 
 
QUESTÕES 
 
1. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: 
∑ (−1)𝑛
𝑥2𝑛+1
(2𝑛+1)!
∞
𝑛=0 . 
2. Expanda por séries de Maclaurin (Taylor para 𝑎 = 0) a função 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥. 
Desenvolva, até o quarto termo não nulo. 
3. Determine o círculo osculador da parábola 𝑦 = 𝑥2, na origem. Represente 
graficamente o resultado encontrado. 
4. Em quais pontos da curva 𝑥 = 2𝑡3, 𝑦 = 1 + 4𝑡 − 𝑡2 a reta tangente tem inclinação 
𝜋
4
? Determine, ainda, as equações reduzidas dessas retas. 
5. Determine os pontos da cardioide 𝑟 = 1 − sen 𝜃 nos quais há uma reta tangente 
horizontal, uma reta tangente vertical ou um ponto singular. 
6. Encontre os pontos críticos de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒(𝑥
2+𝑦2−4𝑥), classificando-os como 
pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela da função. 
7. Encontre os pontos de máximo é mínimo absoluto de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 na 
região triangular delimitada pelas retas 𝑥 = 0, 𝑦 = 4, 𝑦 + 2𝑥 = 2, no primeiro 
quadrante. 
8. Encontre o volume do sólido limitado pelo cilindro 𝑧2 + 𝑦2 = 4 e os planos 
𝑥 = 2𝑦, 𝑥 = 0 e 𝑧 = 0, no primeiro octante. 
9. Calcule a integral ∭ 𝑦𝐷 𝑑𝑉, onde 𝐷 é a região interna ao tetraedro limitado 
pelos planos 6𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 6, 𝑧 = 0, 𝑦 = 0 e 𝑥 = 0. 
10. Converta em coordenadas cilíndricas e resolva a integral: 
∫ ∫ ∫ √𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
9−𝑥2−𝑦2
0
√1−𝑥2
0
3
−3