Análise Vetorial para Eletromagnetismo

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FORMULÁRIO DE ELETROMAGNETISMO III 
 
I - ÁLGEBRA VETORIAL 
 
1 - Mudança de coordenadas 
 
sistema cartesiano para o cilíndrico e vice - versa: 
 
yx 22r += , ø=arctg(y/x) , z = z 
x = rcosø , y = rsenø , z = z 
 
sistema cartesiano para o esférico e vice - versa: 
 
x=rsenθcosø , y = rsenθsenø , z = rcosθ 
r= 2 2 2x y z+ + , θ=arccos
z
x y z2 2 2+ +
 , ø=arctg(y/x) 
 
2 - Vetores deslocamento dL em coordenadas: 
 
cartesianas: dL=dxax+dyay+dzaz 
 
cilíndricas: dL=drar+rdøaø+dzaz 
 
esféricas: dL=drar+rdθaθθθθ +r senθdøaø 
 
3 - Volumes e áreas nos sistemas de coordenadas: (as arestas são iguais as componentes de dL) 
 
SISTEMA VOLUME ÁREA 
cartesianas dv=dxdydz ds=dxdy ; ds=dydz ; ds=dzdx 
cilíndricas dv=rdrdødz ds=rdrdø ; ds=rdødz ; ds=drdz 
esféricas dv=r2senθdrdødθ ds=r2senθdθdø ; ds=rdθdr ; ds=rsenθdrdø 
 
4 - Distância entre dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) (só vale em coordenadas cartesianas) 
 
( ) ( ) ( )211211211 zyyxxd z−+−+−= 
 
5 - Vetor apontando do ponto A(x1,y1,z1) para o ponto B(x2,y2,z2): R= (x2 - x1)ax+(y2 - y1)ay+(z2 - z1)az 
 
 
6 - Componente do vetor B em uma direção especificada por A: B=(B.A) 2A
A
 
 
 
II - CARGAS E CAMPOS ELÉTRICOS 
 
1 - Lei de Coulomb: F a=
Q Q1 2
0 12
24πε R R
 Newtons 
 
onde ε0=8,854×10 - 12 F/m=(1/36π)×10 - 9 F/m (vácuo) 
 R12 - distância entre as cargas 
 aR - unitário que vai da carga que provoca a força para a carga na qual age a força. 
 
 
 
2 
2 - Campo elétrico da carga pontual E=
Q
4 0 12
2πε R R
a V/m 
onde R12 - distância entre Q e o ponto onde se quer E (ponto 2) 
 aR - unitário que vai de Q para o ponto onde se quer E 
 
3 - Campo de um sistemas de cargas pontuais E=
Qm
m
R
m
n
R4 0 2
2
1 πε
a
=
∑ V/m 
 
é a soma dos campos devido a cada uma das n cargas no ponto onde se quer o campo total 
 
4 - Campo de uma linha infinita de cargas 
raE R2 0
L
πε
ρ
= V/m 
 onde: R - é a menor distância entre a linha e o ponto onde se quer E. 
 aR - unitário cuja direção é a mesma de R e sentido da linha para o ponto onde se quer E. 
 ρL - densidade linear de cargas 
 
5 - Campo da folha infinita N
0
S
2
aE
ε
ρ
= V/m 
onde ρS densidade superficial de cargas da folha. 
 aN unitário normal à folha e cujo sentido è da folha para o ponto onde se quer E. 
 
6 - Carga total Q de uma linha ∫= L LdLQ ρ Coulombs 
 
 de uma folha ∫= S SdsQ ρ Coulombs 
 
 de um volume ∫= V VdvQ ρ Coulombs 
 
com densidades constantes: Q=ρLL ; Q=ρSS ; Q=ρV 
 
7 - Principio da superposição: o campo elétrico de várias cargas, linhas ou superfícies é dado pela 
soma dos campos de cada uma das estruturas que compõe o sistema mesmo quando o sistema mistura 
ao mesmo tempo cargas, linhas e superfícies. 
 
 
III - DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO E DIVERGÊNCIA 
 
1 - Lei de Gauss: o fluxo elétrico total através de uma superficie fechada é a soma algébrica das cargas 
dentro da superficie com Ψ o fluxo elétrico total e D o vetor densidade de fluxo elétrico temos: 
 
 Ψ= ∫ dsD. =Q Coulombs 
2 - D=ε0E Coulombs/m2 
 
3 - Densidade de fluxo entre dois cilindros coaxiais de raios a e b 
 
 raD r
a Sρ
= C/m2 para a<r<b e D=0 para r>b ou raD r2
L
π
ρ
= C/m2 
onde ρL é a densidade de carga por unidade de comprimento do cilindro interno 
 
4 - Fórmulas do divergente: 
 
 
 
 
3 
 cartesianas: ∇.D=∂∂
∂
∂
∂
∂
D
x
D
y
D
z
x y z+ + 
 
 cilíndricas: ∇.D=1 1
r
rD
r r
D D
z
r z∂
∂
∂
∂φ
∂
∂
φ( ) )+ + 
 
esféricas: ∇.D= 1 1 12
2
r
r D
r r
D
r
Dr∂
∂ θ
∂ θ
∂θ θ
∂
∂φ
θ φ( )
sen
( sen )
sen
+ + 
 
 
5 - 1ª equação de Maxwell ∇.D=ρ C/m3 
 
6 - Teorema da divergência ∫
S
D.ds = ∫ ∇
V
dv.D 
 
 
IV - ENERGIA E POTENCIAL 
 
1 - Trabalho realizado para deslocar uma carga Q entre dois pontos dentro de um campo E: 
 Wfim,inicio= − Q ∫fim
inicio
E.dL Joules 
2 - ddp entre dois pontos dentro de um campo E: Vab=Va − Vb= ∫− a
b
E.dl Volts 
3 - ddp no campo elétrico de uma carga pontual: VA −VB=
r




−
BA0 R
1
R
1
4
Q
πε
Volts 
onde RA - menor distância entre Q e o ponto A. 
 RB - menor distância entre Q e o ponto B. 
 
4 - ddp no campo de uma linha infinita VA−VB=
r




A
B
0
L
R
Rln
2πε
ρ
Volts 
 onde RA e RB são as menores distâncias entre A e B respectivamente até a linha. 
 
5 - Potêncial absoluto de uma carga pontual: VA= CR4
Q
A0
+
πε
 Volts 
 onde RA é a menor distancia do ponto A até a carga 
 C uma constante que depende da localização do zero de referência, sendo zero se o 
 mesmo estiver no infinito. 
 
6 - O principio da superposição também se aplica para cálculo de ddp's e cálculo de potenciais. 
 
7 - Campos elétricos conservativos: ∫E.dL =0 
 
8 - Gradiente ∇V=
dN
dV aN 
onde V é uma função escalar 
 
dN
dV
 é a máxima taxa de variação de V com a distância 
 aN um unitário que aponta no sentido onde se da a máxima taxa. 
 
 
 
 
4 
coordenadas cartesianas: ∇V=∂∂
V
x
ax+
∂
∂
V
y
ay+
∂
∂
V
z
az 
 
coordenadas cilíndricas: ∇V=∂∂
V
r
ar+
1
r
V∂
∂φ aø +
∂
∂
V
z
az 
 
coordenadas esféricas: ∇V=∂∂
V
r
ar+
1
r
V∂
∂θ aθ +
1
r
V
senθ
∂
∂φ aø 
 
9 - Relação entre V e E E= − gradV ou E= −∇V 
 
10 - Com um dipolo centrado na origem de um sistema de coordenadas esféricas, sobre o eixo z e com 
cargas separadas por uma distância “d”, o potêncial V e o campo E em um ponto distante P(r,θ, ø) é dado 
por: 
 
 2
0r4
cos QdV
πε
θ
= Volts e ( )θθθ
πε
aaE sen+= r3
0
cos2
r4
 Qd
 V/m 
 
onde: E foi obtido pela relação E= −∇V 
 Q - carga positiva do dipolo 
 d - distância entre as cargas do dipolo 
 θ - ângulo do sistema de coordenadas esféricas 
 
11 - Momento de um dipolo p=Qd C.m 
onde d é o vetor comprimento dirigido de - Q para +Q e com módulo igual a distância entre elas. 
 
12 - Em um ponto P distante de um dipolo temos: 
||||4
1V 2
0
'
'
' rr
rrp.
rr −
−
−
=
πε
 Volts 
onde o vetor r - localiza o ponto P. 
 o vetor r' - determina o centro do dipolo. 
 
13 - Energia potencial total 
 - campo de cargas pontuais WE= 2
1
m
m
=
∑
1
QmVm Joules, onde Vm é o potencial absoluto no ponto m. 
 
 - campo com distribuição continua de cargas em um volume: WE= 2
1 ∫
V
D.E dv =
2
1 ∫
V
dvE20ε Joules 
14 - Densidade de energia 
volume
WE Joules/m3 
 
 
V - CORRENTE ELÉTRICA DE CONDUÇÃO, CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 
 
1 - Corrente elétrica I =
dt
dQ
 Ampères (não é campo vetorial) 
 
2 - Densidade de corrente I= ∫
S
dsJ. 
onde J é a densidade de corrente medida em A/m2 e ds é o vetor área de uma superficie aberta qualquer. 
 
3 - Para cargas em movimento a densidade de corrente de condução é 
J=ρv A/m2 
 onde v - é o vetor velocidade de deslocamento m/s 
 
 
 
5 
 ρ - densidade volumétrica de cargas C/m34 - Equação da continuidade: 
 
forma pontual ∇.J= 
dt
dρ
− 
 
forma integral I= ∫
S
dsJ. = − 
dt
dQ
 
onde Q é a carga total e ρ densidade volumétrica de cargas dentro da superfície fechada e − 
dt
dQ
 e 
dt
dρ
− 
as suas razões de decréscimo. 
 
CONDUTORES METÁLICOS 
 
5 - Velocidade de arrastamento vd (drift) 
vd= − µeE m/s 
 
onde µe é a mobilidade do elétron e sua unidade m2/V.seg 
 
6 - Inter - relacionamento entre J e E: J= − µeρeE 
onde ρe é a densidade de carga de eletron livre com e= − 1,602x10 - 19 C 
 
7 - Condutividade: σ= − µeρe tendo como unidade mho /m sendo mho =Ampere/Volt ou Siemens 
 
8 - Forma pontual da lei de Ohm J=σE 
 
9 - Forma macroscópica da lei de ohm V=RI 
 onde R=
S
L
σ
 e L - comprimento de um condutor; S - área transversal do condutor; σ - condutividade 
 
10 - Condições de contorno na fronteira condutor - vácuo 
 
 Dt=Et=0 e Dn=ε0En=ρs 
 
 onde Dn e En são normais à superficie e com direção do condutor para o vácuo 
 Dt e Et são tangenciais à superficie 
 
SEMI - CONDUTORES 
 
12 - Condutividade 
σ= − µeρe+µhρh 
 onde ρh - densidade volumétrica dos "buracos" 
 µh - mobilidade dos "buracos" 
 
DIELÉTRICOS 
 
13 - Momentos do dipolo por unidade de volume ou polarização: 
 
P= lim∆v - >0 1
1
∆
∆
v
i
n v
=
∑ pi C/m2 
 onde pi - momentos dos n dipolos C/m 
 P - tem como unidade C/m2 
 
14 - Densidade de fluxo D=ε0 E+P C/m2 
 
 
 
 
6 
16 - Temos o relacionamento linear entre P e E: 
(εr −1)=χe ; P=χeε0E 
 
em um dielétrico D≠≠≠≠ε0E porque D=ε0E+P logo não vale P=χeD 
 
onde: ε0 - permissividade no vácuo (8,854×10 - 12 F/m) 
 εr - permissividade relativa ou constante dielétrica do material (sem dimensão) 
 χe - suscetibilidade elétrica do material (sem dimensão) 
 
17 - Permissividade de um dielétrico ε=ε0εr 
 
18 - A relação entre D e E também é linear nestes materiais: D=ε0εr E=εE 
 
19 - Condições de contorno para dois dielétricos perfeitos 
 
εr1 Dt1=εr2 Dt2 ; Et1=Et2 ; Dn1=Dn2 ; εr1 En1=εr2 En2 
 
20 - Variação de D e E na superfície de contorno de dois dielétricos perfeitos 
 
 Dn1=Dn2=D1senß1=D2senß2 ; tgß1=
2
1
ε
ε
tgß2 ; 
2
1
ε
ε
D2cosß2=D1cosß1 
 
onde: Dn e Dt são respectivamente as componentes de D normais e tangênciais à fronteira em um ponto. 
 ß1 é o angulo entre D1 e Dt1 
 ß2 é o angulo entre D2 e Dt2 
 
21 - Condições de contorno de dielétricos perfeitos com condutores 
 
Dt=Et=0 e Dn=εEn=ρs 
 
onde Dn e En são normais à superfície e com direção do condutor para o dielétrico 
 Dt e Et são tangenciais à superfície 
 
22 - Capacitância por definição 
0V
QC = Farads 
 onde Q - carga total em cada condutor 
 V0 - diferença de potencial entre os condutores 
 
23 - Energia total armazenada em um capacitor WE= C2
Q
2
QV
2
CVC
2
0
2
0
=== 
 
 
VI - EQUAÇÕES DE POISON E LAPLACE 
 
1 - Equação de Poisson ∇2V= − 
ε
ρ
 
 
2 - Equação de Laplace ∇2V=0 
 
 em cartesianas: ∇2V=∂∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2
V
x
V
y
V
z
+ + 
 
 em cilíndricas: ∇2V=1 12
2
2
2
2r
r V r
r r
V V
z
∂ ∂ ∂
∂
∂
∂φ
∂
∂
[ ( )]
+ + 
 
 
 
7 
 
 em esféricas: ∇2V= 1 1 12
2
2 2 2
2
2r
r V r
r r
V
r
V∂ ∂ ∂
∂ θ
∂ θ ∂ ∂θ
∂θ θ
∂
∂φ
[ ( )]
sen
[sen ( )]
sen
+ + 
 
3 - Solução da equação de Laplace em coordenadas cartesianas: 
variando só uma das coordenadas x,y ou z as superfícies equipotenciais são planos 
perpendiculares aos eixos: 2
2
k
V
∂
∂ =0 V = Ak+B onde k=x,y ou z 
 
4 - Soluções da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas: 
 
 - restringindo a função do potencial a V=(z) tem resultado igual à cartesiana 
 
 - restringindo a função do potencial a V=(r) resulta que as superfícies equipotenciais são cilindros 
centrados com o eixo z: 
 
1
r
r V r
r
∂ ∂ ∂
∂
[ ( )]
=0 ; V = Aln r + B 
 
 - restringindo - se a função do potencial a V=f(ø) as superfícies equipotenciais são planos radiais 
 
1
2
2
2r
V∂
∂φ =0 ; V=Aø+B 
 
5 - Soluções da equação de Laplace em coordenadas esféricas: 
 
 - restringindo a função do potencial a V=(r) resulta que as superfícies equipotenciais 
 são esferas concêntricas: 
 
 
1
2
2
r
r V r
r
∂ ∂ ∂
∂
[ ( )]
=0 ; V= − B
r
A
+ 
 
 - restringindo a função do potencial a V=(θ) resulta que as superfícies equipotenciais são cones 
 
 
1 02r
V
sen
[sen ( )]
θ
∂ θ ∂ ∂θ
∂θ = ; V =A 

 


2
tgln θ +B 
 
 
6 - Soluções da Equação de Poisson 
 Tem que ser resolvida a equação diferencial do segundo grau ∇2V= −
ε
ρ
 
 
VII - CAMPOS MAGNÉTICOS ESTACIONÁRIOS 
 
1 - Lei de Biot - Savart: 2
12
1
R4
I
π
121
2
xadLdH = A/m 
onde dH2 é a intensidade diferencial de campo magnético provocada no ponto 2 pelo elemento 
 diferencial de corrente situado no ponto 1, I1dL1 que circula em um condutor de diâmetro 
 infinitesimal 
 a12 unitário voltado do ponto 1 para o ponto 2 
 R12 distância entre os pontos 1 e 2 
 
2 - Vetor densidade superficial de corrente K medida em A/m (com a densidade de corrente uniforme): 
 
I=|K|b e também Kds=IdL=JdV A.m 
 
 
 
8 
 
 onde I é a corrente total em uma largura b 
 b percurso transversal ao sentido da corrente 
 ds é o elemento diferencial de área onde se da o fluxo de K e tendo uma das dimensões 
 perpendicular a direção deste fluxo 
 dL é vetor deslocamento que da a direção da corrente 
 dV é o elemento de volume com o plano de uma das faces normal ao sentido da corrente 
 
3 - Campo de um filamento infinito H=
R2
I
π
ah A/m 
 
 onde I é a corrente que flui no filamento 
 R é a menor distância entre o ponto em que se quer H, e o filamento. 
 ah=aLx aR 
 sendo aL unitário na direção do vetor percurso da corrente dl 
 aR é o unitário com suporte na distância R, com sentido do filamento para o ponto em que se 
 quer calcular H. 
 
4 - Campo da folha infinita H= 1
2
Kax aN A/m 
 
onde K é o vetor densidade superficial de corrente e aN é um vetor unitário normal à folha e 
 aponta sempre no sentido da folha para o ponto em que se quer H 
 
5 - Lei de Ampère ∫ dLH. =I A 
onde dL é um vetor deslocamento tomado sobre o percurso da integração e I a corrente envolvida pelo 
percurso de integração. O sentido positivo do percurso de integração é dado pela regra da mão direita. 
 
6 - Campos de um cabo coaxial em função de r (coordenadas cilíndricas), centrado no eixo z 
 com raio do condutor interno de a e raio do condutor externo de b: 
 
 a<r<b Hø=
r2
I
π
 A/m ; r<a Hø= 2a2
Ir
π
 A/m ; r>b Hø=0 
 
7 - Campo bem dentro de um solenóide infinito, de raio a, centrado no eixo z, em coordenadas 
 cilíndricas, com distribuição superficial de corrente filamentar no sentido positivo K=Kaaø : 
 
 H=Kaaz A/m com r<a e H=0 r>a.Se o mesmo solenóide com a mesma corrente for finito e formado de espiras bem juntas: 
 
 H =
L
NI az A/m 
 
 onde L é o comprimento do solenóide e N o numero de espiras 
 
8 - Campos em um toroide centrado no eixo z: 
 
a)com distribuição de corrente filamentar: K= Kaaz com sentido positivo em r=r0 - a e z=0 
 
dentro: H=
r
a)(rK 0a − aø A/m e fora: H=0 
 
onde r0 - é o raio médio do toroide medido de z=0 até o centro da seção reta circular 
 a - o raio da seção reta do toroide 
 
 
 
 
9 
b)se o mesmo toroide for formado de espiras bem juntas: bem dentro: H=
r2
NI
π
 aø A/m e fora: H=0 
 
9 - - Rotacional 
cartesianas H×∇ = 


−
z
H
y
H yz
∂
∂
∂
∂ ax+ 


−
x
H
z
H zx
∂
∂
∂
∂ ay+ 


−
y
H
x
H xy
∂
∂
∂
∂
az 
 
cilíndricas H×∇ = 


−
z
HH
r
Z
∂
∂
∂φ
∂ φ1 ar+ 


−
r
H
z
H zr
∂
∂
∂
∂ aø+ 


− ∂φ
∂
∂
∂ φ rH
rr
rH
r
1)(1 az 
 
esféricas H×∇ = 


− ∂φ
∂
∂θ
θ∂
θ
θφ HH
r
sen
sen
1 ar+ 


−
r
rHH
r
r
∂
∂
∂φ
∂
θ
φ )(
sen
11 aθθθθ+ 


− ∂θ
∂
∂
∂ θ rH
r
rH )(
r
1 aø 
 
10 - 2a Equação de Maxwell H×∇ =J onde H é o campo magnético e J a densidade de corrente que 
 cria o campo magnético. 
 
11 - Teorema de Stokes ∫ dLH. = ( )∫ ×∇
S
.dsH 
 
12 - B=µ0H Wb/m2 ou Teslas o valor de µ0=4π10 - 7 H/m e B é o vetor densidade do campo magnético. 
 
 
13 - Fluxo total que atravessa uma área especifica (Lei de Gauss do campo magnético): 
 
Φ= ∫
S
dsB. Wb 
 
14 - Equações de Maxwell para os campos estáticos: 
 
 ∇.D=ρ ; ∇xE=0 ; ∇xH=J ; ∇.B=0 
 
 
VIII - POTENCIAIS E FORÇAS MAGNÉTICAS, INDUTÂNCIAS 
 
 
1 - Vetor potencial magnético A: 
A= dv
R4
0∫ πµ J Wb/m 
 
onde A aponta sempre no mesmo sentido da corrente e podemos usar a igualdade 
 Jdv=Kds=IdL integrando - se em uma área ou percurso. 
 
2 - Equação de Lorentz da força sobre uma carga de Q Coulombs movendo - se com uma velocidade v 
em um campo magnético B e campo elétrico E 
 
F=Q(E+vxB) Newtons 
 
3 - Força magnética diferencial: 
dF=JxBdv 
 
onde B é o fluxo magnético na região não originado da densidade de corrente J. Podemos usar a 
igualdade Jdv=Kds=IdL integrando - se em uma área ou percurso que não precisa ser fechado. 
 
 
 
 
10 
4 - Força sobre um condutor provocada pela presença de um campo H que não é criado por I e onde dL é 
sobre o percurso do fio onde circula I: 
 F=(µ0I) ∫ ×HdL Newtons 
 
5 - Torque de uma força F: 
T=RxF Newtons.metro 
 onde R é um vetor com inicio na origem dos eixos de referência e final no ponto de aplicação da 
 força F 
 T é o vetor torque que passa pela origem e é perpendicular ao plano que contém R e F 
 
6 - Torque em uma espira dentro de um campo B uniforme: 
 
dT=dmxB 
 
onde: dm é o vetor momento magnético diferencial dado por dm=Ids 
sendo: I é a corrente que flui na espira 
 ds o vetor diferencial de área de módulo igual a área da espira e sentido dado pela regra da mão 
direita com o polegar no sentido da corrente e os dedos indicando o seu sentido. 
 
7 - Magnetização: 
M=lim∆v - >0 1
1
∆
∆
v
i
n v
=
∑ mi A/m 
 onde mi é o dipolo magnético de cada molécula no volume 
 
8 - Corrente de magnetização Im e densidade de Im (Jm): 
Im= ∫ dLM. ; Im= ∫ dsJ .m 
 
9 - Relações entre B, H , M e Jm em materiais não ferromagnéticos 
 
B=µ0(H+M) e M=χmH ∇xM = Jm 
 
onde χm - suscetibilidade magnética do material e com a permeabilidade relativa µR =1+χm temos a 
permeabilidade µ= µRµ0 resultando B=µH nestes materiais. 
 
10 - Condições de contorno para um campo magnético 
 
Bn2=Bn1 Ht1 − Ht2=K Hn2= 
2
1
µ
µ
 Hn1 (H1−H2) x an12= K 
 
onde K é a densidade superficial de corrente na fronteira 
 an12 unitário normal à fronteira dirigido do meio 1 para o meio 2 
 K=0 se os meios não forem condutores 
 
11 - Energia total armazenada no campo magnetostático em que B é relacionado linearmente com H: 
 
WE=1/2
V∫ B.Hdv Joules 
12 - Indutancia: 
L=
I
Nφ
 ou L= 2
H
I
2W
 Henrys 
onde I flui no enrolamento com N espiras e produz um enlace de fluxo total λ=Nφ 
 
13 - Indutancia mutua entre dois circuitos 1 e 2 
 
 
 
 
11 
 M12= 
1
122
I
N φ
 ou M12=
21II
1
V∫ B1.H2dv Henrys 
 
onde φ12 é o fluxo produzido por I1 que envolve o caminho da corrente filamentar I2 sendo N2 o numero 
 de espiras do circuito 2. 
 
 
IX - CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO 
 
1 - Lei de Faraday: fem= − 
dt
dφ
 Volts 
onde φ é um fluxo magnético dentro de uma espira 
 
2 - Força eletromotriz fem=∫ E.dL Volts 
onde E é um campo elétrico não proveniente de cargas, e portanto não conservativo 
 dL um percurso dentro de um condutor. 
 
3 - Equação da força eletromotriz induzida por um campo magnético variável B em um percurso 
estacionário: 
 fem=∫ E.dL =−∫ ∂B sdt d. 
 
4 - Equação da força eletromotriz induzida por movimento 
 fem=
b
a∫ (vxB).dL 
onde v é a velocidade com que o condutor se move dentro do campo B. Esta integral só é diferente de 
zero na porção do caminho em movimento. 
 
5 - Densidade e corrente de deslocamento Jd= dt
D∂ A/m2 e Id= J sdS d∫ . A 
 
6 - Equações de Maxwell que se modificam para campos variaveis no tempo 
 
na forma pontual ∇xE= −
dt
B∂ e ∇xH=J + 
dt
D∂ 
 
na forma integral ∫ dLE. =−∫ ∂B sdt d. (fem) 
 
 ∫ dLH. =I+Id=I+ ∫S dtD∂ .ds (Lei de Ampère) 
 
7 - Equações para a relação entre E e V (potencial elétrico) e A (potencial vetor magnético) 
 E= −∇V − 
dt
A∂ ; B=∇xA 
 
 
X - PROPAGAÇÃO DE ONDAS 
 
1 - Equação geral da onda com fasores: ∇2Es = jωµ (σ+jωe) Es 
 
2 - Equação da onda plana uniforme ou onda TEM com fasores: 
 
 
 
12 
2
xs
2
dz
d E
 = jωµ (σ+jωe)Exs 
 
onde as propagações são restringidas a uma só direção (z) e os valores instantâneos variando em um só 
direção x como função apenas de z. 
 
3 - Expressão da onda plana na forma trigonométrica propagando - se para a direita em qualquer meio: 
 
Ex=Exo e−αzcos(ωt−βz) ou em fasor Exs=Exoe−αz e−jβz =Exo e−γz V/m 
 
onde: Exo é o valor de Ex no ponto z=0 e t=0 
 α é a constante de atenuação (Np/m) 
 β é a constante de fase (rad/m) 
 γ =α+jβ é a constante de propagação (m−1) 
 
4 - Meios não dissipativos (σ=0) 
 
µεωγ j= m - 1 ; α=0 Nepers/m ; λ
πµεωβ 2== rad/m ; ( )µεωω z-tcosEE x0x = 
 
velocidade de fase: v = 1
µε
= β
ω
 m/s que no vácuo: v=c=3x108 m/s com c a velocidade da luz e assim 
também em um dielétrico perfeito: 
RRεµ
cv = m/s 
 
comprimento de onda: λ= β
π2
f
v
= m que no vácuo: λo= f
c
 m 
 
em um dielétrico perfeito: λ λ
µ ε
=
0
R R
 m 
 
impedância intrínseca:η=
ε
µ
 Ω que no vácuo é igual a 120π Ω 
 
campo magnético associado na direção y: ( )[ ]µεω
η
z-tcosEH x0y = que no vácuo: 
 


=
c
z-tcosEH x0y ωη
 A/m 
 
5 - Em meios dissipativos (σ≠0) 
 
 - Em dielétricos: 
ωε
σµεωβαγ jj −=+= 1j ; v= β
ω
 ; λ=
f
v
 ; η µ
σ ε
µ
ε
σ
ε
=
+
=
−
jw
jw j w1
 
 η = ηm|θm ; H E
e t zY X0
m
m= − −
−γ
η
ω β θ
z
cos( ) 
 
 - Em bons condutores: α=β= fπµσ 
 
 
 
 
13 
 - Profundidade de penetração δ= βα
11
= m e assim: 
Ex=Exo e−z/δcos 


− δω
zt V/m ; η = 
2
4σδ
π∠ Ω ; H E e
2
t zY X0= − −
 
−
σδ
ω δ
πδ
z
cos
4
 A/m ; 
v=ωδ m ; λ=2πδ m 
 
 - Resistência efetiva de um bom condutor circular: δπσ a2
LR = 
6 - Tangente de perdas tanθ=
ωε
σ
 
 
 tanθ<0,01 - dielétrico sem perdas 
 
 0,01<tanθ<100 - dielétrico com perdas ou quase condutor 
 
 tanθ>100 - condutor 
 
7 - Vetor de Poynting 
 
 - valor instantâneo: S=ExH W/m2 que em uma onda TEM resulta Sz=ExxHy 
 
 - onda TEM propagando - se no sentido z: 
 
valor médio em meios não dissipativos: S E
2Z,med
2
X0
=
η
 W/m2 
 
valor médio em meios dissipativos: Sz,med=
E
2
2
X0
η
θα
m
z
me
−2 cos W/m2 onde: η=ηm|θm 
 
que em bons condutores resulta: Sz,med =
σδ δE
4
e
2
X0 −
2z
 W/m2 
 
8 - Potência utilizando o vetor de Poynting 
 
 - instantânea P= S.ds
S∫ Watts podendo a superfície ser aberta. 
 
 - em uma onda TEM e sobre uma área plana “s” normal ao eixo z: 
 
 instantânea P= S ds
S
a . az z∫ =Szs Watts 
 
 média Pz,med=Sz,meds Watts 
 
9 - Potência média absorvida no interior de um condutor de largura b e comprimento total L 
Pz,med bL4
J2x0
σ
δ
= Watts 
onde Jxo é a densidade de corrente na direção do eixo x e resultando uma corrente total I no condutor 
calculada por: 
 I J b t
4
X0
= −
 
δ
ω
π
2
cos ou 


−=
4
tcos
2
bEI X0 πωδσ 
 
10 - Reflexão de ondas TEM (fasores) 
 
 
 
14 
 
na fronteira: xs10 xs10 xs20E E E+ − ++ = ; y y ys10 s10 s20H H H+ − ++ = 
 
incidente: xs1E+ + −= x zE e10 11γ ; 11
1
10 γ
η
zx eE −
+
+
=Hys1 
 
transmitida: xs2E+ + −= x zE e20 21γ : 21
2
20 γ
η
zx eE −
+
+
=Hys2 
 
refletida: xs1E− −= x zE e10 11γ ; 11
1
10 γ
η
zx eE
−
−
−=Hys1 
 
11 - Coeficiente de reflexão: Γ = = −
+
−
+
E
E
x
x
10
10
2 1
1 2
η η
η η
 
 
12 - Γ=Γm|φm 
 
13 - Coeficiente de transmissão: 
21
2
10
20 2
ηη
ηξ
+
==
+
+
x
x
E
E
 
 
14 - Relação entre os coeficientes de transmissão e de reflexão: ξ=Γ+1 
 
15 - Taxa de onda estacionária: 
m
m
xx
xx
E
E
EE
EE
Γ−
Γ+
==
−
+
=
−+
−+
1
1s
min
max
1010
1010 ou Γm =
−
+
1
1
s
s
 
 
16 - Onda estacionária pura: 
 
 Γ= −1 ; s=∞ ; ξ=0 ; o meio em que ela incide tem que ser condutor perfeito logo σ2=∞ e η2=0 
 
17 - Expressão para total Exs em qualquer ponto do espaço no meio 1: Exs1= +0E x e
−αz[e−jβz+Γmej(βz+φm)] 
 
18 - Pontos de máximo e mínimo sobre o eixo z do valor de Exs1 em um meio não dissipativo com 
n=1,2,3..: 
 
 máximo: z nmax = −
+φ π
β
m 2
2
 m com Exs1,max=(1+Γm) +0E x V/m 
 
 mínimo: z n +min = −
+φ π π
β
m 2
2
 m com Exs1,mín=(1−Γm) +0E x V/m 
 
19 - Impedância de entrada ou impedância refletida em meios não dissipativos: 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) LL
LL
t ββ
ββ
ηηηη
ηηηηηη j-
12
j
12
-j
12
j
12
1en ee
ee
−−+
−++
= ou 
( )
( )Ltgj
Ltgj
121
112
1 βηη
βηηηη
+
+
=ent 
 
com L o módulo da distância até a fronteira dos dois meios 
 
 
XI - LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 
 
 
 
15 
1 - Parâmetros distribuídos das linhas (unidades por metro): 
 
resistência R (Ω/m) que é igual a zero (condutor perfeito) em uma linha sem perdas 
 
indutância L (H/m); capacitância C (F/m) 
 
condutância G (mho/m ou Siemens/m) que tem valor zero para um dielétrico perfeito entre os condutores 
isto é linha sem perdas por circulação de corrente entre os condutores. 
 
admitância Y com valor Y=G+jωC ; impedância com valor Z=R+jωL 
 
2 - Impedância característica: Z0 = 
R + j L
G + j C
ω
ω
 
que para uma linha sem perdas (R=0 e G=0) se reduz a: Z L
C0
= 
 
3 - Constante de propagação γ = ( )( )Cj+GLj+RZY ωω= 
 
em uma linha sem perdas temos LCωβ = 
 
4 - Tensões e correntes em um ponto dentro da linha (fasôres e eixos voltados para dentro da linha): 
 vistas do gerador a "d" metros do gerador e vistas da carga a "L" metros da carga: 
 
 ( ) ( )[ ]V I2 Z Z e Z Z ed e e 0 d e 0 d( ) = + + −−γ γ ( ) ( )[ ]I I2Z Z Z e Z Z ed e 0 e 0
d
e 0
d
( ) = + − −
−γ γ 
 ( ) ( )[ ]V I2 Z Z e Z Z eL C C 0 L C 0 L( ) = + + − −γ γ ( ) ( )[ ]I I2Z Z Z e Z Z eL C0 C 0 0( ) = + − −
−γ γL
C
L 
 
para uma linha casada ou seja ZC=Zo resulta um módulo constante de V e I inclusive nos terminais de 
alimentação: V(L)=VCeγL e I(L)=ICeγL 
 
 
5 - Coeficiente de reflexão generalizado em qualquer ponto da linha a L metros da carga: 
 Γ( )L C 0
0
Z Z
Z Z
e= −
+
−
C
L2γ que um complexo e Γ(L)=ΓLm|φLm 
na carga com L=0 resulta em ΓC C 0
0
Z Z
Z Z
=
−
+C
 ∴ Γ Γ( )L e=
−
C
L2γ 
 
6 - Tensão em um ponto dentro da linha vista da carga e em função do coeficiente de reflexão na carga e 
onda incidente Vo+ 
VL=[eγL+ΓCe−γL] Vo+ com ΓC=ΓCm |φCm 
 
7 - Pontos de máximo e mínimo a partir da carga sobre o eixo z do valor de V(L) para uma linha sem 
perdas (eixo voltado para dentro da linha): 
máximo: z nmax =
+φ π
β
Cm 2
2
 mínimo: z n +min =
+φ π π
β
Cm 2
2
 
Os pontos de máximo e de mínimo diferem de λ
4
 
8 - Taxa de onda estacionária (em uma linha sem perdas): 
Cm
Cm
Γ−
Γ+
=
1
1s com ΓC=ΓCm|φCm 
 
 
 
 
16 
9 - Impedância refletida ou impedância de entrada: 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]Z Z
Z Z e Z Z e
Z Z e Z Z e(L)
C 0
L
C 0
L
C 0
L
C 0
L=
+ + −
+ − −
−
−
0
γ γ
γ γ 
 
onde eγL =eαejβ= eα(cosβ + jsenβ) e e−γL =e−αe−jβ= eα(cosβ − jsenβ) 
 
que em uma linha sem perdas resulta em: 
( )
( )Z Z
Z jZ tg L
Z jZ tg LL 0
C 0
0 C
=
+
+
β
β 
 
10 - Parâmetros para um cabo coaxial 
 
a
bC ln
2πε
= L
b
a
ext =
µ
π
ln
2 R a b= +
1
2
1 1
πεδ ( ) G b
a
E=
2πσ
ln
 
onde a = raio do condutor interno (com δ<<<a e δ<<<c−b) 
 b = raio interno do condutor externo 
 c = raio externo do condutor externo 
 σE = condutividade do dielétrico entre eles 
 
11 – Parâmetros de linha paralela bifilarC d
a
=
πε
arccosh
2
 L
d
a
ext =
µ
π
arccosh 2 R
a
=
1
πδσ G d
a
E=
πσ
arccosh
2
 
 
onde b =distancia entre centro de condutores (com δ<<<a) 
 a = diâmetro de cada condutor separados por dielétrico com condutividade σE 
 
12 - Parâmetros de linha com planos paralelos 
 
C b
d
=
ε
 L d
bext
=
µ
 R
b
=
2
σδ G
b
d
E
=
σ
 
 (com δ<<<t) 
 
onde b = largura de cada tira 
 t = espessura de cada tira 
 d = distancia entre as tiras separadas por dielétrico com condutividade σE 
 
13 - Outras relações: 
 - Comprimento de onda λ= 2πβ metros 
 - Velocidade de fase v = 
ω
β m/s que em uma linha sem perdas v LC=
1
 m/s 
 
15 - Comprimento elétrico Ψ de uma linha: Ψ=βz radianos, onde z é igual ao comprimento da linha 
 
 
 
17 
INTEGRAIS E REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
1 - INTEGRAIS 
 
 
e dx e
a
ax
ax
=∫ xe dx e xx x= −∫ ( )1 
 
a dx a
a
x
x∫ = ln( ) ln( ) ln( )ax dx x ax x= −∫ 
 
 
cos( ) sen( )ax dx ax
a
=∫ sen( ) cos( )ax dx axa= −∫ 
 
cos( )sen( ) sen ( )x x dx x=∫ 22 cos ( ) sen( )2 2 24ax dx x axa= +∫ 
 
sen ( ) sen( )2
2
2
4
ax dx x ax
a
= −∫ x x dx x x xsen( ) sen( ) cos( )= −∫ 
 
 
x x dx x x x x2 22 2cos( ) cos( ) ( )sen( )= − −∫ 
 
 
 
xdx
ax b
ax b
a2
2
2+
=
+∫ ln( ) dxax b ab arctg x a b2 1+ =∫ [ ] 
 
dx
ax bx
ax
ax b2 +
=
+∫ ln( ) dxax b ax ba+ = +∫ ln( ) 
 
 
dx
ax b a ax b( ) ( )+
= −
+∫ 2 1 dxx b b x bx b2 2 12− = −+∫ ln 
 
 
 
xdx
ax b
ax b
a2
2
+
=
+∫ ( )[ ])(2ln1 22 baxaxabaxdx ±+=±∫ 
 
 
xdx
b ax
b ax
a2 2
2 2
−
= −
−∫ ax bdx x ax b ba x a ax b2 2 22 2+ = + + + +∫ ln( ) 
 
 
− + = − + +
−



∫ ax bdx
x ax b b
a
x a
b ax
2 2
22 2
arctg 
 
 
dx
ax b
x
b ax b( ) ,2 1 5 2+
=
+
∫ xdxax b a ax b( ) ,2 1 5 2
1
+
=
−
+
∫ 
 
 
 
 
18 
 
 
x dx
ax b
ax b
a ax b
3
2 1 5
2
2 2
2
( ) ,+
=
+
+
∫ 
 
 
x dx
ax b
x
a ax b a
x a ax b
2
2 1 5 2 1 5
21
( ) ( )
ln( ), ,+
=
−
+
+ + +∫ 
 
 
x dx
ax b a
x a
b ax
x b ax
ab
x
b b ax
2
2 1 5 1 5 2
2 3
2
1
( ) , ,− +
=
−



 +
−
+
−
∫ arctg 
 
 
 
2 - REGRAS DE DERIVAÇÃO u=f(x) ; v=f(x) 
 
 
d uv
dx
udv
dx
vdu
dx
( )
= + 
d uv
dx
vdu
dx
udv
dx
v
( )
=
−
2 
 
d u
dx
e
u
du
dx
a
a
(log ) log ( )= d u dx u
du
dx
(ln )
=
1
 
 
d a
dx a a
du
dx
u
u( ) ln= d e dx e
du
dx
u
u( )
= 
 
dx
dunudx
ud nn 1)( −
= d u dx vu
du
dx u u
dv
dx
v
v v( ) ln= +−1 
 
d u
dx u
du
dx
(cos ) sen= − d u dx u
du
dx
(sen ) cos= 
 
d u
dx u
du
dx
( )tg = sec2 d u dx u u
du
dx
( )sec = sec tg 
 
d tgu
dx u
du
dx
(ln )
sen
=
2
2
 
 
 
3 - FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 
 
2
)cosh(
uu eeu
−+
= 
2
)senh(
uu eeu
−
−
= 
 
d u
dx u
du
dx
(senh ) cosh= d u dx u
du
dx
(cosh ) senh= 
 
d u
dx h u
du
dx
( ) sectgh = 2