Resumo Hayt

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EletromagnetismoEletromagnetismoEletromagnetismoEletromagnetismo 
 
 
 
 
 
volume Ivolume Ivolume Ivolume I 
 
 
 
 
 
 
 
∇.D=ρ 
 
∇×E =0 
 
∇×H =J 
 
∇.B=0 
 
 
 
 Prof. Evandro C. Gondim 
 1 
Livro texto: Eletromagnetismo - Willian H. Hayt Jr (Livro Técnico) 
Livros recomendados: Eletromagnetismo - Joseph A. Edminister (Coleção Schaum) 
 Eletromagnetismo - Kraus-Carver (Ed. Guanabara) 
 
CAPITULO 1 - RECORDAÇÃO DA TEORIA BÁSICA DA ANÁLISE VETORIAL 
 
1 - Sistemas de coordenadas. 
 
São usados os três sistemas: cartesiano, cilíndrico e esférico sendo que a escolha depende da geometria do 
campo vetorial. 
De um sistema para outro não passa-se vetores, passa-se apenas coordenadas de pontos. 
 
2 - Representação de unitários e vetores 
 
Para evitar confusão com outras grandezas usa-se as seguintes notações 
cartesianas: A=Axax+Ayay+Azaz 
cilíndricas: A=Arar+Aøaø+Azaz 
esféricas: A=Arar+Aθθθθaθθθθ +Aøaø 
 
obs.: usa-se o r em lugar do ρ porque esta letra grega é usada para outras grandezas. No restante adotaremos 
sempre a notação do livro texto. 
 
3 - Os três sistemas e mudanças de coordenadas de um ponto dos sistemas cilíndrico e esférico para o 
sistema cartesiano. 
 
Todos os sistemas se referenciam sempre ao sistema cartesiano. 
 
Coordenadas cilíndricas: ar×aφ=az 
 z 
x 
y 
r P(r ; φφφφ ; z) 
φφφφ 
z 
 
 
• Por definição r é sempre positivo ou seja não existe um valor −r como existe um valor −x 
entretanto poderá haver uma direção negativa de r ou seja −ar 
 
• O sentido de contagem de ø é contrário ao ponteiro dos relógios a partir do eixo x variando de 0 a 
360° 
 
• Mudanças de coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o cilíndrico e vice-versa: 
 ____ 
r=√x2+y2 , ø=arctg(y/x) , z=z e também x=rcosø , y=rsenø , z=z 
 
 2 
Exemplos: 
 
cartesiana para cilíndricas: x=8 ; y=7 ; z=6 
 _____ 
 r=√82+72=10,63 ; ø=arctg(7/8)=41,186° ; z=6 
 
cilíndricas para cartesianas: r=10 ; ø=40°; z=7 
 
x=10cos40°=7,66 ; y=10sen40°=6,428 ; z=7 
 
Coordenadas esféricas: ar×aθ=aφ 
r
y
P(r ; θθθθ ; φφφφ)
z
x
θθθθ
φφφφ
 
• Por definição r é sempre positivo ou seja não existe um valor −r como existe um valor −x 
entretanto poderá haver uma direção negativa de r ou seja −ar. 
 
• O sentido de contagem de ø é contrário ao ponteiro dos relógios a partir do eixo x variando de 0 a 
360°. 
 
• O sentido de contagem de θ é no sentido do ponteiro dos relógios a partir do eixo z variando de 0 a 
180° apenas, para evitar que um ponto possa ser definido por dois conjuntos de coordenadas 
diferentes. 
 
• Para memorizar: o angulo que não e comum aos dois sistemas no caso θ é que fica limitado a 
apenas 180°. 
 
• Mudanças de coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o esférico e vice-versa: 
 
x=rsenθcosø , y=rsenθsenø , z=rcosθ 
r= 2 2 2x y z+ + , θ=arccos
z
x y z2 2 2+ +
 , ø=arctg(y/x) 
Exemplos: 
 
cartesiana para esféricas: x=3 ; y=5 ; z=9 
 _______ 
 r=√32+52+92=10,724 ; θ=arccos(9/10,724)=32,939° ; ø=arctg(5/3)= 59,036° 
 
esféricas para cartesianas: r=35 ; ø=60° ; θ=29° 
 
 x = 35sen29°cos60°=8,484 ; y = 35sen29°sen60°=14,695 ; z = 35cos29°=30,612 
 
 
 3 
 
4 - Campos vetoriais 
 
Temos um campo vetorial quando os módulos das componentes dos vetores nas três direções não são 
expressas por escalares e sim por funções que assumem valores diferentes para cada ponto no espaço. 
Em eletromagnetismo temos inúmeros campos vetoriais tais como por exemplo um campo elétrico qualquer 
que poderíamos exprimir por: 
E=x3ax+(x2+z4)ay+ y7az este mesmo campo poderia variar com o tempo E=[x3ax+(x2+z4)ay+ y7az]senwt 
 
5 - Operações básicas com vetores que são muito usadas em Eletromagnetismo. 
 
Em todas as leis existem o uso do produto escalar e do produto vetorial. 
O produto vetorial em particular evita que se use a antiga regra da mão direita com os três dedos da mão em 
leis que podem ser expressas por este produto. 
 
 ax ay az 
AxB= Ax Ay Az 
 Bx By Bz 
 
Para achar o sentido desta operação usamos a regra do parafuso de rosca destrógira ou a mão direita: 
 
A
B
B××××A
 
 
Além dos produtos escalar e do produto vetorial que são iguais nos três sistemas é muito comum na 
resolução de problemas nos depararmos com as seguintes operações: 
 
5.1 - Dados dois pontos encontrar a distância entre os mesmos e o vetor correspondente. 
 
Só pode ser usado para coordenadas cartesianas não valendo para outros sistemas. 
Em outros sistemas temos que converter os pontos para coordenadas cartesianas. 
 ____________________ 
Distância entre dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2): d= √ (x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2 
 
Vetor apontando do ponto A(x1,y1,z1) para o ponto B(x2,y2,z2) 
 
 R= (x2−x1)ax+(y2−y1)ay+(z2−z1)az 
 final origem 
 
5.2 - Unitário aN normal a uma reta e apontando da reta para o ponto e menor distância R. 
 
Dado uma reta caracterizada por: 
todo x=x2 e todo y=y2 (reta paralela ao eixo z) 
e o ponto P(x1,y1,z1) 
R= ( ) ( )x x y y1 2
2
1 2
2− + − ; aR=
( ) ( )
( ) ( )
x x y y
x x y y
y1 2 1 2
1 2
2
1 2
2
− + −
− + −
a ax 
 
 x 
z 
y y2 
x2 
aR 
R 
P(x1;y1;z1) 
 4 
5.3 - Componente de um vetor B em uma direção especificada. 
 
O produto escalar resolve este tipo de problema 
 
por um unitário a qualquer: Ba=(B.a)a 
 
em uma direção especificada por um vetor A: [ ] 2|A|
AB.A
|A|
A
|A|
AB.BA =


= 
5.4 - Referenciar um vetor R à um sistema de coordenadas qualquer 
 
R=r−−−−r’ com r’ sendo um vetor da origem do sistema para a origem do vetor 
 
a r r
r rR
= −
−
'
| '|
 r’ R=r−−−−r’ 
 origem r 
 
 
5.5 - Vetores deslocamento dL: 
 
Importante: O vetor dL é sempre positivo ! 
 
 cartesianas: dL=dxax+dyay+dzaz 
 
 cilíndricas: dL=drar+rdøaø+dzaz 
 
 esféricas: dL=drar+rdθaθθθθ +r senθdøaø 
 
Elementos diferenciais de volume e área: 
 
6 - As arestas são as componentes do vetor deslocamento 
 
Praticamente todas as fórmulas se baseiam nestes elementos diferenciais 
 
 cartesianas cilíndricas 
 
 
 5 
 
 
 
esféricas 
 
SISTEMA VOLUME ÁREA 
cartesianas dv=dxdydz ds=dxdy ; ds=dydz ; ds=dzdx 
cilíndricas dv=rdrdødz ds=rdrdø ; ds=rdødz ; ds=drdz 
esféricas dv=r2senθdrdødθ ds=r2senθdθdø ; ds=rdθdr ; ds=rsenθdrdø 
 
7 - Vetor área 
 
 
ds=dsaN 
 
onde ds é o modulo do vetor que igual à área 
 aN é um vetor unitário normal a área e com sentido determinado em cada lei formulada 
 
8 - Vetores genéricos 
 
Podem ser definidos como vetores apontando de qualquer ponto pertencente à uma reta, área ou até um 
volume para um determinado ponto no espaço. 
 
Exemplos esclarecem o assunto: 
Em coordenadas cartesianas vetor apontando de uma reta sobre o eixo z para um ponto P(x1;y1;z1) 
com x1,y1,z1>0 
 R21=x1ax+y1ay−(z −z1)az ou R21=x1ax+y1ay+(z1−z)az 
 
Em coordenadas cartesianas vetor apontando de um plano z=z2 para um ponto P(0;0;z1) 
 
 
com z1>z2 e z1,z2>0 R12= −xax−yay+(z1−z2)azy 
x 
z 
Plano 
z=z1 
R 
 6 
 
 fica negativo porque z1<z2 
com z1<z2 e z1,z2<0 R 12= − xax−yay+(z1−z2)az 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em coordenadas cilíndricas vetor apontando de uma superfície cilíndrica infinita centrada no eixo z para 
um ponto situado na origem P(0;0;0): 
 
 R12= −rar−zaz 
 não é coordenada negativa é sentido negativo. 
 
9 - Vetor posição r. 
 
Define uma posição no espaço 
 
Exemplo: Definir a intensidade do campo elétrico em um ponto. 
 
 
 
Onde: E(r) é a intensidade do campo elétrico no ponto definido pelo vetor posição r 
 
Integrais contendo uma função vetorial 
 
10 - integral de linha: 
 
Exemplo: Ex = x2+y Ey=z3 Ez=2+y2 
 
E.dl∫ = [Exax+Eyay+Ezaz].[axax+ayay+azaz]= E dx E dy E dzx y z+ +∫ ∫ ∫ 
 
 
Integral de superfície: aN sempre para fora da superfície. 
 
∫∫∫∫ ++= NNN aD.aD.aD.D.ds dsdsds 
 topo base lado 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
r E(r) 
z 
x 
y 
aNds 
aNds 
aNds 
D
y 
x 
z 
Plano 
z=z1 R 
Campo 
vetorial 
qualquer na 
região 
 7 
CAPITULO 2 
 
ELETROSTÁTICA - LEI DE COULOMB 
 
Neste Capítulo inicia-se o estudo da eletrostática que é o estudo dos campos elétricos gerados por cargas 
estáticas. 
 
1-Conceito do que é ideal e estático e o sistema de medidas 
 
Na natureza são raras as cargas pontuais estáticas umas em relação as outras. Isto apenas uma maneira de 
simplificar os problemas para facilitar o aprendizado. As leis e definições no eletromagnetismo são 
formuladas sempre para cargas positivas. 
Usa-se sempre o sistema SI de medidas. 
 
2-Lei de Coulomb 
 
A primeira lei da eletrostática é a Lei de Coulomb: através de uma balança de torção ele colocou em bases 
matemática o fenômeno a muito tempo conhecido da atração e repulsão de cargas formulando a lei que tem 
o seu nome. 
"A força entre duas cargas pontuais separadas pelo vácuo ou espaço livre, à uma distância grande 
comparada com seus tamanhos, é diretamente proporcional à cada carga e inversamente proporcional ao 
quadrado da distância entre elas". 
 
F kQ Q
R
1 2
2= 
 
onde: F medida em Newtons é uma força mútua de igual módulo que age ao longo da linha que une as 
 duas cargas sendo: 
• atrativa quando as cargas tem sinais diferentes e 
• e repulsiva para cargas de sinais iguais, 
 Q1 e Q2 podem ser positivas ou negativas e são medidas em Coulomb, 
 R é a distância entre as cargas em metros, e 
 k é a constante de proporcionalidade com valor no vácuo de: 
 
k 1
4 0
=
πε
 logo F Q Q
4 R
1 2
0
2= πε
 
εεεε0 é a permissividade no vácuo com valor: εεεε0=8,854×10−−−−12 F/m ou εεεε0≈≈≈≈(1/36ππππ)×10−−−−9 F/m 
 
Usando-se vetores e vetores posição para generalizar para quaisquer sistemas de coordenadas temos: 
 
 F
R
a2 1 2
0
12
Q Q
4
=
πε 12
2 
 
 
 
 F F
r r
r r
r r2
1 2
2
2 1
2 1
Q Q
= − =
−
−
−1 0 1
24πε
 
 
 
 
 
 
Q1 Q2 
a12 F2 
Q2 
Q1 
F2 r1 
r2 
r2- r1=R12 
Origem do 
sistema de 
coordenadas 
F1 
R12 
 8 
Usando-se vetores nenhuma preocupação devemos ter quanto ao sentido da força ela nos é dada pelos 
cálculos. 
 
EXEMPLO: E2.1 Hayt Q1=2mC em P1(−3;7;−4) e Q2= −5mC em P2(2;4;−1) 
 
F2=? e F1=? 
R12=[2−(−3)]ax+(4−7)ay+[−1−(−4)]az=5ax−3ay+3az 
|R12|= 5 3 32 2 2+ − +( ) =6,56m 
F2 =
× × − ×
× × ×
− −
−
2 10 5 10
4 8 854 10 6 56
3 3
12 3π , ,
 5ax−3ay+3az 
F2= −0,3183×103(5ax−3ay+3az)= −1,59ax+0,956ay −0,956az kN 
F1=1,59ax−0,956ay+0,956az kN 
 
3-Campo elétrico 
 
Girando-se uma carga em torno de uma outra vemos que as forças sobre ela variam obedecendo a Lei de 
Coulomb e em cada ponto temos um vetor força cujo módulo obedece a Lei de Coulomb. Estamos pois 
diante de um campo vetorial. 
Se esta carga for uma carga positiva de 1 Coulomb que chamamos de "carga de prova" temos: 
 
F
R
aP 1 P
0 P
1P
Q Q
4
=
πε 1
2 
 
onde: a1P é um unitário que vai da carga na qual age a força para a carga que provoca a força e |R1P| a 
distância entre elas. 
Por unidade de carga temos: F
R
aP
P
1
0 P
1PQ
Q
4
=
πε 1
2 
Denominamos este campo vetorial de "campo elétrico" com notação E F= P
PQ
 
 
e unidade: FP/QP=Newton/Coulomb=(Newton.metro)/(Coulomb.metro)=Volt/metro 
 
Como o campo elétrico foi definido através da relação de uma força sobre uma carga positiva de prova 
temos como conseqüência que o campo elétrico em qualquer ponto no espaço tem o sentido da força que 
age sobre uma carga positiva situada naquele ponto. 
Abandonando-se os índices e generalizando-se temos o campo elétrico de uma carga pontual: 
 
E a= Q
4 R0
Rπε 2
 
 
onde R - distância entre Q e o ponto onde se quer E 
 aR - unitário que vai de Q para o ponto onde se quer E 
 
4-Campo de uma carga Q 
 
 
Em coordenadas esféricas com a carga na origem, devido a simetria, R = r e aR = ar: 
 
E a= Q
4 r0
rπε 2
 
 
 9 
Generalizando-se para uma carga em qualquer ponto do espaço e qualquer sistema de coordenadas: 
 
 
 
E
r r
r r
r r r r
r rr( )
Q Q=
−
−
−
=
−
−
4 40
2
0
3
πε πε'
'
' '
' 
 
 
 
 
 
 
 
5-Princípio da superposição 
 
O campo elétrico não e um fenômeno com saturação, ele é adicionado infinitamente em um ponto. Como 
conseqüência o campo elétrico de várias cargas é dado pela soma dos campos de cada uma das cargas que 
compõe o sistema. Usando-se o vetor posição: 
 
 
 
E
r r
r rr( ) m
Q
=
−
−
=
∑
4 0
3
1 πε mm
n
m'
' 
 
 
 
 
 
6-Campo de uma distribuição volumétrica contínua de cargas. 
 
Em uma liga metálica temos átomos e moléculas, que são partículas constituintes desta , e entretanto 
raciocinamos como se fosse um todo atribuindo à matéria uma densidade volumétrica isto é sem pesquisar a 
natureza de cada partícula da mesma. 
Pode-se fazer o mesmo com as cargas elétricas em um volume atribuindo-se às mesmas uma densidade 
volumétrica de cargas sem pesquisar as diferenças entre cada carga. 
É dado a essa densidade a notação de ρ e sua unidade é C/m3 
Em um pequeno volume ∆v temos: ∆Q=ρ∆v 
e assim ρ: ρ =
→
lim
∆
∆
∆v
Q
v0
 
 
em um volume infinitesimal teremos uma carga pontual de: dQ=ρ dv 
 
em um volume finito teremos uma carga total de: Q dQ dv= =∫ ∫ ρ C 
Definindo-se um ponto e uma carga pontual dQ por vetores posição r e r' respectivamente o campo elétrico 
é: 
 
d dQ( )E
r r
r rr =
−
−
4 0
3
πε '
' 
 
r-r1’ 
E(r) 
Q1 
r1’ 
r 
r r
r r
−
−
1
1
'
'
Q2 
r-r2’ 
r2’ 
Origem do 
sistema de 
coordenadas 
E(r) 
Q 
r’ 
r 
r-r’ 
Origem do 
sistema de 
coordenadas 
r r
r r
−
−
'
' 
 10 
Usando-se o princípio da superposição podemos somar as contribuições em todo o volume tornando-se 
infinito o número de cargas e fazendo o volume tender a zero temos a igualdade: 
 ( )E
r r
r rr( )
'dv
=
−
−∫
ρ
πε
r
V
'
'
'
4 0
3 
 
onde: 
ρ(r')dv' é um volume incremental contendo "n" cargas em um ponto definido pelo vetor posição r' 
 
7 - Campo em torno de uma linha infinita de cargas uniformemente distribuídas 
 
Um feixe de elétrons de um tubo de televisão é o que se constitue algo mais próximo de uma linha de 
cargas desde que fosse possível parar as cargas no tempo. 
Pode-se ter neste caso o conceito de uma densidade de cargas linear com símbolo ρL e com unidade C/m. 
Coloca-se esta linha infinita de cargas sobre o eixo z 
Usando-se o princípio da superposição dividimos a reta em cargas incrementais dQ=ρLdz (C/m×m=C) 
Calculando-se a influência de cada carga sobre um ponto P situado sobre um o eixo y vem: 
• cada carga provoca sobre no ponto um campo E comcomponentes unicamente nas direções y e z 
que varia quando a coordenada y varia, 
• a componente na direção z se anula pela simetria logo só temos componentes variando na direção 
do eixo y, 
• desde que y não varie a distância R da carga até o ponto permanece constante logo as superfícies 
equipotenciais são cilindros concêntricos com o eixo z coincidindo com as coordenadas do 
sistema cilíndrico. 
• Concluímos: só temos componente direção y e as equipotenciais tem formato cilíndrico 
coincidindo com as coordenadas do sistema cilíndrico. Logo adotaremos o sistema cilíndrico. 
Para um a carga incremental dQ=ρLdz em um ponto do eixo z temos: 
 
d dQ
4
dz
40
R
L
0
RE R
a
R
a= =
πε
ρ
πε2 2
 R=rar−zaz R = +r z2 2 
 
a a aR r z=
−
+
r z
r z2 2
 
 
 
 
 
substituindo-se e integrando-se apenas na direção ar temos : 
 
( )
r222
0
L
r
2
3
22
0
L
22
r
2
22
0
L
zr
z
r
1
4
r
zr4
rdz
zrzr4
rdz aaaE
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞− +
=
+
=
++
= ∫∫ πε
ρ
πε
ρ
πε
ρ 
 
( )E a= − −


ρ
πε
L
0
r
4 r r
1 1 12 2 r e finalmente vem E a=
ρ
πε
L
02 r
r 
 
Supondo-se que o aluno não houvesse observado a simetria: resultaria em um maior trabalho e 
possivelmente integrais mais complicadas porém o resultado seria o mesmo, pois integrando-se na direção 
az vem: 
 
nula por simetria 
y 
R 
z 
x 
P(r1;φ1;z1) dQ=ρLdz 
aR 
aR1 
Ez= 0 (simetria) 
Ez R1 
Ey 
 11 
( )
0
zr
1
4zr4
zdz
z22
0
L
z
2
3
22
0
L =
+
−=
+
−=
∞
∞−
∞
∞−∫ aaE πε
ρ
πε
ρ 
 
Generalizando-se vem: E a= ρ
πε
L
02 R
R 
onde: 
R é a menor distância entre a reta e o ponto em que desejamos calcular E 
aR é um unitário a partir da reta apontando para o ponto com suporte em R 
 
 
EXEMPLOS E2.5 Hayt 
a) ρ=10ze−0,1xsen(πy) em um volume 2 ≥ x ≥ −1 ; 1 ≥ y ≥0 ; 3,6 ≥ z ≥ 3 
 
( )Q ze y dxdydz=
−
−
∫∫∫ 101
2
0
1
3
3 6 0 1, ,
sen
x
π = ( )Q z y e dydz= −∫∫ − −1000
1
3
3 6 0 1
1
2, ,sen π x 
 
( ) ( )Q z y dydz = y dz z0
1
= − = =∫∫ ∫28 644
28 644 18 236
2
36 2
0
1
3
3 6
3
3 6 2
3
3 6
, sen , cos , ,
, ,
,
π
π
π C 
 
b) ρ=4xyz em um volume 2 ≥ r ≥ 0 ; π
2
≥φ ≥0 ; 3 ≥ z ≥0 
x=rcosφ ; y=rsenφ ----> ρ =4zr2cosφsenφ 
 
Q zr drd dz= ∫∫∫ 4 20
2
0
2
0
3 π
φ φ φcos sen r Q zr drd dz= ∫∫∫ 4 30
2
0
2
0
3 π
φ φ φcos sen 
 
Q z r d dz = 16 zsen dz = 8z
2
4
0
2 2
0
3 2
= =∫∫ ∫0
2
0
3
0
2
0
3
2
36
π
π
φ φ φ φcos sen r C 
 
 
E2.6 Hayt- a) densidade de carga linear de 25nC/m ; todo x= −3 e todo z=4 
E=? (na origem) 
E a= ρ
πε
L
02 R
R 
R=[0−(−3)] ax+(0−4) az = 3ax−4az 
( )
E = ×
+
−
−
25 10
2 1
36
10 3 4
9
9 2 2π
π
3ax−4az=54ax−72az 
 
c) mesmos dados porém E no ponto (4;60°;2) 
x= rcosφ=4cos60°=2 
y= rsenφ=4sen60°=2 3 
R=[2−(−3)]ax+(2−4)az=5ax−2az 
 
( )
E = ×
+ −
−
−
25 10
2 1
36
10 5 2
9
9 2 2π
π
( )
5ax − 2az=77,58ax−31,03az 
 
 
aR 
x 
z 
y 
P(-3 ; y ; 4) 
R 
 12 
8 - Campo de uma superfície plana infinita de cargas uniformemente distribuídas. 
 
Podemos neste caso definir uma densidade superficial de cargas com símbolo ρS e com unidade C/m2. 
Colocando-se o plano em zy e trabalhando-se com coordenadas cartesianas podemos dividi-lo em "n" retas 
infinitas com cargas uniformemente distribuídas e assim vem: 
 
d RE a=
ρ
πε
L
02 R
 ρL=ρSdy R=xax − yay 
 
R x y2 2= = +R a
a a
R =
−
+
x y
x y
x y
2 2
 
 
 
 
substituindo-se e pelo princípio da superposição integrando-se: 
 
E a=
+−∞
∞
∫
ρ
πε
S
x2 0
x
x y
dy2 2 E a a a= = − −








=
−∞
∞ρ
πε
ρ
πε
π π ρ
ε
S
x
S
x
S
xarctg2 2 2 2 20 0 0
y
x
 
 
E a= ρ
ε
S
x2 0
 e portanto não varia com nenhuma coordenada sendo independente destas e também 
independente da distância do ponto considerado até a folha infinita. 
 
Se o ponto escolhido fosse negativo o resultado seria obtido com R= − xax−yay teríamos E a= −
ρ
ε
S
x2 0
 
Este resultado também pode ser verificado pela colocação de uma carga de prova no ponto. 
 
 
Generalizando-se vem: E a= ρ
ε
S
n2 0
 
onde an é um unitário normal á superfície e voltado para o ponto onde desejamos calcular E. 
 
Colocando-se agora uma segunda folha com cargas negativas a 
uma distância "a" medida sobre o eixo dos x temos neste caso 
an=ax ou an= − ax dependendo do ponto e assim: 
x>a E a+ =
ρ
ε
S
x2 0
+ E a− =
−ρ
ε
S
x2 0
=0 
x<0 E a+ = −
ρ
ε
S
x2 0
+ E a− =
− −ρ
ε
S
x2 0
=0 
 CAPACITOR 
0<x<a E a+ =
ρ
ε
S
x2 0
+ E a− =
− −ρ
ε
S
x2 0
= ρ
ε
S
x
0
a 
 
 
EXEMPLOS: 
1) plano z=3 com distribuição superficial de cargas de 10−8/6π C/m2 
Calcular E em todo o espaço. 
 
Trata-se pois de um plano infinito com distribuição uniforme de cargas logo aplicamos para z>3: 
nula por simetria 
a 
z 
y 
x 
+ρS 
-ρS 
z 
y 
x R=xax-yay ρL=ρSdy 
 13 
E a= ρ
ε
S
n2 0
= 10
2 6 10
36
8
9
−
−× × ×π
π
a z =30az 
para z<3 E= − 30az 
 
2) 2.25 Hayt superfície quadrada z=0 ; 1 ≥ x≥ −1 ; 1 ≥ y ≥ −1 
 
densidade superficial de cargas |x|nC/m2 E=? no ponto (0; 0; 1) 
 
Divide-se o plano em "n" cargas dQ=ρSdydx. 
 
Só existem componentes do campo E na direção z porque as demais direções se anulam por simetria: 
 
 
 
 
dE a= dQ
4 R0
Zπε 2
 
 
 
 
 
R= − xax − yay + az ; R= R = + +x y z2 2 2 ; a a
a a a
R
x y z= =
− − +
+ +
12
x y z
x y z2 2 2
 
com z=1 vem: 
 
( )∫ ∫ ++×××
××= −
− 1
0
1
0
2
3
22
12
9
1yx
xdxdy
10854,84
1022
πz
E 
 
usando-se: 
( ) baxabax
xdx
+
−=
+
∫ 2
2
3
2
1 com a=1 e b=y2+1 
 
E z
y y
=
+
−
+∫
35 95 1
1
1
22 20
1
, dy 
 
usando-se dx
ax b a
x a ax b
2
21
±
= + ±∫ ln[ ( )] 
 
 
Ez = 35,95 ( ) ( )ln lny y y y+ + − + +2 2
0
1
1 2 = 35,95(0,881−1,005+0,347) 
 
E=8,01az V/m 
 
 
 
nulas por simetria 
nulas por simetria 
dQ=ρSdydx. P(0;0;1) 
-1;-1;0 
1;-1;0 
-1;1;0 
1;1;0 
ρS y 
x 
z 
 14 
CAPITULO 3 
 
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 
 
1-Experiência de Faraday 
 
• esfera exterior separada em dois 
semi - hemisférios e descarregada através 
de conexão momentânea com a terra e 
manipulada com luvas isolantes 
• esfera interior carregada positivamente. 
• entre as duas um isolante. 
 
• a esfera exterior que estava descarregada fica carregada com uma carga em módulo igual a da 
esfera interior e de sinal contrário. 
 
Houve portanto um fenômeno de deslocamento entre as esferas o qual independe do meio entre as esferas. 
 
Esta fenômeno foi denominado por Faraday como "fluxo elétrico de deslocamento" ou "fluxo elétrico" sua 
notação é ψ ,sua unidade é o Coulomb. Como ele é função da carga temos a igualdade: ψ = Q 
Na experiência de Faraday Q seria a carga total na esfera interna. 
 
2- Densidade de fluxo elétrico D 
É a relação entre o fluxo elétrico e a área total S da superfície atravessada pelo mesmo: 
 
D
S
Q
S
= =ψ C/m2 
 
 
D constitui um campo vetorial com: 
- direção e sentido igual a das linhas de fluxo do campo elétrico 
- Módulo igual a carga total dentro da superfície fechada dividida pela área da mesma. 
 
Na experiência de Faraday teríamos em coordenadas esféricas raio das esferas a e b e centradas na 
origem: 
 
na esfera interna: D a= Q
4 a
1
rπ 2
 na esfera externa: D a= Q
4 b
1
rπ 2
 entre as esferas: D a= Q
4 r
1
rπ 2
 
 
Para uma esfera: E a= Q
4 r
1
0
rπε 2
 portanto D = ε0E 
 
 ( )E
r r
r rr( )
'dv
=
−
−∫
ρ
πε
r
V
'
'
'
4 0
3 logo também 
( )D
r r
r rr( )
'dv
=
−
−∫
ρ
π
r
V
'
'
'
4
3 
 
EXEMPLO: 
 
 
E3.1 Hayt carga pontual em (0; 0; 0) com Q=15π nC. Qual o fluxo total em uma esfera de raio 5m e centro 
em (1; −1; 2). 
Como a esfera engloba a carga: ψ = Q =15π = 47,12 C 
 
++ 
++ 
− 
− 
− 
− 
− 
− 
− 
− 
dielétrico 
r-r’ 
D(r) 
Q=ρ(r)dv 
r’ 
r 
r r
r r
−
−
'
'
Origem dosistema de 
coordenadas 
 15 
 
3 - Lei de Gauss 
 
“O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é igual a carga envolvida pela mesma” 
 
Q d= ∫ D s.S 
 
onde: ds tem sentido para fora do volume que contém Q 
 Q é a carga envolvida que pode ter qualquer configuração ou seja reta, planos etc... 
 
 
EXEMPLO: E3.3 Hayt superfície r = 4,5 e − 3,5 < z < 3,5 ; ψ = ? 
 
a)linha de cargas no eixo x com ρL= 2cos(0,1x) C/m 
 
Ψ = = =∫ ∫
−
Q = dl 2cos(0,1x)dx = 4
0,1
xLL -4,5
4,5
ρ sen( , ) ,
,
,
0 1 17 4
4 5
4 5
C 
 
c) plano em z=0 com ρS = 0,1r2 C/m2 
 
 ∫∫ ∫∫∫ ====Ψ
−
5,4
0
3
2
0
4,5
0
5,4
0
32
0
2
S S
41,64drr1,02drr1,0=drrd0,1rds=Q πφφρ
ππ
 C 
 
4- Superfícies Gaussianas. 
 
Q d= ∫ D s.S A expressão matemática da Lei de Gauss é uma equação diferencial de 1ª ordem em que a 
incógnita D esta dentro do sinal de integração (quando estamos usando a Lei de Gauss geralmente deseja-se 
conhecer D). 
 
Uma equação deste tipo pode ser impossível de ser resolvida se a superfície de integração não for bem 
definida. A idéia é retirar D de dentro do sinal de integração ou anular a integral. 
 
 Assim: D e ds tem que ser em qualquer ponto da superfície escolhida: 
 
⇒ D ⊥ ds anulando a integral ou 
⇒ D ⁄⁄ ds resultando em um escalar. Neste caso D tem que ser constante para ser retirado da integral, 
restando uma integral de superfície fechada. 
 
Não é possível o uso desta Lei para encontrar a densidade de fluxo de duas cargas pontuais porque neste 
caso não existe uma superfície Gaussiana. 
 
 
5 - Aplicação da Lei a algumas cargas. 
 
a) carga pontual 
 
Em coordenadas cilíndricas a superfície Gaussiana é uma esfera centrada na origem e a integração é sobre a 
superfície de uma esfera. 
 
Q d D r d d r D2 2= = =∫ ∫∫D s a ar r. . senS r00
2
4
ππ
θ θ φ π D ar=
Q
r24π
 
4,5 
y 
z 
y 
3,5 
3,5 
 16 
(não precisa integrar) 
 
 
b)Linha infinita de cargas 
Em coordenadas cilíndricas. E e portanto também D só varia com r, logo a Gaussiana tem que ser um 
cilindro. 
 
Q d D d LDr r= = =∫ ∫D s s.S S r2π Coulombs 
 
 D Q
L
L
Lr
L L= = =
2 2 2π
ρ
π
ρ
πr r r
 C/m2 
 
 
 
c) Dois cilindros concêntricos ou o cabo coaxial 
 
Colocando-se em coordenadas cilíndricas centrado no eixo z e supondo-se densidade de cargas positivas 
no condutor central, por simetria só existe a componente de D na direção r. 
 
As superfícies Gaussianas são cilindros. 
 
r < a não existe carga envolvida Q=0 logo D =0 
 
a <r <b com a Gaussiana entre o condutor interno e externo: 
 
Q ad dz aLa = =∫∫ ρ φ π ρ
π
S
L
S0
2
0
2 D Q
rL
a L
rL
a
rr
S S= = =
2
2
2π
π ρ
π
ρ D ar=
a
r
Sρ 
 
Com a carga por unidade de comprimento no condutor central: ρL= 2π ρa S vem: 
 
D a ar r= =
a
r r
S Lρ ρ
π2
 
 
No condutor externo devemos ter pela experiência de Faraday cargas de igual módulo e sinal oposto logo 
considerando-se que se tem cargas positivas no condutor interno: 
 
− 2πbLρs,cond.ext. = 2πaLρs,cond.int. ρs,cond.ext. = − 
a
b
ρs,cond.int. 
 
r>b a carga envolvida é igual a zero logo D=0 nesta região e deste modo o campo elétrico fica todo 
confinado dentro do cabo. 
 
6 - Divergência 
 
Duas das Equações de Maxwell são formuladas com esta operação vetorial. 
A divergência é uma operação sobre um vetor que resulta em um escalar e simplesmente indica a variação 
da grandeza dentro do volume sem indicar direção ou sentido de saídas ou entrada da mesma no volume. 
 
A sua aplicação em um campo vetorial qualquer é ilustrada por dois exemplos práticos: 
 
 
 
Densidade linear 
de carga ds 
ds 
ds 
Dr 
z 
v v 
v v 
volume de cano em que passa água 
com representação da velocidade de 
suas partículas por vetores 
a b 
z 
 17 
 
Como a água não pode ser comprimida em todo os pontos dentro do cano a velocidade das partículas é a 
mesma e toda a água que entra sai do cano. Não existe divergência. 
 
 
 
 
 
 
Ao ser destampada uma das extremidades as moléculas do ar terão velocidades diferentes em cada ponto 
dentro do cano e sai mais partículas de ar do cano do que entram. Existe divergência. 
 
A analise destes dois casos nos mostra que: 
 
• No primeiro caso as fontes e sumidouros do campo que provocavam o deslocamento das partículas 
(bomba de água e torneira) estão fora do volume. O campo não sofreu variação de intensidade no 
mesmo sentido dele. 
• No segundo caso as fontes do campo que provocavam o deslocamento das partículas (pressão) estavam 
dentro do volume. O campo sofreu variação de intensidade no mesmo sentido dele. 
 
Portanto: 
 
♦ Quando houver fontes ou sumidouros dentro do volume existe divergência. Neste caso o valor da 
grandeza que entra é diferente da que sai do volume. 
♦ Uma divergência: 
 positiva indica que sai mais do que entra dentro do volume (denuncia a existência de fontes do campo 
dentro do volume) 
 negativa indica que entra mais do que sai de dentro do volume (denuncia a existência de sumidouros do 
campo dentro do volume). 
 
O campo que não tem fontes nem sumidouro é chamado de “solenoidal” um exemplo é o campo 
magnético, portanto Div H =0 
 
Em qualquer livro sobre análise vetorial temos que a divergência de um vetor pode ser expressa por: 
 
div
d
v
SD
D. s
=
→
∫lim
∆ ∆v 0
 
 
 
cartesianas divD= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
D
x
D
y
D
z
x y z+ + 
 
 
cilíndricas: divD=
z
DD
r
1
r
)rD(
r
1 zr
∂
∂
∂φ
∂
∂
∂ φ ++ 
 
 
esféricas: divD= 1
r
r D
r r
D D
2
2
r∂
∂ θ
∂ θ
∂θ θ
∂
∂φ
θ φ( )
sen
( sen )
sen
+ +1 1
r
 
 
 
7 - Aplicação da divergência no eletromagnetismo - 1ª equação de Maxwell. 
volume de cano com ar sobre pressão e 
tapado inicialmente com representação da 
velocidade de suas partículas por vetores 
v 
v 
v 
v 
 18 
 
Seja um volume diferencial e aplicando-se a Lei de Gauss conhecendo-se o seu valor no centro do volume e 
como a superfície é pequena podemos considerar D aproximadamente constante na superfície deste. 
 
 
 xx aasD.
zy
S.Dd frentex,frente
∆∆
∆=∫
frente
 
 
D D xx,frente x0ax = +
∆
2
×(taxa de variação de Dx com x) 
 
D D x D
xx,frente x0
x= + 



∆
2
∂
∂
 ∴ D. sd D x
2
D
x
y zx0 x
frente
∫ = + 






∆ ∆ ∆∂
∂
 
 
D. sd D x
2
D
x
y zx0 x
atraz
∫ = − 






−∆ ∆ ∆∂
∂
 ∴ D. s D. sd d D
x
x y zx
atraz frente
∫ ∫+ = 


∂
∂
∆ ∆ ∆ 
 
de modo semelhante teríamos para todas as outras faces e o resultado final é: 
 
Q d D
x
D
y
D
z
x y z = D
x
D
y
D
z
vx y z x y z= = + +





 + +





∫ D. sS
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∆ ∆ ∆ ∆ 
 
Q
v
d
v
D
x
D
y
D
z
Divx y z
∆ ∆
= = + + =∫ D. s DS ∂
∂
∂
∂
∂
∂
 ou no limite com ∆v →0: 
 
 Div D
x
D
y
D
z
x y zD = = + +ρ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
 1ª Equação de Maxwell que é a forma pontual da Lei de Gauss 
 
A divergência de D resulta na fonte deste campo que são as cargas positivas. 
 
Com DivD=0 não existe fontes (cargas positivas) nem sumidouros (cargas negativas) de D no volume. 
 
 
8 - Uso do operador nabla no eletromagnetismo. 
 
Por definição zy aaax zyx ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ++≡∇ assim Nabla escalar D resulta em: 
 
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ =++=


 ++≡∇
z
D
y
D
x
DD+D+D.
zyx
. zyxzyx zyxzyx aaaaaaD 
 
Logo ∇ =.D ρ 
 
 
9 - Teorema da divergência 
 
Relaciona uma integral dupla de superfície com uma integral tripla de volume. Muito importante em 
diversas demonstrações. 
x 
y 
z 
∆z 
∆y ∆x 
D0=Dx0ax+Dy0ay+Dz0az 
(valor conhecido no centro) 
∆v 
 19 
 Q d= ∫ D s.S ; Q dvV= ∫ ρ ; ∇ =.D ρ ∴ 
 
D s .D.d dv dv
V VS∫ ∫ ∫= = ∇ρ logo: D s . D.d dvVS∫ ∫= ∇ 
 
 
Fisicamente podemos analisar este resultado como sendo preferível se preocupar com as conseqüências 
do que ocorre na superfície de um volume sem se importar como o fenômeno esta se desenvolvendo 
dentro dele. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: E3.9 Hayt 
G=2r2(cos5φar − sen5φaφ + az)= 2r2cos5φar − 2r2sen5φaφ+ 2r2az 
região r ≤ 5 ; 0 ≤ φ ≤ 0,1π ; 0 ≤ z ≤ 10. Efetuar ambos os lados do teorema da divergência . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∇.G = 
z
)2r()5sen2r(
r
1
r
)5cos2rr(
r
1
z
GG
r
1
r
)rG(
r
1 222zr
∂
∂
∂φ
φ∂
∂
φ∂
∂
∂
∂φ
∂
∂
∂ φ +−+×=++ 
 
∇.G = 3 2r
r
2r
r
r
2 2× − × = −cos cos ) cos5 5 5 4 5φ φ φ 
∇ = − − = − − = −∫∫∫∫ ∫∫ ∫. cos cos sen
, ,
Gdv r rdrd dz = r drd r dr = 8r
3V
2 2
0
0,1 2
0
5
4 5 40 5 8 5 1000
30
5
0
0 1
0
10
0
5
0
0 1
0
5
φ φ φ φ φ
π π π
 
G s.d face com = 0,1 face com r = 5
S
= +∫ ∫ ∫φ π ; apenas porque: 
 
• topo e base com áreas iguais e ds opostos e o valor da componente de G na direção sobre as faces 
igual desde que Gz = f(r) apenas. 
 
• Na face em que φ=0 temos G.ds= (2r2cos(0)ar − 2r2sen(0)aφ + 2r2az).drdzaφ=0 
 
3
1000dzd5)5cos(52dzdr)5,0sen(r2d.
10
0
1,0
0
25
0
10
0
2
S
−=×+−= ∫ ∫∫ ∫∫
π
φφπsG 
O que diverge 
em uma célula 
converge na 
adjacente 
Só contribui 
para o total o 
que diverge 
 pela superfície 
ds=rdφdzar 
ds=rdrdφaz 
ds=drdzaφ ds=drdz(−aφ) 
ds=rdrdφ(−az) 
r 
φ 
z 
2r2 az 
−2r2sen5φ aφ 
2r2cos5φ ar 
 20 
CAPITULO 4 
 
ENERGIA E POTÊNCIAL 
 
1-Energia utilizada no movimento de uma carga pontual em um campo elétrico 
 
onde: + Q carga a ser deslocada de x2 para x1 
 
 Fapl é a força aplicada no percurso 
para vencer o campo elétrico (agente externo) 
 
 FEL é a força produzida pelo campo 
elétrico na direção do movimento 
 
FE=+QE ∴ FEL= FE.aL = +QE.aL ∴ Fapl= −−−− QE.aL 
 
O trabalho a ser produzido é: dW = FapldL= −−−− QE.aLdL = −−−− QE.dL ∴ W Q d= − ∫ E L.inicio
fim
 Joules 
 
que é uma integral de linha com dL é sempre positivo ! o sentido da integração determina o sinal: 
 
como dW = −−−− QE.dL o trabalho só se verifica para a componente de E no sentido do deslocamento. 
 
• W positivo o agente externo produz o trabalho 
• W negativo o campo produz o trabalho (o campo elétrico perdeu energia) 
 
O caminho dL não é especificado: qualquer caminho conduz aos mesmos resultados desde que quando 
se perde energia em um determinado percurso ganha-se energia ao se retornar. 
 
 
No caso tem-se: W Q d Q (E + E + E dx QE x xx z x= − = − = − −∫ ∫E L a a a a. ). ( )inicio
fim
x y y z xx
x
2
1
1 2 
 
 com x1 < x2 tem-se x1− x2= − L ∴ W QE x x QE Lx x= − − =( )1 2 
 
A fonte externa neste caso tem que produzir trabalho, e este resultado foi conseguido pelos limites de 
integração estabelecidos. 
 
 
EXEMPLO: 
O campo elétrico na região é E=2xax−4yay.Qual o trabalho necessário para deslocar uma carga de 2 C do 
ponto A(2 ;0 ; 0) para B(0; 2; 0) 
 
a) ao longo de um trajeto passando pela origem. 
 
entre (2;0;0) e (0;0;0): dW = −−−− QE.dL ∴ dW= −2 (2xax−4yay).dxax = −4xdx 
 
entre (0;0;0) e (0;2;0): dW= −2 (2xax−4yay).dyay = 8ydy 
 
W 4xdx ydy= − + =∫ ∫2
0
0
2
8 24 Joules 
 
 
b) Por uma reta ligando os dois pontos 
FE 
E 
Fapl FEL 
x 
x1 x2 
+Q 
aL 
y 
 21 
 
Para integrar sobre a reta tem-se que obter a equação da reta entre dois pontos. Isto é dado pela interseção 
de pois planos que contenham os pontos A(2 ;0 ; 0) e B(0; 2; 0): 
 
ba
b
ba
b
xx
xx
yy
yy
−
−=
−
− ∴ 
02
0x
20
2y
−
−=
−
− ∴ x + y = 2 e dx + dy = 0 ∴ dy = − dx 
 
dW = − 2(2xax−4yay).dxax + dyay + dzaz = −4xdx + 8ydy = −4xdx + 8(2 − x)( − dx) = (4x − 16)dx 
 
W 4x -16)dx= =∫ (2
0
24 Joules 
 
 
2-Trabalho em torno de uma linha infinita de cargas. Campos conservativos. 
 
a)carga positiva Q em um caminho circular de raio r1 centrado na linha e em um plano perpendicular a 
mesma. Pela geometria do problema vamos usar coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
 
 
 W Q d Q
r1
r= − = −∫ ∫E L a. .inicio
fim Lρ
πε
π
2 00
2
 r1dφaφ= 0 
 
portanto qualquer que seja o caminho adotado o resultado é o mesmo e nulo. Nestes casos diz-se que o 
campo é “um campo conservativo” e uma integral de linha de percurso fechado A L.d∫ nestes campos 
resulta sempre em zero. Os campos conservativos não produzem trabalho. 
 
• O campo elétrico gerado por cargas é conservativo. 
• O campo elétrico gerado por campos alternados (do tipo “fem”) não é conservativo!! 
 
 
b)deslocando-se a carga de r1 para r2 no sentido radial com r2>r1. Como independe do percurso escolhe-se 
um percurso direto entre os pontos. 
 
W Q
r
dr Q r
rrr
r2
= − = −





∫
ρ
πε
ρ
πε
L L
2 20 0
2
11
a ar. ln Joules, o campo fornece energia, perde energia portanto. 
 
c)deslocando-se de r2 para r1 
 
W Q
r
dr Q r
r
Q r
rrr
r
2
1
= − = −





 =





∫
ρ
πε
ρ
πε
ρ
πε
L L L
2 2 20 0
1
2 0
2
1
a ar. ln ln Joules 
inverte-se a fração para permitir uma comparação, e comparando-se e vê-se que o campo ganhou energia. 
 
 
3-Diferença de potencial e potencial 
 
“Diferença de potencial V é o trabalho realizado por uma fonte externa ao mover uma carga unitária 
positiva de um ponto a outro em um campo elétrico”: 
 
r1 
y
x z 
dL= drar+ r1dφaφ+ dzaz 
r2 
 22 
 V W
Q
d dAB = = − = −∫ ∫E L E L. .inicio
fim
B
A
volt Newton m
Coulomb
Joule
Coulomb
= × = =Volt 
 
A = ponto final de potencial mais elevado, sendo o ponto onde esta a carga. 
B = ponto de referência inicial de potencial menos elevado, sendo considerado geralmente como o infinito. 
 
Com V = 0 no infinito e colocando-se B também no infinito tem-se um potencial absoluto, caso não seja 
especificado B desta forma deve-se indicar onde esta a referência para os potenciais. Esta referência pode 
ser o chassi de um computador no caso de cabos coaxiais o condutor de fora é a referência zero porque esta 
geralmente aterrado. 
 
 
Se VAB > 0 será realizado trabalho pela fonte externa para deslocar uma carga de B até A. 
 
No exemplo da linha de cargas o ponto r2 > r1 e o campo decresce com r, assim a diferença de potencial 
entre r2 e r1 é: 
V
r
dr r
r12 rr
r
2
1
= − =





∫
ρ
πε
ρ
πε
L L
2 20 0
2
1
a ar. ln 
 
Se o potencial de um ponto é VA e de outro é VB e ambos tem obrigatoriamente a mesma referência zero: 
 
VAB=VA-VB 
 
 
4 - Princípio da superposição. Potencial em torno de uma carga e de um sistema de cargas. 
 
O potencial também segue o “princípio da superposição” portanto uma estrutura mais complicada pode 
ser decomposta em uma série de cargas pontuais e calcula-se V em um ponto (a exemplo do que foi feito 
com E) pela soma de V neste ponto provocado por cada carga individual. 
Assim torna-se importante calcular-se o potencial em torno de uma carga. 
 
Colocando-se a carga na origem de um sistema de coordenada esférica para facilitar o trabalho desde que o 
campo é esférico em torno da carga, calcula-se a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer A e B. 
Como independe do percurso faz-se ele o mais genérico possível: 
 
( )V d Q r dr + rd + r sen d
Q 1
r
1
rAB 2 A B
= − = − = −





∫ ∫E L a a a ar r. .B
A
B
A
4 40 0πε
θ θ φ
πεθ φ
 
 
Deslocando-se o ponto B para o infinito ( potencial absoluto) tem-se potencial absoluto de uma carga 
pontual: 
V Q 1
r
1 Q
rA
= −
∞





 =
4 40 0πε πε
 generalizando-se V Q( )r r r
=
−4 0πε
'
 
 
Em um sistema de n cargas pontuais que podem 
ser representadas por um elemento contínuo de 
 carga volumétrica de dimensões infinitesimais: 
 
 Qm=ρm(r)dv com m=1 até n 
 
 
r-r2’ 
r-r1’ 
V( r)=? 
Q1=ρ1(r’)dv 
r1’ 
r r
r r
−
−
1
1
'
'
r2’ 
Origem do 
sistema 
Q2=ρ2(r’)dv 
r 
 23 
V Q( ) mr r r
=
−=
∑
4 01 πε mm
n
'
 
 
Passando-se o somatório para uma integral: 
( )V
dv
( )
'
Vr r r
=
−∫
ρ
πε
r '
'4 0
 
 
Se as cargas estiverem dispostas em uma reta ou um plano: 
 
( )V
dL
( )
'
Lr r r
=
−∫
ρ
πε
L r '
'4 0
 ; ( )V
ds
( )
'
Sr r r
=
−∫
ρ
πε
S r '
'4 0
 
 
EXEMPLOS: 
E 4.5 Q=1,6×10−9 C; V=? em r = 0,7 m (pt. A) V
Q 1
r
1
rAB A B
= −






4 0πε
 
 
a) referência no infinito V 1,6 10 1
0,7A-9
= × 


4 0πε
=20,5 V (potencial absoluto) 
 
b) 0 em r = 0,5 m ∴ V 1,6 10 1
0,7
1
0,5A
-9
= × −


4 0πε
=20,5 − 28,7= −8,22 V (referido a um zero que não esta no 
infinito logo não é um potencial absoluto). 
 
c) VB = 5 V em r =10 m ∴ V
1,6 10 1
0,7
1
10AB
-9
= × −


4 0πε
= 6,17 V o potencial absoluto em r =10 é 5V logo: 
 
 VA=6,17+5=11,7 V (potencial absoluto) 
 
 
E4.6 P(0; 0; 10) V=? R= − rar+zaz= − rar+ 10az 
 
a) anel com largura infinitesimal com r=4 em z=0 e ρL= 5×10-9 C: 
 
( )V
dL 5 10 d
( )
'
L
-9 '
r r r
=
−
= × ×
+
=∫ ∫
ρ
πε
φ
πε
πL r '
'
,
4
4
4 4 10
104 9
0 0
2 20
2
V 
 
 
b) Disco 4 ≥ r ≥ 0 em z=0 e ρS= 2×10-9 C: 
 
( )V
ds rdrd
r 10
rdr
r 10
r 10( )
'
S
'
2 20
2
0
4 '
2 20
4 2 2
r r r
=
−
= ×
+
=
+
= + =∫ ∫∫ ∫
−ρ
πε
φ
πε
πS r '
' , ,
,
4
2 10
4
1000
8 854
1000
8 854
86 97
0
9
0
0
4
 V 
 
 
c) Anel 4 ≥ r ≥ 2 em z=0 e ρS= 3×10-9 C: 
 
 
dL=rdφ 
x 
y 
z 
P 
R 
ds=rdφdr 
 24 
V rdrd
r 10
r 10( )
'
2 20
2
2
4 2 2
r =
×
+
=
×
+ =
−
∫∫
3 10
4
3000
2 8 854
97
9
0
2
4φ
πε
π
,
 V 
 
 
5-Gradiente e Gradiente do potencial 
 
♦ divergência é uma operação sobre um vetor que tem como resultado um escalar 
♦ gradiente é uma operação sobre um escalar que resulta em um vetor. 
 
Seja uma região com taxas de variação de altitude em metros quando caminhamos um quilometro nas 
direções x = 4m/km e y = 3m/km. Para saber-se a elevação em qualquer ponto podemos exprimi-la em 
termos de x e y por uma função do tipo P=1000+4x+3y metros. 
onde: 1000 é a elevação do seção do mapa em relação ao nível do mar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coloca-se um vetor que denomina-se “Gradiente” com componentes nas duas direções tendo como módulo 
as declividades em cada direção x e y. 
Como a declividade é a maior taxa de variação da elevação em uma dada direção elas serão 
respectivamente: ∂
∂
P
x x
a e ∂
∂
P
y y
a e assim ele esta na direção mais íngreme: 
GradienteP= ∂
∂
∂
∂
P
x
P
yx y
a a+ 
 
Duas características são muito importantes no gradiente 
 
• A direção do vetor gradiente faz sempre angulo reto com às curvas isométricas. 
A inclinação mais íngreme pode ser encontrada descendo a elevação na distância mais curta e isto é 
conseguido tomando-se uma direção perpendicular às curvas isométricas. 
 
• O modulo do vetor gradiente será proporcional ao espaçamento das linhas de contorno. Quanto menor o 
espaçamento maior será a declividade e a taxa de variação da função e conseqüentemente o módulo do 
vetor gradiente. 
 
Na região considerada: P=1000+4x+3y metros logo GradienteP=4ax+3ay 
 
Isto indica que a inclinação em qualquer direção é a mesma porque as componentes do gradiente não são 
função de x e y. 
 
Para três dimensões temos: Gradiente P= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
P
x
P
y
P
zx y z
a a a+ + 
 
Y 
X 
yy
P a
∂
∂
xx
P a
∂
∂
Gradiente P 
4m/km 
3m/km 
P=1000+4x+3y 
 25 
ou usando-se o operador Nabla ∂
∂
∂
∂
∂
∂x y z
P = Px y za a a+ +





 ∇ = GradienteP 
 
matematicamente tem-se: ∇ + +





P d =
P
x
P
y
P
zx y z
. L a a a∂
∂
∂
∂
∂
∂
.(dxax+dyay+dzaz) 
 
∇P d. L = ∂
∂
∂
∂
∂
∂
P
x
dx P
y
dy P
z
dz+ + 
 
a igualdade da direita é a derivada total da função que exprime o campo escalar e portanto é a variação da 
função P para um movimento em uma distância dL logo: 
 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
P
x
dx P
y
dy P
z
dz+ + =dP ∴ ∇P d. L = dP =|∇P||dL|cosφ 
 
♦ φ = 90° ⇒ dP=0 logo para deslocamentos em qualquer distância não existe variação e só pode ter se 
dado em uma curva de nível ou superfície equipotencial e Gradiente P é normal a esta. 
 
♦ φ = 0° temos o valor máximo de dP e Gradiente P esta na mesma direção de dL. Portanto a direção do 
gradiente é a direção de maior valor de variação da função. 
 
 
Portanto o gradiente tem a direção e módulo da maior taxa de variação positiva de um campo escalar em 
um ponto. 
Estes mesmos raciocínios valem também para coordenadas cilíndricas e esféricas. 
 
Passando agora para o campo elétrico tem-se: V dAB = −∫ E L.B
A
 
 
Para um elemento muito pequeno de comprimento em que E seja essencialmente constante vem: 
 
∇ V= − E.∆L=|E||∆L|cosφ no limite: dV
dL
E= − cosφ 
φ=180° temos o máximo da função, e isto é conseguido quando os deslocamentos dL são opostos a direção 
de E 
φ=90° resulta V=0 e como nem E nem ∆L são iguais a zero conclui-se que os vetores são perpendiculares 
e que o deslocamento se deu em uma equipotêncial. 
 
Definindo-se um unitário aN perpendicular as equipotenciais e na direção dos potenciais mais elevados 
 
E a a= − = −dV
dL
dV
dNmax
N N 
 
onde a notação dN lembra que dL é normal às equipotenciais. 
 
Ou seja o módulo de E é dado pela máxima taxa de variação espacial de V e a direção de E é normal à 
superfície equipotencial no sentido decrescente do potencial, portanto: 
 
E= − ∇ V ou E= − ∂
∂
∂
∂
∂
∂
V
x
V
y
V
zx y z
a a a+ +





 
 
 26 
nos demais sistemas de coordenadas vem: 
 
cilíndricas: ∇V= ∂
∂
V
r
ar+
1
r
V∂
∂φ
aø +
∂
∂
V
z
az 
 
esféricas: ∇V= ∂
∂
V
r
ar+
1
r
V∂
∂θ
aθ +
1
r
V
senθ
∂
∂φ
aø 
 
Os denominadores tem a forma do vetor deslocamento dL em cada sistema. 
 
EXEMPLOS: 
 
Campo elétrico de uma reta infinita carregada 
Colocando-se a origem no infinito e considerando um valor de potencial nulo no infinito temos os 
potenciais absolutos em torno da reta com r2 > r1: 
 
( )V
r
dr r r r r r12 r
r
2
1= − = − − = − − ∞





 = − + = −∫
ρ
πε
ρ
πε
ρ
πε
ρ
πε
ρ
πε
ρ
πε
L L L L L L
2 2 2 2 2
0
20 0
1 2
0 0 0 0
ln ln ln ln ln ln 
 
 
 
V r= − ρ
πε
L ln
2 0
 ; ∇ =
−






= −V
r
r rr r
∂ ρ
πε
∂
ρ
πε
L
L
ln
2
2
0
0
a a ; E= − ∇ V ; E a= ρ
πε
L
2 0r
r 
 
V=f(r) logo as superfícies equipotenciais são cilindros concêntricos com a reta. 
 
 
E4.8 do Hayt V=50x2yz+20y2 V=? no vácuo.
 
 
 
 
a) no Pt (1; 2; 3) V=50×12×2×3 + 20×22 = 380 V 
 
b) EP = ? EP= − ∆V= −
∂
∂
∂
∂
∂
∂
V
x
V
y
V
zx y z
a a a+ +





 
 
EP = −100xyz ax−(50x2z+40y) ay−50x2y az 
 
 
EP= −600ax−230ay−100az 
 
c) ρP=? ∇.D=∇.ε0E = ρ 
 
E = −100xyz ax−(50x2z+40y) ay−50x2y az 
 
∇.ε0E =
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
0 0 0E
x
E
y
E
z
x y z+ + ∴ ρP = −100ε0zy − 40ε0= −−−− 5,66 nC/m3 
 
d) dV
dN
=? E a= − dV
dN N
 EP= −600ax−230ay−100az ∴ 
dV
dN
= + + =600 230 100 6502 2 2 V/m 
0
10
20
30
0 10
20
30
0
1 106
2 106
3 106
4 106
Z=3
 
Potenciais se 
afastando da reta 
Z 
Y 
X 
x 
y 
z 
∇∇∇∇V 
E 
r2 r1 
 27 
 
esta resposta corresponde à máxima taxa de variação da função potencial. 
 
e) aN em Pt (1; 2; 3) = ? −
dV
dN N
a = −600ax−230ay−100az ∴ 
 a N =
+ +
600 230 100
600 230 1002 2 2
; ; = 0,923ax+ 0,35ay + 0,154az 
 
 
6 - O dipolo elétrico 
 
São duas cargas pontuais, iguais sinais contrários e separadas por uma distância "d" muito pequena. 
O estudo desta configuração de cargas se deve, a necessidade de termos elementos para estudar os materiais 
dielétricos mais adiante. 
Em coordenadas esféricas e com o dipolo na origem temos V em um ponto P com R1 e R2>>>>>>> d. 
 
V Q 1
R
1
R
Q R R
R RP 1 2
2 1
1 2
= −





 =
−
4 40 0πε πε
 
 
 
 
considerando-se a diferença entre R2 − R1=dcosθ e desprezando-se a diferença entre R1 e R2 e r 
 
V Qdcos
rP 2
= θ
πε4 0
 
 
∇ V= ∂
∂
V
r
ar+
1
r
V∂
∂θ
aθ +
1
r
V
senθ
∂
∂φ
aø ; E= − ∇ V 
 
 
( )θθ θθπεπε
θ
πε
θ aaaaE sen2cos
r4
Qd
r4
Qdsen
r2
Qdcos
r3
0
3
0
r3
0
+=



−−−= 
 
Definindo-se um vetor d dirigido de −Q para +Q e também um “momento de dipolo” 
 
 p = Qd C.m 
 
como d.ar=dcosθ (dipolo na origem): V
Qdcos
r
Q
r rP 2
r
2
r
2= = =
θ
πε πε πε4 4 40 0 0
d a p a. . 
 
 
 Generalizando-se 
( ) ( )
V 1( )r
r r
p r r
r r
p r r
r r
=
−
−
−
=
−
−4 40
2
0
3
πε πε'
'
'
'
'
. .
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
E4.9 p = 400πε0(0,6ax−0,75ay+0,8az) C.m em um dipolo centrado na origem. V=? em PA(0; 0; 5) 
d 
V=? em P +Q 
−Q R2 
R1 
θ ar 
r 
dcosθ 
V( r) 
+Q 
r’ r 
r-r’ 
Origem do 
sistema de 
coordenadas 
r r
r r
−
−
'
' 
−Q 
Centro 
do dipolo 
d 
 28 
 
r − r’ = 5az 
 
( )
V( )
z y z z
r
a a a . a
=
− +400 0 6 0 75 0 8 5
4 5
0
0
3
πε
πε
( , , , )
 = 3,2 V 
 
 
 
7-Energia total no campo eletrostático, em uma região. 
 
7.1 Energia em um sistema de cargas pontuais 
 
O trabalho realizado por uma fonte externa para trazer uma carga de um ponto distante até um 
ponto mais próximo de uma outra carga fica acumulado na forma de energia potencial que seria 
liberada no caso de desligamento da fonte externa. 
 
Portanto a energia potencial de um sistemas de cargas será a soma dos trabalhos realizados pela fonte 
externa para posicionar cargas. 
 
Em um universo vazio e sem cargas para trazer a primeira carga não trabalha contra nenhum campo 
portanto não é realizado trabalho pela fonte externa. 
 
O trabalho para trazer a segunda carga e coloca-la no ponto é: W2=Q2V21 
 
Para uma terceira carga a energia acumulada é: 
 
WE= W1+ W2 +W3=0 + Q2V21 + Q3V31+ Q3V32 
 
Para obter simplificações computa-se o trabalho para trazer as cargas em ordem inversa e pelo principio da 
superposição podemos somar estas duas ultimas expressões: 
 
WE= W3+ W2 +W1=0 + Q2V23 + Q1V13+ Q1V12 
 
2WE= Q2V21 + Q3V31 + Q3V32 + Q2V23 + Q1V13 + Q1V12 = Q1 (V12 + V13) + Q2 (V21 +V23 ) + Q3 (V31 + V32) 
 
 
como o trabalho foi computado duas vezes o seu valor é dividido pela metade: 
1
2
WE= Q1V1 + Q2V2+ Q3V3 
Para “n” cargas a energia total dentro do volume é: W Q VE m m
m 1
n
=
=
∑12 Joules 
E a densidade de energia: W
volume
J
m
E
3= 
 
7.2 Energia em um sistema de contínuo de cargas 
 
Em uma região com distribuição contínua de cargas: dQm=ρdvm e o somatório se transforma em uma 
integral: 
W V dvE V= ∫
1
2
ρ Joules 
 
fazendo-se uso da identidade vetorial : ∇.(VD) ≡V(∇.D)+D.(∇V) e ∇.D = ρ 
Carga que 
provoca o 
potencial 
pont
V1 V2 V3 
−Q 
x 
y 
z 
+Q 
P 
 29 
( ) ( )[ ]W V dv V dv V V dvE V V V= = ∇ = ∇ − ∇∫ ∫ ∫
1
2
1
2
1
2
ρ . . .D D D 
 
• A primeira integral pelo teorema da divergência resulta: ( )∇ ∫∫ . .V dv = V dSV D D s 
 
 
• A segunda integral resulta: − ∇ =∫ ∫∫∫
1
2
1
2
1
2
1
20 0
D D E E E. . .Vdv dv = dv = E dv
V
2
VVV
ε ε 
 
logo: W V d + E dvE
2
VS
= ∫∫
1
2
1
2 0
D. s ε 
 
Em torno de uma carga pontual, em um volume esférico de superfície com raio b vem: 
 
∫ ∫ ∫∫ ∫ +×=
π ππ π
φθθ
επ
εφθθ
ππε
2
0 0
2
42
0
22
2
0
2
2
0 0
2
0
E ddrdsenrr4
Q
2
1senr
r4
Q
r4
Q
2
1W
a
b
dd 
 
W Q
b
Q 1
a
1
b
Q
aE
2 2 2
= + −



=
4 4 40 0 0πε πε πε
 
 
logo o resultado independe da superfície do volume pois a primeira integral diminui na mesma 
proporção que a segunda aumenta. Calculando-se para um volume com superfície infinita a integral 
de área é nula portanto: 
 
W dv = E dvE
2
VV
= ∫∫
1
2
1
2 0
D E. ε Joules 
 
EXEMPLOS: 
 
1-Calcular a energia acumulada por metro de um cabo coaxial: 
 
E a= ρ
ε
S
r
a
r0
 (a < r < b) ; W E dvE
2
V
= ∫
1
2 0
ε ; dv = rdrdφdz 
a
blna=dzrdrd
r
a
2
1W
1
0
2
0
0
2
S
2
22
0
2
S
2
0
E ∫ ∫ ∫=
π
ε
ρπφ
ε
ρεb
a
 Joules/m 
 
2-Quanto vale a energia acumulada em um sistema de duas cargas pontuais Q1=3nC e Q2= − 3nC separadas 
por 0,2 metros. 
 
2WE= Q1 
Q
d
2
4 0πε
+ Q2
Q
d
1
4 0πε
 ∴ WE= 
( )Q Q
d
3 10
0,2
1 2
-9
4 4
405
0
2
0πε πε
=
×
= − nano Joules Porque negativa? 
 
 
E4.11 coordenadas esféricas 10 ≥ r V=100r2 WE = ? 
é uma esfera porém deve-se integrar a variável junto com o volume E= −−−− ∇V= ∂(− 100r2)/∂r = − 200r 
 
( )W r r sen drd dE 2
000
= −∫∫∫
1
2
200 2 0
102
ε θ θ φ
ππ
 ∴ W dE =
×
×
− =∫
ε θ φπ
π0
9
0
24 10
2 5
cos o 44,51 mJ 
E= −∇V 
 30 
CAPITULO 5 
 
CARGAS ELÉTRICAS EM MOVIMENTO, CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 
 
1-Corrente elétrica 
 
Cargas elétricas passando por um ponto ou superfície constituem uma corrente elétrica. 
 A corrente elétrica não constitue um campo vetorial, e isto porque não seria possível representar uma 
corrente por um vetor dentro de um condutor de seção reta variável tal como por exemplo uma esfera, visto 
que ela teria uma direção diferente em cada seção da esfera. 
Quando a razão das cargas que passam por uma determinada superfície for 1 coulomb/segundo teremos um 
Ampère. 
1 Ampère=1 Coulomb/1 segundo 
Nos metais as cargas são os elétrons que tem cargas negativas ( nos condutores líquidos as cargas são 
conduzidas por íons ). Entretanto mais uma vez vamos utilizar cargas positivas para uma definição dentro 
do eletromagnetismo e como resultado disto a corrente terá o sentido contrário ao movimento dos elétrons 
em um condutor. 
I=dQ/dt 
Assim o campo elétrico e a corrente tem o mesmo sentido em um condutor fluindo portanto dos pontos 
de maiores potenciais para os de menores potenciais. 
 
2- Corrente de condução e corrente de convecção. 
 
• Corrente de condução é o movimento dos elétrons dentro de um fio metálico que é feita de átomo a 
átomo 
• Corrente de convecção é um movimento de elétrons transportados de um ponto para outro como por 
exemplo dentro de um tubo de raios catódicos de um monitor de computador em que os mesmos 
bombardeiam uma película de substâncias fosforescentes com um feixe de elétrons. 
• Na corrente de condução o limite é o condutor. 
• Na corrente de convecção o limite é o espaço de movimento das cargas 
• Na corrente de convecção o movimento das cargas tem o mesmo sentido dos elétrons. 
 
Algumas definições que veremos não se aplicam a ambos os tipos de correntes. 
 
3- Densidade de corrente 
 
Definição: com a área suficientemente pequena para se considerar a corrente uniformemente distribuída, 
para uma corrente incremental ∆I que atravessa uma área incremental ∆S temos: 
∆I=Jn∆Sn no limite temos Jn= lim
∆
∆
∆Sn
I
→0 S
 logo dI=Jnds 
onde: Jn densidade de corrente com direção normal ao plano S e medida em A/m2. 
 
Integrando-se e com o conceito de se achar a componente de um vetor em uma dada direção vem: 
I
S
= ∫ J.ds 
onde: ds é o vetor área. 
 
No espaço livre J=0 (não existe cargas) 
 
3.1-Relacionamento pontual entre J e ρ. 
 
Tem-se um volume com uma carga incremental Qt, conforme figura, posicionado em t=0 com uma das 
faces colada na origem tendo um plano colado na sua face mais distante da origem e portanto perpendicular 
ao eixo x e a uma distancia ∆L desta.Em um tempo incremental ∆t a carga moveu-se de uma distância ∆x. 
E e I 
- elétron 
ds 
 Jn 
 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A carga total no volume é ∆Qt=ρ∆V=∆S ∆Lρ 
em um tempo logo ∆t passou pelo plano ∆I =
t
xS
t
QX
∆
∆∆=
∆
∆ ρ mas: vx= lim
∆
∆
∆t
x
t→0
 
∆I=ρ ∆S vx segue finalmente: 
∆
∆
I
S
= ρvx = Jx 
 
Generalizando-se: J=ρv 
 
onde: v é o vetor velocidade de deslocamento das cargas. 
 
Logo J = f(densidade volumétrica de cargas e velocidade de deslocamento) assim como a quantidade de 
veículos que passam em um túnel depende da proximidade entre eles e de suas velocidades. 
Isto se aplica a qualquer tipo de corrente. 
 
4-Equação da continuidade - continuidade da corrente. 
O princípio da conservação de cargas estabelece que as cargas não podem ser destruídas nem criadas, 
embora quantidades iguais de cargas positivas e negativas possam ser criadas nas mesmas quantidades. 
Assim em uma região confinada dentro de uma superfície fechada: 
 I
S
= ∫ J.ds que pelo teorema da divergência vem I vV= ∇∫ . Jd 
 
onde I é a corrente que atravessa a superfície fechada saindo dela a carga dentro dela decresce na razão 
negativa de 
 − dQi/dt 
onde Qi a carga inicial, assim: 
 
I
S
= ∫ J.ds = −dQi/dt que é a forma integral da equação da continuidade. 
 
Se as cargas fossem elétrons (negativas) teríamos uma taxa positiva ou seja acréscimo de cargas dentro da 
superfície fechada. 
 
Vamos deduzir agora a forma pontual usando o teorema da divergência: 
I
S
= ∫ J.ds = I vV= ∇∫ . Jd ; Qi= ρdvV∫ temos ∇ = −∫ ∫. Jd
d
dt
v dv
V V
ρ 
com o volume constante a derivada transforma-se em parcial e podemos levar ela para dentro da integral: 
∇ = −∫ ∫. Jdv t dvV V
∂ρ
∂
 integrando-se em um volume: ∇ = −. J ∂ρ
∂t
 que é a forma pontual 
 
Usando-se a interpretação física do resultado de uma operação de divergência que é o quanto de uma 
grandeza esta “deixando” ou “entrando” em um volume vemos que existem sumidouros dentro do volume 
pois a divergência é negativa. Este sumidouro é a corrente para fora do volume que é alimentada pelas 
cargas. 
∆L ∆S 
∆Qt=ρ∆v t=0 
∆S 
∆x 
∆L 
∆x 
t=∆t 
vx componente da 
velocidade na 
direção de x 
 32 
 
 
EXEMPLO: 
E5.2 Haytt a) I=? superfície esférica centrada na origem com r=1mm com J=10r−1,5ar 
 
I
S
= ∫ J.ds = 10 1 5 20
2
0
r . r−∫∫ , sena ar rθ θ φ
ππ
d d =10r−1,5 4πr2=40π r =40π 0,001 =3,97 A 
 
c) Qual a taxa de variação de ρ? ∇ = −. J ∂ρ
∂t
 
∇ = =
−
−. J 1 10 52
2 1 5
2 5
r
∂
∂
r r
r
r
,
, − = −∂ρ
∂t
r5 2 5, com r=1mm ∂ρ
∂t
= − ×1 58 108, C/m3 
 
d) com que taxa esta variando a carga no interior da esfera de r=1mm? 
Como existe corrente através da superfície de 3,97 Amp a carga esta diminuindo − 3,97 C/seg. 
 
4- Condutores metálicos 
 
 
 
 
 
 
 
Os átomos tem os elétrons em orbita conforme os níveis de energia sendo que os elétrons dos níveis mais 
altos estão na "banda de valência". Estes elétrons da banda de valência são os elétrons de condução ou ainda 
livres que podem se liberar do átomo em determinadas circunstâncias.. 
Acima desta faixa existe uma em que a energia é proibida podendo: 
 
∗ não existir:neste caso teremos um condutor 
∗ ser bastante larga:neste caso teremos um isolante 
∗ ter um valor intermediario:neste caso teremos um semicondutor 
 
Acima desta faixa temos a "banda de condução". Sob ação de um campo elétrico externo os elétrons da 
banda de valência podem atravessar a faixa proibida e atingindo a banda de condução onde fica 
frouxamente ligado ao átomo podendo migrar de um átomo para o outro constituindo uma corrente elétrica. 
• No caso de condutores este campo elétrico pode ter um valor moderado e nos bons condutores (cobre, 
alumínio, prata, etc.) ele pode ser ainda mais moderado. 
• No caso dos dielétricos (mica, asbestos, derivados do petroléo, etc) este campo deve ser bastante intenso 
para que os elétrons atravessem a banda proibida e neste caso se diz que rompeu-se o dielétrico. 
• No caso intermediário dos semicondutores (silício, germanio, etc) sob condições controladas eles podem 
se tornar condutores, sendo portanto úteis na fabricação de componentes eletrônicos. 
 
Do acima exposto podemos tirar duas conclusões: 
♦ Dentro de um condutor E=0 em condições estáticas, caso contrário não haveria a condição estática. 
♦ Dentro de um dielétrico não pode haver cargas livres provocadas por campos elétricos, apenas 
poderiam existir se provocadas por trabalho mecânico tal como atrito. 
 
4.1-Velocidade de arrastamento (drift) e mobilidade do elétron. 
 
J=ρ v mas dentro de um condutor v tem uma notação vd e se denomina “velocidade de arrastamento” 
O campo elétrico submete o elétron a uma força: 
 F=QE como no caso Q é um elétron F= − eE 
E 
Banda de 
condução 
Banda de 
valência 
condução 
valência 
condução condução 
valência 
valência 
Zona proibida 
condutor dielétrico semicondutor 
Não precisa integrar porque é a superfície de uma esfera 
Zona proibida 
átomo 
 33 
onde "e" é a carga do elétron = − 1,609×10−19 Coulombs 
 
O elétron acelerado por F começa a se chocar com a estrutura cristalina gerando calor e uma força de atrito 
Fa. Quando F= Fa ele adquire uma velocidade constante vd. 
 
Para poder-se tabelar vd em diversos materiais, portanto com diferentes estruturas cristalinas, em função de 
um determinado E foi criada a grandeza µe que é a “mobilidade do elétron” (positiva por definição) e tem 
unidade m2/Volts.segundo: 
 vd= − µeE (sinal negativo devido ao sentido de deslocamento do elétron) 
 µe é também diferente para cada temperatura devido a maior ou menor vibração desta estrutura causando 
mais choques do elétron com a mesma e portanto maior força de atrito. 
Valores típicos da mobilidade dos elétrons são na temperatura ambiente: 
 
Al 0,0012 m2/Volts.segundo 
Cu 0,0032 m2/Volts.segundo 
Ag 0,0056 m2/Volts.segundo 
 
Finalmente para um condutor podemos escrever: J=ρevd= − ρeµeE 
 
onde: ρe é a densidade de carga elétrons, que é negativa e assim J e E apresentam orientações iguais tal 
como ocorre em um condutor. 
Mais adiante no estudo do campo magnético é mostrado como se calcula vd e µe de forma indireta em um 
condutor com o auxilio do efeito Hall. 
 
EXEMPLOS: 
1-Seja um fio de cobre com área de 1,5 mm2 e extensão 1000 metros submetido a uma ddp entre os dois 
terminais de 220 V. Qual a velocidade de arrastamento dos elétrons? 
esta é uma corrente de condução logo E=220/1000=0,22 V/m 
vd= − 0,0032×0,22= − 0,000704 m/seg ou seja 2,534 m/h ou ainda 22km por ano. 
 
2-Um elétron de um feixe de raios catódicos esta submetido à um potencial de 1000V. Se o elétron parte do 
repouso qual a sua velocidade? 
esta é uma corrente de convecção 
 
q= − 1,6×10−19 C 
m = 9,1×10−31 kg 
V=1000 V =Vab 
W q qVab ab= − = −∫ E.dLb
a
 
 
considerando-se a variação de energia na fonte externa temos: 
 
Wab=(1/2)m(vb)2 − (1/2)m(va)2 e como va=0 (repouso) logo − qVab=(1/2)m(vb)2 
− (− 1,6×10−19)×(1000)=(1/2)×9,1×10−31(vb)2 ∴ vb=1,88×107 m/seg=18800 km/seg 
 
Comparando-se estes dois exercícios: 18800 km/seg>>>>>0,00074 km/seg ou seja muito maior que a 
velocidade da corrente de condução. 
 
5- Resistência R= V
I
ab =
−∫
∫
E.dL
J.ds
b
a
S
 
• J e E são uniformes no interior de um condutor com corrente não variável no tempo. 
• E é constante ao longo de um condutor com mesma direção de dL e ds. Assim com b>a: 
Va=1000 V Vb=0 V 
Canhão do tubo 
Tela do tubo de 
raios catódicos 
do monitor 
E 
 34 
R= V
I
EdL
Jds
E dL
J ds
EL
JS
ab =
−
=
−
=
−
=∫
∫
∫
∫
∫
∫
E.dL
J.ds
b
a
S
b
a
S
b
a
S
 R = EL
JS
 
 
6-Condutividade 
 
Visto que a resistência de um condutor depende do tipo do material, forma e tamanho torna-se necessário 
definir uma grandeza que varie só com a substância. Esta grandeza é a condutividade σ (sigma). 
A unidade é mho/metro com 1mho=ampère/volt=1Siemens (que é a unidade mais moderna). 
mho é ohm ao inverso por isto o símbolo também é o omega ao inverso Ω. 
O relacionamento entre J e E passa a ser dado por: 
 J=σE (que é a forma pontual da lei de Ohm) 
Pode-se conseguir agora uma forma mais simples de cálculo da resistência baseada na σ: 
 
R = = =EL
JS
EL
ES
L
Sσ σ
 R = L
Sσ
 
 
Valores típicos de condutividade: 
Al-->3,82×107 mho/metro Cu-->5,80×107 mho/metro Ag-->6,17×107 mho/metro 
 
O valor inverso da condutividade é a resistividade com unidade ohm/metro. Não usaremos a resistividade 
por isto não vamos atribuir símbolo para ela. 
 
 J= − ρeµeE ; J=σE logo σ= − ρeµe 
como ρe é negativa σ é positiva. 
 
Com temperatura mais elevada µe diminui devido a maior vibração da estrutura cristalina em conseqüência: 
• condutividade → diminui (sentido contrário ao dos semicondutores!!) e portanto: 
• resistividade → aumenta 
• vd (velocidade de arrastamento) → diminui 
• J → diminui 
 
7-Condições de contorno em condições estáticas. 
 
Em condições estáticas em um condutor: 
• E=0 no interior do condutor. 
• Qualquer carga que exista dentro do condutor é forçadapela atração ou repulsão com os elétrons para a 
superfície, sendo retida pela estrutura cristalina do mesmo, constituindo em uma ρS que pode alterar os 
campos externos. 
 
Deve-se verificar quais são estas alterações e estas verificações são denominadas “condições de fronteira” 
ou “condições de contorno”. 
 
Serão feitas outras verificações similares mais adiante sempre usando-se a mesma técnica e ferramentas. 
Condições de contorno condutor××××vácuo: 
 
 
 
 
 
 
legenda: n = normal e t = tangencial 
Decompondo-se o campo externo em duas componentes onde os índices indicam as direções: 
Fronteira 
Infinita En 
Et 
E 
Dn 
Dt 
D ∆w 
++++++++++ 
Cargas livres dentro do condutor expulsas 
para a superfície 
++++++++++ 
a 
∆w 
∆s 
b 
∆h 
∆h 
Condutor E=0 
Vácuo 
c d 
 35 
 
Componentes tangenciais 
No percusso fechado "a,b,c,d,a", como o campo é conservativo vem: E.dL∫ =0= + + +∫ ∫ ∫ ∫a
b
b
c
c
d
d
a
 
 
Dentro do condutor E=0 portanto resta apenas o trecho do percurso fora do condutor: 
Et ∆w −En,em b(∆h/2) + En,em a(∆h/2)=0 
 
⇒ ∆h→0 e ∆w pequeno e finito 
⇒ ∆Va,b=0 desprezando-se as diferenças de potencial devido a presença de cargas na superfície 
 
Et ∆W=0, como ∆W≠0 logo Et=0 e também Dt=0 
 
Componentes normais 
Aplicando-se no pequeno cilindro a Lei de Gauss: 
 
Q
S
= ∫ D.ds = + +∫∫∫ ladobasetopo 
 
⇒ Et=0 logo a integração no lado é igual a zero 
⇒ E=0 dentro do condutor (condições estáticas) logo a integração na base é também igual a zero 
⇒ No topo com Dn constante 
 ∆sρs=Dn∆s portanto Dn = ρs e En= Dn/ε0 
 
Resumindo: Et=0 En= Dn/ε0 Dt=0 Dn=ρs 
 
Logo: Em condições estáticas uma superfície condutora é uma equipotencial pois Et=0 
 
Generalizando-se a última expressão: 
 
 D=aNρs 
 
EXEMPLO: 
E5.5 do Haytt 
P(−2 ; 4 ; 1) superfície condutor×vácuo com E=400ax −290ay+310az V/m 
a) |EN| em P=? D=aNρs logo |EN| = |E| = 583 V/m 
b) ρs em P=? |D|=ρs |D|=|E|ε0= 583×8,854×10−12 = 5,16 nC/m2 
 
8- Semicondutores 
 
Estes materiais seguem a lei pontual de Ohm J=σE, isto significa que sua σ não se altera com o aumento da 
corrente e com a direção da densidade de corrente. 
Nestes materiais dois tipos de portadores de cargas estão presentes: 
• elétrons 
• buracos 
 
Os "buracos" são estados de energia na banda de valência que se localizam nas posições vagas deixadas 
pelos elétrons que atingiram a banda de condução após atravessar a banda proibida (que neste caso é um 
pouco maior que nos condutores). 
Os buracos se movem também de átomo para átomo na rede cristalina. 
Os buracos podem ser tratados como tendo: 
 
• uma carga positiva "e" de igual módulo da carga do elétron 
vácuo 
condutor 
aN 
 36 
• uma mobilidade µh≠µe 
• uma densidade volumétrica ρh≈ρe (eles se originam das "vagas" deixadas por estes) 
• movimento em direção oposta a do elétron por ter cargas de sinal oposto 
 
O elétron e o buraco contribuem para a corrente total logo: 
 
 σ = − ρeµe+ρhµh 
 
Os valores de µh aumentam muito mais com a temperatura do que µe diminui com esta. 
Esta uma característica importante destes materiais, que os fazem ter um comportamento oposto ao dos 
condutores no que se refere a condutividade porque com aumento da temperatura µh>>>>µe e assim σ 
cresce. 
 
Por exemplo: 
Germanio na temperatura de 27° C temos: 
|ρe|=|ρh|=4,0 C/m3 (igual), µe=0,36 m2/volts.seg, µh=0,17 m2/volts.seg 
 σ27 = − (− 4)0,36+4(0,17)=2,12 mho/metro 
 
• com temperatura de 87°C ⇒ σ87=10σ27 
• com temperatura de −18° C ⇒ σ−18=
σ 27
10
 
 
Para componentes eletrônicos esta realimentação do fenômeno pode ser fatal: 
 mais temperatura →mais corrente → mais temperatura → mais corrente... até queimar o componente. 
Uma solução adotada no projeto de CPU mais modernas consiste em baixar a tensão de alimentação de 5 V 
na linha 486 para 3,5 V na linha dos Pentium e até 3,3 V na linha Pentium MMX. Outra solução é aumentar 
o tamanho das CPU’s. 
 
10-Dielétricos 
 
As características principais destes materiais são: 
 
• Pouca ou nenhuma condutividade: 
∗ nos casos reais é baixa (banda proibida é larga logo existem poucos elétrons livres) e denomina-se 
neste caso o dielétrico de “dielétrico real”. 
∗ Se σ=0, ρ=0, ρS=0 e se também for constituído de material isotrópico (as propriedades são 
independentes da direção pois a estrutura molecular esta orientada aleatoriamente) denomina-se 
neste caso o dielétrico de “dielétrico perfeito”. 
• Capacidade de armazenar energia elétrica. 
 
O modelo matemático é o dipolo: 
Pela ação de um campo elétrico externo, a energia potencial é armazenada como uma mola pelo 
deslocamento das posições das cargas positivas e negativas contra as forças atômicas e molecular do átomo. 
 
 
 
 
 
 
 
Este deslocamento das moléculas podem ser de duas formas dependendo do dielétrico: 
◊ moléculas polares - que já possuem um dipolo permanente ocasionado pela existência de um centro 
de gravidade de cargas positivas e negativas constituindo dipolos. 
Núvem de 
elétrons - 
+ 
E Centro (-) 
deslocado 
constituindo 
um dipolo 
 37 
◊ moléculas não polares - não tem previamente o dipolo porém na presença de um campo elétrico 
externo que desloca suas cargas em direções opostas é formado um dipolo. 
Na presença de um campo elétrico externo suficientemente forte estes dipolos se alinham com uma só 
direção. 
Os dipolos assim constituídos são denominados de cargas ligadas ou cargas de polarização porque os 
elétrons não são livres, não se liberam dos átomos e apenas se afastam do núcleo do átomo. 
 
Momento de dipolo p=Qd C.m 
 
Para um volume ∆v com "n" dipolos temos a soma vetorial pi: 
 ptotal= pi
i
n v
=
∑
1
∆
 C.m 
 
por unidade de volume no limite temos a “polarização” P: 
 P p=
→
=
∑lim∆
∆
∆v ii
n v
v0 1
1 C.m/m3=C/m2 P mesma unidade de D !!! 
 
tomando-se o valor médio p de pi: P
p=
→
lim
∆ ∆v
n
v0
 C/m2 
 
 
11 - Densidade de fluxo elétrico D incluindo-se os materiais dielétricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em coordenadas esféricas, os potenciais V produzidos por cada uma das cargas ligadas no ponto P situado a 
uma distância r (coordenada esféricas), com r de um valor tal que o ponto se situe fora do volume, é dado 
por: 
dVP =
p.a r
r4 0
2πε
 onde p=Qd C.m 
Para "n" dipolos e tomando-se o valor médio destes por unidade de volume P
p
=
→
lim
∆ ∆v
n i
v0
 logo: 
V dvP = ∫
P.a r
V r4 0
2πε
 mas ∇

 =




=
1
r
r
r r
∂
∂
1
2a
a
r
r ∴ V r dvP =
∇



∫
P. 1
4 0πεV
 
 
utilizando-se ∇.(NA)≡A.∇N+N(∇.A) com N=1/r e A=P temos: ∇.(P/r)=P.∇(1/r)+(1/r)∇.P 
 
 
-
+ 
-
+ 
-
+ -
+ 
- + 
-
+ 
d 
-
+ 
-
+ 
-
+ -
+ 
DIELÉTRICO 
REAL (COM 
CARGAS 
LIVRES) 
VOLUME 
DENTRO DO 
DIELÉTRICO 
CARGAS LIGADAS QUE 
ATRAVESSAM A 
SUPERFICIE DO VOLUME 
É
E (UNIFORME) 
-
-
PONTO QUALQUER FORA DO 
VOLUME ONDE CALCULA-SE V P(r; θ; φ) 
 38 
( )V
r
dv -
r
dvP = ∇




∇




∫ ∫
1
4 0πε
. P
. P
V V
 
 
 
 
 V
r
dv =
rP
= ∇ 





∫ ∫.
P P .ds
V S
 logo ( )V
r r
dvP =




+
−∇










∫ ∫
1
4 0πε
P .ds
.P
S V
 (1) 
 
O potencial no ponto P devido a ρ de cargas livres dentro do volume, dividindo-se ρ em ρS e ρV é: 
 V Q
r
dv
r r
ds +
r
dvP = = =












∫ ∫ ∫4 4
1
40 0 0πε
ρ
πε πε
ρ ρV S
S V
 (2) 
 
Comparando-se (1) e (2) vemos que quando temos polarização é formada no volume uma densidade 
volumétricas de cargas ligadas ρP 
 ρP= −∇.P C/m3 eQP= ( )−∇∫ . PV vd C 
e sobre a superficie do volume é formada uma densidade superficial de cargas ligadas ρPS: 
 ρPS=|P| C/m2 e QPS= P.ds
S∫ C 
Dentro do volume temos então uma densidade volumétrica de cargas total ρT 
 
 ρT=ρ+ρP=ρ −∇.P C/m3 
 
Por outro lado quando foi definida a 1ª equação de Maxwell: ∇.D=∇.Eε0=ρ (cargas livres) 
 
Redefinindo a 1ª equação de Maxwell em função desta densidade de cargas totais dentro do volume: 
 ∇.Eε0=ρT=(ρ −∇.P) ∴ ∇.(ε0E+P)=ρ (cargas livres) 
 
fica mais conveniente manter a 1ª equação de Maxwell conforme já formulada e exprimir o vetor D por: 
 
D=ε0E+P 
 
onde: D é a densidade de fluxo em quaisquer dielétricos. 
E é o campo provocado no ponto P pelas cargas livres dentro do volume mais o campo externo que é 
provocado por cargas livres. Portanto εεεε0E é a densidade de fluxo provocado por estas cargas 
livres. 
P é a densidade de fluxo provocada pelas cargas ligadas (C/m2). 
 
Quando não houver polarização teremos de novo D=ε0E 
 
12 - Relação entre P, E e D 
A susceptibilidade elétrica é uma relação adimensional entre P e E que é que tem como notação χe (chi): 
 
P=χeε0E (1) 
 
em um dielétrico D≠≠≠≠ε0E porque D=ε0E+P logo não vale P=χeD!! 
 
Para simplificar as fórmulas tornando-as mais parecidas com as anteriores define-se também uma 
“permissividade relativa εR” (adimensional): χe =εR−1 
 
D=ε0E+P=ε0E+χeε0E=ε0E+(εR−1)ε0E=εR ε0E D=εR ε0E 
 
 
Teorema da divergência 
Div. é uma operação que 
envolve apenas as cargas 
dentro de um volume 
 39 
 
adota-se uma “permissividade” ε: ε=εRε0 F/m, e assim nos dielétricos: D=εE 
 
Verificando-se vem: em (1) vem P = χeε0E = (εR−1)ε0E = εRε0E−−−−ε0E=D − ε0E ∴ D = ε0E+P (mesmo 
resultado) 
 
Usando-se a permissividade relativa que é tabelada em qualquer manual não precisamos fazer 
considerações sobre dipolos, momentos de dipolos, polarização e susceptibilidade. 
Quanto maior o valor de εR mais o dielétrico tem capacidade de acumular energia WE = ∫
1
2
D.Edv 
pois para um mesmo E, o módulo de D é maior e portanto melhor é o dielétrico. 
Para o ar atmosférico a εR=1,0006 logo ε=8,854×10−12 F/m para fins práticos. 
 
EXEMPLO: 
E5.8 HAYTT P=? no interior de um dielétrico? 
a) D=1,5 µC/m2 e E=15 kV/m 
D=ε0E+P 1,5×10−6=ε015000+P P=1,328 µC/m2 
 
b) D=2,8 µC/m2 ; χe=1,7 
χe =εR−1 ∴ εR=2,7 ε=εRε0=2,7ε0=23,90×10−12 F/m 
D=εE ∴ E = 2 8 10
23 9 10
6
12
,
,
×
×
−
− = 0,117×10
6 
D=ε0E+P 2,8×10−6=0,117×106ε0+P ∴ P=1,764 µC/m2 
 
c) 1020 moléculas/m3 cada com p=1,5×10−26 C.m e E=105 V/m (então é bastante forte para polarizar) 
P=1020×1,5×10−26=1,5×10−6 C/m2 
 
d) E=50 kV/m e εR=4,4 
D=εRε0E ; D=50×103×4,4×8,854×10−12=1,947×10−6 C/m2 
D=ε0E+P ∴ 1,947×10−6=8,854×10−12×50×103+P ∴ P=1,504 µC/m2 
 
13-Condições de contorno para dielétricos perfeitos 
 
a - dois dielétricos perfeitos diferentes 
b - dielétrico perfeito×condutor 
 
a- Contorno de dois dielétricos perfeitos diferentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
componentes tangenciais: 
No percusso fechado "a,b,c,d,a", como o campo é conservativo vem: E.dL∫ =0= + + +∫ ∫ ∫ ∫a
b
b
c
c
d
d
a
 
Et1∆w−Et2∆w − En,em b∆h + En,em a∆h=0 
 
sem cargas na superfície Va,b=0 e portanto: Et1∆w−Et2∆w=0 ou: 
 
Et1=Et2 
Et 
a 
Fronteira 
Infinita En 
E 
Dn 
Dt 
D ∆w 
ρS=0 (não existem cargas livres dentro de um 
dielétrico perfeito em condições estáticas) 
∆w 
∆s 
∆h 
∆h 
εεεε2 
εεεε1 
b 
dentro de dielétricos 
perfeitos 
 40 
 
Ou seja a diferença de potencial entre dois pontos na superfície da fronteira é a mesma nos dois lados. 
A densidade de fluxo elétrico entretanto varia: 
 D E E Dt1
1
t1 t2
t2
2ε ε
= = = ou 
D
D
t1
t2
1
2
= ε
ε
 
 
componentes normais: 
Considerando-se o cilindro com lados infinitesimais: 
Q
S
= ∫ D.ds = + +∫∫∫ ladobasetopo 
Nos lados D .dst se anula em cada metade devido a direção de ds 
No topo e na base: Dn1∆s − Dn2∆s=∆Q=ρS∆s ∴ Dn1 − Dn2=ρS 
 
mas ρS=0 em um dielétrico perfeito assim: Dn1=Dn2 
 
A densidade de fluxo elétrico é portanto contínua na direção normal. 
 
O mesmo não acontece com E que desta vez é descontinuo: ε1En1=ε2En2 
 
Resumindo: Et1=Et2 ε1En1=ε2En2 
D
D
t1
t2
1
2
= ε
ε
 Dn1=Dn2 
 
No caso de D ou E fazerem um ângulo com a superfície da fronteira podemos decompor o vetor em suas 
componentes normais e tangenciais conforme figura obtendo-se: 
 
(1) Dn1=D1senß1=D2senß2=Dn2 
 
D
D
D
D
t1
t2
1
2
= =
cos
cos
β
β
ε
ε
1
2
1
2
 
 
(2) D1cosß1=
ε
ε
1
2
D2cosß2 
 
dividindo-se (1) por (2) vem: tgß1=
ε
ε
1
2
tgß2 
b- Contorno entre um dielétrico perfeito e um condutor 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem portanto a mesma configuração de cargas na fronteira que a fronteira entre um condutor×vácuo, assim 
a demonstração é a mesma e os resultados também exceto que Dn é dentro de um dielétrico perfeito. 
 
Resumindo: Et=0 En= 
Dn
ε
 Dt=0 Dn=ρs 
 
 
Generalizando-se a última expressão para este contorno: 
Fronteira 
Infinita En 
Et 
E 
Dn 
Dt 
D ∆w 
++++++++++ 
Cargas livres dentro do condutor expulsas para 
a superfície 
++++++++++ 
a 
∆w 
∆s 
b 
∆h 
∆h 
Condutor E=0 
Dielétrico 
β2 
β1 Dt1 
Dn1 
Dn2 
Dt2 
D1 
D2 
 41 
 
 D=aNρs 
 
 
EXEMPLO 
E5.9 do Haytt z<0 ⇒ εR1=2,5 E1= −30ax+50ay+70az V/m 
 z>0 ⇒ εR2=4 
a) En1=? En1=Ez1az=70az V/m 
 
b) Et1=? E1−Ez1az=(−30 ; 50 ; 0) V/m 
 
c) |Et1|=? |Et1|=(−302+ 502)1/2=58,3 V/m 
 
d) |E1|=?=91,1 V 
 
e) β1=? E1cosβ1=Et1 ∴ β1=cos−1(|Et1|/|E1|)=50,21º 
 
E5.10 
a) Dn2=? Dn2= Dn1=ε1E n1=ε0 εRE n1=8,854×10−12×2,5×70,3=1,549 nC/m2 
 
b) Dt2=? Lembrando que E t2=E t1 tem-se Dt2=ε2E t2=ε2E t1= 8,854×10−12×4×58,3=2,064 nC/m2 
 
c) D2=? D2=ε2E t1+ε1E n1=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) nC/m2 
 
d) P2=? P2=D2 − ε0E 2=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) − ε0(D 2/ε0εR)=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) − (D 2/εR) 
 
P2= (−0,797 ; 1,328 ; 1,162) nC/m3 
 
e) β2=? D2cosβ2=Dt2 ∴ |(−1,062 ; 1,771 ; 1,549)| ×10−9 cosβ2=2,064×10−9 ∴ β2=37,059º 
 
14 - Capacitâncias e capacitores 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste sistema temos : 
 
• As cargas estão todas na superfície do condutor porque as condições são estáticas. 
• De acordo com as condições de fronteira só existe componente do campo elétrico na direção normal às 
superfícies condutoras e cada condutor é uma superfície equipotencial (Et=0) 
• O fluxo e campo elétricos estão dirigidos de +Q2 para − Q1 
 
Se transferirmos uma carga +dQ (positiva) do condutor carregado negativamente para o outro condutor 
carregado positivamente: 
 
⇒ realiza-se trabalho contra o campo elétrico aumentando o potencial na região com carga +Q2. 
 
⇒ pela Lei de Gauss, a densidade de fluxo elétrico aumentaria na superfície carregada positivamente em 
conseqüência o campo elétrico. 
dielétrico
ácondutor 
aN 
+ 
+ 
+ 
D
E
−Q1 
V0 
Condutor 
+ 
+ - 
Condutor 
Dielétrico 
perfeito 
+Q2 - 
- 
- Só existem estas 
cargas logo: carga 
total zero
 42 
 
⇒ a ddp entre as duas superfícies condutoras aumentaria na mesma proporção da carga transportada 
 logo podemos escrever uma relação constante: 
C Q
V
=
−
=∫
∫−
+
D.ds
E.dL
S
0
 1C/Volt=Farads 
 
15 - Energia no Capacitor 
 
A energia necessária para carregar um capacitor até uma tensão V que eqüivale a energia para transferir de 
uma placa para outra uma carga Q. Pelo principio da conservação da energia esta energia fica acumulada no 
capacitor. 
 
Em termos de infinitésimos temos dW=Vdq ; V= Q
C
 logo dW= Q
C
dq 
 
Se o processo começar com uma carga zero e continuar até que uma carga Q seja fornecida o trabalho total 
que corresponde