EES024 Aula01 Introducao

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EES024 - Análise Estrutural II
Aula 01: Introdução
Prof. Rodrigo Guerra Peixoto
rodrigo.peixoto@dees.ufmg.br
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs)
2o. semestre 2017
Introdução
• Objetivo da análise estrutural:
* Obtenção dos esforços solicitantes na estrutura.
• Objetivos específicos da disciplina Análise Estrutural II:
* Obtenção dos esforços solicitantes nas estruturas hiperestáticas (ou
estaticamente indeterminadas).
• Programa do curso:
Para alcançar tais objetivos, serão estudados:
* Método das forças;
* Método dos deslocamentos;
* Método da rigidez direta;
* Métodos baseados na conservação de energia.
• Restrições:
* Estruturas reticuladas planas, pequenos deslocamentos, relações
cinemáticas lineares, regime linear e elástico.
Bibliografia e avaliação
• Bibliografia básica:
* Livro Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz
Fernando Martha, 2a. ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017;
* Livro Mecânica dos Sólidos: volume 2, S. P. Timoshenko e J. M. Gere,
LTC, 1982 (métodos de energia).
• Bibliografia complementar:
* Apostilas de exemplos, Alcebíades Vasconcelos Filho, Fernando A. de
Paula, Gabriel O. Ribeiro.
• Critério de avaliação:
* 3 provas de 30 pontos cada (nas semanas de prova);
* Trabalhos práticos: 10 pontos.
• Monitoria:
* Luiz Gustavo Siqueira Santos
* Atendimento: seg, qua e sex, 19:00 - 21:00 h, sala 4300, Bloco I,
4o. andar.
Contextualização
Níveis de "abstração" na análise estrutural:
Estrutura real: estrutura física, como construída.
Contextualização
Modelo estrutural (ou matemático):
Idealização do comportamento da estrutura real, adotando-se hipóteses
sobre:
• Geometria do modelo:
Barras, estados planos de tensão ou deformação, placas, cascas, etc.
• Condições de apoio:
Engaste, rótulas, etc.
• Comportamento dos materiais:
Linear elástico, elastoplástico, dano, etc.
• Solicitações externas:
Sobrecargas, pressão do vento, etc.
Contextualização
Em particular, estruturas reticuladas são aquelas idealizadas por barras
(segmentos de retas), cuja informação tridimensional é armazenada nas
propriedades geométricas de suas seções transversais, tais como área e
momento de inércia.
Quanto a geometria, pode-se tratar a estrutura acima como um pórtico
espacial ou subdividi-la em estruturas mais simples como pórticos planos,
grelhas e vigas.
Contextualização
Contextualização
Como exemplo de modelagem (idealização) dos apoios, assume-se a figura
abaixo:
Neste caso, a fundação foi idealizada por uma rótula, que restringe os
deslocamentos mas libera a rotação.
Outras configurações de fundações poderiam ser modeladas de outras
formas.
Contextualização
Contextualização
Modelo discreto:
O modelo matemático é usualmente definido sob domínios contínuos. Nos
métodos de análise, as soluções analíticas contínuas são representadas por
valores discretos (pontuais) de determinados parâmetros.
Modelos estruturais de estados planos, placas, cascas, etc., são analisados
frequentemente através do método dos elementos finitos, onde o domínio é
dividido em subregiões (elementos) e os parâmetros discretos são os
deslocamentos em seus vértices (nós).
Contextualização
No método das forças para estruturas reticuladas hiperestáticas, os
parâmetros são forças (ou momentos) em determinados pontos, de forma a
garantir compatibilidade dos deslocamentos nas estruturas deformadas.
Já no método dos deslocamentos, os parâmetros são deslocamentos em
determinados pontos, de forma a garantir o equilíbrio da estrutura.
O método da rigidez direta pode ser visto como um caso particular do
método dos elementos finitos, quando aplicado às estruturas reticuladas.
Atualmente, o processo de cálculo dos parâmetros discretos (e muitas vezes
a própria discretização do modelo matemático) é realizado através de
programas computacionais como ANSYS, SAP2000, ABAQUS, Ftool,
INSANE.
Modelos de estruturas reticuladas
Neste curso, serão tratadas as seguintes estruturas reticuladas:
• Pórticos planos;
• Vigas;
• Treliças;
• Grelhas.
Modelos de estruturas reticuladas
Pórticos planos
• Estrutura e cargas externas contidas no plano X-Y ;
• Barras trabalhando à flexão acrescida de efeitos axiais;
• No exemplo: uma viga e dois pilares (ou colunas);
• Graus de liberdade:
* ∆x → deslocamento na direção X (unidade de comprimento),
* ∆y → deslocamento na direção Y (unidade de comprimento),
* θz → rotação em torno do eixo Z (radianos⇒ adimensional).
Modelos de estruturas reticuladas
Pórticos planos
Tipos de apoios com restrições e reações associadas:
Modelos de estruturas reticuladas
Pórticos planos
Tipos de apoios com restrições e reações associadas (continuação):
Modelos de estruturas reticuladas
Pórticos planos
Como destacado anteriormente num exemplo de fundações, em muitos
casos é importante definir apoios que restringem parcialmente os
deslocamentos e rotações (apoios elásticos):
Modelos de estruturas reticuladas
Pórticos planos
Apoios elásticos (continuação):
Modelos de estruturas reticuladas
Pórticos planos
Numa estrutura estática, qualquer parte tomada em separado deve estar em
equilíbrio. Isto quer dizer que as cargas externas atuantes na estrutura
geram tensões internas afim de mantê-la estática.
No caso das estruturas reticuladas, é usual a integração das componentes
de tensão ao longo das seções transversais das barrras, gerando os
chamados esforços internos ou resultantes de tensão.
X,Y, Z → eixos globais, x, y, x→ eixos locais nas barras.
Modelos de estruturas reticuladas
Pórticos planos
Nos pórticos planos, as equações de equilíbrio são:∑
Fx = 0,
∑
Fy = 0,
∑
Mz,o = 0
enquanto os esforços internos são:
N(x)→ esforço normal (ou axial) na direção do eixo local x;
Q(x)→ esforço cortante na direção do eixo local y;
M(x)→ momento fletor em torno do eixo local z.
Modelos de estruturas reticuladas
Pórticos planos
As ligações internas dos elementos estruturais num pórtico podem ser
rígidas, semi-rígidas ou flexíveis (rotuladas).
Modelos de estruturas reticuladas
Vigas
• Elementos estrutural unifilar, i.e., tem um eixo bem definido (que pode ser
eventualmente inclinado ou curvo);
• Caso particular dos modelos de pórtico, aplicando-se as mesmas
considerações.
Modelos de estruturas reticuladas
Treliças planas
• Todas as barras ligadas por rótulas;
• Cargas externas atuantes apenas nos nós;
• Esforços internos apenas axiais;
• Graus de liberdade:
* ∆x → deslocamento na direção X (unidade de comprimento),
* ∆y → deslocamento na direção Y (unidade de comprimento),
Modelos de estruturas reticuladas
Grelhas
• Modelos planos com cargas perpendiculares ao plano;
• Utilizadas na representação de pavimentos de edifícios;
• Deslocamentos nulos no plano da estrutura;
• Graus de liberdade:
* ∆z → deslocamento na direção Z (unidade de comprimento),
* θx → rotação em tornos de X (radianos⇒ adimensional),
* θy → rotação em torno de Y (radianos⇒ adimensional).
Modelos de estruturas reticuladas
Grelhas
Equações de equilíbrio:∑
Fz = 0,
∑
Mx = 0,
∑
My = 0
Esforços internos:
Q(x)→ esforço cortante na direção do eixo local z;
M(x)→ momento fletor em torno do eixo local y;
T (x)→ torção em torno do eixo local x.
Modelos de estruturas reticuladas
Grelhas
Comparação pórtico plano x grelha:
Grau de Indeterminação Estática
O grau de indeterminação estática (GIE) de uma estrutura é a diferença
entre o número de incógnitas do problema estático e o número de
equações de equilíbrio disponíveis, i.e.,
GIE = Nincog −Neqs
Exemplo:
Com essa definição, pode-se classificar as estruturas em:
• GIE < 0→ hipostática (instável);• GIE = 0→ isostática (ou estaticamente determinada);
• GIE > 0→ hiperestática (ou estaticamente indeterminada).
Desta forma, as estruturas isostáticas podem ser analisadas levando-se em
conta apenas as equações de equilíbrio, enquanto que as hiperestáticas
necessitam de equações adicionais. Tais equações são obtidas a partir de
considerações sobre compatibilidade dos deslocamentos e sobre o
comportamento dos materiais.
Grau de Indeterminação Estática
Como obter o GIE de um pórtico plano?
As incógnitas do problema são as componentes de reação de apoio e os
esforços internos em cada barra.
Tomando a estrutura completa, se todos os esforços internos puderem ser
obtidos a partir do conhecimento das reações de apoio, o número de
incógnitas se restringe ao número destas componentes de reação.
Em pórticos planos isso é válido quando não ocorrem ciclos fechados
(anéis), como ilustram as figuras a seguir:
Assim, para os pórticos planos, Nincog = Nreacoes + 3Naneis
Grau de Indeterminação Estática
Com relação ao número de equações, Neqs, tem-se as três equações de
equilíbrio globais, além de equações adicionais provenientes de liberações
internas.
Numa rótula interna, por exemplo, onde chegam uma quantidade de barras
igual a Nbarras, tem-se (Nbarras − 1) equações adicionais, visto que o
momento deve ser anulado em cada trecho, porém em um deles haveria
redundância (seria a mesma equação) em relação ao equilíbrio global dos
momentos.
Assim,
Neqs = 3 +
nrot∑
k=1
(Nk,barras − 1), nrot = número de rótulas na estrutura
∴ GIE =
[
Nreacoes + 3Naneis
]− [3 + nrot∑
k=1
(Nk,barras − 1)
]
Grau de Indeterminação Estática
Exemplo 1: qual o GIE da estrutura abaixo?
Grau de Indeterminação Estática
GIE =
[
Nreacoes + 3Naneis
]− [3 + nrot∑
k=1
(Nk,barras − 1)
]
=
[
9 + (3)(1)
]− [3 + 0] = 9
Grau de Indeterminação Estática
Exemplo 2: qual o GIE da estrutura abaixo?
Grau de Indeterminação Estática
GIE =
[
Nreacoes + 3Naneis
]− [3 + nrot∑
k=1
(Nk,barras − 1)
]
=
[
9 + (3)(1)
]− [3 + (3− 1) + (2− 1)] = 6
Grau de Indeterminação Estática
Treliças planas:
Incógnitas: reações de apoio e esforço axial em cada barra.
Equações: equilíbrio de forças nodais em cada direção do plano.
⇒ GIE = [Nreacoes +Nbarras]− [2Nnos]
Sendo, neste caso,
Nbarras → número total de barras da estrutura,
Nnos → número total de nós da estrutura,
Grau de Indeterminação Estática
Exemplo 3: qual o GIE da estrutura abaixo?
Grau de Indeterminação Estática
GIE =
[
Nreacoes +Nbarras
]− [2Nnos] = [3 + 6]− [(2)(4)] = 1
Grau de Indeterminação Estática
Observe que a retirada de uma diagonal torna a estrutura isostática.
GIE =
[
Nreacoes +Nbarras
]− [2Nnos] = [3 + 5]− [(2)(4)] = 0
Leitura recomendada
• Livro Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando
Martha, 2a. ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017:
Capítulos 1 e 2
Capítulo 3 (seção 3.8)
	Introdução
	Bibliografia e avaliação
	Contextualização
	Modelos de estruturas reticuladas
	Pórticos planos
	Vigas
	Treliças planas
	Grelhas
	Grau de Indeterminação Estática
	Leitura recomendada