Teoria das Estruturas

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Teoria das 
Estruturas
Notas de Aula
Givanildo Martins de Quadros
Conceitos 
Fundamentais
Material Baseado em:
Salete Souza De Oliveira Buffoni;
José Carlos Morilla;
Acilayne Freitas de Aquino;
João António Teixeira de Freitas;
Carlos Tiago;
Henriette Lebre La Rovere
Poliana Dias de Moraes
Luiz Antonio Cortese Diogo;
Sandra Denise Kruger Alves;
Marcos Vinicios;
Alberto Boaventura;
Eduardo C. S. Thomaz;
Ângela do Valle;
Henriette Lebre La Rovere
Nora Maria De Patta Pillar;
Kenneth M. Leet;
Chia-Ming Uang;
Anne M. Gilbert;
Carmem Lage
Tensão - Normal/Cisalhante
Módulo de Elasticidade
Esforços Solicitantes
Conceitos Fundamentais
Tensão
As forças externas podem ser aplicadas a um corpo como cargas de superfícies 
distribuídas ou concentradas ou, como forças de corpo, que atuam em todo 
volume do corpo.
Conceitos Fundamentais
Tensão
Cargas lineares distribuídas produzem uma força resultante com grandeza igual 
à área sob o diagrama de cargas e com localização que passa pelo centróide dessa 
área. 
Conceitos Fundamentais
Tensão
Um apoio produz uma força em uma direção perpendicular sobre seu elemento 
acoplado, se esse impedir a translação do elemento naquela direção.
Se este impedir o giro, ou rotação do elemento, este produz um momento 
binário, que pode ser de torção ou flexão. 
Conceitos Fundamentais
Tensão
As equações de equilíbrio devem ser satisfeitas a fim de impedir que o corpo se 
translade com movimentos acelerados e/ou tenha rotação.
∑F = 0 e ∑M = 0 
Conceitos Fundamentais
Tensão
Quando se aplica as equações de equilíbrio, é importante primeiro desenhar o 
diagrama de corpo livre, a fim de considerar todos os termos das equações.
Conceitos Fundamentais
Tensão Normal
É a intensidade da força por unidade de área, que atua no sentido perpendicular 
à superfície. 
Costuma-se representar pela letra grega σ (sigma)
Conceitos Fundamentais
Exercício de Fixação
Calcular a tensão normal nos cabos demonstrados na figura, considere:
∅1 = ∅2 = 25,4 mm
Conceitos Fundamentais
Exercício de Fixação
Calcular a tensão normal nos cabos demonstrados na figura, considere:
∅1 = 32,0 mm e ∅2 = 16,0 mm
Conceitos Fundamentais
Exercício de Fixação
Calcular a tensão normal nas duas barras da treliça abaixo. considere:
∅1 = 12,5 mm e ∅2 = 20,0 mm
Conceitos Fundamentais
Tensão Cisalhante
É a intensidade da força por unidade de área, que atua na tangente à superfície. 
Costuma-se representar pela letra grega τ (tau)
Conceitos Fundamentais
Exercício de Fixação
Calcular a tensão cisalhante nos parafusos de ligação abaixo. considere:
F= 35.000,00 N e ∅2 = 19,5 mm
Conceitos Fundamentais
Exercício de Fixação
Calcular a tensão cisalhante nos parafusos de ligação abaixo. considere:
∅2 = 12,00mm
Conceitos Fundamentais
Módulo de Elasticidade
Em 1678 Robert Hooke estabeleceu a chamada lei de Hooke, que “até a tensão 
limite de proporcionalidade (σp), ou seja, até o ponto P do diagrama de Tensão x 
Deformação.
A tensão em um material é proporcional a deformação nele produzida.
Conceitos Fundamentais
Módulo de Elasticidade
Devido a esta condição de proporcionalidade pode se escrever que:
Conceitos Fundamentais
Módulo de Elasticidade
Trabalhando as expressões, obtemos outra grandeza que é a deformação ou 
deformação total:
Conceitos Fundamentais
Módulo de Elasticidade
Tem-se ainda o Módulo de Elasticidade Transversal, que ó obtido através de 
ensaios com corpo-de-prova submetidos a cisalhamento puro por torção, pode 
ser descrever como:
Conceitos Fundamentais
Módulo de Elasticidade
Conceitos Fundamentais
Esforços Solicitantes
Uma força pode ser aplicada num corpo de diferentes maneiras, originando 
portanto, diversos tipos de solicitações, tais como: tração, compressão, 
cisalhamento, flexão e torção.
Conceitos Fundamentais
Esforços Solicitantes
Quando cada tipo se apresenta isoladamente, diz-se que a solicitação é SIMPLES.
No caso de dois ou mais tipos agirem conjuntamente a solicitação é COMPOSTA.
Conceitos Fundamentais
Esforços Solicitantes
Tração:
solicitação que tende a alongar a peça no sentido da reta de ação da força 
aplicada.
Conceitos Fundamentais
Esforços Solicitantes
COMPRESSÃO:
solicitação que tende a encurtar a peça no sentido da reta da força aplicada.
Conceitos Fundamentais
Esforços Solicitantes
CISALHAMENTO:
solicitação que tende a deslocar paralelamente, em sentido oposto, duas seções 
de uma peça (força cortante).
Conceitos Fundamentais
Esforços Solicitantes
FLEXÃO:
solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça.
Ex.: uma barra inicialmente reta que passa a ser uma curva.
Conceitos Fundamentais
Esforços Solicitantes
TORÇÃO:
solicitação que tende a girar as secções de uma peça, uma em relação às outras.
Conceitos Fundamentais
Esforços Solicitantes
FLAMBAGEM:
A flambagem consiste na deformação de uma peça, causada por uma força de 
compressão axial. Como consequência, a peça pode perder a sua estabilidade 
(sofrer um colapso) sem que seu material atinja o limite de escoamento.
Conceitos Fundamentais
Esforços Solicitantes
MOMENTO DE UMA FORÇA:
Podemos definir momento como a atuação de uma força 𝐹 a determinada 
distância 𝑑 em torno de um eixo 𝑥.
𝑀=𝐹×𝑑
Conceitos Fundamentais
Esforços Solicitantes
MOMENTO DE UMA FORÇA:
Pode atuar fornecendo uma medida da tendência dessa força de provocar rotação 
(giro) do corpo, podendo ser:
Em torno do próprio eixo (z);
Em torno do eixo normal (x);
Conceitos Fundamentais
Em torno do próprio eixo (z); Em torno do eixo normal (x);
Análise Estrutural
Material Baseado em:
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Carlos Tiago;
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Sandra Denise Kruger Alves;
Marcos Vinicios;
Alberto Boaventura;
Eduardo C. S. Thomaz;
Ângela do Valle;
Henriette Lebre La Rovere
Nora Maria De Patta Pillar;
Kenneth M. Leet;
Chia-Ming Uang;
Anne M. Gilbert;
Carmem Lage
Conceito Geral de Estrutura
Estrutura Como um Caminho das Forças
A Geometria dos Elementos Estruturais
Forças que Atuam nas Estruturas
Distribuição Das Cargas Nos Elementos 
Estruturais
Análise Estrutural
Conceito Geral de Estrutura
Numa visão mais simplista, podemos dizer que estrutura é tudo aquilo que 
sustenta, mas o conceito estrutural é bem mais amplo, e, envolve todas as áreas 
do conhecimento humano.
Análise Estrutural
Conceito Geral de Estrutura
No caso de edificação, a estrutura, é um conjunto de elementos, lajes, vigas e 
pilares, que se inter-relacionam para desempenhar uma determinada função, 
que é criar um espaço destinado a diversas atividades humanas, ou não. Portanto, 
um conceito que não se associa apenas a edificações e sim a tudo que nos rodeia.
Análise Estrutural
Conceito Geral de Estrutura
Todo ser dito normal (racional) tem no subconsciente a noção de equilíbrio, a 
dificuldade está no entendimento da tradução matemática desse fenômeno, se 
não for precedida do entendimento físico do fenômeno. Uma forma muito 
interessante é simples de entendimento, é a observação da natureza.
Análise Estrutural
Estrutura Como um Caminho das Forças
Tendo a estrutura como um conjunto de elementos, no caso de um edifício como 
lajes, vigas e pilares, que se tornam um caminho pelo qual as forças que atuam 
sobre a mesma, transitem até chegar ao destino final, que é o solo.
O caminho natural que as forças gravitacionais, ou seja, o peso dos objetos e das 
pessoas, tende a tomar é o da verticalidade. Ao se oferecer um caminho mais 
longo a estas forças, ela se obriga a percorrer, desviando sua tendência natural, 
provocando assim esforços solicitantes aos elementos presentes em seus 
caminhos.
Análise Estrutural
Estrutura Como um Caminho das Forças
Uma estrutura com poucos ou muitos caminhos? Para responder a essa questão é 
interessante recorrer a uma analogia. Como abaixo:Análise Estrutural
A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Um fio de aço, por mais resistente que seja, não é capaz de suportar a si próprio 
quando colocado em pé sobre um apoio qualquer. 
Nem será capaz de manter reto quando apoiado em seus extremos, recebendo 
uma força transversal ao seu eixo. No entanto quando pendurado, será eficiente 
para suportar a carga aplicada na direção de seu eixo. 
Análise Estrutural
A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Quanto às suas relações geométricas, os elementos estruturais podem ser 
classificados em três tipos básicos: O bloco, a barra e a Lâmina. 
Análise Estrutural
A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Bloco
O bloco é um elemento estrutural em que as três dimensões (b x h x L) têm a 
mesma ordem de grandeza.
b≅h≅L
Blocos
Blocos
Análise Estrutural
A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Barra
A barra é um elemento estrutural em que uma das suas dimensões predomina 
em relação às outras duas.
b≅h≫L
Análise Estrutural
A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Barra
A barra pode ser utilizada isoladamente, não exige associações especiais como no 
bloco. É um elemento estrutural de uso mais amplo. Pode ser utilizado para 
pendurar cargas (cabo), apoiar cargas (pilares) ou vencer vãos (vigas).
Barra
Barra
Barra
Análise Estrutural
A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Lâmina
A lâmina é um elemento estrutural em que duas de suas dimensões 
(comprimento e largura), prevalecem em relação à terceira (altura ou espessura).
h≫L≅b
Análise Estrutural
A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Lâmina Membrana
São lâminas muito finas e que apresentam resistência apenas no seu plano. 
Cargas perpendiculares ao seu plano provocam alterações na sua forma. Tende 
sempre a adquirir a forma do carregamento que a solicita.
Análise Estrutural
A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Lâmina Membrana
No caso da lona (de circo) a forma só se realiza com a colocação de barras 
verticais ou inclinadas (mastros) e pela ação de barras esticadas (cabos ou 
tirantes). Qualquer alteração na posição de um desses elementos resultará em 
uma nova forma.
Lâmina Membrana
Lâmina Membrana
Lâmina Membrana
Análise Estrutural
A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Lâmina Placas
São lâminas que, devido a sua maior rigidez, apresentam a capacidade de vencer 
vão, suportar cargas transversais ao seu lado plano.
No caso da laje, a forma de lâmina se mantém permanentemente, 
independentemente de fatores externos.
Análise Estrutural
A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Lâmina Placas
A laje também pode ser executada horizontalmente, o que é impossível com a 
lona. Essa característica da laje é obtida com um grande aumento na sua 
espessura.
Lâmina Placa
Análise Estrutural
A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Lâmina Casca
A resistência transversal obtida pela casca só é possível devido à curvatura ou 
dobradura aplicada em seu plano. Quanto mais predominar o efeito de 
membrana, mais os esforços se distribuírem no seu plano, mais esbelta será a 
casca.
Análise Estrutural
A GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Lâmina Casca
Isso é possível com uma adequada relação entre a forma de casca e o 
carregamento que a solicita. 
A abóbada é um exemplo. Sua forma mantém-se constante, para qualquer 
situação externa, sem que para isso haja necessidade de grande aumento na 
espessura.
Lâmina Casca
Lâmina Casca
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
Quando alguém anda por uma rua reta e, de repente, entra numa de suas 
travessas, o caminho que percorre muda de direção. Se, por outro lado, a rua pela 
qual caminha tiver uma curva, ao percorrer esta curva, a partir do seu início e em 
cada ponto da curva, a pessoa também estará mudando de direção.
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
Para que haja um movimento, é relacionado a um referencial. Se duas pessoas 
andam lado a lado, com a mesma velocidade, ao se olharem, verão como se 
estivesse parada. Para um observador externo, o mesmo não ocorre, visto que há 
um afastamento entre elas.
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
Como no conceito de movimento, o conceito de direção também exige um 
referencial. Pode-se escolher qualquer referencial, mas, uma vez escolhido, deve 
ser fixo e conhecido para que todos possam ter a mesma interpretação dos 
acontecimentos.
Define-se como direção de uma reta qualquer ângulo que ela forma com outra 
reta bem conhecida (referencial).
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
É comum haver certa confusão nos conceitos de direção e sentido; é comum 
dizer-se que um automóvel está na direção Chapecó para Nova Itaberaba e outro 
que está na mesma estrada, mas em sentido contrário, dizer-se que está na 
direção contrária.
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
Sempre que um corpo, com uma determinada massa, estiver em repouso e 
iniciar um movimento ou, ainda, quando já em movimento (MRU), tiver sua 
velocidade e/ou sua direção alterada, diz-se que a ele foi aplica uma força. 
Portanto, a ideia de força está ligada às noções de massa, aceleração, direção e 
sentido.
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
F ⃗= m × a ⃗
Força e aceleração são grandezas vetoriais (ver mecânica 3° período)
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
Tipos de Forças que atuam nas estruturas
É necessário que as forças que atuam nas edificações sejam conhecidas na sua 
intensidade, direção e sentido, para que a concepção estrutural seja coerente 
como o caminho que ela percorre até o solo.
As forças externas que atuam nas estruturas são chamadas de carga, que podem 
atuar na estrutura por toda a vida útil (permanentes) ou esporadicamente 
(acidentais).
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
Tipos de Forças que atuam nas estruturas
Cargas Permanentes
As cargas permanentes são cargas cuja intensidade, direção e sentido podem ser 
determinados com grande precisão, pois as cargas permanentes são devidas 
exclusivamente às forças gravitacionais ou peso:
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
Tipos de Forças que atuam nas estruturas
Cargas Permanentes
O PESO PRÓPRIO DA ESTRUTURA: Basta o conhecimento das dimensões do 
elemento estrutural e do peso específico (peso/m³) do material que é feito;
Peso Próprio da Estrutura
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
Tipos de Forças que atuam nas estruturas
Cargas Permanentes
O PESO DOS REVESTIMENTOS DE PISO: contra piso, pisos cerâmicos, dentre 
outros;
Peso dos Revestimentos de pisos
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
Tipos de Forças que atuam nas estruturas
Cargas Permanentes
O PESO DAS PAREDES: Para determiná-lo basta conhecer o peso específico do 
material de que é feita a parede e do seu revestimento (emboço, reboco, azulejo e 
outros);
Peso das Paredes
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
Tipos de Forças que atuam nas estruturas
Cargas Permanentes
O PESO DE REVESTIMENTOS ESPECIAIS: como placas de chumbo, nas 
paredes de salas de Raios-X: Para determiná-los basta o conhecimento de suas 
dimensões e peso específico;
Peso Revestimentos Especiais
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
Tipos de Forças que atuam nas estruturas
Cargas Acidentais
As cargas acidentais são mais difíceis de ser determinadas com precisão e podem 
variar com o tipo de edificação. Por isso, essas cargas são definidas por Normas, 
que podem variar de país para país. No Brasil, a norma que determina os valores 
das cargas acidentais é a ABNT NBR 6120. Com exemplo podemos citar:
Peso das Pessoas
Peso das Pessoas
Peso Mobiliário 
Peso Veículos
Força de Frenagem
Força do Vento
Peso de móveis especiais
Análise Estrutural
FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
Tipos de Forças que atuam nas estruturas
Cargas Acidentais
“O efeito da chuva, como carregamento, apesar de acidental, é levado em conta 
no peso das telhas e dos revestimentos,já que são sempre considerados 
encharcados.”
Análise Estrutural
DISTRIBUIÇÃO DAS CARGAS NOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Geometria Dos Carregamentos
A distribuição de cargas sobre uma estrutura pode ser diferente de um ponto 
para o outro. As cargas que atuam sobre uma viga podem se distribuir de maneira 
diferente das que atuam sobre uma laje.
Normalmente a geometria dos carregamentos acompanha a geometria dos 
elementos estruturais sobre os quais atuam. Podem atuar de maneira uniforme 
sobre a estrutura ou variar de intensidade ponto a ponto.
Análise Estrutural
DISTRIBUIÇÃO DAS CARGAS NOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Quanto à Geometria, as Cargas Podem ser
SUPERFICIAIS: quando distribuídas sobre uma superfície, como peso de uma 
laje, o peso próprio de revestimentos de piso, o peso de um líquido sobre o fundo 
de seu recipiente, o empuxo de um líquido sobre a parede do recipiente que o 
contém e as cargas acidentais definidas pela Norma.
Cargas acidentais sobre piso residenciais (pessoas, 
móveis, etc.) = 150 kgf./m² ou 1,5 kN/m²;
Cargas acidentais sobre piso de escritórios = 200 
kgf./m²;
Cargas acidentais sobre piso de lojas = 400 kgf./m²;
Cargas acidentais devida a ventos (ver possível mudança) 
=50 a 100 kgf./m² 
Estruturas Isostáticas
Material Baseado em:
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Carmem Lage
Conceito Geral 
Definição de vínculo
Métodos de Resoluções
Métodos das seções
Equilíbrio Estático
Estruturas Isostáticas
Conceito Geral
De forma Geral podemos dizer que as estruturas isostáticas têm o número de 
reações mínimas para impedir o movimento. 
As reações são dispostas de forma a restringir as possíveis movimentações da 
estrutura.
Podem ser definidos em dois tipos:
Estruturas Isostáticas
Conceito Geral
Número de reações igual ao número de equações de equilíbrio estático;
Estruturas Isostáticas
Conceito Geral
Número de reações é superior ao número de equações de equilíbrio estático 
mediante a liberação criteriosa de ligação entre os possíveis corpos da estrutura 
global;
Estruturas Isostáticas
Conceito Geral
Neste último caso, além das equações de equilíbrio da Estática, são necessárias 
equações de equilíbrio adicionais em número igual ao excesso de incógnitas, de 
acordo com a liberação introduzidas na estrutura.
Estruturas Isostáticas
Conceito Geral
A introdução não criteriosa de libertações pode conduzir a uma estrutura 
hipostática.
Estruturas Isostáticas
Definição de Vínculo
São elementos que impedem o deslocamento de pontos das peças, o que introduz 
esforços internos nesses pontos. os deslocamentos podem ser de translação ou 
de rotação.
Estruturas Isostáticas
Definição de Vínculo
No plano, um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade de movimento:
➔ Deslocamento em duas direções e rotação.
Estruturas Isostáticas
Definição de Vínculo
Apoios Simples ou de Primeiro Gênero
Apoios Simples ou de Primeiro Gênero
Apoios Simples ou de Primeiro Gênero
Apoios Simples ou de Primeiro Gênero
Apoios Simples ou de Primeiro Gênero
Apoios Simples ou de Primeiro Gênero
Apoios Simples ou de Primeiro Gênero
Estruturas Isostáticas
Definição de Vínculo
Articulação, Rótula ou Apoio de Segundo Gênero
Articulação, Rótula ou Apoio de Segundo Gênero
Estruturas Isostáticas
Definição de Vínculo
Engaste ou Apoio de Terceiro Gênero
Articulação, Rótula ou Apoio de Segundo Gênero
Articulação, Rótula ou Apoio de Segundo Gênero
Quadro Geral
Estruturas Isostáticas
Método de Resolução
Aplicando as Equações de Equilíbrio Estático
Estruturas Isostáticas
MÉTODO DAS SEÇÕES
Estabelece procedimentos para determinação dos esforços internos ao longo do 
comprimento da viga.
Método das Seções
Estruturas Isostáticas
MÉTODO DAS SEÇÕES
O modelo de estrutura em viga tem barras dispostas sequencialmente em uma 
mesma linha reta horizontal, sob carregamento que a solicita no plano vertical, 
de maneira que desenvolva o momento fletor de vetor representativo normal a 
esse plano, o esforço cortante e, eventualmente, o esforço normal. (Carmem 
Lage, 2013)
.
Estruturas Isostáticas
VIGAS BIAPOIADAS 
(SIMPLESMENTE APOIADA) - 
ISOSTÁTICA
Vigas isostáticas
Vigas isostáticas
Vigas isostáticas
Estruturas Isostáticas
VIGAS BIAPOIADAS COM 
BALANÇOS - ISOSTÁTICA
Estruturas Isostáticas
BALANÇOS (VIGAS ENGASTADAS E 
LIVRES OU VIGA ENGASTADA) - 
ISOSTÁTICA
Estruturas Isostáticas
VIGAS GERBER - PODEM SER 
DECOMPOSTAS EM VIGAS 
ISOSTÁTICA
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Estruturas Isostáticas
Exemplo:
Estruturas Isostáticas
Exemplo:
Estruturas Isostáticas
Exemplo:
Estruturas Isostáticas
Exemplo:
Estruturas Isostáticas
VIGA BIAPOIADA COM CARGA 
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA
Para cálculo dos apoios, considera-se 
uma carga concentrada, com valor da 
área da figura, aplicada no centro 
Geométrico da figura.
Estruturas Isostáticas
Exemplo:
Estruturas Isostáticas
VIGA BIAPOIADA COM CARGA 
UNIFORMEMENTE VARIADA
Para cálculo dos apoios, considera-se 
uma carga concentrada, com valor da 
área da figura, aplicada no centro 
Geométrico da figura
.
Estruturas Isostáticas
Exemplo:
Estruturas Isostáticas
Exemplo:
Estruturas Isostáticas
VIGA BIAPOIADA COM CARGA DE 
UM MOMENTO APLICADO
Estruturas Isostáticas
Exemplo:
Estruturas Isostáticas
VIGA ESCADA
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
Pórtico são estruturas formadas por barras, que formam quadros entre si.
Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos, que associados 
entre si, da mesma forma com que associamos vigas simples para formar vigas 
compostas (GERBER), formam os chamados quadros compostos.
.
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
O estudo de suas reações externas já foi realizado anteriormente, portanto, será 
abordado o estudo dos diagramas solicitantes.
Em estruturas lineares horizontais (vigas) foi adotada uma convenção para as 
solicitações baseados nos conceitos de abaixo e acima da barra em estudo. 
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
No estudo dos pórticos, utiliza-se a mesma convenção adotada as barras 
horizontais onde definimos os lados externos e internos das barras que 
constituem a estrutura, vista a existência de barras verticais, horizontais e 
inclinadas. 
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Identificam-se os lados internos das barras com a parte inferior de uma 
estrutura linear horizontal, ficando desta forma possível utilizar-se as 
convenções já adotadas.
Costuma-se tracejar o lado interno das barras, bem como a parte inferior das 
vigas, identificando-se facilmente as convenções.
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
O cálculo das solicitações, assim como em vigas, pode ser realizado pelo método 
das equações ou pelo método direto, ressaltando-se que o eixo longitudinal (x) de 
cada barra, continua sendo o eixo que passa pelo centro de gravidade das seções 
transversais, e os eixos y e z, perpendiculares à este e contidos pela seção de 
corte (eixos principais centrais de inércia).
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
O método das equações torna o estudo dos pórticos muitodemorado, pois além 
de cortarmos a estrutura por uma seção antes e outra depois dos pontos de 
transição já definidos, quando há mudança de direção de barra também deve ser 
interrompida a equação, pois uma carga que produz esforço normal em uma 
barra vertical, produz esforço cortante na barra horizontal perpendicular e ela, e 
vice-versa.
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Pode-se encarar esta mudança de direção como um novo ponto de transição, 
examinando seções antes e depois dele.
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
Estruturas Isostáticas
PÓRTICOS PLANOS - ISOSTÁTICOS
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Deve-se salientar o fato de que ao ser considerada a seção de uma barra qualquer 
de um pórtico, devem ser consideradas todas as cargas externas aplicadas à 
direita ou à esquerda da seção, inclusive as cargas que atuam em outras barras 
que não a em estudo.
Estruturas Isostáticas
Exemplo
Estruturas Isostáticas
Exemplo
Estruturas Isostáticas
Exemplo
Estruturas Isostáticas
Exemplo
Estruturas Isostáticas
Exemplo
Estruturas Isostáticas
Exemplo
Estruturas Isostáticas
Exemplo
Estruturas Isostáticas
Exemplo
Estruturas Isostáticas
Exemplo
Estruturas Isostáticas
Exemplo
Estruturas Isostáticas
Exemplo
Estruturas Isostáticas
Exemplo
Estruturas 
Hiperestáticas
Material Baseado em:
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Kenneth M. Leet;
Chia-Ming Uang;
Anne M. Gilbert;
Carmem Lage
Conceito Geral 
Vigas Hiperestáticas
Vigas Gerber
Pórticos Hiperestáticos
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Já foi visto que uma peça estrutural pode ser classificada em:
➔ Hipostática;
➔ Isostática;
➔ Hiperestática.
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
No caso das vigas (caso de carregamento plano) teremos sempre 3 graus de 
liberdade (GL) por barra e portanto para que ela permaneça em equilíbrio temos 
de ter no mínimo 3 restrições vinculares (R). 
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Assim, as estruturas são classificadas em:
➔ GL > R Hipostáticas;
➔ GL = R Isostáticas;
➔ GL < R Hiperestáticas. 
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Neste capítulo, vamos discorrer a respeito das vigas hiperestáticas, em especial, 
das vigas contínuas.
O aparecimento destas vigas em estruturas de concreto é frequente e podemos 
citar como exemplo as vigas de contorno de uma edificação. 
Estruturas 
Hiperestáticas
Vigas Hiperestáticas
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Considerando uma viga bi-apoiada (isostática), podemos analisar que, a criação 
de prolongamentos nos apoios melhora o seu desempenho. 
Estruturas 
Hiperestáticas
Vigas Hiperestáticas
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Quando as extremidades de uma viga isostática recebem momentos contrários 
aos desenvolvidos no vão, observamos que as deformações do ponto médio 
diminuem e que a curvatura sobre os apoios se inverte.
Podemos, por analogia, observar que em uma viga contínua, sobre os apoios, 
também há a inversão do giro. 
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Isto se deve ao fato de que cada vão da viga funciona como se estivesse 
engastando (restringindo o giro) do seu adjacente devido a continuidade. 
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
O fato de termos fibras superiores tracionadas nos trechos sobre os apoios nos 
indica a presença de momento negativo.
Estaticamente poderíamos dividir uma viga contínua em trechos isostáticos, em 
que esta restrição ao giro seria substituída pelo momento desenvolvido 
correspondente.
Estruturas 
Hiperestáticas
Vigas Hiperestáticas
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Observe-se que o momento desenvolvido sobre os apoios é único, de forma que 
se unirmos de novo o conjunto, voltamos a situação original.
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Para calcularmos a estrutura acima possuímos as seguintes equações:
Condições de equilíbrio da estática:
ΣFx =0
ΣFy =0
ΣM =0 
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
O giro relativo das tangentes à linha elástica em B é igual a zero. Com este 
sistema de equações resolve-se facilmente a estrutura acima.
A continuidade de uma viga melhora o seu desempenho, isto é, a estrutura 
apresentará menores deformações e esforços internos, logo podemos projetá-la 
com seções menores ( mais econômicas) do que seria necessário às vigas 
isostáticas.
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
O diagrama de Momentos Fletores de uma viga contínua segue o seguinte 
modelo:
Estruturas Hiperestáticas
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Nas estruturas de concreto, as armaduras longitudinais devem absorver os 
esforços de tração correspondentes, desta forma, a armadura longitudinal de 
tração da viga acima deve estar posicionada de acordo com o diagrama de 
momentos, sempre do lado das fibras tracionadas.
Estruturas 
Hiperestáticas
Vigas Hiperestáticas
Estruturas Hiperestáticas
VIGAS GERBER
A viga Gerber consiste na associação de vigas com estabilidade própria com 
outras sem estabilidade própria. Nesta associação, as vigas com estabilidade 
própria suprem as demais dos vínculos que lhes faltam, ficando o conjunto 
estável;
A ligação entre as partes se dá por meio de articulações (fixas ou móveis). O 
aparecimento das vigas Gerber ocorreu para resolver problemas de ordem 
estrutural e construtiva. As vigas Gerber têm lugar de importância na engenharia 
estrutural, e a tendência é de cada vez mais serem utilizadas, tendo em vista o 
desenvolvimento das técnicas de pré-fabricação e montagem de estruturas.
Estruturas 
Hiperestáticas
VIGAS GERBER
Estruturas 
Hiperestáticas
VIGAS GERBER
Estruturas 
Hiperestáticas
VIGAS GERBER
Estruturas 
Hiperestáticas
VIGAS GERBER
Estruturas 
Hiperestáticas
VIGAS GERBER
Estruturas 
Hiperestáticas
VIGAS GERBER
Estruturas Hiperestáticas
VIGAS GERBER
Inicialmente, a viga Gerber deve ser decomposta nas vigas isostáticas que a 
formam (vigas apoiadas e vigas que dão apoio). Deve ser construído o diagrama 
de corpo livre da estrutura decomposta, com apresentação das reações de apoio 
externas e internas. A construção do diagrama de corpo livre deve ser feita por 
ordem decrescente de dependência estática: primeiro as vigas apoiadas, e depois 
as vigas que dão apoio.
Determinar as reações de apoio externas e internas, utilizando as equações de 
equilíbrio.
Estruturas 
Hiperestáticas
Exemplo