EES024 Aula16 MetodoDosDeslocamentos ReducaoDeDeslocabilidades

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EES024 - Análise Estrutural II
Aula 16: Método dos deslocamentos com redução de
deslocabilidades
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs)
2o. semestre 2017
Introdução
O método dos deslocamentos possui uma metodologia relativamente mais
simples e mais apropriada às implementações computacionais do que o método
das forças.
Entretanto, sua aplicação para a análise "manual" de uma estrutura é muito
trabalhosa em função, principalmente, da grande quantidade de incógnitas
(deslocabilidades) envolvidas.
Desta forma, nesta aula, vamos resumir algumas estratégias que podem ser
usadas para reduzir este número de incógnitas. São elas:
• Eliminação dos trechos em balanço;
• Consideração de barras inextensíveis;
• Eliminação de deslocabilidades de rotação em barras articuladas.
Deve-se enfatizar, porém, que as ideias aqui apresentadas requerem análises
específicas que não são usualmente programáveis (de forma similar ao que
ocorre no método das forças), sendo apropriadas apenas às soluções de es-
truturas menores sem auxílio computacional.
Eliminação dos trechos em balanço
• Eliminação dos trechos em balanço;
• Consideração de barras inextensíveis;
• Eliminação de deslocabilidades de rotação em barras articuladas.
Eliminação dos trechos em balanço
Os trechos em balanço de uma estrutura podem ser resolvidos isostatica-
mente (por equilíbrio) e seus esforços de extremidade, transmitidos para o
restante da estrutura.
No pórtico abaixo, por exemplo, ao invés de 21 deslocabilidades, pode-se
montar um sistema com apenas 6.
Consideração de barras inextensíveis
• Eliminação dos trechos em balanço;
• Consideração de barras inextensíveis;
• Eliminação de deslocabilidades de rotação em barras articuladas.
Consideração de barras inextensíveis
As barras usuais de um pórtico têm deformações axiais muito menores do
que as deformações devidas ao efeito transversal de flexão. Desta forma,
pode-se, numa aproximação, considerar que não há deformação axial nas
barras.
A hipótese de barras inextensíveis está intimamente associada ao regime
de pequenos deslocamentos. Neste caso:
Os dois nós extremos de uma barra só podem se deslocar relativamente na
direção transversal ao eixo da barra:
LG→ Lugar Geométrico dos nós
Consideração de barras inextensíveis
Tal aproximação pode ser utilizada para reduzir o número de deslocabilidades
de translação de uma estrutura. Admita, por exemplo, o pórtico abaixo:
D2 = D5 = 0→ colunas inextensíveis; D1 = D4 → viga inextensível.
Desta forma, o número de incógnitas se reduz de 6 para 3:
Definem-se ainda:
Deslocabilidades internas: rotações; Deslocabilidades externas: translações.
Consideração de barras inextensíveis
Exemplo
Como exemplo, vamos reanalisar o pórtico com articulação interna visto na
Aula 14.
Na Aula 14:
A
I
= 2 m−2
Agora:
A
I
→∞ (barras inextensíveis)
Consideração de barras inextensíveis
Exemplo - Caso (0): efeito das cargas externas
β10 = +45 kN ·m
β20 = 0
β30 = −10 kN
β10 =
ql2
BC
8
=
(10 kN/m)(6 m)2
8
= 45 kN ·m
Deve-se observar que, diferentemente da análise com barras extensíveis,
onde não haviam reações de apoio nos nós A e D, na análise atual há trans-
missão das forças cortantes nas extremidades da viga como esforços normais
nas colunas, i.e.,
VA =
5qlBC
8
= 37, 5 kN; VD =
3qlBC
8
= 22, 5 kN
Consideração de barras inextensíveis
Exemplo - Casos (j): efeito individual de cada deslocabilidade na direção j
Lembrando:
Coeficientes de rigidez locais para barra com articulação no nó final:
Consideração de barras inextensíveis
Exemplo - Casos (j): efeito individual de cada deslocabilidade na direção j
Coeficientes de rigidez locais para barra sem articulação:
Consideração de barras inextensíveis
Exemplo - Caso (1): D1 = 1
K11 = (1, 5 m−1)EI
K21 = 0
K31 = (0, 375 m−2)EI
K11 =
4EI
lAB
+
3EI
lBC
=
4EI
4 m
+
3EI
6 m
= (1, 5 m−1)EI
K31 =
6EI
l2
AB
=
6EI
(4 m)2
= (0, 375 m−2)EI
Observar que as reações verticais em A e D também são provenientes das
extremidades da viga, transmitidas como esforços normais às colunas.
Consideração de barras inextensíveis
Exemplo - Caso (2): D2 = 1
K12 = 0
K22 = (1 m−1)EI
K32 = (0, 375 m−2)EI
K22 =
4EI
lCD
=
4EI
4 m
= (1 m−1)EI
K32 =
6EI
l2
CD
=
6EI
(4 m)2
= (0, 375 m−2)EI
Neste caso, o coeficiente K32 foi obtido pela força na extremidade C da
barra CD, transmitida como esforço nomal para barra BC.
Consideração de barras inextensíveis
Exemplo - Caso (3): D3 = 1
K13 = (0, 375 m−2)EI
K23 = (0, 375 m−2)EI
K33 = (0, 375 m−3)EI
K13 =
6EI
l2
AB
=
6EI
(4 m)2
= (0, 375 m−2)EI
K32 =
6EI
l2
CD
=
6EI
(4 m)2
= (0, 375 m−2)EI
K33 =
12EI
l3
AB
+
12EI
l3
CD
=
12EI
(4 m)3
+
12EI
(4 m)3
= (0, 375 m−3)EI
Consideração de barras inextensíveis
Cálculo das deslocabilidades globais
{β0}+
[
K
]{D} = {0} ⇒

β10
β20
β30
+
K11 K12 K13K21 K22 K23
K31 K32 K33

︸ ︷︷ ︸
Matriz de rigidez global

D1
D2
D3
 =

0
0
0

EI

1, 5 m−1 0 0, 375 m−2
0 1 m−1 0, 375 m−2
0, 375 m−2 0, 375 m−2 0, 375 m−3


D1
D2
D3
 =

−45kN ·m
0
10kN

D1 = −(67, 78 kN ·m2)/EI
D2 = −(56, 67 kN ·m2)/EI
D3 = (151, 11 kN ·m3)/EI
Consideração de barras inextensíveis
Cálculo das deslocabilidades globais
Comparando com a solução com barras extensíveis:
δB = (156, 55 kN ·m3)/EI ⇒ Diferença = 3, 6%
δC = (137, 25 kN ·m3)/EI ⇒ Diferença = 10, 1%
θB = −(68, 75 kN ·m2)/EI ⇒ Diferença = 1, 4%
θC = −(51, 45 kN ·m2)/EI ⇒ Diferença = 10, 1%
Eliminação de deslocabilidades de rotação
• Eliminação dos trechos em balanço;
• Consideração de barras inextensíveis;
• Eliminação de deslocabilidades de rotação em barras articuladas.
Eliminação de deslocabilidades de rotação
Quando há uma rótula conectando todas as barras que dividem um nó, Pode-
se considera-lo em qualquer uma delas. No exemplo anterior, a rótula foi
considerada na viga, porém, ela também poderia ser considerada na coluna
(ver seção 11.4.1 do livro texto).
Uma terceira opção seria considera-la, redundantemente, em ambas as bar-
ras:
Tal artifício produz uma matriz de rigidez singular que, no entanto, pode ser
reduzida em uma ordem pela eliminação da rotação associada a esta rótula,
como será mostrado a seguir.
Eliminação de deslocabilidades de rotação
Exemplo - Caso (0): efeito das cargas externas
β10 = +45 kN ·m
β20 = 0
β30 = −10 kN
β10 =
ql2
BC
8
=
(10 kN/m)(6 m)2
8
= 45 kN ·m
VA =
5qlBC
8
= 37, 5 kN; VD =
3qlBC
8
= 22, 5 kN
Neste exemplo, o caso (0) fornece o mesmo resultado que no exemplo ante-
rior. Observe que o termo de carga associado à rotação no nó C é nulo.
Eliminação de deslocabilidades de rotação
Exemplo - Caso (1): D1 = 1
K11 = (1, 5 m−1)EI
K21 = 0
K31 = (0, 375 m−2)EI
K11 =
4EI
lAB
+
3EI
lBC
=
4EI
4 m
+
3EI
6 m
= (1, 5 m−1)EI
K31 =
6EI
l2
AB
=
6EI
(4 m)2
= (0, 375 m−2)EI
Novamente, os mesmos resultados do exemplo anterior se repetem aqui.
Enfatiza-se que o coeficiente de rigidez associado à rotação do nó C tam-
bém é nulo.
Eliminação de deslocabilidades de rotação
Exemplo - Caso (2): D2 = 1
K12 = 0
K22 = 0
K32 = 0
Como há articulação redundante, D2 = 1 não gera deformação em nen-
huma barra e os coeficientes de rigidez são todos nulos.
Eliminação de deslocabilidades de rotação
Exemplo - Caso (3): D3 = 1
K13 = (0, 375 m−2)EI
K23 = 0
K33 = (0, 234 m−3)EI
K13 =
6EI
l2
AB
=
6EI
(4 m)2
= (0,375 m−2)EI
K33 =
12EI
l3
AB
+
3EI
l3
CD
=
12EI
(4 m)3
+
3EI
(4 m)3
= (0, 234 m−3)EI
Eliminação de deslocabilidades de rotação
Cálculo das deslocabilidades globais
EI

1, 5 m−1 0 0, 375 m−2
0 0 0
0, 375 m−2 0 0, 234 m−3


D1
D2
D3
 =

−45kN ·m
−0
10kN

Nota-se que a matriz de rigidez é singular (det[K] = 0) e, portanto, o sis-
tema não tem solução. tal fato está associado justamente à redundância de
aplicação da articulação.
Entretanto, eliminando-se a segunda linha e a segunda coluna, pode-se re-
solver para as demais deslocabilidades, i.e,
EI
 1, 5 m−1 0, 375 m−2
0, 375 m−2 0, 234 m−3

D1
D3
 =

−45kN ·m
10kN

∴ D1 = −(67, 78 kN ·m2)/EI D3 = (151, 06 kN ·m3)/EI
Daí, M =M0 +M1D1 +M3D3.
Leitura recomendada
• Livro Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando
Martha, 2a. ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017:
Capítulo 11 (seções 11.1 a 11.4, exceto 11.4.5)
	Introdução
	Eliminação dos trechos em balanço
	Consideração de barras inextensíveis
	Exemplo
	Eliminação de deslocabilidades de rotação em barras articuladas
	Exemplo
	Leitura recomendada