Introdução à Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Joaquim Francisco Cavalcante de Oliveira
I – INTRODUÇÃO
1 – FLUXO DE CAIXA
O fluxo de caixa é o conjunto das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo.
 Pagamentos (-) Recebimentos (+)
 0 1 2 3 4 5 tempo
a) A escala horizontal representa o tempo que pode ser expresso em dias, semanas, meses, trimestres ou anos;
b) O zero representa normalmente a data inicial ou data da negociação;
c) As saídas de dinheiro – os pagamentos – terão sinais negativos e serão representados por setas para baixo;
d) As entradas de dinheiro – os recebimentos – terão sinais positivos e serão representados por setas para cima.
2 – OBJETIVO
A matemática financeira tem por objetivo o manuseio de fluxos de caixa visando suas transformações em fluxos equivalentes mais simples.
EXEMPLO: Compra de um automóvel, em duas opções:
1º) Pagamento de R$ 20.000,00 à vista;
 0 tempo
2º) Pagamento em 5 prestações mensais de R$ 5.275,95 à taxa de juros compostos de 10% a.m. 
 0 1 2 3 4 5 tempo (meses)
3 – MOEDA ESTÁVEL
Todo o estudo da matemática financeira será feito tomando-se por base a moeda estável, i.e., assume-se que a moeda tem o mesmo poder de aquisição ao longo do tempo. Para eliminar o efeito da inflação, é necessário que se utilize a correção monetária nos fluxos de caixa.
4 – USO DA HP12C
EXERCÍCIOS
1) 2,5 + 8,2 – 1,4
2) 2 + 8 x 5
3) (2 + 8). (7 – 2)
4 ) (4 + 8)/(3 + 1)
5) (5 + 4)2/(2+1)2
6) [(8 - 3)2 – 1]/[(4 – 1)2 – 6]
7) (43 – 52)/3
8) Obter 5,25% de R$ 14.432,00
9) Apresentar o resultado da divisão (2/3) com 2, 4 e 6 decimais.
10) Calcular o número de dias entre 19/07/1981 e 25/12/1981.
a) Utilizar a função D.MY
b) Utilizar a função M.DY
5 – ARREDONDAMENTO
O arredondamento deverá ser feito somente no resultado final da expressão e de acordo com o nº de casas decimais estabelecido.
EXERCÍCIO:
	Nº A ARREDONDAR
	ARREDONDAMENTO
	Nº ARREDONDADO
	12,489
	inteiros
	
	20,733
	décimos
	
	35,992
	centésimos
	
	15,504
	inteiros
	
	16,561
	décimos
	
	17,578
	centésimos
	
II – PERCENTAGEM
Para calcularmos o percentual P% sobre um determinado valor V, basta o seguinte cálculo:
P/100 x V
As percentagens são obtidas a partir do cálculo das proporções, multiplicando-se o resultado obtido por 100.
	SÓCIOS
	NÚMERO
	PROPORÇÃO(%)
	Futebol de Salão
	580
	
	Futebol de Campo
	430
	
	Não Praticantes
	4.810
	
	TOTAL
	5.820
	
EXERCÍCIOS DE PERCENTAGEM
1) Calcular:
	a) 15% de R$ 120,00 b) 12% de R$ 130,00 c) 4% de R$ 870,00
	d) 200% de R$ 350,00 e) 17% de R$ 100,00 f) 50% de R$ 830,00
2) Escreva na forma de percentual:
	a) 4/5 b) 8/16 c) 7/21 d) 3/5
3) Um artigo teve seu preço reajustado. Qual é o percentual de aumento?
	a) preço inicial = R$ 120,00; preço reajustado = R$ 150,00
	b) preço inicial = R$ 80,00; preço reajustado = R$ 116,00
	c) preço inicial = R$ 100,00; preço reajustado = R$ 168,00
4) Um artigo teve uma redução no seu preço. Qual o percentual relativo a essa redução?
	a) preço inicial = R$ 150,00; preço reduzido = R$ 120,00
	b) preço inicial = R$ 250,00; preço reduzido = R$ 187,50
	c) preço inicial = R$ 300,00; preço reduzido = R$ 201,00
5) Qual o índice de reajuste se o aumento for de:
	a) 15% b) 18,17% c) 60% d) 6% e) 200%
6) Qual o índice de redução se a redução for de:
	a) 20% b) 70,5%
7) Certo artigo custava R$ 200,00 e teve seu preço reajustado em 18%. Qual o preço atual?
8) Certo material que custava R$ 800,00 teve um abatimento de 3%. Qual o preço final?
9) Certo produto custava R$ 350,00 e teve reajuste de 22%. Na hora da venda foi dado um desconto de 5%. Qual o preço final e o índice de reajuste entre os preços inicial e final?
10) Supondo que em certo trimestre a inflação foi de 6%, 8% e 10% a.m., respectivamente, qual é a inflação acumulada no trimestre?
11) Calcule a inflação acumulada no período:
	1º mês = 3%; 2º mês = 35%; 3º mês = 200%
12) Um preço tem reajuste acumulado em um bimestre de 38%. Se no 1º mês o aumento foi de 20%, qual o aumento no 2º mês?
13) Um investimento foi realizado em um período com inflação de 30% e taxa de rendimento de 56%. Qual o rendimento desse investimento descontada a inflação?
14) Qual a taxa acumulada gerada por 2 aumentos consecutivos de 20%?
15) Certa categoria profissional recebeu nos últimos 3 anos reajustes salariais de 6%, 12% e 10%, respectivamente. Como deveria ter recebido 10%, 15% e 12%, respectivamente, reivindicou um reajuste extra que atualizasse seus salários para os valores que teriam caso tivesses sido utilizados os índices que consideram justos. Qual o valor do reajuste pedido?
III – VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
O que é o dinheiro?
É uma mercadoria geralmente representada por cédulas e moedas que tem curso oficial e cujo valor é estabelecido como o equivalente na troca por outra(s) mercadoria(s). Pode ser entendida como tudo que representa dinheiro ou nele pode ser convertido, tais como cheques, títulos, ações, mercadorias negociáveis. Representa também qualquer soma, definida ou indefinida de dinheiro. O dinheiro é uma mercadoria que pode ser negociada, emprestada, alugada.
Valor ao longo do tempo
O dinheiro muda de valor ao longo do tempo. Mesmo que o seu valor de face seja o mesmo, seu valor irá mudar.
O valor de uma quantia em dinheiro será diferente de acordo com a data em que estiver disponível para ser usado.
Inflação
É obtida em função da grande emissão de papel-moeda provocando a redução do valor real da moeda e, consequentemente, o aumento generalizado dos preços dos produtos. Assim, se o preço de um produto aumenta constantemente, precisamos de cada vez mais dinheiro para adquirir o mesmo produto.
Custo de Oportunidade
Valor do dinheiro ao longo do tempo (Inflação = 10% a.a)
	TEMPO
	VALOR
	Hoje
	R$ 100,00
	Após 1 ano
	R$ 110,00
	Após 2 anos
	R$ 121,00
	Após 3 anos
	R$ 133,10
	Após 4 anos
	R$ 146,41
	Após 5 anos
	R$ 161,05
	Após 6 anos
	R$ 177,16
	Após 7 anos
	R$ 194,87
	Após 8 anos
	R$ 214,36
	Após 9 anos
	R$ 235,39
	Após 10 anos
	R$ 259,37
Quanto mais distante for a data futura da disponibilidade do dinheiro, menor será seu valor na data de hoje.
Valor Presente
O valor do dinheiro na data de hoje é chamado de Valor Presente (PV).
Valor Futuro
O valor do dinheiro disponível na data futura é chamado de Valor Futuro (FV).
Algumas questões para reflexão:
O que é melhor: ganhar R$ 1.000,00 hoje ou daqui a um ano?
O poder de compra de US$ 100,00 nos EUA é diferente do poder de compra de R$ 100,00 no Brasil?
O que é melhor: morar no Brasil e ter um salário mensal de R$ 2.000,00 ou morar nos EUA e receber US$ 1.000,00 por mês? Por que?
OBS:
Cada país possui sua própria moeda que tem seu valor próprio. Essas moedas podem ser convertidas, mas essa conversão mostra que um mesmo produto tem vários preços nos vários países. Assim, US$ 1,00 é diferente de R$ 2,00 sabendo-se que o poder de compra de US$ 1,00 nos EUA é diferente do poder de compra de R$ 2,00 no Brasil.
MOEDAS BRASILEIRAS
1 Real = 
2.750 cruzeiros reais =
2.750.000 cruzeiros =
2.750.000 cruzados novos = 
2.750.000.000 cruzados =
2.750.000.000.000 cruzeiros = 
2.750.000.000.000 cruzeiros novos =
2.750.000.000.000.000 cruzeiros =
2.750.000.000.000.000.000 réis
TAXA DE JUROSÉ a remuneração do capital
É o preço que se paga pelo uso do dinheiro
É a produtividade do capital
É o preço que se cobra pelo risco de ficar sem o capital
É o preço que se atribui à falta de capital
O dinheiro é um bem que pode ser negociado e possui um preço pelo uso: juros.
IV – JUROS SIMPLES
1 – CONCEITO
Juros é o valor pago pelo uso do dinheiro que pegou emprestado, ou seja, é o custo do capital de terceiros colocado à sua disposição.
É, também, a remuneração do capital empregado em atividades produtivas ou a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado.
2 – UNIDADE DE MEDIDA
Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo.
EX: 	12% ao ano = 12% a.a. (na periodicidade anual, temos que para cada 100 unidades de capital paga-se 12 unidades de juros)
	4% ao semestre = 4% a.s. (na periodicidade semestral, temos que para cada 100 unidades de capital paga-se 4 unidades de juros)
	1% ao mês = 1% a.m.(na periodicidade mensal, temos que para cada 100 unidades de capital paga-se 1 unidade de juros)
CALENDÁRIO
1 ano = 12 meses
Ano comercial = 360 dias => 1 mês = 30 dias
Ano civil = 365/366 dias => 1 mês = 28, 29, 30 ou 31 dias
1 ano = 365d 6h => 4/4a - bissexto
Ano não bissexto: 1 ano = 365 dias e Fev = 28 dias
Ano bissexto: 1 ano = 366 dias e Fev = 29 dias
Abr, Jun, Set, Nov = 30 dias
Jan, Mar, Mai, Jul, Ago, Out, Dez = 31 dias
3 – CÁLCULO DE JUROS
A obtenção do juros no período, em reais, será feita através da aplicação da taxa de juros sobre o capital considerado.
EX: Qual o total de juros que um capital de R$ 10.000,00 aplicado a uma taxa de 8% a.a., proporcionará, no final de um ano?
4 – TIPOS DE JUROS
Os juros são classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado.
5 – CÁLCULO DO JUROS SIMPLES
Os juros de cada período são calculados sempre em função do capital inicial empregado.
J = C.i.t
M = C + J
Obs: A taxa de juros i deve ser referida na mesma unidade do tempo t.
JUROS SIMPLES x JUROS COMPOSTOS
JUROS SIMPLES
EX: Um indivíduo em 01/01/75 colocou R$ 100,00 em um banco que lhe prometeu Juros Simples, à razão de 10% a.a. Qual será o seu saldo credor no final de cada um dos próximos 4 anos? 
 
 100,00
 J1 J2 J3 J4 
 0 1 2 3 4 tempo
 01/01/75 M1 M2 M3 M4 
	N
	JUROS
	MONTANTE
	0
	-
	100,00
	1
	0,10 x 100,00 = 10,00
	110,00
	2
	0,10 x 100,00 = 10,00
	120,00
	3
	0,10 x 100,00 = 10,00
	130,00
	4
	0,10 x 100,00 = 10,00
	140,00
 
- no regime de Juros Simples apenas o principal rende juros;
- a série de valores do montante formam uma P.A. ( an = a1 + (n-1). r
J = C.i.t
M = C + J
 R$
 140
 130
 120
 110
 100
 0 1 2 3 4 t
JUROS COMPOSTOS
EX: Um indivíduo em 01/01/75 colocou R$ 100,00 em um banco que lhe prometeu Juros Compostos, à razão de 10% a.a. Qual será o seu saldo credor no final de cada um dos próximos 4 anos? 
 100,00
 J1 J2 J3 J4 
 0 1 2 3 4 tempo
 01/01/75 M1 M2 M3 M4 
	N
	JUROS
	MONTANTE
	0
	-
	100,00
	1
	0,10 x 100,00 = 10,00
	110,00
	2
	0,10 x 110,00 = 11,00
	121,00
	3
	0,10 x 121,00 = 12,10
	133,10
	4
	0,10 x 133,10 = 13,31
	146,41
- no regime de Juros Compostos os juros é aplicado sobre o montante
- a série de valores do montante formam uma P.G. ( an = a1 . qn-1
M = C x (1 + i)n
M = C + J
 R$
 146,41
 
 
 133,10
 
 
 121
 
 110
 100
 0 1 2 3 4 t
- no regime de Juros Compostos os rendimentos são calculados sobre os montantes, havendo uma incidência de juros sobre juros;
- a diferença entre o JC e o JS corresponde ao pagamento de juros sobre juros no período.
EXERCÍCIOS DE JUROS SIMPLES
1) Se R$ 3.000,00 foi aplicado por 5 meses, à taxa de juros simples de 4% a.m., determine:
 a) os juros recebidos
 b) o montante
2) Se R$ 2.000,00 foram aplicados por 7 meses a juros simples de taxa anual de 24%. Qual o montante dessa aplicação?
3) Se R$ 5.000,00 foram aplicados a juros simples por 20 dias a 9% a.m. Qual o montante dessa aplicação?
4) Se R$ 3.000,00 foram aplicados por 10 dias a juros simples de taxa de 7% a.m. Qual o montante dessa aplicação?
5) O capital de R$ 500,00 aplicado durante 1 ano e meio a juros simples rendeu R$ 180,00. Qual a taxa mensal?
6) A aplicação de R$ 3.000,00 a juros simples de taxa mensal igual a 6% gerou montante igual a R$ 3.420,00. Determine o prazo de aplicação, em dias.
7) Qual a taxa mensal de juros simples que faz um capital de R$ 10.000,00 se transformar num montante de R$ 30.000,00 daqui a 20 meses?
8) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 25/01/1996 ao dia 13/04/1996. Qual o juros obtidos, à taxa de 18% a.a.?
9) Um artigo de preço à vista igual a R$ 700,00 pode ser adquirido com entrada de 20% mais um pagamento para 45 dias. Se o vendedor cobra juros simples de 8% a.m., qual o valor do pagamento na data devida?
10) Uma duplicata de R$ 600,00, vencida em 10/04/99, somente foi paga em 22/06/99. Admitindo-se que o banco cobre juros simples exatos de 60% a.a., calcule o montante desembolsado pelo devedor.
RESPOSTAS:
a) R$ 600,00 b) R$ 3.600,00
R$ 2.280,00
R$ 5.300,00
R$ 3070,00
2%
70 dias
10%
R$ 388,52
R$ 627,20
R$ 672,00
V - JUROS COMPOSTOS
Imagine a mesma situação do exemplo de Juros Simples, mas que o Banco pagasse a Juros Compostos. Faça a representação gráfica e trace as considerações sobre o que ocorreu com o dinheiro aplicado nesse período.
Mostre, qual é e o que significa a diferença entre os dois casos.
 
	TEMPO
	SALDO INICIAL
	JUROS
	SALDO FINAL
	1
	100,00
	10,00
	110,00
	2
	110,00
	11,00
	121,00
	3
	121,00
	12,10
	133,10
	4
	133,10
	13,31
	146,41
 
 R$ JC
 146,41
 DIF
 140 
 133,10 JS
 
 130
 121
 120
 110100
 0 1 2 3 4 t
OBS:
- o dinheiro cresce mais rápido a JC do que a JS;
- a JC o dinheiro cresce exponencialmente (P.G.) ao longo do tempo;
- a JS apenas o principal rende juros;
- a JC os rendimentos são calculados sobre os montantes, incidindo de juros sobre juros;
- a DIF entre o JC e o JS corresponde ao pagamento de juros sobre juros no período, sendo no exemplo dado igual a: DIF = 146,41 – 140,00 = 6,41
DEFINIÇÃO:
Juros compostos é a remuneração que o capital C recebe após n períodos de aplicação, quando a cada período, a partir do segundo, os juros são calculados sobre o montante do capital C relativo ao período anterior.
Temos que: M = C x (1 + i)n e J= M – C
Onde: (1 + i)n é chamado de fator de capitalização
	i = taxa de juros compostos
	n = período de tempo
EX: Um determinado capital C teve acréscimos acumulados e sucessivos de 5%, 10% e 12%. Qual o seu valor ao final do trimestre?
VALOR FINAL = C x 1,05 x 1,10 x 1,12
EX: Um determinado capital C teve acréscimos acumulados e sucessivos de i, durante um período de tempo n. Qual o seu valor ao final do período?
 	M = C x (1 + i)(1 + i) ... (1 + i)
	M = C x (1 + i)n
EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS
1 – Qual o montante produzido por R$ 10.000,00 à taxa de juros compostos de 6% a.m., durante 5 meses?
2 – Qual o montante da aplicação de R$ 10.000,00 à taxa composta de 8% a.t., durante 1 ano?
3 – Guilherme aplicou R$ 1.000,00 por 1 ano e meio, à taxa de juros compostos de 6% a.b. Qual o montante dessa aplicação?
4 – Qual o capital que aplicado à taxa composta de 3% a.s. durante 6 meses gera montante igual a R$ 206.000,00?
5 – Qual o tempo necessário, em meses, para o capital de R$ 20.000,00 gerar um montante de R$ 28.142,00 se aplicado à taxa composta de 5% a.m.
6 – A que taxa mensal de juros compostos devemos aplicar R$ 40.000,00 para obtermos montante igual a R$ 56.197,12 ao fim de 1 trimestre?
7 – Qual a taxa de juros compostos mensal que aplicada ao capital de R$ 10.000,00 durante 4 meses, gera montante de R$ 12.155,06?
8 – Qual o capital C que aplicado à taxa composta de 9% a.m. rende juros de R$ 82.316,32 numa aplicação de 4 meses?
9 – Em uma aplicação de 5 meses a razão entre o montante e o capital investido é igual a 1,538624. Mantido o sistema composto, se a aplicação fosse de 10 meses, qual seria a razão entre o montante e o capital?
10 – Uma compra no valor de R$ 10.000,00 foi financiada em um único pagamento no valor de R$ 14.693,28 para 150 dias após a compra. Qual a taxa de juros compostos mensais cobrada no financiamento?
11 – Qual o montante acumulado em 5 trimestres a uma taxa de 4% a.m., no regime de juros compostos, a partir de um capital igual a R$ 2.000,00?
12 – Qual o capital necessário para se ter um montante de R$ 25.306,38 daqui a três anos, a uma taxa de 4% a.s., no regime de juros compostos?
13 – Ana aplicou R$ 10.000,00 por seis meses em regime de capitalização composta e recebeu de juros R$ 1.940,52. Qual é o valor da taxa mensal de juros dessa aplicação?
RESPOSTAS:
R$ 13.382,26
R$ 13.604,89
R$ 1.689,48
R$ 200.000,00
7 m
12%
5%
R$ 200.000,00
2,367364
 8%
 R$ 3.601,89
R$ 20.000,00
3%
VI - TAXAS DE JUROS
1 - TAXAS PROPORCIONAIS (JUROS SIMPLES)
- duas ou mais taxas de juros são ditas proporcionais quando ao serem aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.
EX1: Qual o montante acumulado no final de 4 anos, a partir de um principal de R$ 100,00 com uma taxa de juros de 12% a.a., no regime de juros simples?
M = R$ 148,00
EX2: Qual o montante acumulado no final de 4 anos, a partir de um principal de R$ 100,00 com uma taxa de juros de 6% a.s., no regime de juros simples?
M = R$ 148,00
EX3: Qual o montante acumulado no final de 4 anos, a partir de um principal de R$ 100,00 com uma taxa de juros de 3% a.t., no regime de juros simples?
M = R$ 148,00
CONCLUSÃO: As taxas de juros de 12% a.a., 6% a.s., e 3% a.t. São proporcionais, pois, a partir de um mesmo principal e um mesmo prazo, obtiveram o mesmo montante. Temos, então:
 id x 360 = im x 12 = it x 4 = is x 2 = ia
2 - TAXAS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS)
- duas ou mais taxas de juros são ditas equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.
EX1: Qual o montante acumulado no final de 1 ano, a partir de um principal de R$ 100,00 com uma taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos?
M = 112,68
EX2: Qual o montante acumulado no final de 1 ano, a partir de um principal de R$ 100,00 com uma taxa de juros de 12,683% a.a., no regime de juros compostos?
M = 112,68
Temos, portanto, que as taxas de 1% a.m. e 12,683% a.a., são equivalentes. Assim, temos que:
 (1+ id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1 + is)2 = 1 + ia
3 - TAXA NOMINAL
- é aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
EX: Obter as taxas efetivas anuais equivalentes à taxa nominal de 24% a.a., com os seguintes períodos de capitalização:
 	a) mensalmente
	b) trimestralmente
	c) semestral
4 - TAXA EFETIVA OU REAL
- é aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
EX: 	3% a.m., capitalizados mensalmente;
 	4% a.b., capitalizados bimestralmente;
	8% a.t., capitalizados trimestralmente;
	6% a.s, capitalizados semestralmente;
	9% a.a., capitalizados anualmente.
EXERCÍCIOS DE TAXAS DE JUROS
a) TAXA PROPORCIONAL
1) Quais as taxas semestral e trimestral que são proporcionais à taxa de 12% a.a.?
2) Quais as taxas semestral, mensal e diária que são proporcionais à taxa de 24% a.a.?
3) Qual a taxa mensal que é proporcional à taxa de 7,5% a.s.?
4) Qual a taxa diária que é proporcional à taxa de 2,1% a.m.?
b) TAXA EQUIVALENTE
5) Quais as taxas trimestral, semestral e anual equivalentes à taxa de 3% a.m.?
6) Quais as taxas semestral e anual equivalentes à taxa de 6% a.t.?
7) Qual a taxa semestral equivalente à taxa de 12% a.a.?
c) TAXA NOMINAL
8) Obter as taxas efetivas anuais equivalentes a uma taxa nominal de 24% a.a., com os seguintes períodos de capitalização:
mensal
trimestral
semestral
9) O valor de R$ 10.000,00 foi aplicado por nove meses à taxa nominal de 24% a.a., capitalizados trimestralmente. Qual o juro obtido?
RESPOSTAS:
6%; 3%
12%; 2%; 0,067%
1,25%
0,07%
9,27%; 19,41%; 42,58%
12,36%; 26,25%
5,83%
26,824%; 26,248%; 25,440%
R$ 1.910,16
VII – DESCONTOS SIMPLES
 N
 
 A
 
 0 t
 
Na operação de desconto, temos:
 	N – valor nominal ou de face – é o valor do título na data do vencimento;
	A – valor atual ou valor descontado – é o valor do título na data do desconto;
	D – juros sobre N;
	d – juros sobre A.
EX: Você tem um cheque pré-datado para daqui a 2 meses no valor de R$ 120,00 e necessita trocá-lo hoje. Sabe-se que o desconto se realiza num mercado de taxa mensal simples igual a 10%. Qual o valor que deverá receber por ele, hoje?
Existem duas formas de se efetuar uma operação de desconto:
1a) DESCONTO COMERCIAL, BANCÁRIO OU POR FORA
- é um juros calculado sobre o valor nominal.N
 
 A
 
 D
 0 t
 
D – juros sobre N;
D = Nit = N – A
Temos, então, que:
i = 10% a.m.
N = 120
t = 2 m
D = 120 x 0,10 x 2 = 24
A = 120 – 24 = 96
TAXA DE JUROS EFETIVA
 N
 
 A
 
 ief
 0 t
 
Fator = 120/96 = 1,25
ief = 25% (2 meses) ief = 12,5% a.m.
2a) DESCONTO RACIONAL, MATEMÁTICO OU POR DENTRO
- é o desconto, onde:
N é o montante de Ad;
d é o juros sobre Ad.
 N
 
 Ad 
 d
 0 t
 
Temos que:
i = 10% a.m.; N = 120; t = 2 m
d = Ad . i . t = N – Ad
Ad . 0,1 . 2 + Ad = 120
Ad = 100
d = 120 – 100 = 20
RELAÇÃO ENTRE OS DESCONTOS
Temos, que: N = (D x d) / (D – d)
EX: O quociente entre os descontos comercial e racional é de 1,06, nas mesmas condições de aplicação. Qual será o prazo de antecipação, se a taxa de juros simples for de 2% a.m.?
D/d = 1,06
D = 1,06d
Temos, então, que d foi corrigido em 6%. Se a taxa era de 2% a.m., logo, temos que o prazo foi de 3 meses.
EXERCÍCIOS DE DESCONTOS SIMPLES
1 – Qual o desconto comercial simples de uma promissória de valor nominal de R$ 25.000,00 descontada à taxa de 3% a.m., 5 meses antes do vencimento?
2 – Um título, ao ser descontado racionalmente 2 meses antes do vencimento, à taxa simples de 5% a.m., teve valor atual igual a R$ 8.000,00. Qual o valor de face desse título?
3 – Qual o prazo de antecipação, em dias, de um título de valor nominal R$ 1.200,00 que descontado comercialmente a 9% a.m. gera valor atual igual a R$ 1.056,00?
4 – Qual o desconto racional simples sofrido por um título de R$ 6.715,60 descontado a 24% a.a. em 1 mês e 15 dias?
5 - Um título descontado comercialmente à taxa simples de 12% a.m. reduz-se, 3 meses antes do vencimento, a R$ 2.432,00. Qual o valor nominal desse título?
6 – Qual o desconto comercial simples de uma promissória de valor nominal de R$ 5.000,00 descontada à taxa de 0,3% a.m., 2 anos antes do vencimento?
7 – Uma duplicata no valor de R$ 5.000,00 é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial simples de taxa 20% a.m. Qual o valor resgatado pelo cliente?
8 – Um título de valor nominal N foi descontado por fora, 135 dias antes do vencimento, à taxa simples de 6% a.m., gerando um valor líquido de R$ 24.090,00. Qual o valor de N?
9 – Em uma operação de descontos simples por dentro, a razão entre o desconto e o valor atual é igual a 0,03. Qual a razão entre o valor nominal e o valor atual?
10 – O desconto comercial de um título foi de R$ 150,00 adotando-se uma taxa de juros simples de 30% a.a. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, em dias, se o valor nominal do referido título fosse de R$ 4.000,00?
RESPOSTAS:
R$ 3.750,00
R$ 8.800,00
40 dias
R$ 195,60
R$ 3.800,00
R$ 360,00
R$ 3.000,00
R$ 33.000,00
1,03
 45 dias
VIII - DESCONTOS COMPOSTOS
1º) DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO
- é um desconto que incide sobre o valor nominal(N).
 N
 
 A
 
 D
 0 t
 A = N x (1 – i)n
EX: Um título no valor de R$ 20.000,00 foi saldado 3 meses antes do vencimento, A taxa de desconto comercial composto aplicada foi de 10% a.m. Qual o valor recebido?
A = N x (1 – i)n
A = 20.000 x (1 – 0,01)3 = 14.580,00
2º) DESCONTO RACIONAL COMPOSTO
 N
 
 Ad
 
 d
 0 t
 
N = A x (1 + i)n A = N/(1 + i)n
EX: Qual o valor atual de um título de valor nominal R$ 11.248,64 descontado racionalmente à taxa composta de 4% a.a., 3 meses antes do vencimento?
A = N/(1 + i)n
A = 11.248,64/(1 + 0,04)3 = 10.000,00
EXERCÍCIOS DE DESCONTOS COMPOSTOS
1 – Um título de valor R$ 10.000,00 foi descontado comercialmente 5 meses antes do vencimento à taxa de desconto composto de 10% a.m. Qual o valor descontado pelo cliente?
2 – Uma duplicata no valor de R$ 5.000,00 é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto e taxa de 20% a.m. Qual o valor do desconto?
3 – Uma empresa tomou emprestado de um banco, por seis meses, a quantia de R$ 10.000,00 à taxa de juros compostos de 12% a.m. No entanto, um mês antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago, se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10% a.m.?
4 – Qual o valor do desconto racional composto de um título no valor de R$ 12.143,00 com prazo para 30 dias e taxa de 5% a.m.?
5 – Um comerciante está de posse de uma nota promissória no valor de R$ 250.000,00 para daqui a três meses. Necessitando resgatá-la agora e sabendo que a taxa de desconto comercial composto é de 10% a.m., qual o valor líquido da promissória?
6 – Qual o valor do desconto composto racional de um título no valor de R$ 20.000,00 com prazo de 30 dias para vencimento e taxa cobrada de 4% a.m.?
RESPOSTAS:
R$ 5.904,90
R$ 1.800,00
R$ 26.728,26
R$ 578,24
R$ 182.250,00
R$ 769,23
IX - SÉRIE UNIFORME COM PRESTAÇÕES IGUAIS
 P
 
 R R R R R
 0 1 2 3 4 5 tempo
R – recebimento e/ou pagamento de prestações com valores iguais;
P – valor atual;
P = R x FRP(i%,n) P = R [(1 + i)n – 1]/[i. (1 + i)n]
S = R x FPS(i%,n) S = R x [(1 + i)n – 1]/i
EX 1: Determine o valor atual para o fluxo de caixa, abaixo, aplicado à uma taxa de 8% a.a.?
 P
 
 80,00 80,00 80,00 80,00 
 0 1 2 3 4 tempo (anos)
 i = 8% a.a.
P = R x FRP (8%,4)
R = 80,00
FRP (8%,4) = 3,31213
P = 264,97
EXERCÍCIOS DE SÉRIE UNIFORME COM PRESTAÇÕES IGUAIS
1 – Um financiamento foi concedido a uma taxa efetiva de 6% a.b., capitalizados mensalmente para ser pago em 12 prestações mensais iguais de R$ 1.000,00. Qual o valor desse financiamento?
2 – Qual o investimento que devemos fazer hoje, a uma taxa de 10% a.a., para podermos receber no final de cada ano R$ 10.000,00 em 8 anos?
3 – Qual o valor das prestações que devem ser pagas em 4 trimestres, à taxa de 32% a.a., cap. trimestralmente e com um principal de R$ 1.000,00?
4 - Uma determinada empresa financia eletrodomésticos em 6 prestações mensais iguais e deseja ter uma taxa efetiva de 4% a.m. Qual o valor dessas prestações para um financiamentode R$ 3.000,00?
5 - Um equipamento foi adquirido em 5 prestações mensais iguais e postecipadas de R$ 100,00. Se a taxa de juros cobrada pelo vendedor é de 24% a.s., capitalizados mensalmente, qual o valor à vista desse equipamento?
RESPOSTAS:
R$ 9.954,00
R$ 53.349,26
R$ 301,92
R$ 572,29
R$ 445,18
X - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Na devolução de um empréstimo cada prestação é composta de duas parcelas:
- uma referente ao pagamento do juros;
- outra referente à cota de amortização.
 Pk = Jk + Ak SDk = SDk-1 – Ak
Onde: 	Jk é o juros calculado sobre o saldo devedor Sk – 1;
Ak é a amortização a ser realizada sobre o saldo devedor Sk – 1, gerando o saldo devedor Sk.
Chamamos de Sistemas de Amortização às diferentes formas de devolução dos empréstimos, como por exemplo: Sistema Francês – Tabela Price; Sistema de Amortização Constante – SAC;
Sistema Americano.
1º) SISTEMA FRANCÊS – TABELA PRICE
- essa forma de amortização é representada por uma série de pagamentos uniformes e periódicos, que podem ser antecipados, postecipados, com ou sem carência, e que tem a prestação constante.
PRINCIPAL CARACTERÍSTICA: prestação constante
EX: Determine a planilha de pagamentos de um empréstimo de R$ 10.000,00 que será devolvido pelo sistema francês em 5 prestações mensais e postecipadas, à taxa composta de 10% a.m.
A planilha deverá conter: o valor da prestação; cotas de juros; amortização e saldo devedor.
 10.000,00
 
 R R R R R
 0 1 2 3 4 5 tempo
 i =10% a.m.
 R = 2.637,97
	K
	PK
	JK
	AK
	SK
	0
	-
	-
	-
	10.000,00
	1
	2.637,97
	1.000,00
	1.637,97
	8.362,03
	2
	2.637,97
	836,20
	1.801,77
	6.560,26
	3
	2.637,97
	656,03
	1.981,94
	4.578,32
	4
	2.637,97
	457,83
	2.180,14
	2.398,18
	5
	2.637,97
	239,82
	2.398,15
	0
	
	
	JT = 3.189,88
	
	
 
CONCLUSÕES SOBRE A TABELA PRICE
- as prestações são fixas; os juros são decrescentes; a amortização é crescente; 
- a última cota de amortização é igual ao valor do penúltimo saldo-devedor.
2º) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC
- nessa forma de amortização, as cotas de amortização são constantes e dadas pelo valor do empréstimo dividido pelo número de prestações.
PRINCIPAL CARACTERÍSTICA: amortização constante
EX: Determine a planilha de pagamentos de um empréstimo de R$ 10.000,00 que será devolvido pelo sistema SAC em 5 prestações mensais e postecipadas, à taxa composta de 10% a.m.
A planilha deverá conter: a amortização; cotas de juros; o valor da prestação e saldo devedor.
 10.000,00
 
 P1 P2 P3 P4 P5
 i =10% a.m.
 0 1 2 3 4 5 tempo
 
	K
	AK
	JK
	PK
	SK
	0
	-
	-
	-
	10.000,00
	1
	2.000,00
	1.000,00
	3.000,00
	8.000,00
	2
	2.000,00
	800,00
	2.800,00
	6.000,00
	3
	2.000,00
	600,00
	2.600,00
	4.000,00
	4
	2.000,00
	400,00
	2.400,00
	2.000,00
	5
	2.000,00
	200,00
	2.200,00
	-
	
	
	JT = 3.000,00
	
	
CONCLUSÕES SOBRE O SAC
- o valor das prestações, juros e saldo-devedor são decrescentes e sob forma de P.A.; 
- o valor da cota de amortização é igual ao valor do penúltimo saldo-devedor.
3º) SISTEMA AMERICANO
- nessa forma de amortização durante todo o período do financiamento são devolvidos somente os juros e na última data ocorre o pagamento do empréstimo acrescido dos juros de um período.
EX: Determine a planilha de pagamentos de um empréstimo de R$ 10.000,00 que será devolvido pelo sistema americano em 5 prestações mensais e postecipadas, à taxa composta de 10% a.m.
A planilha deverá conter: cotas de juros; a amortização; o valor da prestação e saldo devedor.
 10.000,00
 
 P P P P P
 i =10% a.m.
 0 1 2 3 4 5 tempo
 
	 K
	JK
	AK
	PK
	SK
	0
	-
	-
	-
	10.000,00
	1
	1.000,00
	-
	1.000,00
	10.000,00
	2
	1.000,00
	-
	1.000,00
	10.000,00
	3
	1.000,00
	-
	1.000,00
	10.000,00
	4
	1.000,00
	-
	1.000,00
	10.000,00
	5
	1.000,00
	10.000,00
	11.000,00
	-
CONCLUSÕES SOBRE O SISTEMA AMERICANO
- os juros pagos são maiores (JT = 5.000,00);
- o saldo devedor permanece constante (SK = 10.000,00).
EXERCÍCIOS DE SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
1 – Uma pessoa contratou um financiamento de R$ 6.000,00 que será amortizado por meio de 6 prestações mensais postecipadas, segundo o sistema SAC, a uma taxa de juros efetiva composta de 5% a.m. Qual é a soma dos valores das prestações dos três primeiros meses?
2 - Um empréstimo de R$ 200,00 deve ser pago em 10 prestações anuais, pelo método francês de amortização, a uma taxa de 12% a.a. Qual será o valor do saldo devedor, após o pagamento da 5ª prestação?
3 – Um empréstimo no valor de R$ 90.000,00 deverá ser pago em 15 prestações mensais consecutivas, vencendo a primeira trinta dias após a liberação do dinheiro, sem carência, sabendo-se que o financiamento foi feito pelo sistema SAC, a uma taxa de juros compostos de 6% a.m. Qual é o saldo devedor após o pagamento da 14ª prestação?
4 – Um equipamento é vendido através de um financiamento em 12 prestações mensais e iguais, sendo que a loja exige 20% sobre o preço à vista como entrada. A taxa de juros compostos da loja é de 72% a.a., cap. mensalmente, via Tabela Price. A primeira prestação no valor de R$ 500,00 vence 1 mês após a compra. 
a) Qual é o valor do equipamento (desprezar os centavos)?
b) Qual a taxa de juros efetiva cobrada em termos anuais?
5 - Um microcomputador é vendido pelo preço à vista de R$ 2.000,00. Ele pode ser financiado com 20% de entrada a uma taxa de juros de 96% a.a., cap. mensalmente, pela Tabela Price. Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em 5 meses, qual será o total de juros pagos pelo computador?
6 – Um equipamento é vendido por R$ 4,000,00 à vista ou financiado em 5 prestações mensais, sem entrada. A taxa de juros é de 24% a.a., cap. mensalmente, pelo Sistema Price. A primeira prestação vence 1 mês após a compra. Qual é o valor da prestação?
7 – Um determinado bem pode ser adquirido por R$ 1.000,00 à vista ou, alternativamente, por 3 planos de financiamentos, à taxa de 5% a.m., durante 5 meses. Elabore os planos de financiamentos:
a) Tabela Price b) SAC c) Sistema Americano
8 – Um financiamento de R$ 124.622,10 contratado a juros efetivos compostos de 5% a.m., será reembolsado em 20 prestações mensais pelo sistema de amortização francês. Qual é a soma das 18 primeiras prestações?
9 – Uma empresa tomou um empréstimo de R$ 80.000,00 para pagamento pelo SAC, em 40 parcelas mensais, sendo a primeira parcela após o recebimento do empréstimo e com taxa de juros de 1% a.m. Qual é o valor da 35ª parcela?
10 – Um empréstimo de R$ 15.000,00 será pago em doze prestações mensais calculadas pela Tabela Price, sendo que a taxa de juros é de 10% a.m. e a prestação é de R$ 2.201,45. Qual o valor da cota de amortização paga na segunda prestação?
RESPOSTAS:
R$ 3.750,00
R$ 127,57
R$ 6.000,00
a) R$ 5.239,00 b) 101,22%
R$ 403,65
R$848,63
planos
R$ 180.000,00
R$ 2.120,00
R$ 771,60
11 – AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS
�
FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL
	 
n
	1%
	2%
	3%
	4%
	5%
	6%
	7%
	8%
	9%
	10%
	12%
	15%
	18%
	1
	1,010000
	1,020000
	1,030000
	1,040000
	1,050000
	1,060000
	1,070000
	1,080000
	1,090000
	1,100000
	1,120000
	1,150000
	1,180000
	2
	1,020100
	1,040400
	1,060900
	1,081600
	1,102500
	1,123600
	1,144900
	1,166400
	1,188100
	1,210000
	1,254400
	1,322500
	1,392400
	3
	1,030301
	1,061208
	1,092727
	1,124864
	1,157625
	1,191016
	1,225043
	1,259712
	1,295029
	1,331000
	1,404928
	1,520875
	1,643032
	4
	1,040604
	1,082432
	1,125509
	1,169859
	1,215506
	1,262477
	1,310796
	1,360489
	1,411582
	1,464100
	1,573519
	1,749006
	1,938778
	5
	1,051010
	1,104081
	1,159274
	1,216653
	1,276282
	1,338226
	1,402552
	1,469328
	1,538624
	1,610510
	1,762342
	2,011357
	2,287758
	6
	1,061520
	1,126162
	1,194052
	1,265319
	1,340096
	1,418519
	1,500730
	1,586874
	1,677100
	1,771561
	1,973823
	2,313061
	2,699554
	7
	1,072135
	1,148686
	1,229874
	1,315932
	1,407100
	1,503630
	1,605781
	1,713824
	1,828039
	1,948717
	2,210681
	2,660020
	3,185474
	8
	1,082357
	1,171659
	1,266770
	1,368569
	1,477455
	1,593848
	1,718186
	1,850930
	1,992563
	2,143589
	2,475963
	3,059023
	3,758859
	9
	1,093685
	1,195093
	1,304773
	1,423312
	1,551328
	1,689479
	1,838459
	1,999005
	2,171893
	2,357948
	2,773079
	3,171876
	4,435454
	10
	1,104622
	1,218994
	1,343916
	1,480244
	1,628895
	1,790848
	1,967151
	2,158925
	2,367364
	2,593742
	3,105848
	4,045558
	5,233836
	11
	1,115668
	1,243374
	1,384234
	1,539454
	1,710339
	1,898299
	2,104852
	2,331639
	2,580426
	2,857117
	3,478550
	4,652391
	6,175926
	12
	1,126825
	1,268242
	1,425761
	1,601032
	1,795856
	2,012196
	2,252192
	2,518170
	2,812665
	3,138428
	3,895976
	5,350250
	7,287593
	13
	1,138093
	1,293607
	1,468534
	1,665074
	1,885649
	2,132928
	2,409845
	2,719624
	3,065085
	3,452271
	4,363493
	6,152788
	8,599359
	14
	1,149474
	1,319479
	1,512590
	1,731676
	1,979932
	2,260904
	2,578534
	2,937194
	3,341727
	3,797498
	4,887112
	7,075706
	10,147244
	15
	1,160969
	1,345868
	1,557967
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