MATEMÁTICA FINANCEIRA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
CURSO: Tecnologia em Processos Gerenciais
PROFESSOR: Katia Arcaro
E-mail: katia.arcaro@caxias.ifrs.edu.br
2017/1
1 Razões e Proporções
Razão significa divisão entre dois números, a e b 6= 0, onde a é o antecedente e b é o consequente:
a
b
E proporção é a igualdade entre duas razões:
a
b
=
c
d
onde b, d 6= 0.
Na proporção acima, a e d são chamados extremos da proporção, e b e d são chamados meios,
valendo a propriedade de “multiplicar cruzado”:
ad = bc
Ex.: 1.1 A fração 3
4
está em proporção com 6
8
, pois 3× 8 = 4× 6.
Ex.: 1.2 Determinar o valor de x para que a razão x
3
esteja em proporção com 4
6
.
x
3
= 4
6
⇒ 6x = 12⇒ x = 2
1.1 Grandezas Diretamente Proporcionais
Ex.: 1.3 Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a
tabela ao lado. Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra.
Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplica o tempo, a produção também duplica:
5 min —- 100Kg
10 min —- 200Kg
Quando triplica o tempo, a produção também triplica:
5 min —- 100Kg
15 min —- 300Kg
Tempo Produção
(minutos) (Kg)
5 100
10 200
15 300
20 400
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre
os valores da 1a grandeza é igual à razão entre os valores correspondentes da 2a.
Ex.: 1.4 Na tabela do Exemplo 1.3, a razão entre dois valores de uma grandeza é igual à razão
entre os dois valores correspondentes da outra grandeza: 515 =
100
300 =
1
3 .
1.2 Grandezas Inversamente Proporcionais
Ex.: 1.5 Um ciclista faz um treino para a prova de “1000 metros contra
o relógio”, mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo,
assim, um tempo correspondente, conforme a tabela ao lado. Observe
que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são
variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplica a velocidade, o tempo fica reduzido à metade:
5 m/s —- 200s
10 m/s —- 100s
Quando quadriplica a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte:
5 m/s —- 200s
20 m/s —- 50s
Velocidade Tempo
(m/s) (s)
5 200
8 125
10 100
2
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre
os valores da 1a grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2a.
Ex.: 1.6 Na tabela do Exemplo 1.5, a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso
da razão entre os dois valores correspondentes da outra:
5
10 =
1
2 e
200
100 = 2. Assim, para saber em quanto tempo o ciclista percorre a volta a 15m/s,
basta inverter uma das colunas da regra de três:
5
15 =
x
200 ⇒ 15x = 1000⇒ x = 66, 7s
1.3 Exerćıcios
1. Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4 segundos, o disco dá quantas voltas? R.: 3
2. Levo duas horas e meia para percorrer 15km. Se eu tiver quer percorrer 54km, quanto tempo
eu levarei? R.: 9
3. Para encher um tanque de 10 mil litros, leva-se 4 horas. Para abastecer tal tanque com apenas
2500 litros, qual o tempo necessário? R.: 1 hora
4. Um trem com 4 vagões transporta 720 pessoas. Para transportar 1260 pessoas, quantos vagões
seriam necessários? R.: 7 hora
5. Para encher um tanque são necessárias 60 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem usadas
vasilhas de 2 litros cada uma, quantas serão necessárias? R.: 180
6. Pedro deseja realizar sua festa de aniversário e, para isso, irá comprar 30 latas de refrigerante
com capacidade de 200 ml cada uma, no intuito de evitar desperd́ıcio. Caso ele opte por
comprar latas de 600 ml, quantas ele deverá comprar para manter a quantidade de bebida?
R.: 10
7. Se 5 operários levantam um muro em 10 dias, quantos operários serão necessários para levantar
o mesmo muro em 2 dias? R.: 25
8. Um certo volume de medicação demora 6 horas para ser ministrado em um gotejamento de
12 gotas por minuto. Se o número de gotas por minuto fosse de 18 gotas, quanto tempo teria
demorado a aplicação desta mesma medicação? R.: 4
9. Utilizando copos descartáveis de 175ml, eu consigo servir 12 pessoas. Se eu utilizar copos de
150 ml, quantas pessoas eu conseguirei servir com este mesmo volume de bebida? R.: 14
10. O volume de um paraleleṕıpedo retângulo é 1620m3. Calcular as arestas sabendo que estas
são proporcionais aos números 3, 4 e 5. R.: 9, 12 e 15
11. Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número
total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam
sem par? R.: 5
12. Se R$1.200, 00 deve ser dividido em 3 partes diretamente proporcionais a 3, 4 e 5; qual o valor
de cada parte? R.: 300, 400 e 500
13. Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os
números x e y. R.: x = 10, y = 18
3
2 Porcentagem
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal.
Ex.: 2.1 7
100
, 16
100
, 125
100
, 210
100
Pode-se representar uma razão centesimal de outras formas:
• 7
100
= 0, 07 = 7% (lê-se “sete por cento”)
• 16
100
= 0, 16 = 16% (lê-se “dezesseis por cento”)
• 125
100
= 1, 25 = 7% (lê-se “cento e vinte e cinco por cento”)
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
Ex.: 2.2 Em uma obra, a média de perda de azulejos com quebras indesejadas é de 3%. Em um
edif́ıcio onde se compraram 50 caixas de azulejos, quantas, aproximadamente serão perdidas?
3
100
= x
50
⇒ 100x = 150⇒ x = 1, 5 caixas, aproximadamente.
2.1 Exerćıcios
1. Calcule: R.: a) 12 b) 21 c) 67,5 d) 40
a) 15% de 80 b) 70% de 30 c) 150% de 45 d) 100% de 40
2. Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem. R.: 75%
3. 30% da população de uma cidade mora na área central e os demais 337.799 habitantes moram
no interior. Quantas pessoas moram na cidade? R.: 144.771 pessoas
4. Do meu salário R$1.200, 00 tive um desconto total de R$240, 00. Este desconto equivale a
quantos por cento do meu salário? R.: 20%
5. Ao comprar um produto que custava R$1.500, 00 obtive um desconto de 12%. Quanto acabei
pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido? R.: 12%, R$180, 00
6. Do meu salário ĺıquido dedico: 25% ao aluguel, 30% à alimentação, 5% à compra de medica-
mento, 15% pagamento de mensalidades e o resto que me sobra é R$550, 00 para lazer. De
quanto é o salário? R.: R$2.200
7. O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido
à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre
o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido? R.: 13, 2%
8. Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido
toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso,
por ter levado gelo a preço de frango? R.: 69, 4%
9. Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$2.204, 00 pelo mesmo. Sabe-se que
foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o
guarda-roupa teria sáıdo por R$1.972, 00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido? R.:
15%
4
3 Juros e Descontos Simples
Seguem algumas definições:
• Capital (C): é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido
como: Principal (P ), Valor Atual (V A), Valor Presente (V P ), Presente Valor (PV ) ou Valor
Aplicado.
• Juros (J): representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva.
Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
– JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital
inicial emprestado ou aplicado.
– JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo
no ińıcio de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é
incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. A Seção 4 ocupa-se desse
tipo de regime de capitalização.
O juro é a remuneraçãopelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. O tempo, o risco e
a quantidade de dinheiro dispońıvel no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a
remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
• Taxa de juros (i): indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um deter-
minado peŕıodo. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especi-
ficação do peŕıodo de tempo a que se refere:
* 8% a.a. - (a.a. significa ao ano)
* 10% a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual
dividida por 100, sem o śımbolo %:
* 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês)
* 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre).
• Montante (M): capital acrescido dos juros (M = C + J).
• Desconto (d): é o abatimento no valor de uma d́ıvida quando negociada antes da data do
vencimento. O desconto também pode ser simples ou composto, sendo este último abordado
no próximo caṕıtulo
Obs.: Em matemática financeira, costuma-se adotar, para o peŕıodo de um mês, o chamado
mês comercial com 30 dias.
3.1 Juros Simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal.
Sobre os juros gerados a cada peŕıodo não incidirão novos juros. Valor Principal ou Capital(C) é o
valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros.
J = C × i× n ou M = C(1 + i× n)
onde: J = juros, C = capital, i = taxa de juros, n = número de peŕıodos e M é o montante.
5
Ex. 1: Tem-se uma d́ıvida de R$1.000, 00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime
de juros simples e deve-se pagá-la em 2 meses. Os juros pagos serão: J = 1000× 0.08× 2 = 160
Ao somar os juros ao valor principal tem-se o montante: M = C + C × i× n = C × (1 + (i× n)).
Neste caso, M = 1.000 + 160 = 1.160, 00.
Ex. 2: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000, 00 à taxa de 10, 5% a.a. durante
145 dias.
A taxa i e o peŕıodo n precisam estar na mesma unidade de tempo; 145 dias correspondem a 145/360
anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
Assim, o montante é dado por: M = C × (1 + (i × n)) = 70.000[1 + (10, 5/100) × (145/360)] =
R$72.960, 42.
3.1.1 Taxas Proporcionais
A conversão de taxas de juros simples de uma unidade de tempo para outra leva em conta a
proporcionalidade das taxas: it = 3× im, ia = 12× im, im = 30× id, e assim por diante.
3.2 Descontos Simples
Desconto é o abatimento no valor de um t́ıtulo de crédito quando o mesmo é resgatado antes do
vencimento do compromisso.
O valor do t́ıtulo no dia do vencimento é chamado de Valor Nominal (N) e este vem declarado
no mesmo.
O valor do t́ıtulo em uma data anterior ao vencimento da fatura é chamado de Valor Atual
(V A). O valor atual é menor que o valor nominal, já que o valor atual de um t́ıtulo qualquer é a
diferença entre o valor nominal (valor do t́ıtulo) e seu respectivo desconto.
Existem dois tipos de descontos simples: o desconto racional (ou por dentro), dr, e o des-
conto comercial (ou por fora), dc, que é o de fato utilizado.
Assim: V A = N − dc ou V A = N − dr.
Obs.: No desconto simples, assim como nos juros simples, as taxas em diferentes unidades de
tempo são proporcionais. Por exemplo, i = 2%am equivale a i = 24%aa e assim por diante.
3.2.1 Desconto Comercial
Também chamado de desconto por fora, comercial, ou desconto bancário (dc), pode ser definido
como aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do t́ıtulo, levando-se em conta
o capital principal como valor nominal N .
dc = N × i× n
onde i é a taxa de desconto e n é o tempo decorrido (a unidade de tempo da taxa de desconto
e de n deve ser a mesma).
3.2.2 Desconto Racional
É chamado de desconto racional, ou por dentro, o abatimento calculado com a taxa de desconto
incidindo sobre o valor atual do t́ıtulo.
6
dr = V A× i× n =
N × i× n
1 + i× n
já que N = V A + V A× i× n = V A(1 + i× n); i é a taxa de desconto e n é o tempo decorrido (a
unidade de tempo da taxa de desconto e de n deve ser a mesma).
Ex. 3: Uma fatura foi paga 30 dias antes do vencimento do prazo para pagamento. Calcule
o valor do desconto, com uma taxa de 45% aa, sabendo-se que o valor da fatura era no valor de
R$25.000, 00.
N = 25000, i = 45% aa = 0,45
360
ad, n = 30:
dc = 25000× 0,45360 × 30 = R$937, 50.
Ex. 4: A que taxa anual foi calculado o desconto simples de R$5.000, 00 sobre um t́ıtulo de
R$35.000, 00, pago antecipadamente em 8 meses ?
N = 35000, i = ?, n = 8 meses, dc = 5.000, 00:
5.000 = 35.000× i× 8⇒ i = 0, 018 am
ia = 0, 018× 12 = 0, 214am = 21, 4%am.
Ex. 5: Calcular o valor do desconto por dentro de um t́ıtulo de R$16.000, 00 pago 3 meses
antes do vencimento com uma taxa de 24% a.a.
N = 16.000, i = 24% aa = 2% am, n = 3 meses:
dr =
16.000×0,02×3
1+0,02×3 = R$905, 66
3.3 Exerćıcios
1. Calcular os juros simples de R$1200, 00 a 13% a.t. por 4 meses e 15 dias. R.: R$234, 00
2. Calcular os juros simples produzidos por R$40.000, 00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante
125 dias. R.: R$5000, 00
3. Qual o capital que aplicado a juros simples de 1, 2% a.m. rende R$3.500, 00 de juros em 75
dias? R.: R$116.666, 67
4. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar
um capital aplicado através de capitalização simples? R.: 8 meses
5. Qual o valor atual de um t́ıtulo de uma empresa no valor de R$15.000, 00 a 2% a.m, descontado
a juros simples 6 meses antes do prazo do seu vencimento? R.: R$13.200, 00
6. Um t́ıtulo de valor nominal de R$25.000, 00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à
taxa de juros simples de 2, 5% ao mês. Qual o desconto racional? Qual o desconto bancário
(comercial)?R.: R$1.190, 48 e R$1.250, 00
7. Qual o valor do desconto comercial simples de um t́ıtulo de R$3.000, 00, com vencimento para
90 dias, à taxa de 2, 5% ao mês? R.: R$225, 00
8. Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal
é de R$1.000, 00 e o valor ĺıquido de R$880, 00? R.: 3% am
7
9. Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco
à taxa de desconto simples bancário (comercial) de 3% ao mês. Qual o valor ĺıquido recebido
pela empresa? R.: R$8.237, 50
Borderô de Cobrança Valor (R$) Prazo (vencimento)
A 2.500 25 dias
B 3.500 25 dias
C 2.500 45 dias
10. Calcular o valor ĺıquido de um conjunto de duplicatas descontadas a juros simples de 2, 4%
ao mês, conforme o borderô a seguir: R.: R$11.868, 00
Borderô de Cobrança Valor (R$) Prazo (vencimento)
A 6.000 15 dias
B 3.500 25 dias
C 2.500 45 dias
11. Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$9.800, 00,
que sofreu um desconto simples de R$448, 50, à taxa de 18% ao ano. R.: 92 dias
8
4 Juros e Descontos Compostos
No regime de juros compostos, o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial
e passa a render juros também, o que não acontece nos juros simples. Esta seção abordará as
definições e considerações acerca de juros compostos e, em seguida, do desconto composto, bem como
as diferentes taxas de juros com que o sistema financeira trabalha neste regime de capitalização.
4.1 Juros Compostos
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para
cálculos de problemas do dia-a-dia. Quando não especificado o sistema de aplicação de
juros, assume-se que é o composto. No regime de juros compostos, os juros gerados a cada
peŕıodo são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do peŕıodo seguinte.
Chama-se de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, tem-se:
* 1o mês: M = C × (1 + i)
* 2o mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C × (1 + i)× (1 + i)
*3o mês: o principal é igual aomontante do mês anterior: M = C × (1 + i)× (1 + i)× (1 + i).
Simplificando, obtem-se a fórmula:
M = C × (1 + i)n
Obs.: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros
ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do peŕıodo:
J = M − C
Ex. 1: Calcule o montante de um capital de R$6.000, 00, aplicado a juros compostos, durante
1 ano, à taxa de 3, 5% ao mês.
Como C = R$6.000, 00, t = 1 ano = 12 meses, i = 3, 5% a.m. = 0,035:
M = 6000× (1 + 0, 035)12 = 6000× (1, 035)12 = R$9.054, 00
4.1.1 Taxas Equivalentes
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo peŕıodo de
tempo, através de diferentes peŕıodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia. O montante M ao final do peŕıodo
de 1 ano será igual a M = C(1 + ia).
Conside agora, o mesmo capital C aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im. O montante
M ′ ao final do peŕıodo de 12 meses será igual a M ′ = C(1 + im)
12.
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deve-se ter M = M ′: C(1 + ia) = C(1 + im)
12;
assim:
1 + ia = (1 + im)
12
Com esta fórmula pode-se calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida ou
vice-versa.
9
Ex. 2: Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
Um ano tem dois semestres, então 1 + ia = (1 + is)
2 ⇒ 1 + ia = 1, 082 ⇒ ia = 0, 1664 = 16, 64%
a.a.
Ex. 3: Qual a taxa anual equivalente a 0, 5% ao mês?
1 + ia = (1 + im)
12 ⇒ 1 + ia = (1, 005)12 ⇒ ia = 0, 0617 = 6, 17% a.a.
4.2 Descontos Compostos
Da Seção 4.1, tem-se que M = C × (1 + i)n, onde M é o montante de um capital C aplicado
n peŕıodos à taxa i. No cálculo do desconto composto, usualmente troca-se o montante, M , por
valor Nominal, N , ou Futuro Valor, FV , e o Capital, C, ou Principal, P , por Valor Atual, V A.
Independente de nomenclaturas, a fórmula do desconto (racional) composto é a mesma do juro
composto: V A = FV
(1+i)n
, ou ainda
V A = FV (1 + i)−n
Obs.: Nos descontos compostos a conversão de taxas equivalentes dá-se como nos juros com-
postos (ver Subseçao 4.1.1).
Ex. 4: Deseja-se resgatar um t́ıtulo com valor nominal de R$8.000, 00, faltando 2 meses para o
seu vencimento. Determine o valor atual, sabendo que a taxa de desconto é igual a 3% ao mês.
N = 8.000, i = 3%, n = 2, V A = ?
8.000 = V A(1, 03)−2 ⇒ V A = 8.000/1, 0609 = 7540, 80
O valor atual do t́ıtulo será de R$7.540, 80.
4.3 Diferentes Taxas de Juros Compostos
Até então falou-se em “taxas de juros compostos”sem especificar o tipo de taxa a que se estava
referindo. Neste caso, admite-se que a taxa seja a taxa efetiva, mas existem outros tipos de taxas
de juros que são aplicadas a diferentes situações no mercado financeiro. Algumas delas são, além
da efetiva, a taxa nominal, a taxa real e a taxa aparente.
4.3.1 Taxa Efetiva
A taxa Efetiva é quando o peŕıodo de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com
aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 1% ao mês com capitalização mensal;
- 10% ao semestre com capitalização semestral;
- 12% ao ano com capitalização anual.
4.3.2 Taxa Nominal
A taxa nominal é quando o peŕıodo de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide
com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 24% ao semestre com capitalização mensal; corresponde a uma taxa efetiva de 4% am;
- 115% ao ano com capitalização mensal; corresponde a uma taxa efetiva de 9, 58% am;
- 30% ao ano com capitalização trimestral; corresponde a uma taxa efetiva de 7, 5% at.
10
4.3.3 Taxa Real e Taxa Aparente
A Taxa Aparente é a taxa efetiva de juros em que não são considerados os efeitos da inflação dentro
de uma operação financeira, ou seja, se a inflação for zero, tanto a taxa aparente, quanto a taxa
real serão iguais.
A taxa real é a taxa aparente descontada a inflação do peŕıodo. A taxa real reflete com maior
precisão o ganho real de um investimento por considerar a perda com a desvalorização causada pela
inflação do peŕıodo. Existe uma relação matemática entre a taxa aparente, taxa real e inflação.
(1 + ia) = (1 + ir)(1 + ii)
em que ia = taxa aparente; ir = taxa real; ii = inflação.
Quando mais de uma taxa de juro composto (todas sobre o mesmo peŕıodo) incidir sobre um
mesmo montante, pode-se desejar calcular a taxa acumulada:
(1 + iac) = (1 + i1)(1 + i2)...(1 + in)
Obs.: Note, então, que a taxa aparente é uma acumulação das taxas real e inflacionária.
Ex. 5: Após 15 meses um investidor teve 21% de rendimento. Sabendo que nesse peŕıodo a
inflação foi de 9%, qual foi a taxa real do investimento?
(1 + 0, 21) = (1 + ir)(1 + 0, 09)⇒ (1 + ir) = 1,211,09 ⇒ ir = 1, 11− 1⇒ ir = 0, 11⇒ ir = 11%
Ex. 6: Aplicados R$16.000, 00, ao final de 3 meses resgatou-se R$17.789, 64. Se a inflação neste
peŕıodo foi de 2% no primeiro mês, 1, 5% no segundo mês e 1, 2% no terceiro, calcular a taxa mensal
de ganho real.
Primeiramente, pode-se calcular a inflação acumulada nestes 3 meses:
(1 + iiac) = (1 + 0, 02)(1 + 0, 015)(1 + 0, 012) = 1, 0477236⇒ iiac = 0, 0477236 (nos 3 meses).
Agora, pode-se proceder de duas formas diferentes: ou 1) antes se calcula a taxa aparente para
depois calcular a taxa real, ou 2) abate-se a inflação para obter-se a taxa real de ganho.
1) M = C(1 + ia)⇒ 17.789,6416.000 = 1 + ia ⇒ ia = 0, 1118525at
(1 + ia) = (1 + ir)(1 + iiac)⇒ (1 + 0, 1118525) = (1 + ir)(1 + 0, 0477236)⇒ ir = 0, 06121at
(1 + it) = (1 + im)
3 ⇒ im = 2%am
2) M = C(1 + iiac)⇒M = 16.000(1 + 0, 0477236) = 16.763, 58
M = C(1 + ir)⇒ 17.789, 64 = 16.763, 58(1 + ir)⇒ ir = 1, 06121at ⇒ im = 2%am
4.4 Exerćıcios
1. Um capital de R$51.879, 31 aplicado por 6 meses resultou em R$120.000, 00. Qual a taxa
efetiva ganha? R.: 15% am
2. Qual a taxa anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses? R.:
21, 9% aa
3. Em quanto tempo triplica um capital que rende à taxa de 3%aa? R.: 37,17a ou 37a2m
4. Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de R$2.000, 00 contratado à taxa
nominal de 60%aa, capitalizada mensalmente, pelo prazo de 25 dias. R.: 82,99
11
5. Em que prazo um capital de R$18.000, 00 acumula um montante de R$83.743, 00 à taxa efetiva
de 15% am? R.: 11 meses
6. Determine o capital que aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% am produz
um montante que excede em R$500, 00 o montante que seria obtido se o mesmo capital fosse
aplicado pelo mesmo prazo a juros simples de 4% am. R.: 102.796,05
7. Um capital de R$4.000, 00 foi aplicado dividido em duas parcelas, a primeira à taxa efetiva de
6% at e a segunda a 2% am. Se após 8 meses os montantes de ambas as parcelas se igualam,
determinar o valor de cada parcela. R.: 2.003,04 e 1.996,96
8. Na compra de um bem cujo valor à vista é de R$140, 00, deve-se pagar uma entrada mais
duas prestações de R$80, 00 no fim dos próximos 2 meses. Considerando uma taxa nominal
de juros de 60%at, capitalizada mensalmente, qual o valor da entrada? R.: 17,78
9. (CESPE - CEF 2010) Se a quantia de R$5.000, 00, investida pelo peŕıodo de 6 meses, produzir
o montante de R$5.382, 00, sem se descontar a inflação verificada no peŕıodo, e se a taxa de
inflação no peŕıodo for de 3, 5%, então a taxa real de juros desse Investimento no peŕıodo será
de R.: b
(A) 4, 5% (B) 4% (C) 3, 5% (D) 3% (E) 2, 5%
10. Aplicou-se R$5.000, 00 e após 5 meses, estavam dispońıveis para resgate R$5.400, 00. Se a
inflação mensal neste peŕıodo foi de 2, 3%am, qual a taxa mensal de juro real? R.: −0, 732%am
11. Uma empresa pretende comprar um equipamento que custará R$100.000, 00 daqui a 4 anos
com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os
juros ganhos forem de: R.: a) 14.149,62, b) 46.502,19, c) 28.840,58, d) 41,73
a) ief = 13%at b) ir = 18%aa com inflação de 2%, 2, 5%, 3% e 3% em cada ano
c) ir =14%as com inflação de 5%aa d) ir = 12%am com inflação de 5%am
12. Por um equipamento de R$360.000, 00 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos
mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento for de R$180.000, 00 e a taxa de juros efetiva
aplicada, de 33, 1% at, calcular o valor do segundo pagamento. R.: 150.480,00
13. Um capital de R$50.000, 00 rendeu R$1.000, 00 em um determinado prazo. Se o prazo fosse
dois meses maior, o rendimento aumentaria em R$2.060, 40. Calcular a taxa de juros efetiva
ao mês ganha pela aplicação e o prazo em meses. R.: 2% am; 1 mês
14. Calcular o rendimento de um capital de R$7.000, 00 aplicado à taxa efetiva de 1% am no
peŕıodo compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano. (Considere ano civil entre
as datas). R.: 150,18
15. Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do
mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? R.: 13, 5% am
16. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% aa. Se os juros ganhos forem de
R$27.473, 00, sobre um capital investido de R$83.000, 00, quanto tempo o capital ficará apli-
cado? R.: 3 anos
17. Quanto tempo deve transcorrer para que a relação entre um capital de R$8.000, 00, aplicado
a juros nominais de 24% as, capitalizados mensalmente, e seu montante seja igual a 4/10? R.:
23,36m ou 23m11d
12
5 Equivalência de Capitais
O conceito de equivalência de capitais permite transformar formas de pagamentos (ou recebimentos)
em outras equivalentes e, consequentemente, efetuar comparações entre alternativas.
Ex. 1: Um imóvel valorizando a uma taxa de 2% a.m. valerá $1.500.000, 00 daqui a três meses;
a quanto vale hoje?
V A = 1.500.000(1 + 0, 02)−3 = 1.413.483, 50.
Consideremos os capitais nos tempos k = {0, 1, 2, ..., n}: y0, y1, y2,..., yn. O valor atual desse
conjunto, aplicados a uma taxa i, é a soma dos valores equivalentes desses capitais na data inicial:
V A = y0 + y1(1 + i)
−1 + y2(1 + i)
−2 + ... + yn(1 + i)
−n
Esse tipo de equiparação de capitais é útil para efetuar comparações e analisar a viabilidade de
negócios.
Ex. 2: Um prédio é vendido por $5.000.000, 00 à vista ou, então, a prazo, em três parcelas
mensais de $1.700.000, 00 cada uma, sem entrada, à taxa de 2% a.m. Qual a melhor alternativa
para o comprador se ele tem fundos suficientes para pagar à vista?
Neste caso, usa-se o desconto composto (Subseção 4.2) para trazer as três parcelas para o presente
e comparar com o valor que está sendo cobrado à vista:
V A = 1.700.000(1 + 0, 02)−1 + 1.700.000(1 + 0, 02)−2 + 1.700.000(1 + 0, 02)−3
= 1.666.666, 67 + 1.633.986, 93 + 1.601.947, 97 = 4.902.601, 56
Como o valor a prazo é menor que o valor à vista, comprar nessas três prestações é mais vantajoso.
Em geral, a equivalência de capitais não precisa ser feita a partir do valor atual. O
importante é que todos os capitais sejam levados ao mesmo peŕıodo para comparação direta.
5.1 Exerćıcios
1. (Fiscal SEFAZ PI - 2002 [ESAF]) José tem uma d́ıvida a ser paga em três prestações. A
primeira prestação é de R$980, 00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de
R$320, 00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$420, 00 e deve ser paga
ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao mês. José,
contudo, propõe ao credor saldar a d́ıvida, em uma única prestação ao final do décimo segundo
mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o credor aceitar a proposta,
então José pagará nesta única prestação o valor de: R.: e
a) R$1.214, 91 b) R$2.114, 05 c) R$2.252, 05 d) R$2.352, 25 e) R$2.414, 91
2. (Prefeitura de Fortaleza 2003 [ESAF]) Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de
juros compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$100.000, 00 que venceu há um ano
mais um capital de R$110.000, 00 que vai vencer daqui a seis meses? R.: c
a) R$210.000, 00 b) R$220.000, 00 c) R$221.000, 00 d) R$230.000, 00 e) R$231.000, 00
3. (STN 2005 [ESAF]) Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois
pagamentos. Uma entrada de R$20.000, 00 e uma parcela de R$20.000, 00 seis meses após a
entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$17.000, 00, que deverá ser
13
pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então,
sem considerar os centavos, o valor da entrada deverá ser igual a: R.: b
a) R$23.455, 00 b) R$23.250, 00 c) R$24.580, 00 d) R$25.455, 00 e) R$26.580, 00
4. (AFRFB 2005 [ESAF]) Ana quer vender um apartamento por R$400.000, 00 à vista ou finan-
ciado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo está interessado em
comprar esse apartamento e propõe à Ana pagar os R$400.000, 00 em duas parcelas iguais,
com vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses
e a segunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem
considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: R.: a
a) R$220.237, 00 b) R$230.237, 00 c) R$242.720, 00 d) R$275.412, 00 e) R$298.654, 00
5. Edgar precisa resgatar dois t́ıtulos. Um no valor de R$50.000, 00 com prazo de vencimento
de dois meses, e outro de R$100.000, 00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo
condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois
t́ıtulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto
comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo t́ıtulo, sem considerar os centavos,
será igual a: R.: a
a) R$159.523, 00 b) R$159.562, 00 c) R$162.240, 00 d) R$162.220, 00 e) R$163.230, 00
6. (SEFAZ 2006 [FCC]) Dois t́ıtulos cujos valores nominais são R$16.500, 00 e R$26.620, 00,
venćıveis no fim de 1 ano e 3 anos, respectivamente, serão substitúıdos por um único t́ıtulo
equivalente, vencendo no final de 2 anos. Adotando a operação do desconto racional composto
à taxa de juros compostos de 10% ao ano, o valor nominal deste único t́ıtulo é: R.: b
(A) R$39.200, 00 (B) R$42.350, 00 (C) R$44.165, 00 (D) R$44.770, 00 (E) R$47.432, 00
7. (TRE AM 2010 [FCC]) Uma pessoa deve para um banco a quantia de R$929, 70. Não tendo
recursos para pagar a d́ıvida à vista, faz um acordo com o banco para pagá-la em duas
prestações de valores iguais, venćıveis em 30 e 60 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa
de juros compostos cobrada pelo banco é de 5% ao mês, o valor das parcelas é, em reais e
considerando duas casas decimais, R.: c
(A) 464,85 (B) 488,09 (C) 500,00 (D) 511,34 (E) 516,50
8. (SERPRO 2008 [CESPE]) Uma loja de eletrônicos anunciou um televisor de plasma no valor
de R$6.000, 00 e ofereceu a um cliente três opções de pagamento para a compra do televisor:
R.: Errado, Certo, Certo
I à vista com 12% de desconto;
II em duas prestações mensais iguais e consecutivas, sem desconto, a primeira vencendo um
mês após a compra;
III em três prestações mensais iguais e consecutivas, sem desconto, a primeira vencendo no
ato da compra.
A propósito dessa situação, tomando 0,91 e 0,83 como os valores aproximados de 1, 1−1 e
1, 1−2, respectivamente, e sabendo que o cliente consegue aplicar seu capital a juros compostos
mensais de 10%, julgue os itens seguintes.
101. A opção I é a mais vantajosa para o cliente.
102. A opção menos vantajosa para o cliente é a opção III.
103. Se o cliente escolher a opção II e aplicar, no ato da compra, um capital de R$2.730, 00,
então, um mês após a compra, o montante auferido será suficiente para pagar a primeira
prestação.
14
9. Numa loja de véıculos usados, são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um
carro: Plano A - dois pagamentos, um de $1.500, 00 no final do sexto mês e outro de $2.000, 00
no final do décimo segundo mês. Plano B - três pagamentos iguais de $1.106, 00 de dois em
dois meses, com ińıcio no final do segundo mês. Sabendo-se que a taxa dejuros do mercado
é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento? R.: VPL A: 2.434,66 e VPL B: 2.842,06
10. Um certo equipamento é vendido à vista por $50.000, 00 ou a prazo, com entrada de $17.000, 00
mais três prestações mensais iguais a $12.000, 00 cada uma, vencendo a primeira um mês após
a entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a taxa é de 5% a.m.? R.: VP B:
49.678,97
11. Um equipamento pode ser adquirido pelo preço de $50.000, 00 à vista ou, a prazo conforme
o seguinte plano: Entrada de 30% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a primeira de
$22.500, 00, venćıveis em quatro e oito meses, respectivamente. Sendo 3% a.m. a taxa de
juros do mercado, calcule o valor da última parcela. R.: 19.013,00
12. Uma loja vende determinado tipo de televisor nas seguintes condições: $400, 00 de entrada,
mais duas parcelas mensais de $400, 00, no final de 30 e 60 dias respectivamente. Qual o valor
à vista do televisor se a taxa de juros mensal é de 3%? R.: 1.165,38
15
16 
 
6 Rendas ou Anuidades 
 
Uma anuidade consiste numa série de pagamentos (ou recebimentos) realizados em épocas distintas, 
destinados a amortizar uma dívida ou constituir um fundo e reserva. 
 
Se estes pagamentos ou recebimentos são periódicos e constantes, a renda chama-se renda 
uniforme. Se o número de pagamentos puder ser considerado infinito, então a renda é chamada perpétua. 
 
As rendas ou anuidades podem ser: 
 
i) Imediatas (ou postecipadas): os pagamentos ocorrem imediatamente após cada período (no fim de cada 
período). 
 
 
 
ii) Antecipadas: os pagamentos ocorrem no início de cada período. 
 
 
 
iii) Diferidas (ou com carência): uma renda diferida de m períodos é a que o primeiro pagamento ocorre ao 
final de m+1 períodos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1 Presente Valor ou Valor Atual de uma Renda Uniforme (PV) 
 
É igual à soma dos valores atuais de seus termos (pagamentos). 
 
Supondo uma Renda Unitária Imediata, seu presente valor (An) é dado 
por : 
 
�� =
��(���)��
�
 ou �� =
(���)���
�(���)�
 
 
 
 
O presente valor da renda unitária pode ser utilizado para obter o PV 
de qualquer renda uniforme. 
17 
 
6.1.1 PV de uma renda imediata (ou postecipada): 
 
�� = ��� × �� 
O PV equivale a substituir os n pagamentos por um único, com vencimento no período imediatamente 
anterior ao do primeiro pagamento. 
 
Ex. 1) Qual o valor da prestação de um financiamento de R$10.000 a ser pago em 20 prestações mensais 
iguais, sendo a primeira após 30 dias do empréstimo, e com uma taxa de juros de 2% ao mês? 
 
��� =
(���,��)����
�,��(���,��)��
= 16,35 e 10.000 = PMT x 16,35 => PMT = 611,57 
 
Ex. 2) Quanto deverá aplicar uma pessoa que deseja receber como retorno,12 parcelas mensais de R$1.800, 
sendo a primeira um mês após a aplicação, e sabendo que a taxa de juros é de 1,2% ao mês? 
 
��� =
(���,���)����
�,���(���,���)��
= 11,11 e PV = 1.800 x 11,11 = 20.005,46 
 
6.1.2 PV de uma renda antecipada: 
 
�� = ���(���� + 1) 
 
Ex. 3) Qual a prestação de um financiamento de R$10.000 a ser pago 
em 20 prestações mensais iguais, sendo a primeira como entrada, e 
com uma taxa de juros de 3% ao mês? 
 
��� =
(���,��)����
�,��(���,��)��
= 14,32 e 10.000 = PMT x (14,32 + 1) => PMT = 652,58 
 
Ex. 4) Qual o valor a vista de uma mercadoria vendida a prazo em 8 prestações mensais de R$160,00, sendo 
a primeira de entrada, sabendo que a taxa de juros usada é de 2,2% ao mês? 
 
�� =
(���,���)���
�,���(���,���)�
= 6,42 e PV = 160 x (6,42 + 1) = 1.187,60 
 
6.1.3 PV de uma renda diferida m períodos (ou com carência de m períodos): 
 
A renda diferida é aquela cujo presente valor é calculado antes do 
início de renda. Se a renda for postecipada: 
 
�� = ��� × �� × (1+ �)
�� 
Obs.: Se a renda for antecipada, então, tem-se 
 
 �� = ��� × (���� + 1) × (1 + �)
�� 
que é o mesmo que uma renda postecipada de carência m-1 períodos: 
 
�� = ��� × �� × (1+ �)
�(���) 
 
Ex. 5) Uma empresa comprou uma máquina e financiou o seu valor em 6 prestações mensais de R$15.000 
cada, com 3 meses de carência. Se a taxa cobrada no financiamento é de 8%a.m., qual o valor da máquina à 
vista? 
 
�� =
(���,��)���
�,��(���,��)�
= 4,62 e PV = 15.000 x 4,62 x (1 + 0,08)-3 = 55.046,86 
 
 
 
18 
 
6.1.4 PV de uma perpetuidade 
 
�� =
���
�
 
 
Ex. 6) Que capital deverá ter uma pessoa que deseja uma renda mensal perpétua de R$2.000, sabendo-se 
que a taxa de juros paga é de 1% ao mês? 
 
�� =
�.���
�,��
 = 200.000. Ou seja, uma pessoa com capital de $200.000 que aplicá-lo a 1% ao mês, terá uma 
renda perpétua de $2.000 mensais. 
 
 
6.2 Presente Valor de uma renda de fluxo não uniforme 
 
O presente valor de um fluxo não uniforme pode ser calculado achando-se o presente valor de cada fluxo 
individualmente, e somando-se depois todos os valores encontrados. 
 
Ex. 7) Calcule o presente valor do seguinte fluxo de caixa, considerando uma taxa de juros de 10% a.p. 
 
PV1 = 100 x (1 + 0,1)-1 = 90,9 
PV2 = 170 x (1 + 0,1)-2 = 140,5 
PV3 = 200 x (1 + 0,1)-3 = 150,3 
PV4 = 140 x (1 + 0,1)-4 = 96,6 
PV = PV1 + PV2 + PV3 + PV4 = 477,3 
 
 
6.3 Futuro Valor ou Montante de uma Renda Uniforme (FV) 
 
É a soma dos montantes dos depósitos calculados a partir da data do primeiro até o último depósito. 
 
Supondo uma Renda Unitária Imediata, seu Futuro valor (Sn) é dado por : 
 
�� =
(1 + �)� − 1
�
 
 
O futuro valor da renda unitária pode ser utilizado para obter o FV de 
qualquer renda uniforme. 
 
 
6.3.1 FV de uma renda imediata (ou postecipada): 
 
�� = ��� × �� 
 
O futuro valor de uma renda substitui os n depósitos por um único com 
vencimento na data do último. 
 
Ex. 8) Quanto deverá depositar por mês uma pessoa que deseja obter R$100.000 daqui a 12 meses 
aplicando o dinheiro a uma taxa de 1,5% ao mês, considerando que o resgate ocorrerá no momento da 
última parcela? 
 
��� =
(���,���)����
�,���
= 13,04 e 100.000 = PMT x 13,04 => PMT = 7.668 
 
Ex. 9) Uma instituição de previdência privada utiliza-se das seguintes taxas de juros: paga 0,95% ao mês 
sobre os depósitos (contribuições) feitos pelos seus clientes e paga 0,45% ao mês sobre o capital acumulado 
19 
 
para compor a renda vitalícia (aposentadoria) deles. De quanto deverá ser a aposentadoria de uma pessoa 
que contribui com R$66,36 no fim de cada mês durante 35 anos? 
 
�� =
(���,����)�����
�,����
= 5.478,57. Portanto, o valor acumulado ao longo dos 35 anos é de 
 
FV = 66,36 x 5.478,57 = 363.557,68. 
 
Logo, a aposentadoria será de PMT = 363.557,68 x 0,0045 = 1.636,00 
 
 
6.3.2 FV de uma renda antecipada: 
 
�� = ��� × �� × (1 + �) 
 
Ex. 10) Se eu depositar num fundo de investimentos, no início de cada 
mês, R$1.500, durante 10 meses, quanto terei no final do décimo mês, se 
o fundo remunera a uma taxa de 0,8% ao mês? 
 
��� =
(���,���)����
�,���
= 10,37 e FV = 1.500 x 10,37 x (1 + 0,008) = 15.676,10 
 
 
Exercícios: 
 
1) Você está fazendo uma poupança pois precisa ter $150.000,00 daqui a 8 anos para comprar uma casa. 
Quanto você deve depositar anualmente num investimento de renda fixa que rende 15% ao ano, 
considerando que o seu primeiro depósito ocorrerá exatamente daqui a um ano, e todos estes depósitos 
anuais serão do mesmo valor? R.: $10.927,51 
 
 
2) No mesmo exemplo anterior, qual seria o valor anual a ser depositado, considerando que o primeiro 
depósito ocorrerá imediatamente? R.: $9.502,19 
 
 
3) Qual é o Valor Futuro que você obtém investindo $250,00 todo mês numa aplicação que rende 1% a.m., 
durante cinco anos? R.: $20.417,42 
 
 
4) Qual o Valor Presente de uma Perpetuidade de $2.500 anuais, a uma taxa de juros de 20% ao ano? 
R.: $12.500,00 
 
 
5) As ações da Datalog S.A. pagam um dividendo anual de $12,00. A expectativa do mercado é de que este 
dividendo se mantenha constante no futuro. Se a taxa de juros a ser utilizada for de 15% a.a., qual deve ser o 
valor desta ação? R.: $80.00 
 
 
6) Uma ação estásendo negociada no mercado a $50,00. Espera-se que a empresa distribua dividendos 
anuais constantes de $15,00 no futuro, e sabe-se que o custo de capital da empresa é de 20% a.a. Este preço 
está correto? Você deve comprar ou vender esta ação? R.: $75,00, compra. 
 
 
7) Um aparelho é vendido por uma loja à vista por $2.400. Se a loja utiliza uma taxa de juros compostos de 
2,75% ao mês para financiar este aparelho, calcular o valor da prestação caso a venda ocorra em 10 parcelas 
iguais mensais. Considerar dois casos: com e sem entrada. R.: Com entrada: $270,34. Sem entrada: $277,78 
20 
 
8) Uma pessoa está planejando uma renda vitalícia para daqui a 20 anos de $3.500 mensais. Sabendo que a 
instituição financeira paga juros a uma taxa de 0,85% ao mês, quanto ela deverá depositar mensalmente 
durante estes 20 anos? R.: $523,88 
 
 
9) Calcular o montante produzido por 12 parcelas de R$1.000,00 colocados mensalmente a juros de 3% ao 
mês, sendo a primeira parcela antecipada. R.: R$14.617,76 
 
 
10) Quanto se deve depositar no início de cada semestre, numa instituição financeira que paga 18% ao ano, 
para constituir o montante de R$50.000,00 no fim de 3 anos, sendo os juros capitalizados semestralmente? 
R.: R$6097,26. 
 
 
11) Uma loja de departamentos está vendendo um determinado modelo de máquina de lavar, 
cujo preço à vista é R$2.000,00. Se a taxa de juros cobrada for de 1,25% a.m., em regime 
de juros compostos, pede-se determinar o valor da prestação para cada um dos seguintes 
planos de financiamento com: 
a) 1+24 prestações mensais; isto é, uma entrada, na data da compra, igual ao valor das 
24 prestações mensais. R.: R$92,50 
b) 15 prestações mensais, a primeira daqui a 10 meses (ou seja, com carência de 9 meses). R.: R$164,45 
c) 1+7 parcelas iguais e trimestrais. R.: R$283,82 
 
 
 
12) O vendedor de um carro usado pede R$ 50.000,00 à vista por ele. Suponha que o proprietário receba a 
proposta de receber R$20.000,00 de entrada, mais 12 prestações mensais de R$3.500,0 cada uma, com a 
primeira vencendo 6 meses após a data da compra. Considerada a taxa de juros de 3,3%a.m., deve ele aceitar 
ou não a proposta? R.: Não. PV da proposta é de R$49.095,00 
 
 
13) Um determinado televisor é vendido pela Loja 1 em 24 prestações iguais mensais de $122,00 cada, sem 
entrada. A Loja 2 vende o mesmo televisor em 12 prestações de $228,67 cada, sem entrada. Se as duas 
lojas praticam juros a uma taxa de 2% ao mês, em qual loja o valor à vista é menor? R.: Loja1: $2.307,50 à vista 
(Loja2: $ 2.418,26 à vista) 
 
 
14) Desejando fazer um empréstimo de $30.000, certa pessoa procura um banco que pratica taxa de 
juros compostos de 3,8% ao mês. Se esta pessoa não pode pagar mais de $1.500 por mês, qual o número de 
prestações que deverá ter este financiamento? R.: 39 prestações de $1.487,30 
 
 
15) Hoje, certa pessoa possui $120.000 aplicados num banco a uma taxa de juros compostos de 1,6% ao 
mês. Ela deseja comprar um apartamento que lhe é oferecido nas seguintes condições: $100.000 à vista ou 
$30.000 de entrada mais 120 prestações mensais de $1.485,20 cada. Qual a melhor condição de compra? R.: 
A melhor condição é à vista, pois o comprador teria que dispor de $79.007,80 da sua aplicação (a 1,6% a.m.) para saldar as 
prestações, contra os $70.000 que teria que dispor para pagamento a vista. 
 
 
16) Uma pessoa deposita em uma instituição financeira, durante 5 meses, a quantia de R$100,00. Calcule o 
montante da renda, a juros compostos de 2% ao mês, se os depósitos são efetuados: 
a) no fim de cada mês; R.: R$520,40 
b) no início de cada mês. R.: R$530,81 
 
 
 
21 
 
17) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, 
capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$400.000,00? 
R.: R$30.347,40 
 
 
18) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição financeira, à taxa 
de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com 8 depósitos antecipados constitua o 
capital de R$ 150.000,00. Calcule a importância. R.: R$17.524,73 
 
19) Determine o valor presente e o valor futuro para a renda postecipada constituída por oito prestações 
mensais de $5.000,00, diferidas em dois meses e com taxa de juros de 3% am. R.: PV = $33.083,46; FV = 
$44.461,68 
 
 
20) Uma mercadoria com valor à vista de $5.000,00 é vendida em seis prestações mensais, iguais e 
sucessivas, vencendo a primeira após o decurso de quatro meses da compra (no início do quarto mês). 
Determine o valor da cada prestação sabendo que a taxa de juros é 6% as. R.: $887,18 
 
21) Um produto no valor de $ 1.500,00 à vista pode ser financiado em quatro pagamentos iguais, mensais, 
sendo o primeiro no ato da compra. Se a taxa de juros vigente for 6% am, qual será o valor do pagamento? 
R.: $ 408,38 
 
22) Um produto é vendido (1) à vista por $ 960,00 ou, alternativamente, (2) em quatro prestações de 
$250,00 vencíveis a 30, 60, 90 e 120 dias. Considerando que o rendimento do capital aplicado no mercado 
financeiro é de 1% am, determine qual é a melhor alternativa de compra para o interessado. R.: alternativa 1: 
PV = $ 975,49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
7 Sistemas de Amortização 
 
O sistema de amortização de empréstimos consiste no pagamento de valores em épocas pré-determinadas. 
Estes pagamentos, denominados prestações, compõem-se de duas parcelas: as amortizações, que 
correspondem ao valor pago do capital emprestado, e os juros, que são calculados sobre o saldo devedor do 
empréstimo. 
 
Plano de amortização é uma tabela que apresenta o histórico desses pagamentos; ou seja, discrimina a época 
da sua realização, o valor da prestação, o valor do juro relativo ao saldo devedor, o valor da amortização do 
capital e o novo saldo devedor. 
 
Definições: 
a) saldo devedor: parcela ainda devida do capital; 
b) juro: calculado sobre o saldo devedor; 
c) amortização: abatimento do saldo devedor; 
d) prestação: amortização mais o juro. 
 
Existem vários sistemas para cálculo de amortização de empréstimos; dentre eles: 
1) Sistema Price de Amortização (Francês); 
2) Sistema de Amortização Constante (SAC); 
3) Sistema Americano de Amortização. 
 
 
7.1 Sistema Price de Amortização (Francês) 
 
A parcela periódica de pagamentos é constante e compreende os juros do período mais amortização de parte 
do principal. 
 
Ex. 1: Suponha um empréstimo contraído de $1.000.000, a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um 
ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo SFA e com taxa de juros de 15% ao ano: 
 
No sistema Francês (ou Price), o valor da prestação é constante e é calculado com a fórmula do PV de 
anuidades postecipadas, neste caso: �� = ��� × ��, com PV = 1.000.000 e n = 6; logo, PMT = 
$264.236,91. 
 
Planilha de Amortização: 
 
n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 
0 1.000.000 
1 264.236,91 1.000.000x0,15 = 150.000 264.236,91-150.000 = 114.236,91 1.000.000 - 114.236,91= 885.763,09 
2 264.236,91 885.763,09 x 0,15 = 132.864,46 264.236,91 - 132.864,46 = 131.372,45 885.763,09 - 131.372,45 = 754.390,64 
3 264.236,91 754.390,64 x 0,15 = 113.158,60 264.236,91 - 113.158,60 = 151.078,31 754.390,64 - 754.390,64 = 603.312,33 
4 264.236,91 90.496,85 173.740,06 429.572,27 
5 264.236,91 64.435,84 199.801,07 229.771,20 
6 264.236,91 34.465,68 229.771,20 0,00 
 
 
 Observações: 
- As prestações são iguais, a amortização cresce e os juros decrescem ao longo do tempo; 
- Os juros de um determinado ano são calculados sobre o saldo devedor do ano imediatamente anterior; 
- A amortização de cada ano é a diferença entre a prestação e os juros do mesmo ano; 
- O saldo devedor de um determinado ano é a diferença do saldo devedor do ano imediatamente anterior 
pela amortização do ano vigente. 
 
 
23 
 
7.2 Sistema de Amortização Constante (SAC) 
 
A amortização corresponde ao capital dividido pelo número de prestações.As prestações, portanto, são 
decrescentes, pois cada uma delas compreende o pagamento de juros e da amortização de parte do principal. 
 
Ex. 2: Suponha um empréstimo de $1.000.000, a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um ano após a 
tomada do dinheiro) com amortização pelo SAC com taxa de juros de 15% ao ano: 
 
Para calcular o valor da amortização em cada período: ��������çã� =
��
�
=
�.���.���
�
 = 166.666,67 
 
Planilha de amortização: 
 
n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 
0 1.000.000 
1 166.666,67 + 150.000 = 316.666,67 1.000.000x0,15 = 150.000 166.666,67 1.000.000 - 166.666,67 = 833.333,33 
2 166.666,67 + 125.000 = 291.666,67 833.333,33x0,15 = 125.000 166.666,67 833.333,33 -166.666,67 = 666.666,67 
3 166.666,67 + 100.000 = 266.666,67 666.666,67x0,15 = 100.000 166.666,67 666.666,67 - 166.666,67 = 500.000,00 
4 241.666,67 75.000 166.666,67 333.333,33 
5 216.666,67 50.000 166.666,67 166.666,67 
6 191.666,67 25.000 166.666,67 0,00 
 
Os juros de cada período são calculados pela taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior. O 
valor de cada prestação é a soma da amortização com os juros respectivos. 
 
 
7.3 Sistema Americano de Amortização 
 
É realizado o pagamento somente dos juros ao final de cada período e, ao final do prazo do empréstimo, é 
pago, além dos juros do último período, também o principal integral. 
 
Ex. 3: Suponha um empréstimo de $1.000.000 sobre o qual incidam juros à taxa de 15% a.a., amortizado 
pelo sistema americano com prazo de 6 anos: 
 
Planilha de Amortização: 
 
n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 
0 1.000.000 
1 150.000 1.000.000x0,15 = 150.000 0,00 1.000.000 
2 150.000 1.000.000x0,15 = 150.000 0,00 1.000.000 
3 150.000 1.000.000x0,15 = 150.000 0,00 1.000.000 
4 150.000 150.000 0,00 1.000.000 
5 150.000 150.000 0,00 1.000.000 
6 1.150.000 150.000 1.000.000 0,00 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) O financiamento de um equipamento no valor de $60.000,00 é feito pela tabela Price em 6 meses, à taxa 
de 10% ao mês, sendo os juros capitalizados no financiamento. Como fica a planilha de financiamento com 
a primeira prestação vencendo daqui a um mês? 
 
24 
 
n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 
0 $ 60.000 
1 
2 
3 
4 
5 
6 0,00 
 
2) Um automóvel no valor de $40.000,00 foi financiado segundo um sistema de prestações constantes. 
Sabendo que serão pagas 5 parcelas sem entrada e que a taxa de juros vigente na operação foi igual a 5% ao 
mês, componha, para cada período, o valor pago a título de juros e a título de amortização. 
 
n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 
0 $ 40.000 
1 
2 
3 
4 
5 0,00 
 
3) O financiamento de um equipamento no valor de $60.000,00 é feito pelo sistema SAC em 6 meses, à taxa 
de 10% ao mês, sendo os juros capitalizados no financiamento. Como fica a planilha de financiamento com 
a primeira prestação vencendo daqui a um mês? 
 
n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 
0 $ 60.000 
1 
2 
3 
4 
5 
6 0,00 
 
4) Um automóvel no valor de $40.000,00 foi financiado segundo um sistema de amortizações constantes. 
Sabendo que serão pagas 5 parcelas sem entrada e que a taxa de juros vigente na operação foi igual a 5% ao 
mês, componha, para cada período, o valor pago a título de juros e a título de amortização. 
 
n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 
0 $ 40.000 
1 
2 
3 
4 
5 0,00 
 
5) Elabore a planilha de amortização para o sistema americano de um financiamento de $150.000,00 com 
uma taxa de juros de 10% ao mês a ser paga em 3 parcelas. 
 
n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 
0 $ 150.000 
1 
2 
3 0,00 
25 
 
6) Uma pessoa comprou um apartamento e captou parte do valor através de um banco, nas seguintes 
condições: 
Valor do apartamento: $60.000 
Valor da poupança: $24.000 (Dado de entrada) 
Número de Prestações: 24 mensais 
Amortização: Sistema Francês de Amortização 
Taxa Nominal de Juros: 9% ao ano 
Um mês após o pagamento da 6ª prestação, esta pessoa propôs ao banco liquidar a dívida. Qual o valor que 
ela deve pagar ao banco? R.: $27.802,86 
 
n Prestação Juro Amortização Saldo Devedor 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 
7) Uma empresa tomou um empréstimo para ser amortizado em 12 prestações mensais iguais. Se a taxa de 
juro contratada é de 8%a.m. e o juro pago na primeira prestação foi de R$3.200,00. Qual o valor das 
prestações mensais? R.: R$5.307,80 
 
8) Um determinado bem pode ser adquirido por $1.000,00 à vista ou, alternativamente, por 4 planos 
equivalentes de financiamento a taxa de 10% a.a. que apresentam os esquemas de pagamentos vistos na 
tabela a seguir, em forma de pagamentos anuais (em $): 
 
 
Elabore uma tabela para cada um destes 4 planos de 
financiamento que permita obter o desdobramento dos 
pagamentos anuais em juros e amortização, à taxa de 
10% ao ano, e que, ainda, forneça o saldo devedor (SD) 
ao final de cada ano, antes e depois de cada pagamento. 
 
Plano A: Plano B: 
 
n Prest. Juro Amort. SD n Prest. Juro Amort. SD 
0 0 
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
 
 
 
Plano C: Plano D: 
 
n Prest. Juro Amort. SD n Prest. Juro Amort. SD 
0 0 
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
 
26 
 
9) Um banco concede um financiamento de RS 125.518,57 para ser liquidada em 4 pagamentos mensais 
pelo SAC. A operação é realizada com carência de cinco meses, sendo juros capitalizados neste período e 
incorporados ao saldo devedor. A taxa efetiva de juros é 27,8% a.a. Construir a planilha deste 
financiamento. (R.: Amortização = 34.756,48) 
 
n Prestação Juros 
 
Amortização Saldo Devedor 
 
0 
 
 
------ 
 
% ______ am 
 
-------- 
 
R$_________ 
1 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
 
 
10) Um financiamento de R$ 19.871,02 deverá ser amortizado em quatro meses com taxa de juros de 0,8% 
a.m. Faça a planilha de amortização pelo Sistema Francês de Amortização - Tabela PRICE. (R.: Prestação = 
5.067,51) 
 
n Prestação Juros 
 
Amortização Saldo Devedor 
0 
 
 
-------- 
 
% _____ am 
 
------ 
 
R$ _________ 
1 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
8 Análise de Alternativas de Investimento 
 
Antes de serem analisados alguns critérios de tomada de decisão sobre investimentos financeiros, seguem 
algumas definições preliminares. 
 
 
8.1 Fluxo de Caixa 
 
O fluxo de caixa é uma tabela ou um diagrama onde são mostradas as entradas e saídas de dinheiro de um 
empreendimento, negócio, investimento, etc, no decorrer de um determinado período. 
 
O fluxo de caixa pode ser representado através de tabela ou diagrama: 
 
 
 
Este exemplo mostra o fluxo de caixa de uma empresa num período de cinco de meses. O saldo de cada mês 
é calculado pela entrada do mês menos a saída deste mês. A linha ‘Saldo Acumulado’ contém o saldo total 
do negócio acumulado mês a mês. Ele é calculado somando-se o saldo acumulado do mês anterior com o 
saldo do mês. 
 
Este fluxo de caixa pode ser representado também por um diagrama, mostrando todas as entradas e saídas. 
Neste caso, as entradas são representadas com setas para cima e as saídas com setas para baixo e todas com 
os respectivos valores: 
 
 
 
Algumas vezes usa-se os valores de saída entre parênteses para diferenciá-los dos valores de entrada. 
 
Para o uso na análise de investimentos é mais prático usar o fluxo de caixa livre onde estão apenas os 
valores do saldo mensal como se segue: 
 
 
 
 
28 
 
8.2 Taxa Mínima de Atratividade - TMA 
 
Quando tomar uma decisão de investimento o investidor deve ter um parâmetro de comparação entre o que 
ele considera desejávelou atrativo. Este parâmetro é chamado de Taxa Mínima de Atratividade e representa 
uma taxa de juros mínima de rentabilidade que o investidor deseja para aquele tipo de investimento. 
A taxa mínima de atratividade é determina por cada investidor. Você pode ter investidores distintos que num 
mesmo tipo de investimento tenham taxas distintas. 
 
 
8.3 Critérios de Tomada de Decisão 
 
Seguem os principais métodos de tomada de decisão na análise de alternativas de investimento. 
 
8.3.1 Valor Presente Líquido – VPL 
 
Este método consiste em calcular os capitais equivalentes de todas as entradas e saídas de caixa, na data 
focal ZERO, utilizando como taxa de juros a Taxa Mínima de Atratividade (ou uma taxa de referência 
dada). Somam-se todos os capitais equivalentes das entradas de caixa e subtrai-se da soma de todos os 
capitais equivalentes das saídas de caixa obtendo-se o Valor Presente Líquido (VPL) do investimento. 
 
 • Se o VPL for maior que zero, implica que o investimento é atrativo (tem rentabilidade maior que a taxa 
mínima de atratividade). 
• Se o VPL for menor que zero, implica que o investimento não é atrativo (tem rentabilidade menor que a 
taxa mínima de atratividade). 
• Se o VPL for igual a zero, implica que o investimento tem rentabilidade igual à taxa mínima de 
atratividade. 
 
Obs.: para usar este método na comparação de duas ou mais alternativas de investimentos, o tempo de 
duração deve ser igual para todos os investimentos. 
 
Ex. 1: Suponha um projeto com duração de seis anos, que demande um investimento único inicial no valor 
de $10.000 e que forneça um fluxo de caixa, livre de taxas e impostos conforme diagrama a seguir. O custo 
de capital para o levantamento dos $10.000 junto aos bancos é de 10% a.a. Qual é o Valor Presente Líquido 
deste projeto? 
 
 
 
 
VPL = –10.000 + 2.000(1+0,1)-1 + 2.200(1+0,1)-2 + 1.800(1+0,1)-3 + 2.800(1+0,1)-4 + 3.000(1+0,1)-5 + 
3.500(1+0,1)-6 = 739,59 
 
Isto significa que este projeto gera fluxos de caixa suficientes para “pagar” o custo do projeto à taxa de 10% 
a.a. e ainda deixa um resultado líquido (VPL) de $740 para os investidores. 
 
Ex. 2: Um investidor deseja comprar um imóvel por $180.000. Ele prevê gastar em reformas, $15.000 no 
primeiro mês, $12.000 no segundo mês, $12.000 no terceiro mês, $10.000 no quarto mês e $9.000 no quinto 
mês e espera vendê-lo no sétimo mês por $330.000. Usando o Método do VPL verificar se este investimento 
é atrativo para uma taxa mínima de atratividade de 42,6% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
A taxa equivalente ao mês: (1 + im) = (1 + ia)1/12 => im = 1,4261/12 – 1 = 3%a.m. 
 
VPL = –180.000 – 15.000(1 + 0,03)-1 – 12.000(1 + 0,03)-2 – 12.000(1 + 0,03)-3 – 10.000(1 + 0,03)-4 – 
9.000(1 + 0,03)-5 + 330.000(1 + 0,03)-7 = 34.815,90 
 
Como VPL é maior que zero então o investimento é atrativo. 
 
 
8.3.2 Taxa Interna de Retorno – TIR 
 
Este método consiste em encontrar a taxa de juros que faz o VPL do fluxo de caixa se igualar a zero. Esta 
taxa de juros é chamada de TIR (Taxa Interna de Retorno) e representa a real rentabilidade do investimento. 
Para a análise do investimento considera-se: 
• Se a TIR for maior que a taxa mínima de atratividade, implica que o investimento é atrativo (tem 
rentabilidade maior que a taxa mínima de atratividade). 
• Se a TIR for menor que a taxa mínima de atratividade, implica que o investimento não é atrativo (tem 
rentabilidade menor que a taxa mínima de atratividade). 
• Se a TIR for igual à taxa mínima de atratividade, implica que o investimento tem rentabilidade igual à taxa 
mínima de atratividade. 
 
Não existe um método analítico para o cálculo da TIR. Deve-se recorrer a um método numérico, ou o 
método da tentativa e erro. 
 
Ex. 3: No exemplo 2 do item 6.3.1, 
VPL = –180.000 – 15.000(1 + TIR)-1 – 12.000(1 + TIR)-2 – 12.000(1 + TIR)-3 – 10.000(1 + TIR)-4 – 9.000(1 
+ TIR)-5 + 330.000(1 + TIR)-7 = 0 
Resolvendo numericamente, TIR = 6,26% a.m. 
 
 
8.3.3 Método do Payback Descontado - PBD 
 
O método do payback descontado consiste em medir o prazo de recuperação do capital considerando o valor 
do dinheiro no tempo. O PBD representa o prazo de retorno do investimento, considerando a TMA. A 
desvantagem é que o método desconsidera alguns valores do fluxo de caixa. 
 
Ex. 4: A aquisição de um novo equipamento exige um investimento inicial de R$50.000. Considerando a 
vida útil de 10 anos e retornos anuais líquidos previstos de R$12.000 nos quatro primeiros anos e R$15.000 
do quinto ao décimo ano, calcule o prazo de retorno do capital através do método do PBD, com uma TMA 
de 10%a.a. 
n Saldo Investimento 
Corrigido 
Retornos Saldo de 
Investimento 
0 (50.000,00) 
1 50.000 + 0,1x50.000 = (55.000,00) 12.000,00 (43.000,00) 
2 43.000 + 0,1x43.000 = (47.300,00) 12.000,00 (35.300,00) 
3 35.300 + 0,1x35.300 = (38.830,00) 12.000,00 (26.830,00) 
4 (29.513,00) 12.000,00 (17.513,00) 
5 (19.264,30) 15.000,00 (4.264,30) 
6 (4.690,73) 15.000,00 10.309,27 
 
PBD = 5 + 
�.���,��
��.���
= 5,31 anos. 
 
 
 
 
30 
 
Exercícios: 
 
1) A gerência de uma fábrica está pretendendo instalar uma nova máquina. A proposta de investimento 
envolve um gasto inicial de R$45.000, proporcionando uma redução nos custos da ordem de R$8.000 por 
ano, durante os 10 próximos anos. Determinar o prazo de retorno do investimento via PBD, considerando 
uma TMA de 5%a.a. R.: 6,77 anos 
 
n Saldo Investimento 
Corrigido 
Retornos Saldo de 
Investimento 
0 (45.000,00) 
1 8.000,00 
2 8.000,00 
3 8.000,00 
4 8.000,00 
5 8.000,00 
6 8.000,00 
7 8.000,00 
8 8.000,00 
9 8.000,00 
 
2) Ainda sobre a fábrica do exercício anterior, se o gasto inicial for de R$50.000, a redução de custo for de 
R$8.000 até o 3º ano e, do 4º ao 10º, a redução for de R$10.000, o prazo de retorno deste investimento é 
menor ou maior do que o analisado anteriormente? (Considere a mesma TMA.) R.: prazo = 6,66anos 
 
n Saldo Investimento 
Corrigido 
Retornos Saldo de 
Investimento 
0 (50.000,00) 
1 8.000,00 
2 8.000,00 
3 8.000,00 
4 10.000,00 
5 10.000,00 
6 10.000,00 
7 10.000,00 
8 10.000,00 
9 10.000,00 
 
3) Um projeto de investimento apresenta o seguinte fluxo de caixa: 
a) Determine o seu VPL para taxas de desconto variando entre 0% e 50%. 
0%: VPL = 10%: VPL = 20%: VPL = 30%: VPL = 
40%: VPL = 50%: VPL = 
 
b) Utilizando o plano cartesiano ao lado, trace o gráfico da curva 
VPL x Taxa de Desconto. 
 
c) Identifique usando o gráfico a Taxa Interna de Retorno desse 
projeto com uma precisão de 5%. R.: entre 25% e 30% 
 
d) Para uma TMA de 40%, este investimento é atrativo, de acordo 
com o critério do VPL? Por quê? R.: Não. VPL = R$-530,00 < 0 
 
 
 
31 
 
4) Para os dois projetos mutuamente exclusivos abaixo, calcule o VPL, adotando uma taxa de desconto de 
10%a.p. Qual dos dois é mais atrativo segundo este critério? R.: A) VPL = 7.698,7 e B) VPL = 10.184,8 
 
 
 
5) Consideremos um investimento em uma máquina no valor de 
$10.000,00 com vida útil de 5 anos, valor residual de $1.250,00 
(valor de venda da máquina) e cujos produtos gerarão receitas 
líquidas futuras anuais de $3.750,00. O diagrama de fluxo de caixa 
encontra-se ao lado. Considerando uma taxa de 15% aa, o 
investimento na máquina é vantajoso? R.: VPL = 3.192,05 
 
 
 
6) Usando o método do Payback Descontado, com uma TMA (Taxa Mínima de 
Atratividade) de 10% aa, calcule o prazo de retorno de um investimento que tem o 
seguinte fluxo de caixa: (R.: 4,12anos) 
 
 
 
 
 
7) Calcular o VPL do seguinte projeto, considerando uma taxa de desconto de 10% a.m.: 
investimento inicial de R$: 200,00; retornos mensais, em R$: 83,00; 84,00, 85,00 e 86,00. (R.: VPL= R$ 
67,48) 
 
USANDO O LIBREOFFICE 
 
Pesquise na internet como utilizar as funções VPL e TIR do LibreOffice e resolva: 
 
8) Repetir o Exercício 7) usando o recurso computacional. 
 
9) Calcular a TIR de um projeto com as seguintes características: investimento inicialde R$: 
150,00; retornos mensais, em R$: 30,00; 36,00, 45,00 e 65,00. (R.: 5,90%) 
 
10) Utilizando o critério da TIR, qual é o melhor projeto? 
A: Investimento inicial de R$: 100,00; retornos mensais, em R$: 40,21, 40,21 e 40,21. 
B: Investimento inicial de R$: 100,00; retornos mensais, em R$: 30,00, 30,00, 30,00 e 30,00. 
(R.: TIRA = 10,00%; TIRB=7,71%. O projeto A é melhor.) 
 
11) Das alternativas de investimento abaixo, qual é a melhor, considerando uma TMA de 2%a.a.? Utilize a 
TIR. (R.: Critério de aceitação: aceitam-se as três alternativas pois possuem TMR > 2%. Critério de seleção: 
Selecionamos a de maior TIR, ou seja, a alternativa Y, com TIR = 16% a.a.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ano Entradas 
0 (R$ 58.000,00) 
1 R$ 20.000,00 
2 R$ 18.500,00 
3 R$ 17.500,00 
4 R$ 15.000,00 
5 R$ 15.000,00 
32 
 
12) Considere os seguintes projetos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular o Payback Descontado, a TIR e o VPL (taxa de desconto de 5% a.a.). Em sua opinião, qual o 
melhor projeto? Justifique seu ponto de vista. 
(R.: O melhor projeto depende do critério que o investidor escolher. Escolha e justifique. PBDA = 2,51 anos; 
PBDB = 2,35 anos; PBDC = 2,41 anos; TIRA = 25%; TIRB = 23%; TIRC = 21%; VPLA = R$43,38; VPLB = 
R$44,56; VPLC = R$34,93. 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
DAL ZOT, Wili Alberto Brancks. Matemática financeira. 4. ed. Porto Alegre: UFRGS, 2006. 
HAZZAN, Samuel; POMPEO, Jose Nicolau. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.