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Teoria das Estruturas
Prof. MSc. Luiz Antonio
Teoria das Estruturas
 Tópicos abordados
Teorema de Castigliano
Método das forças para vigas hiperestáticas
Teorema de Castigliano
 Teorema de Castigliano
 Como para o trabalho virtual, 
para cada tipo de esforço há 
uma equação a ser aplicada 
conforme tabela ao lado
Deformação 
causada por
Energia de 
deformação
Trabalho virtual 
interno
Carga axial N � �
�
2���	
� �
� ���
�� �	
�
Cisalhamento V � ���
�
2�� �	
� �
�������
 
�� �	
�
Momento Fletor M � "
�
2�# �	
� �
"��"�
 
�# �	
�
Momento de torção T � %
�
2�& �	
� �
%��%�
 
�& �	
�
Teorema de Castigliano
 Procedimento:
 1º) Identificamos se a treliça, viga ou pórtico é isostático ou hiperestático.
 2º) No ponto onde queremos calcular o deslocamento se houver uma carga concentrada, 
substituímos por uma carga de valor “P”, se não houver aplicamos uma carga de valor “P”.
 2º) Se isostático calculamos as reações nos apoios utilizando as equações da estática. Se 
hiperestático, primeiro determinamos a reação redundante e depois as demais.
 3º) Para vigas e pórticos calculamos o momento fletor para cada uma das vigas causados pelas forças 
e pelas reações nos apoios.
 4º) Para treliças, calculamos a força normal atuante em cada uma das vigas
 5º) Calculamos a derivada parcial das forças normais aplicadas às barras para as treliças
 6º) Calculamos a derivada parcial de cada um dos momentos aplicados às vigas para vigas e pórticos
 7º) Tanto para treliças como para vigas e pórticos calculamos a cargas normais e momentos fletores 
simplesmente substituindo P por seu valor se houver
 8º) Para treliça utilizamos a tabela e a expressão de cálculo apresentada acima 
 9º) Para vigas e pórticos utilizamos a tabela e expressão da deformação para esse tipo de elemento
Teorema de Castigliano
 Castigliano aplicado a treliças
 Como em treliças só temos forças normais e mais fácil utilizar o somatório do 
que a integral então a expressão fica
 Nessa expressão,
 ∆= deslocamento da articulação da treliça
 P = força externa de intensidade variável aplicada a uma articulação de treliça 
na direção de ∆ 
 N = força axial interna em um elemento provocada por ambas, a força P e as 
cargas sobre a treliça
 L = comprimento de um elemento
 A = área da seção transversal de um elemento
 E = módulo de elasticidade do material
∆( Σ
� ���
 *
�� �	
Teorema de Castigliano
 Exercícios
 Determine o deslocamento 
horizontal da articulação C da 
treliça de aço mostrada na 
figura. A área da seção 
transversal de cada elemento 
é indicada na figura. 
Considere: �+ç- ( 210 �
0
1
.
2
5
0
 
m
m
2
Teorema de Castigliano
 Solução
 Substituímos a carga de 40 kN por
uma de valor P e calculamos a treliça
 Primeiro calculamos as reações nos
apoios
 Depois o carregamento em cada uma
das barras como mostra a figura ao
lado
Teorema de Castigliano
 Solução
Montamos a tabela com os valores encontrados
Barra � ��
�
� �
 ( 402� * � ���
 *
AB 0 0 0 4,0 0
BC 0 0 0 3,0 0
AC 1,67P 1,67 66,67 5,0 556,7
CD -1,33P -1,33 53,33 4,0 283,7
Teorema de Castigliano
 Solução
Aplicamos os valores na expressão:
∆( Σ
� ���
 *
�� �	
∆34 (
556,7 2�.: �10;::: 
625 ::� ∗ 210 2�::�
= 283,72�.: �10
;::: 
1250::� ∗ 210 2�::�
∆34 ( 4,24 = 1,08 → ∆34 ( A, BC DD
Teorema de Castigliano
 Exercícios
 Determine o deslocamento vertical do ponto C da viga de aço 
mostrada na figura. Considere � ( 200 �
0 e # ( 125�10E ::F
Teorema de Castigliano
 Solução:
 Substituímos a carga pontual existente no ponto C pela 
carga P, calculamos as reações dos apoios e os momentos 
na viga. Σ" ( 0; "H I 9 = 0,4
 	H = 23	H ∗
	H
2 ∗
	H
3 ( 0
"H ( 9 = 0,4
 	H I 	
3H
9
Σ" ( 0; I"� = 18 I 3 = 0,6
 	� ( 0
"� ( 18 = 3 = 0,6
 	�
Teorema de Castigliano
 Solução
Trecho " �K
�L
" �
 ( 52� K�MKML 
	H�0 N 	H N 6) 9 = 0,4
 	H I 	
3H
9 0,4	H 11	H I 0,2	1
; 4,4	1� I 0,044	1F
	��0 N 	� N 4) 18 = 3 = 0,6
 	� 0,6	� 18 = 0,6	� 10,8	� = 3,6	2�
Teorema de Castigliano
Solução
 Substituindo na equação temos:
∆ ( � "�
�"
�
 
�# �	 → : ∆3O( �
4,4	1� I 0,044	1F 
�# �	 =
E
�
�
� 10,8	� = 3,6	2� �# �	
F
�
∆3O(
4,4	H;3
�#
6
0 I
0,044	HP5
�#
6
0 =
10,8	��2
�#
4
0 =
3,6	�;3
�#
4
0
∆3O( 316,18 I 68,429 = 86,4 = 76,8�# → ∆3O(
410,951
200 ∗ 10E 2�:� ∗ 125 ∗ 10QE:F∆3O( 0,164 : → ∆RS( TU, V DD
 Método das forças-Procedimento
 1) Identifique o apoio redundante e substitua por uma força de valor 1
 2) Escreva a equação para o cálculo da reação redundante
 3) Remova o apoio redundante e calcule a flecha nele considerando as cargas
reais
 4) Calcule a flecha no apoio redundante considerando a força de valor 1
 5) Aplique o valor das flechas calculadas na expressão: WX=YZ[ ∗ WH ( 0, e
calcule o valor da reação no apoio redundante
 6) Calcule as reações nos demais apoios
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Método das Forças
Método das Forças
 Exercício
Calcular as reações de apoio para a viga abaixo
Y\[ YZ[ Y3[
Y\]
Método das Forças
Solução:
A equação para essa viga será:
 WX = W^ = YZ[ ∗ WH ( 0
WX= Deformação causada pela carga distribuída
W^= Deformação causada pela força concentrada
WH= Deformação causada pela força virtual unitária
YZ[= Reação no apoio B
Método das Forças
 Solução:
 Dividimos a viga em 3, e calculamos suas deformações
 Parte 1
Método das Forças
 Solução
Parte 2 Parte 3
Método das Forças
 Solução
 Cálculo das deformações
 Parte 1
Tabela
WX ( I_	24�# 	; I 2*	� = *; → WX (
I8 ∗ �3,0 = 2,5 
24�# �3,0 = 2,5 ; I 2 ∗ 10 ∗ �3,0 = 2,5 �=10;
WX ( I1,83�# ∗ 561,375 → WX (
I1029,1875
�#
Método das Forças
 Solução
 Cálculo das deformações
 Parte 2
Tabela
W^ ( I
`	6*�# *� I `� I 	� → W^ (
I5 ∗ 3,0 ∗ 4,5
6 ∗ 10 ∗ �# 10� I 3,0� I 4,5�
 0 N 	 N 0
W^ ( I1,125�# ∗ 70,75 → W^ (
I79,59375
�#
Método das Forças
 Solução
 Cálculo das deformações
 Parte 3
Tabela
WH ( I
`	6*�# *� I `� I 	� → WH (
1 ∗ 4,5 ∗ �3,0 = 2,5 
6 ∗ 10 ∗ �# 10� I 4,5� I �3,0 = 2,5 �
 0 N 	 N 0
WH ( 0,4125�# ∗ 49,5 → WH (
20,41875
�#
 Como �WX=Wa = YZ[ ∗ WH ( 0 → então:
 (I1029,1875 = �I79,59375 = YZ[ ∗ 20,41875 ( 0
 YZ[ ( I HH�d,e�P��,FHdeP ( 54,3 2 → YZ[ ( 54,3 2�
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Método das Forças
Y\[ YZ[ ( 54,3 Y3[
Y\]
 Σf] ( 0; Y\] ( 0
 Σ"\ ( 0; Y3[ ∗ 10 I 8 ∗ 10 ∗ 5 I 5 ∗ 3 = 54,3 ∗ �3,0 = 2,5 ( 0 → Y3[ (FHPQ�gd,EP
H� → Y3[ ( 11,635 kN
 Σf[ ( 0; Y\[ = Y3[ = 54,3 I 8 ∗ 10 I 5 ( 0 → Y\[ = Y3[ ( 30,7 → Y\[ (
30,7 I 11,635 → Y\[ ( 19,065 2�
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Método das Forças
Bibliografia
• HIBBELER, R.C. – Resistência dos Materiais
7 ed. –São Paulo - Pearson Education do 
Brasil – 2010 – 670 pg.
Equação da Linha Elástica
25Exercício 2/2 Exercício 2/3
Equação da Linha Elástica
26Exercício 2
Equação da Linha Elástica
27
Equação da Linha Elástica
28