MTM_Introdução e Juros Simples_Mod_1

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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA – UNISUL
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Mauricio Andrade de Lima, Dr.
OBJETIVOS
GERAL
Proporcionar aos alunos do curso, o conhecimento necessário, para tornar-se capaz de entender e resolver as questões básicas da matemática financeira, atingindo de uma forma ampla todo o conteúdo programático. Desse modo, o aluno obterá uma visão adequada para o acompanhamento e desenvolvimento de questões contábeis e financeiras, que surgirão na vida profissional. 
Específico
Desenvolvido o conteúdo programático, o aluno deverá ser capaz de identificar e solucionar problemas sobre juros e descontos simples, juros e descontos compostos e rendas ou anuidades. Diferenciar os sistemas de amortização, saldo devedor e outros num período quaisquer.
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CRONOGRAMA
Unidade 1 – 15h
Juros e Descontos Simples
Objetivos específicos
tomar conhecimento do conteúdo programático a ser lecionado ao longo do semestre; 
solucionar questões que envolvam cálculos de juros e descontos simples.
Unidade 2 – 15h
Juros e Descontos Compostos 
Objetivos específicos 
solucionar questões que envolvam cálculos de juros e descontos compostos 
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CRONOGRAMA
Unidade 3 – 10h
Equivalência de Capitais e Taxas; 
Objetivos específicos
Solucionar questões que envolvam cálculos de equivalência de capitais e taxas;
Unidade 4 – 10h
Empréstimos de curto e longo prazo e Sistemas de Amortização de Dívidas 
Objetivos específicos
solucionar questões que envolvam cálculos sobre empréstimo;
solucionar questões que envolvam cálculos sobre os Sistemas de Dividas 
 
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CRONOGRAMA
Unidade 5 – 10h
Equivalência de Fluxo de Caixa; 
Objetivos específicos
Calcular e analisar equivalência fluxos de caixa.
Estratégias de Ensino e de Aprendizagem 
aulas expositivas;
exercícios individuais e em grupo;
avaliação objetiva e/ou dissertativa, a critério do professor; 
Instrumentos e Critérios de Avaliação 
Instrumentos: Prova escrita e exercícios individuais e/ou duplas. Os exercícios são propostos sempre em uma lista previamente definida. 
Critérios: Tanto para a prova escrita como para os exercícios os critérios são de domínio do conteúdo, clareza na resolução, objetividade e resposta. OBS: Exercícios que apresentarem somente respostas não são pontuados. 
 
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AVALIAÇÃO
O aproveitamento semestral será composto de 3 provas escritas (P1, P2 e P3), individuais e sem consulta. 
O aproveitamento semestral é calculado segundo a fórmula abaixo:
AS= (P1 + P2 + P3 ) / 3 
AS= Aproveitamento semestral; 
P1= Prova 1
P2= Prova 2
P3= Prova 3 
Os exercícios serão realizados durante as aulas e as listas serão entregues em datas pré determinadas. Os exercícios serão individuais e contribuirão para o aproveitamento final do semestre.
O aluno que obter aproveitamento semestral maior ou igual a 7,0 e com frequência superior ou igual a 75% será aprovado. O aluno que não atingir a média 7,0 terá direito a realizar uma avaliação final calculada da seguinte média. 
MF= AS+ AV/2 > ou igual a 6,0. 
REFERÊNCIAS
Referências Básicas 
CRESPO, A. A. Matemática comercial e financeira fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 1991.
FARIA, R. G. Matemática comercial e financeira. 5 ed. São Paulo: Makron Books, 2000. 
FARO, C. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1997.
FRANCISCO, W. Matemática financeira. São Paulo: Atlas. 1996. 
HAZZAN, S. Matemática financeira. São Paulo: Atual, 1998.
MATHIAS, W. F. ; GOMES, I. M. Matemática financeira. 2 ed. São Paulo: Atlas, 1995.
PUCCINI, A . L. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 3 ed. Rio de Janeiro: LCT, 1994.
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações a análise de investimentos. São Paulo: Makron Books, 1999. 
Referências Complementares 
ASSAF NETO, A. Matemática Financeiras e suas aplicações. 10a ed. São Paulo: Atlas, 2008.
DUTRA, Maurici José. Matemática Financeira: Livro didático. 8a Ed. Palhoça: Unisulvirtual, 2010. 266 p.
HOJI, Masakazu. ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA E ORÇAMENTÁRIA: Matemática Financeira Aplicada, Estrarégias Financeiras e Orçamento Empresarial. 8a São Paulo: Atlas, 2007. 608 p.
SILVA, André Luiz Carvalhal da. MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA. 3a São Paulo: Atlas, 2010. 208 p. 
1. Fundamentos da matemática financeira
1.1 A preferência pela liquidez
1.2 A remuneração do capital
1.3 A matemática financeira
1.4 A MTM Fin. e o mundo real
1.5 Conceitos básicos e simbologia
1.6 O enfoque adotado
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1.1 A preferência pela liquidez
É preferível ter disponível, hoje, uma certa quantia em dinheiro ou deixá-la imobilizada por mais algum tempo, sem nenhuma remuneração adicional?
Supõe-se que em uma sociedade que não exista inflação. Neste caso, qual seria a preferência em relação a primeira pergunta?
POR QUE?
9
1.1 A preferência pela liquidez
De acordo com Keynes, três são as razões:
Transação (compra e venda de bens ou serviços);
 Precaução (risco de liquidez);
 Especulação (aproveitar a oportunidade).
10
Portanto, esse ganho é chamado de JUROS
1.2 A remuneração do capital
Quais são as razões para que o proprietário de capital se motive a imobilizar seu capital em um certo período de tempo?
R – São muitas. A forma mais usada até hoje é prometer ao proprietário de capital um ganho pelo fato de se abrir mão da liquidez por um dado tempo.
11
1.2 A remuneração do capital
Qtdade M1
Tx juros (i)
O
D
QO>QD
QO<QD
Tx de juros de equilíbrio
9
8
7
6
3
85
105
125
65
12
1.2 A remuneração do capital
Nível de risco
Tx juros (i)
6
Tx juros sistêmica
Remuneração 
pelo risco
Devedor não pode pagar o débito;
Quantia de capital emprestado;
Periodo de maturação do empreendimento;
Forma de pagamento;
Conjuntura econômica, política e social do país
Comissões;
Taxa de abertura de crédito;
IOF;
Avais;
Tx de análise de crédito;
Elaboração de fixa cadastral etc.
13
1.3 A matemática financeira
A discussão clássica da MF
É conhecer qual a relação entre um valor monetário hoje e um valor monetário no futuro.
0
1
2
3
n-1
Dinheiro no futuro
Dinheiro hoje
tempo
14
1.3 A matemática financeira
O que é matemática financeira?
R – É o ramo da matemática que estuda o valor do dinheiro no tempo com base em uma taxa de juros.
Portanto, a matemática financeira pode ser resumida em 3 configurações básicas:
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1.3 A matemática financeira
(1) Um único valor presente (P) em um único valor futuro (F).
0
1
2
3
n-1
F
P
n
Tx Juros = i
Fluxo de caixa na ótica do investidor
16
1.3 A matemática financeira
(2) Um único valor presente (P) em uma série uniforme de pagamentos ou recebimentos (A).
1
2
3
n-1
P
n
i
n
A
Fluxo de caixa na ótica do investidor
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1.3 A matemática financeira
(3) Uma série uniforme de pagamentos ou recebimentos (A) em um único valor futuro (F).
Fluxo de caixa na ótica do investidor
1
2
3
n-1
n
i
A
F
0
18
1.4 A MTM Fin. e o mundo real
1.5 O enfoque adotado
 Será totalmente prático. Portanto, o uso de matemática pura será bastante reduzido.
 As operações são ilustradas com problemas reais que ocorrem freqüentemente na prática.
 Após o entendimento dos exemplos numéricos se faz uso da teoria para obtenção de fórmulas genéricas.
 A simbologia adotada será a notação internacional.
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2. Capitalização simples
2.1 Juros simples
2.2 Montante ou valor futuro
2.3 Taxas equivalentes
2.4 Equivalência de capitais
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2.1 Juros simples
a) Conceito
É a remuneração do capital proveniente apenas do capital inicial (principal) aplicado.
Exemplo
Um investidor aplicou R$ 1.000,00 no Banco ABC, pelo prazo de 4 anos, a uma taxa de 8% ao ano, no regime de juros simples. Determinar o saldo desse investidor no banco ao final dos 4 anos.
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2.1 Juros simples
Solução analítica
Ano
Saldo no inicio do ano
Juros do ano
Saldo no final do ano antes dopmt
Pmtdo ano
Saldo no final do ano após dopmt
1
1.000,00
8% x 1.000,00=80,00
1.080,00
0,00
1.080,00
2
1.080,00
8% x 1.000,00=80,00
1.160,00
0,00
1.160,00
3
1.160,00
8% x 1.000,00=80,00
1.240,00
0,00
1.240,00
4
1.240,00
8% x 1.000,00=80,00
1.320,00
1.320,00
0,00
23
2.1 Juros simples
1
2
4
3
1.080,00
1.160,00
1.000,00
1.240,00
1.320,00
0
anos
Saldo ($)
Juros simples – função linear
Representação gráfica 
80
80
80
80
24
2.1 Juros simples
Solução Matemática
No regime de juros simples, os juros de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de juros (i) SEMPRE sobre o principal (P), fazendo com os juros tenham o mesmo valor em todos os períodos (n). Assim, tem-se;
Juros de cada período (n): P x i 
Juros de “n” períodos: n x P x i 
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2.1 Juros simples
Representação do fluxo de caixa
P = 1.000,00 
F = 1.320,00
1
3
4
2
Fluxo de caixa na ótica do investidor
n = 4
i = 8% a.a.
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b) Fórmula
2.1 Juros simples
J = P x i x n
obs: o tempo da taxa de juros (i) ou capitalização deve sempre coincidir com o tempo do números de períodos (n).
Considerando o exemplo anterior temos:
J = 1.000,00 x 0,08 x 4 =
J = 320,00
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2.1 Juros simples
c) Vamos praticar?
Qual o juro de um capital de $1.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses? 
J = P x i x n
J = 1.000 x 0,12 x 11,5
J = 1.380
DICA!!!!: o tempo da taxa de juros (i) ou capitalização deve sempre coincidir com o tempo do números de períodos (n).
28
2.1 Juros simples
d) Vamos praticar?
Depois de 4 anos de aplicação de um valor de R$6.500 capitalizados trimestralmente você recebeu juros de R$ 1.300,00. Pergunta-se: Qual foi a taxa de juros desta aplicação? 
J = P x i x n
1.300 = 6.500 x i x 16
1.300 = 104.000i
i = 1.300/104.000
i = 0,0125 ou 1,25% a.t.
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2.1 Juros simples
e) Vamos praticar
Ao ver a sua aplicação financeira você percebeu que os juros recebidos (R$ 790,00) foram efetivados em um tempo menor do que você esperava. Sabendo-se que a taxa de juros da operação foi de 5% ao mês e o capital aplicado foi de R$ 5.000,00. Pergunta-se: Em quanto tempo isto ocorreu? 
J = P x i x n
790 = 5.000 x 0,05 x n
790 = 250 n
n = 790/250
n = 3,16 meses ou 3 meses e 4 dias
30
2.1 Juros simples
f) Vamos praticar?
Você se casou e gostaria de ajudar o seu filho (a) na entrada de um automóvel quando ele (a) completasse 18 anos. Sabendo-se que o fundo de investimento que você aplicará seu capital rende 2% a.m. e que o juro desse período pode chegar a R$10.000. Pergunta-se: quanto você deveria investir a partir do momento que sua filha (o) nascesse?
J = P x i x n
10.000 = P x 0,02 x 216
10.000 = 4,32P
P = 10.000/4,32
P = 2.314,81
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2.1 Juros simples
f) Vamos praticar?
Você se casou e gostaria de ajudar o seu filho (a) na entrada de um automóvel quando ele (a) completasse 18 anos. Sabendo-se que o fundo de investimento que você aplicará seu capital rende 2% a.m. e que o juro desse período pode chegar a R$10.000. Pergunta-se: quanto você deveria investir a partir do momento que sua filha (o) nascesse?
J = P x i x n
10.000 = P x 0,02 x 216
10.000 = 4,32P
P = 10.000/4,32
P = 2.314,81
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2.1 Juros simples
 Vamos praticar mais?
Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200 pelo prazo de 2 anos, a taxa de 30% a.s. Qual será o valor do juro a ser pago? R.: R$ 1.440,00
Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo prazo de 3 anos a uma taxa de 4,5% a.b.. Qual o valor do juro a receber? R.: R$ 2.430,00
Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% a.a.. Determine o juro obtido. R.: R$ 500,00
Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% a.a. R.: R$ 15.725,00
Uma pessoa aplica R$ 4.800,00 a 24% a.a. Após algum tempo a taxa de juros é aumentada para 36% a.a. Determine o prazo em que vigorou a taxa de 36% a.a., sabendo que em 8 meses os juros totalizaram R$ 912,00. R.: 5 meses
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Nossa colega Deisymara em conversa com o Leandro comentava a respeito de uma grande oportunidade que tinha realizado no mercado financeiro. Segundo a Deisymara, seu fluxo de caixa estava com grande liquidez, em virtude das boas vendas que realizou no último semestre, assim sendo, identificou uma oportunidade de não deixar seu dinheiro “parado” no caixa. Dizia: " Leandro apliquei 2/3 do meu caixa a 5% a.m. e o saldo restante a 54% a.a. por 3 anos e 4 meses. Segundo a minha gerente de contas do banco essa aplicação renderá um juro de R$ 522.000,00." Perto deles estava a Zélia, sempre atenta a boas oportunidades, ficou curiosa em saber quanto foi a aplicação inicial que Deisymara fez. 
 Também fiquei curioso, vocês sabem me dizer quanto foi?
2.1 Juros simples
2.1 Juros simples
35
Conceito
O Valor futuro (F), ou montante, resultante da aplicação de um principal (P), durante “n” períodos, com uma taxa de juros “i” por período, no regime de juros simples, é obtida pela expressão:
2.2 Montante ou valor futuro
F = P (1 + i x n)
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2.2 Montante ou valor futuro
Representação gráfica
F = P (1 + i x n)
0
1
2
3
n-1
F
P
n
i
37
2.2 Montante ou valor futuro
b) Exemplo
Calcular o montante da aplicação de um capital de $8.000,00, no prazo de 12 meses, à taxa de 3% ao mês. R: 10.880,00 
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c) Vamos praticar?
Qual o montante de um capital de $5.000,00 que é aplicado quando as variáveis são: 
Taxas de juros  Prazos
18% a.a.  6 meses
31,8% a.a.  2 anos e 7 meses
42% a.a.  4 anos e 3 meses
28,5% a.s  1 ano e 11 meses
15,8% a.t.  11 meses
2.2 Montante ou valor futuro
Respostas:
R$ 5.450,00
R$ 9.107,50 
R$ 13.925,00 
R$ 10.462,50
R$ 7.896,67
39
d) Vamos praticar?
Há uma “sobra” de caixa em sua empresa, desta forma você como gestor financeiro aplicou uma certa quantia por 8 meses a uma taxa de juros de 2,5% a.b. resgatando o montante de R$ 13.860,00. Pergunta-se qual foi o valor da aplicação inicial?
2.2 Montante ou valor futuro
P = 12.600,00
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e) Vamos praticar?
Você tem disponível R$ 6.000,00 e falou com um gerente do banco para realizar uma aplicação durante 18 anos. O gerente apresentou uma aplicação que, ao final deste período, o montante seria de R$ 32.894,56, sendo que a capitalização era trimestral. Qual era a taxa de juro envolvida?
2.2 Montante ou valor futuro
i = 0,06226 ou 6,23% a. t.
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 Vamos praticar mais?
Tomou-se emprestada a importância de R$ 2.200 pelo prazo de 3 anos e 6 meses, a taxa de 30% a.s. Qual será o valor do montante a ser devolvido? R.: R$ 6.820,00
Aplicou-se a importância de R$ 5.000,00 pelo prazo de 2,5 anos e ao final desta data obteve-se o montante de R$ 7.430,00. Pergunta-se: Qual o valor da taxa mensal envolvida nesta operação? R.: 1,62% a.m.
Um capital foi aplicado durante 16 meses, à taxa de 24% ao quadrimestre gerando um montante de R$3.456,68. Calcule o valor do principal. R.: R$ 1.763,61
Calcule o período correspondente a aplicação de um capital de R$ 8.500,00, que gerou um montante de R$ 18.450,00 à taxa de 36% a.b. R.: 6 meses e 15 dias
Uma concessionária vende um automóvel por R$ 15.000,00 à vista. A prazo, vende por R$16.540,00, sendo R$ 4.000,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual a taxa de juros mensal cobrada R.: 0,035 a.m.
2.2 Montante ou valor futuro
42
2.3 Taxas equivalentes ou proporcionais
a) Conceito
É quando duas taxas produzem o mesmo juro, se aplicado ao mesmo capital e ao mesmo intervalo de tempo.
b) Fórmula
 i 
im = 
 N 
im = taxa menor
 i = taxa maior
N = n0 de vezes que o período da taxa menor “cabe” no período da taxa maior. 
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c) Exemplo
Em juros simples, qual à taxa mensal equivalente a 15% ao ano?
Solução
 0,15
im = = 0,0125 
 12
im = 1,25 % ao mês
 i 
im = 
 N 
2.3 Taxas equivalentes ou proporcionais
44
1) Em juros simples, qual à taxa anual equivalente a 2 % ao mês? R: 24% a.a.
d) Exercícios
3) Seja um capital de $1.000,00, que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2%
a.m ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se às taxas são equivalentes no regime de juros simples.
2) Em juros simples, qual à taxa
trimestral equivalente a 6 % ao semestre? Resposta: 3% a.t. 
2.3 Taxas equivalentes ou proporcionais
45
2.4 Equivalência de capital
a) Conceito
É quando dois capitais, a uma certa taxa de juros, tem o mesmo valor em uma determinada data de avaliação.
1
2
3
n-1
n
0
$1
$2
$
46
2.4 Equivalência de capital
b) Exemplo
Verificar a equivalência de dois capitais no ano 2, a juros simples de 10% a.a, sendo que um ocorre no ano 1 com valor de $3.636,35 e o outro ocorre no ano 6 com valor de $5.600,00. 
0
2
3
5
4
5.600,00
3.636,35
6
1
47
2.4 Equivalência de capital
solução
1o passo: levar o capital do ano 1 para o ano 2
F = 3.636,35 (1 + 0,10 x 1) = 4.000,00
2o passo: trazer o capital do ano 6 para o ano 2
5.600,00 = P (1 + 0,10 x 4)
 
(1 + 0,10 x 4)
5.600,00
P =
= 4.000,00
48
2.4 Equivalência de capital
c) Vamos Praticar
Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: $ 2.000,00 daqui a 3 meses e $2.500,00 daqui a 8 meses. Ela quer trocar estes débitos
por 2 pagamentos iguais, um para 10 meses e o outro para 15 meses. Calcular o valor dos pagamentos considerando uma taxa de juros simples de 10% ao mês.
R = $3.252,61 (quando a data focal for zero)
49
	No Brasil, o arredondamento de dados é normatizado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) por uma resolução criada em 1966, sob o número 886/66 e por uma norma da Associação Brasileira de Normas e Técnicas (ABNT) de número 5891 de dezembro de 1977.
	Basicamente temos quatro casos, a saber:
2.5 Arredondamento
50
	1. O algarismo seguinte à casa que se quer adotar para arredondamento for 0, 1, 2, 3 e 4. 
	Neste caso o número não se altera. 
	P. ex.:
	14,43 = 14,4  123,32 = 123,3
	2. O algarismo seguinte à casa que se quer adotar para arredondamento é 6,7, 8, e 9. 
	Neste caso o número fixado para arredondamento se altera. 
	P. ex.:
	14,48 = 14,5  123, 39 = 123,4
2.5 Arredondamento
51
	3. Ao se encontrar qualquer número diferente de ZERO nas posições seguintes a do cinco, você deve aumentar um unidade ao algarismo fixado para arrendondamento. 
	P. ex.:
	67,75003 = 67,8  123, 1052 = 123,11  158,438500001 = 158,439
	4. Quando o 5 (cinco) for o último algarismo, isto é, após este número só tem zero, se o número fixado para arredondamento for PAR, ele se mantém e, se for ÍMPAR acrescenta-se uma unidade.
	Quando Par: 14,85 = 14,8  123, 25 = 123,2
	Quando Ímpar: 14,55 = 14,6  14,95 = 15,0
2.5 Arredondamento
52