01 Apost Mat Financ 2021 Edimilson 4 aulas

Prévia do material em texto

A cópia do material didático utilizado ao longo do curso é de propriedade do(s) autor(es), 
não podendo a contratante vir a utilizá-la em qualquer época, de forma integral ou 
parcial. Todos os direitos em relação ao design deste material didático são reservados à 
Fundação Getulio Vargas. Todo o conteúdo deste material didático é de inteira 
responsabilidade do(s) autor(es), que autoriza(m) a citação/divulgação parcial, por 
qualquer meio convencional ou eletrônico, para fins de estudo e pesquisa, desde que 
citada a fonte. 
 
Adicionalmente, qualquer problema com sua turma/curso deve ser resolvido, em primeira 
instância, pela secretaria de sua unidade. Caso você não tenha obtido, junto a sua 
secretaria, as orientações e os esclarecimentos necessários, utilize o canal institucional da 
Ouvidoria. 
 
 
 
 
 
 
 
ouvidoria@fgv.br 
 
 
 
 
 
 
 
www.fgv.br/fgvmanagement 
 
SUMÁRIO 
1. PROGRAMA DA DISCIPLINA ........................................................................... 1 
1.1 EMENTA .......................................................................................................... 1 
1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL ................................................................................... 1 
1.3 OBJETIVOS ..................................................................................................... 1 
1.4 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO ............................................................................. 1 
1.5 METODOLOGIA ................................................................................................ 1 
1.6 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO ............................................................................... 1 
1.7 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA .......................................................................... 1 
CURRICULUM VITAE DO PROFESSOR ....................................................................... 2 
2. MATERIAL COMPLEMENTAR ............................................................................ 3 
2.1 SITES PARA CONSULTA .................................................................................... 3 
2.2 PLANO DE AULAS ............................................................................................. 4 
3. INTRODUÇÃO.................................................................................................. 5 
3.1 PORQUE ESTUDAR O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO? ....................................... 5 
4. UNIDADE I ...................................................................................................... 6 
4.1 CONCEITO DE JUROS ....................................................................................... 6 
4.2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA ........................................................................ 7 
4.3 CONCEITOS GERAIS – JUROS ............................................................................ 8 
4.4 JUROS SIMPLES .............................................................................................. 11 
4.5 DESCONTO SIMPLES ....................................................................................... 13 
4.6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................... 14 
5. UNIDADE II .................................................................................................. 17 
5.1 JUROS COMPOSTOS ........................................................................................ 17 
5.2 JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS .............................................................. 20 
5.3 TAXAS DE JUROS ............................................................................................ 22 
5.4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................... 25 
6. UNIDADE III ................................................................................................. 31 
6.1 SÉRIES UNIFORMES ........................................................................................ 31 
6.2 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ........................................................................... 37 
6.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................... 42 
6.4 MÉTODOS DE ANÁLISE DE FLUXOS DE CAIXA .................................................... 44 
6.4.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) .................................................................. 44 
6.4.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) ................................................................. 45 
6.4.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................ 49
1 
Matemática Financeira 
1. PROGRAMA DA DISCIPLINA 
1.1 Ementa 
Relações fundamentais e taxa de juros. Regime de Juros Simples e de Juros Compostos. 
Séries Uniformes de Pagamentos. Sistemas de Amortização de Dívidas. Desconto de títulos 
e duplicatas. VPL e TIR. 
1.2 Carga horária total 
24 horas/aula 
1.3 Objetivos 
Permitir ao aluno: 
• Conhecer e compreender as definições e simbologias empregadas nas práticas do 
mercado financeiro. 
• Entender os fluxos de caixa para otimizar os resultados operacionais da empresa na 
escolha das alternativas. 
• Praticar os cálculos utilizados na obtenção dos parâmetros que dão sustentação às 
tomadas de decisão no cotidiano do mercado. 
1.4 Conteúdo programático 
Juros simples: Conceito de juros simples. Desconto de duplicatas. Desconto de títulos. 
Valor de face e valor de mercado. 
Juros compostos: Conceito de juros compostos. Valor do dinheiro no tempo. Valor presente 
e valor futuro. 
Equivalência de taxas de juros e equivalência de fluxos de caixa. Períodos de Capitalização. 
Taxas anuais, mensais e diárias. Equivalência de fluxos de caixa. Sistemas de amortização. 
Tabela Price, SAC. 
Análise de Investimentos: Valor presente líquido e taxa interna de retorno. Taxa de 
desconto. Valor e custo. Problemas da TIR. 
1.5 Metodologia 
Aulas teóricas expositivas intercaladas com sessões de exercícios de aplicação prática. 
 
OBS: Preferencialmente, utilização da calculadora financeira HP12c em todas as 
aulas. 
1.6 Critérios de avaliação 
Prova Individual (sem consulta) 100% 
1.7 Bibliografia recomendada 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 13a ed. São Paulo: 
Atlas, 2016. 
 
PUCCINI, Abelardo L.. Matemática Financeira - Objetiva e Aplicada. 10a ed. Saraiva, 2017. 
2 
Matemática Financeira 
Curriculum Vitae do professor 
Edimilson Costa Lucas, Doutor em Administração de Empresas (Linha de Finanças) pela 
EAESP/FGV-SP, Mestre em Estatística aplicada a Finanças pela UNICAMP, MBA em Finanças 
pela FGV, extensão em Finanças pelo INSPER, FIPECAFI-USP, FEA-USP e IME-USP, 
Bacharel em Matemática pela Univ. Federal de Uberlândia. Consultor financeiro e de 
modelagem quantitativa, sócio-proprietário da ECL Consultoria e Treinamento Ltda. 
Diversos clientes atendidos em consultorias e treinamentos tais como Banco Itaú (Brasil e 
América do Sul), Credit Suisse Hedging-Griffo, COPASUL, Medley, Bauducco, Colibri, 
Davene, K&M Indústria Química, Jonhson&Jonhson, entre outros. 
Atuou durante cinco anos como Professor da área de Métodos Quantitativos Aplicados dos 
cursos de MBA da ESPM-SP. 
Professor ganhador do Prêmio Anual de Reconhecimento de Mérito Docente pela FGV na 
área de Finanças/Quantitativo referente aos anos de 2007, 2013 e 2014. 
 
E-mail: eclucas@fgvmail.br 
 
3 
Matemática Financeira 
2. MATERIAL COMPLEMENTAR 
2.1 Sites para Consulta 
economia.uol.com.br/cotacoes/bolsas/bvsp-bovespa/ - Site para acompanhar as 
cotações das ações negociadas na bolsa de valores de São Paulo. 
 
www.institutoassaf.com.br - Site dedicado ao estudo de finanças; vários indicadores 
financeiros de empresas de capital aberto, bem como indicadores econômicos. 
 
www.anefac.com.br - Site da Associação Nacional das Factoring 
 
www.valor.com.br – Jornal Valor com diversas informações financeiras. 
 
www.bacen.gov.br- Site do Banco Central do Brasil 
 
www.bloomberg.com - A americana Bloomberg reúne notícias e cotações atualizadas do 
Brasil e do exterior durante o dia. 
 
www.bndes.gov.br - Site do Banco Nacional de Desenvolvimento e Social apresenta : a 
empresa; seus produto e serviços; o programa de privatização; publicações ; notícias; 
programa cultura. 
 
www.bmfbovespa.com.br - Site da BM&F/BOVESPA. 
 
www.infomoney.com.br - Site com informações financeiras. 
 
www.exame.com.br – Site com várias informações financeiras de empresas de diversos 
setores da economia, bem como reportagens diversas. 
 
www.ipea.gov.br – Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada. 
 
www.economatica.com.br – Site com informações financeiras e de risco. 
 
www.comdinheiro.com.br – Site com informações financeiras e de risco. 
 
 
 
 
 
 
4 
Matemática Financeira 
2.2 Plano de Aulas 
AULAS 
CONTEÚDO 
PROGRAMÁTICO 
LEITURA 
RECOMENDADA 
“CASES” / 
TRABALHO EM 
GRUPO / 
DINÂMICAS 
01 
Introdução à Matemática 
Financeira. Cálculos 
percentuais. Juros Simples 
e Desconto Simples. 
Introdução aos Juros 
Compostos. Exercícios de 
aplicação. 
 
 
ASSAF NETO, Alexandre. 
Matemática Financeira e 
suas Aplicações. 13a ed. 
São Paulo: Atlas, 2016. 
 
 
Apostila da disciplina. 
Exercícios 
básicos de 
aplicação. 
 
Exercícios de 
Juros Simples e 
Desconto 
Simples. 
 
02 
Juros Compostos. 
Fórmulas e práticas. 
Equivalência de Fluxos de 
Caixa. Taxas de Juros. 
Taxas Nominais e efetivas 
de juros. Taxas 
proporcionais e 
equivalentes. Exercícios 
de aplicação. 
 
 
 
ASSAF NETO, Alexandre. 
Matemática Financeira e 
suas Aplicações. 13a ed. 
São Paulo: Atlas, 2016. 
 
Apostila da disciplina. 
Exercícios de 
Juros Compostos 
e equivalência de 
fluxos de caixa. 
 
Exercícios sobre 
transformação 
das taxas de 
juros. 
 
Trabalho – parte 
1. Exercícios de 
aplicação. 
03 
Juros compostos. 
Sistemas de 
Financiamentos. Séries de 
Pagamentos Uniformes. 
Séries Antecipadas, 
Postecipadas e Diferidas. 
Exercícios de Aplicação. 
ASSAF NETO, Alexandre. 
Matemática Financeira e 
suas Aplicações. 13a ed. 
São Paulo: Atlas, 2016. 
 
Apostila da disciplina. 
Exercícios de 
revisão. 
 
Exercícios de 
Séries de 
Pagamentos 
Uniformes. 
04 
Sistemas de Amortização. 
Tabelas Price e SAC. 
Métodos de avaliação de 
fluxos de caixa: VPL e TIR. 
 
 
ASSAF NETO, Alexandre. 
Matemática Financeira e 
suas Aplicações. 13a ed. 
São Paulo: Atlas, 2016. 
Apostila da disciplina. 
 
Exercícios sobre 
Análise de 
Viabilidade de 
Projetos. 
 
Exercícios 
Gerais. 
 
 
5 
Matemática Financeira 
3. INTRODUÇÃO 
3.1 Porque estudar o Valor do Dinheiro no Tempo? 
Organize sua vida financeira e descubra que possui mais recursos do que pensa ter para 
investir. 
Faça um PLANEJAMENTO FINANCEIRO e responda: 
 
Para onde vai o meu dinheiro? 
Por que investir? 
Mantenho minhas aplicações ou pago minhas dívidas? 
Como selecionar meus objetivos? 
Quais são as minhas opções de investimentos? 
 
Mantenho minhas aplicações ou pago minhas dívidas? 
 
Depende do custo de suas dívidas 
Você tem um ativo (suas aplicações) e um passivo (suas dívidas). 
Se a remuneração do ativo, que é a taxa de retorno de sua aplicação, for mais alta 
do que o custo do passivo, que é a taxa de juros cobrada por sua dívida, deixe tudo do 
jeito que está. Do contrário, liquide a dívida. 
 
Quais são as minhas opções de investimentos? 
 
• Comprando um imóvel ou outros ativos? 
• Aplicando em títulos de renda fixa? 
• Aplicando em ações ou Fundo de investimento? 
• Caderneta de poupança? 
 
Porque estudar Matemática Financeira? 
 
• Em linguagem simples, direta e acessível, a matemática financeira fornecerá noções 
básicas do mercado financeiro e os educará para o hábito de planejar despesas, 
poupar e investir. 
 
• Trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. 
 
Objetivos da Matemática Financeira 
 
• Transformar fluxos de caixa em outros equivalentes, com aplicação das taxas de 
juros de cada período, para se levar em consideração o valor do dinheiro no tempo.
 
• Obter a taxa interna de retorno, embutida no fluxo de caixa. 
 
• Analisar e comparar diversas alternativas de fluxos de caixa para uma mesma 
operação. 
 
6 
Matemática Financeira 
4. UNIDADE I 
4.1 Conceito de Juros 
DEFINIÇÕES DE JUROS 
 
- Remuneração do dinheiro aplicado. 
- Custo do dinheiro tomado emprestado. 
 
REGIMES DE JUROS 
 
- Juros simples (Linear, Progressão Aritmética) 
- Juros Compostos (Exponencial, Progressão Geométrica) 
 
TAXAS DE JUROS 
 
- % a.d. (diárias) % a.a. (anuais) 
- % a.s. (semestrais) % a.t. (trimestrais) 
- % a.m. (mensais) 
 
Situações: 
- $1.000,00 na data de hoje não são iguais a $1.000,00 em outra data futura. 
 
- O dinheiro cresce no tempo devido à taxa de juros. 
 
- Se aplicarmos $1.000,00, hoje, a 8% a.a. teremos um rendimento anual de $80,00, 
proporcionando um montante de $1.080,00, no final do ano. 
 
- Para uma taxa de juros de 8% a.a., tanto faz termos $1.000,00, hoje, ou $1.080,00, 
daqui a um ano. 
 
- $1.000,00 hoje somente serão iguais a $1.000,00 daqui a um ano na hipótese absurda 
de a taxa de juros ser nula. 
 
- Montantes em datas diferentes só devem ser somados após transformados em 
valores de uma mesma data, mediante aplicação correta de uma taxa de juros 
 
 
 
 
 
7 
Matemática Financeira 
4.2 Diagrama do Fluxo de Caixa 
A matemática financeira se preocupa com o estudo das várias relações dos movimentos 
monetários que se estabelecem em distintos momentos de tempo, um conjunto de 
entradas e saídas de caixa definidos como fluxo de caixa. 
 
FLUXO DE CAIXA - Convenções: 
• Entradas e saídas de caixa de uma operação financeira ao longo do seu prazo de 
duração. 
 
• As operações financeiras precisam ser representadas pelos seus fluxos de caixa 
para poderem ser corretamente analisadas com os conceitos de matemática 
financeira. 
 
• As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são 
representadas por setas apontadas para baixo. 
 
• As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são 
representadas por setas apontadas para cima. 
 
Representação Gráfica: 
 
 
 
FC1 
FC2 
FC4 
FCn 
FC0 
FC3 
1 2 4 n 
0 3 Per’odos 
(unidades de tempo) 
... 
FCj = Fluxo de Caixa j 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática Financeira 
4.3 Conceitos Gerais – Juros 
“Juro (J) é a diferença entre o que foi emprestado no presente (P) e o que é cobrado 
no período de tempo futuro (F), quer seja ano, mês ou dia” 
 
“Taxa de Juros (i) é definida como:” 
 
– Quantifica a remuneração de capital 
– Geralmente apresentada em % 
 
A Taxa percentual – refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para 
cada centésima parte do capital. 
 Ex: Um capital de $ 1.000, aplicado a 20% ao ano rende juro, no final deste período 
de: 
Juro = 1000 x (20/100) = 
 = 1000 x 0,20 = 200 = remuneração do capital investido. 
A Taxa unitária – refere-se a unidade de capital. Reflete o rendimento de 0,20 (20% 
/ 100) por cada unidade de capital aplicada. 
Ex: Um capital de $ 1.000, aplicado a 20% ao ano rende juro, no final deste período 
de: 
Juro = 1000 x 20 / 100 = 
 = 1000 x 0,20 = 200 = remuneração do capital investido. 
9 
Matemática Financeira 
Primeiras Operações na HP12c: 
 
 
 
 
10 
Matemática Financeira 
Cálculo de Porcentagens: (AQUECIMENTO) 
 
1) O preço original de um produto era R$ 450,00. O mesmo sofreu acréscimos seguidos 
de 4% e de 9%, sofrendo em seguida uma redução de 15%. Qual foi a variação percentual 
acumulada na operação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um produto teve reduções consecutivas de 7% e 14%, sendo posteriormente 
aumentado de 5%, 6% e 8%. Ao final, qual foi a variação percentual acumulada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Devido à baixa procura, um produto entrouem promoção com 17% de desconto, 
passando a ser vendido por R$ 112,00. Qual o preço de venda antes da promoção? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Uma loja pretendia promover um aumento real de 3,5% em seus preços. Para isso, 
utilizou-se de uma prática muito comum no mercado: aplicou um aumento e 
posteriormente um desconto. Pergunta-se: 
Dado que o aumento inicial foi de 12,5%, qual a taxa de desconto anunciada na “promoção” 
? 
 
 
 
 
 
 
fernanda
Typewriter
450 - ENTER
4% +
9% +
15% -

433,6020

450 - ENTER
433,6020 delta%

-3,644%
fernanda
Typewriter
100 ENTER
7% -
14% -
5% +
6% +
8% +

96,1392
fernanda
Typewriter
100 ENTER
96,1392 delta %

-3,8608%
fernanda
Typewriter
112 ENTER
0,83 (/)

134,9398

fernanda
Typewriter
100 ENTER
12,5% +
112,5
fernanda
Typewriter
100 ENTER
3,5% +
103,5
fernanda
Typewriter
112,5 ENTER
103,5 delta %

-8%
11 
Matemática Financeira 
4.4 Juros Simples 
Juros de cada período são sempre calculados sobre o capital inicial aplicado (principal). 
 
Juros acumulados ao longo dos períodos não rendem apesar de ficarem retidos pela 
instituição financeira. 
 
Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é linear (ou em progressão aritmética) 
 
Exemplo: 
Capital inicial = $10.000,00 
Taxa de juros simples = 10% a.a. 
Prazo de aplicação = 4 anos. 
 
Anos Saldo Juros 
0 
1 
2 
3 
4 
 
Monte uma representação gráfica: 
 
 
Fórmula de JUROS SIMPLES: 
 
).1( niPVFV += 
 
Onde: 
FV = Valor Futuro; Montante; Valor de Face; Valor Nominal 
PV = Valor Presente ou Principal 
i = taxa unitária de juros 
n = quantidade de períodos 
 
$ 10.000
$ 11.000
$ 12.000
$ 13.000
$ 14.000
$ 15.000
0 1 2 3 4
Anos
S
a
ld
o
 A
c
u
m
u
la
d
o
fernanda
Typewriter
10.000
fernanda
Typewriter
1.000
fernanda
Typewriter
1.000
fernanda
Typewriter
1.000
fernanda
Typewriter
1.000
fernanda
Typewriter
11.000
fernanda
Typewriter
12.000
fernanda
Typewriter
13.000
fernanda
Typewriter
14.000
fernanda
Rectangle
fernanda
Line
fernanda
Rectangle
fernanda
Rectangle
fernanda
Rectangle
12 
Matemática Financeira 
Exemplos: 
1) Aplicando um capital de R$4.000 hoje a uma taxa de juros simples de 5% a.m., 
quanto você terá ao final de 6 meses? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determinar o valor do principal que deve ser aplicado com uma taxa de juros de 
1,5% a.m, para produzir um montante de $10.000,00 no prazo de dois semestres, 
no regime de juros simples. 
 
 
 
 
3) Determinar o número de meses necessário para um capital dobrar de valor, com 
uma taxa de juros de 2% a.m, no regime de juros simples. 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determinar o valor da taxa de rentabilidade mensal, a juros simples, que faz um 
principal de $1.000,00 se transformar num montante de $1.250,00, num prazo de 
20 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Uma TV é vendida nas seguintes condições: $1.800,00 à vista, ou 30% de entrada 
mais $1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa mensal de juros simples cobrada na 
venda a prazo. 
 
 
 
fernanda
Typewriter
PV = 4000
i = 5% a.m.
n = 6 meses

FV=4.000 *(1+0,05*6)

FV = 5.200

fernanda
Typewriter
FV = 10.000
i = 1,5% a.m
n = 12
fernanda
Typewriter
PV = 10.000 / (1+0,015*12)

PV = 8.474,5763
fernanda
Typewriter
i = 2% a.m
PV 
FV = 2PV
n=?
fernanda
Typewriter
i=?
PV = 1.000
FV = 1.250
n = 20
fernanda
Typewriter
1.250 = 1.000*(1+i*20)
1.25 = 1+i*20
20i = 0.25
i = 0,0125 = 1,25%a.m
fernanda
Typewriter
i = 1 mês
á vista = 1.800

entrada (data 0) = 540 
1.306

1.800 - 540 = 1.260
fernanda
Typewriter
FV = 2PV
2PV = PV * (1+0,02*n)
2=1+0,02*n
0,02n=1
n = 50 meses
fernanda
Typewriter
OU
fernanda
Typewriter
HP 12C
1000 [ENTER]
1250 [delta%]
20 [/]
= 1,25%
fernanda
Typewriter
PV = 1.260
FV = 1.306
n=1
i=?

1.260 = 1.306*(1+i)
1+i = 1,03651
i = 3,65%
13 
Matemática Financeira 
4.5 Desconto Simples 
Também é conhecido como: 
- Desconto comercial; 
- Desconto bancário; 
- Desconto “por fora”. 
 
 
 
 
Fórmula de Cálculo: (Desconto Simples) 
 
PV = FV (1 – d.n) 
 
 
Exemplos: (Desconto Simples) 
 
1) Determinar o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com vencimento 
para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 1,5% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determinar o valor da taxa mensal de desconto “por fora” usada numa operação de 
desconto de 60 dias, de um título com valor de resgate de $10.000,00 e com valor do 
principal igual a $9.750,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
n 
FV PV 
0 
fernanda
Typewriter
PV = ?
FV= 1.000
n = 2
d = 1,5

PV = 1000 (1-0,015*2)
PV= 1.000(1-0,03)
PV = 1.000(0,97)
PV =970
fernanda
Typewriter
PV = 9.750,00
FV = 10.000
n=2
d=?
fernanda
Typewriter
9.750=10.000(1-2d)
0,975=1-2d
-2d=-0,025
d=0,0125
d=1,25%
fernanda
Typewriter
HP12C
10.000 [ENTER]
9.750 [delta]
-2,5 
2 [/]
= -1,25%
d = 1,25%
14 
Matemática Financeira 
4.6 Exercícios Resolvidos 
1 – Uma aplicação financeira de R$40.000,00 foi realizada pelo prazo de 5 meses, a uma 
taxa linear de juros de 2% a.m. Determine o valor do montante final. 
 
PV = 40.000 
n = 5 
i = 2% 
 
FV = 40.000 ( 1 + 0,02 x 5) 
FV = 44.000 
 
2 – Considerando o sistema de juros simples, Thander tem uma dívida de R$4.000,00 com 
vencimento de 3 meses, e uma outra dívida de R$6.000,00, com vencimento em 10 meses 
(em relação a data inicial do contrato). Se Thander desejar quitar toda essa dívida a partir 
de um pagamento único a ser realizado no mês 6, qual deve ser o valor desse pagamento, 
sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3%a.m.? 
 
 
 
 
 
Vamos encontrar os dois valores na data de interesse (data 6), usando a fórmula de juros 
simples: FV = PV ( 1 + i n) 
Como é Juros simples, temos que encontrar, primeiramente, todos os valores na data zero. 
Ou seja, vamos achar o PV de cada um deles: 
 
PV1=4.000/(1+0,03x3) = 3.669,72 
PV2 = 6.000/(1+0,03x10) = 4.615,38 
 
PV1+PV2 = 8.285,10 
 
Agora, achamos o FV na data 6: 
FV = 8.285,10 (1+0,03x6) = $9.776,42 
 
3 – Uma empresa toma empréstimo de R$150 mil à uma taxa de 1,8% a.m. no regime de 
capitalização simples. Sabendo-se que a amortização será feita 6 meses após a contratação 
do empréstimo, calcule o montante a ser pago ao final deste período. 
 
FV = 150.000 ( 1+0,018 x 6 ) = 166.200 
 
 
 
 
0 3 6 10 
 4.000 ? 6.000 
15 
Matemática Financeira 
4 – Um agente financeira aplica R$85.000,00 por cinco meses à uma taxa de 0,9% a.m. 
Qual foi o valor do juros obtido nessa aplicação, considerando capitalização simples? 
 
FV = 85.000 ( 1+ 0,009 x 5 ) = 88.825 
Juros = 88.825 – 85.000 = 3.825 
 
5 – Se aplicarmos a quantia de R$50.000,00 pelo prazo de quatro meses, teremos como 
remuneração deste capital a quantia de R$4.350,00. Qual é a taxa de juros simples ao 
mês dessa operação? 
 
PV = 50.000 
FV = 50.000 + 4.350 = 54.350 
n = 4 
 
54.350 = 50.000 ( 1+i x 4) 
54.350/50.000= 1+4 i 
1,0870 = 1 + 4 i 
0,0870 = 4 i 
i = 0,0870/4 = 2,18% a.m. 
 
6 – Um título com valor nominal de R$100 mil, foi descontado 90 dias antes de seu 
vencimento, proporcionando valor atual de R$89.625,75. Determine a taxa de desconto 
simples mensal desta operação. 
 
PV = FV (1-d.n) 
89.625,75 = 100.000 ( 1 – d. 3) 
89.625,75/100.000 = 1- 3 d 
0,89625 = 1 – 3 d 
0,89625 – 1 = - 3 d 
-0,1038 = -3 d 
d = 0,1038/3 = 3,46%a.m. 
 
7 – Uma empresa possui um borderô de duplicatas, as quais serão descontadas a uma 
taxa de desconto simples de 2,75% a.m.. Calcule o valor total de desconto. 
Duplicata Valor (R$) Vencimento (em dias 
corridos) 
AAX 20.000,00 45 
BBX 10.000,00 64 
XXX 8.000,00 82 
 
Encontrando o PV de cada duplicata, teremos: 
PV1 = 20.000 (1-0,0275 x 45/30) = 19.175 Desc1 = 20.000 – 19.175 = 825 
PV2 = 10.000 (1-0,0275 x 64/30) = 9.413,33 Desc2 = 10.000 – 9.413,33 = 586,67 
PV3 = 8.000 (1-0,0275 x 82/30) = 7.398,67 Desc3 = 8.000 – 7.398,67 = 601,33 
Valor total de desconto: 
Desc1 + Desc2 + Desc3 = R$ 2.013,00 
 
16 
Matemática Financeira 
8 – Juca, em 12/06/2015, realizou umaoperação com 160 dias corridos. Determine a data 
de resgate dessa aplicação. 
 
f clx 
g D.MY 
f 6 (6 casas decimais) 
12.062015 ENTER 
160 g DATE 
 
19.11.2015 4 (quinta-feira) 
9 - Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa linear de 2,5% ao mês durante um 
trimestre. Pede se determinar o valor dos juros acumulados neste período. 
 
Solução: J = 80.000,00 x 0,025 x 3 = $6.000,00 
 
 10 - Javirone tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% mês 
durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $270.000,00 o total dos juros 
incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. 
 
Solução: 270.000 = PV x 0,06 x 9 => PV = $500.000,00 
 
11 - Um capital de $40.000,00 foi aplicado em um fundo de investimentos por 11 meses, 
produzindo um rendimento financeiro de $9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros 
simples oferecida por esta operação. 
 
Solução: 9.680 = 40.000 x i x 11 => i = 2,2% a.m. 
 
 12 - Uma aplicação de $250.000,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês 
produz, ao final de determinado período, juros no valor de $27.000,00. Calcular o prazo 
da aplicação. 
 
Solução: 27.000 = 250.000 x 0,018 x n => n = 6 meses 
 
13 - Salomão aplica $18.000,00 à taxa linear de juros de 1,5% ao mês durante 8 meses. 
Determinar o valor acumulado ao final deste período. 
 
Solução: FV = 18.000 (1 + 0,015x8) = $20.160,00 
 
 
 
17 
Matemática Financeira 
5. UNIDADE II 
5.1 Juros Compostos 
- Método mais empregado por instituições bancárias e financiadoras. 
- Juros são incorporados ao capital, e os juros para o próximo período calculados sobre o 
novo capital. (crescimento exponencial). 
 
Exemplo: 
Capital inicial = $10.000,00 
Taxa de juros = 10% a.a. 
Prazo de aplicação = 4 anos. 
Anos Saldo Juros 
0 
1 
2 
3 
4 
Monte uma representação gráfica: 
 
Fórmula de Juros Compostos: 
 
 
n
iPVFV )1( += 
 
Onde: 
FV = Valor Futuro, Montante, Valor de Face, Valor Nominal 
PV = Valor Presente, Principal 
i = taxa unitária de juros 
n = quantidade de períodos 
Obs: As nomenclaturas são as mesmas utilizadas em juros simples. 
 
$ 10.000
$ 11.000
$ 12.000
$ 13.000
$ 14.000
$ 15.000
0 1 2 3 4
Anos
S
a
ld
o
 A
c
u
m
u
la
d
o
fernanda
Typewriter
10.000
fernanda
Typewriter
1.000
fernanda
Typewriter
11.000
fernanda
Typewriter
12.100
fernanda
Typewriter
1.100
fernanda
Typewriter
13.310
fernanda
Typewriter
1.210
fernanda
Typewriter
14.641
fernanda
Typewriter
1331
fernanda
Rectangle
fernanda
Rectangle
fernanda
Rectangle
fernanda
Rectangle
fernanda
Polyline
18 
Matemática Financeira 
Exemplos: 
 
1) Calcular o montante de um principal de R$3.500,00 aplicado por 8 meses a juros 
compostos de 2%a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) A que taxa de juros um capital de R$13.200,00 poderá transformar-se em 
R$35.112,26, se o período de aplicação for de 7 meses no regime de juros 
compostos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Os rendimentos de uma aplicação de R$ 17.800,00 somaram R$ 6.700,00 ao final 
de 7 meses. Determine a taxa mensal de juros compostos da aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fernanda
Typewriter
PV = 3.500
n= 8
i = 2% = 0,02

4.100,8078
fernanda
Typewriter
HP 12C
3500 [CHS] [PV]
8 [n]
2 [i]
[FV] 4100,8078 
fernanda
Typewriter
PV = 13.200,00
FV = 35.112,26
n = 7
i =15%
fernanda
Typewriter
HP12C
13.200 [CHS] [PV]
35.112,26 [FV]
7 [n]
[i] = 15% a.m.
fernanda
Typewriter
PV = 17.800,00
n = 7
FV = 17.800+6.700
FV = 24.500,00

fernanda
Typewriter
17.800 [CHS] [PV]
7 [n]
24.500 [FV]
[i] 4,67% a.m.
fernanda
Arrow
19 
Matemática Financeira 
4) Anacreonte deseja fazer um financiamento de $70.000 para aquisição de um bem. 
Este financiamento será pago em três prestações mensais de $20.000, $25.000 e 
$15.000 para o 1º, 2º e 3º mês, respectivamente. Sabendo-se que Anacreonte tem 
que pagar mais uma parcela adicional (intermediária) no 2º mês, qual deve ser o 
valor desta parcela, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de 5% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
 
fernanda
Typewriter
PV = 70.000 
FV =?
i = 5%
n = 3





fernanda
Arrow
fernanda
Typewriter
70.000 [CHS] [PV]
5 [i]
3 [n]
[FV] = 81.033,75
fernanda
Arrow
fernanda
Typewriter
FV1 = 20.000 [CHS] [FV]
1[n]
5[i]
PV1 = 19.047,6190
fernanda
Typewriter
FV2 = 25.000,00 [CHS] [FV]
2 [n]
5 [i]
PV2 = 22.675,7370

FV3=15.000 [CHS] [FV]
3[n]
5[i]
PV3 = 12.957,5640
fernanda
Polyline
fernanda
Typewriter
PV1 + PV2 + PV3
54.680,92

PV - SPVS
15.319,08
fernanda
Typewriter
15.319,08 [CHS] [PV]
2 [n]
5 [i]
[FV] = 16.889,29
fernanda
Arrow
20 
Matemática Financeira 
5.2 Juros Simples x Juros Compostos 
 
 
 
EXERCÍCIOS JUROS COMPOSTOS: 
 
1) Uma pessoa depositou R$2.000,00 em uma poupança. Dois meses depois deposita 
mais R$2.500,00 e, dois meses depois deste último depósito, realiza uma retirada 
de R$1.300,00. Qual será o saldo da poupança ao final do quinto mês se a taxa de 
juros compostos ganha for de 1%a.m.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n=1 
Juros compostos 
Juros simples 
fernanda
Typewriter
PV = 2.000
n= 2
i = 1
FV1 = 2.040,20
+2.500,00
Saldo = 4.540,20
fernanda
Typewriter
2000
fernanda
Typewriter
0
fernanda
Typewriter
2
fernanda
Typewriter
+2.500
fernanda
Line
fernanda
Pencil
fernanda
Pencil
fernanda
Typewriter
4
fernanda
Typewriter
PV = 4540,20
n= 2
i = 1
FV2 = 4631,46
-1.300,00
Saldo = 3.331,46
fernanda
Typewriter
-1.300
fernanda
Typewriter
??
fernanda
Typewriter
5
fernanda
Typewriter
2040,20
fernanda
Typewriter
4.540,20
fernanda
Typewriter
PV = 3.331,46
n=1
i=1
FV3 = 3.364,77
21 
Matemática Financeira 
2) Uma pessoa deve R$3.000,00 com vencimento em 2 anos e R$4.500,00 com 
vencimento em 6 anos. Pretende pagar seus débitos por meio de um pagamento 
único a ser efetuado no final de 4 anos. A juros de 10%a.a., calcular o valor do 
pagamento único que liquida a dívida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante 9 anos, à taxa de 10% a.a., 
produz um montante final de R$ 205.000,00 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Um capital, aplicado a juros compostos, durante 7 meses, transformou-se num 
montante igual ao seu dobro. Determine a taxa mensal da aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Uma determinada empresa teve seu faturamento aumentado de R$ 80.000,00 para 
R$ 400.000,00 em apenas 3 anos. Determine o percentual de crescimento 
exponencial anual desse faturamento. 
 
 
 
 
 
 
 
fernanda
Line
fernanda
Typewriter
0 2 4 6
fernanda
Typewriter
0 3.000 ?? 4.500
fernanda
Typewriter
PV = 3.000
n = 2
i = 10
FV = 3.630,00
fernanda
Typewriter
FV = 4.500
n=2
i = 10
PV = 3.719,01
fernanda
Typewriter
? = 7.349,01
fernanda
Pencil
fernanda
Typewriter
HP 12 C 
205000 [CHS] [FV]
9 [n]
10 [i]
[PV] = 86.940,01
fernanda
Typewriter
PV = 100
FV= 200
n = 7m
i = ?
fernanda
Typewriter
100 [CHS] [PV]
200 [FV]
7 [n]
[i] = 10,41%
fernanda
Typewriter
80.000 [CHS] [PV]
400.000 [FV]
3 [n]
[i] =70,99%
22 
Matemática Financeira 
5.3 Taxas de Juros 
 
- Taxa efetiva: é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide 
com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. 
 
- Taxa nominal: é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não 
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é 
sempre fornecida em termos anuais. 
 
- Taxas proporcionais: são taxas de juros que permitem o mesmo crescimento do 
dinheiro, no regime de juros simples. 
 
- Taxas equivalentes: são taxas de juros que permitem o mesmo crescimento do 
dinheiro, no regime de juros compostos. 
 
 
Relação entre as taxas de juros: 
 
Taxas Proporcionais: (Juros Simples) 
 
 
 
 
 
 
Taxas Equivalentes: (Juros Compostos) 
 
1)1( −+= tenho
quero
n
n
tenhoquero ii 
 
 
 
fernanda
Typewriter
Sempre que dito que a taxa é proporcional o sistema é juros simples
fernanda
Typewriter
12% ao ano é igual a 1 %ao mês (proporcional)

12% ao ano é proporcional a 3% ao trimestre (a.t.)

Taxa pró-rata sempre será proporcional 
fernanda
Typewriter
taxas equivalentes a diferentes períodos
fernanda
Highlight
fernanda
Typewriter
Taxa no período que eu quero
fernanda
Typewriter
taxa dada
fernanda
Typewriter
Exemplo: 

1% a.m. corresponde a que taxa anual?

iquero = (1+0,01) ^(12/1) -1

iquero = 0,1268 = 12,68%
fernanda
Typewriter
Na HP12C

Passo 1 - transformar o período que tenho no período que quero

1% a.m. --> 1 ano = 12 meses

100 [CHS] [PV]
12 [n]
1 [i]
[FV] = 112,68
100 [ - ]

12,68%
fernanda
Typewriter
Taxa nominal: capitalização é diferente do tempo da taxa
Exemplo: 10% a.a. com capitalização mensal
fernanda
Typewriter
Taxa efetiva: capitalização coincide com o período da taxa
Exemplo: 10% a.a. com taxa efetiva ou com capitalização anual
fernanda
Rectangle
fernanda
Rectangle
23 
Matemática Financeira 
Exemplos e observações sobre as transformações de taxas de juros: 
fernanda
Typewriter
20% a.a ==> ??%a.m.

100 [CHS] [PV]
120 [FV]
12 [n]
[i] = 1,53% a.m.
fernanda
Typewriter
Exemplos de transformações de taxas de juros:

a) 8% a.m. ---> %a.s

100 [CHS] [PV]
8 [i]
6 [n]
[FV] = 158,68 = 58,68% a.s.

b) 40%a.a. ---> %a.t.

100 [CHS] [PV]
140 [FV]
4 [n]
[i] 8,78% a.t.
fernanda
Typewriter
Conversão de taxa nominal em efetiva:

Taxa Nominal / ( n periodo da efetiva) e utilizar para achar o novo i na taxa efetiva final no mesmo período da nominal)

Exemplo: 24% a.a. = 24/12 = 2%a.m. - [ EFETIVA MENSAL ]

Taxa efetiva [a.a.]

100 [CHS] [PV]
2 [i]
12 [n]
[FV] 126,82 = 26,82%
fernanda
Rectangle
24 
Matemática Financeira 
Exemplos: 
 
1 – Determinar as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 
15%a.a., com os seguintes períodos de capitalização: mensal, bimestral e trimestral. 
 
a) 15% a.a. com capitalização mensal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 15% a.a. com capitalização bimestral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 15% a.a. com capitalização trimestral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Determinar o montante acumulado ao final de três anos, ao se aplicar R$5.000,00, à 
taxa de 11% ao ano, capitalizados mensalmente. 
 
 
 
 
 
fernanda
Typewriter
Taxa nominal = 11% a.a. - Taxa efetiva = 11/12 = 0,9167%a.m
0,9167 [i]
5000 [CHS] [PV]
36 [n]
[FV] = 6.944,39 

6.944,39 [FV]
5.000 [CHS] [PV]
3 [n]
[i] = 11,57%
fernanda
Typewriter
15% a.a. = 1,25%a.m.

100 [CHS] [PV]
1,25 [i]
12 [n]
[FV]= 116,0755 - 100 =
Taxa Efetiva = 16,08% a.a.
fernanda
Typewriter
15% a.a. = 2,5%a.b.

100 [CHS] [PV]
2,5 [i]
6 [n]
[FV]= 115,9693 - 100
Taxa Efetiva = 15,97% a.a.
fernanda
Typewriter
15% a.a./ 4 = 3,75%a.t.

100 [CHS] [PV] 
3,75 [i]
4 [n]
[FV]= 115,8650 -100
Taxa Efetiva = 15,87%
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Pencil
fernanda
Pencil
25 
Matemática Financeira 
5.4 Exercícios Resolvidos 
1 – Um capital de R$12.000,00 foi aplicado durante 2 anos, a uma taxa de juros de 0,6% 
a.m.. Determine o montante acumulado. 
 
12.000 CHS PV 
24 n (meses) 
0,6 i (taxa mensal) 
 
FV = 13.852,65 
 
2 – Qual o capital que deverá ser aplicado hoje para atingir um montante final de 
R$20.000,00, considerando uma taxa de 0,7%a.m. e um prazo de 36 meses. 
 
20.000 CHS FV 
0,7 i 
36 n 
 
PV = 15.558,55 
 
3 - Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao próprio capital, 
aplicando-se uma taxa efetiva de 5%a.m ? 
 
Se o rendimento iguala-se ao capital, então FV será o dobro do PV. 
1 CHS PV 
2 FV 
5 i 
 
n = 15 meses 
 
4 - (DESAFIO)- Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros efetivos 
de 2%am e o segundo, a 1,5am. O primeiro capital é de R$ 10.000,00 maior que o segundo 
e seu rendimento excedeu em R$ 6.700,00 o rendimento do segundo capital. Calcular o 
valor de cada um dos capitais. 
 
Temos que montar um conjunto de equações: (juros compostos) 
 
Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros efetivos de 2%a.m. e o 
segundo, a 1,5a.m. 
 
FV1 = PV1 (1,02)24 = PV1 (1,6084) (I) 
FV2 = PV2 (1,015)24 = PV2 (1,4295) (II) 
O primeiro capital é de R$ 10.000,00 maior que o segundo 
PV1 = 10.000+PV2 (III) 
 
e seu rendimento excedeu em R$ 6.700,00 o rendimento do segundo capital. 
Rend1 = 6.700 + Rend2 (IV) 
 
Mas, 
Rend1 = FV1 - PV1 (V) 
Rend2 = FV2 - PV2 (VI) 
26 
Matemática Financeira 
 Na equação (IV) substitua os rendimentos (V e VI) 
 
(FV1 - PV1) = 6.700 + (FV2 - PV2) 
 No lugar de FV1 e FV2 substitua pelas equações I e II. 
 
PV1 (1,6084) - PV1 = 6.700 + ( PV2 (1,4295) - PV2) 
0,6084 PV1 = 6.700 + 0,4295 PV2 
 
No lugar de PV1, substitua pela equação III 
 
0,6084 (10.000 + PV2) = 6.700 + 0,4295 PV2 
6.084 + 0,6084 PV2 = 6.700 + 0,4295 PV2. 
 
Logo, PV2 = 3.443,32 (lembre-se que esses valores estão aproximados, pois truncamos 
em quatro casas decimais os nossos cálculos, está OK!) 
 
PV1 = 13.443 
 
5 - (DESAFIO)- Determine o capital que aplicado durante 3 meses à taxa efetiva 
composta de 4% a.m. produz um montante que excede em R$4.500,00 ao montante que 
seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros simples de 4%am. 
 
Primeiro, 
FV = PV (1,04)3 = PV (1,1249) (montante dos juros compostos) 
 
Segundo, 
FV = PV (1+0,04 x 3) = PV (1,12) (montante dos juros simples) 
 
produz um montante que excede em R$4.500,00 ao montante que seria obtido se o mesmo 
capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros simples 
 
FV = 4.500 +1,12PV 
 
Substituindo: 
1,1249 PV = 4.500 +1,12 PV 
 
PV = 925.164,47 
 
6 – Um agente de mercado aplicou R$60 mil pelo período de 213 dias. Foi totalizada uma 
quantia de R$8.250,00 de juros. Qual é a taxa de juros anual dessa aplicação? 
 
60.000 CHS PV 
68.250 FV 
213 ENTER 360 ÷ n 
 
i = 24,33%a.a. 
 
27 
Matemática Financeira 
7 – Um financiamento bancário cobra uma taxa nominal de juros de 36%a.a. com 
capitalização trimestral. Determine a taxa efetiva anual da operação. 
 
itrim = 36/4 = 9%a.t. 
 
100 CHS PV 
9 i 
4 n 
 
FV = 141,16 
141,16 – 100 = 41,16%a.a. (taxa efetiva anual) 
 
8 – Numa aplicação financeira a taxa efetiva da operação é de 1,5% a.m.. Determine a 
taxa efetiva para 6 meses. 
 
100 CHS PV 
1,5 i 
6 n 
 
FV = 109,34 
 
109,34 – 100 = 9,34%a.s. 
 
9 – Numa operação de venda, o valor à vista cobrado seria de R$60.000,00. No entanto, 
Genivaldino não possui esse valor total para pagamento à vista. Faz uma proposta para 
pagar R$20.000,00 no ato do contrato, mais R$30.000,00, em 2 meses e o restante para 
8 meses. Qual o valor desse último pagamento sabendo-se que a taxa de juros praticada 
pela empresa credora é de 2% a.m.? 
 
Vamos trabalhar com todos os valores na mesma data (data zero). 
30.000 CHS FV 
2 n 
2 i 
PV = 28.835,06 
 
Na data zero: 60.000 – 20.000 – 28.835,06 = 11.164,94 
 
Como esse valor será pago na data 8, basta encontrar o FV correspondente: 
11.164,94 CHS PV 
8 n 
2 i 
 
FV = 13.081,51 
 
10 – Um banco cobra uma taxa efetiva de juros de 20%a.a.. Determine a taxa efetiva 
trimestral dessa operação. 
 
Faça PV = 100. Como a taxa é de 20%a.a.. Então FV=120 (na data 1 ano). 
28 
Matemática Financeira 
Dentro do ano, temos 4 trimestres. Assim, 
 
100 CHS PV 
120 FV 
4 n 
 
Peça a taxa i = 4,66%a.t.. 
 
11 – Qual capital que aplicado hoje, produzirá um rendimento de $10.000 ao final de 4 
anos, considerando uma taxa de 10%a.a.? 
 
Rendimento = 10.000 � FV = PV+10.000. Aplicando a fórmula de juros compostos, 
teremos: 
 
PV+10.000 = PV (1+0,10)4 �PV+10.000 = 1,4641 PV � Assim, PV=$21.547,08. 
 
 
 
INVESTIMENTOS FINANCEIROS 
 
• Poupança 
• Fundos de renda fixa 
• Fundos de ações 
• Bolsa de Valores 
 
A mágica dos juros compostos 
 
Juros sobre Juros.... Capitalização Composta de Juros..... 
 
CURIOSIDADES... 
 
• A Ilha de Manhattan, na cidade de N.Y., foi comprada dos índios nativos americanos 
por Peter Minuit em 1624, por US$24. 
 
• Esses mesmos US$24, se aplicados a juros compostos anualmente, à taxade 8%, 
valeriam, no final de 2018, 394 anos depois, cerca de US$354 trilhões. 
 
VAMOS REFLETIR: 
 
• Márcia e Patrícia, 25 anos, são irmãs gêmeas que trabalham em uma mesma 
empresa. Visam aposentar-se daqui a 35 anos. Márcia decidiu poupar agora 
R$2.000,00 por ano durante 10 anos. Patrícia preferiu adiar o início da poupança, 
começando-a só daqui a 10 anos, quando estiver com 35 anos. 
 
 
 
29 
Matemática Financeira 
Com uma taxa de 8%a.a. 
 
• Márcia: 
– Período: de 25 a 35 anos 
– Tempo de contribuição: 10 anos 
– Total poupado: R$20.000,00 
– Valor final aos 60 anos: R$198.422,00 
 
• Patrícia: 
– Período: de 35 a 60 anos 
– Tempo de contribuição: 25 anos 
– Total poupado: R$50.000,00 
– Valor final aos 60 anos: R$146.212,00 
 
Conclusão: Comece a poupar o quanto antes possível!!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A importância de começar a poupar cedo
R$ 20.000,00
R$ 50.000,00
R$ 198.422,00
R$ 146.212,00
R$ -
R$ 50.000,00
R$ 100.000,00
R$ 150.000,00
R$ 200.000,00
R$ 250.000,00
Márcia Patrícia
Total Poupado
Valor Final
30 
Matemática Financeira 
Quando aposentar? 
 
Contribuição de R$300,00/mês: 
 Taxa de Retorno (a.m.) 
Tempo de 
Contribuição 
1,5% 1,0% 0,7% 
20 anos R$692.656,31 R$296.776,61 R$185.753,34 
30 anos R$4.234.075,62 R$1.048.489,24 R$485.141,27 
40 anos R$25.373.950,89 R$3.529.431,75 R$1.176.607,13 
 
 
DICA 
 
1- Tenha um montante emergencial em investimentos de baixo risco e alta liquidez. 
 
2- Depois de cumprido a parte 1, diversifique os seus investimentos de acordo com os seus 
objetivos. 
 
3- Pense a longo prazo, e 
 
 BOA SORTE!!! 
 
 
 
 
31 
Matemática Financeira 
6. UNIDADE III 
6.1 Séries Uniformes 
Séries Uniformes: 
É o conjunto de entradas ou saídas de caixa que ocorrem periodicamente e são 
todas iguais. 
 
No programa financeiro das calculadoras, o pagamento periódico é identificado pela 
função PMT (Periodic payMenT) 
 
 
Considere o seguinte formato de fluxo de caixa: (Fluxo de caixa postecipado – 
END) 
 
 
 FV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algebricamente, podemos provar que: 
 
 
 
€ 
FV = PMT
1+ i( )n −1
i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
€ 
PV = PMT
1+ i( )n −1
1+ i( )n i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 ……….. n-2 n-1 n 
PV = ? 
PMT 
fernanda
Rectangle
fernanda
Rectangle
32 
Matemática Financeira 
Exemplos: 
1) Gerdite comprou um carro de R$ 25.000,00, pagou R$ 12.000,00 de entrada, e o 
restante financiou em 24 meses a uma taxa de 2% a.m.. Qual o valor da prestação? 
 
 
 
 
 
 
 
2) Gerdite não consegue pagar uma prestação desse valor. Consegue pagar apenas R$ 
500,00 por mês, logo, qual deve ser a entrada a ser oferecida? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Mark deseja ter $400.000,00 daqui a 10 anos para a compra de sua casa própria. 
Sabendo-se que Mark consegue uma taxa de 0,9% a.m. de rentabilidade no mercado, 
quanto ele deve depositar mensalmente (depósitos iguais) para conseguir poupar a quantia 
pretendida. (considere série postecipada) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Marilândia pretende casar-se com Bill no próximo ano. Sendo assim, o casal comprará 
todos os móveis novos e de qualidade nas Casas SOPHIA. Todos os bens custariam 
$5.000,00 se fossem pagos à vista. No entanto, a loja convenceu o casal a pagar toda a 
dívida em 48 parcelas mensais e iguais, com um período de carência de 6 meses. 
Considerando que as Casas SOPHIA cobra uma pequena taxa de 5,25% a.m., determine o 
valor das prestações. 
 
 
 
 
 
 
 
fernanda
Line
fernanda
Arrow
fernanda
Arrow
fernanda
Arrow
fernanda
Arrow
fernanda
Line
fernanda
Arrow
fernanda
Typewriter
13.000
fernanda
Typewriter
n=24
fernanda
Typewriter
13000 [CHS] [PV]
24 [n]
2 [i]
[PMT] = 687,32
fernanda
Typewriter
X
fernanda
Arrow
fernanda
Line
fernanda
Arrow
fernanda
Arrow
fernanda
Arrow
fernanda
Line
fernanda
Typewriter
n=24
fernanda
Arrow
fernanda
Typewriter
24 [n]
2 [i]
500 [CHS] [PMT]
[PV] = 9.456,96
fernanda
Typewriter
120 [n]
0,9 [i]
400.000 [CHS] [FV]

[PMT] = 1.864,81
fernanda
Typewriter
500
fernanda
Typewriter
500
fernanda
Typewriter
Valor da entrada

25.000 - 9.456,96 = 15.543,04
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Typewriter
Primeiro pagamento na data 7 (x+1)
fernanda
Line
fernanda
Arrow
fernanda
Typewriter
5.000
fernanda
Arrow
fernanda
Typewriter
n = 7
fernanda
Arrow
fernanda
Typewriter
n = 48
fernanda
Typewriter
Passo 1 - corrigir os 5.000

5000 [CHS] [PV]
5,25 [i]
6 [n]
[FV] = 6.796,77 

Passo 2 calcular a prestação

6.796,77 [CHS] [PV]
5,25 [i]
48 [n]
[PMT] = 390,31
 
33 
Matemática Financeira 
ESTUDO DE CASO : 
JEDIEL comprou um produto nas seguintes condições : 
R$ 165,00 de entrada mais 3 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 288,28. À 
vista, pagaria R$ 965,00. 
 
Qual a taxa mensal de juros da operação ? 
 
 
FLUXO DE CAIXA DE JEDIEL : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO ALGÉBRICA : 
 
Nesse caso deveríamos resolver a equação : 
 
288,28 
(1+i) + 
288,28 
(1+i)2 + 
288,28 
 (1+i)3 = 800,00 
 
Uma das raízes é “0,04” ou 4%, isto é, i = 4% ao mês. 
 
 
RESOLVENDO O MESMO PROBLEMA 
UTILIZANDO PROGRAMA FINANCEIRO DA HP-12C 
JEDIEL comprou um produto nas seguintes condições : 
R$ 165,00 de entrada mais 3 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 288,28. À 
vista, pagaria R$ 965,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
800,00 
1 2 3 
288,28 288,28 288,28 
0 
34 
Matemática Financeira 
Qual a taxa mensal de juros da operação ? 
 
f FIN 
g END 
800 PV 
288,28 CHS PMT 
3 n 
i ? “4%” 
limpeza dos registradores financeiros 
identificando uma série uniforme postecipada 
registrando o valor financiado 
registrando a prestação mensal 
registrando o número de pagamentos mensais 
perguntando a taxa mensal 
 
 
 
A CASTELÃO TELEVISORES financia aparelhos nas 
seguintes condições : 
� À vista, R$ 660,00 ou 
� A prazo, em 3 prestações mensais 
de R$ 242,36, a 1ª a 30 dias. 
Que taxa mensal de juros a Loja está 
praticando ? 
 
 
 
A PARISIANA ofereceu dois planos de 
financiamentos a um cliente : 
à vista por R$ 720,00 ou em 3 prestações mensais 
de R$ 254,11, a 1ª no ato. 
Qual a taxa mensal utilizada ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fernanda
Typewriter
660 [CHS] [PV]
3 [n]
242,36 [PMT]
[i] 
35 
Matemática Financeira 
Exercícios: (Séries Uniformes – PMT) 
1) Um Projeto de Marketing com valor de $150.000,00 será financiado em 36 parcelas 
mensais, iguais e sucessivas, através de uma linha de crédito do BNDES. 
Considerando que a taxa efetiva do financiamento é de 22,00% ao ano, calcule o valor de 
cada uma das 36 prestações nas seguintes modalidades: 
 
a) a primeira paga no ato da contratação do financiamento. 
b) a primeira paga um mês após a contratação do financiamento. 
c) a primeira será paga considerando uma carência de 3 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Typewriter
Taxa: 22%a.a. -- > X a.m

100 [CHS] [PV]
122 [FV]
12 [n]
X [i]
1,67% a.m.
fernanda
Typewriter
a) 150.000 com a primeira no ato
fernanda
Line
fernanda
Arrow
fernanda
Typewriter
P1
fernanda
Arrow
fernanda
Typewriter
P36
fernanda
Arrow
fernanda
Typewriter
150.000
fernanda
Typewriter
[g] [7]

150.000 [CHS] [PV]
1,67 [i]
36 [n]
[PMT] 5.485,97
fernanda
Typewriter
b) 
150.000 [CHS] [PV]
1,67 [i]
36 [n]
[PMT] 5.577,60
fernanda
Typewriter
c) Passo 1 - corrigir os 150.000

150.000 [CHS] [PV]
1,67 [i]
3 [n]
[FV] = 157.641,20

Passo 2 calcular a prestação

157.641,20 [CHS] [PV]
1,67 [i]
36 [n]
[PMT] = 5.861,73
 
36 
Matemática Financeira 
2) Um automóvel importado foi adquirido por R$220.000,00, sendo 70% financiado em 12 
parcelas mensais e iguais, e uma carência de 4 meses. Sabendo-se que a financeira cobra 
uma taxa de 2,5% ao mês, calcular o valor da prestação mensal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um veículo pode ser adquiridopor R$30.000,00, com 30% de entrada e o restante 
financiado em até 36 meses. João, que está interessado na aquisição, não possui recursos 
para pagar a entrada exigida. Mas, como conseguiu fazer um bom saldo médio em um 
banco, obtém os R$9.000,00 para a entrada por meio de uma operação de crédito pessoal, 
para ser liquidada em 6 prestações iguais; na financeira, consegue o financiamento 
necessário para completar o valor do veículo, optando por um plano com prazo de 36 
meses, sendo 30 de amortização e 6 de carência. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa 
de 5% ao mês e a financeira 4,5% a.m., determinar o plano de liquidação da dívida total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fernanda
Typewriter
220.000 - valor a vista
70% financiado = 154.000,00
12 parcelas
carência 4 mese
2.5% a.m.
fernanda
Typewriter
154.000 [CHS] [PV]
2,5 [i]
4 [n]
[FV] 169.987,1852
fernanda
Typewriter
169.987,1852 [CHS] [PV]
2,5 [i]
12 [n]
[PMT] = 16.571,56
fernanda
Arrow
fernanda
Arrow
fernanda
Rectangle
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Line
fernanda
Line
fernanda
Pencil
fernanda
Pencil
fernanda
Pencil
fernanda
Line
fernanda
Pencil
fernanda
Typewriter
cred. pessoal
fernanda
Typewriter
financeira
fernanda
Pencil
fernanda
Pencil
fernanda
Pencil
fernanda
Typewriter
9000
fernanda
Typewriter
9000 [CHS] [PV]
6 [n]
5 [i]
[PMT] = 1.773,16
fernanda
Typewriter
1.773,16
fernanda
Typewriter
1.773,16
fernanda
Typewriter
1.773,16
fernanda
Pencil
fernanda
Typewriter
1.773,16
fernanda
Typewriter
1.773,16
fernanda
Typewriter
1.773,16
fernanda
Line
fernanda
Typewriter
carencia
fernanda
Line
fernanda
Typewriter
amortização
fernanda
Typewriter
21.000 [CHS] [PV]
6 [n]
4,5 [i]
[FV] = 27.347,4626
fernanda
Typewriter
27.347,4626 [CHS] [PV]
30 [n]
4,5 [i]
[PMT] = 1.678,91
fernanda
Typewriter
21.000
fernanda
Typewriter
do mês 1 ao 6 ele pagará para o crédito pessoal uma prestação de 1.773,16 mensais
do mês 7 em diante ele pagará a financeira uma prestação de 1.678,91 mensais
37 
Matemática Financeira 
6.2 Sistemas de Amortização 
Conceitos gerais 
O processo de quitação de um empréstimo consiste em efetuar pagamentos periódicos 
(prestações) de modo a liquidar o saldo devedor. 
Tais prestações consistem em duas parcelas: a amortização (A) e os juros (J), 
correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizado. 
 
PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS 
OU 
PMT = A + J 
 
Prestação é o valor pago pelo devedor e consiste em duas parcelas: a amortização 
e os juros correspondentes ao saldo devedor do empréstimo, ainda não reembolsado. 
Amortização é o pagamento do capital, efetuado por meio de parcelas pagas 
periodicamente. É a devolução do capital emprestado. 
Os juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior e também 
denominados “serviço da dívida”. 
Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos cabe 
destacar o sistema francês de amortização (tabela Price) e o sistema de amortização 
constante (SAC). 
Sistema de amortização francês 
Nesse sistema de amortização, o mais utilizado pelas instituições financeiras e o 
comércio em geral, o devedor obriga-se a devolver o principal acrescido de juros em 
prestações iguais e consecutivas (séries uniformes de pagamento). 
Exemplo: Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema de amortização 
francês em cinco prestações mensais postecipadas. Se a taxa de juros for de 5% a.m., 
veja como ficará a planilha de amortização: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
fernanda
Highlight
38 
Matemática Financeira 
Mês 
(n) 
Saldo devedor 
(SDn = SDn - 1 - An) 
Prestação 
(PMT) 
Juros 
(Jn = SDn - 1 . i) 
Amortização 
(An = PMTn - Jn) 
 
0 100.000,00 - - - 
 
1 81.902,52 23.097,48 5.000,00 18.097,48 
 
2 62.900,17 23.097,48 4.095,13 19.002,35 
 
3 42.947,70 23.097,48 3.145,01 19.952,47 
 
4 21.997,60 23.097,48 2.147,38 20.950,10 
 
5 0 23.097,48 1.099,88 21.997,60 
 
∑ - - - 100.000,00 
 
Período de carência no sistema de amortização francês 
A) PAGANDO, NESSE PERÍODO, OS JUROS DEVIDOS 
Nesse caso, veja como fica o exemplo, considerando um período de carência de dois meses 
e mantendo-se todos os demais parâmetros inalterados: 
Mês 
(n) 
Saldo devedor 
(SDn = SDn - 1 - An) 
Prestação 
(PMT) 
Juros 
(Jn = SDn - 1 . i) 
Amortização 
(An = PMTn - Jn) 
 
0 100.000,00 - - - 
 
1 100.000,00 5.000,00 5.000,00 0 
 
2 100.000,00 5.000,00 5.000,00 0 
 
3 81.902,52 23.097,48 5.000,00 18.097,48 
 
4 62.900,17 23.097,48 4.095,13 19.002,35 
 
5 42.947,70 23.097,48 3.145,01 19.952,47 
 
6 21.997,60 23.097,48 2.147,38 20.950,10 
 
7 0 23.097,48 1.099,88 21.997,60 
 
∑ - - - 100.000,00 
 
Repare que os cálculos são iguais ao do exemplo anterior, com a diferença de que nos 
meses do período de carência a dívida não é amortizada, mas os juros devidos sobre o 
saldo devedor são pagos. A primeira prestação será paga após o término da carência. 
 
 
 
 
 
 
39 
Matemática Financeira 
B) NÃO PAGANDO, NESSE PERÍODO, OS JUROS DEVIDOS 
Veja como fica então o exemplo, com os juros sendo incorporados ao valor inicial da dívida 
no período de carência. O cálculo das prestações deverá ser realizado com base no saldo 
devedor no final da carência. Adicionalmente, deve-se levar em conta que o saldo devedor, 
ao longo da carência, cresce devido a juros: SDn = (1 + i) SDn-1. 
Mês 
(n) 
Saldo devedor 
(SDn = SDn - 1 - An) 
Prestação 
(PMT) 
Juros 
(Jn = SDn - 1 . i) 
Amortização 
(An = PMTn - Jn) 
 
0 100.000,00 - - - 
 
1 105.000,00 0 0 0 
 
2 110.250,00 0 0 0 
 
3 90.297,53 25.464,97 5.512,50 19.952,47 
 
4 69.347,44 25.464,97 4.514,88 20.950,09 
 
5 47.349,84 25.464,97 3.467,37 21.997,60 
 
6 24.252,36 25.464,97 2.367,49 23.097,48 
 
7 0 25.464,97 1.212,61 24.252,36 
 
∑ - - - 100.000,00 
 
Tabela Price 
Trata-se de um caso particular do sistema de amortização francês, em que a taxa de juros 
é fornecida em termos nominais (na prática, é dada em termos anuais) e as prestações 
têm período menor que aquele a que se refere a taxa de juros (em geral, as amortizações 
são calculadas em bases mensais). 
Assim, o cálculo das prestações é feito utilizando-se a taxa proporcional ao período a que 
se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal. 
Exemplo: Um empréstimo de $100.000,00 será pago em quatro prestações mensais, iguais 
e consecutivas. Sendo a taxa nominal de 72% a.a., com capitalização mensal, veja como 
fica a tabela de amortização. Primeiro é necessário calcular a taxa proporcional mensal: 
72% a.a. ÷ 12 = 6%a.m. 
Mês 
 
Saldo devedor 
 
Prestação 
 
Juros 
(6% a.m.) 
Amortização 
 
 
0 100.000,00 - - - 
 
1 77.140,85 28.859,15 6.000,00 22.859,15 
 
2 52.910,15 28.859,15 4.628,45 24.230,70 
 
3 27.225,61 28.859,15 3.174,61 25.684,54 
 
4 - 28.859,15 1.633,54 27.225,61 
 
∑ - - - 100.000,00 
40 
Matemática Financeira 
Sistema de amortização constante (SAC) 
Nesse sistema de amortização, as prestações são decrescentes, as amortizações 
constantes e os juros decrescentes. Calcula-se a amortização dividindo o principal pelo 
número de períodos de pagamento. 
 
Exemplo: Vamos elaborar uma planilha de amortização para o seguinte financiamento: 
a) valor do financiamento: $100.000,00; 
b) reembolso em cinco meses pelo sistema SAC; 
c) taxa de juros: 5% a.m.; 
d) valor das amortizações (constantes): $100.000,00 ÷ 5 = $20.000,00. 
 
Mês 
(n) 
Saldo devedor 
(SDn = SDn - 1 - An) 
Amortização 
(An = SDo ÷ n) 
Juros 
(Jn = SDn - 1 . i) 
Prestação 
(PMT = A + J) 
 
0 100.000,00 - - - 
 
1 80.000,00 20.000,005.000,00 25.000,00 
 
2 60.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00 
 
3 40.000,00 20.000,00 3.000,00 23.000,00 
 
4 20.000,00 20.000,00 2.000,00 22.000,00 
 
5 0 20.000,00 1.000,00 21.000,00 
 
∑ - 100.000,00 - - 
 
Repare que, nesse sistema, a prestação inicial é superior à prestação (fixa) do sistema 
francês, que era de $23.097,48; ao passo que a última prestação é menor. Em suma, no 
início paga-se mais, porém termina-se pagando uma prestação menor que a do sistema 
francês. 
41 
Matemática Financeira 
Exemplos: 
 
1. Construa um quadro de amortização de uma dívida de $ 50.000 resgatadas pela 
Tabela Price em cinco prestações anuais a juros de 10%a.a. 
 
 
Ano Saldo Devedor Prestação Juros Amortização 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
2. Construa um quadro de amortização com os dados do item anterior, no SAC. 
 
 
Ano Saldo Devedor Prestação Juros Amortização 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
fernanda
Highlight
fernanda
Typewriter
50.000
fernanda
Typewriter
-
fernanda
Typewriter
-
fernanda
Typewriter
-
fernanda
Typewriter
13.190
fernanda
Typewriter
13.190
fernanda
Typewriter
13.190
fernanda
Typewriter
13.190
fernanda
Typewriter
13.190
fernanda
Typewriter
50.000-8.190 = 41.810
fernanda
Typewriter
32.801
fernanda
Typewriter
 4.181 
fernanda
Placed Image
fernanda
Placed Image
fernanda
Pencil
fernanda
Pencil
fernanda
Typewriter
Valor acumulado até o numero digitado (se 1 parcela 1, se 4 acumulado até o ano 4)
fernanda
Placed Image
42 
Matemática Financeira 
6.3 Exercícios Resolvidos 
1 – O valor à vista de um produto é de R$3.500,00. Sabendo-se que uma loja cobra uma 
taxa de juros de 3,5% a.m., determinar o valor das prestações mensais e iguais, se o 
número de parcelas for de 15. 
 
3.500 CHS PV 
3,5 i 
15 n 
 
PMT = R$303,89 
 
2 – Um veículo que custa R$60.000,00 à vista foi financiado em 36 parcelas mensais e 
iguais a R$2.500,00. Determine a taxa efetiva mensal desta operação. 
 
60.000 CHS PV 
36 n 
2.500 PMT 
i = 2,38%a.m. 
 
3 – Zulclélia deseja conseguir acumular um montante de R$100.000,00 em 10 anos. 
Quanto ela deve depositar mensalmente (depósitos iguais) para conseguir esse valor, 
considerando uma taxa de juros de 0,5% a.m.? 
 
100.000 CHS FV 
120 n 
0,5 i 
PMT = R$610,21 
 
4 – Em um financiamento de um imóvel de R$320.000,00, Jandirno pagou R$80.000,00 
de entrada e financiou o restante em 60 prestações mensais e iguais. Sabendo-se que a 
taxa de juros do financiamento é de 1,2% a.m. determine o valor das prestações. 
 
320.000 – 80.000 = 240.000 (valor financiado) 
240.000 CHS PV 
60 n 
1,2 i 
PMT = R$5.634,27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
Matemática Financeira 
5 – Com relação aos dados do problema anterior, Jandirno pagou R$80.000,00 de entrada 
e financiou o restante em 60 parcelas mensais e iguais a R$2.300,00. O restante do 
financiamento será pago em 5 parcelas anuais e iguais (balões). Determine o valor desses 
balões, sabendo-se que a taxa de juros é de 1,2%a.m.. 
 
2.300 CHS PMT 
60 n 
1,2 i 
PV = 97.971,79 (o quanto as prestações estão amortizando do valor financiado) 
240.000 – 97.971,79 = 142.028,21 (valor que será pago nos balões (intermediárias)) 
Como esses balões são anuais, temos que encontrar a taxa efetiva anual: 
100 CHS PV 
1,2 i 
12 n 
FV = 115,39 
115,39 – 100 = 15,39%a.a. 
Agora, cálculo dos balões (intermediárias): 
142.028,21 CHS PV 
15,39 i 
5 n 
PMT = R$42.760,58 
 
6 – Numa compra de R$12.000,00, Gerilde pagou R$2.000,00 de entrada, e o restante 
será pago em 16 parcelas mensais e iguais, sendo um período de 4 meses de carência. 
Determine o valor dessas prestações, sabendo-se que a taxa de juros é de 4% a.m.. 
 
No período de carência: 
10.000 CHS PV 
4 n 
4 i 
 
FV = 11.698,59 
 
Para o cálculo das prestações: 
11.698,59 CHS PV 
16 n 
4 i 
PMT = R$1.003,97 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
Matemática Financeira 
7 – Gumercindo fez um financiamento imobiliário no valor total de R$350.000,00 para ser 
pago em 10 anos, ou seja, em 120 prestações mensais. Sabendo-se que o sistema de 
amortização adotado é o sistema PRICE, com uma taxa já efetiva de 0,9% a.m.. Após dois 
anos de financiamento, Gumercindo deseja renegociar sua dívida, pois, obterá um capital 
de R$120.000,00, e pretende com esse capital amortizar parte do seu saldo devedor 
restante. Determine o valor do saldo devedor de Gumercindo após o pagamento de 24 
parcelas mensais (após os dois anos). 
 
Primeiro passo, vamos determinar o valor das prestações mensais e iguais (PRICE): 
350.000 CHS PV 
120 n 
0,9 i 
PMT = R$4.781,71 
Esse é o valor da prestação mensal que Gumercindo deverá pagar durante os dez anos de 
financiamento. 
Para determinarmos o saldo devedor após o pagamento de 24 prestações, vamos usar a 
função AMORT da HP12c. 
Sem limpar a memória do cálculo feito anteriormente para cálculo das prestações, 
façamos: 
 
24 f Amort 
R$71.266,21 (esse é o total de juros pagos nas 24 parcelas) 
X <>Y 
R$43.494,87 (esse é o total que foi amortizado com essas 24 parcelas) 
RCL PV 
R$306.505,13 (esse é o saldo devedor remanescente naquela data após o pagamento de 
24 prestações) 
 
Se Gumercindo vai pagar R$120.000,00, esse valor abaterá do saldo devedor de 
R$306.505,13, que é o saldo devedor resultante. 
6.4 Métodos de Análise de Fluxos de Caixa 
Os principais métodos de análise de Fluxos de Caixa são: 
 
- Valor Presente Líquido (VPL) (Net Present Value – NPV) 
 
- Taxa Interna de Retorno (TIR) ( Internal Rate of Return – IRR) 
6.4.1 Valor Presente Líquido (VPL) 
• reconhece o valor do dinheiro no tempo; 
• reflete o aumento de riqueza para o acionista; 
• VPL's podem ser somados; 
• depende somente dos fluxos de caixa e do custo de oportunidade. 
 
 
45 
Matemática Financeira 
Fórmula de Cálculo: 
 
02
21
)1(
...
)1()1(
FC
i
FC
i
FC
i
FC
VPL
n
n −






+
++
+
+
+
= 
 
OBS: A taxa i é denominada de TMA (Taxa Mínima de Atratividade) 
(também chamada de taxa de desconto do fluxo de caixa) 
 
 
Critério do VPL: 
 
VPL ≥ 0 � _______________________ 
 
VPL < 0 � _______________________ 
 
 
 
Exemplo: Verifique se o projeto é atrativo. (utilize o VPL) 
 Projeto de Investimento 
Ano 0 1 2 3 
Fluxo de Caixa 
Líquido 
-250.000 205.000 100.000 80.000 
 
TMA = 25% a.a. 
6.4.2 Taxa Interna de Retorno (TIR) 
É a taxa de desconto que faz o VPL ser zero. Se ela é maior do que o custo de 
oportunidade considerado, o projeto tem VPL positivo, caso contrário, o VPL será negativo. 
A TIR é o maior custo de oportunidade que um projeto pode suportar. Aceita-se um projeto 
se sua TIR for maior que o custo de oportunidade. A maior vantagem da TIR é que ela dá 
os mesmos resultados que o método do VPL na maioria das vezes, mas conflita em alguns 
casos. 
 
Critério da TIR: 
 
TIR ≥ ___ � ___________________ 
 
TIR < ____ � ___________________ 
 
fernanda
Typewriter
Atrativo
fernanda
Typewriter
Não Atrativo / Viável
46 
Matemática Financeira 
Exemplo: Verifique a viabilidade desse projeto utilizando o critério da TIR. 
 Projeto de Investimento 
Ano 0 1 2 3 
Fluxo de Caixa 
Líquido 
-250.000 205.000 100.000 80.000 
TMA = 25% a.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
Matemática Financeira 
EXERCÍCIOS: (VPL e TIR) 
 
1.Uma indústria está avaliando um investimento em uma nova linha de produtos. O valor 
a ser investido no momento zero atinge R$3.500.000,00, prevendo-se os seguintes fluxos 
de caixa ao final dos próximos 4 anos: R$750.000,00 ; R$1.050.000,00 ; R$1.275.000,00 
e R$1.700.000,00. 
Admitindo que a empresa tenha definido em 15% ao ano a taxa de desconto dos 
fluxos esperados de caixa, pergunta-se: 
a) Qual o NPV e a IRR do investimento? 
b) Esse investimento é atrativo? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
Matemática Financeira 
2. Anacreonte estuda a viabilidade financeira da compra de uma casa de praia como um 
investimento, a ser explorado nos próximos5 anos. 
 Sabendo que: 
a. o valor da casa é de R$ 270.000,00; 
b. os retornos líquidos de caixa esperados, após descontadas todas as despesas 
de manutenção, serão, no final de cada um dos três primeiros anos, de R$ 
35.000,00; 
c. no final do quarto e quinto anos serão obtidos rendimentos de R$ 40.000,00; 
d. para o final do 4ºº ano são esperadas despesas de R$ 3.000,00. Já para o 
final do 5º ano essas despesas deverão ser de R$ 10.000,00; 
e. o valor de venda da casa, no final do 5º ano será de R$ 330.000,00; 
f. a taxa de desconto estipulada por Anacreonte é de 17% a.a.. 
Pergunta-se: 
I) Qual o NPV e a IRR desse investimento ? 
II) O investimento é financeiramente atrativo? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
Matemática Financeira 
6.4.3 Exercícios Resolvidos 
1 – Para o lançamento de um novo produto, uma empresa precisa investir um capital de 
R$300.000,00. O fluxo de caixa projetado para esse produto foi de R$120.000,00, 
R$200.000,00 e R$180.000,00 para os próximos três anos, respectivamente. Sabendo-se 
que a taxa mínima de atratividade desse projeto é de 16% a.a., verifique se esse projeto 
é atrativo, usando a TIR e o VPL. 
 
300.000 CHS g CFo 
120.000 g CFj 
200.000 g CFj 
180.000 g CFj 
16 i 
 
f NPV = 67.399,24 
f IRR = 28,36% a.a. 
 
Projeto atrativo, pois VPL positivo e TIR maior que a TMA. 
 
 
2 – Um imóvel no valor à vista de R$250.000,00 foi financiado em 5 parcelas mensais e 
consecutivas a saber: 40.000; 80.000; 60.000; 50.000; 70.000, respectivamente. 
Determine o custo efetivo (percentual) mensal para essa operação. 
 
250.000 CHS g CFo 
40.000 g CFj 
80.000 g CFj 
60.000 g CFj 
50.000 g CFj 
70.000 g CFj 
 
f IRR = 6,17 % a.m. 
 
3 - Uma construtora estuda a viabilidade da compra de uma determinada máquina. A 
máquina tem um custo de $1.350.000,00. Após vários estudos mercadológicos foram 
estimados os seguintes fluxos incrementais de caixa líquidos para os próximos 5 anos: 
$755.000; $513.050; $506.000; $377.044; $410.099, respectivamente. O valor residual 
da máquina está estimado em $330.000,00 para o último ano do projeto. Considerando 
que o custo de capital para esse projeto foi estimado em 25% a.a. pede-se: calcular o VPL 
e a TIR para esse projeto e verificar se o mesmo é viável. 
 
1.350.000 CHS g CFo 
755.000 g CFj 
513.050 g CFj 
506.000 g CFj 
377.044 g CFj 
740.099 g CFj 
25 i 
50 
Matemática Financeira 
f NPV = 238.376,86 
f IRR = 33,90% a.a. 
 
Projeto atrativo, pois VPL foi positive e TIR foi maior que a TMA. 
 
4 – Um produto à vista custa $60.000. O mesmo será pago em 10 parcelas mensais, 
sucessivas e iguais a $6.500, com um período de carência de 4 meses. Determine o custo 
efetivo (percentual) mensal desta operação. 
 
Como não temos a taxa de juros (é o que precisamos determinar!), não temos como usar 
a metodologia do PMT. Desta forma, teremos que calcular a TIR do fluxo de caixa desta 
operação financeira. 
Como são 4 meses de carência, o primeiro pagamento será na data 5. Assim: 
 
60.000 CHS g CFo 
0 g CFj 
0 g CFj (poderia usar o Nj aqui.... 4 g Nj) 
0 g CFj 
0 g CFj 
6.500 g CFj 
10 g Nj (10 valores na sequência e iguais a 6.500) 
 
f IRR = TIR = 0,8492%a.m. 
 
51 
Matemática Financeira 
EXERCÍCIOS GERAIS: 
 
1. Se um investidor deseja ganhar 20% a.a. de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa 
de juros que deverá exigir de uma aplicação, se o prazo de capitalização for igual a: 
a) 1 bimestre; 3,09% 
b) 1 trimestre; 4,66% 
 
2. Para cada taxa nominal apresentada a seguir, pede-se calcular a taxa efetiva anual: 
a) 12 % a.a. capitalizados mensalmente; 12,68% 
b) 25% a.a. capitalizados trimestralmente; 27,44% 
c) 17% a.a. capitalizados anualmente; 17% 
d) 15% a.a. capitalizados semestralmente; 15,56% 
 
3. Determinar as taxas mensal e anual equivalentes de juros, de um capital de R$ 
52.500,00 que produz um montante de R$ 64.889,48 ao final de 19 meses. taxa 
mensal = 1,12%; taxa anual = 14,32% 
 
4. Admita que uma pessoa irá necessitar de R$ 43.700,00 em 12 meses e R$ 
46.853,00 em 18 meses. Quanto ela deverá depositar hoje numa alternativa de 
investimento que oferece uma taxa efetiva de rentabilidade de 15% a.a. ? 
$75.991,87 
 
5. Um veículo foi financiado da seguinte maneira: 35% de entrada e mais 4 prestações 
trimestrais iguais de R$ 3.783,47. Sabendo-se que a taxa de juros praticada no 
financiamento foi de 4% a.m., pede-se o valor à vista do veículo. $17.499,97 
 
6. Uma empresa tem uma dívida de R$ 60.000,00 a ser paga daqui a 7 meses e outra 
de R$ 80.000,00 daqui a 15 meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de juros 
compostos de 10% a.a. para fazer frente a essas dívidas ? $127.770,02 
 
7. Um automóvel é vendido por uma concessionária nas seguintes condições: entrada 
R$ 12.500,00, mais uma parcela de R$ 7.500,00, após um mês. Um cliente propõe 
pagar uma entrada de R$ 10.000,00, mais duas prestações mensais iguais, 
vencendo a primeira um mês após a compra. Se a concessionária opera a uma taxa 
de juros de 42% a.a., qual o valor de cada parcela, de modo que as duas formas 
de pagamento sejam equivalentes ? $5.110,65 
 
8. Uma metalúrgica estuda o projeto de compra de uma máquina, de valor de 
aquisição de R$ 25.600,00. Estima-se que essa máquina gerará uma redução de 
custo na produção da ordem de R$ 7.200,00 no seu 1.o ano de atividade. Essa 
economia deverá reduzir-se na ordem de 10%a.a. A vida econômica dessa máquina 
é de 5 anos e após tal tempo a mesma poderá ser vendida por R$ 2.000,00. 
Sabendo que a metalúrgica espera obter um retorno mínimo de 7% a.a., indicar o 
se investimento nesse ativo é financeiramente atrativo. 
 
 VPL = 347,87; TIR = 7,52% 
 
 
52 
Matemática Financeira 
9. A Costa Corporation está considerando um dispêndio de capital que exige um 
investimento inicial de $ 42 mil e fluxos de entrada de caixa após os impostos de $ 
7 mil por ano, por 10 anos. A empresa considera uma taxa de atratividade de 10% 
a.a. 
a) Calcule o VPL para esse projeto. VPL = 1.011,97 
b) Calcule a Taxa Interna de Retorno. TIR = 10,56% 
c) O projeto é atrativo financeiramente? Justifique. 
 
10. Determinada empresa estuda um investimento de R$ 110.000 em uma campanha 
publicitária, que, segundo estudos de mercado, lhe gerará os fluxos adicionais de 
caixa descritos abaixo. Determine se o projeto é aceitável. A taxa de custo de capital 
é de 12% a.a. 
 
Ano Fluxo de caixa ($) 
1 30.000 
2 50.000 
3 70.000 
4 80.000 
5 70.000 
VPL = 97.031,35; TIR = 38,30% 
 
11. O Ed’s Restaurant está considerando a compra de um novo forno e deve escolher 
entre duas alternativas. O primeiro forno exige um investimento inicial de $ 14 mil 
e gera fluxos de entrada de caixa após os impostos de $ 3 mil para cada um dos 
próximos 7 anos. O segundo forno exige um investimento inicial de $ 21 mil e 
proporciona um fluxo de entrada de caixa após os impostos de $ 4 mil por 20 anos. 
Considerando que o restaurante pretende obter um retorno de 11% a.a. com a 
compra dos fornos, pergunta-se: 
a) Determine o VPL e a TIR para cada forno. 
VPL(A) = R$136,59; TIR(A) = 11,30%; VPL(B) = 10.853,31; TIR(B) = 18,40% 
b) Qual dos dois projetos é mais viável financeiramente? Justifique. 
 
12. Uma loja vende um televisor nas seguintes condições: entrada de $1.000,00 mais 
uma parcela de $1.200,00, após um mês. Severino propõe pagar uma entrada de 
$600,00, mais duas prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um mês após 
a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3%a.m., qual o valor de cada 
parcela, de modo que as duas formas de pagamentos sejam equivalentes? $817,90 
 
13. Rosicléia tem uma dívida de $60.000,00 para daqui a 2 meses e outra de 
$80.000,00 para daqui a 3 meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de juros de 
2% a.m., para fazer frente a essas dívidas? 
$133.055,91 
14. Um conjunto de sofás é vendido à vista por $1.500,00, ou a prazo em três 
prestações mensaissem entrada, sendo a segunda igual ao dobro da primeira e a 
terceira o triplo da primeira. Obtenha o valor da segunda prestação, sabendo-se 
que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 5% a.m.. 
Primeira prestação = $279,96; Segunda Prestação = $559,92 
 
53 
Matemática Financeira 
15. Um aparelho de DVD é vendido por $1.500,00 ou por 20% de entrada, mais duas 
parcelas mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de juros vale 6%a.m., qual o 
valor de cada parcela de modo que as duas formas de pagamento sejam 
equivalentes? $654,52 
 
16. Genivaldo deve a outra pessoa a importância de $12.400,00. Para a liquidação da 
dívida, propõe os seguintes pagamentos:$3.500,00 ao final de 2 meses; $4.000,00 
ao final de 5 meses; $1.700,00 ao final de 7 meses e o restante em um ano. Sendo 
de 3% ao mês a taxa efetiva de juros cobrada no empréstimo, pede-se calcular o 
valor do último pagamento. 
$6.085,47 
 
17. Cleonícia fez um financiamento no valor de $120.000,00 para aquisição de um 
imóvel. Ela pagará 36 parcelas mensais no valor de $2.500,00, mais 6 parcelas 
intermediárias semestrais e iguais. O banco cobra uma taxa nominal de juros de 
30% a.a., capitalizada mensalmente. Determinar o valor das parcelas 
intermediárias. 
$16.571,00 
 
 
 
 
 
 
SUCESSO A TODOS!!!! 
Prof. Dr. Edimilson Costa Lucas 
e-mail: eclucas@fgvmail.br 
 
 
	Untitled
	Untitled
	Untitled
	Untitled
	Untitled
	Untitled