1 RM Eq Reações de Apoio

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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS 
Prof. Rogério Prataviera 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS?!?! 
• Pra que estudar RM? 
• Análise de estruturas existentes 
• Projeto de novas máquinas e estruturas 
• Selecionar materiais para construção 
• Estabelecer proporções e dimensões dos 
elementos para cumprir sua finalidade (segurança, 
durabilidade, confiabilidade, menor $ possível) 
• Estudar as relações entre cargas 
externas aplicadas a um corpo e a 
intensidade das forças internas que 
atuam dentro do corpo 
 
MECÂNICA GERAL 
CONCEITOS E DEFINIÇÕES BÁSICAS 
Trigonometria no Triângulo 
Retângulo 
Relação Importante 
Como determinar o 
valor do ângulo θ 
sabendo-se os valores 
de “a”, “b” e “c” ? 
Vetor 
• Decomposição de Vetores 
 
 
 Fx = F . cosθ 
 Fy = F . senθ 
Vetor - Exemplo 
• Um gancho fixado ao teto suporta uma força de 
400N conforme mostrado na figura. Determinar as 
componentes horizontal e vertical da força. 
Resposta: 
. 
Fx = 257,1 N 
. 
Fy = 306,4 N 
Resultante de forças concorrentes 
coplanares 
• São forças que possuem o mesmo ponto de 
aplicação e atuam em um mesmo plano! 
 
 
FxR 
FyR 
FR 
FxR = Fx1 + Fx2 + Fx3 + Fx4 
 
𝐹𝑥𝑅 = 𝐹𝑥𝑖
𝑛
𝑖
 
 
FyR = Fy1 + Fy2 + Fy3 + Fy4 
 
𝐹𝑦𝑅 = 𝐹𝑦𝑖
𝑛
𝑖
 
 
𝐹𝑅 = 𝐹𝑥𝑅
2 + 𝐹𝑦𝑅
2 
Exercícios 
1) Um anel está sujeito às forças indicadas na 
figura. Pede-se determinar a resultante das 
forças aplicadas e o ângulo que ela faz com a 
horizontal. 
Resposta: 
. 
Fx = 36,6 kN 
.Fy = - 211,57 kN 
FR = 214,71 kN 
Θ = - 80,18° 
2) Um anel está sujeito às forças indicadas na 
figura. Determine a intensidade e a orientação 
da força resultante 
3) Determine a 
intensidade e a 
direção θ de F1, de 
modo que a força 
resultante seja orien-
tada verticalmente 
para cima e tenha 
intensidade de 800 N 
 
 
 
Resposta: 
F1 = 274,67 N 
Θ = 29,101° 
Forças equivalentes 
• Dado um conjunto de forças, 
solicitações externas, é possível 
determinar a solicitação resultante 
(equivalente ao conjunto de forças) em 
um determinado ponto de interesse 
para ser analisado. 
• Pode ser utilizado para fazer análise 
crítica da estrutura! 
Forças que atuam num sistema 
• Força concentrada (pontual) 
– Força que, por agir sobre uma área muito 
pequena da superfície de um corpo, para efeito 
de cálculo, é considerada aplicada em um único 
ponto 
 
Forças que atuam num sistema 
• Força de superfície 
– Força que se distribui sobre a superfície do 
corpo. São causadas pelo contato direto de um 
corpo com a superfície de outro 
Forças que atuam num sistema 
• Força linearmente distribuída 
– Força que, por agir sobre uma faixa muito 
estreita da superfície do corpo, para efeito de 
cálculo, é suposta distribuída sobre uma linha 
Carregamento distribuído simples 
• O carregamento distribuído simples 
pode ser representado por uma única 
força resultante 
 
• A força resultante é equivalente à área 
sob o diagrama de carregamento e, sua 
linha de ação passa pelo centroide da 
área da figura do diagrama. 
Exemplo 
Substitua o carregamento abaixo por 
forças pontuais 
O 
40 kN/m 
9 m 
x 
90 kN/m 
Exemplo 
Substitua o carregamento abaixo por 
forças pontuais 
O 
40 kN/m 
9 m 
x 
90 kN/m 
F1 F2 
x2 
x1 
50 kN/m 
40 kN/m 
1 
2 
 
 
 
• Centroide de 
algumas figuras 
planas conhecidas 
Exemplo 
Substitua o carregamento abaixo por 
forças pontuais 
O 
40 kN/m 
9 m 
x 
90 kN/m 
F1 = 225 kN F2 = 360 kN 
x2 = 4,5 m 
x1 = 3 m 
50 kN/m 
40 kN/m 
1 
2 
• Estudo do equilíbrio de sistemas de forças 
não concorrentes (determinar as forças que 
agem e reagem no sistema) 
Equilíbrio 
• Corpo em equilíbrio  sistema de forças não 
causa qualquer movimento translacional ou 
rotacional 
 
• Resultante das forças e do momento atuante no 
sistema vale 0 
Equilíbrio de um corpo rígido 
 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑧 = 0 
 𝑀𝑥 = 0 𝑀𝑦 = 0 𝑀𝑧 = 0 
Reações de Apoio 
Reações de Apoio 
Reações de Apoio 
Reações de Apoio 
Reações de Apoio 
Reações de Apoio 
Reações de Apoio - Exemplos 
Reações de Apoio - Exemplos 
• Hipostática: 
– vinculação insuficiente: 
• movimentos globais permitido; 
• equilíbrio apenas de sistemas de forças particulares 
Estaticidade da estrutura 
2 
• Hiperestática: 
– vinculação mais do que suficiente para impedir 
movimento: 
• Reações de apoio não podem ser determinadas somente 
pelas equações globais de equilíbrio 
Estaticidade da estrutura 
• Isostática: 
– vinculação mínima suficiente para impedir 
movimento: 
• Reações de apoio determinadas exclusivamente 
através das equações globais de equilíbrio 
Estaticidade da estrutura 
Cálculo reações 
• Antes de calcular as reações de um sistema 
causada pela ação de um sistema de forças, 
deve-se determinar o Diagrama de corpo 
livre. 
 
 
• Para o cálculo das reações de um sistema 
isostático, deve-se usar as equações 
globais de equilíbrio. 
 
 
Exemplo 1 
Faça o diagrama de corpo livre da estrutura 
abaixo, considerando o apoio da esquerda e da 
direita como sendo apoios fixo e móvel, 
respectivamente. Considere que as estruturas 
apoiadas ao longo da viga tem peso iguais a F 
separadas por uma distância de 2 m. 
Exemplo 1 
Faça o diagrama de corpo livre da estrutura 
abaixo, considerando o apoio da esquerda e da 
direita como sendo apoios fixo e móvel, 
respectivamente. Considere que as estruturas 
apoiadas ao longo da viga tem peso iguais a F 
separadas por uma distância de 2 m. 
2m 2m 2m 2m 
Exemplo 2 
Desenhe um diagrama de corpo livre da viga 
uniforme mostrada na figura abaixo. A viga possui 
uma massa de 100 kg. 
Nota: considere aceleração da gravidade g = 9,81 m/s² 
Exemplo 2 
Desenhe um diagrama de corpo livre da viga uniforme 
mostrada na figura abaixo. A viga possui uma massa de 100 kg. 
Nota: considere aceleração da gravidade g = 9,81 m/s² 
Exemplo 3 
Desenhe um diagrama 
de corpo livre da 
plataforma descarregada 
que está suspensa para 
fora do equipamento de 
óleo mostrado na figura 
ao lado. A plataforma 
possui uma massa de 
200 kg. 
Nota: considere aceleração 
da gravidade g = 9,81 m/s² 
 
 
Exemplo 3 
Diagrama de corpo livre 
 
Exemplo 4 
Determine as reações de apoio do exemplo 2 
Exemplo 4 
Determine as reações de apoio do exemplo 2 
 
Ax = 0 
Ay = 2181 N 
MA = 5343 N.m 
 
Exemplo 5 
Determine as reações Ax, Ay e T do exemplo 3 
Exemplo 5 
Determine as reações Ax, Ay e T do exemplo 3 
 
T = 1140,06 N 
Ax = 389,02 N 
Ay = 890,69 N 
 
Exemplo 6 
Determine as componentes horizontal e 
vertical da reação no pino A e a tração 
desenvolvida no cabo BC usado para sustentar 
a estrutura de aço. 
Exemplo 6 
Determine as componentes horizontal e 
vertical da reação no pino A e a tração 
desenvolvida no cabo BC usado para sustentar 
a estrutura de aço. 
Exemplo 6 
 𝑀𝐴 = 0 (Anti-horário = + ) 
T(3/5).3 + T(4/5).1 – 60.1 – 30 = 0 
T = 34,62 kN 
 
 𝐹𝑥 = 0 (Direita = + ) 
Ax – 34,62.(3/5) = 0 
Ax = 20,8 kN 
 
 𝐹𝑦 = 0 (Cima = + ) 
Ay – 60 – 34,62.(4/5) = 0 
Ay = 87,7 kN 
 
O 
Determine as reações nos pontos A e B 
50 kN/m 
9 m 
x 
100 kN/m 
A B 
Exemplo 7 
O 
Determine as reações nos pontosA e B 
50 kN/m 
9 m 
x 
100 kN/m 
Ay = 375 kN 
By = 300 kN 
Exemplo 7 
Ax = 0 
Exemplo 8 
Uma estrutura em arco treliçado é fixada ao suporte articulado 
no ponto A, e sobre roletes em B num plano de 30° com a 
horizontal. O vão AB mede 20 m. O peso próprio da estrutura 
é de 100 kN. A força resultante dos ventos é de 20 kN, e situa-
se a 4 m acima de A, horizontalmente, da direita para a 
esquerda. Determine as reações nos suportes A e B. 
Ax 
Ay 
 𝑀𝐵 = 0 (Anti-horário = + ) 
-100.10 + Ay.20 + 20.4 = 0 
Ay = 46,0 kN 
 
 𝐹𝑦 = 0 (Cima = + ) 
46 – 100 + RB.sen60° = 0 
RB = 62,4 kN 
 
 𝐹𝑥 = 0 (Direita = + ) 
Ax – 20 + 62,4.cos60° = 0 
Ax = -11,2 kN 
Exercícios 
Propostos 
 
 
Exercício 1 
O transformador elétrico 
de 1500 N com centro de 
gravidade em G é 
sustentado por um pino 
em A e uma sapata lisa 
em B. Determine as 
componentes horizontal e 
vertical da reação no pino 
A e a reação da sapata B 
sobre o transformador 
Exercício 1 
O transformador elétrico 
de 1500 N com centro de 
gravidade em G é 
sustentado por um pino 
em A e uma sapata lisa 
em B. Determine as 
componentes horizontal e 
vertical da reação no pino 
A e a reação da sapata B 
sobre o transformador 
Ay = 1500 N 
Bx = 750 N 
Ax = 750 N 
Exercício 2 
Determine as reações de apoio sobre o membro 
na figura abaixo. O colar em A é fixo no membro e 
pode deslizar verticalmente ao longo da barra 
vertical. 
Exercício 2 
Determine as reações de apoio sobre o membro 
na figura abaixo. O colar em A é fixo no membro e 
pode deslizar verticalmente ao longo da barra 
vertical. 
 
Ax = 0 
NB = 900 N 
MA = 1,49 kN.m 
 
Determine as reações nos apoios A e B da 
estrutura 
 
Exercício 3 
Determine as reações nos apoios A e B da 
estrutura 
 
Exercício 3 
Ay = 36,8 kN 
By = 83,2 kN Bx = 2,5 kN 
Exercício 4 
O membro mostrado na figura abaixo está 
conectado por um pino em A e apoia-se em um 
suporte liso em B. Determine e indique as 
reações presentes nos apoios A e B. 
 
Exercício 4 
O membro mostrado na figura abaixo está 
conectado por um pino em A e apoia-se em um 
suporte liso em B. Determine e indique as 
reações presentes nos apoios A e B. 
 
Ay = 233,2 N 
B = 200 kN 
Ax = 100 N 
60° 
Determine as reações nos pontos A e B. 
 
Exercício 5 
Determine as reações nos pontos A e B. 
 
Exercício 5 
Ay = 1,45 kN By = 4,35 kN 
Bx = 1,25 kN 
Determine as reações nos pontos A e E 
 
Exercício 6 
Determine as reações nos pontos A e E 
 
Exercício 6 
Ay = 197 N 
Ey = 36 N 
Exercício 7 
Determine as componentes horizontal e vertical da reação 
sobre a viga, causada pelo pino em B e o apoio oscilante em 
A, como mostra a figura abaixo. Despreze o peso da viga. 
 
A B 
Exercício 7 
 𝐹𝑥 = 0 (Direita = + ) 
600.cos45° - Bx = 0 
Bx = 424,26 N 
 
 𝑀𝐵 = 0 (Anti-horário = + ) 
100.2 + 600.sen45°.5 – Ay.7 – 600.cos45°.0,2 = 0 
Ay = 319,49 N 
 
 𝐹𝑦 = 0 (Cima = + ) 
319,49 – 600.sen45° - 100 – 200 + By = 0 
By = 404,77 N 
Determine as reações nos pontos A e C. 
 
Exercício 8 
Determine as reações nos pontos A e C. 
 
Exercício 8 
 
Ax = 1000 N 
(para direita) 
 
Ay = 916,7 N 
(para cima) 
 
Cy = 16,7 N 
(para baixo) 
 
Obrigado 
rpprataviera@anhembi.br