apostila matemática básica

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Apostila: Matemática Básica – por Prof. Emerson F. A. Couto
Apostila de Matemática Básica
Assunto: 
MATEMÁTICA BÁSICA
Coleção Fundamental - volume 1/8
Autor:
Prof. Emerson F. A. Couto
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Sumário
Unidade 1 – Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio	04
Apresentação	04
Simbologia Matemática mais usual	04
Conjuntos Numéricos	05
Operações com Números Relativos	07
Soma ou Adição	07
Subtração ou Diferença	08
Multiplicação	09
Divisão	09
Potenciação	10
Radiciação	11
Produto	14
Expoente Nulo	15
Expoente Negativo	15
Expoente Fracionário	16
Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos números	16
Produtos Notáveis	16
Quadrado de um binômio	16
Produto da Soma de dois termos pela diferença entre eles	17
Cubo de um binômio	17
Equações	19
Equação do 1.º grau com uma Incógnita	19
Equação do 2.º grau com uma Incógnita	20
Progressão Aritmética (P. A.)	22
Definição	22
Classificação	22
Termo Geral	23
Propriedades	23
Soma dos n primeiros termos de uma P. A.	25
Progressão Geométrica (P. G.)	28
Definição	28
Classificação	29
Termo Geral	29
Propriedades	30
Soma dos n primeiros termos de uma P. G.	32
Coordenadas Cartesianas no Plano	35
Equação reduzida da Reta	37
Noção de Aplicação	42
Exercícios Propostos	43
Respostas dos Exercícios Propostos	46
Números Complexos	47
Introdução	47
Potências de j	50
Representações e Formas de um Número Complexo	51
Representações	51
As Fórmulas de Euler e suas decorrências	54
Formas	55
c.1) Cartesiana ou Retangular	55
c.2) Trigonométrica	55
c.3) Exponencial ou de Euler	55
c.4) Polar ou de Steinmetz	55
c.5) Algumas Formas Polares Especiais	60
c.6) Complexo Conjugado	60
Operações com Números Complexos	62
Igualdade	62
Adição e Subtração	62
Multiplicação	67
Divisão	69
Potenciação	71
Radiciação	74
Desigualdade do Triângulo	82
Curvas e Regiões no Plano Complexo	84
Circunferência	84
Disco Fechado	86
Disco Aberto	87
Exterior da Circunferência	87
Coroa Fechada	88
Coroa Aberta	88
Circunferência Unitária	88
Reta que une dois pontos	89
Exercícios Propostos sobre Números Complexos	90
Respostas dos Exercícios Propostos sobre Números Complexos	97
Unidade 2 – Somatórios, Produtórios e uma Introdução às Medidas de Posição	115
Introdução aos Somatórios	115
Definição formal de somatório	116
Propriedades dos Somatórios	118
2.4 	Somatório Duplo	125
2.5	Propriedade dos Somatórios Duplos	127
2.6	Exercícios Propostos sobre Somatórios	128
2.7	Respostas dos Exercícios Propostos sobre Somatórios	132
2.8	Introdução aos Produtórios	134
2.9	Definição Formal de Produtório	134
2.10	Propriedades dos Produtórios	135
2.11	Exercícios Propostos sobre Produtórios	137
2.12	Respostas dos Exercícios sobre Produtórios	139
2.13	Introdução às Medidas de Posição	140
2.14	Média Aritmética – Dados Não-agrupados	140
2.15	Média Aritmética – Dados Agrupados	141
2.16	Média Geral	143
2.17	Média Geométrica – Dados Não-agrupados	143
2.18	Média Geométrica – Dados Agrupados	144
2.19	Média Harmônica – Dados Não-agrupados	145
2.20	Média Harmônica – Dados Agrupados	146
2.21	Exercícios Propostos sobre Medidas de Posição	149
2.22	Exercícios de Revisão sobre Medidas de Posição	151
2.23	Respostas dos Exercícios Propostos sobre Medidas de Posição	152
2.24	Respostas dos Exercícios de Revisão sobre Medidas de Posição	152
Unidade 3 – Matrizes, um primeiro enfoque	153
3.1.	Apresentação	153
3.2.	Introdução Histórica	153
3.3.	Conceitos Fundamentais	154
3.4.	Matrizes Especiais e Operações com Matrizes	160
Matriz Linha	161
Matriz Coluna	161
Matriz Quadrada	161
Matriz Triangular	164
Matriz Diagonal	164
Matriz Escalar	165
Matriz Identidade ou Matriz Unidade	165
Matriz Nula ou Matriz Zero	166
Igualdade de Matrizes	166
Transposição de matrizes	167
Matriz Oposta	168
Matriz Conjugada	169
Matriz Simétrica	170
Matriz Anti-simétrica	171
Matriz Hermitiana	173
Matriz Anti-hermitiana	173
Soma ou Adição de Matrizes	174
Subtração ou Diferença de Matrizes	178
Produto de um Número Complexo por uma Matriz	179
Produto de Matrizes	186
Matriz Periódica	204
Matriz Idempotente	205
Matriz Nilpotente ou Nulipotente	206
Polinômio de uma Matriz	206
Matrizes em Blocos ou Partição de Matrizes	207
Exercícios Propostos	211
Respostas dos Exercícios Propostos	218
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Unidade 1�
Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio
Apresentação
Esta é a primeira unidade da disciplina Matemática 1 dos cursos da área de Informática da Universidade Estácio de Sá.
Devido à flagrante heterogeneidade dos alunos, e já tendo tido várias turmas anteriores de experiência, optamos por apresentar, mesmo que de forma sucinta, alguns assuntos básicos que entendemos como sendo absolutamente fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os estudantes que estejam fora do “bom combate” há algum tempo, ou há muito tempo, possam colocar suas idéias de novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares.
Simbologia Matemática mais usual
Esperamos que o estudante conheça a seguinte simbologia:
= 	(igual à)
( 	(diferente de)
( ou 
	(conjunto vazio) 
( 	(pertence à)
( 	(não pertence à)
( 	(está contido)
( 	(não está contido)
( (contém)
 (não contém)
(	(existe pelo menos um)
	(não existe)
(|	(existe e é único)
| 	(tal que / tais que)
(	(ou)
(	(e)
 	(interseção dos conjuntos A e B)
 	(união dos conjuntos A e B)
(	(para todo e qualquer, qualquer que seja)
(	(implica)
(	(implica e a recíproca é equivalente)
(	(donde se conclui)
Conjuntos Numéricos
É lógico que, para a Matemática, os conjuntos de maior importância são aqueles formados por números, e certos conjuntos numéricos são especialmente importantes devido às propriedades das operações entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam:
N
é o conjunto dos números inteiros não-negativos.
Z
é o conjunto dos números inteiros.
Q
 sendo p ( Z, q ( Z e q (0.
É o conjunto dos números racionais.
São exemplos de números racionais: 
, 
, 
, etc.
São exemplos de números irracionais: 
 (pi), 
 (base dos logaritmos neperianos), 
, 
, etc.
R é o conjunto dos números reais, formados por todos os números racionais e irracionais, e costumamos associar tais números aos pontos de uma reta que, por definição, é infinita em ambos os sentidos.
Fig. 1.1 Representação gráfica de alguns elementos do conjunto R.
, sendo x ( R, y ( R e é 
, é o conjuntos dos números complexos (voltaremos a tal assunto na seção 1.14).
Quando incluímos o símbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excluído do conjunto. Assim, temos:
��EMBED Equation.3N e 
é o conjunto dos números naturais.
 
 Z e 
��EMBED Equation.3 Q e 
��EMBED Equation.3 R e 
��EMBED Equation.3 C e 
Quando incluímos o símbolo + (mais), estamos indicando que foram excluídos todos os números negativos dos conjunto.
��EMBED Equation.3 Z e 
��EMBED Equation.3
é o conjunto dos números inteiros não negativos.
��EMBED Equation.3 Q e 
é o conjunto dos números racionais não negativos
��EMBED Equation.3 R e 
é o conjunto dos números reais não negativos.
Quando acrescentamos o símbolo – (menos) estamos indicando que foram excluídos todos os números positivos do conjunto. Assim, temos:
��EMBED Equation.3 Z e 
é o conjunto dos números inteiros não positivos.
��EMBED Equation.3 Q e 
é o conjuntos dos números racionais não positivos.
��EMBED Equation.3 R e 
é o conjunto dos números reais não positivos.
Devemos notar que o zero é elemento dos conjuntos 
, 
, 
, 
, 
, 
. Seexcluímos o zero destes conjuntos, teremos:
��EMBED Equation.3 Z e 
��EMBED Equation.3 Z e 
��EMBED Equation.3 Q e 
��EMBED Equation.3 Q e 
��EMBED Equation.3 R e 
��EMBED Equation.3 R e 
O conjunto 
 é chamado conjunto dos números reais estritamente positivos e 
 é o conjunto dos números reais estritamente negativos. Os outros têm nomes semelhantes.
Notemos a propriedade:
isto é, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional, todo número racional é real e todo número real é também complexo.
Operações com Números Relativos
	( Ilustração 1.1: Números relativos
Soma ou Adição
	Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+).
	( Ilustração 1.2
	Quando devemos somar mais de dois números relativos o resultado é obtido somando o primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante até a última parcela.
	( Ilustração 1.3
2
	Podemos também adicionar separadamente todas as parcelas positivas e todas as negativas e, em seguida, somar os dois números de sinais contrários obtidos.
	( Ilustração 1.4
	Efetuando a soma do exemplo anterior, temos:
soma das parcelas positivas: 
soma das parcelas negativas: 
soma de ambos os resultados:
Subtração ou Diferença
	Cumpre observar que o sinal de menos (–) antes de um parêntese troca o sinal do número que está entre parênteses e, no mais, procedemos como na operação anterior.
	( Ilustração 1.5
	Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra: “Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos”.
Multiplicação
	( Ilustração 1.6
Divisão
	( Ilustração 1.7
Potenciação
Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de fatores iguais a este número, sendo representada por:
	
 
	Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é positiva, qualquer que seja o sinal da base, porém, toda potência de expoente ímpar tem o sinal de base.
	( Ilustração 1.8
Para executar a potenciação de um número relativo em uma minicalculadora, a seqüência de operações é simples:
Determinar :
1.º) Digitamos a base (2)
	2.º) Pressionamos a tecla exponencial 
	
	
	(CASIO modelo fx-82LB)
ou
(CASIO modelo fx-6300 G)
	
	, 
que depende do modelo da minicalculadora.
3.º) Digitamos o expoente (4)
	4.º) Pressionamos a tecla exponencial 
	
	
	(CASIO modelo fx – 82LB)
ou
(CASIO modelo fx – 6300G)
	
,
 que depende do modelo da minicalculadora.
5.º) Vai aparecer o número 16 no visor da calculadora.
Determinar 
:
Primeiramente digitamos a base (–2). Em algumas calculadoras (CASIO fx 82 – LB, por exemplo) digitamos o número 2 e depois apertamos a tecla 
 para trocar o sinal para menos. Em outras (CASIO fx – 6300G) apertamos a tecla – e depois digitamos o número 2. O restante da seqüência de operações é igual a do item a: tecla exponencial, expoente...
	A esta altura é interessante notar a diferença entre a potenciação seqüencial e a potenciação escalonada, que serão analisadas logo a seguir.
	( Ilustração 1.9
Potenciação Seqüencial:
, que também pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base e multiplicando-se os expoentes:
Potenciação Escalonada:
que pode ser entendida como 
 , ou seja:
Radiciação
Raiz n-ésima de um número:
Dizemos que um número “b” é a raiz n-ésima exata de um número “a” quando
e ela é representada por
Denomina-se radiciação a operação pela qual se obtém a raiz n-ésima de um número. Nas operações exatas, a radiciação é a operação inversa da potenciação.
Temos então: 
Assim sendo
 porque 
 porque 
No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e não é usual escrever este índice no radical.
No caso de n = 3 a raiz se diz cúbica, mas este índice aparece no radical.
Valor algébrico dos radicais:
Se o radicando é considerado em valor absoluto (módulo), a radiciação é uma operação unívoca. No entanto, se este radicando é um número relativo a unicidade, em alguns casos, não estará mais garantida e por isso vamos considerar três casos:
1.º) Índice par e radicando positivo.
		Neste caso o radical admitirá duas raízes reais e simétricas no conjunto dos números reais, bem como um par complexo conjugado (vide exercício proposto 39, item j da seção 1.15).
2.º) Índice ímpar.
		Sendo o índice do radical um número ímpar, temos uma raiz no conjunto dos números reais, tendo o mesmo sinal que o radicando, e (n – 1) raízes no conjunto dos números complexos (vide exercício proposto 38, item f, da seção 1.15).
3.º) Índice para e radicando negativo.
		Neste caso não existe nenhum valor do conjunto do números reais que elevado ao índice para seja igual ao radicando. Este assunto será abordado na seção 1.14.
	( Ilustração 1.10
1.º caso 
2.º caso 
3.º caso 
Observação: pelo que foi exposto, se alguém lhe perguntar qual é o valor de 
, a resposta e simplesmente 3. Agora se for pedido o valor algébrico do 
 teremos então ( 3.
A determinação de raízes através de minicalculadoras é simples:
Determinar 
:
a.1) 	Utilizando uma CASIO fx-82 LB:
1.º) Digitamos o radicando 625
2.º) Pressionamos as teclas 
 e 
 a fim de convocar a operação 
3.º) Digitamos o expoente 4
4.º) Pressionamos a tecla 
 
5.º) O número 5 aparece no visor de calculadora, e devemos ter em mente que se desejamos o valor algébrico da raiz a resposta completa é ( 5.
a.2) 	Utilizando uma CASIO fx-6300 G
1.º) Digitamos o índice 4
2.º) Pressionamos a tecla 
3.º) Digitamos o radicando 625
4.º) Pressionamos a tecla 
5.º) O número 5 aparece no visor
Determinar 
:
a.1) 	Utilizando um CASIO fx-82 LB
1.º) Digitamos o valor 32 e pressionamos a tecla 
 para trocar o seu sinal
2.º) Pressionamos as teclas 
 e 
 a fim de convocar a operação 
3.º) Digitamos o índice 5
4.º) Pressionamos a tecla 
5.º) O valor – 2 aparece no visor.
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G
1.º) Digitamos o índice 5
2.º) Pressionamos a tecla 
3.º) Pressionamos a tecla 
 e depois o valor 32
4.º) Pressionamos a tecla 
5.º) O valor – 2 aparece no visor.
Observação: Devemos notar que as rotinas para calculadoras do mesmo fabricante (CASIO), mas de modelos diferentes, são totalmente diferentes. O que não esperar de modelos de outros fabricantes?
Por isso insistimos que cada estudante deve adquirir logo sua própria calculadora, a fim de se familiarizar com o uso da mesma.
1.4.7 	Produto e Divisão de Potências de Mesma Base
 Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos o expoente do denominador do expoente do numerador.
	( Ilustração 1.11
1.4.8. 	Expoente Nulo
	Toda potência de expoente nulo é igual à unidade.
	Ilustração 1.12
Observação:
São exceções 
 e 
, que não têm qualquer significado numérico, sendo símbolos de indeterminação, e são abordados em Análise Matemática na parte de Limites.
1.4.9 	Expoente NegativoToda potência de expoente negativo equivale a uma fração cujo numerador é a unidade e o denominador é a potência com o expoente positivo ou seja: 
 . (1)
	( Ilustração 1.13
Observações:
1ª)	Em conseqüência do exposto anteriormente temos:
 (2)
2ª)	Agora podemos obter o mesmo resultado do item (d) da ilustração 11 por outro caminho:
1.4.10 	Expoente Fracionário
Toda potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo índice é o denominador da fração e cujo radicando é a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja:
 (3)
	( Ilustração 1.14
	Determinar os valores algébricos das seguintes operações:
Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos Números
	( Ilustração 1.15
	No Brasil:	Nos E.U.A.:
*	—(	
*	—(	
	—(	
	—(	
(*) Antigamente representava-se 2 e 4 milhões, respectivamente por 2.000 e 4.000.000. Já há alguns anos aboliram-se os pontos separatrizes de classes, mantendo-se agora um espaço entre as mesmas.
Produtos Notáveis
Quadrado de um binômio
:
ou
 (4)
:
ou
 (5)
Produto da soma de dois termos pela diferença entre eles
:
ou
 (6)
Cubo de um binômio
ou
 (7)
ou
 (8)
	( Ilustração 1.16
Equações
Equação do 1º Grau com uma Incógnita
Toda equação do 1º grau com uma incógnita pode ser reduzida a forma
 (9)
em que 
.
Sua solução é:
 (10)
Exemplo 1.1
Resolver as seguintes equações do 1º grau:
 (sendo p ( 0)
Solução:
Equação do 2º Grau com uma Incógnita
A forma geral da equação do 2º grau com uma incógnita é:
 (11)
onde 
.
Vamos então transformar a equação em outra equivalente, de modo que o primeiro membro seja um quadrado perfeito do tipo indicado na equação (4).
Transpondo a constante para o segundo membro, vem:
Multiplicando por 
, teremos:
Somando 
 aos dois membros, resulta:
Verificando que o 1º membro é um quadrado perfeito, teremos:
Extraindo as raízes quadradas de ambos os membros, obtemos:
 (12)
que é a conhecida fórmula da Bhaskara, onde
.....(13)
é o discriminante da equação, e três casos podem ocorrer:
1º)	
 ( teremos duas raízes reais e desiguais.
2º)	
 ( teremos duas raízes reais e iguais.
3º)	
 ( não teremos raízes no conjunto dos números reais, e este caso será abordado na seção 1.14.
Exemplo 1.2
Resolver as seguintes equações do 2º grau:
Solução:
e esta equação não admite raízes no campo real. Sua solução será apresentada na subseção 1.14.1 (
 e 
 são as suas raízes).
Progressão Aritmética (P.A.)
Definição
É uma sucessão de termos
(
)
finita ou infinita, sendo que, a partir do 2º termo inclusive, a diferença entre um termo qualquer e o seu antecedente é igual a uma quantidade constante r, denominada razão da progressão, ou seja:
As seguintes seqüências são exemplos de P.A.:
(
 e 
(
 e 
(
 e 
 e 
(
 e 
Classificação
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r:
P.A. crescente
P.A. constante ou estacionária
P.A. decrescente
Termo geral
A partir da definição, podemos escrever os termos da P.A. da seguinte forma:
Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro um número de razões r igual à posição do termo menos uma unidade, ou seja:
O termo de ordem n da P.A. é dado, portanto, pela fórmula a seguir:
 (14)
que pode também ser obtida da seguinte maneira:
	
	Somando membro a membro estas n – 1 igualdades obtemos a expressão do termo de ordem n.
e
 (14)
que é a mesma equação anteriormente encontrada.
Propriedades
Numa P.A. cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética entre o termo precedente e o termo seguinte.
Com efeito, se
são termos consecutivos de uma P.A., então podemos escrever:
ou seja,
e
 (15)
Em qualquer P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é constante e igual à soma dos próprios extremos.
Seja pois a P.A. limitada, com n termos, razão r, e A e B os termos eqüidistantes dos extremos, conforme ilustrado a seguir:
(
)
( expoente (n.º de repetições dos fatores iguais)
( base (é o número ou fator em questão)
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–3
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–2
–1
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1
2
3
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