Apostila Matematica basica geral

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APOSTILA 
INICIAL E CONTINUADA EM MONTADOR DE PAINÉIS ELÉTRICOS 
MODALIDADE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 
 
 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAPÁ ● IFAP 
 
Reitora 
MARIALVA DO SOCORRO RAMALHO DE OLIVEIRA DE ALMEIDA 
 
Pró-Reitora de Extensão 
ÉRIKA DA COSTA BEZERRA 
 
Pró-Reitor de Ensino 
ROMARO ANTONIO SILVA 
 
Pró-Reitor de Pesquisa, Pós-Graduação 
THEMÍSTOCLES RAPHAEL GOMES SOBRINHO 
 
Pró-Reitor de Gestão de Pessoas 
DIOGO BRANCO MOURA 
 
Pró-Reitora de Administração 
ANA PAULA ALMEIDA CHAVES 
 
Diretor-Geral do Campus Macapá 
MÁRCIO GETÚLIO PRADO DE CASTRO 
 
Diretor-Geral do Campus Santana 
MARLON DE OLIVEIRA NASCIMENTO 
 
Diretora-Geral do Campus Laranjal do Jari 
LUCILENE DE SOUSA MELO 
 
Diretor-Geral do Campus Porto Grande 
JOSÉ LEONILSON ABREU DA SILVA JÚNIOR 
 
Diretor do Campus Avançado Oiapoque 
ELIEL CLEBERSON DA SILVA NERY 
 
Coordenador do Centro de Referência EaD Pedra Branca do Amapari 
ORIAN VASCONCELOS CARVALHO 
 
COMISSÃO DE ELABORAÇÃO DO PROJETO PEDAGÓGICO DE CURSO 
Portaria 40/2020-DIGERAL/STN/IFAP 
Leila Cristina Nunes Ribeiro (presidente) 
Adriana Valeria Barreto de Araujo 
Elaine Cristina Brito Pinheiro 
Jamilli Marcia dos Santos Uchoa 
Maria Vaires Nunes Silva 
Neilson Oliveira da Silva 
Valdemir Colares Pinto 
 
 
 
 
Curso: Cadista para Construção Civil 
Turma: F1 
Polo: 
 
Macapá 
Componente Curricular: 
 
Matemática Básica 
CH: 
 
10h 
Módulo: 
 
I 
Docente: Suellen Naiara Pereira da Costa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I - CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
1. Conjunto dos Números Naturais ℕ 
São os números positivos inclusive o zero, que representem uma contagem 
inteira. 
ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, … } 
 
Dica 1: Não há números naturais negativos. 
 
Os números naturais são usados: 
 Nas constagens- por exemplo, o Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE) estima que a população Brasileira em 2020 será de 
aproximadamente 212 milhões de habitantes; 
 Nos códigos-por exemplo, o Código de Endereçamento Postal (CEP) da 
cidade de Macapá, no Amapá, é 68900-000; 
 E também para expressar medidas de grandezas-por exemplo, 8 horas, 10 
centímetros, 3 litros, 50 Kg, 100 Km/h, etc. 
 
2. Conjunto dos Números Inteiros ℤ 
O conjunto formado pelos números naturais e pelos números inteiros 
negativos é chamado conjunto dos números inteiros e denotado por ℤ. 
 
ℤ = {… , −𝟓, −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, … } 
 
Dica 2: Não há números inteiros em fração ou decimal. 
 
 Operações 
Adição 
Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
𝐚) (𝟑) + (𝟓) = 𝟖 𝐛)(−𝟒) + (−𝟔) = −𝟏𝟎 
 
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior 
número absoluto. 
 
Exemplo 2: 
𝐚) (−𝟐) + (𝟔) = 𝟒 𝐛)(+𝟑) + (−𝟖) = −𝟓 
 
Subtração 
A subtração de dois números é calculada somando-se o primeiro número ao 
oposto do segundo 
 
Exemplo 2: 
𝐚) (−𝟏𝟓) − (−𝟗) = −𝟔 𝐛)(+𝟏𝟐) − (−𝟖) 
 
Multiplicação de números inteiros 
Pode-se representar a multiplicação por: *, x ou . 
 
Observe as seguintes multiplicações. 
 
Exemplo 3: 
 𝐚) 
 𝟐
𝒙 𝟔
 
𝟏𝟐
 𝐛) 
 𝟐𝟎
𝒙 𝟓
 
𝟏𝟎𝟎
 𝐂) 
 𝟏𝟓
𝒙 𝟏𝟐
 
𝟏𝟖𝟎
 
 
 Multiplicamos dois números positivos e o resultado foi um número positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
 
 𝐚) − 𝟐 𝐱 − 𝟔 = 𝟏𝟐 𝐛) − 𝟐𝟎 𝐱 − 𝟓 = 𝟏𝟎𝟎 𝐂) − 𝟏𝟓 𝐱 − 𝟏𝟐 = 𝟏𝟖𝟎 
 
 Multiplicamos dois números negativos e o resultado foi um número positivo. 
 
Exemplo 4: 
 
𝐚)𝟐 𝐱(−𝟔) = −𝟏𝟐 𝐛)𝟐𝟎 𝐱(−𝟓) = −𝟏𝟎𝟎 𝐂)𝟏𝟓 𝐱(−𝟏𝟐) = −𝟏𝟖𝟎 
 
 Multiplicamos um número positivo por um número negativo e o resultado foi 
um número negativo. 
 
Exemplo 5: 
 
𝐚) − 𝟐 𝐱 𝟔 = −𝟏𝟐 𝐛) − 𝟐𝟎 𝐱 𝟓 = −𝟏𝟎𝟎 𝐂) − 𝟏𝟓 𝐱 𝟏𝟐 = −𝟏𝟖𝟎 
 
 Multiplicamos um número negativo por um número positivo e o resultado foi 
um número negativo. 
 
Em qualquer multiplicação de números inteiros, temos: 
 O produto de dois números de mesmo sinal é um número positivo; 
 O produto de dois números de sinais diferentes é um número negativo. 
Ou seja: 
[
 (+). (+) = + 
 (−). (−) = + 
 (+). (−) = − 
 (−). (+) = − 
] 
 
Divisão de Números Inteiros 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: 
a) (𝟔𝟎) ∶ (−𝟏𝟓) = −𝟒 𝐛) (−𝟑𝟎): (𝟏𝟎) = −𝟑 𝐜) (−𝟔𝟓): (−𝟏𝟑) = 𝟓 
 
Numa divisão entre dois números inteiros, com o divisor diferente de zero, 
temos: 
 Quociente positivo quando esses números (dividendo e divisor) são de 
mesmo sinal; 
 Quociente negativo quando esses números (dividendo e divisor) são de 
sinais diferentes. 
Ou seja: 
 
[
 (+). (+) = + 
 (−). (−) = + 
 (+). (−) = − 
 (−). (+) = − 
] 
 
3. Conjunto dos números Racionais ℚ 
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que 
podem ser escritos na forma de fração com numerador e denominador inteiros e 
denominador diferente de zero 
 
ℚ = {𝐱|𝐱 =
𝐚
𝐛
, com a ∈ ℤ, 𝐛 ∈ ℤ 𝐞 𝐛 ≠ 𝟎} 
(O símbolo ≠ significa “diferente de” e | lê-se “tal que”) 
 
A restrição 𝐛 ≠ 𝟎 é necessária, pois 
𝐚
𝐛
 divisão de 𝐚 por 𝐛, só tem significado se 
𝐛 não for zero. 
 
ℚ = {𝟎, ±𝟏, ±
𝟏
𝟐
, ±
𝟏
𝟑
, … , ±𝟐, ±
𝟐
𝟑
, ±
𝟐
𝟓
, … ,
𝒂
𝒃
, … } 
 
Veja alguns exemplos de números racionais: 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: 
a) 𝟐: 𝟓 =
𝟐
𝟓
= 𝟎, 𝟒 𝐛) − 𝟕: 𝟓 =
−𝟕
𝟓
= −𝟏, 𝟒 𝐂) 𝟑 =
𝟑
𝟏
 
 
Representação decimal dos números racionais 
Dado um número racional 
𝐚
𝐛
, 𝐛 ≠ 𝟎, sua representação decimal é obtida 
dividindo-se 𝐚 por 𝐛, podendo resultar em: 
 
 Decimais exatos ou finitos: 
Exemplo 8: 
a) 
1
2
=0,5 
b) 
3
5
=0,6 
c) 
13
20
=0,65 
 
 Decimais periódicos ou dízimas periódicas infinitas: 
Exemplo 9: 
 
a) 
5
9
=0,5555…=0,5̅ (período igual a 5) 
b) 
4
33
=0,1212…=0,12̅̅̅̅ (período igual a 12) 
 
4. Conjunto dos Números Irracionais 𝖑 
Como o nome sugere, número irracional é todo número não racional, ou seja, 
é um número que não pode ser escrito na forma 
𝐚
𝐛
, sendo 𝐚 e 𝐛 inteiros quaisquer e 
𝐛 ≠ 𝟎. Como exemplos de números irracionais, temos a raiz quadrada de dois e a 
raiz quadrada de cinco: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10: 
a) √2 ≅ 1,414213562 … 
b) √5 ≅ 2,2360679 … 
 
5. Conjunto dos Números Reais ℝ 
A Reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números 
irracionais resulta no conjunto dos números reais, ou seja, os números naturais, 
racionais, irracionais e inteiros, são também um número real. 
 
II Números Fracionários 
1. Fração 
Quando um todo, ou uma unidade, é divido em partes iguais, uma dessas 
partes, ou a reunião de várias, forma o que chamamos de fração. 
São necessários dois números inteiros para representar uma fração: 
 O primeiro indica em quantas partes iguais foi dividida a unidade (ou o todo), 
dá nome a cada parte e é chamado denominador da fração; e 
 O segundo indica o número das partes que foram reunidas (ou tomadas da 
unidade) e é chamado numerador da fração. 
Na fração 
𝟕
𝟗
, o numerador é igual a 7, e o denominador é igual a 9, o que pode 
significar, por exemplo, que você cortou uma pizza em nove fatias iguais e serviu 
sete aos seus colegas. 
 
Leitura das frações 
 Frações com denominadores de 2 a 9. 
 
𝟏
𝟐
: (
𝐦𝐞𝐭𝐚𝐝𝐞
𝐮𝐦 𝐦𝐞𝐢𝐨
𝐨𝐮 𝐦𝐞𝐢𝐨
) 
𝟐
𝟑
: 𝐝𝐨𝐢𝐬 𝐭𝐞𝐫ç𝐨𝐬 
𝟑
𝟒
: 𝐭𝐫ê𝐬 𝐪𝐮𝐚𝐫𝐭𝐨𝐬 
𝟏
𝟓
: 𝐮𝐦 𝐪𝐮𝐢𝐧𝐭𝐨 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟓
𝟔
: 𝐜𝐢𝐧𝐜𝐨 𝐬𝐞𝐱𝐭𝐨𝐬 
𝟒
𝟕
: 𝐪𝐮𝐚𝐭𝐫𝐨 𝐬é𝐭𝐢𝐦𝐨𝐬 
𝟓
𝟖
: 𝐜𝐢𝐧𝐜𝐨 𝐨𝐢𝐭𝐚𝐯𝐨𝐬 
𝟐
𝟗
: 𝐝𝐨𝐢𝐬 𝐧𝐨𝐧𝐨𝐬 
 
 Frações com denominadores 10, 100 ou 1000, chamadas de frações 
decimais. 
 
𝟕
𝟏𝟎
: 𝐬𝐞𝐭𝐞 𝐝é𝐜𝐢𝐦𝐨𝐬𝟑
𝟏𝟎𝟎
: 𝐭𝐫ê𝐬 𝐜𝐞𝐧𝐭é𝐬𝐢𝐦𝐨𝐬 
𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟎
: 𝐮𝐦 𝐦𝐢𝐥é𝐬𝐢𝐦𝐨 
 
 Outros denominadores. 
𝟏
𝟏𝟐
: 𝐮𝐦 𝐝𝐨𝐳𝐞 𝐚𝐯𝐨𝐬 
𝟑
𝟐𝟎
: 𝐭𝐫ê𝐬 𝐯𝐢𝐧𝐭𝐞 𝐚𝐯𝐨𝐬 
𝟐
𝟑𝟓
: 𝐝𝐨𝐢𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐧𝐭𝐚 𝐞 𝐜𝐢𝐧𝐜𝐨 𝐚𝐯𝐨𝐬 
 
2. Operações com Frações 
 Soma e Diferença de Frações 
 
Frações com denominadores iguais 
Para adicionar ou subtrair frações com mesmo denominador, devemos 
adicionar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador. 
Exemplo 1: 
a) 
𝟓
𝟔
+
𝟖
𝟔
=
𝟏𝟑
𝟔
 
 
b) 
𝟕
𝟗
−
𝟓
𝟗
=
𝟐
𝟗
 
 
c) 
𝟓
𝟖
+
𝟑
𝟖
−
𝟏
𝟖
=
𝟓+𝟑−𝟏
𝟖
=
𝟕
𝟖
 
 
Frações com denominadores diferentes 
No caso de os denominadores serem diferentes, devemos encontrar o mínimo 
múltiplo comum (m.m.c) e transformar em frações de mesmo denominador para, 
depois, efetuar as operações. 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 Calcule: 
 
a) 
𝟑
𝟒
+
𝟏
𝟔
+
𝟓
𝟖
=
𝟏𝟖+𝟒+𝟏𝟓
𝟐𝟒
=
𝟐𝟐+𝟏𝟓
𝟐𝟒
=
𝟑𝟕
𝟐𝟒
 
 
 
 Produto de Frações 
Para multiplicar as frações, devemos multiplicar numeradores com 
numeradores e denominadores com denominadores. Para b e d diferentes de zero, 
temos: 
𝐚
𝐛
 .
𝐜
𝐝
=
𝐚. 𝐝
𝐛. 𝐝
 
 
em que o símbolo (⋅) indica o produto de 
𝐚
𝐛
 por 
𝐜
𝐝
 
Exemplo 3: 
a) 
𝟓
𝟕
.
𝟒
𝟑
=
𝟓.𝟒
𝟕.𝟑
=
𝟐𝟎
𝟐𝟏
 
 
b) 
𝟐
𝟓
.
𝟑
𝟒
.
𝟏
𝟔
=
𝟐.𝟑.𝟏
𝟓.𝟒.𝟔
=
𝟔
𝟏𝟐𝟎
 
Podemos simplificar essas frações da seguinte maneira: 
𝟐
𝟓
.
𝟑
𝟒
.
𝟏
𝟔
=
𝟐.𝟑.𝟏
𝟓.𝟒.𝟔
=
𝟔
𝟏𝟐𝟎
=
𝟏.𝟔
𝟔.𝟐𝟎
=
𝟏
𝟐𝟎
 
 
 
 
 
 
 
 
 Divisão de Frações 
Na divisão de frações, vamos multiplicar a primeira fração pelo inverso da 
segunda e, se necessário, vamos simplificá-las. As frações 
𝐚
𝐛
 e 
𝐜
𝐝
, com b, c e d 
diferentes de zero, tem a divisão entre si dada por: 
 
𝐚
𝐛
𝐜
𝐝
=
𝐚
𝐛
.
𝐝
𝐜
=
𝐚. 𝐝
𝐛. 𝐜
 
 
Exemplo 4: 
a) −
𝟓
𝟑
: (−
𝟐
𝟗
) = −
𝟓
𝟑
. (−
𝟗
𝟐
) =
𝟒𝟓
𝟔
:𝟑
=
𝟏𝟓
𝟐
 
 
b) −
𝟏
𝟑
∶ 𝟖 = −
𝟏
𝟑
 . (
𝟏
𝟖
) =
𝟏 .𝟏
𝟑 .𝟖
=
𝟏
𝟐𝟒
 
 
c) 
(−
𝟐
𝟑
)
𝟏
𝟐
= (−
𝟐
𝟑
) .
𝟐 
𝟏
= −
𝟒
𝟑
 
 
d) 
(
𝟏
𝟐
)
𝟑
= (
𝟏
𝟐
) .
𝟑 
𝟏
=
𝟑
𝟐
 
 
3. Frações e Números Decimais 
Transformar um numeral decimal em fração decimal. 
 
a) Escreve-se uma fração cujo numerador (numeral que fica em cima do traço 
da fração) é o numeral decimal sem a vírgula; 
b) O denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as 
casas decimais do numeral dado. 
 
Exemplo 5: 
a) 𝟎, 𝟒 =
𝟒
𝟏𝟎
 
 
 
 
b) 𝟒𝟕, 𝟐𝟑 =
𝟒.𝟕𝟐𝟑
𝟏𝟎𝟎
 
 
c) 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 =
𝟒
𝟏.𝟎𝟎𝟎
 
 
 Transformar uma fração decimal em número decimal 
 
a) Escreve-se o numerador; 
b) Verificamos quantos zeros há no denominador da fração decimal; 
c) Posicionamos a vírgula de tal forma que o número obtido possua tantas 
casas decimais quanto são os zeros do denominador. 
 
Exemplo 6: 
a) 
𝟏𝟐
𝟏𝟎
= 𝟏, 𝟐 
b) 
𝟑𝟐𝟒
𝟏𝟎𝟎
= 𝟑, 𝟐𝟒 
c) 
𝟑𝟒
𝟏.𝟎𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟑𝟒 
 
 MULTIPLICAÇÃO DE DECIMAIS 
Para calcular o produto 3,6 x 18,36, podemos converter os decimais em 
frações e multiplicá-las. 
 
𝟑, 𝟔 𝐱 𝟏𝟖, 𝟑𝟔 =
𝟑𝟔
𝟏𝟎
 𝐱 
𝟏. 𝟖𝟑𝟔
𝟏𝟎𝟎
=
𝟔𝟔. 𝟎𝟗𝟔
𝟏. 𝟎𝟎𝟎
= 𝟔𝟔, 𝟎𝟗𝟔 
 
Ou simplesmente multiplicar esses números da seguinte forma: 
 
𝟑, 𝟔
𝐱 𝟏𝟖, 𝟑𝟔
𝟐𝟏𝟔
𝟏𝟎𝟖 
𝟐𝟖𝟖 
𝟑𝟔 
𝟔𝟔, 𝟎𝟗𝟔 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, temos que para multiplicar numerais decimais: 
1º) Multiplicamos os decimais como se fossem números naturais; 
2º) Damos ao produto tantas casas decimais quanto seja a soma dos números de 
casas decimais dos fatores. 
 
 DIVISÃO DE DECIMAIS 
Consideremos o cálculo do quociente de: 3,24 ÷ 1,8 
 
𝟑, 𝟐𝟒 ÷ 𝟏, 𝟖 =
𝟑𝟐𝟒
𝟏𝟎𝟎
÷
𝟏𝟖
𝟏𝟎
=
𝟑𝟐𝟒
𝟏𝟎𝟎
.
𝟏𝟎
𝟏𝟖
=
𝟑𝟐𝟒
𝟏𝟖𝟎
= 𝟏, 𝟖 
 
 
 
Logo, dividir 3,24 por 1,8 é o mesmo que dividir 324 por 180. 
Daí, para dividir dois decimais: 
1º) Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor, 
acrescentando zeros; 
2º) Eliminamos as vírgulas; 
3º) Dividimos os números naturais que resultam das etapas anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
Profª Suellen Costa. 
Disciplina: Matemática Básica 
Aluno(a):_______________________ 
Turma:_________________________ 
Data:___/___/___ 
 
1. Efetue: 
a) 5 − 2 + 7 − 3 + 1 
b) 9 − 9 
c) −3 − (−5) 
d) 10. (−8) 
e) 3. (−4). (−2) 
f) 6 − (−6 + 4). (−5 + 9) 
g) (−48): (−8) 
h) 18: (−6) 
i) (−21): (−3) 
 
2. Escreva como se lê cada fração 
a) 
1
7
 
b) 
9
10
 
c) 
4
27
 
d) 
77
10.000
 
e) 
15
16
 
f) 
8
8
 
 
3. Escreva as frações 
correspondentes a: 
a) Cinco sextos; 
b) Treze trinta avos; 
c) Nove centésimos; 
d) Quatro quartos. 
4. Efetue as operações 
a) 
4
7
+
2
7
 
b) 
2
5
−
7
5
 
c) 
4
5
−
2
3
 
d) 
1
8
−
5
4
 
e) −5 +
3
4
 
f) 
3
7
+
(−5)
2
+
1
14
 
g) 
3
4
−
(−1)
12
−
1
3
 
h) (
2
5
) . (
1
2
) 
i) (−
7
8
) . (
5
3
) 
j) (−
5
6
) . (−
3
4
) 
k) (
2
3
) . (−
1
2
) . (−
3
7
) 
l) (−3). (
14
5
) 
5. Efetue e simplifique se possível 
a) 
4
3
:
5
3
 
b) 
5
1
:4 
c) 2:
6
7
 
d) 
7
2
8
3
 
 
 
e) 
7
9
6
5







 
f) 














3
1
2
1
 
 
6. Transforme os números a seguir 
em frações decimais: 
a) 0,3 
b) 1,34 
c) 9,2324 
d) 0,0014 
7. Transforme os números a seguir 
em numeral decimal. 
a) 
1000
8
 
b) 
10
54
 
c) 
100
138
 
8. Efetue as seguintes operações: 
a) 3,2 . 0,9 
b) 0,44 . 1,3 
c) 2,5 . 5,2 
d) 238 . 1,86 
e) 18,6 . 23,8 
f) 2,31: 1,1 
g) 4: 2,5 
h) 0,3 ∶ 0,008 
i) 1,457 ∶ 3,1 
j) 6 ∶ 1,5 
 
 
324 180 
-180 1,8 
1440 
-1440 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 
ARNAULT, R; GONÇALVES, S. K. Números Decimais. Disponível em: < 
http://proedu.rnp.br/bitstream/handle/123456789/580/Aula_02.pdf?sequence=2&isA
llowed=y>. Acesso em: 08 jul. de 2020. 
 
BIANCHINI, E. Matemática. 6ª ed. São Paulo: moderna, 2006. 
 
Ceplan. Projeto de Ensino Curso de Matemática Básica. Disponível em: < 
https://www.ceplan.udesc.br/arquivos/id_submenu/533/apostila_mb_2013_2.pdf>. 
Acesso em: 08 jul. de 2020. 
 
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. 3ª ed. São Paulo: ática, 2017. 
 
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. 3ª ed. São Paulo: ática, 2012. 
 
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. 2ª ed. São Paulo: ática, 2005. 
. 
GUERRA, F. Matemática Básica. Florianópolis. 2016. Disponível em: < 
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/145345/1/PNAP%20-
%20Bacharelado%20-%20Matematica%20Basica.pdf>. Acesso em: 08 jul. de 
2020. 
 
IEZZI, G. et al. Matemática: Ciências e Aplicações. 2ª ed. São Paulo: atual, 2004. 
 
 
 
 
 
http://proedu.rnp.br/bitstream/handle/123456789/580/Aula_02.pdf?sequence=2&isAllowed=y
http://proedu.rnp.br/bitstream/handle/123456789/580/Aula_02.pdf?sequence=2&isAllowed=y
https://www.ceplan.udesc.br/arquivos/id_submenu/533/apostila_mb_2013_2.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/145345/1/PNAP%20-%20Bacharelado%20-%20Matematica%20Basica.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/145345/1/PNAP%20-%20Bacharelado%20-%20Matematica%20Basica.pdf
 
 
 
 
 
Razão e Proporção 
1. Razão 
Sejam dados dois números racionais 𝐚 e 𝐛 (𝐛 ≠ 𝟎), chamamos de razão entre 
estes dois números ao quociente indicado entre eles. A razão 
𝐚
𝐛
 também pode ser 
escrita 𝐚: 𝐛 (que se lê “a para b” ou “a está para b”). Os números 𝐚 e 𝐛, que são os 
termos da razão, são denominados respectivamente de antecedente e 
consequente. 
 
Na razão 𝟏: 𝟕, o antecedente é 1 e o consequente é 7. 
1
7
 
→ 𝐚𝐧𝐭𝐞𝐜𝐞𝐝𝐞𝐧𝐭𝐞
→ 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐞𝐪𝐮𝐞𝐧𝐭𝐞
 
Exemplo 1: 
O salário de João Pedro é de R$ 4.000,00, e o de Ana Alice é R$ 2.000,00. 
Qual a razão de um salário para outro? 
Resolução: 
salário de João Pedro: saláriode Ana Alice. 
Assim: 
𝟒.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 
𝟐.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
= 𝟐 
 
Resposta: a razão desse exemplo pode ser lida como a razão de 4.000 para 
2.000, ou 4.000 está para 2.000, e é igual a 2, o que equivale a dizer que o salário 
de João Pedro é o dobro do salário de Ana Alice. Através da razão, estamos 
fazendo uma comparação de grandezas que, nesse caso, são os salários de João 
Pedro e Ana Alice. Portanto, a razão de um salário para outro é igual a 2. 
 
2. Razões Especiais 
A seguir, explicaremos razões especiais entre grandezas diferentes 
considerando situações práticas como escala, velocidade média e densidade 
demográfica. 
 
 
 
 
 
 Escala 
A escala é usada principalmente na elaboração de mapas, plantas e 
maquetes. A escala é a razão entre uma medida de comprimento no desenho e a 
medida de comprimento correspondente na realidade 
 
𝐞𝐬𝐜𝐚𝐥𝐚 =
𝐦𝐞𝐝𝐢𝐝𝐚 𝐝𝐨 𝐝𝐞𝐬𝐞𝐧𝐡𝐨
𝐦𝐞𝐝𝐢𝐝𝐚 𝐫𝐞𝐚𝐥
 
 
Por exemplo, para calcular uma escala de um mapa em que dois pontos 
estão a 5 cm de distância um do outro, sendo que, no mundo real, eles estão 
separados por 1000 cm. 
𝐞𝐬𝐜𝐚𝐥𝐚 =
𝟓
𝟏𝟎𝟎𝟎
=
𝟏
𝟐𝟎𝟎
 
 
A escala, nesse caso, é de 1: 200 ou um para duzentos. Isso significa que a 
cada 1cm do mapa correspondem 200 cm do espaço real. 
 
 Velocidade Média 
Velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em 
percorrê-la. 
𝐕𝐞𝐥𝐨𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 𝐌é𝐝𝐢𝐚 =
𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚
𝐭𝐞𝐦𝐩𝐨
 
 
Por exemplo, imagine que um ônibus fez o percurso São Paulo–Brasília/DF 
(1.150 km) em 12 horas e 30 minutos (lembre-se de que 12 horas e 30 minutos 
correspondem a 12,5 horas). 
𝐑𝐚𝐳ã𝐨 =
𝟏. 𝟏𝟓𝟎 𝐊𝐦
𝟏𝟐, 𝟓𝐡
= 𝟗𝟐𝐤𝐦/𝐡 
 
Essa razão nos informa que a cada hora foram percorridos 92 km em média. 
 
 
 
 
 
 Densidade Demográfica 
Densidade demográfica de uma região é a razão entre o número de 
habitantes e sua área. 
𝐃𝐞𝐧𝐬𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 𝐃𝐞𝐦𝐨𝐠𝐫á𝐟𝐢𝐜𝐚 =
𝐩𝐨𝐩𝐮𝐥𝐚çã𝐨
á𝐫𝐞𝐚
 
Por exemplo, um determinado município tem população de 12.000 e área de 
150Km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse Estado. 
 
𝐀 𝐫𝐚𝐳ã𝐨 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎 𝐞 𝟏𝟓𝟎 é 
𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎
=
𝟏𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟓
=
𝟖𝟎
𝟏
= 𝟖𝟎 ⟶ 𝟖𝟎𝐡𝐚𝐛./𝐤𝐦𝟐 
Essa razão significa que, em cada Km2, existem 80 habitantes em média. 
 
3. Proporção 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Dizemos que os números 
𝐚, 𝐛, 𝐜, 𝐝 com 𝐛 ≠ 𝟎 e 𝐝 ≠ 𝟎 estão em proporção, na ordem dada, se a razão entre 
𝐚 e 𝐛 for igual à razão entre 𝐜 e 𝐝. Indicamos esta proporção por: 
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
 
que se lê: 𝐚 está para 𝐛, assim como 𝐜 está para 𝐝. 
 
Duas razões são iguais quando os quocientes que elas indicam são 
iguais 
Termos de uma proporção 
𝐚, 𝐛, 𝐜 e 𝐝 são os termos da proporção; 
𝐚 e 𝐜 são os antecedentes; 
𝐛 e 𝐝 são os conseqüentes; 
𝐚 e 𝐝 são os extremos da proporção; 
𝐛 e 𝐜 são os meios da proporção. 
 
 
 
 
 
 
 
As razões 
𝟏
𝟓
 𝐞 
𝟔
𝟑𝟎
 são iguais, pois ambas valem 0,2. Assim, fica formada a 
proporção 
𝟏
𝟓
=
𝟔
𝟑𝟎
, em que os números 1 e 30 são os extremos, e 5 e 6 são os meios. 
Lemos essa proporção assim: “um está para cinco assim como seis está para 
trinta”. Os números 1, 5, 6, 30 são os termos da proporção. 
 
Propriedades 
Propriedade fundamental das proporções 
P1 - Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
Simbolicamente: se 
 
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
⇒ 𝐚. 𝐝 = 𝐛. 𝐜 
 
Exemplo 2: 
a) 
𝟒
𝟕
=
𝟏𝟐
𝟐𝟏
 ⇔ 𝟒. 𝟐𝟏 = 𝟕. 𝟏𝟐 ⟺ 𝟖𝟒 = 𝟖𝟒 
 
b) 
𝟓
𝟗
=
𝟏𝟎
𝟏𝟖
 ⇔ 𝟓. 𝟏𝟖 = 𝟗. 𝟏𝟎 ⟺ 𝟗𝟎 = 𝟗𝟎 
 
Aplicando esta propriedade, podemos determinar o valor de uma 
incógnita na proporção. 
O valor de x na proporção 
𝟒
𝟕
=
𝟐𝟎
𝐱
 
é obtido da seguinte forma: 
 
𝟒
𝟕
=
𝟐𝟎
𝐱
⟺ 𝟒. 𝐱 = 𝟕. 𝟐𝟎 ⇔ 𝟒𝐱 = 𝟏𝟒𝟎 ⇔ 𝐱 =
𝟏𝟒𝟎
𝟒
= 𝟑𝟓 
 
 
 
 
 
 
P2 : A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos 
consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, 
ou seja, 
 
Se 
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
, então 
𝐚 + 𝐜
𝐛 + 𝐝
=
𝐚
𝐛
 𝐞 
𝐚 + 𝐜
𝐛 + 𝐝
=
𝐜
𝐝
 
 
Exemplo 3: 
a) 
𝟐
𝟔
=
𝟓
𝟏𝟓
, 𝐭𝐞𝐦𝐨𝐬 
𝟐+𝟓
𝟔+𝟏𝟓
=
𝟐
𝟔
𝐞𝐧𝐭ã𝐨
𝟕
𝟐𝟏
=
𝟐
𝟔
 ⟹ 𝟎, 𝟑𝟑 = 𝟎, 𝟑𝟑 e 
 
b) 
𝟐+𝟓
𝟔+𝟏𝟓
=
𝟓
𝟏𝟓
, 𝐭𝐞𝐦𝐨𝐬 
𝟐+𝟓
𝟔+𝟏𝟓
=
𝟓
𝟏𝟓
𝐞𝐧𝐭ã𝐨
𝟕
𝟐𝟏
=
𝟓
𝟏𝟓
 ⟹ 𝟎, 𝟑𝟑 = 𝟎, 𝟑𝟑 
 
𝐒𝐞 
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
, 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 
𝐚 − 𝐜
𝐛 − 𝐝
=
𝐚
𝐛
 𝐞 
𝐚 − 𝐜
𝐛 − 𝐝
=
𝐜
𝐝
 
 
c) 
𝟏𝟓
𝟏𝟎
=
𝟔
𝟒
, 𝐭𝐞𝐦𝐨𝐬 
𝟏𝟓−𝟔
𝟏𝟎−𝟒
=
𝟏𝟓
𝟏𝟎
 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 
𝟗
𝟔
=
𝟏𝟓
𝟏𝟎
 ⟹ 𝟏, 𝟓 = 𝟏, 𝟓 e 
 
d) 
𝟏𝟓
𝟏𝟎
=
𝟔
𝟒
, 𝐭𝐞𝐦𝐨𝐬 
𝟏𝟓−𝟔
𝟏𝟎−𝟒
=
𝟔
𝟒
 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 
𝟗
𝟔
=
𝟔
𝟒
 ⟹ 𝟏, 𝟓 = 𝟏, 𝟓 
 
4) Regra de Três Simples e Regra de Três Composta 
Grandezas proporcionais 
Grandezas é tudo o que pode ser medido ou contado. Por exemplo, são 
grandezas: comprimentos, tempo, temperatura, massa, preço e idade. 
 
Grandezas Diretamente proporcionais 
Dizemos que os números racionais a, b e c são diretamente proporcionais aos 
números racionais x, y e z quando temos: 
 
 
 
 
 
𝐚
𝐱
=
𝐛
𝐲
=
𝐜
𝐳
= 𝐤 
Ou seja, se duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre dois 
valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da 
outra. 
 
Exemplo 4: 
Verifique se os números 4, 10 e 30 são diretamente proporcionais aos 
números 8, 20 e 60. 
 
 Temos a = 4, b = 10 e c = 30; x = 8, y = 20 e z = 60. Assim, 
 
𝟒
𝟖
=
𝟏
𝟐
,
𝟏𝟎
𝟐𝟎
=
𝟏
𝟐
,
𝟑𝟎
𝟔𝟎
=
𝟏
𝟐
 
 
Os números 4, 10 e 30 são diretamente proporcionais aos números 8, 20 e 
60, e 𝐤 =
𝟏
𝟐
. 
 
Grandezas Inversamente proporcionais 
Dizemos que os números racionais a, b e c são inversamente proporcionais 
aos números racionais x, y, e z quando temos: 
x ⋅ a = y ⋅ b = z ⋅ c = k, e k é uma constante. 
 
Exemplo 5: 
Verifique se os números 240, 60 e 32 são inversamente proporcionais aos 
números 4, 16 e 30. 
 
Temos a = 240, b = 60 e c = 32; x = 4, y = 16 e z = 30. Logo, 240 ⋅ 4 = 960, 
60 ⋅ 16 = 960, 32 ⋅ 30 = 960. 
 
 
 
 
 
Como 240 ⋅ 4 = 60 ⋅ 16 = 32 ⋅ 30 = 960, os números são inversamente 
proporcionais e k = 960. 
 
5) Regra de Três Simples e Regra de Três Composta 
A regra de três simples é uma técnica para a resolução de problemas com 
grandezas proporcionais e a regra de três composta é uma técnica para a 
resolução de problemas com mais de duas grandezas. 
 
Exemplo 6: 
Um trator faz 150 m de estrada em 30 dias. Trabalhando do mesmo modo, 
em quantos dias fará 350 m de estrada? 
𝐂𝐨𝐦𝐩𝐫𝐢𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨(𝐦) 𝐓𝐞𝐦𝐩𝐨(𝐝)
𝟏𝟓𝟎 𝟑𝟎
𝟑𝟓𝟎 𝐱
 
Se aumentarmos o comprimento da estrada, o tempo também aumentará; 
logo, as grandezas comprimento e tempo são diretamente proporcionais, assim, os 
números 150 e 350 são diretamente proporcionais aos números 30 e x : 
 
𝟏𝟓𝟎
𝟑𝟓𝟎
=
𝟑𝟎
𝐱
 
Logo, 
𝟏𝟓𝟎
𝟑𝟓𝟎
=
𝟑𝟎
𝐱
 ⇔ 𝟏𝟓𝟎. 𝐱 = 𝟑𝟓𝟎. 𝟑𝟎 ⟺ 𝟏𝟓𝟎𝐱 = 𝟏𝟎𝟓𝟎𝟎 ⟺ 𝐱 =
𝟏𝟎𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎
= 𝟕𝟎 
 
Trabalhando do mesmo modo, o trator fará 350 metros de estrada em 70 dias. 
 
Exemplo 7: 
Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz o percurso entre o Terminal 
Central da cidade e o ponto final da linha em 40 minutos. Devido a um pequeno 
congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a 
 
 
 
 
 
velocidade média desse ônibus no percurso de volta? 
 
𝐕𝐞𝐥𝐨𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞(𝐊𝐦/𝐡) 𝐓𝐞𝐦𝐩𝐨(𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬)
𝟕𝟓 𝟒𝟎
𝐱 𝟓𝟎
 
As grandezas velocidade do ônibus e tempo para fazer o percurso são 
inversamente proporcionais. Assim, os números 40 e 50 são inversamente 
proporcionais aos números 75 e x: 
 
𝟕𝟓
𝐱
=
𝟓𝟎
𝟒𝟎
⟹ 𝟕𝟓. 𝟒𝟎 = 𝐱. 𝟓𝟎 
Logo, 
𝟕𝟓. 𝟒𝟎 = 𝐱. 𝟓𝟎 ⇔ 𝟑. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟎𝐱 ⟺ 𝐱 =
𝟑. 𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟎
= 𝟔𝟎 
A velocidademédia desse ônibus no percurso de volta é 60 km/h. 
 
Regra de três Composta 
Algumas situações envolvem mais de duas grandezas. A análise e a 
resolução de problemas desta natureza podem envolver uma regra de três 
composta. 
 
Exemplo 8: 
 Trabalhando durante 12 dias, 10 operários produzem 800 peças da marca 
AA. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 14 operários 
trabalhando durante 18 dias? 
 
𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐎𝐩𝐞𝐫á𝐫𝐢𝐨𝐬 𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐝𝐢𝐚𝐬 𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐏𝐞ç𝐚𝐬
𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝟖𝟎𝟎
𝟏𝟒 𝟏𝟖 𝐱
 
 
 
 
 
 
 
 
Fixando a grandeza número de operários, vamos relacionar as grandezas 
número de dias e número de peças: 
 Se aumentarmos o número de dias, o número de peças também aumentará; 
assim, essas grandezas são diretamente proporcionais. 
 
Fixando a grandeza número de dias, vamos relacionar as grandezas número 
de operários e número de peças: 
 Se aumentarmos o número de operários, o número de peças também 
aumentará; assim, essas grandezas são diretamente proporcionais. 
 
Então, a grandeza número de peças é diretamente proporcional às grandezas 
número de operários e número de dias; consequentemente, seus valores serão 
diretamente proporcionais aos produtos dos valores das grandezas número de 
operários e número de dias: 
𝟏𝟎
𝟏𝟒
.
𝟏𝟐
𝟏𝟖
=
𝟖𝟎𝟎
𝐱
 
Logo, 
𝟏𝟎
𝟏𝟒
.
𝟏𝟐
𝟏𝟖
=
𝟖𝟎𝟎
𝐱
 ⇔ 
𝟏𝟐𝟎
𝟐𝟓𝟐
=
𝟖𝟎𝟎
𝐱
 ⇔ 𝟏𝟐𝟎. 𝐱 = 𝟐𝟓𝟐. 𝟖𝟎𝟎 ⟺ 𝟏𝟐𝟎𝐱 = 𝟐𝟎𝟏. 𝟔𝟎𝟎 ⇔ 
𝐱 =
𝟐𝟎𝟏. 𝟔𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟎
= 𝟏. 𝟔𝟖𝟎 
 
Os 14 operários produzirão 1.680 peças em 18 dias. 
 
Exemplo 9: 
Um motoqueiro percorre 250 km em 2 dias se rodar 5 horas por dia. Em 
quantos dias esse motoqueiro percorrerá 750 km se rodar 6 horas por dia? 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐊𝐦 𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐡/𝐝𝐢𝐚 𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐝𝐢𝐚𝐬
𝟐𝟓𝟎 𝟓 𝟐
𝟕𝟓𝟎 𝟔 𝐱
 
 
Fixando a grandeza número de km, vamos relacionar as grandezas número 
de h/dia e número de dias: 
 Se o motoqueiro aumentar o número de horas que roda por dia, o número 
de dias diminuirá; assim, as grandezas número de h/dia e número de dias 
são inversamente proporcionais. 
 
Fixando a grandeza número de horas por dia, vamos relacionar as grandezas 
número de km e número de dias: 
 
 Se o motoqueiro aumentar o número de km percorridos, o número de dias 
também aumentará; assim, as grandezas número de km e número de dias 
são diretamente proporcionais. 
Então, a grandeza número de dias é diretamente proporcional à grandeza 
número de km e inversamente proporcional à grandeza número de horas por dia. 
Isso nos leva a escrever a razão inversa dos valores que representam a grandeza 
número de horas por dias: 
𝟐𝟓𝟎
𝟕𝟓𝟎
.
𝟔
𝟓
=
𝟐
𝐱
 
Logo, 
 
𝟐𝟓𝟎
𝟕𝟓𝟎
.
𝟔
𝟓
=
𝟐
𝐱
 ⇔ 
𝟏. 𝟓𝟎𝟎
𝟑. 𝟕𝟓𝟎
=
𝟐
𝐱
 ⇔ 𝟏. 𝟓𝟎𝟎. 𝐱 = 𝟑. 𝟕𝟓𝟎. 𝟐 ⇔ 𝟏. 𝟓𝟎𝟎𝐱 = 𝟕. 𝟓𝟎𝟎 ⟺ 
𝐱 =
𝟕. 𝟓𝟎𝟎
𝟏. 𝟓𝟎𝟎
= 𝟓 
 
O motoqueiro levará 5 dias para percorrer 750 km. 
 
 
Exercícios 
Profª Suellen Costa. 
Disciplina: Matemática Básica 
Aluno(a):_______________________ 
Turma:_________________________ 
Data:___/___/___ 
 
1. Em uma prova de teste, Joana 
acertou 12 questões e errou 8. 
 
a) Qual a razão entre o número de 
acertos e o número de erros? 
 
b) Qual a razão entre o número de 
erros e o número de acertos? 
 
c) Qual a razão entre o número de 
acertos e o número total de 
questões? 
 
2. Use a propriedade fundamental e 
calcule o valor de x em cada 
proporção. 
a) 
15
56

x
 
b) A razão entre 20 e 12 é igual à 
razão entre 10 e x 
 
3. Paulo e Caroline tiveram o mesmo 
aproveitamento em um concurso 
de perguntas e respostas. Paulo 
respondeu a 35 questões e acertou 
28. Caroline respondeu a 40 
questões. Quantas questões 
Caroline acertou? 
 
4. João colocou lajotas no piso de 
seu banheiro, que mede 5 m por 5 
m, e gastou R$ 100,00. Agora, ele 
quer colocar o mesmo tipo de 
lajota na cozinha, que mede 6 m 
por 7 m. Quanto João vai gastar 
na compra das lajotas? 
 
5. O pintor Carlos gastou uma lata 
com 2 L de tinta para pintar uma 
parede de 36 m² de área. 
a) Quantos metros quadrados Carlos 
pintará com 3L de tintas? 
b) De quantos litros de tintas ele 
precisará para pintar 90 m² de 
parede? 
 
6. Cinco torneiras enchem uma caixa-
d’ água em 3 horas. Duas torneiras 
enchem a mesma caixa-d’água em 
quantas horas? 
 
7. Três torneiras despejam 5 000 l de 
água em um reservatório em 5 
horas. Em quantas horas 6 
torneiras despejam 6 000 l de 
água? 
 
8. Um pacote com 40 cadernos de 70 
páginas pesa 36 Kg. Quanto pesa 
um pacote com 35 cadernos de 60 
páginas? 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BIANCHINI, E. Matemática. 6ª ed. São Paulo: moderna, 2006. 
 
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. 3ª ed. São Paulo: ática, 2017. 
 
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. 2ª ed. São Paulo: ática, 2005. 
 
FREITAS, A.L. Matemática: razão, proporção e grandezas proporcionais. 
Disponível em: < 
http://redeetec.mec.gov.br/images/stories/pdf/eixo_amb_saude_seguranca/tec_seg
uranca/matematica/061112_mat_a01.pdf>. Acessao em: 08 jul. de 2020. 
 
GUERRA, F. Matemática Básica. Florianópolis. 2016. Disponível em: < 
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/145345/1/PNAP%20-
%20Bacharelado%20-%20Matematica%20Basica.pdf>. Acessao em: 08 jul. de 
2020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://redeetec.mec.gov.br/images/stories/pdf/eixo_amb_saude_seguranca/tec_seguranca/matematica/061112_mat_a01.pdf
http://redeetec.mec.gov.br/images/stories/pdf/eixo_amb_saude_seguranca/tec_seguranca/matematica/061112_mat_a01.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/145345/1/PNAP%20-%20Bacharelado%20-%20Matematica%20Basica.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/145345/1/PNAP%20-%20Bacharelado%20-%20Matematica%20Basica.pdf
 
 
 
 
 
 
III Unidades de Medidas 
1. Medida de comprimento 
O sistema métrico de medida de comprimento (distância) tem o metro(m) 
como unidade padrão de medida. Observe a tabela abaixo que demonstra como se 
faz para transformar a medida de uma unidade para outra. 
 
Múltiplos Unidade 
Fundamental 
Submúltiplos 
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centrímetro milímetro 
Km hm dam m dm cm mm 
1000 m 100 m 10 m 1 0,1m 0,01m 0,001m 
 
 Transformação de Unidades 
 
A medida que as unidades seguem a orientação da direita os valores são 
multiplicados por 10. E a medida que seguimos para a esquerda os valores são 
divididos por 10. 
 
Exemplo 1: 
 
a) Transforme 2,3 km em metros 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
2,3 x 10 x 10 x 10 = 2 300 metros (ou seja, movimentamos a 
vírgula três casas pra a direita). 
 
b) Transforme 3 cm em m 
 
Resolução 
 3 : 10 : 10 = 0,03 metros (ou seja, movimentamos a vírgula duas 
casas pra a esquerda) 
 
2. Medida de área 
Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de 
espaço bidimensional, ou seja, de superfície. De acordo com o SI o metro 
quadrado (m²) é considerado a unidade principal de medida de área, seguido de 
seus múltiplos e submúltiplos. Observe o quadro: 
 
Múltiplos Unidade 
Fundamental 
Submúltiplos 
quilômetro 
quadrado 
hectômetro 
quadrado 
decâmetro 
quadrado 
metro 
quadrado 
decímetro 
quadrado 
centímetro 
quadrado 
milímetro 
quadrado 
km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 
1000 000 
m² 
10 000 m² 100 m² 1m² 0,01m² 0,0001m² 0,000001m² 
 
 Transformação de Unidades 
 
 
 
 
 
 
 
A medida que as unidades seguem a orientação da direita os valores são 
multiplicados por 100. E a medida que seguimos para a esquerda os valores são 
divididos por 100. 
 
Exemplo 2: 
 
a) Transforme 2 km² em m² 
 
Resolução 
2 x 100 x 100 x 100 = 2 000 000 m² (ou seja, movimenta a 
vírgula seis casas pra a direita) 
 
b) Transforme 40 000 cm² em m² 
 
Hectare 
 
O hectare (ha) é a área de um quadrado que possui100 m de lado. 
Assim, 1 ha = 100 m x 100 m = 10 000 m² . 
Para transformar hectares em m² basta multiplicar a área dada por 10 000. 
Para transformar m² em hectares basta dividir a área dada por 10 000. 
Exemplo 5: 
a) Quantos m² correspondem a 22,8 ha? Basta multiplicar, 22,8 x 10 000 = 228 
000 m2 . 
b) Quantos hectares corresponde 95 000 m² ? Basta dividir, 95 000 : 10 000 = 
9,5 ha. 
 
Resolução 
40 000 : 100 : 100 = 4 m² (ou seja, movimenta a vírgula quatro 
casas pra a esquerda). 
 
3. Medida de volume 
O sistema métrico de medida de volume tem o metro3(m³) como unidade 
padrão de medida. Observe a tabela abaixo que demonstra como se faz para 
transformar a medida de uma unidade para outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Múltiplos Unidade 
Fundamental 
Submúltiplos 
quilômetro 
cúbico 
hectômetro 
cúbico 
decâmetro 
cúbico 
metro 
cúbico 
decímetro 
cúbico 
centímetro 
cúbico 
milímetro 
cúbico 
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 
𝟏𝟎𝟗m³ 𝟏𝟎𝟔 m³ 10³ m³ 1m³ 𝟏𝟎−𝟑 m³ 𝟏𝟎−𝟔 m³ 𝟏𝟎−𝟗 m³ 
 
 Transformação de Unidades 
 
 
 
A medida que as unidades seguem a orientação da direita os valores são 
multiplicados por 1000. E a medida que seguimos para a esquerda os valores são 
divididos por 1000. 
 
Exemplo 3: 
 
a) Transforme 2 km³ em m³ 
 
Resolução 
2 x 1000 x 1000 x 1000 = 2 000 000 000 m³ (ou seja, movimenta 
a vírgula nove casas pra a direita) 
 
b) Transforme 3 m³ em km³ 
 
Resolução 
 
3 : 1000 : 1000 :1000 = 0,000000003 km³ (ou seja, movimenta a 
vírgula nove casas pra a esquerda) 
 
 
 
 
 
 
4. Medida de capacidade 
Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre 
outros utilizamos o litro e seus múltiplos e submúltiplos, unidade de medidas de 
produtos líquidos. Os múltiplos do litro são o quilolitro (kl), hectolitro (hl) e decalitro 
(dal), todos maiores que o litro. 
 
Múltiplos Unidade 
Fundamental 
Submúltiplos 
quilolitro hectolitro 
 
decalitro 
 
litro decilitro centilitro 
 
mililitro 
 
kℓ hℓ daℓ ℓ dℓ cℓ mℓ 
1 000 ℓ 100 ℓ 10 ℓ 1ℓ 0,1 ℓ 0,01ℓ 0,001 ℓ 
 
 Transformação de Unidades 
 
 
 
A medida que as unidades seguem a orientação da direita os valores são 
multiplicados por 10. E a medida que seguimos para a esquerda os valores são 
divididos por 10. 
 
Exemplo 4: 
 
a) Transforme 2,3 kl em litros 
 
Resolução 
2,3 x 10 x 10 x 10 =2 300 l (ou seja, movimentamos a vírgula 
três casas pra a direita) 
 
b) Transforme 3 ml em l 
 
 
 
 
 
Resolução 
3 : 10 : 10 : 10 = 0,003 l (ou seja, movimentamos a vírgula três 
casas pra a esquerda) 
 
5. Medida de massa 
As unidades do sistema métrico decimal de massa são: quilograma (kg), 
hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg), centigrama (cg), 
miligrama (mg). 
 
Múltiplos Unidade 
Fundamental 
Submúltiplos 
quilograma hectograma 
 
decagrama 
 
grama decigrama centigrama 
 
miligrama 
 
kg hg dag g dg cg mg 
1 000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g 
 
 Transformação de Unidades 
 
 
Exemplo 6: 
 
a) Transforme 2 kg em gramas 
 
Resolução 
2 x 10 x 10 x 10 = 2 000 g (ou seja, movimenta a vírgula três 
casas pra a direita) 
 
b) Transforme 4 000 g em quilogramas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
4 000 : 10 : 10 : 10 = 4 kg (ou seja, movimenta a vírgula três 
casas pra a esquerda) 
 
6. Medidas de tempo 
 
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o 
Segundo. 
Unidade Equivale 
Quinzena 15 dias 
Semana 7 dias 
Dia 24 h 
Hora 60m 
Minuto 60s 
 
 Transformação de Unidades 
Para realizarmos a conversão de uma unidade de tempo maior para uma 
unidade de tempo menor, devemos realizar uma multiplicação por 60, pois 1 h = 60 
min, 1 min = 60 s. E para transformarmos de uma unidade menor para uma 
unidade maior, devemos realizar uma divisão por 60. 
 
 
Exemplo 7: 
 
a) Converta 25 minutos em segundos. 
 
Resolução 
Para realizar a transformação podemos utilizar uma regra de três simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m ⟶ 60s 
25m ⟶ x 
 
x = 25 . 60 = 1500m 
 
b) Quantos segundos há em um dia? 
 
Resolução 
1h ⟶ 3600s 
24h ⟶ x 
 
x = 3600. 24 = 86400s 
 
c) Nunca escreva 2,40 h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o 
sistema de medidas de tempo não é decimal. Ou seja, 2,40 h ≠ 2 h 40 min. 
Observe que para transformar 2,40 horas em minutos, devemos multiplicar: 
2,40 x 60 = 144 min, ou seja, 2,40 h = 144 mim. Mas, 144 min = 120 min + 
24 min = 2 h 24 min. Portanto, 2,40 h = 2 h 24 min, que é muito diferente de 
2 h 40 min. 
 
d) Escreva 4,90 h em horas e minutos. Observe que para transformar 4,90 
horas em minutos, devemos multiplicar: 4,90 x 60 = 294 min, ou seja, 4,90 h 
= 294 mim. Mas 294 min = 240 min + 54 min = 4 h 54 min. Portanto, 4,90 h 
= 4 h 54 min. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Áreas de figuras planas 
 
Áreas de figuras planas são medidas das superfícies de figuras da geometria 
plana. As figuras planas são figuras geométricas que são dispostas no plano, dessa 
forma são figuras bidimensionais. 
 
a) Área de uma região retangular: para calcular a área de qualquer região 
retangular basta multiplicar a medida da base (comprimento) pela medida da 
altura (largura). 
 
 
 h (altura) 𝐀 = 𝐛. 𝐡 
 
 
 b (base) 
 
Ex1 Se uma região retangular tem 26 cm de comprimento por 18 cm de 
largura, qual é a sua área em centímetros quadrados? 
 
Resolução: 
𝐀 = 𝐛. 𝐡 → 𝐀 = 𝟐𝟔 . 𝟏𝟖 → 𝐀 = 𝟒𝟔𝟖 𝐜𝐦𝟐 
 
b) Área de uma região quadrada: A região quadrada é um caso particular de 
região retangular, na qual todos os lados têm medidas iguais. 
 
 
 
 a 𝐀 = 𝐚 . 𝐚 𝐨𝐮 𝐀 = 𝐚𝟐 
 
 
 
 
Ex2 Determine a área de uma região quadrada cujo lado mede 9km. 
 
Resolução: 
𝐀 = 𝐚𝟐 → 𝐀 = 𝟗𝟐 → 𝐀 = 𝟖𝟏 𝐤𝐦𝟐 
 
 
 
 
 
 
c) Área de uma Região Triangular: 
 
 
 𝐀 =
𝐛.𝐡
𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex3 Calcule a área de um triângulo com 6 cm de base e 5 cm de altura. 
 
Resolução: 
𝐀 =
𝐛. 𝐡
𝟐
 → 𝐀 =
𝟔. 𝟓
𝟐
→ 𝐀 = 𝟏𝟓 𝐜𝐦𝟐 
 
d) Área Círculo: A área de um círculo pode ser expressa matematicamente 
por: 
 
 
 
 𝐀 = 𝛑𝐫𝟐 
 
 
 
Ex4 Qual é a área de um círculo cujo raio mede 𝟔 cm? 
 
Resolução: 
𝐀 = 𝛑𝐫𝟐 → 𝐀 = 𝟑, 𝟏𝟒 . 𝟔𝟐 → 𝐀 = 𝟑, 𝟏𝟒 . 𝟑𝟔 
 
𝐀 = 𝟏𝟏𝟑, 𝟎𝟒 𝐜𝐦𝟐 
 
h 
base (b) 
r 
 
 
 
 
 
Exercícios 
Profª Suellen Costa. 
Disciplina: Matemática Básica 
Aluno(a):_______________________ 
Turma:_________________________ 
Data:___/___/___ 
 
1. Transforme 
a) 5 mm em m 
b) 2 500 m em km 
c) 2,2 km em cm 
d) 2 500 g em kg 
e) 3 g em quilogramas 
f) 7,2 kg em miligramas 
g) 2 500 cm² em m² 
h) 4,55 km² em m² 
i) 3km² em mm² 
j) 51,345 km³ em m³ 
k) 2 500 cm³ em mm³ 
l) 431 858,7 mm³ em m³ 
m) 1 200 ml em L 
n) 3,19 L para ml 
o) 2500L em kl 
2. Uma propriedade rural, de forma 
retangular, mede 2 420 m por 540 
m. 
a) Qual a área em m²? 
b) Quantos hectares tem essa 
propriedade? 
3. Calcule 
a) Uma hora tem quantos segundos? 
b) Em um dia há quantos minutos? 
c) Um dia tem quantos segundos? 
d) Uma semana tem quantas horas? 
 
 
e) Quantos minutos 5h05min? 
f) Quantos segundos têm 35 min? 
g) Quantos segundos têm 2 h 53 
min? 
h) Quantos minutos têm 12 horas? 
i) Represente 3,1 h em horas e 
minutos. 
j) Represente 0,2 h em horas e 
minutos. 
k) Represente 5,7 h em horas e 
minutos 
4) Durante a Copa do Mundo de 
Futebol, a turma do Felipe fez 
uma grande bandeira retangular 
verde-amarela de 6m de 
comprimento por 2,40 m de 
largura. 
a) Quantos metros quadrados de 
tecidos tinha a bandeira? 
b) Cada metro quadrado custou 
R$ 7,00 e eles deram R$ 105,00 
para pagar o tecido. Quantos 
receberam de lucro? 
5. Calcule a área de um triângulo com 
6cm de base e 5 cm de altura. 
6. Calcule a medida da altura relativa 
à base de medida 12,5 cm do 
triângulo, sabendo que sua área 
mede 50 cm². 
7. Qual é a área de um círculo cujo 
raio mede 6√2 cm? 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BIANCHINI, E. Matemática. 6ª ed. São Paulo: moderna, 2006. 
 
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. 3ª ed. São Paulo: ática, 2017. 
 
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. 2ª ed. São Paulo: ática, 2005. 
 
GIOVANNI, R. J; CASTRUCCI, B; GIOVANNI JR, J.R. A Conquista da 
Matemática: a + nova. 1ª ed. São Paulo: FTD. 2002 
 
Sistemas de Medidas. Disponível em: < https://concurseria.com.br/wp-
content/uploads/2018/06/SISTEMAS-DE-UNIDADES-DE-MEDIDA-NOVOS-
SLIDES-1.pdf>. Acessado em: 08 jul. de 2020. 
 
Tópicos de Matemática Elementar: Medidas. Disponível em: < 
http://www.ifcursos.com.br/sistema/admin/arquivos/16-31-26-medidas_-_aula_-
_agronegcio.pdf>. Acessado em: 08 jul. de 2020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://concurseria.com.br/wp-content/uploads/2018/06/SISTEMAS-DE-UNIDADES-DE-MEDIDA-NOVOS-SLIDES-1.pdf
https://concurseria.com.br/wp-content/uploads/2018/06/SISTEMAS-DE-UNIDADES-DE-MEDIDA-NOVOS-SLIDES-1.pdf
https://concurseria.com.br/wp-content/uploads/2018/06/SISTEMAS-DE-UNIDADES-DE-MEDIDA-NOVOS-SLIDES-1.pdf
http://www.ifcursos.com.br/sistema/admin/arquivos/16-31-26-medidas_-_aula_-_agronegcio.pdf
http://www.ifcursos.com.br/sistema/admin/arquivos/16-31-26-medidas_-_aula_-_agronegcio.pdf