Como usar o Geogebra: tabela de ferramentas

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TABELA DE FERRAMENTAS “GEOGEBRA 4” 
 
JANELA 1 JANELA 2 JANELA 3 JANELA 4 JANELA 5 JANELA 6 JANELA 7 JANELA 8 JANELA 9 JANELA 10 JANELA 11 JANELA 12 
 
Mover 
 
Novo Ponto 
 
Reta definida 
por dois 
pontos 
 
Reta 
Perpendicular 
 
Polígono 
 
 
 
 
Círculo 
definido pelo 
centro e um 
dos seus 
pontos 
 
Elipse 
 
Ângulo 
 
Reflexão com 
relação a uma 
reta 
 
Inserir Texto 
 
Seletor 
 
Deslocar Eixos 
 
Girar em 
torno de um 
ponto 
 
Ponto em objeto 
 
Segmento 
definido por 
dois pontos 
 
Reta Paralela 
 
Polígono Regular 
 
Círculo dados 
centro e raio 
 
Hipérbole 
 
Ângulo com 
amplitude fixa 
 
Reflexão com 
relação a um 
ponto 
 
Incluir Imagem 
 
Caixa para 
Exibir/Esconder 
Objetos 
 
Ampliar 
 
Gravar para a 
Planilha de 
Cálculo 
 
Vincular/Desvincular 
ponto 
 
Segmento com 
comprimento 
fixo 
 
Mediatriz 
 
Polígono Rígido 
 
Compasso 
 
Parábola 
 
Distância, 
comprimento 
ou perímetro 
 
Inversão 
 
Caneta 
 
Inserir botão 
 
Reduzir 
 
 
Intersecção entre dois 
objetos 
 
Semirreta 
definida por 
dois pontos 
 
Bissetriz 
 
Polígono 
Semideformável 
 
Círculo 
definido por 
três pontos 
 
Cônica 
definida por 
cinco pontos 
 
Área 
 
Girar em 
torno de um 
ponto por um 
ângulo 
 
Relação entre 
dois Objetos 
 
Inserir Campo de 
Entrada 
 
Exibir/Esconder 
Objetos 
 
 
Ponto Médio 
 
Tangentes 
 
 
Semicírculo 
 
 
Inclinação 
 
Transladar 
 
 
 
Exibir/Esconder 
2 
 
Caminho 
poligonal 
definido por 
dois pontos 
objeto por um 
vetor 
Calculadora de 
probabilidade 
Rótulo 
 
 
Número Complexo 
 
Vetor definido 
por dois 
pontos 
 
Reta Polar ou 
Diametral 
 
 
Arco circular 
dados o centro 
e dois pontos 
 
 
Criar lista 
 
Ampliar ou 
reduzir 
objetos dados 
centro e fator 
de homotetia 
 
Inspetor de 
funções 
 
 
Copiar Estilo 
Visual 
 
 
Vetor a partir 
de um ponto 
 
Reta de 
Regressão 
Linear 
 
 
Arco 
circuncircular 
dados três 
pontos 
 
 
Apagar Objeto 
 
 
Lugar 
Geométrico 
 
 
Setor circular 
dados o centro 
e dois pontos 
 
 
 
Setor 
circuncircular 
dados três 
pontos 
 
 
 
3 
 
Shift 
ATALHOS 
 
Seleciona a opção Mover Atualiza 
desenho. Apaga o “Rastro” deixado por um objeto 
 
Nova Janela Mostrar/Esconder Janela de 
Álgebra 
 
Abrir Arquivo Ativa a opção 
 
Salvar Arquivo Seleciona vários objetos 
 
Desfazer uma ação 
 Zoom 
 
 
1 ENTRADA DE COMANDOS 
 
O Campo de Entrada fica no rodapé da Zona Gráfica do GeoGebra. Através deste campo, é 
possível operar com o GeoGebra, usando comandos escritos. Praticamente todas as ferramentas da 
Barra de Ferramentas podem ser usadas usando os comandos escritos. 
 
 
 
4 
 
Vale ressaltar que existem comandos acessíveis no CAMPO DE ENTRADA e que não estão 
na Barra de Ferramentas. Como exemplo, sugerimos que digite no CAMPO DE ENTRADA e 
pressione ENTER. 
 A = (1, 3) 
 B = (3, 4) 
 Elipse [A, B, 2] 
Observamos que os dois primeiros comandos geram pontos, assim como a ferramenta 
NOVO PONTO (Janela 1). A diferença é que pela referida ferramenta o ponto é obtido através de 
um clique com mouse e perde em precisão (nas coordenadas cartesianas). No Campo de Entrada, 
podemos dizer EXATAMENTE onde o ponto aparecerá. O último comando está disponível 
também através da Barra de Ferramentas, (Janela 7). Basta clicar sobre este botão e depois 
sobre os pontos A e B e em um terceiro ponto por onde a elipse passará. 
Não iremos mostrar todas as ferramentas disponíveis nesta janela, mas há uma maneira de ir 
descobrindo-as. Comece a digitar o comando na Entrada de Comandos e você poderá perceber 
que o GeoGebra completa sua palavra ou seu comando. Se é o comando desejado, clique em 
ENTER e abrirá uma janela de diálogo mostrando o que é preciso para concluir o comando. 
 
 
 
 
1.1 OPERADORES 
 
No GeoGebra, assim como em qualquer software que trabalhe com matemática, os 
operadores são ativados de forma bem simples. A seguir, encontra-se uma tabela com os principais 
operadores e suas funções. 
 
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OPERADOR FUNÇÃO 
+ Operador adição: adiciona o que está à esquerda com o que está à direita. 
- Operador subtração: subtrai o que está à esquerda do que está à direita. 
* Operador multiplicação: multiplica o que está à esquerda com o que está à direita. 
Obs.: o espaço também é entendido como multiplicação. Assim, escrever 2*x e 2 x, 
obtém-se o mesmo resultado. 
/ Operador divisão: divide o que está à esquerda com o que está à direita. 
 ^ Operador potência: o que está à esquerda é considerado base e o que está à direita o 
expoente. Por exemplo: x^2 é o mesmo que x². Alternativamente, pode-se usar 
combinações AltGr + 2 e AltGr + 3 (do teclado) para gerar ² e ³. Escrevendo x² e x³, o 
GeoGebra também aceita. 
sqrt(...) Operador raiz quadrada: extrai a raiz quadrada de “...”. 
cbrt(...) Operador raiz cúbica: extrai a raiz cúbica de “...”. 
log(...) ou ln(...) Operador logaritmo natural: calcula o logaritmo natural de “...”. 
ld(...) Operador de logaritmo binário: calcula o logaritmo binário de “...”, ou seja, calcula o 
logaritmo de “...”, mas na base 2. 
lg(...) Operador de logaritmo decimal: calcula o logaritmo decimal de “...”, ou seja, calcula o 
logaritmo de “...”, mas na base 10. 
sin(...) Operador seno: calcula seno de “...”. 
Obs.: medida em radianos. 
cos(...) Operador cosseno: calcula o cosseno de “...”. 
Obs.: medida em radianos. 
tan(...) Operador tangente: calcula a tangente de “...”. 
Obs.: medida em radianos. 
abs(...) Operador valor absoluto: calcula o valor absoluto de “...”. Lembre-se que | | = valor 
absoluto de x. 
 
2 FOLHA DE CÁLCULO 
 
Na Folha de Cálculo, cada célula tem um nome específico que permite identificá-la 
diretamente. Por exemplo, a célula na coluna A e linha 1 é nomeada A1. 
Nota: O nome de uma célula pode ser usado em expressões e em comandos para identificar o 
conteúdo da célula correspondente. 
Exemplo: Usando numa expressão que represente uma função afim ( ) . 
 
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Nas células da folha de cálculo pode inserir não só números, mas também todo tipo de 
objetos matemáticos suportados pelo GeoGebra (coordenadas de pontos, funções, comandos). Se 
possível, o GeoGebra mostra imediatamente na Zona Gráfica a representação gráfica do objeto 
inserido numa célula. O objeto assume o nome (rótulo) da célula usada para o criar (A5, C1). 
Nota: Injustificavelmente os objetos na folha de cálculo são classificados como Objetos Auxiliares 
na Zona Algébrica. As funções desta folha são semelhantes ao da Planilha do Excel. 
 
3 TABELA DE COMANDOS 
Novo Ponto A = (a, b) 
Vetor u = (a,b) 
Módulo do Vetor u n_u = comprimento[u] 
Segmento de reta s = Segmento[A,B] 
Mediatriz de um segmento m = mediatriz[s] 
Ponto médio de um segmento de reta M = pontomédio[s] 
Ponto de intersecção de duas retas I = intersecção[f,g] 
Círculo/circunferência (Centro, ponto) C_1 = círculo[A,B] 
Círculo/circunferência (Centro, raio) C_1 = círculo[A,r] 
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4 CONSTRUÇÕES NO GEOGEBRA4.1 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
- Insira dois seletores: (a) e (b) respectivamente, tendo eles mínimo (-10), máximo (10) e 
incremento (1). 
- No Campo de Entrada, digite a definição da equação do 1º Grau ( ) , 
seguindo como parâmetros os seletores (a) e (b). Após dê ENTER para finalizar a construção. 
- Para melhor entendimento do exercício, mova qualquer dos seletores e analise as 
mudanças do gráfico da função. 
 
 
Complementação da construção: 
 
- Crie um ponto sobre o eixo das abscissas com o comando Ponto[EixoX]. Denomine este 
Ponto para “P”. 
- Construa uma reta perpendicular do Ponto “P” em relação ao eixo das abscissas. Denomine 
esta reta de “c”. 
Abscissa de um ponto A A_x = x(A) 
Ordenada de um ponto A A_y = y(A) 
Equação reduzida de uma reta r: y = m*x+b 
Gráfico de uma função f(x)... 
Ponto móvel no gráfico M = ponto[f] 
Zero(s) de uma função x_1 = raiz[f] 
Extremo(s) de uma função E_1 = extremo[f] 
Gráfico de uma função num intervalo f(x) = função[g(x), a,b] 
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- Defina a intersecção da reta “c” com a função f(x). Denomine este ponto para “A”. 
- Construa uma reta perpendicular do Ponto “A” em relação ao eixo das ordenadas. 
Denomine esta reta de “d”. 
- Defina a intersecção da reta “d” com o eixo das ordenadas. Denomine este ponto de “P_1”. 
- Esconda as retas “c” e “d”. 
- Crie um segmento definido por dois pontos, do ponto “A” à “P”. Denomine este segmento 
de “e”. 
- Crie um segmento definido por dois pontos, do ponto “A_1” à “P”. Denomine este 
segmento de “g”. 
- Modifique o Estilo destes segmentos “e” e “g”. Deixe-as tracejadas. 
- Edite nas Propriedades do Ponto A. Exibir Rótulo: Nome & Valor. 
 
- Edite nas Propriedades do Ponto P. Legenda: x(A); Exibir Rótulo: Legenda. 
 
- Edite nas Propriedades do Ponto P_1. Legenda: y(A); Exibir Rótulo: Legenda. 
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Concluiremos a construção da seguinte maneira. 
 
Essa nova construção nos leva a novos questionamentos pertinentes: 
- Quando “x(A)” for 3, qual será sua correspondente “y(A)”? 
- Se substituirmos na função “f(x)” o “x” por 3, quanto será “y”? 
 
4.1.1 DOMÍNIO E IMAGEM 
 
Sabemos pela definição de Funções do 1° Grau que o Domínio e Imagem desta, serão todos 
os Reais. 
 
4.1.2 INTERVALOS 
 
Podemos ainda, trabalhar com intervalos. 
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- Insira dois seletores: (a) e (b) respectivamente, tendo eles mínimo (-10), máximo (10) e 
incremento (1). 
- No Campo de Entrada, digite o comando de Função[ , -5, 5], seguindo como 
parâmetros os seletores (a) e (b). Após dê ENTER para finalizar a construção. 
- Para melhor entendimento do comando, digite na Entrada de Comandos Função[] e então 
ENTER. Será visualizada a seguinte janela: 
 
 No caso do comando que nós atribuímos, foi Função , valor de x inicial = -5 e 
valor de x final = 5. 
 
4.2 INEQUAÇÕES DO 1° GRAU 
 
Sendo um função do 1° Grau, uma inequação do 1° Grau é toda inequação 
redutível a uma das formas seguintes. 
 
 
 
 
 
Em uma inequação do 1° Grau, os valores da variável que transformam a inequação em uma 
desigualdade verdadeira recebem o nome de soluções da inequação. 
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O conjunto de todas as soluções de uma inequação é o conjunto solução (S) ou conjunto 
verdade desta inequação. 
O processo de resolução de uma inequação do 1° Grau envolve descobrir os valores de x 
para os quais ou ou , o que é chamado de estudo do 
sinal de uma Função do 1° Grau. 
A seguir vamos construir a demonstração do conjunto solução da inequação do 1° Grau. 
- Insira na Entrada de Comandos, a = -2 e ENTER. 
- Insira na Entrada de Comandos, b = 1 e ENTER. 
Obs.: inserindo diretamente os valores, são criados seletores na Janela de Álgebra, após a 
construção é só clicar com o botão direito do mouse sobre eles na Janela de Álgebra e selecionar a 
opção Exibir Objetos. 
 
- Digite na Entrada de Comandos a expressão ( ) . 
- Crie um ponto sobre o EixoX. Na Janela 2, selecione a opção Novo Ponto (A) e então 
clique com o botão esquerdo do mouse sobre o eixo das abscissas. 
Obs.: Apertando ESC para selecionar a opção Mover. Mova o ponto (A) no eixo das 
abscissas. Perceba que este ponto está fixo no eixo. 
- Crie uma reta perpendicular(c) que passe pelo ponto criado no EixoX em relação ao 
eixo das Abscissas. 
- Marque a intersecção da reta(c) e a reta (f(x)). Criado o ponto, denomine-o de (P). 
Obs.: Apertando ESC para selecionar a opção Mover. Mova o ponto (A) e perceba o 
comportamento do ponto (P). 
- Habilite o rastro do ponto (P). 
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Faça o mesmo processo da observação anterior e analise a situação. 
Na inequação o conjunto solução, como já explicita no início do capítulo é o conjunto 
verdade da sentença. Neste caso, gostaríamos de saber o conjunto verdade da sentença 
 , ou seja, o conjunto solução é 
 
 
 . Iremos então, representá-lo na reta o 
conjunto solução. Seguiremos os passos então: 
- Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto (P) e selecione a opção Propriedades. 
- Selecione a janela Avançado. 
 
 
Nosso objetivo é demonstrar quais valores da minha equação torna a sentença verdadeira, ou 
seja, 
 
 
. Então vamos digitar na janela de diálogo de Condições para mostrar Objeto, x(A) < = 
1 / 2 que neste caso seria o domínio da inequação. 
 
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Movimentando o ponto (A) podemos verificar a solução da minha inequação. 
 Para estudar outras sentenças é só mudar os parâmetros (a) e (b) da equação, no caso serão 
os seletores. 
 
4.3 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS – PLANILHA DE CÁLCULO 
 
Neste capítulo vamos trabalhar com construção de gráficos através da Planilha de Cálculo. 
A Planinha tem uma interface como a Microsoft Office Excel, nos dispõe também função 
semelhantes e também do Campo de Entrada do GeoGebra. 
 
 
 
 
4.3.1 PONTOS 
 
Tradicionalmente, no estudo de funções, para a construção dos gráficos os professores usam 
a tabelinha. Neste caso não seria muito diferente, a vantagem seria uma abordagem eficaz e com 
ferramentas dinâmicas. 
Primeiramente vamos analisar como se determina elementos na grade. 
 
 
 
Como identificado o elemento da coluna A e linha 4? Semelhante às operações feitas no 
Excel, vamos identificá-lo como A4. No caso o elemento que está localizado na casa A4 é o 5. 
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Agora que sabemos identificar na planilha, iremos construir uma sequência de números na 
coluna A. 
- Digite na casa A1 o número -5 e dê ENTER. 
 - Digite na casa A2 o A1+1 e dê ENTER. 
 - Digite na casa A3 o A2+1 e dê ENTER. 
 - Repita o mesmo processo até a casa A11. 
 Perceba que houve uma sequência, no qual a casa sucessora era resultado da casa 
antecessora + 1. 
 
 
 Já sabemos então como definir valores independentes de x. A seguir vamos definir os 
valores dependentes de y na construção de pontos. Entendemos que os valores de y são encontrados 
através de f(x). 
 - Na coluna B1, digite a expressão -2*(A1)+1. Note que A1 = -5. 
 - Na coluna B2, digite a expressão -2*(A2) +1. Note que A2 = -4. 
 - Repita o processo até B11. 
 
 
 
 Temos então, as coordenadas x, y dos pontos definidos pela expressão . A 
seguir, vamos construir estes pontos na Janela Gráfica. Segue o processo: 
 - Digite na casa C1 o seguinte: (A1, B1) e dê ENTER. 
 - Digite na casa C2 o seguinte: (A2, B2) e dê ENTER. 
 - Repita o processo até C11. 
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 Perceba na Janela Gráfica os pontos criados. 
 
 
 
Se não for possível visualizar todos os pontos, é preciso Reduzir o zoom.4.3.2 ESBOÇO DO GRÁFICO 
 
Como na Entrada de Comandos, é possível inserir o comando de Função[] nas casa da 
Planilha de Cálculo. Seguindo o exemplo acima, temos como intervalos reais da função [-5, 5] e a 
expressão . Logo o Comando será Função . 
- Digite na casa A13 o comando Função e dê ENTER. 
 
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4.4 DEMONSTRAÇÕES 
4.4.1 TRIÂNGULOS 
 
Considerando três pontos não colineares A, B e C, podemos dizer que a união dos três 
segmentos ̅̅ ̅̅ , ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ , recebe é chamado de Triângulo. São classificados pela medida de seus 
lados ou ainda pelos seus respectivos ângulos internos. 
 
4.4.1.1 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO 
 
Para que possa ser construído um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos 
lados seja menos que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença 
entre essas medidas. 
| | 
 
1º Exemplo: Triângulo de lados 2, 3 e 4 cm. 
- Construa um segmento com comprimento fixo na Janela Gráfica. Irá abrir uma janela 
de diálogo pedindo o comprimento do segmento, digite 2. 
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- Construa um círculo dados centro e raio. Primeiro clique sobre o ponto A, pertencente 
a um dos extremos do segmento já criado, então digite na janela de diálogo a medida do outro lado 
do triângulo, neste caso será 3. 
 
 
 
- Construa outro círculo dados centro e raio. Primeiro clique sobre o ponto B, 
pertencente ao outro extremo do segmento já criado, então digite na janela de diálogo a medida do 
terceiro lado do triângulo, neste caso 4. 
 
 
 
 
- Defina a intersecção destas duas circunferências. Denomine-o este ponto de C. 
- Construa um segmento ̅̅ ̅̅ . 
- Construa um segmento ̅̅ ̅̅ . 
2º Exemplo: Triângulo de lados 1, 1 e 3. 
Construa um segmento com comprimento fixo na Janela Gráfica. Irá abrir uma janela 
de diálogo pedindo o comprimento do segmento, digite 1. 
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- Construa um círculo dados centro e raio. Primeiro clique sobre o ponto A, pertencente 
a um dos extremos do segmento já criado, então digite na janela de diálogo a medida do outro lado 
do triângulo, neste caso será 1. 
- Construa outro círculo dados centro e raio. Primeiro clique sobre o ponto B, 
pertencente ao outro extremo do segmento já criado, então digite na janela de diálogo a medida do 
terceiro lado do triângulo, neste caso 3. 
- Defina a intersecção destas duas circunferências. (Impossível) 
4.4.1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS 
 
a) Triângulo Equilátero: três lados congruentes (medidas iguais); três ângulos internos 
congruentes (iguais) de 60º, sendo assim classificado como polígono regular. 
Exemplo 1: Triângulo de lados 2, 2 e 2cm. 
- Construa um segmento de comprimento fixo igual a 2. 
- Construa um círculo dados centro (A) e raio igual a 2. 
- Construa outro círculo dados centro (B) e raio igual a 2. 
- Define a intersecção entre as duas circunferências. Denomine-o este ponto de C. 
- Construa um segmento ̅̅ ̅̅ . 
- Construa um segmento ̅̅ ̅̅ . 
- Define o ângulo entre os pontos ̂ . 
Obs.: normalmente para se obter o ângulo interno, deve-se seguir a sequência no sentido 
anti-horário em relação ao centro. 
- Define o ângulo entre os pontos ̂ . 
- Define o ângulo entre os pontos ̂ . 
19 
 
 
Ilustração do Exemplo 1. 
 
 
b) Triângulo Isósceles: dois lados congruentes; dois ângulos internos congruentes e o terceiro 
ângulo formado pelos lados congruentes é chamado de ângulo do vértice. 
Exemplo 2: Triângulo de lados 2, 2 e 1cm. 
- Construa um segmento de comprimento fixo igual a 1. 
- Construa um círculo dados centro (A) e raio igual a 2. 
- Construa outro círculo dados centro (B) e raio igual a 2. 
- Determine a intersecção entre as duas circunferências. 
- Construa um segmento ̅̅ ̅̅ . 
- Construa um segmento ̅̅ ̅̅ . 
- Define o ângulo entre os pontos ̂ . 
- Define o ângulo entre os pontos ̂ . 
- Define o ângulo entre os pontos ̂ . 
20 
 
 
Ilustração do Exemplo 2. 
 
 
c) Triângulo Escaleno: a medida dos três lados diferentes. Ângulos internos diferentes. 
Exemplo 3: Triângulo de lados 3, 4 e 5 cm. 
- Construa um segmento de comprimento fixo igual a 5. 
- Construa um círculo dados centro (A) e raio igual a 3. 
- Construa outro círculo dados centro (B) e raio igual a 4. 
- Determine a intersecção entre as duas circunferências. 
- Construa um segmento ̅̅ ̅̅ . 
- Construa um segmento ̅̅ ̅̅ . 
- Define o ângulo entre os pontos ̂ . 
- Define o ângulo entre os pontos ̂ . 
- Define o ângulo entre os pontos ̂ . 
21 
 
 
Ilustração do Exemplo 3. 
 
 
d) Triângulo Retângulo: possui um dos ângulos internos, reto (90º graus). 
Exemplo 3. 
 
e) Triângulo Obtusângulo: possui um dos três ângulos interno obtuso (maior que 90º graus). 
Seguindo os mesmos processos de construção, mas com medidas diferentes nos lados, 
encontramos o triângulo obtusângulo. 
 
 
Ilustração do Triângulo Obtusângulo no GeoGebra. 
 
 
a) Triângulo acutângulo: possui os três ângulos internos menores que 90º graus. 
Exemplo 1. 
 
4.4.2 ÁREA DO TRIÂNGULO 
 
- Esconda a Malha. 
- Digite na Entrada de Comandos A = (0,0) e dê ENTER. 
- Digite na Entrada de Comandos B = (0,4) e dê ENTER. 
22 
 
- Digite na Entrada de Comandos C = (1,2) e dê ENTER. 
- Encontre o ponto médio dos pontos C e B. Denomine-o de M. 
- Construa uma reta passando por A e B. Denomine-a de a. 
- Construa uma reta perpendicular a reta a e que passe pelo ponto C. Denomine-a de b. 
- Esconda os Eixos. 
- Defina a intersecção da reta b e da reta a. Denomine este ponto de H. 
- Esconda a reta b. 
- Construa um segmento ̅̅ ̅̅ . Edite este segmento em Propriedades/Estilo/Estilo da 
Linha e escolha a forma tracejada. Também Esconda seu Rótulo. 
- Esconda a reta a. 
- Construa o Polígono ABC. 
Obs.: Para construir polígonos quaisquer, devem-se selecionar os vértices do polígono e 
fechá-lo sempre no primeiro ponto selecionado, ou seja, o primeiro vértice será o último também. 
- Crie na Janela Gráfica um Seletor de mínimo = 0, máximo = 1 e incremento = 0.1. 
Denomine-o de t. 
- Digite na Entrada de Comandos e dê ENTER. 
- Com a ferramenta Girar em torno de um ponto por um ângulo, será criado um ponto 
que gire em torno do ponto M pelo ângulo . Primeiro selecione o ponto A, o centro que será o 
ponto M e então defina o ângulo e escolha a opção sentido horário como na ilustração abaixo e dê 
OK. Será criado o ponto A . 
 
 
 
- Agora faremos o mesmo processo, mas agora selecione primeiro o ponto C, o centro será o 
ponto M e o ângulo . Opção sentido horário e OK. 
23 
 
- Agora faremos o mesmo processo, mas agora selecione primeiro o ponto B, o centro será o 
ponto M e o ângulo . Opção sentido horário e OK. 
- Construa o Polígono A B C . Caso não consiga visualizar os pontos ou não selecioná-
los, movimente o seletor para movimentar os pontos. 
- Defina o ângulo ̂ . 
- Construa o segmento definido por dois pontos ̅̅ ̅̅ . 
- Construa o segmento definido por dois pontos ̅̅ ̅̅ . 
 
4.4.3 CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
- Esconda a Malha. 
- Defina a intersecção do eixo das abscissas e do eixo das ordenadas. Denomine-a de C. 
- Construa um círculo dados centro e raio. O centro será o ponto C e raio = 1. 
Denomine-a de “c”. 
- Construa um novo ponto na coordenada (1,0). Denomine-o de A. 
- Construa um novo ponto sobre a circunferência c. Denomine-o de P. 
- Construa uma reta definida por dois pontos. Selecione primeiro o ponto C e depoisP. 
Denomine-a de a. 
- Construa uma reta perpendicular em relação ao eixo das ordenadas e que passe pelo 
ponto P. Denomine-a de b. 
- Defina a intersecção da reta b e o eixo das ordenadas. Denomine-o de S. 
- Construa um segmento definido por dois pontos. Selecione primeiro o ponto C e 
depois S. Denomine-o de d. 
 - Construa um segmento definido por dois pontos. Selecione primeiro o ponto P e 
depois S. Denomine-o de b_1. 
- Construa uma reta perpendicular em relação ao eixo das abscissas e que passe pelo 
ponto P. Denomine-a de e. 
- Defina a intersecção da reta e e o eixo das abscissas. Denomine-o de S_1. 
- Construa um segmento definido por dois pontos. Selecione primeiro o ponto C e 
depois S_1. Denomine-o de d_1. 
24 
 
- Construa um segmento definido por dois pontos. Selecione primeiro o ponto P e 
depois S_1. Denomine-o de e_1. 
- Defina o ângulo de ̂ . Na sequência, primeiro A, C e depois P. 
- Construa uma reta paralela ao eixo das ordenadas e que passe pelo ponto A. 
Denomine-a de f. 
- Defina a intersecção entre a reta f e a reta a. Denomine-o de T. 
- Construa um segmento definido por dois pontos. Selecione primeiro o ponto A e 
depois T. Denomine-o de f_1. 
- Arraste a ferramenta Mover na construção, como se fosse uma seleção de arquivos. 
Clique com o botão direito do mouse. Selecione a opção Esconder Rótulo. Fará que limpe a 
Zona Gráfica. 
- Modifique as propriedades dos segmentos d, f_1 e d_1. Mude a cor destes, uma diferente 
da outra. 
- Modifique as propriedades dos segmentos e_1 e b_1. Mude o estilo da linha para tracejada 
e de cor cinza. 
- Esconda os Objetos e, f, e b. 
- Selecione o ponto S_1, em propriedades/básico escolha a opção Exibir Rótulo e então 
Valor. 
 
 
 
- Faça o mesmo com os pontos S_1 e T. 
25 
 
 
Ciclo Trigonométrico 
 
4.4.4 ÁREA DO TRAPÉZIO 
 
- Construa uma reta definida por dois pontos. Denomine-a de a e os pontos de A e B. 
- Construa um novo ponto não pertencente a esta reta. Denomine-o de C. 
- Construa uma reta paralela a reta a que passe pelo ponto C. Denomine-a de b. 
- Construa um novo ponto sobre a reta b. Denomine-o de D. 
- Defina o ponto médio entre os pontos A e C. Denomine-o de E. 
- Defina o ponto médio entre os pontos B e D. Denomine-o de F. 
- Construa um polígono dos pontos A, B, C e D. Denomine-o de ABCD e seus 
segmentos de c_1, c_2, c_3 e c_4. 
- Construa um seletor de ângulo mínimo = 0º e máximo = 180º. Denomine-o de t. 
- Defina Condição para mostrar os Objetos ABCD, c_1, c_2, c_3 e c_4 para t = 0°. 
 
26 
 
 
Dica: o símbolo de graus não pode ser digitado pelo teclado, deve ser selecionado janela de 
símbolos no canto. 
- Com a ferramenta girar em torno de um ponto por um ângulo, será criado um ponto 
que gire em torno do ponto F pelo ângulo definido pelo seletor. Primeiro selecione o ponto E, o 
centro que será o ponto F e então defina o ângulo e escolha a opção sentido horário como na 
ilustração abaixo e dê OK. Será criado o ponto E . 
 - Faça o mesmo com os pontos C e D. Serão criados os pontos C e D . 
 - Construa um polígono dos pontos A, B, E e F. Denomine-o de ABEF e seus 
segmentos de d_1, d_2, d_3 e d_4. 
- Construa um polígono dos pontos E , F, D e C . Denomine-o de E FD C e seus 
segmentos e_1, e_2, e_3 e e_4. 
- Defina Condições para mostrar os Objetos E FD C , e_1, e_2, e_3 e e_4 para t > 0º. 
- Defina Condições para mostrar os Objetos ABEF, d_1, d_2, d_3 e d_4 para t > 0º. 
- Defina Condições para mostrar os Objetos E, F, E , C e D para t > 0º. 
- Selecione todos os Objetos e esconda seus Rótulos. 
- Construa uma reta perpendicular a reta a e que passe por C. Denomine-a de f. 
- Defina a intersecção entre a reta f e a. Denomine o ponto de H. 
- Esconda os Objetos a, b e f. 
- Crie um segmento definido pelos pontos C e D. Denomine-o de g_1. 
- Crie um segmento definido pelos pontos A e B. Denomine-o de g_2. 
- Crie um segmento definido pelos pontos A e C. Denomine-o de g_3. 
- Crie um segmento definido pelos pontos B e D. Denomine-o de g_4. 
- Crie um segmento definido pelos pontos C e H. Denomine-o de h. 
- Crie um segmento definido pelos pontos A e H. Denomine-o de g_5. 
- Modifique as propriedades/estilo/estilo das linhas g_1, g_2, g_3, g_4 e g_5 para 
pontilhada e desmarque Exibir Rótulo. 
27 
 
- Modifique as propriedades/estilo/estilo da linha h para tracejada. 
- Modifique nas propriedades/estilo/preenchimento dos polígonos ABCD, ABFE, E FD C e 
arraste até 100. 
- Defina o ponto médio do segmento h. Denomine-o de M. 
 
Área do Trapézio. 
 
5 ATIVIDADES PARA O ENSINO FUNDAMENTAL 
- Construção de uma Casa com as formas geométricas conhecidas: Quadrado, retângulo, 
triângulo, paralelogramo. Poderão ser trabalhadas as formas geométricas, perímetro, área de 
superfícies planas. 
- Teorema de Tales. 
- Pontos notáveis do triângulo: Medianas e baricentro; Bissetrizes e incentro; Alturas e 
ortocentro; Mediatrizes e circuncentro. 
- Congruência de Triângulos: Casos de Congruência (LAL, ALA, LLL, LAAo, triângulos 
retângulos). 
6 ATIVIDADES PARA O ENSINO MÉDIO 
- Teorema de Pitágoras. 
- Função Quadrática. 
- Função Exponencial. 
- Funções Trigonométricas. 
- Trigonometria no Triângulo Retângulo. 
28 
 
6.1.1 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
 
- Crie um seletor, denominado n de mínimo = 1, máximo = 6 e incremento = 1. 
- Digite na Entrada de Comandos: Segmento[(n - 1, 0), (n - 1, 2^(n - 1))] 
- Digite na Entrada de Comandos: Sequência[Segmento[(n - 1, 0), (n - 1, 2^(n - 1))], n, 1, 6] 
- Insira um Texto na Janela Gráfica, nesta janela vamos digitar as fórmulas da P.G. 
 Termo Geral: a_n = a_0 * q^{n-1} 
 Soma dos Termos: S_n = \frac{ a_0*(q^n - 1) }{q -1 } 
 Razão: q = \frac{ a_n }{a_{n-1} } 
- Modifique as propriedades dos objetos para que fique mais destacados. 
 
Representação de uma sequência geométrica. 
 
6.1.2 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 
 
- Crie um seletor, denominado n de mínimo = 1, máximo = 6 e incremento = 1. 
- Digite na Entrada de Comandos: Segmento[(n - 1, 0), (n - 1, 2 (n - 1))] 
- Digite na Entrada de Comandos: Sequência[Segmento[(n - 1, 0), (n - 1, 2 (n - 1))], n, 1, 6] 
- Insira um Texto na Janela Gráfica, nesta janela vamos digitar as fórmulas da P.A. 
o Termo Geral: a_n = a_1+(n-1)*r 
o Soma dos Termos: S_n = n* \frac{ a_1 + a_n }{2 } 
o Razão: r = a_n - a_{n-1} 
- Modifique as propriedades dos objetos para que fique mais destacado. 
29 
 
 
Representação de uma sequência aritmética. 
 
6.1.3 MATRIZES 
Criar Matrizes: 
 
Exemplo: Digite na Entrada de Comandos. M = {{1, 2}, {3, 4}} e ENTER. Observe a Matriz 
criada na Zona Algébrica. 
Definir a Matriz inversa: Digite na Entrada de Comandos, M_{-1} = MatrizInversa[M] e 
ENTER. 
Definir a Matriz identidade: Digite na Entrada de Comandos, I = M*M_{-1} e ENTER. 
Definir a Matriz transposta: Digite na Entrada de Comandos, M_t = MatrizTransposta[M] 
e ENTER. 
Definir a Determinante da Matriz: Digite na Entrada de Comandos, detM = 
Determinante[M] e ENTER. 
Inserir a Matriz na Zona Gráfica: Digite na Entrada de Comandos, TabelaDeTexto[M] e 
ENTER. Observe que não os delimitadores (parênteses) da Matriz. 
 
Há uma segunda maneira de inserir Matriz na Zona Gráfica. Selecione a ferramenta 
Inserir Texto e clique sobre na Zona Gráfica, selecione a opção fórmula LaTeX e escolha a opção 
Objetos: selecione M. 
30 
 
 
A terceira maneira é selecionando a flecha ao lado da opção Fórmula Latex, após na opção 
Matrizes e então selecionar uma das opções disponíveis na janela – Matriz1 x 3, 3 x 1, 2 x 2 ou 
ainda 3 x 3. 
 
Secionada a matriz desejada, irá abrir esta expressão na janela de texto. Nas letras a, b, c e 
d, substitua-os por 1, 2, 3 e 4 respectivamente, e clique em OK. 
31 
 
 
 
 
 
Matrizes Dinâmicas 
- Crie quatro seletores, seletor a, b, c e d. 
- Digite na Entrada de Comandos, M = {{a, b},{c, d}} e ENTER. 
- Selecione a ferramenta Inserir Texto e clique sobre na Zona Gráfica, selecione a opção 
fórmula LaTeX e escolha a opção Objetos: selecione M. 
 
Manipule os seletores e analise a variação dos elementos da Matriz. 
32 
 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
HOHENWARTER, Markus. GeoGebra. Disponível em: <www.geogebra.org>. Acessado em: 25 
Out de 2011. 
 
AQUINO, L. C. M. Mini curso do GeoGebra. Disponível em: 
<http://www.youtube.com/watch?v=9- 
orPBR1TXo&feature=results_main&playnext=1&list=PL8884F539CF7C4DE3>.Acessado em: 26 
Out de 2011. 
 
 
33 
 
Sumário 
 
TABELA DE FERRAMENTAS..............................................................................................1 
ATALHOS................................................................................................................................3 
1 ENTRADA DE COMANDOS .......................................................................................... 3 
1.1 OPERADORES .......................................................................................................... 4 
2 FOLHA DE CÁLCULO .................................................................................................... 5 
3 TABELA DE COMANDOS ............................................................................................. 6 
4 CONSTRUÇÕES NO GEOGEBRA ................................................................................. 7 
4.1 FUNÇÃO DO 1º GRAU ............................................................................................ 7 
4.1.1 DOMÍNIO E IMAGEM ....................................................................................... 9 
4.1.2 INTERVALOS ..................................................................................................... 9 
4.2 INEQUAÇÕES DO 1° GRAU ................................................................................. 10 
4.3 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS – PLANILHA DE CÁLCULO ......................... 13 
4.3.1 PONTOS ............................................................................................................. 13 
4.3.2 ESBOÇO DO GRÁFICO ................................................................................... 15 
4.4 DEMONSTRAÇÕES ............................................................................................... 16 
4.4.1 TRIÂNGULOS ................................................................................................... 16 
4.4.2 ÁREA DO TRIÂNGULO .................................................................................. 21 
4.4.3 CICLO TRIGONOMÉTRICO ........................................................................... 23 
4.4.4 ÁREA DO TRAPÉZIO ...................................................................................... 25 
5 ATIVIDADES PARA O ENSINO FUNDAMENTAL .................................................. 27 
6 ATIVIDADES PARA O ENSINO MÉDIO .................................................................... 27 
6.1.1 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS ................................................................... 28 
6.1.2 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS .................................................................... 28 
6.1.3 MATRIZES ........................................................................................................ 29 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................ 32