Material de aula: Integral

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA 
COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA CAMPUS JOÃO PESSOA 
 
Curso: Engenharia Elétrica 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Professora: Kalina Aires 
 
 
Material de aula: Integral 
 
 
Definição: Seja 
)x(fu 
, onde f é uma função diferenciável. 
 
i) A diferencial dx da variável independente x é dx. 
ii) A diferencial du da variável dependente u é 
dx).x(fdu 
. Isto é, 
 
dx).x(fdu 
 
 
Exemplos: Determine a diferencial de cada função: 
 
1) 
3xu 2 
 2) 
)x3(seny 
 
 
Solução: 
dxx2du 
 Solução: 
dx)x3cos(3dy 
 
 
 
Integral indefinida e antiderivadas: 
 
 
Definição: Uma função F é uma antiderivada ou primitiva de f em um intervalo I se 
)x(f)x(F 
 para 
todo x em I . 
 
Para encontrarmos F(x) usaremos uma antidiferenciação. 
 
Exemplo: Determine antiderivadas de 
3x4)x(f 
. 
 
Solução: Observe que 
4x)x(F 
, é uma antiderivada de f(x), pois 
3x4)x(f)x(F 
. 
 
Observe que existem outras antiderivadas de f(x), como por exemplo: 
1x 4 
 , 
5x4 
 , 
10x4 
, 
12x4 
 , 
4x
, 
7
2
x 4 
, ... 
De uma forma geral, somando qualquer constante à 4x obtemos uma antiderivada de 3x4)x(f  . 
Desta forma, dizemos que existe “uma família de antiderivadas” de f(x), as quais serão representadas 
por 
Cx)x(F 3 
, onde C representa uma constante arbitrária. 
 
2 
 
Teorema 1: Se F é uma antiderivada ou primitiva de f em I e se G é uma outra antiderivada de f em I, 
então: 
C)x(F)x(G 
, 
para alguma constante C e todo x em I. 
 
Definição: A notação 
  C)x(Fdx)x(f
, onde 
)x(f)x(F 
 e C é uma constante arbitrária, representa 
a família de todas as antiderivadas de f(x) em um intervalo I , que também é chamada de integral 
indefinida de f(x). Temos que: 
 

é o símbolo da integral 

f(x) é o integrando 

C é uma constante arbitrária 
 

dx é a diferencial de f(x) e representa a variável independente que é a variável de integração. 
 
Tabela sumária de integrais indefinidas: 
 
A tabela a seguir apresenta uma relação com algumas primitivas imediatas. 
 
DERIVADA 
 
 )x(fDx
 
INTEGRAL INDEFINIDA 
  C)x(fdx)x(fDx 
 
1)x(Dx 
 
   Cxdxdx1
 
1npara,x
1n
x
D n
1n
x 








 
 


1n,C
1n
x
dxx
1n
n
 (Regra da potência) 
xcos)senx(Dx 
 
  Csenxdxxcos
 
senx)xcos(Dx 
 
  Cxcosdxsenx
 
xsec)tgx(D 2x 
 
  Ctgxdxxsec
2
 
xseccos)xgcot(D 2x 
 
  Cxgcotdxxseccos
2
 
tgx.xsec)x(secDx 
 
  Cxsecdxtgx.xsec
 
xgcot.xseccos)xseccos(Dx 
 
  Cxseccosdxxgcot.xseccos
 
 
x
1
xlnDx 
 
  Cxlndxx
1
 
  xxx eeD 
 
  Cedxe
xx
 
 
2
x
x1
1
arcsenxD


 
  C)x(arcsendxx1
1
2
 
 
2x x1
1
arctgxD


 
C)x(arctgdx
x1
1
2


 
 
1xx
1
xsecarcD
2
x


 
  C)xsec(arcdx1xx
1
2
 
3 
 
Exemplos: Determine as integrais indefinidas das funções abaixo: 
 
a) 
dxx 5

 
Solução: 
 
Cx
4
1
C
4
x
C
15
x
dxx 4
415
5 



 



 
 
b) 
dxx
 
Solução: 
 
Cx
3
2
C
2/3
x
C
12/1
x
dxxdxx 2/3
2/312/1
2/1 




 
 
 
Teorema: i) 
  C)x(fdx)x(fDx 
 ii) 
  )x(fdx)x(fDx 
 
 
 
Propriedades: Suponha que f e g sejam funções que possuem antiderivadas em um intervalo I . Então, 
as seguintes propriedades são válidas: 
 
i) 
  dx)x(f.kdx)x(f.k
, para qualquer constante k. 
 
ii) 
    dx)x(gdx)x(f.dx)x(g)x(f
 
 
iii) 
    dx)x(gdx)x(f.dx)x(g)x(f
 
 
Método da substituição de variáveis: 
 
 
Seja f uma função contínua em um intervalo I e considere F uma de suas primitivas nesse intervalo. 
Então, F’(x) = f(x), para todo x em I. Para uma função g diferenciável, tal que g(x) está no domínio da 
F, temos que: 
 
  ).x(g)).x(g(f)x(g)).x(g(F))x(g(F 
 
 
Dessa forma, fazendo 
)x(gu 
, temos que 
dx)x(gdu 
. Logo, 
 
C)u(Fdu)u(fdx)x(g)).x(g(f  
. 
 
Exemplo: Resolva as integrais indefinidas: 
4 
 
1)
  dx3x4
 
Solução: Fazendo u=4x+3, temos que du = 4dx. Logo, 
.dxdu
4
1

 Assim, 
.C)3x4(
6
1
Cu.
3
2
.
4
1
C
2
3
u
.
4
1
C
1
2
1
u
.
4
1
du.u
4
1
du.
4
1
.udx3x4 2
3
2
3
2
3
1
2
1
2
1


  

 
2)



dx
1x2x
1x
2
 
Solução: Fazendo 
1x2xu 2 
, temos que. 
dx)2x2(du 
 Logo, 
.dx)1x(du
2
1

 Assim, 
C1x2x.2.
2
1
C
2
1
u
.
2
1
C
1
2
1
u
.
2
1
duu
2
1
u
du2/1
dx
1x2x
1x 22
1
1
2
1
2/1
2







 
Portanto, 
 
C1x2xdx
1x2x
1x 2
2




. 
 
3) 
 dxe
x4
 
Solução: 
 
  .Ce4
1
due
4
1
dxe x4ux4
 
 






 dxdu
4
1
dx4dux4u
 
 
 
Integral envolvendo a função ln: 
 
 
Para 
0)x(gu 
, temos 
  ).x(g.
)x(g
1
)u(D.
u
1
|u|lnD xx 
 Logo, 
 
   .C|u|lnduu
1
C|)x(g|lndx)x(g.
)x(g
1
 
Portanto, 
 
  C|u|lnduu
1
 
 
5 
 
Exemplos: Resolva as integrais abaixo: 
 
1)
 


dx
1e
e
x
x 
 
Solução: 
 
  C1elnC|1e|lnC|u|ln
u
du
dx
1e
e xx
x
x



 
 
 dxedu1eu xx 
 
 
 
2) 
 dxtgx
 
Solução: 
 
   C|xcos|lnC|u|lnu
du
dx
xcos
senx
dxtgx
 
 
 senxdxdusenxdxduxcosu 
 
 
Aplicando a propriedade 3 de logaritmo, temos 
 
C|xsec|lnC
xcos
1
lnC|xcos|lnC|xcos|ln 1  
 
 
Portanto, 
  .C|xsec|lndxtgxouC|xcos|lndxtgx
 
 
3) 
 dxxgcot
 
 
Solução: 
 
   C|senx|lnC|u|lnu
du
dx
senx
xcos
dxxgcot
 
 
 dxcosdusenxu  
 
4) 
 dxxsec
 
Solução: 
 
6 
 
Multiplicando-se o integrando por 
tgxxsec
tgxxsec


 , obtemos 
.
tgxxsec
tgx.xsecxsec
tgxxsec
tgxxsec
)x(sec
2










 
Então, 
 

 C|tgxxsec|lnC|u|ln
u
du
dx
tgxxsec
tgx.xsecxsec
dxxsec
2. 
 
 dx)xsectgx.x(secdutgxxsecu 2
 
 
Portanto, 
.C|tgxxsec|lndxxsec 
 
 
5) 
 dxxseccos
 
 
Solução: 
 
Multiplicando-se o integrando por 
xgcotxseccos
xgcotxseccos


, obtemos 
.
xgcotxseccos
xgcot.xseccosxseccos
xgcotxseccos
xgcotxseccos
)xsec(cos
2










 
Então, 
 
 

 C|xgcotxseccos|lnC|u|ln
u
du
dx
xgcotxseccos
xgcot.xseccosxseccos
dxxseccos
2. 
 
 dx)xseccosxgcot.xsec(cosduxgcotxseccosu 2
 
 
Portanto, 
.C|xgcotxseccos|lndxxseccos 
 
 
 
Integral de funções exponenciais gerais 
 
Se a um número real positivo e x um número real, então: 
 
alnxx ea 
, 
 
logo, 
aln.a)a(D xxx
. De uma forma mais geral, se u=g(x) e g é diferenciável, então, pela Regra da 
Cadeia, 
.uD.aln.a)a(D x
uu
x 
. 
 
Portanto, 
7 
 
i)   .Ca.aln
1
dxa xx ii)   .Ca.aln
1
dua uu 
 
Exemplos: 
 
a)   .C4.4ln
1
dx4 xx 
 
b) .C
8ln
2
C2
2ln3
1
C
2ln
1
.2.
3
1
du.2
3
1
dx2.x
3
33 xxuux2   
 






 dxxdu
3
1
dxx3duxu 223 
 
 
Integral indefinida de funções trigonométricas inversas: 
 
 
As integrais das funções trigonométricas inversas podem ser generalizadas para a>0, como veremos a 
seguir. 
 
Teorema 2: Para uma constante a>0 e uma função u diferenciável, temos: 
 
i) 
C
a
u
arcsendu
ua
1
22









 
 
Demonstração: 
 
du
a
u
1a
1
du
a
u
1a
1
du
ua
1
2
2
2
2
22 



















 
Fazendo 
.dudv.adu
a
1
dv
a
u
v 
 Assim, 
 
C
a
u
arcsenC)v(arcsendv
v1
1
dv
v1a
a
du
ua
1
2222













 
 
ii) 
C
a
u
arctg
a
1
du
au
1
22









 
 
Demonstração: 
 
8 
 
du
1
a
u
a
1
du
1
a
u
a
1
du
au
1
2
2
2
2
2
22 


























 
Fazendo 
.dudv.adu
a
1
dv
a
u
v 
 Assim, 
 
C
a
u
arctg
a
1
C)v(arctg
a
1
dv
)1v(a
1
dv
)1v(a
a
du
au
1
22222













 
 
iii) 
C
a
u
secarc
a
1
du
auu
1
22









 
 
Demonstração: 
 
du
1
a
u
u.a
1
du
1
a
u
a.u
1
du
auu
1
2
2
2
2
22 


















 
Fazendo 
.dudv.adu
a
1
dv
a
u
v 
 Além disso, u = a.v. Assim, 
 
C
a
u
arcsen.
a
1
C)v(arcsen.
a
1
dv
1vv.
1
.
a
1
dv
1vv.a
a
du
au.u
1
22222













 
 
 
Exercícios: Resolva as integrais abaixo. 
 
a) 
dx
x2
x
4 
 b) 
dx
xsec1
tgx.xsec
2 
 c)
dx
4xx
1
6 
 
 
Integral definida: 
 
 
Consideremos a região R do plano, mostrada na 
Figura 1, delimitada pelo eixo-x, as retas x = a, x = b e a 
curva de equação y = f(x), onde f(x) é uma função 
contínua no intervalo [a,b]. 
 
 
 
Dividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos em 
que: 
 
9 
 
a b
R
x
= x
0
1
x x 2 3x
...
x=
7
y
1n21n0 x...,,x,xebx,ax 
sejam os pontos intermediários, tais que
n210 x....,xxx 
, 
temos uma partição , onde o comprimento de cada subintervalo 
kx
 é dado por: 
011 xxx 
, 
122 xxx 
, 
233 xxx 
, ..., 
1kkk xxx 
, ..., 
1nnn xxx 
. 
 
O comprimento do maior subintervalo é chamado norma da partição, e representado por 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere 
 k1kk x,xc 
 e f(ck) a altura do retângulo que ocupa a k-ésima posição. Sendo assim, 
temos que a área de cada retângulo é dada por: 
 
111 x).c(fA 
, 
222 x).c(fA 
 , ... , 
kkk x).c(fA 
, ... , 
nnn x).c(fA 
. 
 
A soma das áreas de todos os retângulos é dada por: 
nn332211
n
1k
kk x)c(fx)c(fx)c(fx).c(fx)c(f 


. 
A essa soma, denominamos Soma de Riemann. 
 
Observe que, à medida que aumentamos o número de subintervalos da partição, ou seja, fazemos a 
norma da partição tender a zero, a área equivalente a soma das áreas dos retângulos se aproxima da 
área da região R. 
 
 
Figura 2 
10 
 
Definição: A área da região R do plano, delimitada pelo eixo-x, as retas x = a, x = b e a curva de 
equação y= f(x) é dada por: 
 
kk
n
1k
n
n
1k
kk
0
x)c(flimx)c(flimA  




 
 
Definição: Seja f definida em um intervalo fechado [a,b]. A integral definida de f, de a até b, denotada 
por 

b
a
dx)x(f
 é 
 




n
0k
kk
0
b
a
x)c(flimdx)x(f
, desde que o limite exista. 
 
Note que o valor de uma integral definida é um número real; a e b são chamados de limites de 
integração ( inferior e superior, respectivamente). 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) 
 
 
Esse é um dos teoremas mais importantes do Cálculo. Esse teorema estabelece uma conexão entre 
derivadas e integrais definidas. Essa conexão foi explorada independentemente por Newton e Leibniz. 
 
Teorema 3 (TFC): Suponhamos que f é contínua em um intervalo fechado [a,b]. 
 
1ª Parte: Se a função G é definida por 

x
a
dt)t(f)x(G
 para todo x em [a,b], então G é uma 
antiderivada de f em [a,b]. 
 
Ou seja, é possível mostrar que: 
).x(f)x(Gdt)t(f)x(G
x
a
 
 
 
Justificativa: 
 
Observe que a função 

x
a
dt)t(f)x(G
 pode ser entendida 
como a área da região na Figura 5. 
 
 
 
 
 
Considerando h > 0, temos que: 
 
11 
 
 
 x
a
hx
a
dt)t(fdt)t(f)x(G)hx(G
 . As funções G(x+h), G(x) e 
)x(G)hx(G 
 podem ser 
entendidas como as áreas das regiões mostradas nas Figuras 6,7 e 8, respectivamente: 
 
 
Ou seja, 
 



hx
x
dt)t(f)x(G)hx(G
 
 
 
Considerando 
)hx,x(c 
, tal f(c) seja a altura do retângulo 
destacado na Figura 9, temos que a área do retângulo é dada por: 
 
h.)c(fA)xhx().c(fA RR 
. 
 
 
 
 
 
 
À medida que 
0h 
, 
xc 
 e a área da região se aproxima da área do retângulo, como mostra a 
Figura 10. 
 
Ou seja, quando 
0h 
, temos que: 
 
)x(f
h
)x(G)hx(G
h.)x(f)x(G)hx(G 


. 
 
Em outras palavras, 
 
).x(f)x(G)x(f
h
)x(G)hx(G
lim
0h



 
 
12 
 
      







A
 
2ª Parte: Se F é qualquer antiderivada de f em [a,b], então 
 
).a(F)b(F)x(Fdx)x(f
b
a
b
a

 
Demonstração: 
 
Suponha que 

x
a
dt)t(f)x(F
. Então, pela 1ª parte do TFC, F é uma antiderivada de f. Portanto, 


















 
a
a
b
a
Cdt)t(fCdt)t(f)a(F)b(F
 
  








 
b
a
b
a
dt)t(fC0Cdt)t(f)a(F)b(F
 
)a(F)b(Fdt)t(f
b
a

 
 
Exemplo: Calcule o valor da integral 
 
4
1
dx)2x(
. 
Solução: Faremos de duas formas diferentes: usando o T.F.C. e a Geometria Plana. 
 
1ª forma: Usando o T.F.C. 
2
27
CC2
2
1
16C2
2
1
C8
2
16
Cx2
2
x
dx)2x(
4
0
2
4
1






















. 
 
2ª forma: Usando a geometria plana. 
 
A integral 
 
4
1
dx)2x(
 corresponde a medida da área A da Figura 11. 
A região representa um trapézio em que: 
 
 
• A base maior B=6 • A base menor b=3 • A altura h = 3. 
 
Assim, 
.
2
27
2
3).36(
2
h).bB(
A 




 
 
 
 
 
 
Figura 11 
13   


x
A1
A2
x
f(x)
A1
A2
Exemplo: Calcule o valor da integral 

2
0
dx)x(sen
 
Solução: Geometricamente, temos: 
 
 
Pelo T.F.C, temos: 
      .0C1C1C)0cos(C)2cos(C)xcos(dx)x(sen 20
2
0



 
 
Observações: 
 
1)Note que é desnecessário colocar a constante arbitrária C, visto que 
ela se anula quando aplicamos o T.F.C.. 
 
2)A integral teve como resultado o número 0. Isso acontece 
devido ao resultado que veremos a seguir. 
 
 
“Dada uma função y=f(x) contínua em [a,b], podemos 
entender 

b
a
dx)x(f
 , como sendo a “área líquida” da região do plano, delimitada pelas retas x=a, x=b, 
o eixo-x e o gráfico de y=f(x)”. 
 
Ou seja, 
2A1Adx)x(f
b
a

 
 
 
Propriedades da integral definida: 
 
 
1)Se f e g são funções integráveis e se K é uma constante real, então: 
 
 
b
a
b
a
dx)x(f.Kdx)x(f.K)i
 
   
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f)ii
 
   
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f)iii
 
 
Figura 13 
Figura 12 
14 
 
a b
f(x)
xc
A1 A2
2)Se f(a) existe, então 
.0)a(F)a(F)x(Fdx)x(f
a
a
a
a

 
 
Exemplo: 
.0
2
4
3
8
2
4
3
8
2
x
3
x
dx)xx(
2
2
23
2
2
2 





















 
 
3) Se c > d, então 
 
c
d
d
c
dx)x(fdx)x(f
. 
 
Exemplo: 
 
1)0(sen)2/(sen)x(nsedx)xcos(
2/
0
2/
0


 
 
1)2/(sen)0(sen)x(nsedx)xcos(
0
2/
0
2/

 
 
 
Teorema 4: Se a < c < b e se f é integrável em [a,b], então, 
 
,dx)x(fdx)x(fdx)x(f
c
a
b
c
b
a    
onde, 
 
b
c
c
a
.dx)x(f2Aedx)x(f1A
 
Exemplo: Resolva a integral .dx|2x|4
1 
 
Temos que: 






2x02xse,2x
2x02xse,2x
2x
 
Sendo assim, 
 
     
4
1
2
1
4
2
2
1
4
2
dx)2x(dx)2x(dx|2x|dx|2x|dx|2x|
 
Logo, 
      .
2
5
20
2
3
242882
2
1
42x2
2
x
x2
2
x
dx|2x|
4
2
2
2
1
2
4
1
























 
 
Teorema 5: Seja f contínua em [a,b]. Se 
bca 
 , então, para todo x em [a,b], 
 
 
x
cx
).x(fdt)t(fD
 
Figura 13 
15 
 
Demonstração: 
 
  ).x(f0)x(f)c(FD)x(FD)c(F)x(FDdt)t(fD
x
c xxxx
 
 
Exemplo: Resolva: 
 

x
2
2
x dttD)a 
 
Solução: Neste caso, f(t) = t2. 
)x(fx0
3
x3
3
8
3
x
D
3
t
DdttD 2
23
x
x
2
3
x
x
2
2
x 

















 
 

x
1x
dt
t
1
D)b
 
 
Solução: Neste caso, f(t) =1/t. 
 
)x(f
x
1
dt
t
1
D
x
1x
 
A Função Logarítmica Natural 
 
Definição: A função logarítmica natural, denotada por ln, 
é definida como 
 
dt
t
1
xln
x
1
 
para todo x>0. 
 
Faremos a seguir, algumas considerações importantes: 
 
• A restrição x > 0 é necessária porque, se 
0x 
, o integrando tem uma 
descontinuidade infinita entre x e 1,como mostra a Figura 14, e assim, a 
integral 
dt
t
1x
1
 não existe. 
 
 
• Se x = 1, temos que 
0dt
t
1
1ln
1
1
 
. 
 
16 
 
• Se x >1, a integral definida pode ser interpretada como sendo a área 
da região sob o gráfico de 
t
1
)t(f 
 de t = 1 a t = x , como mostra a 
Figura 15. 
 
 
 
 
 
 
• Se 0< x< 1, a área A é dada por
Axlnxlndt
t
1
dt
t
1
A
x
1
1
x
 
. 
 
 
Ou seja, o lnx é o negativo da medida da área A, e como A > 0 temos o 
lnx < 0 para 0 < x < 1 (Figura 16). 
 
 
Aplicação de integral definida: área entre curvas 
: 
 
Se f e g são funções contínuas e 
)x(g)x(f 
 para 
todo x em [a, b], então a área A da região delimitada 
pelos gráficos de f e g, x = a e x = b é denominada 
região 
xR
 e é obtida por: 
 
 
b
a
b
a
b
a
dx)]x(g)x(f[dx)x(gdx)x(fA
 
 
 
 
 
 
Esta fórmula também pode ser usada se f ou g são negativas para algum x em [a, b]. Neste caso, 
escolhe-se um número negativo d inferior ao valor mínimo de g em [a, b]. Em seguida, consideram-se as 
funções 
1f
 e 
1g
, definidas como segue: 
 
d)x(f)x(f1 
 e 
d)x(g)x(g1 
 
 
Ou seja, deslocando-se verticalmente os gráficos de f e g de uma distância |d|. 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
b
a
b
a
b
a
11 dx)]x(g)x(f[dx]d)x(g[]d)x(f[dx)]x(g)x(f[A
 
 
Exemplo: Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações 
2x3)x(f 
 e 
x3)x(g 
 e 
calcule sua área. 
Solução: Os pontos de interseção dos dois gráficos são obtidos como segue. 
 
Substituindo-se 
x3y 
 na outra equação, tem-se: 
.1xou0x0xx3x3x 22 
 
Os pontos de interseção são: 
)2,1(e)3,0(
 e os gráficos 
estão na Figura 20. Portanto, 
 
 
1
0
2
1
0
dx)]x3(x3[dx)]x(g)x(f[A
 
 
 
1
0
231
0
2
2
x
3
x
dx)xx(A








 
 
 






 )00(
2
1
3
1
A
6
1
A 
 
 
 
Em algumas situações faz-se necessário determinar a área de regiões entre curvas de equações da 
forma 
)y(gxe)y(fx 
, contínuas para 
dyc 
, como mostra a Figura 21. Neste caso, os 
papéis de x e y são invertidos, admitindo-se y como variável independente e x como a variável 
dependente e a região é denominada região 
yR
. 
 
18 
 
A área da região é obtida por: 
 
 
 
d
c
d
c
d
c
dy)]y(g)y(f[dy)y(gdy)y(fA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine a área da região delimitada pelas curvas de equações 
y4yx 2 
 e 
2yy2x 
. 
 
Solução: As curvas se interceptam nos pontos 
)3,3(e)0,0( 
. 
 
 
 
3
0
22 dy)]y4y()yy2[(A
 
 
 
3
0
22 dy)]y4y()yy2[(A
 
 
3
0
3
23
0
2 y
2
y
dy)y3y(A








 
 
 
 
3
0
3
23
0
2 y
2
y
dy)y3y(A








  263A2729A 
. 
 
 
Bibliografia: 
 
SWOKOWSKI, Earl W., Cálculo com Geometria Analítica – volume 1, Makron Books, São Paulo – SP 
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica – volume 1, Harbra, São Paulo – SP. 
STEWART, James, Cálculo : volume 1-Cengage Learning, 2009, São Paulo-SP.