Calculo 2 Integral

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1 
 
 
Cálculo II 
Estudo da Integral 
 
 
 
 
2 
CAPÍTULO 1 
 
 
1. FUNÇÕES 
 
Definição: 
 Considere dois conjuntos: o conjunto A com elementos x e o conjunto B com elementos y. 
Diz-se que temos uma função de A em B (f: A à B) quando existe uma relação entre os elementos 
desses dois conjuntos tais que para cada elemento de A há um, e apenas um, correspondente em 
B. 
 
Seja f: A à B, y = f(x) uma função. Nesse esquema, A é o conjunto domínio da função, 
ou seja, o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função é definida; B é o 
contra-domínio da função, ou seja, o conjunto que contém os elementos y que podem estar 
relacionados aos elementos x; e y = f(x) é a lei da função, ou seja, a regra que associa os 
elementos x e y. 
 
 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4} e a função f: A à B, y = x + 1. Essa 
função pode ser representada como no esquema abaixo: 
 
 Nesse caso, D(f) = {1, 2, 3}, Im(f) = {2, 3, 4} e CD(f) = {0, 1, 2, 3, 4}. 
 
 É comum expressarmos uma função somente por sua lei, como por exemplo, 1xy −= . 
Num caso assim, subentende-se que o domínio de f é o maior conjunto possível. Para essa função 
temos D(f) = [1, +∞). 
 
Classificação de funções: 
 Uma função pode ser classificada em injetora (injetiva), sobrejetora (sobrejetiva) ou 
bijetora (bijetiva). 
 
Função injetora (ou injetiva) 
 É a função na qual dois elementos diferentes no domínio correspondem sempre a 
elementos diferentes no contra-domínio. 
 
Função sobrejetora (ou sobrejetiva) 
 É a função na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contra-
domínio é correspondido por ao menos um elemento do domínio. 
 
Função bijetora (ou bijetiva) 
 É a função injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, cada elemento do domínio 
corresponde a um único elemento do contra-domínio e vice versa. Esse tipo de função é conhecida 
como função um a um. 
 
3 
 Observe os diagramas abaixo que simbolizam funções de A em B. 
 
 
 Função injetora e não-sobrejetora Função sobrejetora e não-injetora Função bijetora 
 
 Graficamente é fácil de perceber quando uma função f é ou não injetora, através do teste 
da reta horizontal. Se for traçada uma reta horizontal e esta interceptar o gráfico de f mais de 
uma vez, então a função não é injetora (e, portanto, também não é bijetora). 
 
Exemplo de uma função não-injetora: 
 
 
1.1 Função inversa 
 Seja f uma função de A em B injetora. Isto significa que a cada y pertencente a imagem 
de f, existe em correspondência um único elemento x de A tal que ( ) yxf = . A função que faz 
essa correspondência chama-se função inversa de f e é designada por 1f − . Temos então que se 
( ) yxf = , então ( )yfx 1−= . Valem, portanto, as igualdades: 
• ( )( ) yyff =−1 , para todo y no domínio de 1f − e 
• ( )( ) xxff =−1 , para todo x no domínio de f 
 
Em outras palavras, 1−f desfaz o que f faz, pois f leva x até y, enquanto que 1−f leva y 
até x. Quando estas duas funções forem compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito da 
outra. 
 
Obs.: 
i) Se f é crescente (ou decrescente) em todo o seu domínio, então essa função é injetora. 
ii) O domínio de 1f − é a imagem de f e a imagem de 1f − é o domínio de f. 
iii) As representações gráficas de f e 1f − são simétricas à reta y = x. 
iv) A notação 1f − tem significado diferente de 
f
1 . 
4 
Exemplos: 
1) Determine a função inversa 1f − da função 2x)x(f += e faça a representação gráfica de 
ambas. Em seguida faça o gráfico da reta y = x e verifique a simetria de f e 1f − . 
 
 
 
 
2) Considere a função 3x4x)x(f 2 +−= . Determine uma restrição para o domínio da função f 
para que exista a função inversa 1f − e determine sua lei. Em seguida faça o gráfico de 
ambas as funções. 
 
 
 
3) Encontre uma fórmula para a inversa de 
1x
4x2)x(f
−
+
= e dê o domínio de 1f − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
1.2 Funções trigonométricas inversas 
 Observe o gráfico da função x seny = . Perceba que essa função não é injetora e, 
portanto, não tem inversa. Assim, para definir funções trigonométricas inversas, primeiro temos 
que restringir os domínios para torná-las injetoras. 
 
 Assim, a função [ ] sen(x)f(x) , 1,1
2
,
2
:f =−→⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ππ
− , cujo gráfico é mostrado abaixo, 
admite inversa. 
 
 A função inversa do seno, denotada por (x) arcsen ou )x(sen 1− , define-se como 
(x) arcseny = se, e somente se, y senx = para 1x1 ≤≤− e 
2
y
2
π
≤≤
π
− . O gráfico da função 
(x) arcseny = é mostrado abaixo. 
 
 Como sen(x) e arcsen(x) são funções inversas, valem as seguintes propriedades: 
i) sen (arcsen x) = x se 1x1 ≤≤− 
ii) arcsen (sen x)= x se 
2
x
2
π
≤≤
π
− 
6 
A função inversa do cosseno, denotada por arccos x, define-se como (x) arccosy = se, e 
somente se, y cosx = para 1x1 ≤≤− e π≤≤ y0 . Abaixo o gráfico da função cosseno (com sua 
restrição de domínio) e em seguida o gráfico de y = arccos (x). 
 
 
 
 
 Como cos (x) e arccos (x) são funções inversas, valem as seguintes propriedades: 
i) cos (arccos x) = x se 1x1 ≤≤− 
ii) arccos (cos x)= x se π≤≤ x0 
 
 
A função inversa da tangente, denotada por arctg x, define-se como )x(arctgy = se e 
somente se y tgx = para todo x e 
2
y
2
π
<<
π
− . Abaixo o gráfico da função tangente (com sua 
restrição de domínio) e em seguida o gráfico de y = arctg (x). 
 
 
7 
 
 
 Tal como as funções arcsen (x) e arccos (x), temos: 
i) tg (arctg x) = x para todo x 
ii) arctg (tg x) = x se 
2
x
2
π
<<
π
− 
 
 
 
 
1.3 Derivadas das funções trigonométricas inversas 
 
[ ] 'u
u1
1u sen arc
dx
d
2
⋅
−
= 
[ ] 'u
u1
1u cos arc
dx
d
2
⋅
−
−
= 
[ ] 'u
u1
1u tg arc
dx
d
2 ⋅+
= 
[ ] 'u
1u|u|
1u secarc
dx
d
2
⋅
−
= 
[ ] 'u
1u|u|
1u cossec arc
dx
d
2
⋅
−
−
= 
[ ] 'u
u1
1u gcotarc
dx
d
2 ⋅+
−
= 
 
 
 
Exemplos: 
1) Ache 
dx
dy se )x(arcseny 2= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se )x4arccos()x(f = , determine ).x('f 
 
 
 
 
 
 
8 
3) Se (2x) arctg)1x(y 32 ⋅+= , determine 'y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Ache 
dx
dy se 
x
)xsec(arcy
2
= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Ache 
dx
dy se )x2(arcseny = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Se )x2( cosy = , determine )1(f 1− . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 1: Funções inversas 
 
1) Verifique se os pares de funções abaixo são uma a inversa da outra. 
a) x4)x(f = e 
4
x)x(g = 
b) 1x3)x(f += e 1x3)x(g −= 
c) 3 2x)x(f −= e 2x)x(g 3 += 
d) 4x)x(f = e 4 x)x(g = 
 
2) Determine quais das funções abaixo são injetoras. 
a) 2x3)x(f += 
b) 1x)x(f −= 
c) |x|)x(f = 
d) 3x)x(f = 
e) 2x2x)x(f 2 +−= 
f) )x(sen)x(f = 
 
3) Verifique se a função f definida pela tabela é injetora. 
a) 
x 1 2 3 4 5 6 
f(x) -2 -1 0 1 2 3 
b) 
x 1 2 3 4 5 6 
f(x) 4 -7 6 -3 1 4 
 
 
 
4) (a) A figura abaixo mostra o gráfico de uma função f sobre seu domínio 8x8 ≤≤− . Explique 
por que f tem uma inversa e use seu gráfico para encontrar )2(f 1− , )1(f 1 −− e )0(f 1− . 
(b) Encontre o domínio e a imagem de 1f − . 
(c) Esboce o gráfico de 1f − . 
 
 
10 
5) Encontre uma fórmula para )x(f 1− em cada função abaixo: 
a) 6x7)x(f −= 
b) 5x3)x(f 3 −= 
c) 3 1x2)x(f −= 
d) 
2x
3)x(f = , para 0x < 
 
 
6) Encontre uma fórmula para )x(f 1− e dê o domínio de 1f − . 
a) 4)2x()x(f += , para 0x ≥ 
b) x23)x(f −−= 
c) 2x5x)x(f −= , para 1x ≥ 
d) )x2cos(y = , para 
2
x0 π≤≤ 
 
 
 
7) Encontre 
dx
dy
. 
 
a) (3x) senarcy = 
b) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
x
1 secarcy 
c) ( )3x tg arcy = 
d) x cos arc x senarcy += 
e) x cossec arc x secarcy += 
f) ( )x cotg arcy = 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
1.a) SIM 
 b) NÃO 
 c) SIM 
 d) SIM 
 
2.a) SIM 
 b) SIM 
 c) NÃO 
 d) SIM 
 e) NÃO 
 f) NÃO 
 
3.a) SIM 
 b) NÃO 
11 
4.a) O gráfico tem inversa porque a função é injetora e 8)2(f 1 =− , 1)1(f 1 −=−− e 0)0(f 1 =− . 
 b) 2] ,2[))x(f(D 1 −=− e 8] ,8[))x(fIm( 1 −=− 
 c) 
 
5.a) )6x(
7
1)x(f 1 +=− 
 b) 31
3
)5x()x(f +=− 
 c) 
2
1x)x(f
3
1 +=− 
 d) 
x
3)x(f 1 −=− 
 
6.a)2x)x(f 4
11 −=− , para 16x ≥ 
 b) )x3(
2
1)x(f 21 −=− , para 0x ≤ 
 c) ( )x2011
10
1)x(f 1 −+=− , para 4x −≤ 
 d) 
2
(x) arccos)x(f 1 =− , para 1x1 ≤≤− 
 
 
7.a) 
2x91
3'y
−
= 
 b) 
1x|x|
1'y
2 −
−= 
 c) 
6
2
x1
x3'y
+
= 
 d) 0'y = 
 e) 0'y = 
 f) 
)x1(x2
1'y
+
−= 
 
 
12 
CAPÍTULO 2 
 
 
2. FUNÇÕES EXPONENCIAL 
 
 
2.1 Revisão de potência 
 
a) 23 = 
b) (-4)2 = 
c) -32 = 
d) 71 = 
 
 
Propriedades 
• Multiplicação de potências de mesma base: 
a) 53 . 57 = 
b) 34 . 35 = 
Propriedade: Na multiplicação de potências de mesma base, __________________________ 
_______________________________________________________________________ 
 
• Divisão de potências de mesma base: 
a) 57 ÷ 53 = 
b) 610 ÷ 65 = 
Propriedade: Na divisão de potências de mesma base, _______________________________ 
_______________________________________________________________________ 
 
• Potência da potência: 
a) (23)2 = 
b) (32)4 = 
Propriedade: Quando ocorrer potência de potência, ________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
 
Potências com expoentes inteiros e racionais 
a) 30 = 
b) 4-2 = 
c) 3-3 = 
d) (-2)-4 = 
e) 2
14 = 
f) 2
34 = 
g) 3127 
h) cba = 
 
13 
2.2 Função exponencial 
Considere o seguinte problema: 
Uma colônia inicialmente com cerca de 1200 bactérias é cultivada e apontamentos indicam 
que sua população dobra a cada hora. Sendo assim, complete a tabela abaixo com o número de 
bactérias previsto levando em conta que haverá espaço e alimento suficientes. 
 
tempo (em horas) 0 1 2 3 4 ... 10 t 
População (P) 
 
Funções com esse tipo de característica são classificadas como exponencial. Sendo mais 
rigoroso, uma função f: à , tal que xb)x(f = , em que b > 0 e b ≠ 1 é denominada função 
exponencial de base b. 
 São exemplos de funções desse tipo x2)x(f = , 
x
2
1)x(f ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= e xe)x(f = . 
 
 
Gráfico de uma função exponencial 
 
 
Exemplo: 
Construa o gráfico das funções x2y = e 
x
2
1y ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= . 
 
14 
A função exponencial natural 
A função exponencial mais importante para a modelagem de fenômenos naturais, físicos e 
econômicos é a função exponencial natural, cuja base é o número especial e (número de Euler). 
Esse número é irracional e seu valor é de aproximadamente 2,718281828 para nove casas 
decimais. 
 As funções exponenciais do tipo kxey = , onde k é uma constante diferente de zero, são 
frequentemente usadas como modelos de crescimento ou decaimento exponencial. Além disso, a 
função xe)x(f = tem uma particularidade interessante: qualquer reta tangente tem sempre a 
inclinação da ordenada (y) do ponto de tangência. 
 
Número de Euler 
 Usando sua calculadora, verifique que 718281828,2e ≅ . 
 
Complete a tabela abaixo: 
x 
x
11 + 
x
x
11 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ 
1 
10 
100 
1000 
10.000 
100.000 
1.000.000 
 
Portanto, o número de Euler, representado pela letra e, é dado por 
x
x x
11lim ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
. Esse 
limite é equivalente a x
1)x1(lim
0x
+
→
. 
 
( ) ex1lim
x
11lim x
1
0x
x
x
=+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→∞→
 
15 
2.3 Logaritmos 
 Dado um número a, positivo e diferente de 1, e um número b, positivo, se a x = b, dizemos 
que o expoente x é o logaritmo de a na base b. Indicamos por loga b e lemos logaritmo de a na 
base b. 
 
 
 
 
 Se x = logb a , dizemos que: 
 b é a base do logaritmo (b > 0 e b ≠ 1) 
 a é o logaritmando ou antilogaritmo (a > 0) 
 x é o logaritmo 
 
 
Exemplos: 
Determine os logaritmos pedidos: 
a) =8log 2 
 
 
 
b) =9log3 
 
 
 
 
c) =32log 2 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de logaritmos 
 Chamamos de sistemas de logaritmos de base b o conjunto formado pelos logaritmos, 
nesta base, de todos os números reais positivos. Dois sistemas são mais usados: 
 
• Sistemas de logaritmos decimais: 
 É o sistema de logaritmos de base 10. Estes logaritmos também são chamados logaritmos 
comuns, ou de Briggs (Henry Briggs, 1561-1630, matemático inglês). O logaritmo decimal de um 
número é indicado por log x (ficando implícito que a base é 10). 
 
Exemplo: 
1) Utilize a calculadora e determine os logaritmos pedidos abaixo: 
a) =10log10 log 10 = 
b) =2log10 log 2 = 
c) =5log10 log 5 = 
logb a = x ⇔ b x = a 
16 
• Sistemas de logaritmos naturais: 
 É o sistema de logaritmos cuja base é o número de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783), 
visto anteriormente, representado por e. Indica-se um logaritmo desse sistema por ℓn x. 
 
Exemplo: 
2) Utilize a calculadora e determine os logaritmos pedidos abaixo: 
a) =10loge ln 10 = 
b) =2loge ln 2 = 
c) =eloge ln e = 
 
 
Propriedades operatórias 
 
• Logaritmo do produto 
 
( ) clogalogaclog bbb += 
 
 
• Logaritmo da divisão 
 
( ) clogaloglog bbcab −= 
 
 
 
• Logaritmo da potência 
 
alogmalog b
m
b ⋅= 
 
 
• Mudança de base 
 
blog
alog
alog
c
c
b = 
 
 
 
Função inversa 
Teorema: Se b > 0 e b ≠ 1, então xby = e xlogy b= são funções inversas. 
 
Prova: Se xby = , para determinarmos a inversa fazemos ybx = . Ora, ybx = é equivalente a 
yxlogb = . Portanto, xlogy b= é inversa de 
xby = . 
 
 
 
17 
Gráfico da função logarítmica 
 O padrão de crescimento de xe e x ln são bem distintos. Ambas as funções crescem sem 
cota, mas xe cresce muito rápido enquanto o crescimento de x ln é muito lento. Para ter uma ideia, 
para 10x = , xe supera 22000 enquanto x ln não atinge nem 7. Abaixo o gráfico da função x lny = . 
 
 
 
 Use a malha abaixo e construa o gráfico de xlogy 2= e xlogy = . 
 
 
 
 
 
18 
Derivadas de funções logarítmicas 
 Lembremos como obtemos a derivada de uma função pela definição: 
 
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
−+
=
→
 
 
 Para calcular a derivada de )xln()x(f = , fazemos então: 
h
)xln()hxln(lim)]x[ln(
dx
d
0h
−+
=
→
 
[ ])xln()hxln(
h
1lim)]x[ln(
dx
d
0h
−+⋅=
→
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⋅=
→ x
hxln
h
1lim)]x[ln(
dx
d
0h
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=
→ x
h1ln
h
1lim)]x[ln(
dx
d
0h
 
( )v1ln
vx
1lim)]x[ln(
dx
d
0v
+⋅=
→
 
( )v1ln
v
1lim
x
1)]x[ln(
dx
d
0v
+⋅⋅=
→
 
( ) v1v1lnlim
x
1)]x[ln(
dx
d
0v
+⋅=
→
 
( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +⋅=
→
v
1
v1limln
x
1)]x[ln(
dx
d
0v
 
[ ]eln
x
1)]x[ln(
dx
d
⋅= 
 
x
1)]x[ln(
dx
d
= 
 
 
 Além disso, para logaritmo em outra base temos: 
[ ] )xln(
bln
1
)bln(
)x(n1
dx
dxlog
dx
d
b ⋅=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= 
 
[ ]
blnx
1xlog
dx
d
b = 
 
 
 Se u é uma função diferenciável de x e se 0)x(u > , então: 
 
1) [ ] 'u
u
1)uln(
dx
d
⋅= 
 
2) [ ] 'u
blnu
1)u(log
dx
d
b ⋅⋅
= 
 
 
 
Propriedade operatória dos logaritmos. 
Fazendo h/x = v, temos h = vx. Além disso, se h 
tende a zero, v = h/x também tende a zero. 
Propriedade operatória dos logaritmos. 
Como ln(x) é uma função contínua,podemos mover 
o limite através do símbolo da função. 
Como x é fixo nesse cálculo (não varia), 
podemos removê-lo através do limite. 
0x > 
0x > 
19 
Exemplos: 
1) Se )2xln()x(f 3 −= , determine ).x('f 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se )xcosx5ln(y ⋅= , determine 
dx
dy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⋅
x1
)x(senxln
dx
d 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Se |)x(sen|ln)x(f = , determine )x('f . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
Teorema: Diferenciabilidade da função inversa 
 Suponha que o domínio de uma função f seja um intervalo aberto I e que f seja diferenciável 
e injetora nesse intervalo. Então 1f − é diferenciável em qualquer ponto da imagem de f no qual 
0))x(f('f 1 ≠− e sua derivada é: 
[ ] ( ))x(f'f
1)x(f
dx
d
1
1
−
− = 
 
 
Exemplo: 
Encontre a derivada da inversa de f(x) = x2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas das Funções Exponenciais 
 As funções xby = e xlogy b= são funções inversas. Além disso, [ ] blnx
1xlog
dx
d
b = . Pela 
fórmula da derivada da inversa, tomando xlog)x(f b= e 
x1 b)x(f =− , temos: 
 
[ ] blnb
blnb
1
1
)b('f
1b
dx
d x
x
x
x === 
 
 
 Em particular, 
[] xxx eelnee
dx
d
== 
 
 
 
Se u é uma função diferenciável de x, então: 
 
1) [ ] 'u)bln(bb
dx
d uu ⋅= 2) [ ] 'uee
dx
d uu ⋅= 
 
 
21 
Exemplos: 
1) Se x2)x(f = , determine )x('f . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se )x3ln(e)x(f
2x ⋅= determine )x('f . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine [ ])x2cos(e
dx
d
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Quando se dá um fármaco a um paciente, a droga entra na corrente sanguínea. Ao passar pelo 
fígado e rins, é metabolizada e eliminada a uma taxa que depende da droga. Uma dose típica de 
Ampicilina é de 250mg. Seja t)6,0(250)t(Q = a quantidade de Ampicilina, em mg, na corrente 
sanguínea, t horas desde que a droga foi dada. A partir disso, pede-se: 
a) Após 4 horas, qual é a quantidade de Ampicilina no organismo ? 
b) Após 4 horas, com que velocidade o remédio está sendo eliminado do organismo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
5) A expressão que modela o decaimento do antibiótico Axetil Cefuroxina no organismo é 
t231,0e250)t(C −⋅= , em que C é a quantidade do medicamento, em mg, e t representa o tempo 
após a ingestão, em horas. 
(a) Após 1 hora, com que rapidez o antibiótico está sendo eliminado do organismo? 
(b) Após quanto tempo a quantidade de antibiótico no organismo estará em 20% da 
quantidade inicialmente ingerida? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) O modelo Count é uma fórmula empírica usada para predizer a altura de uma criança em idade 
pré-escolar. Se A(t) denota a altura (em centímetros) na idade t (em anos) para 6t41 ≤≤ , 
então A(t) pode ser aproximada por A(t) = 70,228 + 5,104t + 9,222 ln t. 
a) Qual a altura esperada para uma criança de 2 anos, segundo essa lei? 
b) Com que rapidez uma criança de 3 anos está crescendo, segundo essa lei? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 2: Funções exponenciais e logarítmicas 
 
1) Encontre 
dx
dy . 
(a) )x5( lny = 
(b) |x1|lny += 
(c) |1x|lny 2 −= 
(d) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
= 2x1
x lny 
(e) 2x lny = 
(f) x lny = 
(g) x lnxy = 
(h) )x23( logxy 2
2 −= 
(i) 
xlog1
xy
2
+
= 
(j) x) (ln lny = 
(k) x) (tg lny = 
(l) x) (ln cosy = 
(m) x) (sen logy 2= 
(n) [ ]423 )1x(1)-(x lny += 
(o) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
23x-4
x cos lny 
 
 
2) Encontre 
dx
dy . 
(a) x7ey = 
(b) x3exy = 
(c) 
xx
xx
ee
eey
−
−
+
−
= 
(d) x tg xey = 
(e) )
x3ex(ey −= 
(f) )xe1ln(y x−−= 
(g) x secarc ey x= 
 
 
3) A função t2,021000)t(N ⋅= indica o número de bactérias existentes em um recipiente, em que t 
é o número de horas decorridas. 
(a) Depois de quantas horas haverá 5000 bactérias na colônia? 
(b) Após 2h, com que rapidez a cultura estará crescendo? 
 
 
 
24 
4) Uma substância que se desintegra ao longo do tempo tem sua quantidade, após t anos, dada por 
1000
t
0 )4,1(M)t(M
−
⋅= , onde M0 representa a quantidade inicial. Qual é a meia-vida dessa 
substância? 
Obs.: Meia-vida é o tempo necessário para a massa da substância se reduzir pela metade. 
 
 
 
5) Um biólogo constatou que o crescimento da população de drosófilas com um suprimento limitado 
de alimentos poderia ser aproximado pelo modelo exponencial 
t16,0e391
400)t(N
−+
= 
 onde t denota o número de dias transcorridos desde o começo do experimento. Após quanto 
tempo a população será de 100 drosófilas? 
 
 
 
6) A expressão que modela o comprimento (em cm) de um peixe típico do Pacífico com t anos de 
idade é de aproximadamente )e956,01(200)t(f t18,0−−= . 
(a) Após quanto tempo esse peixe atinge 180cm? 
(b) Após 5 anos, com que rapidez esse peixe está crescendo? 
 
 
 
7) Resolva as equações abaixo: 
(a) 64e2 4t3 =−+ 
(b) 0)xln()1xln( =++ 
(c) 2)5x3log()xlog( =++ 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1.(a) 
x
1
 
(b) 
x1
1
+
 
(c) 
1x
x2
2 −
 
(d) 
)x1(x
x1
2
2
+
− 
(e) 
x
2
 
(f) 
x lnx2
1 
(g) x ln1+ 
(h) 
)x23)(2(ln
x2)x23(log x2
2
2 −
−− 
25 
(i) 2)xlog1(
)10ln(/x)xlog1(x2
+
−+
 
(j) 
x ln x
1 
(k) 
x cos x sen
1 
(l) x) (ln sen
x
1
− 
(m) 
)10ln(
x cotg 2
 
(n) 
1x
x8
1x
3
2 +
+
−
 
(o) 
2x34
x3x tg
−
+− 
 
 
2. (a) x7e7 
(b) )3x(ex x2 + 
(c) 2xx )ee(
4
−+
 
(d) x tg x2 x)e tgx secx( + 
(e) 
x3exx3 e)e31( −− 
(f) 
xe
1x
x −
− 
(g) x secarc e
1x|x|
e x
2
x
+
−
 
 
 
3. (a) 11h 36min 
 (b) 182,9 bactérias/hora 
 
 
4) 2060 anos 
 
 
5) 16 dias 
 
 
6. (a) 12,5 anos 
 (b) 14 cm/ano 
 
 
7. (a) -0,797 
 (b) 0,618 
 (c) 5 
 
 
 
26 
CAPÍTULO 3 
 
 
3. FORMAS INDETERMINADAS 
 
 Quando calculamos limites por vezes chegamos a algumas situações que chamamos de 
indeterminação. Para exemplificar, considere o limite abaixo: 
1x
1xlim
2
1 x −
−
→
 
 Perceba que quando quando x se aproxima de 1, tanto numerador como denominador se 
aproximam de zero, gerando uma indeterminação que chamamos do tipo 
0
0 . Nesse capítulo 
estudaremos essas indeterminações e técnicas para obter resultados a partir delas. 
 São indeterminações matemáticas os seguintes resultados que aparecem no cálculo de 
limites: 
0
0 ; 
∞
∞ ; ∞⋅0 ; ∞−∞ ; 00 ; 0∞ ; ∞1 
 
 
3.1 Regra de L’Hôpital 
 
TEOREMA: 
Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis em um intervalo aberto que contenha x = a exceto, 
possivelmente, em x = a, e que: 
0)x(flim
ax
=
→
 e 0)x(glim
ax
=
→
 
∞=
→
)x(flim
ax
 e ∞=
→
)x(glim
ax
 
Se existe 
)x('g
)x('flim
ax→
 ou se esse limite é ±∞ , então: 
)x('g
)x('flim
)x(g
)x(flim
axax →→
= 
 
Obs.: Válido também para +→ ax , −→ ax , +∞→x ou −∞→x . 
 
 
 
Exemplos: 
1) 
3x
9xlim
2
3 x −
−
→
 
 
 
2) 
)xcos(
)x(sen1lim
2
 x
−
π→
 
 
27 
3) 
3
x
0x x
1elim −
→
 
 
 
4) 
x
)x2(senlim
0 x→
 
 
 
5) 
2
0 x x
)x(tglim
−→
 
 
 
6) 
20 x x
)xcos(1lim −
→
 
 
 
 
7) 
x x e
xlim
∞+→
 
 
 
 
8) 
2x
6xlim
2
3 x −
−
→
 
 
 
 
9) 
)(sen
xlim
x
1
3
4
 x
−
∞+→
 
 
 
 
28 
3.2 Outras formas indeterminadas 
 Discutimos até agora apenas as formas indeterminadas do tipo 
0
0 e 
∞
∞ . Vamos analisar 
outras formas de indeterminação, como ∞⋅0 ; ∞−∞ ; 00 ; 0∞ ; ∞1 . É importante salientar que 
essas expressões são resultados de limites envolvendo duas funções. 
 Por exemplo, o limite x ln x lim
0x +→
 corresponde ao que chamamos de forma indeterminada ∞⋅0 , 
pois ao mesmo tempo que o primeiro fator influencia o resultado do limite para zero, o segundo fator 
“puxa” o resultado para -∞. 
 
 Para determinar o resultado desse limite, fazemos uso de algumas manipulações algébricas. 
 
Vamos resolver dois exemplos: 
 
1) x ln x lim
0x +→
 
 
 
 
 
 
 
2) 2x secx) tg-(1 lim
4x
π→
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de indeterminações do tipo ∞−∞ 
3) 
x sen
1
x
1 lim
0x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+→
 
 
 
 
 
 
 
4) [ ]x)(1 ln - x ln lim
x
+
+∞→
 
 
 
 
 
 
 
5) [ ]1)(x ln - x lim 2
x
+
+∞→
 
 
 
 
 
29 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 3: Formas indeterminadas 
 
1) Encontre o limite: 
a) 
x sen
1e lim
x
0x
−
→
 
 
b) 
θ
θ
→θ
tan lim
0
 
 
c) 
π−+π→ x
x sen lim
x
 
 
d) 
x
x ln lim
x +∞→
 
 
e) 
x ln
x gcot lim
0x +→
 
 
f) x
100
x e
x lim
+∞→
 
 
g) 
x
2x sen arc lim
0x→
 
 
h) x
x
e xlim ⋅
−∞→
 
 
i) 
x
 senx lim
x
π
⋅
+∞→
 
 
j) 5x cos3xec s lim
2x
⋅
−π→
 
 
k) ( )xxx lim 2
x
−+
+∞→
 
 
 
 
 
2) Encontre o erro: 
1
2x6
2x6 lim
x2x3
1x2x3 lim
xx
1xxx lim
1x2
2
1x23
23
1x
=
−
−
=
−
+−
=
−
−+−
→→→
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1.a) 1 
 b) 1 
 c) -1 
 d) 0 
 e) -∞ 
 f) 0 
 g) 2 
 h) 0 
 i) π 
 j) 
3
5
− 
 k) 
2
1 
 
 
 
 
30 
CAPÍTULO 4 
 
 
4. ANTIDERIVADAS 
 Uma função F(x) é chamada antiderivada (ou primitiva) da função f(x) se para todo x do 
domínio da função f, ).x(f)x('F = 
 
Exemplos: 
1) Se f(x) = 2x, determine a primitiva da função f. 
 
 
 
 
2) Se f(x) = x2, determine a primitiva da função f. 
 
 
 
 
3) Se f(x) = cos x, determine a primitiva da função f. 
 
 
 
 
4) Se f(x) = x7 + sen x, determine a primitiva da função f. 
 
 
 
 
5) Estabeleça uma expressão para a primitiva de f(x) = xn. 
 
 
 
 
 
 
4.1 Integral indefinida 
 O processo de determinar antiderivadasé chamado de antiderivação (antidiferenciação) ou 
integração. 
 
Notação: 
 Se F(x) é tal que F’(x) = f(x), então C)x(Fdx )x(f +=∫ , onde C é a constante de 
integração e dx nos indica a variável de integração. 
 Por exemplo, Cx
3
1dx x 32 +=∫ e, por consequência, [ ] 2331 xCxdx
d
=+ . 
 
 A expressão ∫ dx )x(f é denominada integral indefinida. 
 
 
 
31 
 Através da fórmula da derivada temos condições de estabelecer a fórmula de integração. 
Veja alguns exemplos: 
 
 [ ] 34 x20x5
dx
d
= à Cx5dx x20 43 +=∫ 
 
[ ] 21x
2
1x
dx
d −
= à Cxdx x
2
1 21 +=∫
−
 
 
[ ] tsect tg
dt
d 2= à ∫ += Ct tgdt tsec2 
 
2
1
2
3
u
2
3u
du
d
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ à Cudu u
2
3 2321 +=∫ 
 
 
 
Observação: 
1) ∫ ∫= dxdx 1 
2) ∫ ∫= 33 x
dxdx 
x
1 
 
 
 
Propriedades da integral indefinida 
 
1) ∫ ∫= dx f(x)c dx f(x) c 
 
 
2) ∫∫ ∫ +=+ dx )x(gdx f(x) dxg(x)] f(x) [ 
 
 
3) ∫∫ ∫ −=− dx )x(gdx f(x) dxg(x)] f(x) [ 
 
 
 
Exemplos: 
1) ∫ =++ dx 1)2x x3( 2 
 
 
 
 
2) ∫ =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +++ dx 
x
1x2xx4 23 
 
 
 
32 
Tabela de integrais 
 
1) ∫ += Cxdx 
2) ∫ ++=
+
C
1r
xdx x
1r
r )1r( −≠ 
3) ∫ += Cx sendx xcos 
4) ∫ += Cx cos-dx x sen 
5) ∫ += Cx gtdx xsec2 
6) ∫ +−= Cx cotgdx xseccos 2 
7) ∫ += Cx ecsdx x tg xsec 
8) ∫ += Cx -cossecdx x cotg x seccos 
 
9) ∫ += Cedxe xx 
10) ∫ += Cb ln
bdx b
x
x 1)b ,b0( ≠< 
11) ∫ += Cx lndxx
1 
12) Cx tg arcdx 
x1
1
2 +=+∫ 
13) ∫ +=
−
Cx senarcdx
x1
1
2
 
14) ∫ +=
−
Cx secarcdx
1xx
1
2
 
 
Exemplos: 
 
1) =∫ dx x cos 4 
 
 
2) =∫ dx x 
 
 
3) ∫ =
+ dx 
x
2x 
 
 
4) ( ) =+−∫ dx 7x3x4 25 
 
 
5) =θ
θ
θ
∫ d sen
 cos 2 
 
 
 
6) ∫ =
− dt 
t
t2t
4
42
 
 
 
 
7) ∫ =+ dx 1x
x
2
2
 
 
 
 
 
 
33 
4.2 Integral por substituição 
 Vamos exemplificar a integração usando a técnica da substituição a partir do exemplo 
abaixo: 
 
∫ =⋅+ dx x2)1x( 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais exemplos: 
1) ∫ =⋅+ dx x3)1x( 2103 
 
 
 
 
 
 
 
2) ∫ =+ dx )9x( sen 
 
 
 
 
 
 
 
3) ∫ =⋅+ dx x2)2x( sec 22 
 
 
 
 
34 
4) ∫ =dx 5x cos 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) ∫ =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
5
8x
3
1
dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∫ dx x cos xsenx
1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) ∫ =dx x senxcos 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) ∫ =dx xcos 3 
 
 
 
 
 
35 
9) ∫ =dx x
e x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) ∫ =
−
dx
e1
e
x2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) ∫ =− dx 1xx2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) ∫ =+ 22 xa
dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
Consequências do exemplo (12): 
 
1) ∫ +=+ Ca
u tg arc 
a
1
ua
du
22
 
2) ∫ +=
−
C
a
u senarc
ua
du
22
 
3) ∫ +=
−
C
a
u secarc
a
1
auu
du
22
 
 
 
 
Exemplo: 
 
13) ∫ =
− 2x2
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) ∫ =θ+θ
θ d 
4cos
 sen
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
4.3 Substituição trigonométrica 
 
Exemplos: 
 
15) ∫ =dx x-1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) ∫ =
− 22 x4x
dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 4: Integrais indefinidas 
 
1) Determine as integrais pedidas: 
 
a) ∫ =dx xx 3 
b) ∫ =⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ dx
x3
2x5 5 
c) ∫ =⎟⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +−− dxx8x3x 2413 
d) ∫ =+ dx)x1(x 3 
e) =−∫ dx)x2(x 23
1
 
f) ∫ =
−+ dx 
x
1x2x
4
25
 
g) ∫ =⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ dxe3
x
2 x 
h) ( )∫ =dx xsec 2-x sen3 2 
i) ∫ =+ dx x) tg xx(sec sec 
j) ∫ =θθ
θ d 
 cos
sec 
k) ∫ =dx xcos
x sen
2 
l) ∫ =θθθ+ d )cossec sen1( 2 
m) ∫ =⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
dx 
x1
3
x12
1
22
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1. a) Cx
9
2 29 + 
b) C
x6
1x
2
5
4
2 +− 
c) Cx
3
8x
5
12x
2
1 3452 ++−− − 
d) C
5
x
2
x 52
++ 
e) Cx
10
3x
7
12x3 3
10
3
7
34 ++− 
f) C
x3
1
x
2
2
x
3
2
++− 
g) Ce3x ln2 x ++ 
h) Cx tg 2xcos3 +−− 
i) Cxsec x tg ++ 
j) Ctan +θ 
k) Cx sec + 
l) Ccos +θ−θ 
m) C x tgarc 3-x sen arc
2
1
+ 
 
 
 
39 
 
Lista 5: Integral por substituição 
 
 
Determine as integrais pedidas: 
 
1) a) ∫ =+ dx1)(x x2 232 
b) ∫ =dx (x) sen x)(cos3 
c) ∫ =dx xsenx
1 
d) ∫ =
+ 5x4
dx x3
2
 
 
2) a) ∫ =dx xcossec x gcot 2 
b) ∫ =+ dt t cost) sen1( 9 
c) ∫ =dx2x cos 
d) ∫ =dx xsec x 22 
 
 
3) a) ∫ = xlnx 
dx 
b) ∫ =− dx e x5 
c) ∫ =θθ+
θ d 
3 cos1
3 sen 
d) ∫ =+ dx e1
e
x
x
 
 
 
 
4) ∫ =− dx 3)(4x 9 
 
5) ∫ =dx7x sen 
 
6) ∫ =dx4x tg4x sec 
 
7) ∫ =dx e2x 
 
8) ∫ =
−
 
4x1
dx
2
 
 
9) ∫ =+ dt 127tt 2 
 
10) ∫ =− dx )x21(
6
3
 
 
11) ∫ =+ dx )2x5(
x
34
3
 
 
12) ∫ =dx x cos e xsen 
 
13) ∫ =dxex
3-2x2 
 
14) ∫ =+ dx e1
e
x2
x
 
 
15) ∫ =dx x
)x/5( sen
2
 
 
16) ∫ =dt 3t sen 3t cos4 
 
17) ∫ =dx )(xsecx 22 
 
18) ∫ =θθ−θ d 4 sen24 cos
 
19) ∫ =
− xtg1
dx xsec
2
2
 
 
20) ∫ =dx2x tg x2sec3 
 
21) ∫ =xe
dx 
 
22) ∫ =x2e x
dx 
 
23) ∫ =+ dy1y2
y 
 
24) ∫ =θθ d 2sen3 
 
25) ∫ =
+ dt
t
1t 
 
26) [ ]∫ =+ − dx )eln()(e ln xx
 
27) ∫ =
− 2x9
dx 
 
28) ∫ =+ 2x5
dx 
 
29) ∫ =
π−2xx
dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
Respostas: 
 
1. a) ( ) C
24
1x
242
+
+ 
b) C
4
xcos4
+− 
c) Cxcos2 +− 
d) C5x4
4
3 2 ++ 
 
 
2. a) Cxgcot
2
1 2 +− 
b) Ct) sen1(
10
1 10 ++ 
c) Cx2 sen
2
1
+ 
d) ( ) Cxtg
2
1 2 + 
 
3. a) C| xln|ln + 
b) Ce
5
1 x5 +− − 
c) C)3 cos1ln(
3
1
+θ+− 
d) C)e(1 ln x ++ 
 
 
4) C)3x4(
40
1 10 +− 
5) C 7x cos
7
1
+− 
6) C4x sec
4
1
+ 
7) Ce
2
1 x2 + 
8) C2x sen arc
2
1
+ 
9) C)12t7(
21
1 2
3
2 ++ 
10) C
)x21((2
3
2
+
−
 
11) C
)2x5(40
1
24
+
+
− 
12) Ce xsen + 
13) Ce
6
1 3x2 +− − 
14) Ce tg arc x + 
15) C)x/5cos(
5
1
+ 
16) Ct3cos
15
1 5 +− 
17) C)(x tg
2
1 2 + 
18) ( ) C4 sen2
6
1
2
3
+θ−− 
19) C x)(tg sen arc + 
20) Cx2sec
6
1 3 + 
21) Ce x +− − 
22) Ce x2 +− − 
23) C)1y2(
2
1)1y2(
6
1 2
1
2
3
++−+
 
24) C2cos
6
12 cos
2
1 3 +θ+θ−
 
25) C|t| lnt ++ 
26) C 
27) Cx
3
1 sen arc +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 
28) C
5
x tgarc 
5
1
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
 
29) Cxsec arc 1 +⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ππ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
CAPÍTULO 5 
 
 
5. INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
Problema geral da área 
 Muitos povos antigos sabiam como calcular a área de polígonos através de fórmulas ou 
pelo processo de decomposição. Contudo, os matemáticos tinham muitas dificuldades para 
determinar áreas em regiões com contornos curvos. 
 Foi o grego Arquimedes que trouxe avanços na determinação dessas regiões, num 
procedimento que ficou conhecido como método da exaustão. 
 As figuras abaixo dão uma idéia clara do processo. Com o objetivo de determinar a área 
do círculo, criaram-se polígonos regulares inscritos ao círculo com quantidade de lados cada vez 
maior. Pode-se visualizar que a área do círculo vai sendo exaurida à medida que aumentamos o 
número de lados. Para um número suficientemente grande lados, temos uma aproximação boa para 
a região interna do círculo. 
 
 
 
 
 
 Sabe-se, hoje, que a área de um círculo é 2RA π= . A tabela abaixo, mostra a área de um 
polígono de n lados inscrito num círculo de raio 1. Observe que à medida que o número de lados 
aumenta, a área se aproxima cada vez mais do valor do π (π = 3,14159265358979...) 
 
n A(n) 
100 3,13952597 
200 3,14107591 
300 3,14136298 
500 3,14150997 
1.000 3,14157198 
10.000 3,14159245 
 
 
 
 
42 
O problema da área 
 Dada uma função f contínua e não negativa em um intervalo [a, b], encontre a área da 
região gerada entre o gráfico de f e o intervalo {a, b] no eixo x. 
 
 
 
Método dos retângulos 
 Uma abordagem ao problema da área, utilizando a ideia da exasutão de Arquimides é a 
utilização de retângulos na determinação da região abaixo da função f. Considere as seguintes 
ações: 
• Divida o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais e em cada um deles construir um 
retângulo que se estende desde o eixo x até algum ponto y = f(x) acima do subintervalo. 
• Para cada n, a área total dos retângulos pode ser vista como um aproximação da área 
exata sob a curva acima do intervalo [a, b]. É facilmente percebido que à medida qua n 
cresce as aproximações ficam cadavez melhores. Portanto, se A é a área exata sob a 
curva e An é a aproximação da área usando n retângulos, então: 
 
nn
A limA
+∞→
= 
 
 
 
Se subdividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais, então temos que a medida da 
base de cada retângulo será 
n
abx −=Δ . Construindo os retângulos de tal modo que )c(f 1 seja a 
altura do retângulo no 1º subintervalo, )c(f 2 seja a altura do retângulo no 2º subintervalo, e 
assim por diante, até que )c(f n seja a altura do retângulo no n-ésimo subintervalo, então temos 
os retângulos com áreas equivalentes a x)c(f 1 Δ⋅ , x)c(f 2 Δ⋅ , ! , x)c(f n Δ⋅ . 
A união dos n retângulos forma uma região Rn que pode ser considerada como uma 
aproximação da área A da região R, ou seja: 
x)c(fx)c(fx)c(fA n21 Δ+Δ+Δ= ! 
 
 Tal notação pode ser representada mais adequadamente por um somatório, a saber: 
( ) xcfA
n
1i
i Δ=∑
=
 
43 
 É possível que não seja seja conveniente subdividir a região abaixo da curva que 
desejamos calcular a área em retângulos de mesmo comprimento. Consideremos que, nesse caso, 
uma das partições seja maior ou igual a outra, como sugere a figura abaixo: 
 
 
 A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por: 
 
An = f(c1)Δx1 + f(c2)Δx2 + ... + f(cn)Δxn = ( ) i
n
1i
i xcf Δ∑
=
 
 
 Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x). 
 
 Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada Δxi , i = 1, 2, ..., n, torna-se 
muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos 
como área de A. 
 Portanto, se y = f(x) é uma função contínua, não-negativa em [a,b], a área sob a curva y = 
f(x), de a até b, é definida por 
( ) i
n
1i
i0ix máx
xcflimA Δ= ∑
=
→Δ
 
 
 onde para cada i = 1, 2, ..., n, ci é um ponto arbitrário do intervalo [xi –1, xi]. 
 
 
 
Integral Definida 
 A integral definida está associada ao limite da definição acima. Ela nasceu com a 
formalização matemática dos problemas de áreas. 
 Se f está definida em um intervalo fechado [a,b] e o limite de uma soma de Riemann de f 
existe, dizemos que f é integrável em [a,b] e denotamos o limite por 
 
( ) ( )dxxfxcflimA
b
a
i
n
1i
i0ix máx ∫∑ =Δ= =→Δ
 
 
 O limite é a integral definida de f de a até b. O número a é o limite inferior de integração 
e b é o limite superior. 
 É importante observar que integrais definidas e integrais indefinidas são coisas 
diferentes. Uma integral definida é um número, enquanto uma integral indefinida é uma 
função ou uma família de funções. 
 Uma condição suficiente para que f seja integrável em [a,b] é dada no teorema abaixo. 
 
44 
Teorema: 
Se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b], então f é integrável em [a,b]. 
 
Propriedades da Integral Definida 
• Se f é integrável nos três intervalos determinados por a, b e c , então: 
( ) ( ) ( )dx xf dx xfdx xf
b
c
c
a
b
a
∫∫∫ += 
 
• Se f e g são integráveis em [a,b] e k é uma constante, então as seguintes propriedades 
são verdadeiras: 
(a) ( ) ( )dxxfkdx xkf
b
a
b
a
∫∫ = (b) ( ) ( )[ ] ( ) ( )dx xg dx xfdx xgxf
b
a
b
a
b
a
∫∫∫ ±=± 
 
• Se f e g são contínuas no intervalo [a,b] e ( ) ( )xgxf0 ≤≤ para bxa ≤≤ , então as 
seguintes propriedades são verdadeiras: 
(a) ( )dx xf0
b
a
∫≤ (b) ( ) ( )∫∫ ≤
b
a
b
a
dx xg dx xf 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 Seja f uma função contínua e não negativa em um intervalo [a, b]. Nesse caso, a área A 
sob o gráfico de f e acima do intervalo [a, b] é representada por: 
 
( )dxxfA
b
a
∫= 
 
Sabemos que: 
• )x(f)x('A = 
• 0)a(A = A área sob a curva de a até a é a área acima de um único ponto e, portanto, é zero. 
• A)b(A = A área sob a curva de a até b é A. 
 
 
Teorema: Se f for contínua em [a, b] e F for uma antiderivada de f em [a, b], então: 
 
)a(F)b(Fdx)x(f
b
a
−=∫ 
 
 
 Temos agora uma maneira de calcular a integral definida desde que possamos encontrar 
uma antiderivada de f. 
 Ao aplicar este teorema, a notação ( ) ( )[ ] ( ) ( )aFbFxFdxxf ba
b
a
−==∫ é bastante útil. 
 
 Finalmente, observamos que a constante de integração C pode ser retirada da 
antiderivada, já que 
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )aFbFCaFCbFCxFdxxf ba
b
a
−=+−+=+=∫ 
 
45 
Exemplos: 
1) Determine a área da região abaixo através do conceito de integral definida. Após, compare 
com o valor da área obtida através das fórmulas de geometria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule ∫ −
2
0
dx )1x( e ∫ −
1
0
dx )1x( . 
 
 
 
 
 
 
3) Determine ∫
−
−
2
4
dx 
x
1 
 
 
 
 
46 
4) Calcular a área da região limitada pelas curvas: 
 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
−=
0y
2x
0x
xy 2
 
 
 
 
 
 
5) Calcule a área da região compreendida entre as curvas 2xy = e x2y −= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
6) Calcule ∫ −
1
0
2)x53(
dx . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determine a área total entre a curva 2x1y −= e o eixo x sobre o intervalo [0, 2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 
Lista 6: Integral definida 
 
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral 
usando uma fórmula apropriada de Geometria onde for necessário. 
 
1) (a) =∫
−
4
1
dx x (b) =∫
5
0
dx 2 
 
 
 
(c) =∫
π
0
dx x cos (d) =−∫
−
2
1
dx |32x| 
 
 
 
 
 
 
49 
(e) =−∫
−
1
1
2 dx x1 
 
 
2) Em cada parte, calcule a integral, sabendo que 
⎩
⎨
⎧
<
≥−
=
0 x se , 2
0 xse , |2x|
)x(f . 
 
(a) =∫
−
0
2
dx (x)f 
 
(b) =∫
−
2
2
dx (x)f 
 
(c) =∫
6
0
dx (x)f 
 
(d) =∫
−
6
4
dx (x)f 
 
 
3) Obtenha ∫
−
+
2
1
dx 2g(x)](x)f[ se 5dx (x)f
2
1
=∫
−
 e 3dx g(x)
2
1
−=∫
−
. 
 
 
4) Determine: 
 
(a) =−∫
−
3
1
dx 5x)(4 
 
(b) =−+∫
1
0
2 dx )x12(x 
 
50 
5) Calcule as integrais definidas: 
(a) =+−∫
−
1
2
2 dx 12)6x(x 
 
(b) =∫
4
1
2
dx 
x
4 
 
(c) =∫
9
4
dx x2x 
 
(d) =θθ∫
π
π−
2/
2/
d sen 
 
(e) =θθ∫
π
π−
4/
4/
d cos 
 
(f) =∫
3
2ln
x dx 5e 
 
(g) =∫
2/1
0
2
 
x-1
dx 
 
(h) =
−
∫
2
2
2
 
1xx
dx 
 
(i) =⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−∫
4
1
dt t3 
t
1 
 
(j) =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∫
π
π
2/
6/
2
xd 
xsen
2x 
 
 
6) Encontre a área abaixo da curva 1xy 2 += e acima do intervalo [0, 3]. Faça um esboço da 
região. 
 
 
51 
7) Encontre a área abaixo da curva x sen 3y = e acima do intervalo [0, 2π/3]. Faça um esboço da 
região. 
 
8) Esboce a curva e encontre a área total entre a curva e o intervalo dado do eixo x. 
(a) xxy 2 −= [0, 2] 
 
(b) 1ey x −= [-1, 1] 
 
 
52 
Respostas: 
1. (a) 
 
 
 (b) 
 
 
 (c) 
 
 
 (d) 
 
 
 
(e) 
 
 
 
53 
 
2. (a) 4 
 (b) 6 
 (c) 10 
 (d) 18 
 
 
3. ∫
−
+
2
1
dx 2g(x)](x)f[ = -1 
 
 
4. (a) -4 
 (b) 
2
1 π+ 
 
 
5. (a) 48 
 (b) 3 
 (c) 
5
844 
 (d) 0 
 (e) 2 
 (f) 10e5 3 − 
 (g) 
4
π 
 (h) 
12
π 
 (i) -12 
 (j) 32
9
2
+
π 
 
 
6. 
 
 
54 
 
7. 
 
 
 
8. (a) 
 
 
 
 (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
CAPÍTULO 6 
 
 
6. ÁREA ENTRE CURVAS 
 
Vamos iniciar esse capítulo determinando novamente a área da região compreendida entre as 
curvas 2xy = e x2y −= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Fórmula para área: 
 Se f e g forem funções contínuas no intervalo [a, b] e se )x(g)x(f ≤ para todo x em [a, b], 
então a área da região limitada acima por y = f(x), abaixo por y = g(x), à esquerda pela reta x = a 
e à direita por x = b é 
∫ −=
b
a
dx)]x(g)x(f[A 
 
Graficamente, temos: 
 
 
 
 
56 
Exemplo: 
Encontre a área da região englobada por 2yx = e 2xy −= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
2ª Fórmula para área: 
 Se w e v forem funções contínuas e )y(v)y(w ≤ para todo y em [c, d], então a área da 
região limitada à esquerda por x = v(y), à direita por x = w(y), acima por y = d e abaixo por y = c é 
∫ −=
d
c
dy)]y(v)y(w[A 
 
Graficamente, temos: 
 
 
 
Revertendo os papéis de x e y 
 Em algumssituações é possível evitar a divisão da região em partes integrando-se em relação 
a y ao invés de x. Observe o exemplo: 
 
Encontre a área da região englobada por 2yx = e 2xy −= , integrando em relação a y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
Exemplos: 
1) Encontre a área entre as curvas 2xy = e 6xy += . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre a área da região sombreada considerando as curvas x)x(f −= e x2)x(g −= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 7: Área entre curvas 
 
Encontre a área da região sombreada: 
 
1) 
 
 
2) 
 
 
3) Encontre a área da região englobada pelas curvas 2xy = e x4y = integrando (a) em relação 
ao eixo x e (b) em relação ao eixo y. 
 
 
4) Esboce a região englobada pelas curvas e encontre a área: 
(a) 2xy = , xy = , 41x = , 1x = 
(b) 2x cosy = , 0y = , 
4
x π= , 
2
x π= 
(c) y senx = , 0x = , 
4
y π= , 
4
3y π= 
(d) xey = , x2ey = , 0x = , 2 lnx = 
(e) 2x1
2y
+
= , xy = 
 
 
 
60 
Respostas: 
1) 4,5 
2) 1 
3) 32/3 
 
4) (a) (b) 
 
 
 
 (c) (d) 
 
 
 
 
(e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
CAPÍTULO 7 
 
 
7. VOLUME 
 
1º caso: Discos 
Vamos considerar a função f(x) abaixo. Consideremos agora o volume do sólido gerado pela 
rotação da região R em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 Podemos resolver esse problema por fatiamento. O volume do disco fatiado na figura é 
dado por x)]x(f[V 2 Δ⋅π= . Portanto, o volume do sólido é dado por: 
 
∫ π=
b
a
2 dx)]x(f[V 
 
 
 
Exemplo: 
Determine o volume do sólido obtido quando a região sob a curva xy = no intervalo [1, 4] é 
girada em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
62 
2º caso: Arruelas 
 
 
 
 Nesse caso, o volume do sólido vazado é dado por: 
 
 
∫ −π=
b
a
22 dx]))x(g())x(f[(V 
 
 
 
Exemplo: 
1) Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre os gráficos de 22
1 x)x(f += e 
x)x(g = que está acima do intervalo [0, 2] é girada em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
2) Encontre o volume do sólido gerado quando a região limitada por xy = , 2y = e 0x = é 
girada em torno de eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Encontre o volume do sólido gerado quando a região limitada por xy = , x6y −= e 0y = 
gira em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 8: Volumes 
 
1) Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo x. 
 
 
 
2) Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo y. 
 
 
 
3) Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira 
em torno do eixo x. 
(a) xcosy = , x = π/4, x = π/2, y = 0 
(b) 2x25y −= , y = 3 
(c) yx = , x = y/4 
(d) xey = , y = 0, x = 0, x = ln 3 
(e) 
2x4
1y
+
= , x = –2, x = 2, y = 0 
 
 
4) Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira 
em torno do eixo y. 
(a) y1x += , x = 0, y = 3 
(b) ycossec x = , y = π/4, y = 3π/4, x = 0 
(c) 2yx = , 2yx += 
(d) xlny = , x = 0, y = 0, y = 1 
 
 
65 
5) Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por 1xy += , x2y = e 
0y = gira em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) π8 
2) 
6
13π 
3) (a) π⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
2
21 
(b) 
3
256π 
(c) 
15
2048π 
 (d) π4 
(d) 
4
2π 
 
4) (a) π8 
(b) π2 
(c) 
5
72π 
(d) ( )1e
2
2 −
π 
 
5) π 
 
 
 
 
 
 
66 
CAPÍTULO 8 
 
 
8. INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 O objetivo é resolver integrais do tipo ∫ ⋅ dx )x(g)x(f , em que as funções não são a 
derivada uma da outra. 
 
Temos: 
 
dx
duv
dx
dvu]vu[
dx
d
⋅+⋅=⋅ 
 
Integrando em ambos os lados, temos: 
 ∫ ∫+=⋅ du vdv uvu 
 
Segue que: 
 
 ∫ ∫⋅= du v-vudv u 
 
 
Exemplos: 
Determine as integrais obtidas abaixo: 
a) ∫ dx e x x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Existe uma outra estratégia útil para escolher u e dv, que pode ser aplicada quando o 
integrando é um produto de duas funções de categorias distintas. 
 
 
L I A T E 
Logarítmica – Inversa trigonométrica – Algébrica – Trigonométrica – Exponencial 
 u dv 
67 
b) ∫ dx x ln x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ∫ dx x senx2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) ∫ dx x ln 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
e) ∫
1
0
dx x senarc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) ∫ dx x cose x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
Funções hiperbólicas 
 Certas combinações de ex e e-x são denominadas de funções hiperbólicas. Tais funções 
têm muitas propriedades em comum com as funções trigonométricas. 
 
 
Definição de funções hiperbólicas 
Seno hiperbólico: 
2
ee(x) senh
xx −−
= 
Cosseno hiperbólico: 
2
ee(x) cosh
xx −+
= 
Tangente hiperbólica: 
xx
xx
ee
ee(x) tanh
−
−
+
−
= 
Cossecante hiperbólica: 
xx ee
2(x) cossech
−−
= 
Secante hiperbólica: 
xx ee
2(x) sech
−+
= 
Cotangente hiperbólica: 
xx
xx
ee
ee(x) cotg
−
−
−
+
= 
 
 
 
Exemplo: 
Determine a derivada e a integral de seno, cosseno e tangente hiperbólicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 9: Integral por partes 
 
1) Calcule a integral: 
 
a) ∫ dx e x -2x 
b) ∫ dx e x x2 
c) ∫ dx 3x sen x 
d) ∫ dx x cos x 2 
e) ∫ dx x ln x 
 
f) ∫
2
0
2x dx e x 
g) ∫
e
1
2 dx x ln x 
h) ∫ +
1
1-
dx 2)(x ln 
i) ∫
π
0
dx 2x sen x 
 
2) (a) Encontre a área da região determinada por x lny = , a reta ex = e o eixo x. 
(b) Encontre o volume do sólido gerado quando a região do item (a) gira em torno do eixo x. 
 
 
3) Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre x seny = e 0y = para π≤≤ x0 
gira em torno do eixo y. 
 
 
 
Respostas: 
1) (a) C
4
1
2
xe x2 +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +− − 
(b) Ce2xe2ex xxx2 +−− 
(c) Cx3sen
9
1x3cosx
3
1
++− 
(d) C x sen 2x cos 2x x senx2 +−+ 
(e) C
4
xxln
2
x 22
+− 
(f) )1e3(
4
1 4 + 
(g) 
9
)1e2( 3 + 
(h) 23ln3 − 
(i) 
2
π
− 
 
 
2) (a) A = 1 
(b) )2e(V −π= 
 
 
3) 22V π= 
 
71 
 
CAPÍTULO 9 
 
 
9. INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS 
 
Função racional 
Em matemática, uma função racional é uma razão de polinômios. Para uma simples variável 
x, uma típica função racional é: 
)X(Q
)x(P)x(f = 
 
 Em alguns casos, a integração de uma função racional envolve manipulações nas funções 
que a compõem. Observe: 
 
=
+
+
− 1x
3
4x
2 
 
 
Portanto: 
 
=
−−
−
∫ dx4x3x
10x5
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como proceder: 
 
)1x)(4x(
B4Ax)BA(
)1x)(4x(
B4BxAAx
)1x)(4x(
)4x(B)1x(A
1x
B
4x
A
)1x)(4x(
10x5
4x3x
10x5
2 +−
−++
=
+−
−++
=
+−
−++
=
+
+
−
=
+−
−
=
−−
−
 
Então: 
⎩
⎨
⎧
−=−
=+
10B4A
5BA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
1º caso: O denominador apresenta somente fatores de 1º grau e sem repetição. 
 
Exemplo: 
∫ +− dx6x5x
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
2º caso: O denominador apresenta somente fatores de 1º grau, mas há fatores que se repetem. 
 
Exemplo: 
∫ ++
++ dx
xx2x
6x20x5
23
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
3º caso: O denominador apresenta fatores de 2º grau sem possibilidades de decomposição e sem 
repetição. 
 
Exemplo: 
∫ +−
−− dx
)4x)(xx(
8x4x2
22
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
Função racional imprópria 
 Uma função é dita imprópria se o grau do numerador for maior que o grau do 
denominador. Para poder ser utilizado o método das frações parciais nesse caso é preciso antes 
fazer a divisão e expressar a resposta como o quociente mais o resto sobre o divisor. 
 
Exemplo: 
dx 
2xx
7x7xx2
2
23
∫ −+
+−+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 Em alguns casos uma manipulação algébrica simplifica o cálculo da integral. Veja: 
 
Exemplos: 
∫ −+
+ dx
4x3x
1x
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ +−−
−− dx
)2x2x)(2x(
2xx2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 10: Frações parciais 
 
1) Calcule a integral: 
 
a) ∫ +−
++ dx 
1x2x
4x5x
2
2
 
b) ∫ + dx 1x
2x 2 
c) ∫ −+
+ dx 
)11)(x(x
x3x
2
2
 
d) ∫ ++ dx )11)(x(x
2
2 
e) ∫ +
++ dx 
xx
4x3x
3
2
 
f) ∫ −
−− dx 
xx
2x3x
3
2
 
g) ∫ ++
++ dx 
)2x)(4x(
20x1211x
2
2
 
h) ∫ +
+ dx 
x9x
9x
24
4
 
i) ∫ +
+ dx 
x9x
81x
3
4
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) (a) C
1x
10|1x|ln7x +
−
−−+ 
(b) C|1x|ln2x2x2 +++− 
(c) C
1x
1|1x|ln2|1x|ln +
+
+++− 
(d) C)xarctan()1xln(
2
1|1x|ln 2 +++−+ 
(e) C)xarctan()1xln(
2
1|x|ln4 2 +++− 
(f) C|1x|ln|x|ln2 +++ 
(g) C|2x|ln5)4xln(3 2 ++++ 
(h) C
3
xarctan
3
10
x
1x +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−− 
(i) C)9xln(9|x|ln9
2
x 22 ++−+ 
 
 
78 
CAPÍTULO 10 
 
 
10. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
 
 Na definição de integral definida ∫
b
a
dx )x(f , supõe-se que o intervalo [a, b] seja finito. 
Além disso, o Teorema Fundamental do Cálculo, que usamos para calcular integrais definidas, é 
válido para funções contínuas em [a, b]. 
 
 Nosso objetivo principal nesse capítulo é ampliar o conceito de integral definida para 
permitir intervalos infinitos de integração e integrandos com assíntotas verticais 
(descontinuidades infinitas) dentro dos imites de integração. Essas integrais serão chamadas de 
integrais impróprias. 
 
Exemplos: 
(1) Integrais impróprias com intervalos de integração infinitos 
∫
+∞
1
2x
dx ou ∫
+∞
∞− +
2x1
dx 
 
(2) Integrais impróprias com descontinuidades infinitas no intervalo de integração 
∫
−
3
3
2x
dx ou ∫ −
2
1 1x
dx 
 
 
 
• Integrais impróprias com limites de integração infinitos 
Vamos calcular a integral abaixo e fazer algumas considerações: 
 
∫
b
1
2x
dx 
 
 
 
 Tomando o limite quando ∞→b , temos 
 
1
b
11lim
x
dxlim
x
dx
b
b
1
2b
1
2 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+∞→∞→
+∞
∫∫ 
79 
Podemos interpretar essa integral como a área da região ilimitada entre o gráfico de 
2x
1)x(f = 
e o eixo x (à direita de x = 1). 
 
 
Definição de integrais impróprias com limites de integração infinitos 
 
(1) Se f é contínua no intervalo [a, ∞), então dx )x(flimdx )x(f
b
a
b
a
∫∫ +∞→
+∞
= 
(2) Se f é contínua no intervalo (-∞, b], então dx )x(flimdx )x(f
b
a
a
b
∫∫ −∞→
∞−
= 
(3) Se f é contínua no intervalo (-∞,+∞), então dx )x(fdx )x(fdx )x(f
c
c
∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+= 
 
Em cada caso, se existir o limite dizemos que a integral imprópria converge, caso contrário 
dizemos que a integral imprópria diverge. No caso (3), se uma das integrais à direita diverge, 
então a integral da esquerda também diverge. 
 
 
Exemplos: 
1) Calcule as integrais impróprias: 
(a) ∫
+∞
1 x
dx 
 
 
 
 
 
 
(b) ∫
+∞
−
0
xdxe 
 
 
 
 
 
 
 
80 
(c) ∫
+∞
0
dx )x(sen 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) ∫
+∞
0
x- dx x)e-1( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
(e) ∫
+∞
∞− +
2x1
dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) O sólido formado pela rotação da região limitada entre o gráfico de 
x
1)x(f = e o eixo dos x 
)1x( ≥ é chamado de Trombeta de Gabriel. Determine o volume desse sólido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
EXERCÍCIOS: 
 
Lista 11:Integrais impróprias 
 
Calcule as integrais que convirjam. 
 
1) ∫
+∞
0
2x- dx e 
2) ∫
+∞
−3
2 dx 1x
2 
3) ∫
+∞
e
3 dx xln x
1 
4) ∫
∞− −
0
3 )1(2x
dx 
5) ∫
∞−
0
3x dx e 
6) dx x∫
+∞
∞−
 
7) dx 
)3(x
x
22 +∫
+∞
∞−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) 0,5 
2) ln 2 
3) 0,5 
4) -0,25 
5) 1/3 
6) Divergente 
7) 0