EP1 IPE 2017 1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
1o EP 2017/1 IPE Lic. em F´ısica Semana 1 - Aulas 1 a 3 Gabarito Coord. Edson Cataldo
Ex. 1 A seguir, sa˜o disponibilizados conjuntos descritos por propriedades. Correlacione cada um desses
conjuntos com conjuntos descritos por enumerac¸a˜o dos elementos.
(a) A= {x ∈ N| x e´ nu´mero primo maior que 3 e menor que 30}
(b) B={x| x e´ universidade do conso´rcio CEDERJ responsa´vel pela licenciatura em F´ısica }
(c) C= {x | x e´ letra da palavra BRASIL}
Resoluc¸a˜o:
(a) Os nu´meros primos maiores que 3 e menores que 30 sa˜o 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29 .
Portanto,
A= {5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}.
(b) A universidade do Conso´rcio CEDERJ responsa´veis pelo curso de Licenciatura em F´ısica e´ a
UFRJ.
Portanto,
B = {UFRJ}
(c) C= {x | x e´ letra da palavra BRASIL}
C = {B,R,A, S, I, L}
Ex. 2 Liste os elementos dos conjuntos abaixo:
(a)
{
x ∈ Z | 2x2 − 3x+ 1 = 0
}
(b)
{
w ∈ N | (w2 − 4)(2w2 + 5) = 0
}
(c) {z | z e´ divisor de 100 }
Resoluc¸a˜o:
(a) Procuramos os nu´meros inteiros que sa˜o ra´ızes da equac¸a˜o 2x2 − 3x+ 1 = 0.
Temos,
x =
3± 1
2× 2
⇔ x = 1 ou x =
1
2
.
1
Assim,{
x ∈ Z | 2x2 − 3x+ 1 = 0
}
= {1} .
(b) Procuramos os nu´meros naturais que sa˜o ra´ızes da equac¸a˜o (w2 − 4)(2w2 + 5) = 0 ⇔ w2 − 4 =
0 ou 2w2 + 5 = 0. Na˜o ha´ ra´ızes reais para 2w2 + 5 = 0. Consequentemente, na˜o ha´ ra´ızes naturais
para esta equac¸a˜o. Resolvendo a equac¸a˜o w2 − 4 = 0, temos w = 2ouw = −2.
Assim,
{
w ∈ N | (w2 − 4)(2w2 + 5) = 0
}
= {2} .
(c) Os divisores de 100 sa˜o 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100.
Assim, {z | z e´ divisor de 100 } = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} .
Ex. 3 Represente no Diagrama de Venn abaixo as regio˜es correspondentes a cada item.
Y
✫✪
✬✩V
✫✪
✬✩
W
✫✪
✬✩ (a) (Y ∩V) ∪ (W −V),(b) (Y −V) ∩WC ,
(c) [(Y −V) ∪ (V −W)] ∩YC .
U
Resoluc¸a˜o: A resoluc¸a˜o pode ser feita representando cada regia˜o do Diagrama de Venn por Ri com
i = 1, 2, · · · , 8 conforme o diagrama:
Y
✫✪
✬✩V
✫✪
✬✩
W
✫✪
✬✩
R1
R2 R3 R4
R5
R6 R7
R8
U
Fig 1
(a) Com aux´ılio do diagrama Fig 1 acima tem-se:
Y
✫✪
✬✩V
✫✪
✬✩
W
✫✪
✬✩R3
R5
R6
R8
U
Y ∩V e´ formado pelas regio˜es R3 e R5,
W −V e´ formado pelas regio˜es R6 e R8.
Assim, (Y ∩V) ∪ (W −V) e´ formado pelas regio˜es R3, R5, R6 e R8
conforme diagrama ao lado.
(b) Com aux´ılio do diagrama Fig 1 acima tem-se:
Y
✫✪
✬✩V
✫✪
✬✩
W
✫✪
✬✩R2
U
Y −V e´ formado pelas regio˜es R2 e R6,
W
C e´ formado pelas regio˜es R1, R2, R3 e R4.
Assim, (Y −V) ∩WC e´ formado pela regia˜o R2 cf. diagrama ao lado.
(c) Com aux´ılio do diagrama Fig 1 acima tem-se:
2
Y
✫✪
✬✩V
✫✪
✬✩
W
✫✪
✬✩R4
U
Y −W e´ formado pelas regio˜es R2 e R3,
V −W e´ formado pelas regio˜es R3 e R4,
(Y −W) ∪ (V −W) e´ formado pelas regio˜es R2, R3 e R4 ,
Y
C e´ formado pelas regio˜es R1, R4, R7 e R8,
Assim, [(Y −W) ∪ (V −W)] ∩YC e´ formado pela regia˜o R4.
Ex. 4 Considere os conjuntos A, B e C na˜o vazios tais que A−B = C e A ∩B = D. Usando o
diagrama de Venn, classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) as seguintes sentenc¸as, justificando sua
resposta:
(a) A ∩C = C (b) C ∩B = ∅, por ∅ denota-se o conjunto vazio
(c) C ∪D = A (d) C ∩D = D
Resoluc¸a˜o: Conforme o diagrama abaixo constate que:
A
✫✪
✬✩B
✫✪
✬✩
C D
(a) (V) pois C = A−B ⊂ A
(b) (V) pois o(s) elemento(s) de C na˜o esta´(a˜o) em B
(c) (V) Imediato! pelo diagrama ao lado
(d) (F) Falsa, pois C ∩D = ∅ .
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