Apostila Completa C+ílculo 1

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1
lim 
 xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Roseli Camargo da Silva de Paula 
 
 
 
2010 
 
 
 2 
Responsabilidade é saber que cada um de meus atos vai me construindo, vai me definindo, vai me 
inventando. Ao escolher o que quero fazer vou me transformando pouco a pouco. 
(Savater, 1998, p. 111). 
Programa 
Funções de uma Variável Real, Limite, Continuidade, Derivada de uma Função. 
 
Objetivos 
Criar habilidades matemáticas para utilização na vida profissional. Obter conceitos matemáticos e 
raciocínio lógico para situações do dia a dia. Aprender a usar noções de Cálculo Diferencial como forte 
ferramenta de trabalho. 
 
Ao final do componente curricular o aluno deve ser capaz de: 
- Identificar funções através de tabelas, gráficos e leis de associação; 
- Construir gráficos de funções; 
- Calcular limites utilizando as técnicas desenvolvidas; 
- Calcular derivadas utilizando as técnicas desenvolvidas; 
- Aplicar os conceitos na resolução de problemas. 
 
Sistema de avaliação 
O processo de avaliação obedecerá aos critérios estabelecidos pelo Regimento da Universidade. 
 
Bibliografia 
- GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos, 2002. v. 1. 
- ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6ª ed., vol. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000. 
- HUGHES, Hallett et al. Cálculo e Aplicações. SãoPaulo: Edgard Blucher, 1999. v. 1. 
- SWOKOWSKI, E. W.. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1994. 
- LEITHOLD, L.. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 1982. v. 1. 
- ÁVILA, G.. Cálculo 1: Funções de Uma Variável. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1983. 
- SIMMONS, G. F.. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1987. 
- LARSON, R. E. et al. Cálculo com aplicações. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1998. 
 
e-mail e/ou msn: roseli.paula@prof.uniso.br 
 
Material de apoio www.uniso.br/ead 
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“Dicas” para aprender a matéria e ser aprovado na disciplina 
... Sofia lembrou-se muito bem de situações nas quais sua mãe ou o professor da escola tinha tentado lhe 
ensinar alguma coisa para a qual ela não estava receptiva. Todas as vezes que ela havia realmente 
aprendido alguma coisa, isto só tinha acontecido graças a uma ajuda que partira dela mesma. 
 (Gaarder, 1995, p. 74). 
 
Bom semestre e Bom curso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
0. REVISÃO BÁSICA 
 
Números Reais 
Os números com os quais trabalhamos mo curso de Cálculo Diferencial e Integral, são os números reais. 
Dentre eles, destacamos os números naturais, números inteiros e números racionais. 
 
Os números naturais são utilizados para a contagem de objetos, pessoas, quantidades em geral. 
Denotamos por |N o conjunto dos números naturais. 
|N ={0,1,2,3,....} 
 
Se somarmos ou multiplicarmos dois números naturais, o resultado será um número natural. Porém, se 
subtrairmos dois números naturais, o resultado pode não ser um número natural. Por exemplo, 3-5 = -2 
não é um número natural. 
 
Assim, precisamos recorrer a outro conjunto, o conjunto dos números inteiros, denotado por Z. 
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 
Nesse conjunto efetuamos, sem restrições, adições, multiplicações e subtrações. Porém a divisão entre 
dois números inteiros, nem sempre, é um número inteiro. Por exemplo, 4/7 não é um número inteiro. 
 
Precisamos, então, dos números racionais, que são os números que podem ser representados sob a forma 
de fração 
b
a
,com a e b números inteiros e b é diferente de zero. Denotamos esse conjunto por Q. 
Q = {
b
a
 | a,b Z e b0} 
 
Como todo número inteiro pode ser escrito na forma de fração ( 3 = 3/1) temos que: 
|N ZQ 
Observe que todo número racional 
b
a
pode ser escrito sob a forma decimal, bastando para isso dividirmos 
a por b. Feito isso, podem ocorrer dois casos: 
1º o número é decimal finito. 
2º o número é decimal infinito e periódico. 
 
Exemplos: 
1) ¾ = 0,75 
2) 1/3 = 0,333.... 
3) –3/5 = -0,6 
4) 47/90 = 0,5222... 
 
 
 4 
Porém, existem números decimais, que são infinitos e não periódicos. Esses números são ditos 
irracionais. Denotamos por I,o conjunto dos números irracionais. Os números irracionais não podem ser 
representados por frações. 
 
Exemplos: 
1) raiz quadrada de 2:
2
=1,414213... 
2) pi: = 3,141592... 
3) base do logaritmo natural: e = 2,718281... 
4) raiz quadrada de qualquer nº inteiro, cujo resultado não é um nº inteiro. 
 
Os números reais são aqueles que possuem uma representação decimal (que pode ser finita, infinita 
periódica ou infinita não periódica). Denotamos por |R, o conjunto dos números reais. O conjunto dos 
números racionais “mais” (união) conjunto dos irracionais formam o conjunto dos números reais. Assim, 
|R = Q  I. 
 
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: 
|N  Z  Q  |R 
 
 
Representação geométrica do conjunto |R 
 
 
Subconjuntos de |R (intervalos) 
 
Dados dois números reais a e b, tais que a < b, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais 
compreendidos entre a e b, podendo inclusive incluir a e b. Os números a e b são os limites do intervalo, 
sendo a diferença b - a , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir a e b, o intervalo é 
fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. 
 
 
 
 
 5 
A tabela, abaixo, define os diversos tipos de intervalos. 
TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO 
INTERVALO FECHADO [a;b] = {x  R; a  x  b} inclui os limites a e b 
INTERVALO ABERTO (a;b) = { x  R; a < x < b} exclui os limites a e b 
INTERVALO FECHADO A 
ESQUERDA 
[a;b) = { x  R; a  x < b} inclui a e exclui b 
INTERVALO FECHADO À 
DIREITA 
(a;b] = {x R; a < x  b} exclui a e inclui b 
INTERVALO SEMI-FECHADO [a;+ ) = {x  R; x  a} Valores maiores ou iguais a a. 
INTERVALO SEMI-FECHADO (-  ; b] = { x R; x  b} Valores menores ou iguais a b. 
INTERVALO SEMI-ABERTO (- ; b) = { x  R; x < b} Valores menores do que b. 
INTERVALO SEMI-ABERTO (a; +) = { x  R: x > a } Valores maiores do que a. 
Observe que o conjunto dos números reais pode ser representado na forma de intervalo como |R 
= ( - ; +  ). 
Geometricamente representamos os intervalos por retas: 
 
[a, b] = {x  R a  x  b} 
 (a, b] = {x  R a < x  b} 
[a, b) = {x  R a  x < b} 
 
(a, b) = {x  R a < x < b} 
[a, +) = {x  R x  a} 
 
 (a, +) = {x  R x > a} 
 
 (-, b] = {x  R x  b} 
 
 (-, b)= {x  R x < b} 
 
 
 
R 
a b 
R 
a b 
R 
a b 
R 
a b R 
a 
R 
a 
R 
b 
R 
b 
 
 6 
Exemplos: 
1) [ 1,5 ] = {x 

|R | 1 

 x 

5}. 
 
 
 
 
2) (-

, 3 ) ={x 

|R | x < 3}. 
 
 
 
3) (-1, 4 ] = {x 

|R | - 1 < x 

 4}. 
 
 
 
 
4) [ 2 , +

) ={x 

|R | x 

2}. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Escreva os intervalos abaixo em notação de conjuntos: 
 a) (2, 8) d) [4,+) g) [3,4) 
 b) [-2, 3] e) (-, +) h) (3,4] 
 c) (-, 2) f) [ 0,+) 
 
2) Diga se cada uma das sentenças é verdadeira ou falsa: 
a) Q b) 2/3Z c) -3Z d) I e) 2Q 
f) 
5
|N g) 
1
|R h)
3 1
|R i) 
2
Q j) 
49
Q 
l) 0,43 Q m) 2,444... I n) 2/5Q o) -4Q 
 
3)Determine o resultado das seguintes operações: 
a) [2,5]  [3,7] b)[2,5]  [3,7] 
c) [0,3) (1,5) d) [0,3)  (1,5) 
e) [1,5] \ (3,6) f) [1,5]  (3,6) 
4) Represente os seguintes intervalos na reta real: 
 a) (2, 8) c) (-, 2) e) (-, +) g) [3,4) 
 b) [-2, 3] d) [4,+) f) [ 0,+) h) (3,4] 
R 
1 5 
R 
3 
R 
-1 4 
R 
2 
 
 7 
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
Chamamos de equação do 2° grau à sentença a x2 +b x +c = 0, onde a, b e c são números reais 
conhecidos, a

0 e x é a variável. 
Exemplos: 
1) x2 + 3x-1 =0, aqui a = 1, b = 3, c = -1. 
2) 2x2 –2 =0, aqui a = 2, b = 0, c = -2. 
3) 4x 2 +3x = 0, aqui a = 4, b =3, c = 0 
 
Para encontrarmos as soluções ou raízes da equação de 2° grau, a x 2 + b x + c = 0,, usamos a fórmula de 
Báskara 
 x = 
a 2
 b- 
, onde 

 = b2 – 4 a c. 
Exemplos: 
1) x2 + 2x -15 =0 (a = 1, b = 2, c = -15,) 
 

= 22 – 4 . 1 .(-15) 
 

= 4 + 60 = 64 
x = 
2
82
1.2
642 


 
x1 = 
2
6
2
82


= 3 x2 = 
2
10
2
82 


= -5 
Solução: S = {-5,3} 
 
2) 2x2 – 5x + 2 = 0 ( a = 2, b = -5 , c = 2 ) 

= (-5)2 – 4.2.2 

 = 25-16 = 9 
 x = 
2.2
95
= 
4
35
 
x1 = 
4
8
4
35


 = 2 x2= 
4
2
4
35


= 0,5 
Solução: S = {0,5; 2} 
 
Podemos prever a existência ou não de raízes de uma equação examinando o  (delta): 
Se > 0 => existem duas raízes reais distintas (x1  x2) 
Se = 0 => existem duas raízes reais iguais. (x1 = x2) 
Se < 0 => não existem raízes reais. 
 
Exemplos: 
a) x 2 –6x +7 = 0 

= (-6)2 – 4 .1 . 7 =36 –28 = 8 > 0 2 raízes distintas 
b) 9x2 +12x +4 = 0 

 = (12)2 – 4 .9 .4 = 144 – 144 = 0 2 raízes iguais 
c) 2x2 +5x+9 = 0 

 = (5) 2 – 4 .2. 9 = 25 –72 = -47 < 0 nenhuma raiz. 
 
 8 
OBS.: As equações que têm b = 0 ou c = 0 são chamadas incompletas. Para resolvermos equações 
incompletas do 2º grau não é necessário o uso da fórmula conhecida por Báskara. 
 
(I) Se b = 0  ax2 + c =0  ax2 = - c  x2 = 
a
c-
  x = 
a
c-

. 
( Obs.: Se 
a
c-
 < 0, a equação em questão não terá solução real.) 
Exemplos: 
1) 3x2 + 3 = 0  3x2 = -3  x2 = -3 / 3 = -1  x2 = -1 < 0 e a equação não tem solução. 
2) 3x2 – 12 = 0  3x2 = 12  x2 = 12 / 3  x2 = 4  x = 
 4
  x = 

2. 
 
(II) Se c = 0  ax2 + b x = 0  x (ax+b) = 0  x = 0 ou a x + b = 0  x = 0 ou x = 
a
b
. 
Exemplos: 
1) x 2 +2x = 0  x .( x + 2) = 0  x =0 ou x+2 = 0  x =0 ou x = -2. 
2) 3x2 – 6x = 0  x (3x – 6 ) = 0  x = 0 ou 3x – 6 = 0 x = 0 ou 3x = 6  
 x =0 ou x = 6/3 =2  x = 0 ou x = 2. 
EXERCÍCIO Resolva as seguintes equações: 
a) x2 –2x-15 = 0 i) –x2+10x-21=0 
b) x2 –16 =0 j) x2 + x+2 = 0 
c) x2 – 5x+6 = 0 k) x2 +7x+10 = 0 
d) 4x2 –16 = 0 l) x2 –7x+12 = 0 
e) –3x2 +27 = 0 m) x2 –5x +6 = 0 
f) 
4
3
4
2

x
 n) 
5
3
)12(

xx
 
g) 4x2 - 10 x = 0 o) x2 + 5 = 0 
h) x2 +2x = 0 p) –x2 +1 = 0 
 
DESIGUALDADES 
Sejam a e b números reais quaisquer. Então: 
i) a e b têm o mesmo sinal se e somente se a.b> 0. 
ii) a e b têm sinais opostos se e somente se a.b<0. 
iii) a>b se e somente se -a < -b. 
 
Sejam a e b números reais conhecidos, a 

0 e x a variável. Chamamos de inequação do primeiro grau as 
sentenças 
a x + b < 0, a x + b > 0, a x + b 

 0, a x + b 

 0, 
 
 
 9 
 A resolução de inequações do 1º grau segue as mesmas regras das equações do 1º grau; com exceção da 
mudança de sinal. 
Exemplos: 
1) 5x – 20 > 0 
 5x > 20 
 x > 20 / 5  x > 4  S = { x 

 |R | x > 4 } = ] 4, +[ 
2) 4 – 2x > 0 
 -2x > -4 . (-1) 
 2x < 4 (Observe a troca de sinal) 
 x < 4 / 2 
 x < 2  S = {x 

 |R | x < 2}=]-, 2[ 
Note que 3 > 2 (3 é maior que 2) ; mas - 3 < - 2 (-3 é menor que –2). 
 
EXERCÍCIO 
1) Resolva as seguintes inequações: 
a) –0,5x >4,5 g) –5x< -10 
b) 10 +x 

 2x- 4 h) 8 x + 4 

 5 x + 4 
c) 10 - 3x + 4  -5x + 2 i) 10x < 100 
d) 3x < 9 j) –x > 8 
e) –2x-18  0 k)-3+x  1-x 
f) 
4
3
1

x
 l) 
4
3
2
5
4
1
2
3
 xx
 
2) Resolva as seguintes inequações justificando os procedimentos: 
1) 4x -1 > 2x- 3 
2) (x-2). (x-1) < 0 
3) (x+1). (x-5)> 0 
4) 
3
1


x
x
 0 
 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 
Chamamos de inequação do 2º grau às sentenças: 
 a x2 + b x + c > 0, a x2 + b x + c < 0, a x2 + b x + c 

 0, a x2 + b x + c 

 0, 
onde a , b, c são números reais conhecidos, a 

0, e x é a variável. 
 
Para resolvê-las devemos estudar o sinal de a x2 + b x + c, seguindo as seguintes regras: 
 
 
Se a > 0  + + (concavidade para cima) 
 x1 - x2 
 
 
 10 
Se a < 0  (concavidade para baixo) 
 x1 + x2 
 - - 
 
 
Assim, dada uma inequação do 2° grau, as regras são: 
achar as soluções, x1 e x2 , da equação ax
2+bx+c = 0. 
2) analisar a concavidade a >0  para cima; a < 0 para baixo. 
3) escrever o conjunto solução, conforme o sinal da inequação 
 Se temos > ou 

 tomamos os valores positivos na parábola (+), 
 Se temos < ou 

 tomamos os valores negativos na parabóla (- ). 
 
Exemplos: 
 
a) x
2
 –6x-7 >0 
1°)determinamos as soluções da equação: x2 –6x-7 = 0 

= (-6)2 – 4 .1.(-7) = 36 +28 = 64  x = 
2.1
646)( 












1
2
86
 x
7
2
86
x
2
1 
Como a = 1 > 0 · 
 + + 
 -1 - 7 
 
A solução será a parte hachurada, pois queremos os valores (estritamente) maiores que zero, ou seja 
positivos. Portanto S = { x 

|R | x<-1 ou x > 7}. 
 
 
b) x
2
 –6x-7 < 0 
Já vimos que as soluções da equação: x2 –6x-7 = 0, são x1 =7 e x2 = - 1. 
 
Como a = 1 > 0  
 + + 
 -1 - 7 
 
A solução será a parte hachurada, pois queremos os valores (estritamente) menores que zero, ou seja 
negativos. Portanto S = { x 

|R | -1< x < 7}. 
 
c) -x
2
 + 6x + 7 

 0 
 Devemos achar a solução da equação -x
2
 + 6x + 7= 0: 
 
 11 
 

= 62 – 4 .(-1).7 = 36 +28 = 64  x = 
2.(-1)
646
 













7
2
86
 x
1
2
86
x
2
1 
 Como a= -1 < 0  
 
 -1 + 7 
 - - 
Assim a solução será a parte hachurada, pois queremos os valores maiores ou iguais a zero, ou seja 
positivos. Logo S = { x 

|R | -1

 x 

 7}. 
 
 
d) -x
2
 + 6x + 7 

 0 
Novamente, as soluções da equação -x
2
 + 6x + 7 = 0, são x1 = -1 e x2 = 7. 
 
 Como a = -1 < 0  
 
 -1 + 7 
 - - 
 
 Logo S = {x 

|R | x 

 -1 ou x 

 7}. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Resolva as seguintes inequações: 
a) x2 –2x-15 < 0 i) x2 – 5x+6 > 0 
b) –x2+10x-21>0 j) x2 +7x+10  0 
c) x2 –16 <0 k) x2 +2x > 0 
d) x2 + 5 > 0 l) x2 + x+2 0 
e) x2 –5x +6 

 0 m) x2 –4x +4 

 0 
f) x2 – 12 x < -20 n) 3x2 < 9 
g) x 2 – 4x +4 < 0 o) x < 
x
1
 , x 

0 
h) x2 –16 > 0 p) x 2 > 4 
 
2) Resolva as inequações: 
a) 
1
12


x
x
<0 b) 
65
2
2 

xx
x
≥ 0.c) 
1
4
2
2


xx
x
>0 d) (x-1)(x
2
 – x) >0 
 
 12 
VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO REAL 
 
Definimos o valor absoluto ou módulo de um número real x por: 
|x|=





0
0
xsex
xsex
. 
Observe que o módulo é sempre um número positivo, ou seja, |x| é sempre maior ou igual a zero. Mas, x 
pode ser negativo, (o que está dentro do módulo pode ser negativo), e o resultado será sempre positivo. 
 
Exemplos: 
1) |2| = 2. 2) |-2| = 2 3) |0| = 0 
 
Propriedades: Sejam a, x ,y|R 
i) |x|  0. 
ii) |x|  a  x  -a ou x a. 
iii) | x|  a  x  a e –x  a –a  x  a 
iv) |x| > a  x < -a ou x >a. 
v) | x| < a  x < a e –x < a –a < x < a 
vi) |x+y|  |x| + |y| 
vii) |x|.|y| =|x.y| 
viii) | x- z|  |x-y| + |y – z| 
 
Exemplos: 
1) |x|  5. Pela propriedade iii temos que - 5  x  5. 
2) |x| 5. Pela propriedade ii temos que x  -5 ou x  5. 
3) |x-1|< 3. Pela propriedade v temos que –3 <x-1< 3. 
Somando 1 de todos os membros desta desigualdade temos que –2 <x<4. 
 
EXERCÍCIOS 
1)Resolva as equações: 
a) |x-1| = 9 b) |3x-3| = 0 c) |3-x| = | x+1| 
 
2)Resolva as inequações: 
a) |2x-1| <3 b) |2x+3| > 4 c) 
1
1


x
x
 ≥ 1 
3) Resolva: 
a) | 2x –8 | = 4 b) | x-5| = 3 c) | 5x+4| < 1 
d) | x-7 |  2 e) | 7-x|  1 f) | 4 + 2x| > 6 
 
 
 13 
I. FUNÇÕES 
Função é uma das idéias essenciais em Matemática. Através de “fórmulas”, “regras”, tabelas ou gráficos, 
as funções traduzem em linguagem matemática as relações que ocorrem no nosso dia-a-dia. 
 
Uma função é uma lei que associa a cada elemento de um conjunto o chamado domínio, um único 
elemento de um conjunto B, chamado contra-domínio neste caso se denotarmos a função por f entre o 
conjunto A será denotado por Dom(f) e podemos representar esta definição por: 
f:A→B 
Assim para cada x

A existe um único y

B e denotaremos y=f(x) e estes elementos formarão a imagem 
da função f, que será denotada por Im(f) este é Im(f)={y

B/y=f(x) para x

A}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Seja x um número real. A fórmula que calcula a soma desse número com o seu quadrado é S = x + x2. 
Por exemplo, se x é o número 3, o valor da soma S é 12, pois S = 3 + 32 = 12. 
Para x = -1 temos S = (-1)+(-1)2 = -1+1= 0. 
Para x = 5 temos S = 5+52 = 5+25 = 30. 
Vemos que o valor da soma S depende do valor de x, sendo assim, escrevemos S = S(x). 
Logo S(3) = 12 indica o valor da soma para x = 3. 
 
2) Uma locadora A aluga carro popular nas seguintes condições: uma taxa fixa de R$50,00 e mais R$ 
0,30 por quilômetro (km) rodado. Expresse o custo da locação em função dos km rodados. (Considere c = 
custo da locação e x = n° de km rodados). 
Analisando o problema, temos que: 
Para x =2 km c = 50 + 0,30. 2 = 50,60 
Para x =3 km c = 50 + 0,30. 3= 50,90 
Para x =100 km c = 50 + 0,30. 100 = 80,00 
Para x km c = c(x) = 50+0,30.x, com x  0. 
Vemos que o custo da locação depende do n° de km rodados, ou seja, o custo c é dado em função de x. 
Escrevemos c = c(x). Assim, c(100) = 80 indica que o custo da locação para 100km é de R$ 80,00. 
 
 
 
 
 f 
 
 
 D CD 
 
 
 x 
 
 
 
 y 
 
 14 
3) A distância percorrida por um móvel é dada por st=5t
2+70t (em km), a partir do repouso (t=0 h). 
Expresse a velocidade média em função do tempo t (em h). 
vm = 
0
0
0
0








t
s
tt
ss
t
s
=
t
tt
t
tt
t
s )705(705 2 



=5t+70 se t  0. 
Ou seja, a velocidade média é dada pela função vm= 5t+70, t0. 
 
Para t = 0 (repouso), a distância percorrida é s0 = 5.0
2+70.0 = 0. 
Para t = 1 h, a distância percorrida é s1 = 5.1
2+70.1 = 5+70 = 75 e a velocidade média é vm = 5.1+70 = 75 
km/h.Para t = 2 h, a distância percorrida é s2 = 5.2
2+70.2 = 20+140 =160 e a velocidade média é vm = 
5.2+70 = 80km/h. 
 
4) Em dez de 2000 as temperaturas em Chicago foram baixas . As temperaturas mais altas nos dias entre 
19 e 28 de dezembro estão na tabela: 
Temperatura diária mais alta em Chicago, de 19 a 28 de dez de 2000 
Data 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 
Temperatura (°F) 20 17 19 07 20 11 17 19 17 20 
Dom(f) = {19,20,21,22,23,24,25,26,27,28} 
Im(f) = {7,11,17,19,20} 
H= temperaturas e t = datas H =f(t). 
H = f(19) = 20 H = f(21) =? 
H = f(20) = ? H = f(25) = ? 
H = f(28) = ? H = f(22) = ? 
 
Restrições quanto ao DOMÍNIO: 
1) Fração (em que o x está no denominador): neste caso, fazemos o denominador diferente de zero. 
2) Raiz de expoente par: neste caso, fazemos o radicando (a função que está dentro da raiz) maior 
do que ou igual a zero (

0). 
3) Logaritmo: neste caso, fazemos o logaritmando maior do que zero (>0). 
4) Função dada por um problema real: neste caso, devemos analisar a variável de acordo com o 
que ela representa. 
Exemplos: 
1) f(x) = 
3x
 
x-3  0x  3 
Df= {x|R | x 3} 
 
2) f(x) = 
4-2x  0 -2x  0-4 -2x  -4 (-1) 2x  4 x  2 
D = {x|R| x  2} 
 
x
x
24
43


 
 15 
3) f(x) = 
3 5x
 
D= |R (pois não há restrições em raízes ímpares) 
 
4) f(x) = 3x- 7 
D= |R (pois não há restrições) 
 
GRÁFICO 
Seja y = f(x) com x em D, uma função. O conjunto de todos os pares ordenados (x, y) com x em D e y = 
f(x) denomina-se gráfico de f. 
Graf f ={(x, y)| x D, y = f(x)}. 
 
Para esboçar o gráfico de f, munimos o plano com um sistema de coordenadas cartesianas. O eixo 
horizontal é o eixo da variável independente x e o eixo vertical é o eixo da variável dependente y. 
 
eixo das 
 ordenadas (x0, y0) (x,y) par ordenado 
 
 0 
 eixo das abcissas 
Exemplos: 
1) Marque no plano os pontos de coordenadas dadas por: 
a) (1,3) b) (-2,-3) c)(2,1) d) (0,0) 
e) (1,0) f) (-1,2) g)(0,1) h) (3,3). 
Uma maneira natural para fazer o esboço do gráfico de uma função é construir uma tabela de pontos, 
onde a primeira coordenada é o valor de x e a segunda é o valor de y; marcar os pontos no gráfico e uni-
los por pequenos segmentos. Quanto menor for o passo do valor para x melhor será o esboço do gráfico. 
 
Exemplos: 
1) Construa o gráfico da função y =2x. 
 
X F(x)=2x 
-4 -8 
-2 -4 
0 0 
1 2 
2 4 
3 6 
 
 
 
 
 16 
 
2) Construa o seu gráfico, determine o seu domínio e a imagem da função f(x)=
x
. 
Como f(x)=
x
, temos que Dom(f)=R ={x

R/x ≥ 0} 
 
X 
F(x)=
x
 
0 0 
 1 1 
2 
2
 
3 
3
 
4 2 
9 3 
Pelo gráfico, podemos ver que Im f = {y|R |y 0}. Isto é claro, pois sabemos que o valor de uma raiz 
quadrada é um número positivo. 
 
3) Construa seu gráfico e determine o seu domínio e a sua imagem da função f(x)=5. 
 
Dom(f)=R 
Im(f)={5} 
Esta função recebe o nome de função constante. 
 
Função Constante 
É uma função do tipo y = k, onde k é um número constante. O domínio é o conjunto dos números reais: D 
=|R e a imagem é o conjunto formado pela constante k: Im f = {k}. O gráfico da função constante é uma 
reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0,k). 
 
Exemplos: 
1) y = f(x)=3 2) y = f(x) = -5 
 y y 
x 
 3 
 x -5 
 
Função Linear 
Consideremos agora a função f:R→R dada por f(x)=ax+b, onde a

R* e b

R. Esta função recebe o 
nome de função linear, onde a é chamado de coeficiente angular. O domínio e a imagem de uma função 
linear é o conjunto dos números reais: D = Im= |R. O gráfico dessa função é uma reta. Para esboça-lo 
basta determinar 2 pontos distintos (A escolha de x é arbitraria) . 
 
 
 17 
Exemplos: 
1) Seja f(x) =2x+1, construa seu gráfico e determine o domínio e a imagem: 
Dom=R. Como o gráfico de f é uma reta, para construí-lo basta conhecermos 2 de seus pontos. 
 Im(f)=R 
x F(x)=2x+1 
0 1 
2 5 
 
Observe que quando x=0 temos que f(x)=ax+b assume o valor f(x)=b, ou 
seja, o gráfico de f intercepta o eixo y no ponto y = b. 
Por outro lado quando f(x)=0 temos que f(x)=ax+b 0=ax+b  x= 
a
b
 
ou seja, o gráfico de f intercepta o eixo x no ponto x = 
a
b
(raiz da função). 
 
2) Construa o gráfico das seguintes funções lineares: 
a) f(x)= -2x+1 
x= 
a
b
= 
2
1
2
1



 
 
 
Observe que quando a<0 a função é decrescente. 
 
b) f(x)=2x-1 
x= 
a
b
= 
2
1
2
)1(


 
Observe que quando a>0 a função é crescente. 
 
c) f(x)=-2x-1 
x= 
a
b
= 
2
1
2
)1(



 
Como a<0 a função é decrescente 
 
 
Observamos o exemplo anterior percebemos que: 
f(-2)=-3 f(-1)=-1 f(0)=1 f(1)=3 f(2)=5 
2
4
8
4
)3(5
)2(2
)2()2(




 ff
 
2
1
2
1
35
12
)1()2(




 ff
 
 
 
 18 
2
2
4
2
15
02
)0()2(




 ff
 
2
3
6
3
)3(3
)2(1
)2()1(




 ff
 
2
212122)12(1)(2)()(






h
h
h
xhx
h
xhx
h
xfhxf
 
 
De maneira geral f(x+h)–f(x) recebe o nome de variação da função entre x e x+h. Para obtermos 
informações mais precisas sobre uma função f, definimos a sua taxa de variação entre x e x+h por 
h
xfhxf )()( 
. No caso da função linear f(x)=ax+b a taxa de variação 
h
xfhxf )()( 
, é sempre 
constante e igual a “a”. Isto é, 
h
xfhxf )()( 
= a. 
Exercício: Demonstre a afirmação acima 
 
Observando os gráficos das funções acima, vemos que: 
 Se a >0 os valores de y crescem à medida que x aumenta (função crescente). 
 Se a<0 os valores de y decrescem à medida que x aumenta (função decrescente). 
 Se a = 0, y = c (constante) e y não depende de x. 
 
Resumindo: 
a>0 a=0 a< 0 
 
 
 
 
y cresce quando x cresce y é constante y decresce quando x cresce 
(função crescente) (função decrescente) 
 
Vimos que uma equação do primeiro grau tem uma única solução, logo a função do 1° grau tem uma 
única raiz. Para encontrá-la devemos resolver a equação ax + b = 0. 
 
Exemplos: 
1) A função f(x) = 5x-3 tem raiz x = 3/5. Como a=5>0, vemos, então, que se trata de uma função 
crescente. Fazer gráfico. 
2) A função f(x) = -2x+4 tem raiz x = 2. Neste caso, a = -2<0, logo a função é decrescente. Fazer 
gráfico. 
 
 
 19 
Conhecendo dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) de uma reta, a função correspondente é dada por y – yo = a(x-
x0), onde a =
01
01
xx
yy


. O valor de a coincide com o valor de a na função linear y = ax+b e representa a 
variação proporcional de y em relação à uma variação ocorrida em x. a é conhecido por coeficiente 
angular. Já o valor b é conhecido como coeficiente linear, e representa o cruzamento da função com o 
eixo y. 
 
Exemplo: 
 
Observando o gráfico podemos identificar alguns pontos da reta, por exemplo, P0= (0,5) e P1= (1,7). 
Assim, calculamos o coeficiente angular: a = 
01
01
xx
yy


 = 
2
1
2
01
57



.E depois substituímos na 
fórmula y – yo = a(x-x0)  y –5 = 2 (x-0) y-5 = 2x y = 2x+5. 
 
Função Quadrática 
São funções do tipo f(x)=ax²+bx+c onde a, b, c

R e a≠0. O domínio de uma função quadrática é o 
conjunto dos reais: D=|R. 
 
Exemplos: 
f(x)=x² -5x+6 é uma função quadrática onde a=1, b=-5 e c=6 
g(x)=-2x²+4x -8 é uma função quadrática onde a=-2, b=4 e c=-8 
h(x)=x²+1 é uma função quadrática onde a=1e c=6 (b=0) 
q(x)=2x²+x é uma função quadrática onde a=2 e b=1 (c=0) 
 
 O gráfico dessa função é uma parábola. Para esboçá-lo é necessário conhecer: 
1°) Os pontos de cruzamento com o eixo x, que são determinados fazendo y = 0, ou seja, são os pontos 
que são solução da equação ax2 + b x +c = 0. 
2º) Os pontos de cruzamento com o eixo y, que são determinados fazendo x = 0, ou seja, é o ponto y = c. 
3º) O vértice da parábola V = (xV, yV) onde xV =
2a
b
 e yV =
4a

 
4º) Concavidade: Quando a>0 a concavidade da parábola está voltada para cima, e quando a<0, para 
baixo. 
1 
3 
5 
7 
9 
11 
-1 
2 
5 
8 
11 
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 
y
 
x 
 
 20 
Obs: Vértice do gráfico é o ponto do gráfico onde a variável x recebe é o ponto médio entre x
1
 e x
2
. 
 
Isto é: 
x
v
=
a
ba
b
a
bb
a
b
a
b
22
2
2
2
2
2
22 












 







 
 
Assim: 
yv =f(x
v
)=
c
a
b
b
a
b
a 




 





 
2
.
2
.
2 =
c
a
b
a
b
a 


2
²
²4
²
.
=
c
a
b
a
b

2
²
4
²
=
a
acbb
4
4²2² 
 
f(x
v
)=
a
acb
4
4² 
=
a
acb
4
)4²( 
=
a4

 
Logo o vértice da parábola é 





 
aa
b
4
,
2
. 
Exemplos: Construir o gráfico e determinar a imagem das seguintes funções 
1) f(x)=x²-5x+6 
i) intersecção com o eixo x: 
x²-5x+6 =0   = 25-24=1 
x=
2
15 
 x
1
=2 x
2
= 3 (2,0) e (3,0) são as intersecções com o eixo x 
 ii) vértice 
x
v
=
a
b
2

= 
2
5
 e yv= f(x
v
)=
a4

= -
4
1
 vértice:







4
1
,
2
5
 
iii) intersecção com o eixo f(x)y = 6 
iv) concavidade para cima, pois a = 1>0 
X f(x) 
2 0 
3 0 
2.5 0.25 
0 6 
-1 2 
5 6 
 
 
 
 
 
 
 Im(f)=[
),
4
1

 
 
2) y = -x² 
i) intersecção com o eixo x  y =0 -x²=0  x =0 é o ponto (0,0) 
 
ii) vértice  x
v
=0 f(x
v
)=0 vértice (0,0) 
 
 
 21 
iii) intersecção com o eixo f(x) 
x = 0 f(x) = c = 0 é o ponto (0,0) 
 
iv) a=-1<0 → concavidade para baixo 
 
X f(x) 
0 0 
1 -1 
1 -1 
2 -4 
 
 Im=(-

,0] 
 
3) y = x² +1 
i) intersecção com o eixo x 
x²+1=0 
Δ=0²-4=-4<0 

não admite raiz real 

não intercepta o eixo x 
ii) vértice 
x
v
=
a
b
2

= 
0
1.2
0


 vértice:
 1,0
 
f(x
v
)=
a4

= 
1
1.4
4

 
 
iii) intersecção com o eixo f(x) x=0  f(x) = c= 1 é o ponto (0,1) 
 
iv) a=1>0 concavidade para cima 
x f(x)=x²+1 
0 1 
1 2 
-1 2 
2 5 
-2 5 
 Im= (1,

] 
 
Para a função linear f(x)= ax+b vimos que a taxa média de variação, dada por: 
h
xfhxf )()( 
 é sempre constante e igual a “a”. 
 
 22 
Considere agora a função quadrática f(x)=x²-5x +6 e calcule a taxa de variação nos intervalos [0,2] e 
[4,6]: 
 
•Intervalo [0,2] 
 
 h=2 
Taxa de variação = 
2
)0()2( ff 
 = 
3
2
60

•Intervalo [4,6] 
 
 h=2 
Taxa de variação = 
2
)4()6( ff 
= 
5
2
212


 
Observe que os intervalos [0,2] e [4,6] possuem a mesma amplitude, ou seja, para ambos h=2, no entanto 
as taxas de variação são diferentes. Logo, para a função quadrática (e para todas as outras ainda não 
vistas) a taxa de variação não é constante. Daí, para todas estas funções, devem se referir taxa média de 
variação no intervalo [a,b]. 
 
Crescimento: Seja y = f(x) uma função quadrática: 
Se a > 0 então f é crescente em [
2a
b
,+) e f é decrescente em (-, 
2a
b
]. 
Se a < 0 então f é decrescente em [
2a
b
,+) e f é crescente em (-, 
2a
b
]. 
 
Função polinomial 
As funções já estudadas (linear e quadrática) são casos particulares da função polinomial de grau n: p
n
(x)=a
n
xn + a
1n
x 1n +...+ a
3
x 3 + a
2
x 2 + a
1
x+a
0
, onde a
n
, a
1n
,..., a
3
, a
2
, a
1
, a
0

R e a
n
≠0 e n

N*. O domínio das funções polinomiais é o conjunto dos reais: D=|R. 
 
Exemplos de funções polinomiais 
1. f(x) = 2x -1 
2. g(x) = 5x² +2x -1 
3. h(x) = 3x³ -2x² +x 
 
 
 
 
 
 
 23 
Gráfico de funções polinomiais de grau ímpar e ≥ 3 
 
Gráfico de funções polinomiais de grau par e ≥ 2 
 
Exemplos: 
1) y =2x4+5x3-4x +6 
3 1.5 0 1.5 3
2.5
5
7.5
10
2x
4
5x
3
 4x 6
x 
2) y = x3 
 
3 1.5 0 1.5 3
8
4
4
8
x
3
x 
 
 
 
 24 
3) y = x8-2 2 0 2
2
x
8
2
x 
Para traçar o gráfico das funções acima devemos determinar vários pontos (x,y), pois se não marcamos 
um número de pontos suficiente, todos os gráficos ficam com a aparência de uma reta; e reta é o gráfico 
apenas da função linear. 
 
Lista de exercícios 
1) Observe o seguinte gráfico e responda as questões propostas: 
 
1.1 Determine as raízes da equação x²-x-6=0 
1.2 Determine as raízes da equação 2x-2=0 
 1.3 Determine os valores de x tais que 2x-2≥0 
1.4 Determine os valores de x tais que 2x-2≤0 
1.5 Determine os valores de x tais que 2x-2>0 
1.6 Determine os valores de x tais que 2x-2<0 
1.7 Determine os valores de x tais que x²-x-6≥0 
1.8 Determine os valores de x tais que x²-x-6≤0 
1.9 Determine os valores de x tais que x²-x-6>0 
1.10 Determine os valores de x tais que x²-x-6<0 
1.11 Determine os valores de x tais que x²-x-6≥2x-2 
1.12 Determine os valores de x tais que x²-x-6≤2x-2 
1.13 Determine os valores de x tais que x²-x-6>2x-2 
1.14 Determine o valores de x tais que x²-x-6<2x-2 
1.15 Determine os valores de x tais que x²-x-6=2x-2 
             












x
yy = x^2-x-6
y = 2x-2
 
 25 
2) Dada a função f(x) = x+2, calcule os valores da função nos pontos x = 1, -1, 0, 2. 
 3) Determine o domínio da função acima. 
4) Dada a função f(x) = 
x
, determine o domínio. Calcule f(4), f(9), f(1). 
5) Dada a função f(x) =
x
1
, determine o domínio e complete a tabela abaixo: 
X 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 2 10 100 1000 10000 
1/x 
6) Dada a função y = x3, determine o domínio e complete a tabela: 
X 0 1 -0,5 -2 
Y = x3 
 
7) Dada a função g(x) =x2. Calcule g(2), g(a) e g(x+1). 
 
8) Seja h(x) = 3x2+5x. Simplifique h(x+3) –h(x). 
 
9) Dada a função f(x) = x2. Simplifique a expressão [f(x+E)-f(x)] /E, com E0. 
 
10) Simplifique a expressão[f(a+E)-f(a)] / E, com E  0, sendo f(x) =3x-5. 
 
11) Seja f(x) = -2+x2, complete a tabela e simplifique [f(2+x)-f(2)] / x, com x0. 
X -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 
f(x) 
 
12) Determine o domínio das seguintes funções: 
a) f(x) = 
1x
 e) f(x) = 
162 x
 i) f(x) = 
3 1x
 m) f(t) = 
12 t
 
b) f(x)=
1
1
2 

x
x
 f) f(x)= 
x
x 23
 + x j) f(x) = 
2x
x
 
c) f(x) = log (2x-4) g) f(x) = 
24
6
x
 k)f(x) = 
5 2 1 x
 
d) f(x)= 
2
6


x
x
 h) f(x) = 
127
22
2 

xx
x
 l) f(x) = 
6 2 1 x
 
 
13) Esboce o gráfico das funções em um mesmo sistema de eixos cartesianos: 
13.1) a) y = 3x b) y =3x+1 c) y = 3x-2 
13.2) a) y = x+1 b) y =x c) y = x+2 
13.3) a) y = -x b) y = -x-1 c) y = -x+1 
13.4) a) y = 2x+3 b) y = 2x-2 c) y = 2x 
 
14) Encontre as raízes das funções: 
a) y = 3-6x b) y = x4 –16 c) y = x2 – 5x +6 d) y = 9x+3 e) y = 1-x2 f) y = x 
 
 26 
Função Racional 
 São funções do tipo y = 
)(
)(
xg
xf
, onde f(x) e g(x) podem ser funções dos tipos anteriores, com g(x) 

 0. 
Quanto ao domínio, temos a restrição, o denominador da fração, g(x) tem que ser diferente de zero: D={x

|R | g (x)

0}. 
 
Exemplos: 
1) y =
63
92


x
xx
 D = { x|R | x  2}. 
2) y = 
1
2
2 x
x
 D ={x|R | x-1 e x1}. 
0
2x
x
2
1
x 
3) y = 
3
1
x
D ={ x|R | x0}. 
10 0 10
0.5
0.5
1
x
3
x 
 
 Para obter um melhor traçado dos gráficos acima, devemos fazer uma análise mais completa da função, 
utilizando recursos ainda não estudados. 
 
Função Potência 
São funções do tipo f(x)=K.x c onde K

R* e c

R*-N 
 
Exemplos: 
f(x)= 21xx  
 
 27 
 
x f(x)=
x
 
0 0 
1 1 
2 
2
 
3 3 
4 2 
9 3 
16 4 
 
g(x)= 313 xx  
 
x 
g(x)=
3 x
 
0 0 
1 1 
-1 -1 
8 2 
-8 -2 
27 3 
27 -3 
 
 
Função Exponencial 
Observe a seguinte tabela, de um valor (R$ 10,00) aplicado em uma poupança, a uma taxa mensal fixa de 
1% ao mês. 
 
Observe que inicialmente temos: R$ 10,00 = 10.(1,01)º 
E depois de 1 mês temos: R$ 10,10 = 10.(1,01)¹ 
Depois de 2 meses:R$ 10,201 = 10,10.(1,01) = 10.(1,01).(1,01) = 10.(1,01)² 
E de maneira análoga, depois de n meses teremos que valor é dado por: 
 
Que é uma função exponencial de base 1,01, na variável n. 
Tempo R$ Tempo R$ 
0 10,00000 90 24,00000 
1 10,10000 91 24,73119 
2 10,20100 92 24,97850 
3 10,30301 93 25,22879 
4 10,40604 94 25,48057 
5 10,51010 95 25,73538 
6 10,61520 96 25,99273 
7 10,72135 97 26,25266 
8 10,82857 98 26,51518 
9 10,83685 99 26,78033 
10 11,04622 100 27,04814 
10.(1,01)n 
 
 28 
 
Na função exponencial f(n) = 10.(1,01) n a constante 10 é o valor onde o gráfico desta função intercepta 
o eixo y. O gráfico desta função é: 
 
 
Observe, agora, este outro exemplo, sobre um saque mensal de 2%, sobre um capital de R$ 200,00. 
Tempo R$ 
0 200,00000 
1 196,00000 
2 192,08000 
3 188,23840 
4 184,47363 
5 180,78416 
6 177,16848 
7 173,62511 
8 170,15260 
9 166,74955 
10 163,41456 

 

 
100 26,52391 

 

 
200 3,51759 

 

 
400 0,06187 
Agora, a expressão desta nova função exponencial é f(n) = 200.0,98 n 
Observe que, 

08,192
2384,188
196
08,192
200
196
98,0 
ou ainda, 0,98 = 1- 0,02=1 - 2% 
O gráfico desta função é: 
 
 
 29 
 
Dada uma função exponencial, na forma geral 
f(x) = K.a x 
a constante K é o valor onde o gráfico de f(x) intercepta o eixo f(x) é a base da função. 
 
Observe que devemos exigir a≠0 e a≠1 e além disso a>0. Nestas condições, é fácil concluir que o domínio 
de f(x) é o conjunto R. Observe que nunca teremos f(x)=0 matematicamente. 
 
De maneira geral vejamos alguns exemplos de funções exponenciais. 
 
 
 
Se desejarmos saber, por exemplo, no caso da poupança f(n) = 10.(1,01)n (*) quando teremosR$ 15, 00, 
ou seja, determinar n tal que f(n)=15 ou 10.(1,01)n =15 devemos resolver uma equação exponencial. Para 
isto, é necessário conhecermos os logaritmos. 
 
Logaritmos 
Definição: Sejam a>0, a≠1 e β>0 dois números reais quaisquer. Então existe um único α

R tal que a  = 
β, chamado logaritmo de β na base a, denotado por log
a
. 
 
 30 
Assim, α = log
a
β 

a  =β 
 
O logaritmo na base “e”, onde e=2,718... é indicado por ln  , ou seja: 
α = ln β 

 e =β e recebe o nome de logaritmo natural. 
 
Algumas propriedades do logaritmo: 
(1) log
a
(x.y)= log
a
(x)+ log
a
(y) 
(2) log
a
(x y )=y. log
a
(x) 
(3) log
a






y
x
= log
a
(x)- log
a
(y) 
(4) log
a
(x)=
a
x
b
b
log
log
 
 
Daí, para resolver (*), fazemos: 
log (10.(1,01) n )=log (15) log 10+log(1,01) n =log(15) n.log (1,01) = log (15)–log(10) 
n =
)01,1log(
10log)15log( 
n = 41 
 
Obs: O logaritmo decimal é denotado por log  = log
10
. 
 
Como vimos anteriormente, os logaritmos desempenham um importante papel na resolução de equações 
ou inequações exponenciais. Por outro lado, temos a função logarítmica definida por f:R

R tal que 
f(x)=log
a
(x) onde a>0 e a≠1. 
 
Os gráficos das funções: f(x)= ex (Dom R), g(x)= ln(x) (Dom R+), h(x) = log(x) (Dom R+) são dados 
abaixo: 
 
 31 
 
Da definição de logaritmo, temos que α = log
a
β 

a  = β. 
Assim, y = α = log
e
x 

e y = x, isto é, y =ln x 

e y = x, e disto concluímos que: 
e xln = x 
Observações: 
1) A função exponencial y = ax não tem raízes, pois ax  0 para todo x. 
2) A função exponencial é sempre positiva, isto é, y = ax>0, pois a > 0. 
3) Se a > 1 a função exponencial y = ax é uma função crescente; 
4) Se a<1 então y = ax é uma função decrescente. 
 
Exemplos: 
1) y =2x .Como o domínio é D = |R, podemos substituir x por qualquer valor real. Por exemplo: 
Para x = 1 y =21 =2 
Para x = -1 y = 2-1 = ½ 
Para x = 0 y = 20 = 1. 
Para x = 2 y = 22 = 4 
Para x = -2 y = 2-2 = ¼ 
 
 
 
2) y = 
x)(
2
1
 
x = 0  y = ( ½ ) 0 = 1 
x =1  y = ( ½ )1 = ½ 
x = 2  y = ( ½ )2 = ¼ 
x = -1  y = ( ½ )-1 = 2 
x = -2  y = ( ½ )-2 = ¼ 
 
2 0 2
2
4
2
x
x
2 0 2
5
10
1
2






x
x
 
 32 
3) y = e x (e
7,2
). 
x = -5  y = e-5 = 0,006... 
x = -2 y = e-2 =0,13... 
x = -1 y = e-1 = 0,36... 
x = 0 y = e0 = 1 
x = 1 y = e1= 2,71... 
x= 2  y = e2 = 7,38... 
x = 5 y = e5 = 148, 41... 
 
Observe que à medida que x cresce y = ex cresce muito mais rapidamente. E quando, à medida que x 
decresce y = ex se aproxima de zero (mas nunca é igual a zero). 
 
Funções Trigonométricas 
São as funções f(x)=sen(x), g(x)=cos(x), h(x)=tg(x) e suas descendências. 
Os gráficos são dados abaixo: 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
Sejam f e g duas funções reais de variável real. Definimos a soma, a diferença, o produto e o quociente 
de f e g, respectivamente, pelas seguintes expressões: 
i) f +g = f(x) + g(x) 
ii) f-g = f(x) – g(x) 
iii) f.g = f(x).g(x) 
iv) f /g = f(x) /g(x), g(x)  0 
Para estas operações, temos que o domínio será dado por Dom(f)∩Dom(g). 
 
Exemplo: Seja f(x)=
12 x
 e g(x)=3x. Assim: 
0 2
5
5
e
x
x
 
 33 
f+g=
12 x
 + 3x Dom(g)=R 
 Dom(f) = 







2
1
/ xRx
 
Dom(f+g)=







2
1
/ xRx
 
x
x
g
f
3
12 

 Dom






g
f
=







2
1
/ xRx
 
 
v) Composição de funções: Sejam f e g duas funções reais tais que Im(g)

Dom(f). Assim podemos 
definir a composição: (f○g).(x)=f(g(x)) e (g

f)(x)= g(f(x)) 
Exemplos: 
1) Sejam f(x)=
12 x
 e g(x)=3x. Calcular f○g e g○f. 
f○g(x)=f(g(x))=f(3x) = 
1)3.(2 x
 = 
16 x
 
g○f(x) = g(f(x))=g(
12 x
) = 3.
12 x
 
 
2) Se f(x) = x3 –1 e g(x) = x2 +2x, então: 
(gof)(x) = g(f(x)) = g(x3 –1) = (x3 –1)2+2(x3 –1) = x6 –2x3+1+2x3-2 = x6 –1 
(fog)(x) = f(g(x)) = f(x2 +2x) = (x2 +2x)3 –1= x6 + 6x5 + 12x4 + 8x3-1. 
 
3) Se f(x) = 
x
 e g(x) = 3x+4, então: 
(gof)(x) = g(f(x)) = g(
x
 )=3
x
+4 
 (fog)(x) = f(g(x)) = f(3x+4) =
43 x
. 
4) Se f(x) = 2x-3 e g(x)=2 então: 
(fog)(x) = f(g(x)) = f(2) = 2.2-3 =1 
(gof)(x) = g(f(x)) = g(2x-3) = 2. 
 
vi) Deslocamento: Seja f(x) uma função real. A função f(x+C) é obtida da função f(x) pelo deslocamento 
de C unidades no eixo x. 
●C>0→deslocamento para a esquerda 
●C<0→deslocamento para a direita 
 
A função f(x+C) 
 
 34 
 
 
A função f(x)+C é obtida da função f(x) pelo deslocamento de c unidades no eixo f(x). 
●C>0→deslocamento para cima 
●C<0→deslocamento para baixo 
Exemplo: seja f(x)=x³, obtenha os gráficos de (x-2)³ e x³+2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Um esboço do gráfico da função f(x)=
xe
 é dado abaixo. A partir dele obtenha um esboço do 
gráfico da função 
g(x)=
32 xe
 
 
 
Exemplo: O gráfico da abaixo g(x)=x² é dado abaixo. Obtenha o gráfico da função h(x)=(x+3)²+2. 
 
 35 
 
 
Exemplo: Se f(x) = 2x3 e g(x) = 4x+1, então: 
 (f +g)(x) = 2x3 + 4x+1 
(f-g)(x) =2x3 –( 4x+1)= 2x3 - 4x-1 
(f.g)(x) = 2x3 .(4x+1)= 8x4+2x3 
(f /g)(x) = 2x3 / (4x+1) para x  ¼. 
 
FUNÇÃO INVERSA 
Se y =f(x) é uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente no intervalo I, então existe 
uma função x = f -1 (y), chamada de função inversa, tal que f(f -1(y)) = y e f -1(f(x)) = x. Onde o domínio 
da função f é a imagem da função f -1 e a imagem de f é o domínio da f -1. Para obter a expressão de f -1(x) 
devemos isolar a variável x em y = f(x) e depois trocamos as variáveis. 
 
Exemplos: 
1) y = f(x) = x + 4 é estritamente crescente então y = x + 4 x = y – 4 x = f –1(y) = y – 4  y = 
x-4 é a inversa. 
 
2) y = f(x) = 2x é estritamente crescente então y =2x  x= y/2  x = f –1 (y) = y/2  y = x/2 é a 
inversa . 
 
3) y = f(x) = ex é estritamente crescente, então existe a inversa de f, que é dada por 
f –1(y) = x = ln y, pois f -1(f(x)) = f –1(ex) = ln ex = x; f(f –1(y)) = f(ln y) = eln y = y. 
Ou seja, as funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. 
 
1) y = f(x) = x2 não é estritamente crescente (ou decrescente) em |R, por isso devemos tomar um 
intervalo de crescimento ou decrescimento. Por exemplo, considerando a função y = f(x) = x2 
definida no intervalo I =(0,+) (estritamente crescente) temos y =x2  x = f –1(y) = +
y
 y = +
x
 é a função inversa da f. Se tivéssemos tomado o intervalo decrescente I =(-,0) teríamos y = x2 
 x = f –1(y) = -
y
  y = - 
x
 como função inversa de f. 
 
 
 36 
Lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 1 
1) Calcule: 
a) f(-1) e f(1/2) sendo 
x2x)x(f 2 
 
b) g(0), g(2) e 
)2(g
 sendo 
1x
x
)x(g
2 

 
c) 
ab
)ba(f)ba(f 
 sendo 
2x)x(f 
 e 
0ab 
 
d) 
ab
)ba(f)ba(f 
 sendo 
1x3)x(f 
 e 
0ab 
 
 
2) A tabela abaixo mostra a quantia total (em bilhões de dólares) gasta em produtos de tabaco nos EUA. 
(a) Qual é a taxa média de variação na quantia gasta em produtos de tabacos entre 1987 e 1993? Dê 
unidades e interprete sua resposta em termos de dinheiro gasto em produtos de tabaco. 
(b) Durante este período de seis anos, há algum intervalo durante o qual a taxa média de variação foi 
negativa? Se sim, quando? 
Ano 19871988 1989 1990 1991 1992 1993 
Despesas com tabaco 35,6 36,2 40,5 43,4 45,4 50,9 50,5 
 
3) A Intel Corporation é importante produtora de circuitos integrados. A tabela seguinte dá as vendas 
em milhões de dólares de 1990 a 1997. 
(a) Ache a variação de vendas entre 1991 e 1995. 
(b) Ache a taxa média de variação de vendas entre 1991 e 1995. Dê unidades e interprete sua resposta. 
(c) Se a taxa média de variação fica constante entre 1995 e 1997, em que ano as vendas atingirão 40.000 
milhões de dólares? 
Ano Vendas ( $ milhões ) Ano Vendas ( $ milhões ) 
1990 
1991 
1992 
1993 
3.921,3 
4.778,6 
5.844,0 
8.782,0 
1994 
1995 
1996 
1997 
11.521,0 
16,202,0 
20.847,0 
25.070,0 
 
4) O número de vendas por mês, S, de um item em promoção num restaurante é função da quantia a 
gasta em propaganda, p, nesse mês, assim S = f(p). 
a) Interprete a declaração f(1000) = 3500. 
b) Qual dos gráficos abaixo mais provavelmente representará essa função? 
 S S 
 
 
i) ii) 
 
 
 37 
 p p 
 
c) O que significa o intercepto vertical no gráfico dessa função, em termos de vendas e propaganda? 
 
5) Segue-se quatro funções. Em cada caso ache f(5), de o domínio e o contradomínio: 
a) f(x) = 2x + 3 
2x10)x(f 
 
 
c) 
 
 
6) Seja y =f(x)=x2 +2. 
a) Ache o valor de y quando x = 0. 
b) Quanto é f(3)? 
c) Quais valores de x dão a y o valor 11? 
d) Existem valores de x que dêem a y o valor 1? 
 
7) Seja f(x) = 3x - 5. 
a) Quanto é f(1)? 
b) Ache o valor de y quando x = 5. 
c) Ache o valor de x quando y = 4. 
d) Ache a taxa média de variação de f entre x = 2 e x = 4. 
 
8) A posição d = S(t), de um carro é dada na tabela abaixo: 
T (Seg.) 0 5 10 15 20 25 30 
S(t) (m) 0 10 18 35 60 86 136 
 
a) Ache a velocidade média do carro entre t = 0 e t = 15 e entre t = 10 e t = 30. 
b) Ache a distância percorrida pelo carro entre t = 10 e t = 30. 
Dê unidades para suas respostas. O que significam cada uma delas matematicamente? 
 
9) Combine os gráficos abaixo com as equações dadas: 
a) y = x – 5 b) y = -3x + 4 c) y = 5 
d) y = -4x – 5 e) y = x + 6 f) y = x/2 
 
 
 
 
 
 
 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 
f(x) 2,3 2,8 3,2 3,7 4,1 4,9 5,6 6,2 
 
 38 
 
 
 
 
 
 
 
10) Quais das seguintes tabelas de valores poderiam corresponder a funções lineares? Para cada uma das 
tabelas que podem corresponder a uma função linear, ache uma fórmula para essa função. 
a) 
x 0 1 2 3 
y 27 25 23 21 
b) 
t 15 20 25 30 
s 62 72 82 92 
c) 
u 1 2 3 4 
w 5 10 18 28 
 
11) Cada uma das funções seguintes dá a quantidade de uma substância no tempo t. Em cada caso, dê a 
quantidade presente inicialmente, diga se a função representa crescimento ou decrescimento 
exponencial, e dê a taxa percentual de crescimento ou decrescimento: 
a) 
t07,1100A 
 b) 
t054,13,5A 
 c) 
t93,03500A 
 d) 
t88,012A 
 
 
12) As seguintes funções dão as populações de quatro cidades, com o tempo t em anos: 
i) 
t12,1600P 
 ii) 
t03,11000P 
 iii) 
t08,1200P 
 iv) 
t90,0900P 
 
a) Qual cidade tem maior taxa percentual de crescimento? Qual a taxa percentual de crescimento? 
b) Qual cidade tem a maior população inicial? Qual é essa população? 
c) Alguma cidade está diminuindo de tamanho? Se sim, qual(is)? 
 
13) Associe as funções h(s), f(s) e g(s), dadas na tabela abaixo, com as fórmulas: 
s)1,1(ay 
 
s)05,1(by 
 
s)03,1(cy 
 
Supondo que a, b e c são constantes. 
S 2 3 4 5 6 
H(s) 1.06 1,09 1,13 1,16 1,19 
 
S 1 2 3 4 5 
F(s) 2,20 2,42 2,66 2,93 3,22 
 
S 3 4 5 6 7 
g(s) 3,47 3,65 3,83 4,02 4,22 
 
 39 
 
Observação: os valores das funções foram arredondados a duas casas decimais. 
 
14) Encontre uma possível fórmula para cada uma das seguintes funções dadas pelas tabelas: 
a) 
x 0 1 2 3 
f(x) 4,30 6,02 8,43 11,80 
b) 
t 0 1 2 3 
G(t) 5,50 4,40 3,52 2,82 
 
15) Decida se cada uma das seguintes tabelas de valores poderia corresponder a uma função linear, ou a 
uma função exponencial, ou nenhuma dessas coisas. Nos dois primeiros casos encontre uma fórmula 
para a função: 
a) 
x 0 1 2 3 
f(x) 10,5 12,7 18,9 36,7 
b) 
T -1 0 1 2 
s(t) 50,2 30,12 18,072 10,8432 
c) 
u 0 2 4 6 
g(u) 27 24 21 18 
 
16) Escreva uma equação para o gráfico obtido deslocando verticalmente o gráfico de 
2xy 
 uma 
unidade e duas unidades horizontalmente, e esboce o gráfico. Qual e equação se a ordem dos 
deslocamentos forem invertidas, e esboce o gráfico. Os gráficos são iguais? 
 
17) Sejam 
2x2)x(f 
e
3x)x(g 
. Calcule: 
a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)). 
 
18) Sejam 
2x)x(f 
e
1x3)x(g 
. Calcule: 
a) f(2) + g(2) b) f(2)g(2) c) f(g(2)) d) g(f(2)). 
 
19) Um vendedor de assinaturas de uma revista ganha R$ 500,00 de salário fixo, mais R$ 10,00 por 
assinatura. Sendo x o número de assinaturas vendidas por mês, estabeleça uma fórmula que expresse o 
seu salário mensal. Esboce o gráfico. 
 
20) Em um determinado país, o imposto de renda é 10% para rendas de até R$ 1.000,00. A parte da renda 
que excede R$ 1.000,00 é tributada em 20%. 
a) Qual o imposto pago para uma renda de R$600,00? E para R$1.200,00? 
b) Chamando de x a renda e de y o imposto de renda, obtenha a expressão de y como função de x. 
 
21) Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: 
a. A = (0,2) e B =(1,3) 
b. A = ( -1,0) e B = (4,2) 
 
 40 
c. A = (2,1) e B = (0,4) 
 
22) Um encanador A cobra por serviço feito um valor fixo de R$ 80,00 mais R$ 20,00 por hora de 
trabalho. Um encanador B cobra um valor fixo de R$ 50,00 mais R$ 30,00 por hora de trabalho. A partir 
de quantas horas de trabalho é preferível contratar os serviços do encanador A? Faça o gráfico das duas 
funções em um mesmo sistema de eixos coordenados. 
 
23) A transportadora Vapt cobra por seus serviços R$ 800,00 fixos mais R$ 20,00 o quilômetro rodado. A 
transportadora Vupt cobra R$ 700,00 fixos mais R$ 25,00 o quilômetro rodado. A partir de quantos 
quilômetros rodados é preferível usar a transportadora Vapt? Faça o gráfico das duas funções em um 
mesmo sistema de eixos coordenados. 
 
24) Dada a função f(x) = 5x+2, calcule: 
a) f(2) c) f(0) e) f(0,2) g) f(-1/5) 
b) f(-2) d) f(-1) f) f(
2
) h) f(a+b) 
 
25) Dada a função f(x) = 2x-5, obtenha: 
a) o valor de x quando f(x) = 0. 
b) o valor de x quando f(x) = 1. 
 
26) Dada a função f(x) = ax+5, determine o valor de a sabendo que f(1) = 1. 
 
27) Determine o domínio das seguintes funções: 
a) f(x) = 
1
1
x
 h) f(x) = 
1
2
2 x
x
 
b) f(x) =log (3-x) i )f(x) = 
2x
x
 
c) f(x) = 
2x
 j) f(x) = 
xx
x


2
1
 
d) f(x) = 
1
1


x
x k) f(x) = 
4
3x
x 
e) f(x) = 
3 2 xx 
 l) f(x) = 
)32( xx 
 
f) f(t) = 
12 t
 m) f(x) = ln (4x-2) 
g) f(x) =log2 (5-10x) n) f(x) = 
1
2

x
 
 
28) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções: 
 
a) 
 
 
 41 
 f 
 
 
 -2 0 2 5 
b) f(x) = x2 –1 c) f(x) = 2x-4 d) f(x) = -x2+4 
e) f(x) = ln(x) f) f(x) = log 0,5 (x) g) f(x) = (0,2)
x 
 
29) Dadas as funções f(x) = 2x+1 e g(x) = x3, realize as seguintes operações: 
a) f(x) + 2g(x) b) f(x) /g(x) c) fog(x) d) gof(x) e) f -1(x) f) g -1(x)30) Dada a função f(x) = x2 – 3x+2, determine: 
a) as raízes, 
b) o valor mínimo da função, 
c) o cruzamento com o eixo y, 
d) os intervalos de crescimento e decrescimento, 
e) o gráfico. 
31) Dadas as funções f e g determine as compostas fog e gof: 
 a) f(x) = 
4 1x
e g(x) =
4
3x
. 
b) f(x) = 4x-5 e g(x) = 
4
5x
. 
c) f(x) = x3 – 2 e g(x) =
3 2x
. 
d) f(x) = 3x+4x2 e g(x) = 3. 
e) f(x) = -1 e g(x) = 
3 x
. 
 
32) Determine a função inversa das funções abaixo: 
a) f(x) = x-6 b) f(x) = x2 –1 , x 0 
c) f(x) = x3 d) f(x) = 2x+6 
e) f(x) = 5- 3x 
 
33) Esboce os gráficos das funções acima e de suas respectivas funções inversas. 
 
III. LIMITE 
Nosso objetivo é desenvolver uma linguagem que nos permita descrever o comportamento dos valores de 
uma função f nas proximidades de um ponto b. 
 
Exemplo: Seja f(x) = 1 / x, temos: 
x 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000 100000  
1/x 10.000 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0 
 
 42 
À medida que o valor de x vai aumentando, o valor de 1/x vai cada vez mais se aproximando de zero, 
indicamos esse fato por: 
x
lim
 
x
1
= 0 (limite de 1/x quando x tende a mais infinito é zero). 
+  (mais infinito) não é um número; é um símbolo usado para indicar que um valor cresce 
indefinidamente.Seja uma função real definida para todo numero real em algum intervalo aberto 
contendo, exceto possivelmente no próprio “a”. O limite de f(x) quando x tende a “a” será L, o que 
denotamos por 
Lxf
ax


)(lim
 se dado ξ>0, existe δ>0 tal que se |x-a|<δ então |f(x)-L|<ξ. 
Graficamente: 
 
Para uma grande parte das funções temos que 
)()(lim afxf
ax


 
 
Exemplo: 
)10(55lim
10
f
x


 
)7(1312lim
7
fx
x


 
 
Agora, se f(x) não está definida em x=a, fatoramos f(x) ou observamos os valores desta quando x se 
aproxima de “a”por valores menores que “a” e por valores maiores que “a”. 
 
Exemplo: Seja 
1
3²2
)(



x
xx
xf
 Dom(f)=R-
 1
 observando as tabelas 
 
x 0,9 0,99 0,999 0,9999 ( x<1) 
f(x) 4,8 4,98 4,998 4,9998 
 
x 1,1 1,01 1,001 1,0001 ( x>1) 
f(x) 5,2 5,02 5,002 5,0002 
 
Concluímos, tanto para x<1 como para x>1 que : 
5)(lim
1


xf
x
 
 
Exemplo: Seja 
2
65²
)(



x
xx
xf
 Dom(f)=R-
 2
 
Fatorando f(x) obtemos: 
 
 43 
  
 
3
2
2.3
2
65²






x
x
xx
x
xx
 
13lim)(lim
22


xxf
xx
 
 
No 1º exemplo calculamos o limite de uma função quando x tende a um certo valor “a” pela esquerda, 
que denotamos por 
)(lim xf
ax 
 
e quando x tende a “a” pela direita denotamos por 
)(lim xf
ax 
 
Estes limites recebem o nome de limites laterais e 
 
Lxf
ax


)(lim
 se e só se 
)(lim xf
ax 
=
)(lim xf
ax 
=L 
 
Exemplo: Considere a função sgn(x)=








0,1
0,0
0,1
sex
sex
sex
 
 
 
 
1)1(lim)sgn(lim
00

  xx
x
 
 
 
)sgn(lim
0
x
x
 
1)1(lim)sgn(lim
00

  xx
x
 
 
Algumas propriedades de limite: 
Sendo 
Lxf
ax


)(lim
 e 
Mxg
ax


)(lim
 então: 
•
MLxgxf
ax


))()((lim
 e •
MLxgxf
ax


))()((lim
 
•
MLxgxf
ax
.))().((lim 

 e •
0,
)(
)(
lim 






M
M
L
xg
xf
ax
 
Exemplos: 
1) f ( x ) = 





1 xse 1-x
1 x se 1x
. 
 
 44 
 Assim, 
(x) f lim
1x 
 = 2 e 
(x) f lim
-1x
=0. 
 
2) f(x) = x2 
 
 4 
(x) flim
2x
 = ?  
(x) flim
2x 
 = 4 e 
(x) flim
2x 
= 4  
(x) flim
2x
 = 4 
 
3) f(x) = 





0 xse x1
0 xse x
2
2 . 
 
 1 
(x) flim
0x
 = ?  
(x) flim
0x 
 = 1 e 
(x) flim
0x 
= 0  
 
(x) flim
0x
 não existe 
 
CONTINUIDADE 
Intuitivamente, uma função é contínua em um ponto x = p, com p no domínio da função se o seu gráfico 
não apresenta “salto” ou “buracos” em x = p. 
 
Exemplos: As funções f(x) = x2 e g(x) =





2 xse ,1
2 xse ,3
têm gráficos como abaixo: 
 
 
 
 2 
 
 
O gráfico de f(x) = x
2
 não apresenta “saltos” ou “buracos” em nenhum ponto. Isso ocorre, pois f é 
contínua em todo ponto do seu domínio. Já o gráfico da função g(x) apresenta “salto” em x = 2 (somente). 
Logo g não é contínua em x = 2, mas, a função g é contínua, nos demais pontos do seu domínio. 
 
Dizemos que uma função f é contínua no número real “a” se e somente se: 
i) f(a) existe; 
ii) 
)(lim xf
ax
 existe; 
iii) 
)()(lim afxf
ax


 existe; 
 
Além disso, se f e g são contínuas em um número “a” então: 
i) f

g também são contínuas em “a”. 
 
 45 
ii) f.g também é contínua em “a”. 
iii) 
g
f
 também é contínua em “a”, desde que g(a)

0. 
 
Exemplo: f(x)=2x+3 é contínua para todo número real 
 
 
Exemplo: f(x)=
1
3²2


x
xx
, não é contínua para x=1, pois f(1) não existe. 
Daí f(x)=
1
3²2


x
xx
= 32
)1(
)1.(
2
3
.2









x
x
xx
 
Logo o gráfico de f(x) é a reta y=2x+3. 
 
 “os gráficos das funções contínuas não 
 apresentam saltos” 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 As funções lineares, quadráticas, polinomiais, constantes, módulos são contínuas. Logo para calcular o 
limite de qualquer uma dessas funções em b, basta calcular o valor da função no ponto b. Uma função só 
pode ser continua num ponto do seu domínio. Se o ponto não pertence ao domínio da função, tal função 
será descontínua nesse ponto, pois f não está definida neste ponto. 
 
Exemplos: 
1. 
1x
lim

 x+2 = 1+2 = 3 
2. 
0x
lim

 x
4
 +x-1 = 0
4
 + 0 – 1= -1 
 
 46 
3. 
4x
lim

 6 = 6 (limite de um número é o número) 
4. 
2x
lim

-x+2 =-2+2 =0 
 
Propriedades 
1. 
px
lim

 k = k ( k constante) 
2. 
px
lim

 x n = p n 
3. 
px
lim

(k. f(x)) = k. 
px
lim

 f(x) 
4. 
px
lim

(f(x)

g(x)) = 
px
lim

 f(x) 

 
px
lim

 g (x ) 
5. 
px
lim

(f(x).g(x)) = 
px
lim

 f(x) . 
px
lim

 g (x ) 
6. 
px
lim

g(x)
f(x)
= 
)(lim
)(lim
px
px
xg
xf


 (se g(x) e 
px
lim

 g (x ) diferentes de zero) 
7. 
px
lim

(a . x + b) = a . p + b 
8. 
px
lim

n x
=
n p
 
Caso particular: “
0
0
” 
Exemplos: 
1. 
3x
lim

 
3
92


x
x
 = 
33
932

 = “
0
0
” que é uma INDETERMINAÇÃO. 
 Mas, esses limites podem ser resolvidos usando a simplificação de frações. 
 
3x
lim

 
3
92


x
x
= 
3x
lim

 
3
)3)(3(


x
xx
 =
3x
lim

(x+3) = 3+3 = 6. 
 
2.1x
lim
 1
12


x
x
 = 
11
112

 = “
0
0
”  INDETERMINAÇÃO 
1x
lim
 1
12


x
x
 = 
1x
lim

 
1
)1)(1(


x
xx
 = 
1x
lim

(x+1) = 1=1 =2. 
 
3. 
2x
lim

 
2
105


x
x
=
22
10)2.(5


= “
0
0
”  INDETERMINAÇÃO 
 
2x
lim
 2
105


x
x
=
2x
lim
 2
)2(5


x
x
= 
2x
lim

5 = 5. 
 
 
 47 
4. 
2x
lim
 2
42 2


x
xx
=
22
)2.(4)2.(2 2


= “
0
0
”  INDETERMINAÇÃO 
 
2x
lim
 2
42 2


x
xx
 = 
2x
lim
 2
)2(2


x
xx
=
2x
lim

2x = 2.(-2) =- 4. 
 
 
LIMITES INFINITOS 
Considere o seguinte limite:
2x
lim
2
1
x
. 
Vamos calcular o valor da função
2
1
x
 para valores que se aproximam de 2 . Como x

2+ então x é 
maior que 2 e está se aproximando de 2. Assim 
 x = 3  
23
1

=1 
x = 2,5  
25,2
1

=
5,0
1
=2 
x = 2,1
21,2
1

 = 
1,0
1
 = 10 
x = 2,0001  
20001,2
1

 = 
0001,0
1
 = 10.000 
x = 2, 0000001  
20000001,2
1

 = 
0000001,0
1
 = 10.000.000 
 
Observe que quanto mais x está próximo de 2, maior fica o número 1 / x-2. Assim, quando x

2+ , isto 
é, quando x se aproxima de 2 pela direita, f(x) =1 / x-2 cresce muito rapidamente, superando qualquer 
valor fixado. Descrevemos esse comportamento por: 
2x
lim
2
1
x
= +

 
(+

) = mais infinito (-

) = menos infinito 
 
Seja f(x)=






x
1
, pensando nos valores de f(x) quando x se aproxima de zero é fácil concluir que:


)(lim
0
xf
x
 e 
)(lim
0
xf
x 
=

 
 
Graficamente: 
 
 
 
 48 
 
 
 
É fácil concluir também, que sendo r>0 um inteiro então 
r
x x
1
lim
0
=

 
r
x x
1
lim
0
= 

, se r é par 
 

, se r é ímpar 
Assim, podemos enunciar mais algumas propriedades sendo c

R e 
0)(lim 

xf
ax
 e 
cxg
ax


)(lim
, 
com c≠0 então: 
•Se c>0 e se f(x) tende a zero pela direita então 

 )(
)(
lim
xf
xg
ax
. 
•Se c>0 e se f(x) tende a zero pela esquerda então 

 )(
)(
lim
xf
xg
ax
. 
•Se c<0 e se f(x) tende a zero pela direita então 

 )(
)(
lim
xf
xg
ax
. 
•Se c<0 e se f(x) tende a zero pela esquerda então 

 )(
)(
lim
xf
xg
ax
. 
Exemplo: Seja f(x)=
1
2
x
x
. Temos que 
i)
x
x
2lim
1
=2.1=2 
ii)
0)1(lim
1


x
x
 (assumindo valores negativos) 
iii)
0)1(lim
1


x
x
 (assumindo valores positivos) 
De i) e ii) concluímos que 

 1
2
lim
1 x
x
x
 
De i) e iii) concluímos que 

 1
2
lim
1 x
x
x
. Logo, não existe 
)1(
2
lim
1  x
x
x
. 
 
Exemplo: Seja f(x)=
32²
2²


xx
xx
 
Observe que x²-2x-3=(x-(-1)).(x-3)=(x+1).(x-3) 
)(lim
3
xf
x
 não pode ser “calculado por substituição”. 
Logo devemos estudar os limites laterais. 
i)
142²lim
3


xx
x
 
ii)


32²lim
3
xx
x
0)3).(1(lim
3


xx
x
 (assumindo valores negativos) 
 
 49 
iii)


32²lim
3
xx
x
0)3).(1(lim
3


xx
x
 (assumindo valores positivos) 



 32²
2²
lim
3 xx
xx
x
 



 32²
2²
lim
3 xx
xx
x
. Logo, não existe 
32²
2²
lim
3 

 xx
xx
x
 
 
Na prática podemos proceder da seguinte maneira: 
1.
2x
lim
2
1
x
= 
22
1

= 
0
1
= ( ? ) 

 
x

2+ x>2 x =2,1 
21,2
1

= 10> 0. Portanto 
2x
lim
2
1
x
= + 

. 
 
2. 
2x
lim
2
1
x
= 
22
1

= 
0
1
= ( ? ) 

 
x

2- x<2 x =1,9 
9,11
1

= -10< 0. Portanto 
-2x
lim
 2
1
x
= - 

. 
Como
2x
lim
2
1
x

2x
lim
2
1
x
 temos que 
2x
lim
 2
1
x
 não existe. 
 
3. 
3x
lim
x3
2
= 
33
2

= 
0
2
= ( ? ) 

 
x

3+ x>3 x = 3,1 
1,33
2

= -20 < 0. Portanto 
3x
lim
x3
2
= - 

. 
 
4. 
3x
lim
x3
2
= 
33
2

= 
0
2
= ( ? ) 

 
x

3- x<3 x =2 
9,23
2

= 2 0> 0. Portanto 
-3x
lim
 x3
2
= + 

. 
Como 
3x
lim
x3
2
 

-3x
lim
 x3
2
 então 
3x
lim
 x3
2
 não existe. 
 
5. 
0x
lim
2
2
x

= 
20
2
= 
0
2
= ( ? ) 

 
x

0+ x>0 x =0,1 
2)1,0(
2
= - 200 < 0. Portanto 
0x
lim
2
2
x

= - 

 
 
6. 
0x
lim
2
2
x

= 
20
2
= 
0
2
= ( ? ) 

 
 
 50 
x

0- x<0 x = -0,1
2)1,0(
2


=- 200< 0. Portanto 
0x
lim
2
2
x

= - 

 
Como 
0x
lim
2
2
x

= 
0x
lim
2
2
x

, temos que 
0x
lim
 2
2
x

=-

. 
 
 
Outras propriedades dos limites infinitos: 
Se 


)(lim xf
ax
 e 
cxg
ax


)(lim
 então 


))()((lim xgxf
ax
 
Se 


)(lim xf
ax
 e 
cxg
ax


)(lim
 então 


))()((lim xgxf
ax
 
Se 


)(lim xf
ax
 e 
0)(lim 

cxg
ax
 então 


))().((lim xgxf
ax
 
Se 


)(lim xf
ax
 e 
0)(lim 

cxg
ax
 então 


))().((lim xgxf
ax
 
Se 


)(lim xf
ax
 e 
0)(lim 

cxg
ax
 então 


))().((lim xgxf
ax
 
Se 


)(lim xf
ax
 e 
0)(lim 

cxg
ax
 então 


))().((lim xgxf
ax
 
 
LIMITES NO INFINITO: 
Calcule
x
lim
 
x
1
. Se x

+

 então o valor de x cresce arbitrariamente. 
x = 1.000
x
1
=
1000
1
=0,001; x = 1.000.000 
x
1
= 0,000001; x = 1.000.000.000  
x
1
 = 
0,000000001 0 
Observe que quanto maior é o valor de x, menor é o valor de 1/x, se aproximando cada vez mais do zero 
(pela direita). Assim 
x
lim
 
x
1
= 0. 
 
Calcule
x
lim
 
x
1
. Se x

-

então x decresce arbitrariamente. 
x=-1.000
x
1
=
1000
1

=-0,001; x=-1.000.000
x
1
=-0,000001;x=-1.000.000.000
x
1
=- 
0,000000001 0 
Observe que quanto menor é o valor de x, menor é o valor de 1/x, se aproximando cada vez mais do zero 
(pela esquerda). Assim 
x
lim
 
x
1
= 0. 
 
Propriedades: (simbologia) 
1. (+ 

) + (+

) = +

 8. (- 

) + (-

) = -

 
2. (+

).(+ 

) = +

 9. (-

).(-

) = +

 
 
 51 
3. (+

) + k = +

 10. (-

) + k = -

 
4. (+

) – k = +

 11. (-

) – k = -

 
5. (+

) .k =





0k se -
0k se 
 12. (-

) .k =





0k se 
0k se 
 
6. (+

)n = +

 13. (-

)n =





ímpar é se -
par é se 
n
n
 
7. (+

) . (-

) = -
14. 

0
k
 15.
0

k
 
Indeterminações 
1) (+

)- (+

) = ? 2) (-

) - (-

) = ? 3) 0.

 = ? 4) 0
0
 = ? 
5) 1 = ? 6)

0 = ? 7) 
0
0
= ? 8) 


=? 
Exemplos 
1. 
x
lim
x 3 +3 x –1 = ( +

)3 + 3. (+

)-1 = (+

) + (+

)-1 = +

 
2. 
x
lim
-2x = -2 (+

) =-

 
3. 
x
lim
 x 3 +3 x –1 = ( -

)3 +3.(-

)-1 = (-

) + (-

)-1 = -

 
4. 
x
lim
-2x = -2( -

) = +

. 
Caso particular “


” 
5. 
x
lim
1
2
2 x
x
= 
1)(
)(2
2 

=


  ??? INDETERMINAÇÃO 
 
Mas, essa indeterminação pode ser eliminada através de um artifício: 
Dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x, que aparece na função. Assim: 
x
lim
1
2
2 x
x
=
x
lim
2
2
2
1
2
x
x
x
x

=
x
lim
22
2 1
2
xx
x
x

=
x
lim
2
1
1
2
x
x

 = 



1
1
2
=
01
0

= 0. 
_____________________________________________________________ 
6. 
x
lim
2
14


x
x
 = 
2
1)(4


= 


  ??? 
x
lim
2
14


x
x
= 
x
lim
x
x
x
x
2
14


 = 
x
lim
xx
x
xx
x
2
14


 = 
x
lim
x
x
2
1
1
4


 = 




2
1
1
4
 = 
01
04


= 4. 
 
 52 
7. 
x
lim
1
2
x
x
=


 ??? 
x
lim
1
2
x
x
=
x
lim
22
2
2
1
xx
x
x
x

=
x
lim
2
11
1
xx

= 



11
1
=
00
1

=
0
1
 = +

. 
_________________________________________________________________ 
 8.








 52
34
lim
x
x
x
. (dividindo o denominador e numerador por x) 
2
2
4
02
04
5
lim2lim
3
lim4lim
5
2
3
4
lim
52
34
52
34










































x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
xx
xx
x
 
___________________________________________________________________ 
9. 
1³4
5²2
lim


 x
xx
x
. (dividindo o denominador e numerador por x³) 
0
4
0
04
000
³
1
lim4lim
³
5
lim
²
1
lim
2
lim
³
1
4
³
5
²
12
lim
³
1
³
³4
³
5
³³
²2
1³4
5²2










































x
xxx
x
xxx
xx
x
xx
x
x
x
x
xx
xx
xxx
x
__________________________________________________________________ 
 
LIMITES INFINITOS NO INFINITO 
São os limites do tipo: 


)(lim xf
x
 


)(lim xf
x
 


)(lim xf
x
 


)(lim xf
x
 
 
Exemplo: Calcule 
000
²
1
lim
1
lim
²
11
lim1)1(lim
²
11
1
lim
1
²
lim






























xx
xx
xx
x
x
xx
xxxx
 
Portanto 






 1
²
lim
x
x
x
 
Exemplos: Calcule, se existir, os seguintes limites: 
a) 
55lim
8

x
 
 
 53 
b) 
71)2.(3lim13lim
22

 xx
x
 
c) 
1
12
1
lim
1
1
lim
22



  xx x
 
d) 
1
1
lim
1  xx
 

 1
1
lim
1 xx
 

 1
1
lim
1 xx
 

não existe 
1
1
lim
1  xx
 
e) 
2
)2).(1(
)2).(1.(2
23²
46²2
lim
1






 xx
xx
xx
xx
x
 
f) 
)(lim
1
xf
x
 onde 






2 xse 1,2x
2 xse 1,x²
)(xf

2)1²(lim)(lim
11


xxf
xx
 
g) 
)(lim
2
xf
x
 e como acima 
5)(lim
512lim)(lim
5)1²(lim)(lim
2
22
22












xf
xxf
xxf
x
xx
xx
 
h) 
)(lim
1
xg
x
 onde






1 xse x²,-
1 xse 3,-x³
)(xg
 











1²lim)(lim
23³lim)(lim
11
11
xxg
xxg
xx
xx
não existe 
)(lim
1
xg
x
 
i) 
0
23
1
lim 
 xx
 
j) 
0
23
1
lim 
 xx
 
l) 0
1²
12
lim0
1
0
²
1
1
²
12
²
1
²
²
²
1
²
2
1²
12
lim 











 x
x
x
xx
xx
x
xx
x
x
x
xx
 
 Lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 1 
1) Calcular os seguintes limites finitos: 
a) 
)8(lim 4
1


xx
x
 i) 
2
1
lim x
x 
 r) 
)2(lim
0

x
 
b) 
)10(lim 2
0


x
x
 j) 
)85(lim 3
2


x
x
 s)
)1.1(lim 3 2
0
xx
x


 
c) 
2
3
)9(lim x
x


 k) 
)(lim 3
64
xx
x


 t) 
)22(lim
4


x
x
 
 
 54 
d) 
)(lim 2
2
xx
x


 l) 
42lim
4


x
x
 u) 
)122(lim 3
1


xx
x
 
e) 
)23(lim
1


x
x
 m) 
10lim
6

x
 v) 
x
x

4
lim
 
f) 
)
2
13
(lim
2
2
0 

 x
xx
x
 n) 
)
53
822
(lim
23
4
1 

 xx
xx
x
 w) 
3
6
lim
2
3 

 x
xx
x
 
g) 
)
1
3
(lim
26 x
x
x 


 o) 
2
6
lim
2
2 

 x
xx
x
 x) 
3
127
lim
2
3 

 x
xx
x
 
h) 
5
5
1
22
lim



x
x
x
 p)
2
4
lim
2
2 

 x
x
x
 y)
2
44
lim
2
2 

 x
xx
x
 
2) Calcular os seguintes limites infinitos: 
a) 
4
1
lim
4  xx
 h) 
4
1
lim
4  xx
 
b)
x
x
x 

 2
2
lim
2
 i)
x
x
x 

 2
2
lim
2
 
c) 
2
0
3
lim
x
x
x


 j) 
2
0
3
lim
x
x
x


 
d) 
xx  3
5
lim
3
 k) 
xx  3
5
lim
3
 
e)
3
4
lim
3  xx
 l) 
3
4
lim
3  xx
 
f) 
xx
x
x 


2
1
12
lim
 m) 
xx
x
x 


2
1
12
lim
 
g)
xx
x
x 


2
0
12
lim
 n) 
xx
x
x 


2
0
12
lim
 
 
3) Calcular os seguintes limites no infinito: 
a) 
2
1
lim
 xx
 f) 
1
lim
2
 x
x
x
 
b)
2
1
lim 
 xx
 g) 
1
2
lim
2  x
x
x
 k)
1
2
lim
2  x
x
x
 
c)
12lim 

x
x
 h)
43
12
lim
3


 x
xx
x
 l)
1
3
lim
3
23


 x
xx
x
 
d)
1
lim
2
 x
x
x
 i)
22
14
lim


 x
x
x
 
e)
1
1
lim
2  xx
 j) 
1
3
lim
3
23


 x
xx
x
 
 
 55 
 
 
4) Verifique se as funções abaixo são contínuas: 
a)





3