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2.2) EQUIVALÊNCIAS Nem sempre as proposições aparecem na sua forma canônica. Por exemplo, a frase “Há homens mortais” exprime uma proposição categórica, mas não está na forma canônica. De modo a colocá-la na forma canônica das proposições da forma “Alguns A são B”, teríamos de a exprimir através da frase “Alguns homens são mortais”. A tabela que se segue mostra algumas formas de exprimir proposições categóricas, indicando a sua transformação na forma canônica. FIQUE ATENTO A ESSAS EQUIVALÊNCIAS PRINCIPALMENTE! Todo A é B é equivalente a Nenhum A não é B. Nenhum A é B é equivalente a Todo A não é B. Algum A não é B é equivalente a Nem todo A é B. 2.3) NEGAÇÕES DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 2.4) SIMBOLOGIA DE PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS TODO A É B NENHUM A É B ALGUM A É B ALGUM A NÃO É B QUESTÕES DE CONCURSOS 01) (FGV) Não é verdadeira a afirmação: “Nenhum motorista é maluco”. Isto significa que (A) há, pelo menos, um motorista maluco. (B) alguns malucos são motoristas. (C) todos os motoristas são malucos. (D) todos os malucos são motoristas. (E) todos os motoristas não são malucos. 02) (AOCP) Qual é a negação de “Todos os alunos gostam de matemática”? (A) Nenhum aluno gosta de matemática. (B) Existem alunos que gostam de matemática. (C) Existem alunos que não gostam de matemática. (D) Pelo menos um aluno gosta de matemática. (E) Apenas um aluno não gosta de matemática. 03) (FUNCAB) Considere a afirmação: Existem agentes administrativos da SUDECO que não são concursados. Se essa afirmação é falsa, então é verdade que: a) Nenhum concursado é agente administrativo da SUDECO. b) Nenhum agente administrativo da SUDECO é concursado. c) Nem todos os agentes administrativos da SUDECO são concursados. d) Todo agente administrativo da SUDECO é concursado. e) Todos os concursados são agentes administrativos da SUDECO. 04) (FUNCAB) Se é verdade que “pelo menos um candidato gosta de estudar”, então sua negação será: a) pelo menos um candidato não gosta de estudar. b) nem todos os candidatos gostam de estudar. c) todos os candidatos não gostam de estudar. d) existe um candidato que gosta de estudar. e) todos os candidatos gostam de estudar. 05) (CESPE) Considere a proposição “Todos os estabelecimentos comerciais devem dispor de lixeira para uso público”, retirada do Código Municipal de Posturas da Prefeitura Municipal de Teresina. A negação dessa proposição é “Existem estabelecimentos comerciais que não dispõem de lixeira para uso público”. ( ) CERTO ( ) ERRADO 06) (CESGRANRIO) A negação de “Todos os filhos de Maria gostam de quiabo” é: a) nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo. b) nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo. c) pelo menos um dos filhos de Maria gosta de quiabo. d) pelo menos um dos filhos de Maria desgosta de quiabo. e) alguns filhos de Maria não gostam de quiabo. 07) (FGV) Marcelo foi chamado para uma reunião com seu chefe. Nessa reunião ocorreu o seguinte diálogo: - Chefe: Pedro disse que todos os relatórios que ele recebeu foram avaliados. - Marcelo: Não é verdade o que Pedro disse. Se o chefe considerou que Marcelo falou a verdade, ele pode concluir logicamente que, dos relatórios recebidos por Pedro: (A) pelo menos um relatório não foi avaliado; (B) um único relatório não foi avaliado; (C) nenhum relatório foi avaliado; (D) mais da metade dos relatórios não foram avaliados; (E) somente um relatório foi avaliado. 08) (VUNESP) “Existe um lugar em que não há poluição” é uma negação lógica da afirmação: (A) Em alguns lugares, pode não haver poluição. (B) Em alguns lugares, não há poluição. (C) Em alguns lugares, há poluição. (D) Em todo lugar, há poluição. (E) Em todo lugar, não há poluição. 09) (VUNESP) Sabendo que é verdadeira a afirmação “Todos os alunos de Fulano foram aprovados no concurso”, então é necessariamente verdade: (A) Se Carlos não foi aprovado no concurso, então ele não é aluno de Fulano. (B) Fulano não foi aprovado no concurso. (C) Se Elvis foi aprovado no concurso, então ele é aluno de Fulano. (D) Fulano foi aprovado no concurso. (E) Se Roberto não é aluno de Fulano, então ele não foi aprovado no concurso. 10) (VUNESP) Para que seja falsa a afirmação “todo escrevente técnico judiciário é alto”, é suficienteque (A) alguma pessoa alta não seja escrevente técnico judiciário. (B) nenhum escrevente técnico judiciário seja alto. (C) toda pessoa alta seja escrevente técnico judiciário. (D) alguma pessoa alta seja escrevente técnico judiciário. (E) algum escrevente técnico judiciário não seja alto. 11) (VUNESP) Considere verdadeira a seguinte afirmação: “Todos os primos de Mirian são escreventes”. Dessa afirmação, conclui-se corretamente que (A) se Pâmela não é escrevente, então Pâmela não é prima de Mirian. (B) se Jair é primo de Mirian, então Jair não é escrevente. (C) Mirian é escrevente. (D) Mirian não é escrevente. (E) se Arnaldo é escrevente, então Arnaldo é primo de Mirian. 12) (CESPE) Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”, então a proposição ¬A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”. ( ) CERTO ( ) ERRADO 13) (CESPE) A negação da proposição “Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos” pode ser assim redigida: “Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos.” ( ) CERTO ( ) ERRADO 14) (CESPE) A negação da proposição “As palavras mascaram-se” pode ser corretamente expressa pela proposição “Nenhuma palavra se mascara”. ( ) CERTO ( ) ERRADO 15) (CESPE) Se a proposição Alguns administradores são especialistas em recursos humanos for considerada V, então a proposição Alguns especialistas em recursos humanos são administradores também será V. ( ) CERTO ( ) ERRADO 16) (FCC) Do ponto de vista da lógica, a negação da frase “alguns dos meus irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde” é (A) excetuando um dos meus irmãos, os demais vão ao cinema nos sábados à tarde. (B) alguns dos meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde. (C) todos os meus irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde. (D) todos os meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde. (E) somente um dos meus irmãos não vai ao cinema nos sábados à tarde. 17) (CESGRANRIO) Qual é a negação de “Todos os candidatos desse concurso têm mais de 18 anos”? a) Todos os candidatos desse concurso têm menos de 18 anos. b) Pelo menos um candidato desse concurso tem menos de 18 anos. c) Pelo menos um candidato desse concurso tem 18 anos ou menos. d) Nenhum candidato desse concurso tem menos de 18 anos. e) Nenhum candidato tem exatamente 18 anos. 18) (CESGRANRIO) Qual a negação da proposição “Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos”? a) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. b) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos. c) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem mais de 20 anos. d) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. e) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. 19) (MSCONCURSOS) Dizer que é falsa a afirmação: “ Todos os rios são poluídos” é logicamente equivalente a dizer que é verdadeira a afirmação: a) Todos os rios são limpos. b) Alguns rios são poluídos. c) Nenhum rio é poluído. d) Alguns rios não são poluídos. 20) (FCC) Em uma declaração ao tribunal, o acusado de um crime diz: "No dia do crime, não fui a lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele: - hoje não compro nada. Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime.” Embora a dupla negação seja utilizada com certa frequência na língua portuguesa como um reforço da negação, do ponto de vista puramente lógico, ela equivale a uma afirmação. Então, do ponto de vista lógico, o acusado afirmou, em relação ao dia do crime, que a) não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. b) não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. c) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. d) foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. e) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. 21) (CESGRANRIO) A negação de “Todas as portas estão trancadas” é a) “Todas as portas estão destrancadas”. b) “Todas as portas estão abertas”. c) “Alguma porta está fechada”. d) “Alguma porta está trancada”. e) “Alguma porta está destrancada”. 22) VUNESP) Uma negação lógica para a afirmação “Todos os brasileiros são profissionais” está contida na alternativa: (A) Todos os brasileiros não são profissionais. (B) Existe pelo menos um brasileiro que não é profissional. (C) Nenhum brasileiro não é profissional. (D) Apenas um brasileiro é profissional. (E) Metade dos brasileiros não é profissional. 23) (CESPE) Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja a propriedade “x é mulher” e que D(x) seja a propriedade “x é desempregada”. Nesse caso, a proposição “Nenhuma mulher é desempregada” fica corretamente simbolizada por ¬∃x(M(x) ∧ D(x)). ( ) CERTO ( ) ERRADO 24) (CESPE) A proposição “Nenhum pavão é misterioso” está corretamente simbolizada por ¬(∃𝒙)(𝑷 𝒙 ∧ 𝑴 𝒙 ), se 𝑷(𝒙) representa “𝒙 é um pavão” e 𝐌(𝒙) representa “𝒙 é misterioso”. ( ) CERTO ( ) ERRADO 25) (CESPE) Considere a seguinte argumentação lógica: Todo psiquiatra é médico. Nenhum engenheiro de software é médico. Portanto, nenhum psiquiatra é engenheiro de software. Denote por x um indivíduo qualquer e simbolize por P(x) o fato de o indivíduo ser psiquiatra, por M(x) o fato de ele ser médico, e por E(x) o fato de ser engenheiro de software. Nesse contexto e com base na argumentação lógica, julgue o item seguinte. A argumentação lógica pode ser simbolizada por (∀x)(P(x) → M(x)) ¬(∃x)(E(x) ∧ M(x)) ¬(∃x)(P(x) ∧ E(x)) ( ) CERTO ( ) ERRADO GABARITO: 01) A 02) C 03) D (apesar de ter anotado “C”, o gabarito é realmente a letra “D” como foi apresentado no comentário da questão em vídeo). 04) C 05) E 06) D 07) A 08) D GABARITO: 09) A 10) E 11) A 12) E 13) C 14) E 15) C 16) D GABARITO: 17) C 18) D 19) D 20) C 21) E 22) B 23) C 24) C 25) C CAPÍTULO 3 – EQUIVALÊNCIAS E NEGAÇÕES 3.1) EQUIVALÊNCIAS IMPORTANTES (I) P Q ~P Q Regra para se escrever um “se... então” como um “ou” ou vice-versa: 1º) NEgar a 1ª parte. 2º) Trocar o conectivo “se...então” pelo conectivo “ou”; ou trocar o conectivo “ou” pelo “se... então...”. 3º) MAnter a 2ª parte. II) P Q (~Q) (~P) (contrapositiva) Devemos negar as duas partes e depois “inverter” as posições das proposições obtidas. Exemplos: a) A sentença “Se Carlos é médico, então Gustavo não é advogado” é equivalente a b) Dizer que “12 – 5 > 10 ou 3 – 0 ≠ 0” é logicamente equivalente a dizer que III) (P Q) (P Q) (Q P) Regra para escrever uma bicondicional como duas condicionais Toda proposição com conectivo “se e somente se” pode ser reescrita a partir da conjunção de duas condicionais (uma que “vai” de P para Q e outra que “volta” de Q para P). Exemplo: A sentença “Estudo se e somente se não tenho sono” é equivalente a 3.2) NEGAÇÃO DOS CONECTIVOS NEGAÇÃO DA NEGAÇÃO ¬¬P P Exemplos: a) ¬(¬ (¬(¬ (¬ P)))) b) Dizer que não é verdade que é falso que não é o caso que não sou brasileiro é logicamente equivalente a dizer que é verdade que NEGAÇÃO DO “E” (Lei de De Morgan) ~ (P Q) (~P) (~Q) 1ª possibilidade: Podemos negar todas as partes e trocar o conectivo “e” pelo “ou”. ~ (P Q) P → (~Q) 2ª possibilidade: Devemos MAnter a primeira parte; trocar o “e” pelo “se... então” e, por fim, NEgar a 2ª parte. NEGAÇÃO DO “OU” (Lei de De Morgan) ~ (P Q) (~P) (~Q) Regra: Para negarmos uma proposição com conectivo “ou”, devemos negar todas as partes e trocar o conectivo “ou” pelo “e”. Exemplos: a) A negação de “hoje não é domingo, mas vou à praia”
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