Apostila Eletromagnetismo UFU ELM2013

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Universidade Federal de Uberlândia - UFU 
Faculdade de Engenharia Elétrica - FEELT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos Teóricos 
e Exercícios Propostose Exercícios Propostose Exercícios Propostose Exercícios Propostos 
 
 
 
 
Curso de Graduação 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Geraldo Caixeta Prof. Dr. Geraldo Caixeta Prof. Dr. Geraldo Caixeta Prof. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesGuimarãesGuimarãesGuimarães 
 
 
 
Revisada: Outubro/2013 
ANOTAÇÕESANOTAÇÕESANOTAÇÕESANOTAÇÕES 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
SSUUMMÁÁRRIIOO i 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO GERAL iii 
 
FORMULÁRIO GERAL v 
 
Capítulo I – ANÁLISE VETORIAL 01 
 
1.1 – CONCEITOS GERAIS 01 
1.2 – O PRODUTO ESCALAR (OU PRODUTO INTERNO) 01 
1.3 – O PRODUTO VETORIAL (OU PRODUTO EXTERNO) 02 
1.4 – SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 03 
1.4.1 – Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas 03 
1.4.2 – Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas 04 
1.4.3 – Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 04 
1.4.4 – Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 04 
1.4.5 – Elementos diferenciais de linha, área e volume nos 3 sistemas de coordenadas 05 
1.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06 
 
Capítulo II – LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 09 
 
2.1 – LEI DE COULOMB 09 
2.2 – INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 09 
2.3 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE CARGAS 10 
2.4 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS 10 
2.5 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE CARGAS 11 
2.6 – LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO 12 
2.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13 
 
Capítulo III – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS, DIVERGÊNCIA 17 
 
3.1 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO ( D ) 17 
3.2 – A LEI DE GAUSS 17 
3.3 – APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS – GAUSSIANA 17 
3.4 – DIVERGÊNCIA 19 
3.5 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 20 
3.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21 
 
Capítulo IV – ENERGIA E POTENCIAL 23 
 
4.1 – ENERGIA (TRABALHO) PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO 23 
4.2 – DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL (VAB) E POTENCIAL (V) 23 
4.3 – O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL 23 
4.4 – O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS 24 
4.4.1 – VAB de uma reta ∞ com ρL constante 24 
4.4.2 – VAB de um plano ∞ com ρs constante 24 
3.4.3 – Potencial V de uma carga distribuída 24 
4.5 – GRADIENTE DO POTENCIAL ( V∇ ) 25 
4.6 – O DIPOLO ELÉTRICO 26 
4.7 – ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 27 
4.7.1 – Energia (trabalho) para uma distribuição discreta de cargas 27 
4.7.2 – Energia (trabalho) para uma distribuição contínua de carga 27 
4.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 29 
 
Capítulo V – CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 33 
 
5.1 – CORRENTE (I) E DENSIDADE DE CORRENTE ( J ) 33 
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE 34 
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS – RESISTÊNCIA (R) 34 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
SSUUMMÁÁRRIIOO ii 
5.4 – O MÉTODO DAS IMAGENS 35 
5.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS – POLARIZAÇÃO (P) 36 
5.6 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA MATERIAIS DIELÉTRICOS PERFEITOS 37 
5.7 – CAPACITÂNCIA 38 
5.8 – EXEMPLOS DE CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA 38 
5.9 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 43 
 
Capítulo VI – EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE 49 
 
6.1 – IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE 49 
6.1.1 – Equação de Poisson 49 
6.1.2 – Equação de Laplace 49 
6.2 – TEOREMA DA UNICIDADE 50 
6.3 – EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 50 
6.4 – EXEMPLO DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE POISSON 54 
6.5 – SOLUÇÃO PRODUTO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 55 
6.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 58 
 
Capítulo VII – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 63 
 
7.1 – LEI DE BIOT-SAVART 63 
7.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE (CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO) 63 
7.3 – ROTACIONAL 66 
7.4 – TEOREMA DE STOKES 68 
7.5 – FLUXO MAGNÉTICO (Φ) E DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO ( B
�
) 68 
7.6 – POTENCIAIS ESCALAR E VETOR MAGNÉTICOS 69 
7.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 71 
 
Capítulo VIII – FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS, INDUTÂNCIA 75 
 
8.1 – FORÇA SOBRE UMA CARGA EM MOVIMENTO 75 
8.2 – FORÇA SOBRE UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE CORRENTE 75 
8.3 – FORÇA ENTRE ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE CORRENTE 76 
8.4 – TORQUE EM UMA ESPIRA INFINITESIMAL PLANA 76 
8.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS 77 
8.6 – MAGNETIZAÇÃO E PERMEABILIDADE MAGNÉTICA 77 
8.7 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O CAMPO MAGNÉTICO 78 
8.8 – CIRCUITO MAGNÉTICO 79 
8.9 – ENERGIA DE UM CAMPO MAGNETOSTÁTICO 81 
8.10 – AUTO-INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA 81 
8.11 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 84 
 
Capítulo IX – CAMPOS VARIÁVEIS NO TEMPO E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL 89 
 
9.1 – A LEI DE FARADAY 89 
9.1.1 – Fem devido a um campo que varia dentro de um caminho fechado estacionário 90 
9.1.2 – Fem devido a um campo estacionário e um caminho móvel 91 
9.1.3 – Fem total devido a um campo variável e um caminho móvel 92 
9.2 – CORRENTE DE DESLOCAMENTO 92 
9.3 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA PONTUAL OU DIFERENCIAL 94 
9.4 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA INTEGRAL 94 
9.5 – EXEMPLOS DE CÁLCULO DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 95 
9.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 98 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 103 
 
Anexo I – SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR SÉRIE INFINITA DE 
POTÊNCIAS 105 
Anexo II – CURVAS B-H DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 107 
Anexo III – ASPECTOS GERAIS SOBRE ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 109 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
INTRODUÇÃO GERAL 
 
INTRODUÇÃO 
Importância do Curso de Eletromagnetismo
Este curso deve ser encarado com bastante seriedade devido sua indiscutível importância 
no currículo de Engenharia. Para facilitar a aprendizagem, ele é iniciado apresentando os 
fundamentos matemáticos necessários para então considerar os aspectos físicos 
teoria básica dos campos elétricos, da densidade de fluxo elétrico, a Lei de Gauss, os potenciais e 
correntes elétricas, todos da Eletrostática e Eletrodinâmica, são apresentad
se chegar às formulações das
considera-se primeiramente a teoria básica dos campos magnéticos, abordando importantes 
princípios como a Lei de Biot
Eletromagnetismo são então introduzidos, culminando com o estudo dos campos baseados nas 
equações de Maxwell, o qual justifica as aproximações que 
elétricos. Todos os conceitos aqui apresentados devem formar a base para a construção de novos 
alicerces de conhecimento, como aqueles relacionados às disciplinas que tratam de máquinas 
elétricas, aterramentos elétricos, linhas de transmissão, propagação de ondas, antenas, etc.
 
• O curso foi esquematizado de uma
meio de aulas expositivas, com diálogos, discussões, demonstrações, incluindo soluções de 
exercícios, e, sempre que possível, com interpretação e aplicação prática de cada resultado. 
• O conteúdo programático do curso é disposto
abordados no seu final, sendo os capítulos colocados numa forma 
auxiliar a aprendizagem. 
• Além dos livros indicados na Bibliografia, 
Exercícios Propostos de Eletromagnetismo
roteiro de aulas teóricas e fonte suplementar de exercícios, reduzindo o tempo utilizado na 
exposição de assuntos e transcrição de enunciados de exercícios no quadro, permit
que mais tempo seja dedicad
• Outra apostila de Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo
contendo numerosos exemplos numéricos e literais de cada capítulo do programa, visando 
com isto facilitar o entendimento e a 
• Vários recursos didáticos dev
microcomputador e datashow
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 
INTRODUÇÃO GERAL 
 
Importância do Curso deEletromagnetismo
Este curso deve ser encarado com bastante seriedade devido sua indiscutível importância 
no currículo de Engenharia. Para facilitar a aprendizagem, ele é iniciado apresentando os 
fundamentos matemáticos necessários para então considerar os aspectos físicos 
teoria básica dos campos elétricos, da densidade de fluxo elétrico, a Lei de Gauss, os potenciais e 
a Eletrostática e Eletrodinâmica, são apresentad
s Equações de Poisson e Laplace. Já dentro do Magnetismo
se primeiramente a teoria básica dos campos magnéticos, abordando importantes 
princípios como a Lei de Biot-Savart e a Lei Circuital de Ampère. Vários conceitos do 
o introduzidos, culminando com o estudo dos campos baseados nas 
equações de Maxwell, o qual justifica as aproximações que conduzem 
elétricos. Todos os conceitos aqui apresentados devem formar a base para a construção de novos 
s de conhecimento, como aqueles relacionados às disciplinas que tratam de máquinas 
elétricas, aterramentos elétricos, linhas de transmissão, propagação de ondas, antenas, etc.
Metodologia Adotada 
quematizado de uma forma didática, para ser ministrado 
de aulas expositivas, com diálogos, discussões, demonstrações, incluindo soluções de 
exercícios, e, sempre que possível, com interpretação e aplicação prática de cada resultado. 
O conteúdo programático do curso é disposto de tal maneira que os assuntos mais difíceis são 
abordados no seu final, sendo os capítulos colocados numa forma sequencial
na Bibliografia, esta apostila, intitulada Conceitos Teóricos
xercícios Propostos de Eletromagnetismo, foi preparada com o objetivo de servir de 
roteiro de aulas teóricas e fonte suplementar de exercícios, reduzindo o tempo utilizado na 
exposição de assuntos e transcrição de enunciados de exercícios no quadro, permit
que mais tempo seja dedicado a explicação e aplicação prática de conceitos da disciplina.
Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo também foi preparada, 
contendo numerosos exemplos numéricos e literais de cada capítulo do programa, visando 
com isto facilitar o entendimento e a autoaprendizagem do aluno. 
deverão ser empregados no decorrer do curso
datashow, equipamentos audiovisuais. 
iii 
Importância do Curso de Eletromagnetismo 
Este curso deve ser encarado com bastante seriedade devido sua indiscutível importância 
no currículo de Engenharia. Para facilitar a aprendizagem, ele é iniciado apresentando os 
fundamentos matemáticos necessários para então considerar os aspectos físicos da disciplina. A 
teoria básica dos campos elétricos, da densidade de fluxo elétrico, a Lei de Gauss, os potenciais e 
a Eletrostática e Eletrodinâmica, são apresentados em sequência até 
Equações de Poisson e Laplace. Já dentro do Magnetismo, 
se primeiramente a teoria básica dos campos magnéticos, abordando importantes 
Savart e a Lei Circuital de Ampère. Vários conceitos do 
o introduzidos, culminando com o estudo dos campos baseados nas 
 a teoria de circuitos 
elétricos. Todos os conceitos aqui apresentados devem formar a base para a construção de novos 
s de conhecimento, como aqueles relacionados às disciplinas que tratam de máquinas 
elétricas, aterramentos elétricos, linhas de transmissão, propagação de ondas, antenas, etc. 
inistrado em um semestre por 
de aulas expositivas, com diálogos, discussões, demonstrações, incluindo soluções de 
exercícios, e, sempre que possível, com interpretação e aplicação prática de cada resultado. 
de tal maneira que os assuntos mais difíceis são 
sequencial e lógica para 
Conceitos Teóricos e 
o objetivo de servir de 
roteiro de aulas teóricas e fonte suplementar de exercícios, reduzindo o tempo utilizado na 
exposição de assuntos e transcrição de enunciados de exercícios no quadro, permitindo assim 
a explicação e aplicação prática de conceitos da disciplina. 
também foi preparada, 
contendo numerosos exemplos numéricos e literais de cada capítulo do programa, visando 
curso como: quadro e giz, 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT
 
1.1 – CONCEITOS GERAIS 
 
• Grandeza Escalar – Representada por um 
não de unidade de medida. 
Ex.: Tensão ou potencial, corrente, carga, tempo, massa, volume, temperatura, pressão,
de refração, etc. 
 
• Grandeza Vetorial – Representada por uma 
Ex.: Densidade de corrente, velocidade, aceleração, força, torque, etc.
 
Atenção: No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magnitude, módulo, 
intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre 
positivo. 
 
• Campo Escalar– Cada ponto 
Ex.: Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc.
Notação: Seja yx 22 ++=φ
Se φ = potencial ⇒
Se φ = temperatura 
Se φ = pressão ⇒
 
• Campo Vetorial– Cada ponto
Ex.: Campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, etc.
Notação: Seja x a4a3E
��
�
+=
Se E
�
 = campo elétrico 
possuindo módulo igual a 
(também chamados de versores): 
 
Atenção: No curso de Eletromagnetismo adota
que seu módulo pode ser representado por 
 
 
1.2 – O PRODUTO ESCALAR (O
 
O produto escalar entre 2 vetores 
 
θ=• cosBABA
����
 (
 
Propriedades do produto escalar
 
(a) ABBA
����
•=• (propriedade comutativa)
(b) 0BA =•
��
⇔ A ⊥ B (o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo)
(c) 22 AAAA ==•
���
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
TTOORRIIAALL 
Capítulo I 
 
ANÁLISE VETORIAL 
Representada por um número real, positivo ou negativo
potencial, corrente, carga, tempo, massa, volume, temperatura, pressão,
Representada por uma magnitude, direção e sentido.
: Densidade de corrente, velocidade, aceleração, força, torque, etc. 
urso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magnitude, módulo, 
intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre 
 da região é representado por um escalar. 
potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc.
100z 2 =+ definindo um campo escalar. 
⇒ temos uma superfície equipotencial esférica.
= temperatura ⇒ temos uma superfície isotérmica esférica.
⇒ temos uma superfície isobárica esférica. 
Cada ponto da região equivale a um vetor. 
: Campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, etc. 
zy a5
�
+ definindo um campo vetorial. 
= campo elétrico ⇒temos uma região onde o campo elétrico é uniforme, 
possuindo módulo igual a 25E =
�
 e direção fixa definida pelos vetores unitários 
(também chamados de versores): xa
�
, ya
�
 e za
�
. 
No curso de Eletromagnetismo adota-se a seguinte notação para vetores: 
que seu módulo pode ser representado por A
�
 ou A , ou, simplesmente,A.
O PRODUTO ESCALAR (OU PRODUTO INTERNO) 
O produto escalar entre 2 vetores A e B é definido como: 
(θ = menor ângulo entre A e B ) 
Propriedades do produto escalar: 
(propriedade comutativa) 
(o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo)
1 
, positivo ou negativo, acompanhado ou 
potencial, corrente, carga, tempo, massa, volume, temperatura, pressão, índice 
. 
urso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magnitude, módulo, 
intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre 
potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc. 
temos uma superfície equipotencial esférica. 
temos uma superfície isotérmica esférica. 
temos uma região onde o campo elétrico é uniforme, 
e direção fixa definida pelos vetores unitários 
se a seguinte notação para vetores: A
�
 ou A , sendo 
, ou, simplesmente,A. 
(o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
CCaappííttuullooII:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT
(i) Aplicação do produto escalar:
 
A projeção (ou componente) escalar
Ba = B• a = B•
A
A








 
 ( a
 
A projeção (ou componente) vetorial
Ba = B• a( ) a ⇒Ba = B•




 
A projeção escalar (Bx) do vetor 
 
B
x
= B• a
x
 
 ( xa = vetor unitário
 
A projeção vetorial ( B x) do vetor 
 
B
x
= B
x
a
x
= B• a
x( ) ax 
 
(ii) Aplicação do produto escalar
 
O ânguloθ compreendido entre 2 vetores 
 
 
1.3 – O PRODUTO VETORIAL (
 
O produto vetorial entre 2 vetores 
 
naBABA
�
����
θ=× sen
 
 
onde na
�
 = vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores 
(e sentido) é obtida pela regra do saca
 
Propriedades do produto vetorial
 
(a) ABBA
����
×−=× (propriedade não
(b) 0BA =×
��
⇔ A // B 
(c) 0AA =×
��
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
TTOORRIIAALL 
: obtenção da componente ou projeção de um vetor (ex.: 
numa dada direção (ex.: o vetor A ou o eixo 
escalar do vetor B sobre o vetor A é: 
a = vetor unitário na direção de A ) 
vetorial do vetor B sobre A é: 
•
A
A




A
A
 
B sobre o eixo x é: 
= vetor unitário na direção do eixo x) 
) do vetor B sobre o eixo x é: 
 
Aplicação do produto escalar: obtenção do ângulo compreendido entre 2 vetores quaisquer.
compreendido entre 2 vetores A e B é obtido por: cosθ = A•B
A B
O PRODUTO VETORIAL (OU PRODUTO EXTERNO) 
O produto vetorial entre 2 vetores A e B é definido como: 
 (θ = menor ângulo entre A e B ) 
vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores 
(e sentido) é obtida pela regra do saca-rolhas (mão direita) indo de A para 
Propriedades do produto vetorial: 
(propriedade não-comutativa) 
 (o produto vetorial entre 2 vetores paralelos é nulo)
2 
de um vetor (ex.: B ) 
ou o eixo x→ ver figuras). 
compreendido entre 2 vetores quaisquer. 
B
B
 
 
 
vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores A e B , cuja direção 
para B . 
(o produto vetorial entre 2 vetores paralelos é nulo) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
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(i) Aplicação do produto vetorial
Obtenção do vetor ouversor normal
por 2 vetores A e B . 
 
BAN
���
×= 
BA
BA
N
N
a n ��
��
�
�
�
×
×
==
 
 
 
 
(ii) Aplicação do produto vetorial
Obtenção da área de um 
vetores A e B . 
 
Sparalelogramo = Base ×
Striângulo =
1
2
Sparalelog
 
 
Exercício: Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto 
misto, expresso por: 
 
 
( ) CBAvol ��� •×= 
 
com A
�
, B
�
 e C
�
representando, 
do paralelepípedo. 
 
Solução: ( ) [ senBACBA =•× ( ����� θ
 
 
1.4 – SISTEMAS DE COORDENA
 
 
1.4.1 – Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
TTOORRIIAALL 
Aplicação do produto vetorial: 
versor normal a um plano formado 
(vetor normal) 
 (versor normal) 
produto vetorial: 
de um paralelogramo (ou triângulo) cujos lados são as magnitudes dos 
× Altura =
�
B
�
A senθ =
�
A ×
�
B
 
gramo =
1
2
�
A ×
�
B 
Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto 
 
 
representando, respectivamente, o comprimento, a largura e a altura 
] [ ] base)(altu da áreaCasenBACa nn =•=• ()() ������ θθ
SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS
Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas 
3 
) cujos lados são as magnitudes dos 
Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto 
respectivamente, o comprimento, a largura e a altura 
volumera)base)(altu = 
ÍNDRICAS E ESFÉRICAS 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
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1.4.2 – Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas
 
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas
SISTEMA Cartesiano
Cartesiano 
zz
yy
xx
=
=
=
 
Cilíndrico 
zz
0 )x/y(tan
 yx
1-
22
=
=φ
ρ+=ρ
Esférico 
(
( )=φ
+=θ
++=
 x/ytan
yxtan
 zyxr
1-
221-
222
 
1.4.3 – Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
 
 
 
1.4.4 – Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
 
Coordenadas cartesianas e cilíndricas
 
Nota: O produto escalar entre o vetor unitário 
de coordenadas esféricas,é dado pelo co
esférico ra
�
 (ou θa
� ) e sua projeção no plano 
formado por esta projeção e o vetor u
 
�
aρ 
�
aφ 
�
a
�
ax •••• cosφφφφ - senφφφφ 
�
ay •••• senφφφφ cosφφφφ 
�
az •••• 0 0 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
TTOORRIIAALL 
Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas 
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas
Cartesiano Cilíndrico 
zz
seny
cosx
=
φρ=
φρ=
 
2
0
pi≤φ≤
≥
 
zz =
φ=φ
ρ=ρ
 
)
pi≤φ≤
pi≤θ≤
≥
20 
0 z
0r 
 
( )
pi≤φ≤φ=φ
pi≤θ≤ρ=θ
≥+ρ=
20 
0 ztan
0r zr
1-
22
nos 3 sistemas de coordenadas 
Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas e cilíndricas Coordenadas cartesianas e esféricas
O produto escalar entre o vetor unitário xa
�
 (ou ya
� ) e o vetor unitário 
de coordenadas esféricas,é dado pelo cosseno do ângulo formado entre o vetor unitário 
) e sua projeção no plano xy, multiplicado pelo co
formado por esta projeção e o vetor unitário xa
�
 (ou ya
� ). 
 
�
a r 
�
aθ
�
ax •••• senθθθθ cosφφφφ cosθθθθ cos
�
ay •••• senθθθθsenφφφφ cosθθθθsen
�
az •••• cosθθθθ - sen
�
az 
0 
0 
1 
4 
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas 
Esférico 
θ=
φθ=
φθ=
rcosz
sen rseny
cos senrx
 
θ=
φ=φ
θ=ρ
rcosz
senr
 
pi
 
 
φ=φ
θ=θ
= rr
 
 
Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 
Coordenadas cartesianas e esféricas 
) e o vetor unitário ra
�
 (ou θa
� ) do sistema 
seno do ângulo formado entre o vetor unitário 
, multiplicado pelo cosseno do ângulo 
θ 
�
aφ 
cosφφφφ - senφφφφ 
senφφφφ cosφφφφ 
senθθθθ 0 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
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Exercício: Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos 
sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas
 
 
1.4.5 – Elementos diferenciais de linha
 
 
Quadro dos elementos 
Sistema Linha
Cartesiano 
x dyadxLd +=
Cilíndrico dL d a d a dz aρ φ= ρ + ρ φ +
Esférico θ+= rdadrLd r
 
 
�
a r 
�
aθ 
�
a
�
aρ •••• 
�
aφ •••• 
�
az •••• 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
TTOORRIIAALL 
Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos 
sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos diferenciais de linha, área e volume nos 3 sistemas de coordenadas
 
Quadro dos elementos diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas
Linha (dL) Área ( dS ) 
zy adzady + 
zz
yy
xx
adxdySd
adxdzSd
adydzSd
=
=
=
 
dv
zdL d a d a dz aρ φ= ρ + ρ φ + 
zz addSd
adzdSd
adzdSd
φρρ=
ρ=φρ=
φφ
ρρ
 
dv
φθ φθ+θ adsenra 
φφ
θθ
θ=
φθ=
φθθ=
ardrdSd
adrdsenrSd
addsenrSd r
2
r
 
dv
�
aφ 
 
 
 
5 
Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos 
nos 3 sistemas de coordenadas 
 
diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas 
Volume( dv ) 
dzdydxdv = 
dzdddv φρρ= 
φθθ= ddrdsenrdv 2 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT
1.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 
1.1) As superfícies que delimitam um volume são definidas por: 
7pi/9, z = 2 e z = 20. Determinar:
a) O volume determinado pela
b) O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume.
 
 Respostas: a) Volume = 375
 
1.2) Um vetor aaE ��� ++= φρ
plana x y z+ + = 2 . Determinar:
a) o vetor E
�
 no sistema de coordenadas cartesianas;
b) o ângulo θ que o vetor E
�
c) as duas componentes vetoriais de 
 
Respostas: a) x aaE
�
�
+−=
c) ( xN 31 aE �
�
=
 
1.3) Um vetor A
�
, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; 
origem de um sistema de coordenadas 
a) coordenadas esféricas no ponto P.
b) coordenadas cartesianas no ponto P.
 
Respostas:a) r 10 aA −=
�
; b) 
 
1.4) Dado o vetor yx aaA
��
�
+=
a) As coordenadas esféricas 
b) O ângulo α que A
�
 faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P;
c) O ângulo β que A� faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P;
d) O ângulo γ que A
�
 faz com o semi
 
Respostas:a) ;( = 22rP θ
 
1.5) Um vetor A
�
, de módulo igual 8, está situado sobre a linha
 P(r = 10, θ = 30o, φ = 0o) e 
Determinar: 
a) O vetor A
�
 expresso em coordenadas cartesianas;
b) O ângulo que o vetor A
�
c) O módulo da projeção do vetor 
 
Respostas:a) x 212 aA ,−=
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
TTOORRIIAALL 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
As superfícies que delimitam um volume são definidas por: ρ = 5 e ρ 
/9, z = 2 e z = 20. Determinar: 
O volume determinado pelas superfícies em questão, utilizando integração;
O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume.
Respostas: a) Volume = 375pi; b) PQ = 21,59 . 
za
�
+ está aplicado no ponto P(x = 0, y = 1, z = 1) da superfície 
. Determinar: 
no sistema de coordenadas cartesianas; 
E
�
 faz com o vetor normal à superfície plana; 
as duas componentes vetoriais de E
�
 normal e tangencial à superfície plana.
zy aa
��
+ ;b) θ =70,53o; 
)zy aa �� ++ e ( yxT 22431 aaaE ���
�
++−=
, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; 
origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Expressar este vetor em:
coordenadas esféricas no ponto P. 
coordenadas cartesianas no ponto P. 
; b) zyx 25 5 5 aaaA −−−=
�
. 
zy a
�
+ aplicado ao ponto P(x = – 3 , y = 1, z = 2), determinar: 
As coordenadas esféricas r, θ e φ do ponto P; 
faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P;
faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P;
faz com o semi-plano radial, partindo do eixo z, que passa por P.
);; °=°= 15045 φθ b) α = 75o; c) β = 123,9
, de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa pelos pontos
) e Q(r = 20, θ = 60o, φ = 90o) , e orientado no sentido de P a Q. 
expresso em coordenadas cartesianas; 
 faz com o vetor normal à superfície plana z = 0;
O módulo da projeção do vetor A� sobre a superfície plana z = 0. 
zyx 590 677 aa ,, ++ ; b) α = 85,75o; c) Proj
6 
 = 10, φ = 2pi/9 e φ = 
superfícies em questão, utilizando integração; 
O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume. 
está aplicado no ponto P(x = 0, y = 1, z = 1) da superfície 
 
normal e tangencial à superfície plana. 
)z . 
, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; θ = pi/4; φ = pi/4) à 
. Expressar este vetor em: 
, y = 1, z = 2), determinar: 
faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P; 
faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P; 
plano radial, partindo do eixo z, que passa por P. 
= 123,9o; d) γ = 142,06o. 
reta que passa pelos pontos 
) , e orientado no sentido de P a Q. 
faz com o vetor normal à superfície plana z = 0; 
987 Proj ,=A . 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT
1.6) Transformar o vetor 5E =
a) A(r = 4, θ = 30o, φ = 120
b) B(x = – 2 , y = 2 , z = 
 
Respostas:a) aE 5 
4
5
r +=
 
1.7) Sejam dados os pontos A(r = 1, 
representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos. 
Determinar, usando integração quando possível, o seguinte:
a) O volume total (vol) da porção de volume esférico formado;
b) Os vetores normais de área, 
esférico nas direções dos vetores unitários 
c) O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico);
d) O vetor 
→
AB , localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esf
 
Respostas: a) vol. = 
36
13pi
;b) 
d) =AB 3713,1
 
1.8) Sejam dados os dois pontos A(r = 10, 
Determinar: 
a) A distância d entre os dois pontos medida em linha reta;
b) A distância d’ entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10.
 
Respostas: a) d = 11,37 unidades de comprimento.
b) d’ = 12,09 unidades de comprimento
 
1.9) a) Se os vetores axA =
representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de 
b) Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima.
 
Respostas: a) x = –1,5, y = 
b) vol. = 20,25 unidades de volume
 
1.10) Sejam 2 pontos em coordenadas esféricas 
Determinar: 
a) A distância entre os 2 pontos medida em 
b) A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5;
c) O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos;
d) A área compreendida entre estas 2 linhas e o círculo de raio r = 5.
 
Respostas: a) AB = 5,32 unida
c) 64,34o = 1,123 rad, d) área = 14,04 unidades de área.
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
TTOORRIIAALL 
x x5 a
�
 para coordenadas esféricas nos seguintes pontos:
= 120o); 
, z = –2). 
φθ aa 2
35
 
4
35
+ ; b) aaE 
2
25
 
2
25
r −=
Sejam dados os pontos A(r = 1, θ = pi/3, φ = pi/6) e B(r = 3, θ = pi/2, 
representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos. 
Determinar, usando integração quando possível, o seguinte: 
(vol) da porção de volume esférico formado; 
Os vetores normais de área, rS
�
, θS
�
φS
�
, que saem da superfície da porção de volume 
esférico nas direções dos vetores unitários ra
�
, θa
�
 e φa
�
, respectivamente ;
O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico);
, localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esf
;b) rr 8
3
aS �
� pi
= , θθ
pi
= aS �
�
3
, φφ
pi
= aS �
�
3
2
; c) AB = 2,2318
+=−+ aaaaa 4487,1 5093,1 5,0 6883,1 3713 rzyx
Sejam dados os dois pontos A(r = 10, θ = 45o, φ = 0o) e B(r = 10, θ = 60
entre os dois pontos medida em linha reta; 
entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10.
a) d = 11,37 unidades de comprimento. 
b) d’ = 12,09 unidades de comprimento. 
zyx a3a3a ++ , zyx a2aya2B ++= , e 
representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de 
b) Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima. 
1,5, y = –1,0, z = –0,5 unidades de comprimento; 
b) vol. = 20,25 unidades de volume 
Sejam 2 pontos em coordenadasesféricas ( )oo 30,60,5r =φ=θ= e (r =
A distância entre os 2 pontos medida em linha reta; 
A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5;
O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos;
A área compreendida entre estas 2 linhas e o círculo de raio r = 5. 
a) AB = 5,32 unidades de comprimento; b) AB = 5,61 unidades de comprimento;
= 1,123 rad, d) área = 14,04 unidades de área. 
7 
para coordenadas esféricas nos seguintes pontos: 
φθ aa 5+ . 
/2, φ = pi/4), os quais 
representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos. 
, que saem da superfície da porção de volume 
, respectivamente ; 
O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico); 
, localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esféricas. 
; c) AB = 2,2318 
φθ + aa 7786,0 . 
= 60o, φ = 90o). 
entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10. 
, e zyx azaaC ++= , 
representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de x, y e z? 
)oo 120,30,5 =φ=θ= . 
A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5; 
O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos; 
des de comprimento; b) AB = 5,61 unidades de comprimento; 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
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1.11) Um círculo, centrado na origem, com raio de 2 unidades, situa
Determinar o vetor unitário, situado sobre o plan( )0,1,3 e está apontado no sentido de crescimento do eixo 
(a) Em coordenadas cartesianas;
 
Respostas:a) xa2
1
a +−=
 
1.12) Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos 
)z,,(Q 222 φρ em função das coordenadas cilíndricas dos pontos.
 
Resposta: 22
2
1d −ρ+ρ=
 
1.13) Demonstrar que =α sencos
α = ângulo entre o versor a�
θ = ângulo entre o versor za
�
φ = ângulo entre o versor xa
�
 
Resposta: Sugestão: Observar que 
φ=•ρ cosaa x
��
e 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
TTOORRIIAALL 
Um círculo, centrado na origem, com raio de 2 unidades, situa-se sobre o plano 
Determinar o vetor unitário, situado sobre o plano xy, que é tangente ao círculo no pontoP
e está apontado no sentido de crescimento do eixo y: 
Em coordenadas cartesianas; (b) Em coordenadas esféricas.
ya2
3
; b) φ= aa 
Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos 
em função das coordenadas cilíndricas dos pontos. 
( ) ( )2121221 zzcos2 −+φ−φρρ 
φθcossen , usando produtos escalares, sendo:
r (coord. esférica) e o versor xa
�
 (coord. cartesiana)
z (coord. cartesiana) e o versor ra
�
 (coord. esférica)
x (coord. cartesiana) e o versor ρa
�
 (coord. cilíndrica).
Sugestão: Observar que θ+θ= ρ cosasenaa zr
���
 e que • aa r
��
e 0aa xz =•
��
 
 
Anotações 
8 
se sobre o plano xy. 
, que é tangente ao círculo no pontoP
(b) Em coordenadas esféricas. 
Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos )z,,(P 111 φρ e 
produtos escalares, sendo: 
(coord. cartesiana) 
(coord. esférica) 
(coord. cilíndrica). 
α= cosa x
�
, 
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Capítulo II 
 
LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 
 
 
2.1 – LEI DE COULOMB 
 
Força de uma carga Q1 sobre uma carga Q2: 
 
122
12o
21
2 a
R4
QQF
piε
=
 [N] 
 
onde: 
R 12 = vetor orientado de Q1 a Q2 
a 12 = versor orientado de Q1 a Q2 
 
Notas: O módulo de 2F depende dos valores das cargas pontuais, da distância entre elas e do meio. 
Adota-se vácuo como o meio neste caso, e em todas as análises posteriores até o capítulo 5. 
A orientação de 2F (ou sentido de 2F ) depende apenas dos sinais das 2 cargas pontuais. 
 
 
2.2 –INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 
 
Força de uma carga pontual Q1 sobre uma carga de prova positiva QP situada num ponto P: 
P12
P1o
P1
P a
R4
QQF
piε
=
 
 
Campo elétrico gerado pela carga pontual Q1 no ponto P (definição): 
 
P12
P1o
1
P
P a
R4
Q
Q
FE
piε
==
 (Unidade: N/C ou V/m) 
 
Nota: A orientação do campo elétrico E depende apenas do sinal da carga que o produz(Q1). 
Assim, as linhas de força do campo elétrico saem (ou divergem) das cargas positivas e 
entram (ou convergem) para as cargas negativas. 
 
Campo elétrico gerado por n cargas pontuais: 
 
( ) mn
1m 2mo
m a
rr4
Q
rE ∑
−piε
=
=
 [V/m] 
 
onde: Qm = m-ésima carga pontual 
mr = posição da m-ésima carga pontual 
r
 = posição do ponto onde se quer o campo 
m
m
m
rr
rr
a
−
−
= = versorda m-ésima carga pontual 
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2.3 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE 
CARGAS 
 
Definindo 
dv
dQ
v =ρ = densidade volumétrica de carga (em C/m3), temos que dQ = ρvdv. 
Assim a fórmula para calcular o campo elétrico num ponto P, no vácuo, de um volume de cargas é: 
 
∫
piε
= R2
o
a
R4
dQE
 [V/m] (FÓRMULA GERAL) 
 
sendo: 
 Ra = versor orientado de dQ ao ponto P (saindo) 
R = distância de dQ ao ponto P 
εo = permissividade elétrica do vácuo [F/m] 
 
Nota: Genericamente: ρv dv =ρS ds = ρL dL = dQ, para volume → superfície → linha → ponto. 
 
 
2.4 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS 
 
Definindo 
dL
dQ
L =ρ = densidade linear de carga (em C/m), temos que dQ = ρLdL. 
 
Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma 
filamento retilíneo ∞∞∞∞ com carga uniformemente distribuída (ver figura), é expressa por: 
 
ρρpiε
ρ
= a
2
E
o
L
 
 
sendo: 
ρL = densidade linear de carga [C/m] (valor constante) 
ρ = menor distância (direção normal) da linha ao ponto P [m] 
ρa = versor normal à linha orientado para o ponto P 
 
Solução: Posicionando o eixo z sobre o filamento e o plano xy sobre 
o ponto P para facilitar a solução (ver figura), temos: 
dzdQ Lρ= 
ρρ+−= aazR z e 22zR ρ+= ⇒
22
z
R
z
aaz
R
R
a
ρ+
ρ+−
==
ρ
 
Substituindo na fórmula geral acima obtemos: 
( )
( )
( ) ρ
ρρ
+=
ρ+piε
ρ+−ρ∞+
−∞=
=
ρ+
ρ+−
ρ+piε
ρ∞+
−∞=
= ∫∫ EE
z4
aazdz
z
z
aaz
z4
dz
z
E z2/322
o
zL
22
z
22
o
L
 
Por simetria 0Ez = . 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado): 
αρ= tgz 
ααρ= ddz 2sec 
 
e levando na expressão acima e desenvolvendo, 
 
( ) ρ
ρ
ρ ααρpiε
ρ
=
ρ+αρ
ααρ
piε
ρρ
== ∫∫
pi
pi−=α
pi+
pi−=α
ados
4
ad
4
EE 2/ 2/
2/
2/
o
L
2/322o
L c
tg
sec
2
2
 
[ ] [ ] ρpi pi−=αρpi pi−=αρ +piε
ρ
=α
piε
ρ
== a11
4
a
4
EE 2/ 2/
o
L2/
2/
o
L sen
 
 
Daí chegamos finalmente a: ρρ ρpiε
ρ
== a
2
EE
o
L
 
 
Logo, para uma linha ∞ com carga uniformemente distribuída, a magnitude de E é 
inversamente proporcional à distância (ρ), e a direção de E é radial (normal) à linha. 
 
 
2.5 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE 
CARGAS 
 
Definindo 
dS
dQS=ρ = densidade superficial de carga (em C/m2 ), temos que dQ = ρS dS. 
 
Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma 
superfície plana ∞∞∞∞ com carga uniformemente distribuída (ver figura), é expressa por: 
 
n
o
s a
2
E
ε
ρ
=
 
 
sendo: 
ρS = densidade superficial de carga 
[C/m2] (constante) 
na = versor normal ao plano 
orientado para o ponto P 
 
Solução: 
Observando a figura temos: 
φρρρ=ρ= dddSdQ ss 
zazaR +ρ−= ρ e 22 zR +ρ= ⇒ 22
z
R
z
aza
R
R
a
+ρ
+ρ−
==
ρ
 
Substituindo na fórmula geral acima obtemos: 
( ) 22 z22os z
aza
z4
dd
0
2
0E
+ρ
+ρ−
+ρpiε
φρρρ∞+
=ρ
pi
=φ=
ρ
∫∫ 
( )
( ) z2/322o
zs
2
s EE
z4
ddaza
0
2
0E +=
+ρpiε
φρρρ+ρρ−∞+
=ρ
pi
=φ= ρ
ρ
∫∫ 
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Por simetria 0E =ρ . 
( ) ( ) 2/322o zs2/322ozsz z
d
02
az
z
d
0d
2
04
az
EE
+ρ
ρρ∞+
=ρε
ρ
=
+ρ
ρρ∞+
=ρφ
pi
=φpiε
ρ
== ∫∫∫ 
Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado): 
α=ρ tgz 
αα=ρ dzd 2sec , 
 
e levando na expressão acima e desenvolvendo, 
 
( ) αα
pi
=αε
ρ
=
α
ααpi
=αε
ρ
=
+α
αααpi
=αε
ρ
== ∫∫∫ d
2/
02
ad2/
02
a
zz
dzz2/
02
az
EE
o
zs
o
zs
2/322
2
o
zs
z sen
sec
tg
tg
sectg
2
 
[ ] [ ] z
o
s2/
0
o
zs
z a1022
a
EE +
ε
ρ
=α−
ε
ρ
==
pi
=αcos ⇒ z
o
s
z a2
EE
ε
ρ
==
 
 
De uma forma mais geral, fazendo nz aa = ⇒ n
o
s
n a2
EE
ε
ρ
==
 
Logo, para o plano ∞ com carga uniformemente distribuída, a magnitude de E é 
independente da distância (z) do plano a P, e a direção de E é normal ao plano. 
 
 
2.6 – LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO 
 
Obtenção da equação da linha de força de E no plano xy: 
 
Para um ponto na linha de força no plano xy, temos: 
yyxx aEaEE += 
yx ayaxL ∆+∆=∆ 
 
onde L//E ∆ (2 vetores em paralelo) 
 
Fazendo LdL →∆ , obtemos: 
yx adyadxLd += 
 
Como, E ∝ dL , obtemos: 
 
dy
E
dx
E yx
=
 
Logo, basta resolver esta equação diferencial para obter a equação da linha de força no plano xy. 
 
Nota: Para uma linha de força de E no espaço tridimensional, obtém-se a expressão: 
 
dz
E
dy
E
dx
E zyx
==
 (Atenção: Resolve-se duas a duas, segundo as projeções em xy, yz e zx) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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2.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
2.1) (a) Demonstrar que o campo elétrico E� , num ponto P no vácuo, 
devido a umacarga uniformemente distribuída sobre um 
filamento retilíneo de comprimento finito (extremidades A e 
B) no eixo z, é dado por: 
( ) ( )L 2 1 2 1 z
0
sen sen cos cos 
4 ρ
ρ
 = α + α + α − α piε ρ
E a a
�
� �
, 
sendo: 
ρL = densidade linear de carga (constante), 
ρ =distância (medida na perpendicular) do eixo zao ponto P, 
α1, α2 = ângulos positivos medidos conforme indicados, 
ρa
�
e za
�
= vetores unitáriosem coordenadas cilíndricasem P. 
(b) Calcular E� nos pontos C(0, 3, 0) e D(0, 3, 3), para a carga com L 012 C / mρ = piε 
distribuída sobre o filamento retilíneo no eixo z com as extremidades A(0, 0, -3) e 
B(0, 0, 3). 
(c) Calcular E� nos mesmos pontos C e D, para a carga com L 012 C / mρ = piε distribuída 
sobre a reta semi-infinita iniciando em A(0,0,0) e estendendo ao longo do eixo z no 
sentido positivo. 
Respostas: a) Demonstração, 
b) C y yE 2 a 1, 4142a= =
�
� �
, D y zE 0,8944a 0,5528a= +
�
� �
,[V/m]; 
c) C y zE a a= −
�
� �
, D y zE 1,7071a 0,7071a= −
�
� � [V/m]. 
 
2.2) Uma linha infinita possui uma distribuição de carga com densidade ρL = -100 [ηC/m] e está 
situada no vácuo sobre a reta y = –5 [m] e z=0. Uma superfície plana infinita possui uma 
distribuição de carga com densidade ρS = α/pi [ηC/m2] e está situada no vácuo sobre o plano 
z = 5 [m]. Determinar o valor da constante α para que o campo elétrico resultante no ponto 
P(5,5,-5) não possua componente no eixo z. 
 
Resposta: α = 4. 
 
2.3) Dado um campo ( ) ( ) ( ) φφρρ φρ+φρ=φρ aaE ��� ,E,E, em coordenadas cilíndricas, as equações 
das linhas de força em um plano z = constante são obtidas resolvendo a equação diferencial: 
 
φρρ=φρ d dEE 
a) Determinar a equação da linha de força que passa pelo ponto P(ρ = 2, φ = 30o, z = 0) para o 
campo φρ φρ−φρ= aaE
��
�
22 cossen . 
b) Determinar um vetor unitário passando pelo ponto P(ρ = 2, φ = 30o, z = 0), que seja 
paralelo ao plano z = 0 e normal a linha de força obtida no item anterior. 
Respostas:a) φ=ρ 2cos82 ; b) 






+±= φρ aaa
���
2
3
2
1
. 
 
2.4) Uma carga pontual de 1 nC localiza-se na origem, no vácuo. Determine a equação da curva no 
plano z = 0, para o qual Ex = 1 V/m. 
 
Resposta: ( )3222 yxx8,80 += ou φ=ρ cos998,2 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 14 
2.5) Duas linhas infinitas de carga com mesmas densidades lineares uniformes ρL = k [ηC/m] 
estão colocadas sobre o plano z = 0. As duas linhas se cruzam no ponto (-2, 1, 0), sendo que 
uma é paralela ao eixo x e a outra paralela ao eixo y. Determinar exatamente em que posição 
no plano z = 0 deverá ser colocada uma carga pontual Q = k [ηC] para que o campo elétrico 
resultante na origem se anule. 
 
Resposta: 








− 0
5
52
5
5P
44
;; . 
2.6) Determinar a força que atua sobre uma carga pontual Q1 em P(0,0,a) devido à presença de 
uma outra carga Q2, a qual está uniformemente distribuída sobre um disco circular de raio a 
situado sobre o plano z=0. 
 
Resposta: ( ) z2
o
21
 22
4
QQ
aF −⋅=
apiε
 
 
2.7) Seja um campo elétrico dado por ( ) [ ]mV y2cos y2sene5 yxx2 aaE −= − . Determinar: 
a) A equação da linha de força que passa pelo ponto P(x=0,5; y=pi/10; z=0); 
b) Um vetor unitário tangente a linha de força no ponto P. 
 
Respostas: a) 212,1x2ey2cos −= ou ( )606,0y2cosln5,0x += ; b) yxT 8090,05878,0 aaa −= . 
 
2.8) O segmento reto semi-infinito, z ≥ 0, x = y = 0, está carregado com ρL = 15 nC/m, no vácuo. 
Determine E nos pontos: 
a) PA (0, 0, –1); b) PB (1, 2, 3) 
Respostas:a) zA a8,134E −= [V/m]; b) zyxB a0,36a2,97a6,48E −+= [V/m]. 
 
2.9) Duas bolas dielétricas iguais de diâmetro bem pequeno, pesando 10 g cada uma, podem 
deslizar livremente numa linha plástica vertical. Cada bola é carregada com uma carga 
negativa de 1 µC.Qual é a distância entre elas, se a bola inferior for impedida de se mover? 
 
Resposta: d = 300 [mm] 
 
2.10) Duas cargas pontuais de +2 C cada uma estão situadas em (1, 0, 0) m e (-1, 0, 0) m. Onde 
deveria ser colocada uma carga de –1 C de modo que o campo elétrico se anule no ponto (0, 
1, 0)? 
 
Resposta: Em (x = 0, y = 0,16 m, z = 0) 
 
2.11) a) Uma carga com densidade uniforme ρL = K C/m 
está distribuída sobre um pedaço de condutor 
circular de raio r = 2 m, posicionado sobre o 
plano y = 1 m, conforme mostra a figura abaixo. 
Determinar o campo elétrico E resultante na 
origem. 
b) Repetir o item (a), supondo, porém, que toda a 
carga seja concentrada no ponto (0,2,0). 
Respostas:a) y
o
a
8
3KE
piε
−
=
 [V/m]; b) y
o
a
12
KE
ε
−
= [V/m]CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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2.12) Uma carga é distribuída uniformemente, com densidade ( )pi=ρ − 1810 9s C/m2, sobre uma 
lâmina retangular finita de 1 mm × 1 m, estando centrada na origem, sobre o plano z = 0, e 
com os lados paralelos aos eixos x e y. Usando aproximações de senso comum, estimar o 
valor do campo elétrico E
�
 nos seguintes pontos do eixo z: 
(a) z = 0,001 mm; (b) z = 1 cm; (c) z = 100 m 
Respostas:a) za1E = [V/m]; b) za
1,0E
pi
=
 [V/m]; c) z
7
a
2
10E
pi
=
−
 [V/m] 
 
2.13) Quatro cargas pontuais, iguais a 3 µC localizam-se, no vácuo, nos quatro vértices de um 
quadrado de 5 cm de lado. Determine o módulo da força que age em cada carga. 
 
Resposta: 61,9 N 
 
2.14) Três cargas pontuais Q, 2Q e 3Q ocupam respectivamente os vértices A, B e C de um 
triângulo equilátero de lado l. Uma das cargas tem a máxima força exercida sobre ela e uma 
outra tem a mínima força. Determinar a razão entre as magnitudes destas 2 forças. 
 
Resposta: Razão = 1,82, sendo as magnitudes das forças máxima e mínima iguais, 
respectivamente, a 7,94k e 4,36k, onde k = Q2/(4piεo l2) 
 
Anotações 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Anotações 
 
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CCaappííttuulloo IIIIII::DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA
 
3.1 – DENSIDADE DE FLUXO E
 
É o fluxo por área produzido por cargas livres e é 
 
Fórmula geral: ∫=ε= o
4
ED
 
ondedQ = ρLdL= ρsds = ρ
 
3.2 – A LEI DE GAUSS 
 
“O fluxo elétrico (líquido) que atravessa qualquer superfície fechada é igual a carga tota
envolvida por esta superfície”. 
 
A expressão matemática é dada por:
Ψ total = D•dS = Qint
S
�∫
onde, 
∫ρ=
.vol
vinterna dvQ (Nota: No SI: 
 
3.3 – APLICAÇÃO DA LEI DE 
 
Gaussiana (def.): É uma superfície especial com as seguintes propriedades:
(i) É uma superfície fechada;
(ii) Em cada um de seus pontos 
se D ⊥ dS ⇒ D • dS = 0 ; 
se dSDSdDSd//D =⇒ •
(iii) Em todos os pontos onde 
 
Cálculo de D , aplicando a lei de Gauss (e gaussiana), para os seguintes casos especiais:
 
a) Carga pontual Q 
 
Para uma gaussiana esférica de raio R
 
∫ =•gaussianaS int
QSdD
 
Como Sd//D e D = cte. em todos pontos da 
D (área da esfera)= Q 
D 4piR2 = Q 
Logo: 
2R4
QD
pi
=
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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CapítuloIII 
 
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO ( D ) 
É o fluxo por área produzido por cargas livres e é independente do meio onde estas estão situadas.
pi
R2 aR4
dQ
 (Unidade: C/m2) 
ρvdv, dependendo da configuração de cargas.
“O fluxo elétrico (líquido) que atravessa qualquer superfície fechada é igual a carga tota
 
A expressão matemática é dada por: 
terna (Unidade: C) 
(Nota: No SI: inttotal Q=Ψ ) 
APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS – GAUSSIANA 
É uma superfície especial com as seguintes propriedades: 
; 
Em cada um de seus pontos D é tangencial ou D é normal. Assim, 
 (Neste caso D é tangencial à gaussiana)
dS (Neste caso D é normal à gaussiana)
Em todos os pontos onde Sd//D , a magnitude de D é constante. 
de Gauss (e gaussiana), para os seguintes casos especiais:
Para uma gaussiana esférica de raio R 
 (Lei de Gauss) 
em todos pontos da gaussiana 
CCIIAA 17 
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 
onde estas estão situadas. 
dv, dependendo da configuração de cargas. 
“O fluxo elétrico (líquido) que atravessa qualquer superfície fechada é igual a carga total interna 
à gaussiana) 
à gaussiana) 
de Gauss (e gaussiana), para os seguintes casos especiais: 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
CCaappííttuulloo IIIIII::DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE
Em forma vetorial: 
R2 aR4
QD
pi
=
 
 
b) Filamento retilíneo ∞∞∞∞ com ρ
 
Para uma gaussiana cilíndrica de raio 
 
∫ =•gaussianaS int
QSdD
 (Lei de Gauss)
D (área lateral do cilindro) = 
D 2piρL = ρLL 
 
Logo: 
piρ
ρ
=
2
D L
 
 
Em forma vetorial: 
ρ
piρ
ρ
= a
2
D L
 
 
c) Cabo coaxial∞∞∞∞ com os condutores 
Aplicando a lei de Gauss para uma gaussiana cilíndrica de raio
∫ =•
gaussianaS int
QSdD 
temos as seguintes situações: 
i) Seρ<a ⇒ D = 0, pois a carga interna é nula
ii) Seρ>b ⇒ D = 0, pois a carga interna líquida é nula (blindagem eletrostática)
iii) Sea<ρ<b (gaussiana tracejada) 
Daí obtemos: 
L2
QD
piρ
=
 
Sendo a carga uniformemente distribuída, com 
condutor central, podemos re
obtendo-se: 
D 2piρ L = ρS 2pia L 
 
piρ
ρ
=
ρ
ρ
=
2
D Ls
a
 onde
 
sendoρL a densidade linear de carga no condutor 
 
 
Em forma vetorial: 
 
ρ
piρ
ρ
=
ρ
ρ
=
2
aD Ls
a
 
Nota: Observar a semelhança com a fórmula de 
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( D é inversamente proporcional ao quadrado da distância)
dLdQL =ρ = constante 
Para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ 
(Lei de Gauss) 
D (área lateral do cilindro) = ρLL 
( D é inversamente proporcional à distância)
com os condutores central (+Q) e externo (–Q) com ρρρρs constante 
 
Aplicando a lei de Gauss para uma gaussiana cilíndrica de raioρ (ver figura), 
D = 0, pois a carga interna é nula 
D = 0, pois a carga interna líquida é nula (blindagem eletrostática)
(gaussiana tracejada) ⇒ D 2piρ L = +Q 
 
Sendo a carga uniformemente distribuída, com densidade superficial de carga
, podemos re-aplicar a lei de Gauss, 
onde
aa pi
ρ
=
pi
===ρ
2L2
Q
S
Q
dS
dQ L
s 
a densidade linear de carga no condutor central. 
ρ
piρ
aL
 ( D é inversamente proporcional à distância)
Observar a semelhança com a fórmula de D para a linha ∞, obtida acima.
CCIIAA 18 
é inversamente proporcional ao quadrado da distância) 
é inversamente proporcional à distância) 
constante 
 
D = 0, pois a carga interna líquida é nula (blindagem eletrostática) 
densidade superficial de cargaρS no 
é inversamente proporcional à distância) 
, obtida acima. 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
CCaappííttuulloo IIIIII::DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE
3.4 – DIVERGÊNCIA 
 
 
Seja A um vetor qualquer expresso por:
zyyxx aAaAaAA ++=
 
aplicado ao vértice A(x,y,z) do pequeno volume 
zyxv ∆∆∆=∆ 
 
Definindo divergência de um vetor 
 
v
SdA
limA S
0v ∆
=∇
•
•
∫
→∆
 
 
onde ∇ representa o operador vetorial “nabla” ou “del”.
 
Para a superfície que envolve o pequeno volume retangular da figura 
SdA 
EFGHABCD SSS
• ∫∫∫ +=
 
Cálculo da 1ae da 2a integral do 2
a)x(ASdA xx
SABCD
= ∫∫ •
ASdA
yy
yy
zz
zzSEFGH
= ∫ ∫∫
∆+
=
∆+
=
•
 
 
Somando estas duas integrais, obtemos o fluxo líquido de 
ASdA
SS EFGHABCD
∂
∂
≅+ •∫∫
 
Similarmente a estas duas integrais, obtemos os fluxos líquidos de 
A
SdA
SS BCGFADHE
∂
∂
≅+ •∫∫
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um vetorqualquer expresso por: 
za 
aplicado ao vértice A(x,y,z) do pequeno volume retangular da figura acima dado por:
Definindo divergência de um vetor A , ou div A , com notação matemática ∇
 (Nota: O resultado desta operação é um escalar
representa o operador vetorial “nabla” ou “del”. 
Para a superfície que envolve o pequeno volume retangular da figura acima temos:
SdA
DCGHABFEBCGFADHEEFGH SSSS
•∫∫∫∫ ++++ 
integral do 2o membro (fluxo de A na direção x): 
dzdy)x(A)a(dS x
yy
yy
zz
zz
xABCDx ≅−=− ∫ ∫
∆+
=
∆+
=
•
Azy)xx(Adzdy)xx(A xxx 


≅∆∆∆+≅∆+
Somando estas duas integrais, obtemos o fluxo líquido de A na direção x como:
zyx
x
Ax ∆∆∆
∂
 
estas duas integrais, obtemos os fluxos líquidos de A nas direções 
zyx
y
A y ∆∆∆
∂
 
CCIIAA 19 
 
retangular da figura acima dado por: 
A•∇ , como: 
escalar.) 
acima temos: 
zy)x(Ax ∆∆−≅ 
zyx
x
A)x( Xx ∆∆

∆
∂
∂
+
como: 
nas direções y e z como: 
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CCaappííttuulloo IIIIII::DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE
ASdA
SS DCGHABFE
∂
∂
≅+ •∫∫
Somando as 3 expressões anteriores, obtemos o fluxo
y
A
x
ASdA yx
S




∂
∂
+
∂
∂
≅•∫
 
Substituindo esta última expressão na equação que define a divergência e simplificando, obtemos:
A
y
A
x
AA yx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ •
 
Se A é substituído pelo vetor densidade de fluxo elétrico 
 
S
0v v
SdD
limD =
∆
=∇
→∆
•
•
∫
 
Assim obtemos uma importante equação da eletrostática:
∇ • D = ρ
v 
 
ondeρv representa a fonte de fluxo (divergência) de 
 
Notas: 
0D >∇ • ⇒ A região é fonte
0D <∇ • ⇒ A região é sorvedoura
0D =∇ • ⇒ A região não é fonte nem sorvedoura
 
 
3.5 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
 
Da lei de Gauss, temos que: S D∫
Mas, sabemos que: Q v
vol
int ρρρρ∫=
E também: Dv •∇=ρ 
 
Logo, juntando todas as expressões, obtemos:
 
∫ ∫∇= ••
S vol
dv DSdD
 
 
sendoS a área que envolve o volume 
 
Notas: 
1. O teorema da divergência pode ser aplicado a 
2. O operador vetorial ∇ é somente
yx ay
a
x ∂
∂
+
∂
∂
=∇
Logo, não existeuma expressão
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zyx
z
Az ∆∆∆
∂
 
Somando as 3 expressões anteriores, obtemos o fluxo total líquido que sai do pequeno volume:
zyx
z
Az ∆∆∆


∂
∂
+
 
Substituindo esta última expressão na equação que define a divergência e simplificando, obtemos:
z
Az
∂ 
é substituído pelo vetor densidade de fluxo elétrico D e aplicado a definição de divergência:
v
0v dv
dQ
v
Qlim ρ==
∆
∆
=
→∆
 
equação da eletrostática: 
(1a equação de Maxwell da eletrostática) 
representa a fonte de fluxo (divergência) de D . 
fonte de fluxo ou a carga líquida da região é positiva
sorvedoura de fluxo ou a carga líquida da região é 
não é fonte nem sorvedoura de fluxo ou a carga líquida é 
REMA DA DIVERGÊNCIA 
intQSdD =• 
dvv 
Logo, juntando todas as expressões, obtemos: 
 (Teorema da divergência de Gauss)
a área que envolve o volume vol, ou vol o volume envolvido pela área 
O teorema da divergência pode ser aplicado a qualquer campo vetorial.
somente definido em coordenadas cartesianas 
zy a
z∂
∂
+
 
uma expressão para ∇ em coordenadas cilíndricas, nem em 
CCIIAA 20 
total líquido que sai do pequeno volume: 
Substituindo esta última expressão na equação que define a divergência e simplificando, obtemos: 
e aplicado a definição de divergência: 
 
positiva. 
de fluxo ou a carga líquida da região é negativa. 
de fluxo ou a carga líquida é nula. 
(Teorema da divergência de Gauss) 
o volume envolvido pela área S. 
campo vetorial. 
 pela expressão: 
, nem em esféricas. 
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3.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 
3.1) Seja ρV = α r/ [C/m3] de r = 0 a r = R em coordenadas esféricas. Determinar 
espaço. 
 
Resposta: r5
r2
aD α= [C/m
 
3.2) Uma carga com densidade linear uniforme
eixopositivo de z. Noplano z = 0, uma outra carga com densidade superficial 
[ηC/m2] é distribuída. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa o cilindro 
cujas bases estão situadas sobre
 
Resposta: ak2T =Ψ [ηC ].
 
3.3) O plano z=0 contém uma distribuição superficial uniforme de carga com 
Determinar a quantidade de linhas de fluxo que atravessa o triângulo formado pelos pontos 
(0,2,0), B (2,0,2) e C (–2,0,2).
 
Resposta: 20=Ψ [ηC ]. 
 
3.4) Determinar o fluxo elétrico líquido total que sai da porção de um cilindro definido por:
 0 ≤ρ≤ 2, 0 ≤φ≤pi/2, 0 ≤ z ≤ 
a) uma carga distribuída no interior da porção do cilindro com densidade volumétrica de 
carga dada por ρv = 4xyz
b) a mesma quantidade de carga do item anterior, porém sendo toda ela concentrada na 
origem. 
 
Respostas:a) 72 [C]; b) 9 [C].
 
3.5) Seja 2v x6=ρ [µC/m3] na região 
a) A densidade de fluxo elétrico 
b) A densidade de fluxo elétrico 
c) A densidade de fluxo elétrico 
d) A densidade de fluxo elétrico 
 
Respostas: a) x3x2 aD =
d) x 2 aD −= [
 
3.6) Determinar o fluxo total que atravessa um cubo de lado 
arestas paralelas aos eixos coordenados para cada uma das seguintes situações: 
a) Uma carga pontual Q = 20 [
b) Uma linha infinita de cargas com densidade 
Repetir a questão e calcular o 
Respostas: a) 20T =Ψ [ηC ]; b) 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
] de r = 0 a r = R em coordenadas esféricas. Determinar 
[C/m2] para 0 < r < Re r2
2
r5
RR 2
aD α=
 [C/m
Uma carga com densidade linear uniformeρL = k [ηC/m] está distribuída sobre o semi
eixopositivo de z. Noplano z = 0, uma outra carga com densidade superficial 
] é distribuída. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa o cilindro 
cujas bases estão situadas sobre os planos z = a e z = – a (a> 0). 
C ]. 
O plano z=0 contém uma distribuição superficial uniforme de carga com 
Determinar a quantidade de linhas de fluxo que atravessa o triângulo formado pelos pontos 
2,0,2). 
 
Determinar o fluxo elétrico líquido total que sai da porção de um cilindro definido por:
 3, devido as seguintes condições: 
uma carga distribuída no interior da porção do cilindro com densidade volumétrica de 
= 4xyz2 [C/m3], sendo que ρv = 0 no exterior da porção de cilindro.
a mesma quantidade de carga do item anterior, porém sendo toda ela concentrada na 
Respostas:a) 72 [C]; b) 9 [C]. 
] na região – 1≤ x ≤ 1 [m] e fora desta região. Determinar:
A densidade de fluxo elétrico D na região 0 ≤ x ≤ 1 [m]; 
A densidade de fluxo elétrico D na região x > 1 [m]; 
A densidade de fluxo elétrico D na região –1 ≤ x ≤ 0 [m]; 
A densidade de fluxo elétrico D na região x < -1 [m]. 
 [µC/m2];b) x 2 aD = [µC/m2]; c) 3x2D =
[µC/m2]. 
que atravessa um cubo de lado a = 1 [m], centrado na origem e 
arestas paralelas aos eixos coordenados para cada uma das seguintes situações: 
Uma carga pontual Q = 20 [ηC] situada na origem; 
Uma linha infinita de cargas com densidade ρL = 20 [ηC/m] situada sobre o eixo x.
r a questão e calcular o fluxo que atravessa a face superior do cubo nas duas situações.
C ]; b) 20T =Ψ [ηC ] e a) 3
10
T =Ψ [ηC ]; b) 
CCIIAA 21 
] de r = 0 a r = R em coordenadas esféricas. Determinar D em todo o 
[C/m2] para Rr ≥ . 
C/m] está distribuída sobre o semi-
eixopositivo de z. Noplano z = 0,uma outra carga com densidade superficial ρS = k/(2piρ) 
] é distribuída. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa o cilindro ρ = a[m], 
O plano z=0 contém uma distribuição superficial uniforme de carga com ρS = 10 [ηC/m2]. 
Determinar a quantidade de linhas de fluxo que atravessa o triângulo formado pelos pontos A 
Determinar o fluxo elétrico líquido total que sai da porção de um cilindro definido por: 
uma carga distribuída no interior da porção do cilindro com densidade volumétrica de 
= 0 no exterior da porção de cilindro. 
a mesma quantidade de carga do item anterior, porém sendo toda ela concentrada na 
fora desta região. Determinar: 
x
3a
 [µC/m2]; 
= 1 [m], centrado na origem e 
arestas paralelas aos eixos coordenados para cada uma das seguintes situações: 
C/m] situada sobre o eixo x. 
do cubo nas duas situações. 
C ]; b) 5T =Ψ [ηC ]. 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
CCaappííttuulloo IIIIII::DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE
3.7) Seja ( )z1z8v −=ρ [C/m
0v =ρ para o restante do espaço. Determinar 
Respostas: 0=D para z ≤ 
 
( 3z2
3
4D −⋅=
 
3.8) Determinar o quantidade de fluxo elétrico devido a uma carga pontual Q na origem que passa 
através das superfícies esféricas definidas por:
a) raio = r, estendendo de θ
b) raio = 2r, estendendo de 
 
Respostas:a) ( )[ /13 −=ψ
 
3.9) Seja uma distribuição de carga no espaço onde 
2R, sendo K uma constante positiva.
a) Determinar a carga total contida dentro da esfera de raio r = R;
b) Determinar a densidade de fluxo elétrico que sai da superfície esf
 
Respostas:a) 
.int KR2Q pi=
 
3.10) Uma carga pontual Q =24pi
µC/m2 está distribuída na superfície esférica r = 
242s =ρ µC/m2 está distribuída na superfície esférica r = 
Determinar D em todas as regiões.
 
Resposta: r2 ar
6D = µC/m
r2 ar
24D = µC/m
 
3.11) Uma linha infinita de carga uniformemente distribuída com densidade 
colocada sobre o eixo y. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa as seguintes 
superfícies: 
(a) a porção do plano z = 1 m, limitada por 
(b) a esfera de raio r = 1 m, centrada na origem.
 
Respostas:a) ψ = 0,5 C; b) 
 
3.12) a) Calcular a carga total em todo o espaço se a densidade volumétrica de carga é expressa em 
coordenadas esféricas como 
b) Qual é o raio da esfera, centrada na origem, com densidade volumétrica de carga constant
, que contém a mesma carga total do item anterior.
 
Respostas:a) 
3T 3
4Q
a
pi
= ; b) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
EE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCC
[C/m3] para 0 < z < 1, ( )z1z8v +=ρ [C/m3] para 
para o restante do espaço. Determinar D em todo o espaço usando a Lei de Gauss.
 –1, ( ) z23 1z3z234 aD −+⋅= [C/m3] para 
) z23 1z3 a−+ [C/m3] para 0 < z < 1, 0=D
Determinar o quantidade de fluxo elétrico devido a uma carga pontual Q na origem que passa 
superfícies esféricas definidas por: 
θ = 30o a θ = 60o, e de φ = 0o a φ = 360o; 
raio = 2r, estendendo de θ = 0o a θ = 90o, e de φ = 0o a φ = 90o. 
] Q183,0Q4 = ; b) ψ = Q/8 
distribuição de carga no espaço onde ρV = K/r C/m3 para r < 2R e 
2R, sendo K uma constante positiva. 
Determinar a carga total contida dentro da esfera de raio r = R; 
Determinar a densidade de fluxo elétrico que sai da superfície esférica r = R.
2KR ; b) ra2
KD =
 
piµC está localizada na origem, uma carga de densidade 
está distribuída na superfície esférica r = a = 0,5 m, e uma carga de densidade 
está distribuída na superfície esférica r = b = 1 m. 
em todas as regiões. 
C/m2 para r < 0,5 m; 0D = para 0,5 ≤ r < 1 m; 
C/m2 para r ≥ 1 m 
Uma linha infinita de carga uniformemente distribuída com densidade 
. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa as seguintes 
= 1 m, limitada por –1 <x< 1 m e –1 <y< 1 m; 
a esfera de raio r = 1 m, centrada na origem. 
= 0,5 C; b) ψ = 2 C. 
Calcular a carga total em todo o espaço se a densidade volumétrica de carga é expressa em 
coordenadas esféricas como 233v )r/(1 a+=ρ , sendo a uma constante.
Qual é o raio da esfera, centrada na origem, com densidade volumétrica de carga constant
, que contém a mesma carga total do item anterior. 
; b) 
a2
1
r = . 
CCIIAA 22 
] para – 1 < z < 0 e 
ando a Lei de Gauss. 
] para –1 < z < 0, 
 para z ≥ 1. 
Determinar o quantidade de fluxo elétrico devido a uma carga pontual Q na origem que passa 
para r < 2R e ρV = 0 para r > 
érica r = R. 
C está localizada na origem, uma carga de densidade 241s −=ρ
= 0,5 m, e uma carga de densidade 
r < 1 m; 
Uma linha infinita de carga uniformemente distribuída com densidade m/C1L =ρ está 
. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa as seguintes 
 
Calcular a carga total em todo o espaço se a densidade volumétrica de carga é expressa em 
uma constante. 
Qual é o raio da esfera, centrada na origem, com densidade volumétrica de carga constante, 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE 
ENERGIA E POTENCIAL
 
4.1 – ENERGIA (TRABALHO) P
CAMPO ELÉTRICO 
 
Observando a figura, e adotando 
aplicada E E E EdW F dL F dL F a a dL F a dL F dL• • • •= = − = − = − = −
 
Substituindo EQFE = ,chega-se a:
dW QE dL•= −
 
 
Integrando, obtém-se o trabalho (
B) até o final (ponto A) de uma trajetória, sob a ação do campo elétrico 
 
Final (A)
Início (B)
W Q E dL•= − ∫ 
 
onde E dL 0• =∫� , pois o trabalho do 
depende apenas das posições inicial e final da trajetória.
 
Nota: Na eletrostática, o campo elétrico é 
 
4.2 – DEFINIÇÃO DE DIFEREN
 
A diferença de potencial VAB entre 2 pontos A e B é definida como sendo o trabalho necessário 
para movimentar uma carga pontual unitária positiva desde B (tomado como referência) até A.
 
Q
WVAB = ⇒
A
AB BV E dL= −∫
 
Como o campo elétrico E é conservativo (na eletrostática), tem
pontos A, B e C: 
VAB = VAC – VBC 
 
Os potenciais “absolutos” VA 
referência zero de potencial. Se, por exemplo, V
 
4.3 – O POTENCIAL DE UMA C
 
Supondo-se a carga na origem, tem
A
B
A r
AB r rB r
V E dL a dr a• •= − = −∫ ∫
AB A B
0 A B
Q 1 1V V V
4 r r
 
= − = − 
piε  
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
 
 PPOOTTEENNCCIIAALL 
Capítulo IV 
 
ENERGIA E POTENCIAL 
ENERGIA (TRABALHO) PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM 
Observando a figura, e adotando La como um vetor unitário na direção de Ld
( ) ( )L L L Laplicada E E E EdW F dL F dL F a a dL F a dL F dL• • • •= = − = − = − = −⋅ ⋅
se a: 
(energia) necessário para mover uma carga Q desde o 
(ponto A) de uma trajetória, sob a ação do campo elétrico E , dado por:
W Q E dL
 
trabalho do campo eletrostático 
depende apenas das posições inicial e final da trajetória. 
Na eletrostática, o campo elétrico é conservativo. 
DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL (VAB) E POTENCIAL (V)
entre 2 pontos A e B é definida como sendo o trabalho necessário 
para movimentar uma carga pontual unitária positiva desde B (tomado como referência) até A.
A
BV E dL•= −∫ (FÓRMULA GERAL) 
é conservativo (na eletrostática), tem-se, para 3 
 e VB são obtidos adotando-se uma mesma 
referência zero de potencial. Se, por exemplo, VC = 0, pode-se escrever VAB = V
O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL 
se a carga na origem, tem-se, aplicando a fórmula geral: 
A
B
A r
AB r r2B r
0
QV E dL a dr a
4 r
• •
piε
∫ ∫ 
AB A BV V V= − = − 
23 
PONTUAL EM UM 
L , tem-se: 
aplicada E E E EdW F dL F dL F a a dL F a dL F dL• • • •= = − = − = − = − 
) necessário para mover uma carga Q desde o início (ponto 
, dado por:) E POTENCIAL (V) 
entre 2 pontos A e B é definida como sendo o trabalho necessário 
para movimentar uma carga pontual unitária positiva desde B (tomado como referência) até A. 
se uma mesma 
= VA – VB 
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Se B →∞⇒ VB→ 0 ⇒ AV 4 r
=
piε
 
Escrevendo de forma genérica, o potencial absoluto devido a uma carga 
pontual Q fora da origem é: 
 
0
QV
4 R
=
piε
 
 
sendo R a distância da carga pontual Q ao ponto desejado.
 
 
4.4 – O POTENCIAL DE UM SI
 
4.4.1 – VABde uma reta ∞∞∞∞ com 
 
Partindo de AAB BV E dL= −∫
A
B
L
AB
0
V a d a
2
ρ
ρ ρρ
•
ρ
= − ρ
piε ρ∫
 
L B
AB
0 A
V ln
2
ρ ρ
=
piε ρ
 
 
 
 
4.4.2 – VABde um plano ∞∞∞∞ com 
Partindo de AAB BV E dL= −∫
A
B
z s
AB z zz 0
V a dz a
2
•
ρ
= −
ε∫
 
( )sAB B A
0
V z z
2
ρ
= −
ε
 
 
 
4.4.3 – Potencial V de uma carga distribuída
 
Para uma carga distribuída, com referência zero no infinito
 
0
dQ
4 RV piε= ∫ 
 
onde: dQ = ρLdL= ρsds = ρvdv, dependendo da 
configuração de cargas, 
rrRR ′−== = distância (escalar) de dQ ao ponto 
fixo P onde se quer obter o potencial V
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 PPOOTTEENNCCIIAALL 
0 A
Q
4 rpiε
 (potencial absoluto) 
Escrevendo de forma genérica, o potencial absoluto devido a uma carga 
sendo R a distância da carga pontual Q ao ponto desejado. 
O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS 
com ρρρρL constante 
V E dL• ,obtemos: 
V a d aρ ρ= − ρ 
com ρρρρs constante 
 
V E dL• ,obtemos: 
AB z zV a dz a 
Potencial V de uma carga distribuída 
referência zero no infinito: 
dv, dependendo da 
= distância (escalar) de dQ ao ponto 
fixo P onde se quer obter o potencial V 
24 
 
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4.5 – GRADIENTE DO POTENCI
 
O gradiente de uma função escalar
definido matematicamente por: 
 
 NadN
dVV =∇
 (resultado = vetor)
 
ondedV, dN e Na
�
 são mostrados na figura. 
aGa
cosdL
dV
a
dN
dVV NN =θ
==∇
 
Daí, dVcosGdL =θ ⇒ LdG =•
��
onde: 
zzyyxx aGaGaGG ++=
����
zyx adzadyadxLd ++=
z
Vdy
y
Vdx
x
VdV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
sendo: 
Ld
�
 =vetor comprimento diferencial medido numa direção qualquer,
dN = dLcosθ = menor distância entre as 2 superfícies equipotenciais V
 
Assim, obtemos a expressão do gradiente 
yx ay
V
a
x
VVG ��
��
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
 
Propriedades do gradiente de uma função escalar V:
 
a) V∇ énormal a V 
b) V∇ aponta no sentido do crescimento
 
Logo V∇ é um vetor que dá a máxima
vetor) e a direção em que este máximo ocorre (sentido do vetor). 
 
Se V = função potencial elétrico, então: 
 
VE ∇−=
 
 
Exemplo:Utilizando gradiente, determinar 
 
Solução: O potencial de uma carga pontual na origem 
 Tomando o gradiente de 
e fazendo VE ∇−= ⇒
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 PPOOTTEENNCCIIAALL 
GRADIENTE DO POTENCIAL ( V∇ ) 
gradiente de uma função escalar (ex. V) é 
(resultado = vetor) 
são mostrados na figura. 
Ga N
�
=
 
dV 
Nz aG= 
LadL= 
dz
 
=vetor comprimento diferencial medido numa direção qualquer, 
= menor distância entre as 2 superfícies equipotenciais V1 e V2. 
Assim, obtemos a expressão do gradiente em coordenadas cartesianas: 
zy a
z
V �
∂
∂
+
 
Propriedades do gradiente de uma função escalar V: 
sentido do crescimento de V 
máxima variação no espaço de uma quantidade escalar (módulo do 
em que este máximo ocorre (sentido do vetor). 
Se V = função potencial elétrico, então: 
( E está apontado no sentido decrescente de V).
determinar a expressão de E para uma carga pontual na origem.
O potencial de uma carga pontual na origem (no vácuo) é: Q
4 r
=
piε
V
Tomando o gradiente de V, em coordenadas esféricas, sabendo-se que 
⇒ r r2
0
V Q 1E a a
r 4 r
∂ − 
= − = −  ∂ piε  
� � �
⇒
0
QE a
4 r
=
piε
�
25 
 
variação no espaço de uma quantidade escalar (módulo do 
o sentido decrescente de V). 
para uma carga pontual na origem. 
0
Q
4 rpiε
 
se que V = f(r): 
r2
0
QE a
4 rpiε
�
 
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4.6 – O DIPOLO ELÉTRICO 
 
É um sistema com 2 cargas pontuais iguais e simétricas (figura c
sendo d a distância (separação) entre as cargas e r a distância do centro do dipolo a um ponto P 
desejado. 
 
Cálculo do potencial no ponto P devido ao dipolo na origem:
 
P
0 1 0 2
Q QV
4 r 4 r
+ −
= +
piε piε
 
P
0 1 2
Q 1 1V
4 r r
 
= − 
piε  
 
2 1
P
0 1 2
r rQV
4 r r
 
−
=  
piε  
 
 
Sendo d << r, fazemos r2
p 2
0
Qd cosV 
4 r
θ
=
piε
 
 
Campo elétrico no ponto P devido ao dipolo elétrico 
 
( r3
0
QdE 2cos a sen a
4 r
= θ + θ
piε
 
Definindo momento de dipolo elétrico
entre as cargas do dipolo e cuja direção (e sentido) é de 
 
r
p 2
0
p a
V
4 r
•
=
piε
 
 
Notas: 
a) Com o aumento da distância, o potencial e o campo elétrico 
caem mais rápidos para o dipolo elétrico do que para a carga 
pontual. 
b) Para o dipolo elétrico fora da origem
R
p 2
0
p a
V
4 R
•
=
piε
 
 
onde: 
Ra = versor orientado do centro do dipolo ao ponto desejado;
R = distância do centro do dipolo ao ponto desejado.
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 PPOOTTEENNCCIIAALL 
 
É um sistema com 2 cargas pontuais iguais e simétricas (figura c) bem próximas tal que d << r, 
sendo d a distância (separação) entre as cargas e r a distância do centro do dipolo a um ponto P 
Cálculo do potencial no ponto P devido ao dipolo na origem: 
θ≅− cosdr1 e 221 rrr ≅ . Daí, 
Campo elétrico no ponto P devido ao dipolo elétrico na origem: 
)E 2cos a sen aθ= θ + θ (obtido de VE ∇−= ) 
momento de dipolo elétrico como dQp = ,onde d é o vetor cuja magnitude é a distância 
entre as cargas do dipolo e cuja direção (e sentido) é de –Q para +Q: 
Com o aumento da distância, o potencial e o campo elétrico 
caem mais rápidos para o dipolo elétrico do que para a carga 
ora da origem, o potencial é dado por: 
= versor orientado do centro do dipolo ao ponto desejado; 
R = distância do centro do dipolo ao ponto desejado. 
26 
) bem próximas tal que d << r, 
sendo d a distância (separação) entre as cargas e r a distância do centro do dipolo a um ponto P 
 
é o vetor cuja magnitude é a distância 
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4.7 – ENERGIA NO CAMPO ELE
 
4.7.1 – Energia (trabalho) para uma distribuição discreta de cargas
 
 
WE = trabalho total para trazer 3 cargas Q
 
WE =W1 + W2 + W3 
WE = 0 + Q2V2,1 + Q3 V3,1 + Q
 
Nota: V2,1 = potencial no ponto 2 devido à carga Q
 
Se as 3 cargas forem fixadas na ordem inversa
WE = W3’ + W2’ + W1’ 
WE = 0 + Q2 V2,3 + Q1 V1,2 + Q
 
(i) + (ii): 2WE = Q1 V1 + Q2 V
( 2211E VQVQ2
1W ++=
 
Para N cargas: ∑
=
=
N
1i
E 2
1W
 
 
4.7.2 – Energia (trabalho) para uma distribuição contínua de carga
 
Para uma região com distribuição contínua de carga, substituímos Q
diferencial dQ = ρvdv e a somatória se transforma numa integral em todo o volume de cargas.
∫ρ=
vol
vE Vdv2
1W
 [J] 
 
Pode-se