Lei de Gauss e suas aplicações

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DESCRIÇÃO
A construção dos principais conceitos e aplicações fundamentais da Eletrostática para distribuições contínuas de cargas elétricas, Lei de Gauss e suas
aplicações na moderna teoria eletrodinâmica clássica.
PROPÓSITO
Generalizar os conceitos e aplicações de campo elétrico e potencial elétrico para distribuições contínuas de cargas, por meio da Lei de Coulomb e da
Lei de Gauss, com aplicações diretas na obtenção de potenciais elétricos e capacitâncias de sistemas eletrostáticos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, revise seus estudos nos princípios da Álgebra Vetorial e do Cálculo Diferencial e Integral. Também será útil ter
em mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar o campo elétrico de cargas contínuas
MÓDULO 2
Aplicar a Lei de Gauss do campo elétrico
MÓDULO 3
Calcular o potencial elétrico de cargas contínuas
MÓDULO 4
Calcular a capacitância
INTRODUÇÃO
A Eletrodinâmica Clássica é a interação fundamental com que experimentamos e observamos a natureza do universo. Nossa ciência e tecnologia
necessitam desses conhecimentos para continuar progredindo. Vamos generalizar e aprofundar o tema da Eletrostática para distribuições contínuas de
cargas elétricas, compreender uma das leis fundamentais da natureza, a Lei de Gauss, e aplicar esses conhecimentos a alguns de seus subprodutos,
o cálculo de potenciais elétricos e capacitâncias: o início da tecnologia elétrica. Bons estudos!
MÓDULO 1
 Identificar o campo elétrico de cargas contínuas
LEI DE GAUSS E SUAS APLICAÇÕES
INTRODUÇÃO
A Eletrostática não se limita ao estudo dos princípios e fenômenos de cargas e campos elétricos de distribuições discretas de cargas. Na verdade,
podemos generalizar esses conceitos para fenômenos nos quais as cargas elétricas estão continuamente distribuídas, formando um continuum de
cargas elétricas e seus campos. Certamente, as cargas elétricas são discretizadas, individuais, como sabemos da Física Microscópica, mas vamos
considerar que tenhamos tantas cargas elétricas e tão próximas, umas das outras, que possamos considerá-las distribuídas continuamente.
 VOCÊ SABIA
Pense na circunstância de um fluido. Sabemos que um corpo fluídico é composto por moléculas que podem ser individualizadas, mas no conjunto
formam uma substância fluídica.
Então, vamos utilizar essa aproximação e tratar de conjuntos contínuos de cargas elétricas, nos quais não mais individualizaremos as cargas elétricas
de partículas, mas de corpos elétricos carregados por cargas elétricas distribuídas formando um continuum de cargas, isto é, distribuições contínuas
de cargas elétricas e suas densidades de cargas, que já vamos definir.
 
Fonte: James Kirkikis/Shutterstock
Para distribuições de cargas elétricas discretas, definimos o campo eletrostático, por meio da Lei de Coulomb e do princípio de superposição, em que
o campo resultante, medido em certo ponto P, é o somatório dos campos de cada carga fonte individualizada.
→
E ( R ) ≡
1
4Π∈ 0 ∑
N
I = 1
QI
R
2
I
ˆ
RI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas se as cargas elétricas formarem um continuum de cargas, precisaremos alterar nossa definição de campo elétrico, na qual substituiremos o
somatório, que indica a discretização das cargas e posições destas, por uma integral, que indica um continuum de elementos de carga e funções
contínuas de posição.
DISCRETIZAÇÃO
Ato ou efeito de discretizar ou de transformar uma distribuição contínua em unidades individuais.
→
E ( R ) =
1
4Π∈ 0 ∫
1
R2
ˆ
RDQ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os elementos de carga elétrica, dq, são usualmente definidos em termos de densidades de cargas elétricas. Na equação acima, r indica a distância de
cada elemento de carga dq ao ponto de medida do campo, e 
ˆ
r é o vetor unitário direcional de cada elemento de carga ao mesmo ponto de medida do
campo, não sendo, portanto, um vetor unitário constante, e assim devem ser considerados na integração.
DEMONSTRAÇÃO
Para demonstrar como se processa o cálculo do campo eletrostático para distribuições contínuas de cargas elétricas, precisamos demonstrar como
definir o que são densidades de cargas elétricas e seu campo elétrico associado.
javascript:void(0)
DENSIDADES DE CARGAS ELÉTRICAS
Os materiais elétricos, ou eletrizáveis, podem conter cargas elétricas distribuídas de três formas distintas: linearmente, superficialmente ou
volumetricamente. Essencialmente, será a relação da carga do material, em uma região delimitada do espaço com simetria linear, superficial ou
volumétrica, com sua geometria.
I - DENSIDADE LINEAR DE CARGAS Λ :
dq = λ dl 
II - DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS Σ:
dq=σ dA → σ= dqdA
III - DENSIDADE VOLUMÉTRICA DE CARGAS 
Ρ:
dq=ρ dV→ ρ= dqdV
Em que dl é o elemento de comprimento ao longo de uma linha, dA é o elemento de área de uma superfície e dV é o elemento de volume.
Assim, sempre que tivermos um material carregado num continuum de cargas, para cada simetria de um problema e sua densidade de cargas,
teremos uma configuração do campo eletrostático. Devemos atentar para o fato de que as cargas são estáticas e conservadas, ou seja, dizemos que a
totalidade das cargas elétricas com que lidamos na Eletrostática é estacionária.
CAMPO ELETROSTÁTICO PARA DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE
CARGAS ELÉTRICAS (LEI DE COULOMB)
A) E→R PARA DISTRIBUIÇÕES LINEARES DE CARGAS:
 
B) E→R PARA DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS DE CARGAS:
 
C) E→R PARA DISTRIBUIÇÕES VOLUMÉTRICAS DE CARGAS:
 
Ainda vamos definir os conceitos de materiais condutores.
 COMENTÁRIO
Os materiais carregados podem possuir diferentes densidades de cargas em suas geometrias, definidas por regiões de carga, mas para este tema,
vamos aplicar a problemas com densidades de cargas constantes ou de funções simples.
Em quaisquer das situações de simetrias e geometrias, é usualmente conveniente trabalhar com elementos de campo elétrico e, ao final, integrá-los
para o campo resultante:
E→R =∫DE→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
MÃO NA MASSA
1. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE NUM PONTO P, SOBRE A MEDIATRIZ DE UM SEGUIMENTO DE
RETA UNIFORMEMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE LINEAR DE CARGA, Λ, CONSTANTE E COMPRIMENTO L.
A) E(y)→=2kλy LL2+ x2 j^
B) E(y)→=2kλy yr2+ y2 j^
C) E(y)→=2kλx2 LL2+ y2 i^
D) E(y)→=2kλy LL2+ y2 j^
2. CONSIDERE UM SEGUIMENTO DE RETA UNIFORMEMENTE CARREGADO, AO LONGO DO EIXO DOS X, COM
DENSIDADE LINEAR DE CARGA, Λ, CONSTANTE E COMPRIMENTO L. MAS DIFERENTEMENTE DO PROBLEMA
ANTERIOR, CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE NUM PONTO P, AO LONGO DO EIXO DOS Y,
CONSIDERANDO QUE A ORIGEM, 0, DO SISTEMA COORDENADO, XY, ESTÁ À ESQUERDA DO CORPO
CARREGADO, E O COMPRIMENTO L, QUANDO MEDIDO DE P0, ESTÁ DELIMITADO PELOS ÂNGULOS Θ1< Θ2.
A) E→=k λy[(cosθ2-cosθ1)i^+(senθ2-senθ1) j^] 
B) E→=k λy2[(senθ2-senθ1)i^+(cosθ2-cosθ1) j^]
C) E→=k λy[(cosθ2-senθ1)i^+(cosθ2-senθ1) j^]
D) E→=k λr2[(cosθ2-cosθ1)i^+(senθ2-senθ1) j^]
3. UM ANEL CIRCULAR FOI HOMOGENEAMENTE CARREGADO, TEM DENSIDADE LINEAR DE CARGA Λ,
CONSTANTE, CARGA TOTAL Q E RAIO R. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE EM UM PONTO P AO
LONGO DO SEU EIXO AXIAL, Z.
A) E(p)→=k Q2(R2+ z2)3/2 r^
B) E(p)→=k Q z(R2+ z2)3/2 z^
C) E(p)→=k Q r2 r^
D) Ep→=k Q RR2+ z232 z^
4. UM DISCO HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE,
PODE SER CONSTRUÍDO COMO UMA SUCESSÃO DE ANÉIS CONCÊNTRICOS, FAZENDO O RAIO, R, DOS ANÉIS
VARIAR DESDE A ORIGEM ATÉ O RAIO R. CONSIDERANDO ISSO, CALCULE O CAMPO ELÉTRICO DESSE DISCO,
NUM PONTO P AO LONGO DO SEU EIXO AXIAL, Z.
A) E(p)→=k Q z(R2+ z2)3/2 z^
B) E(p)→=2 π k σ z [ 1R2+ z21/2] z^
C) E(p)→=2 π k σ [ 1z- 1R2+ z21/2] z^
D) E(p)→=2 π k σ z [ 1z- 1R2+ z21/2] z^
5. CONSIDERE UMA CASCA ESFÉRICA, OCA, HOMOGÊNEA, DE RAIO R, E SUPERFICIALMENTE CARREGADA COM
UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE. CALCULE, VIA LEI DE COULOMB, O SEU CAMPO
ELÉTRICORESULTANTE EXTERNO À CASCA, COM R≥R.
A) E(p)→=k Q S2 S^
B) E(p)→=k Q R2 r^
C) E(p)→=k Q r2 r^
D) E(p)→=k Q r r^
6. UM FIO HOMOGENEAMENTE CARREGADO TEM UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE E ESTÁ
ENCURVADO AO MODO DE UM ARCO CIRCULAR DE ÂNGULO 2Θ0 E RAIO R, SIMETRICAMENTE EM RELAÇÃO AO
EIXO Y. CALCULE A COMPONENTE, NÃO NULA, DE SEU CAMPO ELÉTRICO, NO CENTRO DO ARCO, NA ORIGEM
DO SISTEMA COORDENADO XY.
A) Exp= 2 k λθ0senθ0
B) Eyp= 2 k λR2cosθ0
C) Eyp= 2 k λRsenθ0
D) Erp= 2 k λR2senθ0
GABARITO
1. Calcule o campo elétrico resultante num ponto P, sobre a mediatriz de um seguimento de reta uniformemente carregado, com densidade
linear de carga, λ, constante e comprimento L.
CAMPO DO SEGMENTO DE RETA
2. Considere um seguimento de reta uniformemente carregado, ao longo do eixo dos x, com densidade linear de carga, λ, constante e
comprimento L. Mas diferentemente do problema anterior, calcule o campo elétrico resultante num ponto P, ao longo do eixo dos y,
considerando que a origem, 0, do sistema coordenado, xy, está à esquerda do corpo carregado, e o comprimento L, quando medido de P0,
está delimitado pelos ângulos θ1< θ2.
A alternativa "A " está correta.
dE→=dExı^+dEyȷ^=kdqr2r^dEx=k dqr2sinθdEy=k dqr2cosθdq=λdxcos θ=yr ; r2=x2+y2tg θ=xy ⇒ dx=y sec2θ dθsec θ=ry
dEx=-k dqr2sin θ dEx=-k sin θr2λysec2 θ dθ dEx=-k sinθr2λyr2y2dθdEx=-
k sinθyλ dθ dEy=k cos θr2λysec2 θdθdEy=kcos θr2λyr2y2⋅dθdEy=kcos θyλdθ
Ex=-∫θ1θ2kλysen θdθ=kλycos θ2-cos θ1Ey=∫θ1θ2kλycos θdθ=kλysin θ2-sin θ1E→=Exı^+Eyȷ^E→=kλy[ cos θ2-cos θ1ı^+(sen θ2-sin θ1) ȷ^ ]
3. Um anel circular foi homogeneamente carregado, tem densidade linear de carga λ, constante, carga total Q e raio R. Calcule o campo
elétrico resultante em um ponto P ao longo do seu eixo axial, z.
A alternativa "B " está correta.
CAMPO DO ANEL
4. Um disco homogeneamente carregado, com densidade superficial de cargas, σ, constante, pode ser construído como uma sucessão de
anéis concêntricos, fazendo o raio, r, dos anéis variar desde a origem até o raio R. Considerando isso, calcule o campo elétrico desse disco,
num ponto P ao longo do seu eixo axial, z.
A alternativa "D " está correta.
CAMPO DO DISCO
5. Considere uma casca esférica, oca, homogênea, de raio R, e superficialmente carregada com uma densidade superficial de cargas, σ,
constante. Calcule, via Lei de Coulomb, o seu campo elétrico resultante externo à casca, com r≥R.
A alternativa "C " está correta.
Vamos calcular a contribuição ao campo, no ponto P externo, de cada anel na casca, de área dA=2 πR2senθ dθ (de perímetro 2 π Rsenθ e largura
R dθ). Devemos encontrar um vínculo entre as três variáveis θ,α e S, para simplificar a integração, que será feita na variável S. A soma de todas as
contribuições de campo resultam não-nulas somente na direção radial esférica, por simetria do problema. A carga total será Q=σ(4πR2). O campo
externo será, incrivelmente, como o de uma partícula carregada. Partiremos da relação da lei dos cossenos, S2=r2+R2-2rRcosθ, aplicada ao problema
e depois obteremos a sua derivada. Também usaremos a outra relação da lei dos cossenos, ao problema, dada por R2=r2+S2-2rScos α, ambas para
expressar os vínculos entre θ, α e S.
S2=r2+R2-2rR cosθ2S dS=2rR senθ dθsenθ dθ=S dSrRR2=r2+S2-2rS cosαcos α=-R2+S2+r22rS
dq=σ dA=2πσR2sen θdθdErp=k dqs2cos αdErp=k2πσR2S2sen θdθ cos αdErp=k2πσR2S2⋅SdSrR⋅-R2+S2+r22rSdErp=kσπRr2⋅S2+r2-
R2S2dSdErp=kσπRr21+r2-R2S2dS
Erp=∫dErErp=kσπRr2S-(r2-R2)S(r-R)(r+R)Erp=kσ4πR2r2=kQr2E →p=Erp r^E →p=kQr2r^
6. Um fio homogeneamente carregado tem uma densidade linear de cargas, λ, constante e está encurvado ao modo de um arco circular de
ângulo 2θ0 e raio R, simetricamente em relação ao eixo y. Calcule a componente, não nula, de seu campo elétrico, no centro do arco, na
origem do sistema coordenado xy.
A alternativa "C " está correta.
A componente x do campo será nula, com a simetria do problema. Somente a componente y não será nula, na origem. O elemento do arco será
dl=R dθ. Vamos integrar de -θ0 a θ0.
E→(p)=Exp ı^+Eyp ȷ^Ex(p)=0Ey(p)=∫dEy(p)dEy(p)=kdqR2cos θ
dq=λdl=λRdθdEy(p)=kλRR2cos θdθEy(p)=∫-θ0θ0kλRcos θdθEy(p)=2kλRsen θ0
TEORIA NA PRÁTICA
Aplicação: Uma das importantes aplicações práticas da Eletrostática diz respeito a esse problema. Considere uma casca esférica, oca, homogênea, de
raio R, e superficialmente carregada com uma densidade superficial de cargas, σ, constante. Calcule, via Lei de Coulomb, o seu campo elétrico interno
à casca, com r<R.
RESOLUÇÃO
Já fizemos um problema semelhante, porém para o cálculo do campo externo à casca esférica. Todos os passos são idênticos, até antes da
integração final. Retomemos aquele resultado. Vamos, então, posicionar o ponto P dentro da casca e alterar os limites de integração em S para
esses pontos internos à casca, de (R-r) a (R+r).
Etapa 1
DERP=KΣΠRR21+R2-R2S2DS
ER(P)=∫DER
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Etapa 2
ERP=KΣΠRR2S-(R2-R2)S(R-R)(R+R)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Etapa 3
ERP=KΣΠRR2R+R-R-R-R2-R2R+R+R2-R2R-R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Etapa 4
ERP=KΣΠRR22R-R+R-R-R=0
E→P=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
O campo elétrico interno a uma superfície esférica, oca e homogeneamente carregada é nulo. Esse fenômeno de blindagem eletrostática, muito
utilizado tecnologicamente, tem o nome de Gaiola de Faraday. Perturbações elétricas externas à casca fechada não afetam o campo elétrico interno à
casca, que continua nulo.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE NOVAMENTE UM SEGUIMENTO DE RETA UNIFORMEMENTE CARREGADO, AO LONGO DO EIXO DOS
X, COM DENSIDADE LINEAR DE CARGA Λ E COMPRIMENTO L. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE NUM
PONTO P, AO LONGO DO EIXO DOS Y, CONSIDERANDO QUE A ORIGEM, 0, DO SISTEMA COORDENADO, XY, ESTÁ
À ESQUERDA DO CORPO CARREGADO, E SEU COMPRIMENTO L, QUANDO MEDIDO DE P0 , ESTÁ DELIMITADO
PELOS ÂNGULOS Θ1 < Θ2. COM ESSE VETOR CAMPO ELÉTRICO OBTIDO, FAÇA SEU COMPRIMENTO L TENDER A
INFINITO E RESPONDA: QUAL É O CAMPO ELÉTRICO GERADO POR ESSA RETA HOMOGENEAMENTE
CARREGADA, COM DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, E COMPRIMENTO INFINITO? UMA RETA INFINITA.
A) E→= 2 k λysen θ j^
B) E→= 2 k λy j^
C) E→= 0
D) E→= 2 k λx j^
2. CONSIDERE NOVAMENTE UM DISCO HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE SUPERFICIAL DE
CARGAS, Σ, QUE PODE SER CONSTRUÍDO COMO UMA SUCESSÃO DE ANÉIS CONCÊNTRICOS, FAZENDO O RAIO
DOS ANÉIS VARIAR DESDE A ORIGEM ATÉ O RAIO R. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO DESSE DISCO, NUM PONTO
P AO LONGO DO SEU EIXO AXIAL, Z. COM ESSE VETOR CAMPO ELÉTRICO OBTIDO, FAÇA SEU RAIO R TENDER A
INFINITO E RESPONDA: QUAL É O CAMPO ELÉTRICO GERADO POR ESSE PLANO HOMOGENEAMENTE
CARREGADO, COM DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ CONSTANTE, E COM DIMENSÃO INFINITA? UM
PLANO INFINITO.
A) Ep→=∞
B) Ep→=(2πkσ z) z^
C) Ep→=(2πkσ) z^
D) Ep→=0
GABARITO
1. Considere novamente um seguimento de reta uniformemente carregado, ao longo do eixo dos x, com densidade linear de carga λ e
comprimento L. Calcule o campo elétrico resultante num ponto P, ao longo do eixo dos y, considerando que a origem, 0, do sistema
coordenado, xy, está à esquerda do corpo carregado, e seu comprimento L, quando medido de P0 , está delimitado pelos ângulos θ1 < θ2.
Com esse vetor campo elétrico obtido, faça seu comprimento L tender a infinito e responda: Qual é o campo elétrico gerado por essa reta
homogeneamente carregada, com densidade linear de cargas, λ, e comprimento infinito? Uma reta infinita.
A alternativa "B " está correta.
 
A partir da figura, e refazendo esse problema, temos o campo elétrico no ponto P:
Ex=-∫θ1θ2kλysen θdθ=kλy(cosθ2-cosθ1)Ey=∫θ1θ2kλycos θdθ=kλy(sin θ2-sin θ1)E→=Exı^+Eyȷ^E→=kλy(cos θ2-cos θ1)ı^+(sen θ2-sin θ1)ȷ^
Se fizermos θ1→ - π2 e θ2→π/2,, o seguimento de reta carregado, L, tenderá à dimensão infinita.A componente horizontal, na direção x, irá
desacoplar, anulando-se. A componente vertical, na direção y, se somará, resultando em:
E→=2kλyȷ^
Ou seja, o campo elétrico será inversamente proporcional à distância da linha infinita carregada e não haverá mais a informação angular. Esse
resultado é importante tecnologicamente quando a distância da fonte do campo é muito menor que a extensão da linha carregada e pudermos excluir
efeitos de contorno das extremidades da linha
2. Considere novamente um disco homogeneamente carregado, com densidade superficial de cargas, σ, que pode ser construído como uma
sucessão de anéis concêntricos, fazendo o raio dos anéis variar desde a origem até o raio R. Calcule o campo elétrico desse disco, num
ponto P ao longo do seu eixo axial, z. Com esse vetor campo elétrico obtido, faça seu raio R tender a infinito e responda: Qual é o campo
elétrico gerado por esse plano homogeneamente carregado, com densidade superficial de cargas, σ constante, e com dimensão infinita? Um
plano infinito.
A alternativa "C " está correta.
 
A partir da figura, e refazendo esse problema, temos o campo elétrico no ponto P:
dE→(p)=kz dq(r2+z2)3/2z^dq=σdA=σ2πr drdEz(p)=kz(r2+z2)3/2σ2πr drEz(p)=∫dEz(p)Ez(p)=kzσπ∫0R2r(r2+z2)3/2drEz(p)=kzσπ[(r2+z2)-1/2]
(-1/2)]0RE→(p)=2πk z σ[1z-1R2+z2]z^
Se fizermos R→∞, o disco carregado tenderá à dimensão infinita, um plano infinito carregado. O segundo termo da componente axial do campo
elétrico, na direção z, se anulará, restando uma constante no primeiro termo:
E→p=2πkσ z^
Nessa solução e nesse limite de plano infinito, não podemos utilizar a carga total, que seria infinita. Assim, temos a densidade superficial de cargas
para designar a fonte do campo elétrico. Esse resultado é fundamental, tecnologicamente, para os fenômenos de capacitância que veremos à frente,
quando a distância de separação, ao quadrado, entre as placas de um capacitor é muito menor que a área dessas placas.
MÓDULO 2
 Aplicar a Lei de Gauss do campo elétrico
INTRODUÇÃO
Sabemos que cargas elétricas, numa distribuição discreta ou contínua, são fonte de campo elétrico mediador da interação elétrica. Também sabemos
que os campos elétricos podem ser representados por linhas de força que “nascem ou morrem” em cargas. Usamos uma convenção na qual cargas
positivas originam linhas de campo repulsivo e cargas negativas recebem linhas de campo atrativo:
Para cada distribuição de cargas elétricas, teremos uma estrutura de campo elétrico diferente. Cargas puntuais geram uma estrutura de campo elétrico
divergente, como nas figuras anteriores. Para outras distribuições de cargas, teremos outras estruturas de campo elétrico. Quanto maior a carga, mais
linhas de campo teremos, (N ~ q).
 
Fonte: Autor
O campo elétrico de cargas puntuais e sua força elétrica se comportam radialmente como ~ 1/r2, descrito pela Lei de Coulomb. A magnitude do campo
(seu módulo) é proporcional à densidade de linhas, que é o número de linhas de campo por área perpendicular atravessada pelas linhas,
(δ ~NA ~q4πr2 ~ E→). .
Quanto maior essa densidade, onde as linhas são mais próximas, mais intenso o campo. Quanto menor a densidade de linhas, menos intenso o
campo. À medida que nos afastamos das cargas puntuais, as linhas de campo se distanciam, umas das outras, diminuindo sua densidade com o
mesmo comportamento coulombiano do campo, e na proporção inversa do crescimento da área esferossimétrica ocupada por essas linhas.
Então, vamos enumerar o que sabemos sobre linhas de campo elétrico:
O número de linhas de campo elétrico é proporcional à carga elétrica, (N ~ q).
As linhas de campo elétrico de cargas puntuais isoladas são radialmente simétricas, a cada raio esférico ocupando áreas descritas por
A=4πr 2.
As linhas de campo são emitidas ou absorvidas por cargas elétricas.
A densidade de linhas é proporcional à magnitude do campo, (δ ~NA ~q4πr2 ~ E→).
Duas ou mais linhas não se interceptam, o que indicaria que uma mesma linha teria mais de uma fonte.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Assim, determinado número de linhas de campo elétrico, em uma distância radial esférica, atravessará certa calota de área na superfície esférica de
mesmo raio, em um ângulo sólido. O mesmo número de linhas de campo, em outro raio esférico maior, atravessará uma calota da superfície esférica,
com o mesmo ângulo sólido, de área proporcional ao quadrado do novo raio. Isso significa que, para termos o mesmo número de linhas, em raios
diferentes, cuja magnitude do campo cai com o quadrado do raio, será preciso aumentar a área de ocupação dessas linhas com o quadrado do novo
raio. O comportamento do campo (~1r2), será anulado pelo crescimento da área ~ r2, para termos o mesmo número de linhas de campo elétrico em
raios diferentes, como na figura.
 
Fonte: Autor
FLUXO DE CAMPO ELÉTRICO
Vamos qualificar e quantificar as linhas de campo elétrico em termos matemáticos com significação fenomenológica. Para isso, vamos definir a
grandeza fluxo de campo elétrico, Φ, como proporcional ao número de linhas de campo, que é proporcional à carga elétrica. Assim, o fluxo de campo
será:
 
Fonte: autor
Mas,
N ~ E→ A

Pois, como explicado anteriormente sobre as linhas de campo, 
δ ~NA ~q4πr2 ~ E→

Então, Φ=|E→|A≈q
O fluxo de campo é entendido como o número de linhas de campo elétrico que atravessam a superfície de área A.
Essa definição de fluxo de campo elétrico funciona bem para o caso de campos elétricos, E→, que atravessam perpendicularmente uma área, A,
como na figura a), a seguir.
 
Fonte: Autor

 
Fonte: Autor
Repare que essa primeira definição de Fluxo de Campo, não satisfaz a situação da figura b), anterior, do fluxo através de uma superfície curva, em
que para cada elemento de área, dA, descrito sobre a superfície em cada ponto, tem-se um vetor unitário normal diferente, n^. Assim, devemos
redefinir o fluxo de campo como a integral dos elementos de fluxo de campo, dΦ, definidos sobre cada elemento de área, dA, com seu vetor unitário
normal, n^, por meio do produto escalar com o campo E→. Contribuirá ao fluxo, a componente de área (n^ dA) projetada na direção do campo E→.
DΦ= E→.N^ DA 
Φ=∫DΦ=∫E→.N^ DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o fluxo de campo elétrico através de qualquer superfície aberta é igual ao número de linhas de campo que atravessam essa superfície, podemos
definir o fluxo total que será igual ao número líquido de linhas de campo elétrico que atravessam a superfície fechada, isto é, o número de linhas
que saem subtraído do número de linhas que entram na superfície fechada.
javascript:void(0)
SUPERFÍCIE FECHADA
Superfície fechada é aquela que envolve completa e tridimensionalmente as cargas fonte do campo.
O fluxo total será a soma “líquida” do fluxo positivo, com campo E→ orientado para fora da superfície fechada, subtraído do fluxo negativo, com campo
E→ orientado para dentro da superfície fechada:
ΦTOTAL=∮C DΦ= ∮C E→.N^ DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que c, define a superfície matemática sobre a qual a integral deve ser calculada, chamada de superfície gaussiana e n^ é o vetor normal a cada
ponto dessa gaussiana.
Mas para que serve essa construção do fluxo de campo elétrico total? A resposta é a Lei de Gauss e a sua aplicação imediata é o cálculo do campo
elétrico.
DEMONSTRAÇÃO
Aplicação: Uma carga elétrica puntual, q, fonte do campo elétrico descrito pela Lei de Coulomb,E→= 14πϵ0qr2 r^, está na origem de um sistema
coordenado. Calcule o fluxo de campo elétrico total sobre uma superfície matemática esférica fechada de raio R, centrada na mesma origem.
Considere a medida de integração de superfície, dA, em coordenadas esféricas (r,θ,ϕ):dA= r2sen θ dθ dϕ.
Resposta 1:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
Nesta primeira solução, mais simples, vamos considerar que, como o fluxo serácalculado ao longo da superfície gaussiana esférica de raio R, seu
campo elétrico terá módulo constante, com r=R, o vetor unitário normal à superfície esférica será n^ = r^ , e o campo E→= 14πϵ0qR2 r^.
Então, como r^.n^=1, pois o vetor unitário n^ tem a mesma direção e sentido de r^, e o raio da superfície esférica de cálculo (gaussiana), sobre a qual
se está calculando o fluxo, é constante, r=R, temos:
Φtotal= ∮c E→.n^ dA= ∮c 14πϵ0qR2 (r^.n^) dA
Φtotal= ∮c 14πϵ0qR2 dA=14πϵ0qR2∮c dA
Φtotal=14πϵ0qR2 4πR2=qϵ0= 4π k q
Este é o resultado da Lei de Gauss. O fluxo de campo elétrico total Φtotal=qϵ0= 4π k q, independente do raio r. O número de linhas de campo elétrico
será o mesmo para qualquer raio esférico. Na verdade, apesar de não ter sido demonstrado, o fluxo total é o mesmo qualquer que seja a superfície
fechada que envolva a carga q, não se limitando à esfera.
Resposta 2:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
Nesta segunda solução, vamos calcular a integral do fluxo total com medida de integração de superfície, em coordenadas esféricas,
dA= r2sen θ dθ dϕ, para qualquer raio da superfície esférica de integração.
 
Fonte: Autor
Φtotal= ∮c E→.n^ dA= ∮c 14πϵ0qr2 (r^.r^) dA
Φtotal= ∮c 14πϵ0qr2 r2sen θ dθ dϕ
Φtotal=14πϵ0q ∫0πsen θ dθ ∫02πdϕ
Em que
0<θ<π; 0<ϕ<2π; ∫0πsen θ dθ=[-cos π+cos 0]=2; ∫02πdϕ=2π 
Logo,
Φtotal=14πϵ0q 4π= qϵ0=4π k q
Assim, definimos a Lei de Gauss:
ΦTOTAL= ∮C E→.N^ DA=QINT.Ε0=4Π K QINT.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que qint. é a carga elétrica total interna à superfície gaussiana c, de integração.
SUPERFÍCIE GAUSSIANA C
Atenção: A superfície gaussiana é uma superfície matemática de integração, ao longo da qual realizamos a integral. Sua função é fornecer o
suporte para o cálculo da integral.
A Lei de Gauss é uma das leis fundamentais da Eletrodinâmica Clássica, será sempre válida quando houver campo elétrico, mas, para o propósito de
cálculo do campo elétrico, somente será útil quando tivermos elevado grau de simetria no problema, para a escolha da superfície gaussiana, de forma
que o módulo do campo seja constante ao longo dessa superfície de integração.
De outra forma, se um sistema físico não tiver as simetrias esférica, cilíndrica ou plana, será mais simples a utilização da Lei de Coulomb e seus
métodos quando o propósito for o cálculo do campo. Esse resultado da Lei de Gauss, no qual o fluxo de campo total só depende da fonte do campo,
só foi possível devido ao comportamento da Lei de Coulomb, com 1/r2.
Assim, também por similaridade de comportamento 1/r2, podemos escrever uma Lei de Gauss para a Gravitação Universal de Newton, em que:
javascript:void(0)
ΦTOTAL= ∮C G→.N^ DA=-4Π G MINT. SENDO MINT. 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo mint. a massa interna à superfície gaussiana c.
MÃO NA MASSA
1) SE UMA CARGA ELÉTRICA FONTE, Q, ESTIVER POSICIONADA NA ORIGEM, 0, DE UM SISTEMA COORDENADO,
CALCULE SEU CAMPO ELÉTRICO A UMA DISTÂNCIA RADIAL ESFÉRICA, R, DESSA ORIGEM, POR MEIO DA
APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS. CONSIDERE K A CONSTANTE DE COULOMB.
A) E(r)→= kqr r^
B) E(r)→= kqr2 r^
C) E(r)→= qr2 r^
D) E(r)→= kq2r2 r^
2. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO GERADO POR UMA LINHA RETILÍNEA INFINITA, CARREGADA POSITIVAMENTE,
COM DENSIDADE LINEAR DE CARGA UNIFORME, Λ, AO LONGO DO EIXO AXIAL CILÍNDRICO Z, POR MEIO DA
APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS.
A) E(r)→=2kλr2r^
B) E(r)→=λr2r^
C) E(r)→=qrr^
D) E(r)→=2kλrr^
3. UMA SUPERFÍCIE PLANA DE DIMENSÕES INFINITAS FOI CARREGADA COM UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA E
UNIFORME DE CARGAS ELÉTRICAS POSITIVAS DE MODO A APRESENTAR UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE
CARGAS, Σ, CONSTANTE. CALCULE O CAMPO ELÉTRICO GERADO A PARTIR DESSE PLANO, EM UM PONTO P
QUALQUER, AO LONGO DE SUA DIREÇÃO NORMAL (PERPENDICULAR AO PLANO), POR MEIO DA APLICAÇÃO DA
LEI DE GAUSS.
A) E(p)→= 2 πk σ z^
B) E(p)→= kqr2 r^
C) E(p)→= 4π k q
D) Ep→= k Q zR2+ z232 z^
4. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, DE RAIO R, OCA, DE COMPRIMENTO INFINITO, CARREGADA UNIFORMEMENTE
COM UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE. OBTENHA O CAMPO ELÉTRICO, POR MEIO DA LEI DE
GAUSS, EXTERNAMENTE À CASCA, NO QUAL R>R.
A) E(r)→=2kλr2 r^
B) E(r)→=2kλr r^
C) E(r)→=λr2 r^
D) E(r)→=qr r^
5. UMA CASCA ESFÉRICA HOMOGÊNEA E UNIFORMEMENTE CARREGADA, DE RAIO ESFÉRICO R, POSSUI CARGA
TOTAL Q. CALCULE, POR MEIO DA LEI DE GAUSS, SEU CAMPO ELÉTRICO EXTERNO, EM QUE R>R.
A) E(r)→= kQr r^
B) E(r)→= Qr2 r^
C) E(r)→= kQ2r2 r^
D) E(r)→= kQr2 r^
6. CONSIDERE UMA PLACA DE ESPESSURA D, E ÁREA A, DE UM MATERIAL CONDUTOR ELÉTRICO. UM
CONDUTOR ELÉTRICO É UM MATERIAL CAPAZ DE TRANSPORTAR CARGAS ELÉTRICAS COM BAIXO CUSTO
ENERGÉTICO AO SISTEMA FÍSICO. UM CONDUTOR IDEAL É UM MATERIAL IDEALIZADO, HIPOTÉTICO, ONDE
CARGAS LIVRES, TAMBÉM CHAMADAS DE CARGAS DE VALÊNCIA, PODEM CIRCULAR LIVREMENTE POR TODA A
SUPERFÍCIE DO MATERIAL. CADA ELEMENTO ATÔMICO QUE COMPÕE UM MATERIAL CONDUTOR POSSUI AO
MENOS UM ELÉTRON LIVRE QUE PODE TRANSITAR POR TODA A SUPERFÍCIE DO MATERIAL. NÃO VAMOS
CONSIDERAR A EXISTÊNCIA DE IMPUREZAS NO MATERIAL. ENTÃO, PERGUNTA-SE: QUAL É A INTENSIDADE DO
CAMPO ELÉTRICO NO INTERIOR DE UM CONDUTOR IDEAL?
A) E(p)→= 2 πk σ z^
B) E(p)→= kqr2 r^
C) E(p)→= 0
D) Ep→= k Q zR2+ z232 z^
GABARITO
1) Se uma carga elétrica fonte, q, estiver posicionada na origem, 0, de um sistema coordenado, calcule seu campo elétrico a uma distância
radial esférica, r, dessa origem, por meio da aplicação da Lei de Gauss. Considere k a constante de Coulomb.
A alternativa "B " está correta.
Vamos definir uma superfície gaussiana de integração esférica, pois o problema da partícula puntual apresenta simetria esférica. Com a simetria do
problema, o campo elétrico terá direção radial esférica, e também o vetor normal, n^, à superfície de integração. O campo será calculado a partir da
superfície, c, escolhida, mas, ao final, poderemos generalizar a solução para qualquer raio. Repare que definiremos a superfície gaussiana de acordo
com a simetria do problema e de modo que o campo tenha módulo constante ao longo de toda a superfície c. Ao final, encontraremos a solução da Lei
de Coulomb para a partícula puntual.
ϕtot.=∮c E→⋅n^ dA=4πkqE→=|E→|r^E→⋅n^=|E→|∮c |E→|dA=4πkq|E→|c4πr2=4πkqE→(r)=kqr2r^
2. Calcule o campo elétrico gerado por uma linha retilínea infinita, carregada positivamente, com densidade linear de carga uniforme, λ, ao
longo do eixo axial cilíndrico z, por meio da aplicação da Lei de Gauss.
A alternativa "D " está correta.
CAMPO DA RETA
3. Uma superfície plana de dimensões infinitas foi carregada com uma distribuição contínua e uniforme de cargas elétricas positivas de
modo a apresentar uma densidade superficial de cargas, σ, constante. Calcule o campo elétrico gerado a partir desse plano, em um ponto P
qualquer, ao longo de sua direção normal (perpendicular ao plano), por meio da aplicação da Lei de Gauss.
A alternativa "A " está correta.
CAMPO DO PLANO INFINITO
4. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca, de comprimento infinito, carregada uniformemente com uma densidade linear de cargas, λ,
constante. Obtenha o campo elétrico, por meio da Lei de Gauss, externamente à casca, no qual r>R.
A alternativa "B " está correta.
A superfície gaussiana de alto grau de simetria escolhida será outra casca cilíndrica que envolva parte da casca cilíndrica carregada.
ϕtot=∮c E→⋅n^ dA=4πkqintCqintc=λL ∮c E→⋅n^ dA=4πkλLE→=E→r^ E→c2πrL=4πkλLE→⋅n^=E→ E→(p)=2kλrr^
Assim, a solução externa, r > R, é idêntica ao problema da linha infinita carregada. De fato, à distância, com grande raio, os dois problemas coincidem.
5. Uma casca esférica homogênea e uniformemente carregada, de raio esférico R, possui carga total Q. Calcule, por meio da Lei de Gauss,
seu campo elétrico externo, em que r>R.
A alternativa "D " está correta.
A superfície gaussiana de integração escolhida será uma superfície esférica de raior que envolve a casca esférica carregada, cumprindo a exigência
de alto grau de simetria para a aplicação da Lei de Gauss no cálculo do campo elétrico.
ϕtot.=∮c E→⋅n^ dA=4πk qintc E→=E→r^ → E→⋅n^=E→∮c E→dA=4πkQE→c4πr2=4πkQE→r=kQr2r^
6. Considere uma placa de espessura d, e área A, de um material condutor elétrico. Um condutor elétrico é um material capaz de transportar
cargas elétricas com baixo custo energético ao sistema físico. Um condutor ideal é um material idealizado, hipotético, onde cargas livres,
também chamadas de cargas de valência, podem circular livremente por toda a superfície do material. Cada elemento atômico que compõe
um material condutor possui ao menos um elétron livre que pode transitar por toda a superfície do material. Não vamos considerar a
existência de impurezas no material. Então, pergunta-se: Qual é a intensidade do campo elétrico no interior de um condutor ideal?
A alternativa "C " está correta.
Em um condutor, todas as cargas livres circulam nas imediações da superfície do material, formando uma nuvem eletrônica no entorno deste. Seja o
material eletrizado ou em estado de equilíbrio eletrostático (quando o material tem carga total neutra), as cargas livres, que se repelem, transitam em
sua superfície. No caso de condutores ideais, as cargas livres estarão totalmente na superfície. No caso de condutor, haverá uma pequena penetração
(de película) da superfície como região de trânsito das cargas livres. Assim, considerando o material um condutor ideal em equilíbrio eletrostático, a
carga efetiva interna será nula abaixo da superfície, pois somente as cargas livres, que podem transitar, estarão na superfície. Na presença de um
campo elétrico externo, as cargas livres se reorganizam de forma a anular o campo no interior do material e reproduzem esse campo na face oposta,
como na figura a seguir. Então, da Lei de Gauss:
ϕtot=∮c E→⋅n^ dA=4πk qintC
Se traçarmos uma superfície gaussiana no entorno do material, imediatamente abaixo da superfície e contornando todo o material, como as cargas
totais internas à gaussiana serão nulas, o campo elétrico no interior do material será zero. Esse fenômeno caracteriza os materiais condutores,
qualquer que seja sua forma.
qintc=0∮c E→⋅n^ dA=0E→=0
TEORIA NA PRÁTICA
Aplicação: Um condutor ideal maciço tem uma cavidade oca em seu interior, como uma bolha. Uma pequena carga elétrica q foi suspensa, por um fio
não condutor, no interior dessa cavidade oca, sem que a carga toque as paredes da cavidade. Pergunta-se: Qual a carga elétrica induzida na
superfície interna das paredes da cavidade?
RESOLUÇÃO
 
CAMPO DE INDUÇÃO ELETROSTÁTICO
 
ΦTOT=∮CE→⋅N^DA=4ΠK QINTC
 
A superfície C que envolve a cavidade é a superfície gaussiana. Como no interior de um condutor ideal o campo elétrico deve ser nulo, o fluxo total de
campo sobre C será zero e a carga total interna a C deve ser zero. Se há uma carga q, no interior da cavidade, necessariamente haverá uma
densidade de cargas induzidas eletrostaticamente nas paredes internas da cavidade. Esse é o mecanismo da eletrização por indução eletrostática.
Assim, a carga induzida será: 
 
Q=q+q'=0→q'=-q.
 
Fonte: Autor
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA UMA ESFERA MACIÇA, CONTÍNUA E UNIFORMEMENTE CARREGADA, DE RAIO R E DENSIDADE
VOLUMÉTRICA DE CARGAS, Ρ, CONSTANTE. CALCULE, VIA LEI DE GAUSS, O CAMPO ELÉTRICO NO INTERIOR
DESSA ESFERA DENSA E CARREGADA, A UMA DISTÂNCIA R, QUALQUER, DO SEU CENTRO, EM QUE R≤R.
A) E→= -kqr2 r^
B) E→=43 π k ρ r r^
C) E→=43 π k ρ R3r2r^
D) E→=43 π k ρ r3R2 r^
2. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, DE RAIO R, OCA E DE COMPRIMENTO INFINITO, CARREGADA UNIFORMEMENTE
COM UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, CONSTANTE. OBTENHA O CAMPO ELÉTRICO, POR MEIO DA
LEI DE GAUSS, EXTERNAMENTE À CASCA. EXPRESSE A LEI DE GAUSS EM TERMOS DE ΕO.
A) E(r)→=2kσr2r^
B) E(r)→=σ Rϵo rr^
C) E(r)→=σ Rϵo r2z^
D) Er→=σϵo rz^
GABARITO
1. Seja uma esfera maciça, contínua e uniformemente carregada, de raio R e densidade volumétrica de cargas, ρ, constante. Calcule, via Lei
de Gauss, o campo elétrico no interior dessa esfera densa e carregada, a uma distância r, qualquer, do seu centro, em que r≤R.
A alternativa "B " está correta.
 
Vamos aplicar a Lei de Gauss. Para isso, vamos definir uma superfície gaussiana matemática esférica, onde queremos calcular o campo, com a
mesma simetria do problema, exigência do alto grau de simetria para o cálculo do campo por meio da Lei de Gauss. A solução será um campo função
do raio r, para r≤R.
ϕtot=∮c E→⋅n^ dA=4πk qintC qintc=ρVolumecqintc=ρ43πr3 E→=E→r^n^=r^E→⋅n^=E→
∮c E→dA=4πk(ρ43πr3)E→c4πr2=4πkρ43πr3E→r=43πρk rr^
2. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca e de comprimento infinito, carregada uniformemente com uma densidade superficial de cargas,
σ, constante. Obtenha o campo elétrico, por meio da Lei de Gauss, externamente à casca. Expresse a Lei de Gauss em termos de ϵo.
A alternativa "B " está correta.
∮c E→⋅n^ dA=1ϵ0qintcqintc=σAintc=σ 2πR LE→=E→r^ n^c=r^∮c E→r^⋅r^ dA=σϵ02πRLE→c∮c dA=σ 2πRLϵ0E→c2πrL=σϵ02πRLE→c=σRϵ0rE→(r)=
O cálculo do campo na curva gaussiana c permitiu que o módulo do campo fosse retirado da integral, pois é constante ali. Essa é a grande vantagem
do uso da simetria nessa aplicação da Lei de Gauss.
MÓDULO 3
 Calcular o potencial elétrico de cargas contínuas
INTRODUÇÃO
Sabemos, do tema anterior, que a diferença de potencial elétrico é definida como:
 ∆V= VB-VA= -∫ABE→. DL→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que, no caso eletrostático, o trabalho mecânico numa trajetória fechada será nulo, o que equivale à integral acima ser zero quando a = b.
 
Fonte: Autor
∮E→. DL→=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso é válido para campos conservativos, como os campos eletrostáticos. Em termos do potencial elétrico, a diferença de potencial entre um ponto e
ele mesmo, numa trajetória fechada, será zero.
 
Fonte: rafal.dlugosz /Shutterstock
Então, relembrando a definição conceitual do potencial elétrico, em sua forma integral, temos:
Potencial elétrico é o trabalho por unidade de carga, necessário para deslocar uma carga de prova positiva, à velocidade constante, de um ponto de
referência inicial a ao ponto final r, definido por:
VR= -∫ARE→. DL→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo a um ponto de referência espacial onde V(a)=0. O potencial será positivo ou negativo a depender da distribuição de cargas fonte do campo.
Também podemos relembrar a definição equivalente na forma diferencial do potencial elétrico, que é muito útil quando temos a função potencial e
desejamos calcular o campo elétrico. O campo elétrico como o gradiente da função potencial.
E→= -∇→ VR
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o que nos interessa na grandeza potencial elétrico é uma diferença a partir de uma referência de medida de zero potencial, V(a)=0, a cada
problema deveremos identificar, ou convencionar, a referência de potencial zero, já que vamos lidar com distribuições contínuas de cargas elétricas.
Nessas configurações contínuas de cargas, nem sempre a distância infinita será consistente com um potencial nulo de referência, como é suficiente
para distribuições discretas de cargas.
Nossa tarefa, agora, será demonstrar como aplicar o conceito e as definições de potencial elétrico para distribuições contínuas de cargas elétricas.
DEMONSTRAÇÃO
Quando lidamos, no tema anterior, com configurações discretas de cargas elétricas, vimos que o cálculo do potencial elétrico poderia ser realizado por
meio da definição do potencial, nas formas integral ou diferencial, revisitado nas duas equações anteriores, e demonstramos que poderíamos usar o
princípio de superposição dos potenciais de cargas individuais para descrever o potencial de uma distribuição discreta de cargas elétricas, pela
soma dospotenciais de cargas individualizadas:
VP=V1+ V2+V3+…VN= ∑I=1NK QIRI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Com N cargas qi e distâncias ri de cada carga fonte ao ponto de medida p. Assim, o potencial elétrico total de uma distribuição discreta de cargas
elétricas será a superposição dos potenciais individuais de cada fonte qi (princípio de superposição).
No entanto, para distribuições contínuas de cargas elétricas, devemos identificar se a configuração de cargas é finita ou infinita.
Se for uma distribuição contínua e finita de cargas elétricas, pois o número de cargas é finito, como nos problemas da esfera, do anel e do disco, visto
do módulo anterior, o potencial elétrico poderá ser definido e calculado por uma generalização da superposição de potenciais individuais, da equação
anterior.
Assim, o potencial elétrico para configurações contínuas e finitas de cargas elétricas é:
Vp= ∫ k dqr
Que é a integral de todas as contribuições de potenciais dos elementos dq, no intervalo a ser considerado.
Se a distribuição de cargas elétricas for contínua e infinita, como nos casos da reta infinita, do plano infinito e do cilindro infinito, o potencial elétrico
para distribuições contínuas e infinitas de cargas elétricas segue a definição formal de cálculo dos potenciais elétricos, que, aliás, aplica-se em
qualquer situação de configurações de cargas.
VR= -∫ARE→. DL→ OU E→= -∇→ VR
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, a depender da configuração das cargas fonte do campo E→, se discretas ou contínuas, e se forem contínuas, se finitas ou infinitas, teremos
os seguintes métodos de cálculo do potencial elétrico:
 
Fonte: Autor
Agora, vamos à prática!
MÃO NA MASSA
1) UM ANEL DE RAIO R FOI HOMOGENEAMENTE CARREGADO COM DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ,
CONSTANTE. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO, EM UM PONTO P, SOBRE O SEU EIXO AXIAL Z.
A) Vp= k Q(z2+ R2)3/2
B) Vp= k QR
C) Vp= k Q zz2+R2
D) Vp= k Qz2+R2
2. UM DISCO HOMOGENEAMENTE CARREGADO, COM DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, PODE SER
CONSTRUÍDO COMO UMA SUCESSÃO DE ANÉIS CONCÊNTRICOS, FAZENDO O RAIO, R, DOS ANÉIS VARIAR
DESDE A ORIGEM ATÉ O RAIO R. CONSIDERANDO ISSO, CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO DESSE DISCO, NUM
PONTO P, AO LONGO DO SEU EIXO AXIAL Z.
A) Vp= 2π k σ [ z2+ R212-R ]
B) Vp= 2π k σ [ z2+ R212-z ]
C) Vp= 2π k σ z2+ R212 
D) Vp= 2π k σz2+R2
3. UMA CASCA ESFÉRICA HOMOGÊNEA E UNIFORMEMENTE CARREGADA, DE RAIO ESFÉRICO R, POSSUI CARGA
TOTAL Q. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO NO INTERIOR DESSA CASCA ESFÉRICA, PARA A DISTÂNCIA RADIAL
R, EM QUE R<R.
A) Vr=0
B) Vr=k Qr
C) Vr=k Qr2
D) Vr=k QR
4. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO DE UMA LINHA RETILÍNEA, DE COMPRIMENTO INFINITO, CARREGADA COM
UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE, EM UM PONTO P LOCALIZADO PERPENDICULARMENTE À
LINHA.
A) V(r)= -2kλ lnrR
B) V(r)= 0
C) V(r)= k Qr
D) Vr= 2kλ r
5. UMA SUPERFÍCIE PLANA DE DIMENSÕES INFINITAS FOI CARREGADA COM UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA E
UNIFORME DE CARGAS ELÉTRICAS POSITIVAS, DE MODO A APRESENTAR UMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE
CARGAS, Σ, CONSTANTE. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO GERADO A PARTIR DESSE PLANO, EM UM PONTO P
QUALQUER, AO LONGO DE SUA DIREÇÃO NORMAL (PERPENDICULAR AO PLANO).
A) Vp= -2π k σ/z
B) Vp= -2π k/(σ z)
C) Vp= -2π k σ z
D) Vp= -2π k σ
6. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, DE RAIO R, OCA E DE COMPRIMENTO INFINITO, CARREGADA UNIFORMEMENTE
COM UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS, Λ, CONSTANTE. OBTENHA O POTENCIAL ELÉTRICO, POR MEIO DA
LEI DE GAUSS, EXTERNAMENTE À CASCA.
A) V(r)= 0
B) V(r)= -2kλ ln rR
C) Vr= k Qr
D) Vr= 2kλ r
GABARITO
1) Um anel de raio R foi homogeneamente carregado com densidade linear de cargas, λ, constante. Calcule o potencial elétrico, em um
ponto p, sobre o seu eixo axial z.
A alternativa "D " está correta.
Nesse problema, a distribuição de cargas é contínua e finita. Então, vamos usar a definição de potencial elétrico adequada e mais simples, ainda que
se pudesse usar a definição geral. A distância s, dos elementos de carga ao ponto p, na figura seguinte, será sempre constante no entorno do anel.
V(p)=∫kdqss=R2+z2V(p)=∫kdqR2+z2V(p)=kQR2+z2
2. Um disco homogeneamente carregado, com densidade superficial de cargas, σ, pode ser construído como uma sucessão de anéis
concêntricos, fazendo o raio, r, dos anéis variar desde a origem até o raio R. Considerando isso, calcule o potencial elétrico desse disco,
num ponto P, ao longo do seu eixo axial z.
A alternativa "B " está correta.
POTENCIAL DO DISCO
3. Uma casca esférica homogênea e uniformemente carregada, de raio esférico R, possui carga total Q. Calcule o potencial elétrico no
interior dessa casca esférica, para a distância radial r, em que r<R.
A alternativa "D " está correta.
POTENCIAL INTERNO À CASCA ESFÉRICA
4. Calcule o potencial elétrico de uma linha retilínea, de comprimento infinito, carregada com uma densidade linear de cargas, λ, constante,
em um ponto P localizado perpendicularmente à linha.
A alternativa "A " está correta.
O problema da linha infinita carregada já foi discutido quando do cálculo do seu campo elétrico, no módulo anterior, sendo E(r)→=2kλrr^. Como se trata
de um problema com distribuição de cargas contínua e infinita, devemos utilizar a definição geral de potencial elétrico Vr= -∫arE→. dl→. Para definir o
necessário ponto de referência de potencial zero, onde V(a)=0, e verificando que a solução terá comportamento Logaritmo, vamos considerar que a
linha retilínea tenha uma pequena espessura R. Assim, na superfície na linha, o potencial será zero, V(R)=0, pois limr→R ln rR=0, em que R pode ser
bem pequeno.
E→=2kλrr^ 
 
V(r)=-∫E→⋅dl→ 
 
Vr=-∫Rr2kλr'(r^⋅r^)dr' 
 
V(r)=-∫Rr2kλr'dr' 
 
Vr=-2k λ ln rR
5. Uma superfície plana de dimensões infinitas foi carregada com uma distribuição contínua e uniforme de cargas elétricas positivas, de
modo a apresentar uma densidade superficial de cargas, σ, constante. Calcule o potencial elétrico gerado a partir desse plano, em um ponto
P qualquer, ao longo de sua direção normal (perpendicular ao plano).
A alternativa "C " está correta.
POTENCIAL DO PLANO INFINITO
6. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca e de comprimento infinito, carregada uniformemente com uma densidade linear de cargas, λ,
constante. Obtenha o potencial elétrico, por meio da Lei de Gauss, externamente à casca.
A alternativa "B " está correta.
Já trabalhamos, anteriormente, no cálculo do campo elétrico de uma casca cilíndrica infinita com densidade linear de cargas, λ, constante, no qual
obtivemos E→=2kλr r^. Então, por razões semelhantes ao descrito no problema da reta infinita carregada, vamos fixar o potencial zero sobre a
superfície da casca cilíndrica. Assim, para r>R, a solução será semelhante à linha carregada infinita:
Vr=-∫arE→⋅dl→E→r=2kλrr^Vr=-∫Rr2kλr'r^⋅r^ dr'Vr=-2kλ ln (rR)
TEORIA NA PRÁTICA
Considere uma esfera, de raio R e carga total Q, geradora de um potencial elétrico esfericamente simétrico. A cada distância radial esférica, podemos
traçar uma superfície esférica, de raio r, onde o potencial elétrico será o mesmo ao longo de toda essa superfície. Para cada outra superfície
equivalente, de outro raio, centrada na origem, teremos uma superfície de potencial constante. Pergunta-se: Como é possível ter superfícies de
mesmo potencial elétrico e qual a sua utilidade?
RESOLUÇÃO
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
As superfícies de mesmo potencial elétrico, chamam-se superfícies equipotenciais. São aquelas nas quais uma carga de prova pode mover-se
livremente sem alteração de seu potencial elétrico.
 
Fonte: Autor
No caso esférico, o potencial será Vr=k Qr, e para cada raio esférico, teremos uma superfície equipotencial naquele raio, VA,VB,VC,…. As linhas de
campo elétrico E→ serão perpendiculares às superfícies equipotenciais.
Como cargas elétricas somente são aceleradas na presença de diferenças de potencial elétrico, em superfíciesequipotenciais isso não ocorre. E
assim, nenhum pássaro morre quando pousa em uma única linha de tensão elétrica, por exemplo.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA AERONAVE EM VOO, QUANDO ATRAVESSA UMA REGIÃO ATMOSFÉRICA COM ATIVIDADE ELÉTRICA, É
FACILMENTE ATINGIDA POR DIVERSAS DESCARGAS ATMOSFÉRICAS QUE, APESAR DE BUSCAR-SE EVITAR, NÃO
SÃO CAPAZES DE CAUSAR MAIORES DANOS AOS EQUIPAMENTOS, NEM AOS PASSAGEIROS E TRIPULANTES. DA
MESMA FORMA, SE UM CABO DE ALTA TENSÃO CAIR SOBRE UM CARRO, OU OUTRO VEÍCULO AUTOMOTIVO
FECHADO, NÃO CAUSARÁ DANOS AOS PASSAGEIROS, DESDE QUE ESTES NÃO SAIAM DO VEÍCULO.
APROVEITANDO ESSE FENÔMENO DAS GAIOLAS DE FARADAY, UM ENGENHEIRO PRETENDENDO BLINDAR
ELETROSTATICAMENTE UM EQUIPAMENTO ELETRÔNICO, CONSTRUIU UMA ESFERA OCA CONDUTORA DE RAIO
R, E ENVOLVEU SUA ELETRÔNICA. QUAL A DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO A QUE ESSE EQUIPAMENTO
ELETRÔNICO ESTARÁ SUBMETIDO, DENTRO DA ESFERA CONDUTORA E OCA, CASO HAJA UM CAMPO ELÉTRICO
EXTERNO À ESFERA CONDUTORA?
A) ∆V=k qr
B) ∆V= -2π k σ z
C) ∆V=0
D) ∆V=k qR
2. SEJA UMA CASCA CILÍNDRICA, HOMOGENEAMENTE CARREGADA, COM UMA DENSIDADE LINEAR DE CARGAS,
Λ, CONSTANTE E RAIO CILÍNDRICO R. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO INTERNAMENTE À CASCA CILÍNDRICA,
R<R , A UMA DISTÂNCIA RADIAL R.
A) V(r)= 0
B) Vr= -2 k λ ln rR
C) Vr= k Qr
D) Vr= 2kλ r
GABARITO
1. Uma aeronave em voo, quando atravessa uma região atmosférica com atividade elétrica, é facilmente atingida por diversas descargas
atmosféricas que, apesar de buscar-se evitar, não são capazes de causar maiores danos aos equipamentos, nem aos passageiros e
tripulantes. Da mesma forma, se um cabo de alta tensão cair sobre um carro, ou outro veículo automotivo fechado, não causará danos aos
passageiros, desde que estes não saiam do veículo. Aproveitando esse fenômeno das Gaiolas de Faraday, um engenheiro pretendendo
blindar eletrostaticamente um equipamento eletrônico, construiu uma esfera oca condutora de raio R, e envolveu sua eletrônica. Qual a
diferença de potencial elétrico a que esse equipamento eletrônico estará submetido, dentro da esfera condutora e oca, caso haja um campo
elétrico externo à esfera condutora?
A alternativa "C " está correta.
 
Considerando que um campo elétrico externo à esfera seja capaz de rearranjar cargas livres na superfície do condutor esférico, no processo de
equilíbrio eletrostático e, subdividindo a superfície do condutor em pequenos discos planos que foram carregados por indução elétrica devido ao
campo elétrico externo, vamos supor uma densidade superficial de cargas locais a cada disco σ. Como não haverá carga livre interna ao condutor, pois
atingido o equilíbrio eletrostático, uma superfície gaussiana abaixo de cada disco medirá fluxo de campo nulo, Φ=∮E→.n^ dA= 0. Isso indicará campo
elétrico interno nulo, do que decorre potencial elétrico constante, pois E→= -∇→ Vr. Assim, o potencial elétrico será constante internamente à esfera,
independentemente do arranjo de cargas elétricas induzidas na superfície externa da esfera condutora e, então, a diferença de potencial elétrico entre
dois pontos quaisquer internos à esfera será zero, ∆V=0, qualquer que seja o potencial constante interno.
2. Seja uma casca cilíndrica, homogeneamente carregada, com uma densidade linear de cargas, λ, constante e raio cilíndrico R. Calcule o
potencial elétrico internamente à casca cilíndrica, r<R , a uma distância radial r.
A alternativa "A " está correta.
 
Já trabalhamos com um problema semelhante do cálculo do potencial elétrico externo a uma casca cilíndrica com densidade linear de carga λ.
Também já discutimos o potencial elétrico interno a uma casca esférica. Mas, agora, devemos solucionar o potencial interno de uma casca cilíndrica.
Lembrando que o potencial elétrico é o trabalho por unidade de carga para trazer uma carga de prova, desde a referência em que o potencial é zero
até o ponto considerado, devemos identificar essa referência de zero potencial. O potencial elétrico externo, já solucionado antes, é Vr=-2kλln rR , em
que a região de potencial zero deve ser definida sobre a superfície da casca cilíndrica, quando r=R. Assim, V(R)=0. Como o potencial deve ser
contínuo em todo o espaço, o potencial elétrico interno à casca cilíndrica deverá ser igual ao potencial da superfície dessa casca, ou seja, V(r≤R)=0.
Não deve haver trabalho necessário para deslocar uma carga de prova desde a superfície da casca cilíndrica até pontos internos à mesma casca.
MÓDULO 4
 Calcular a capacitância
CAPACITÂNCIA
Chamamos de capacitância a habilidade de acumulação de cargas elétricas e energia elétrica por componentes elétricos ou sistemas elétricos, diante
de diferenças de potencial elétrico.
É um fenômeno natural, que pode ser identificado na natureza, entre as nuvens e o solo, em materiais que acumularam cargas estáticas e sua
vizinhança física, em sistemas elétricos e eletrônicos, sendo macroscópicos ou microscópicos (em eletrônica em grande escala de integração). Em
termos práticos, nosso interesse está na possibilidade de utilização tecnológica dessa energia armazenada.
 
Fonte: jultud /Shutterstock
 Figura: Imagem Ilustrativa para Capacitância
Certamente, ao ler estas linhas, seu equipamento computador, ou mídia eletrônica, possui alguns bilhões de capacitores em seus circuitos integrados
microscopicamente. Atualmente, convivemos com acumuladores elétricos de energia a todo instante: baterias, pilhas, capacitores etc. Essencialmente,
todos têm a capacidade de acumular energia em forma elétrica.
 COMENTÁRIO
A simples habilidade dos materiais de acumular cargas elétricas pode transformar esse sistema em um rudimentar capacitor, e essa habilidade pode
ser mensurada por sua capacitância.
Vamos nos limitar aqui aos componentes acumuladores de energia que costumamos chamar de capacitores. A ideia essencial de um capacitor é de
um componente elétrico, ou eletrônico, composto por duas paredes condutoras separadas mecanicamente por um material dielétrico, um não
condutor ideal. Vamos deixar o aprofundamento sobre os dielétricos para o Explore+.
Por ora, vamos pensar no desenho básico de um capacitor: duas placas condutoras, dispostas paralelamente, bem próximas, mas separadas por uma
distância d. Esses componentes são essenciais à eletrônica e à elétrica em geral. Certamente, você já ouviu falar da necessidade de correção de
instalações elétricas, em indústrias, com o ajuste necessário de um banco de capacitores. Bem, isso também ficará para mais tarde. O importante é
compreender que o fenômeno da capacitância é parte da nossa experiência natural e tecnológica.
 
Fonte:Designua/ Shutterstock
 Figura: Esquema Simples de um Capacitor
Vamos definir capacitância como a constante de proporcionalidade, de unidade S.I. Faraday (F), entre as cargas elétricas acumuladas nas paredes de
um capacitor e a diferença de potencial elétrico necessária para produzir esse acúmulo: 
 
C=Q∆V
 
Fonte: Muhammad Anuar bin Jamal/Shutterstock
 Figura: Imagem Ilustrativa para Capacitores
Se um capacitor, em um circuito elétrico, for alimentado com uma diferença de potencial elétrico ∆V, por uma fonte de tensão elétrica e,
consequentemente, acumular cargas elétricas, Q, em suas paredes, de tal maneira a estabelecer a mesma diferença de potencial na região entre
essas paredes, o acúmulo de cargas cessará e o capacitor estará carregado eletricamente.
DEMONSTRAÇÃO
Os capacitores podem ser conectados em arranjos de capacitores em série e em paralelo. Sempre que conectarmos capacitores, em combinações
em série e em paralelo, o resultado será o de uma capacitância equivalente. Se precisarmos, como exemplo, de um capacitor de determinado valor
de capacitância, podemos combinar outros capacitores de forma a obter a capacitância equivalente desejada.
 ATENÇÃO
Não confunda capacitores (componentes) com capacitância (fenômeno)!
ARRANJO EM PARALELO
Vamos considerar a combinação de N capacitores em paralelo, como na figura. Perceba que a cargatotal acumulada no sistema de capacitores será a
soma das cargas de cada capacitor Ci, em que i=1,2,3,…,N. Ou seja, Qtotal= ∑i=1NQi.
 
Fonte:Shutterstock
Nesse arranjo, em paralelo, cada capacitor será alimentado com a mesma diferença de potencial ∆V. Então, a capacitância equivalente Ceqem paralelo
será:
QTOTAL=Q1+Q2+⋯+QNΔV⋅CEQ=ΔV(C1+C2+⋯+CN)CEQ=∑I=1NCI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ARRANJO EM SÉRIE
Vamos considerar, agora, a combinação de N capacitores em série, como na figura. A diferença de potencial ∆V será a soma dos potenciais que
alimentam cada capacitor ∆V= ∑i=1NVi.
 
Fonte:Shutterstock
Nesse caso, como cada capacitor acumulará a mesma carga elétrica, Q, em suas paredes, pois estão em série, a capacitância equivalente em série
será:
ΔV=V1+V2+⋯+VNQCEQ=QC1+QC2+⋯+QCN1CEQ=∑I=1N1CI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos à prática!
MÃO NA MASSA
1) UM CAPACITOR DE PLACAS PLANAS É CONSTITUÍDO POR DUAS PLACAS CONDUTORAS, PARALELAS, DE
ÁREAS IGUAIS, A, E DISTÂNCIA DE SEPARAÇÃO ENTRE AS PLACAS D. CADA PLACA TEM UMA DENSIDADE
SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ, E SÃO CARREGADAS COM CARGAS OPOSTAS, +Q E -Q. 
VAMOS CONSIDERAR A SITUAÇÃO DE D2 ≪ A. CALCULE SUA CAPACITÂNCIA.
A) C=ϵ0 d/A
B) C=ϵ0 A/d
C) C=ϵ0/d
D) C=k A/d
2. O CAPACITOR CILÍNDRICO É CONSTITUÍDO POR DUAS CASCAS CILÍNDRICAS DE MESMO EIXO, TAMANHOS L E
RAIOS DOS CILINDROS R2 > R1. A CASCA CILÍNDRICA INTERNA É CARREGADA POSITIVAMENTE, ENQUANTO A
CASCA CILÍNDRICA EXTERNA É CARREGADA NEGATIVAMENTE, AMBAS COM A MESMA DENSIDADE LINEAR DE
CARGAS Λ. CONSIDERANDO HAVER VÁCUO ENTRE AS CASCAS, CALCULE SUA CAPACITÂNCIA.
A) C=4πϵ0R1R2(R1-R2)
B) C=ϵ0 A/d
C) C=ϵ0/d
D) C= 2πϵ0Lln (R2R1)
3. O CAPACITOR ESFÉRICO É CONSTITUÍDO POR DUAS CASCAS ESFÉRICAS CONCÊNTRICAS COM RAIOS R2 >
R1. A CASCA ESFÉRICA INTERNA É CARREGADA POSITIVAMENTE, ENQUANTO A CASCA ESFÉRICA EXTERNA É
CARREGADA NEGATIVAMENTE, AMBAS COM A MESMA DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS, Σ.
CONSIDERANDO HAVER VÁCUO ENTRE AS CASCAS, CALCULE SUA CAPACITÂNCIA.
A) C=4πϵ0R1R2(R2-R1)
B) C=ϵ0 A/d
C) C=ϵ0/r
D) C= 2πϵ0Lln [R2R1]
4. CONSIDERE UMA COMBINAÇÃO DE TRÊS CAPACITORES EM SÉRIE, SENDO C1=5ΜF, C2=10ΜF E C3=15ΜF.
CALCULE A CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE CEQ.
A) Ceq=15μF
B) Ceq=750μF
C) Ceq=0,37μF
D) Ceq=2,73μF
5. CONSIDERE UMA COMBINAÇÃO DE TRÊS CAPACITORES EM PARALELO, SENDO C1=5ΜF, C2=10ΜF E C3=15ΜF.
CALCULE A CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE CEQ.
A) Ceq=15μF
B) Ceq=750μF
C) Ceq=30μF
D) Ceq=2,73μF
6. CONSIDERE UMA COMBINAÇÃO MISTA DE TRÊS CAPACITORES C1=5ΜF, C2=10ΜF E C3=15ΜF, SENDO QUE
C1 E C2 ESTÃO EM SÉRIE E ESTES ESTÃO EM PARALELO COM C3. CALCULE A CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE
CEQ.
 Ceq=15μF
A)
B) Ceq=18,33μF
C) Ceq=30μF
D) Ceq=2,73μF
GABARITO
1) Um capacitor de placas planas é constituído por duas placas condutoras, paralelas, de áreas iguais, A, e distância de separação entre as
placas d. Cada placa tem uma densidade superficial de cargas, σ, e são carregadas com cargas opostas, +Q e -Q. 
Vamos considerar a situação de d2 ≪ A. Calcule sua capacitância.
A alternativa "B " está correta.
CAPACITOR DE PLACAS PLANAS
2. O capacitor cilíndrico é constituído por duas cascas cilíndricas de mesmo eixo, tamanhos L e raios dos cilindros R2 > R1. A casca
cilíndrica interna é carregada positivamente, enquanto a casca cilíndrica externa é carregada negativamente, ambas com a mesma
densidade linear de cargas λ. Considerando haver vácuo entre as cascas, calcule sua capacitância.
A alternativa "D " está correta.
CAPACITOR CILÍNDRICO
3. O capacitor esférico é constituído por duas cascas esféricas concêntricas com raios R2 > R1. A casca esférica interna é carregada
positivamente, enquanto a casca esférica externa é carregada negativamente, ambas com a mesma densidade superficial de cargas, σ.
Considerando haver vácuo entre as cascas, calcule sua capacitância.
A alternativa "A " está correta.
CAPACITOR ESFÉRICO
4. Considere uma combinação de três capacitores em série, sendo C1=5μF, C2=10μF e C3=15μF. Calcule a capacitância equivalente Ceq.
A alternativa "D " está correta.
Cuidado ao calcular as quantidades inversas! Vamos expressar a resposta em Faraday, unidade S.I., de capacitância, em escala μ=10-6.
Uma verificação interessante desse cálculo, é que a capacitância equivalente numa combinação em série é sempre menor que o menor capacitor do
arranjo. Isso não ocorre com combinações em paralelo de capacitores.
1Ceq.=∑i=1N1Ci1Ceq.=15μF+110μF+115μF1Ceq=0,366…Ceq≅2,73μF
5. Considere uma combinação de três capacitores em paralelo, sendo C1=5μF, C2=10μF e C3=15μF. Calcule a capacitância equivalente Ceq.
A alternativa "C " está correta.
Quando precisamos aumentar a capacitância em um circuito elétrico, procedemos ao arranjo em paralelo de capacitores.
Ceq=∑i=1NCiCeq=5μF+10μF+15μF=30μF 
6. Considere uma combinação mista de três capacitores C1=5μF, C2=10μF e C3=15μF, sendo que C1 e C2 estão em série e estes estão em
paralelo com C3. Calcule a capacitância equivalente Ceq.
A alternativa "B " está correta.
1CeqSérie=1C1+1C2 1CeqSérie=15μF+110μF 1CeqSérie=0,3 CeqSérie=3,33μF Ceqparalelo=3,33μF+15μFCeqparalelo=18,33μF
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos pensar no processo de carga de um capacitor, cuja capacitância é definida linearmente pela definição padrão, C=Q|∆V|. Consideremos que
esse capacitor seja alimentado com uma diferença de potencial V0 entre suas paredes. Suponha, ainda, que possa acumular uma carga total Q, sendo
(+ Q) numa parede e (–Q) na outra. Vamos definir o potencial zero na parede negativa e o potencial V0 na parede positiva. Pergunta-se: Qual a é
energia potencial elétrica, total, acumulada nesse capacitor?
RESOLUÇÃO
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 01
javascript:void(0)
A energia potencial elétrica é o potencial elétrico multiplicado pela carga de prova. Mas o capacitor em carga, não apresenta o potencial elétrico V0
desde o início do processo de carga. O capacitor, na verdade, vai se carregando desde o potencial zero até o potencial V0. As cargas elétricas vão se
acumulando desde a carga zero, até a carga total Q. Assim, devemos integrar a energia potencial desde a carga zero até a carga máxima Q.
ETAPA 02
C=Q|ΔV| 
 
ΔV=V0 
 
V=qC 
 
dU=Vdq
ETAPA 03
ΔU=∫0QVdq 
 
ΔU=∫0QqCdq 
 
ΔU=12Q2C=12CV02
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. NO PROBLEMA DO CAPACITOR ESFÉRICO ANTERIOR, NO QUAL A CAPACITÂNCIA FOI CALCULADA COMO
C=4ΠΕ0R1R2(R2-R1), PENSE NA SEGUINTE CIRCUNSTÂNCIA: DESACOPLAMOS A CASCA ESFÉRICA EXTERNA DE
RAIO R2 DAS PROXIMIDADES DA CASCA ESFÉRICA INTERNA, LEVANDO-A A UMA DISTÂNCIA INFINITA. NESSA
SITUAÇÃO, QUAL SERÁ A NOVA CAPACITÂNCIA? OU SEJA, TEMOS CAPACITÂNCIA COM UMA ÚNICA ESFERA
CARREGADA? QUAL É O SEU VALOR?
A) C=4πϵ0R1R2(R2-R1)
B) C=0
C) C=4πϵ0R1
D) C=∞
2. POR MEIO DO CÁLCULO DA CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE ENTRE OS TERMINAIS DO CIRCUITO AO LADO,
OBTENHA A CARGA TOTAL ARMAZENADA NOS CAPACITORES, SABENDO QUE C1=0,2ΜF, C2=0,4ΜF,
C3=0,2ΜF E ∆V=12 VOLTS. 
 
 
javascript:void(0)
javascript:void(0)
A) Qtotal=0,133 μC
B) Qtotal=0,333 μC
C) Qtotal=0,8 μC
D) Qtotal=3,996 μC
GABARITO
1. No problema do capacitor esférico anterior, no qual a capacitância foi calculada como C=4πϵ0R1R2(R2-R1), pense na seguinte
circunstância: desacoplamos a casca esférica externa de raio R2 das proximidades da casca esférica interna, levando-a a uma distância
infinita. Nessa situação, qual será a nova capacitância? Ou seja, temos capacitância com uma única esfera carregada? Qual é o seu valor?
A alternativa "C " está correta.
 
Partindo da solução obtida no problema do capacitor esférico anterior, vamos fazer o raio R2→∞. Matematicamente, devemos considerar que tanto o
numerador quanto o denominador, da capacitância do problema, terão comportamentos assimptóticos, nesse limite infinito. Assim, devemos tratar esse
comportamento assimptótico por meio do cálculo diferencial e perceber que o termo destacado R2(R2-R1) tenderá à unidade,limR2→∞ R2(R2-R1)=1.
Então, a resposta ao problema é: Sim, uma única esfera carregada terá habilidade capacitiva, pois se carrega eletricamente, e sua capacitância é
calculável.
C=4πϵ0R1R2(R2-R1) R2→∞C=4πϵ0R1R2(R2-R1) C=4πϵ0R1
2. Por meio do cálculo da capacitância equivalente entre os terminais do circuito ao lado, obtenha a carga total armazenada nos capacitores,
sabendo que C1=0,2μF, C2=0,4μF, C3=0,2μF e ∆V=12 Volts. 
 
 
A alternativa "D " está correta.
 
1Ceqsrrie=1C1+1C21Ceqserie=10,2+10,4Ceqsrrie=0,133μF
Ceqporaldio=Ceqsrrie+C3Ceqporalclo=0,333μFQtotal=Ceqparalelo×ΔVQtotal=0,333μF×12VQtotal=3,996μC
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A compreensão da teoria eletromagnética e seus fenômenos pressupõe a continuação dos estudos dos conceitos e fenômenos da Eletrostática, para
distribuições contínuas de cargas elétricas e suas relações, como parte fundamental do que compreendemos hoje como a Teoria Eletrodinâmica
Clássica.
Esses conceitos são a base de toda a nossa tecnologia e experiência contemporânea. Neste tema, você estudou os fenômenos, conceitos e definições
de distribuições contínuas de cargas, seus campos, potenciais elétricos, o importantíssimo conceito de fluxo de campo, Lei de Gauss e aplicações à
capacitância. Não deixe de experimentar as indicações complementares no Explore +.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BARROS, L. M. Física Teórica Experimental III. 1. ed. Rio de Janeiro: SESES, 2017. 
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 3.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 1. ed. digital. São Paulo: Blucher, 2018.
TIPLER, P. A. Física para Cientistas e Engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015. v. 3.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
Leia: Capacitância e Dielétricos
URL: http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320292_2012/Cap4.pdf
Experimente: Simulador de Hockey Elétrico
URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/electric-hockey
Experimente: Simulador John-travoltage
URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/john-travoltage
Experimente: Simulador de Capacitores
URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/capacitor-lab
CONTEUDISTA
Gentil Oliveira Pires
 CURRÍCULO LATTES
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