Resolução de sistemas Lineares Método da decomposição LU

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Resolução de sistemas Lineares 
Método da Decomposição LU 
Disciplina: Cálculo Numérico – MAT042 
Professor Vinícius Barbosa de Paiva 
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• O método de decomposição L.U é utilizado quando 
queremos resolver vários Sistemas Lineares nos quais a 
matriz dos coeficientes é a mesma. 
• Exemplo: 
A.x = bi, com i = 1, 2, 3, ..., n 
A.x = b1 
A.x = b2 
A.x = b3 
A.x = b4 
. 
. 
. 
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Utilização 
• A matriz A, dos coeficientes, é decomposta como o 
produto de duas matrizes L e U. 
A = L.U 
 
Sendo: 
 - L uma matriz triangular inferior; 
- U uma matriz triangular superior. 
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Descrição do Método 
• O sistema A.x = b é reescrito da seguinte forma: 
 
 - Como A = L.U, temos que: 
 Ax = (L.U)x = L.(Ux) = b 
 
Fazemos U.x = y, podemos resolver o sistema A.x = b em 
dois passos: 
1º) Resolvemos o sistema triangular inferior L.y = b, obtendo 
y como solução. 
2º) Em seguida, com a solução y obtida no passo anterior, 
resolvemos o sistema triangular superior U.x = y, obtendo 
x como solução dos sistema. 
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Como fazer a transformação: 
 
A = L.U ? 
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• U é a matriz triangular superior obtida ao final da fase de 
eliminação do método de Gauss; 
 
• L é uma matriz triangular inferior, cujos elementos da 
diagonal principal são unitários e abaixo de cada elemento 
diagonal lkk = 1 encontram-se os multiplicadores da etapa k 
da fase de eliminação com sinal trocado. 
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Exemplo 
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Referências Bibliográficas: 
• BARROSO, L.; BARROSO, M. M. de A.; CAMPOS FILHO, F. F. Cálculo 
numérico com aplicações. 2. ed. São Paulo : Harbra, 1987. 
• CAMPOS FILHO, Frederico F. Algoritmos numéricos. 2. ed. Rio de 
Janeiro : LTC, 2007. 
• FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo : Prentice Hall, 2006. 
• RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico: aspectos 
teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo : Makron Book, 1996. 
• SOUZA, M. J. F - Cálculo Numérico – Sistemas Lineares – Departamento 
de Computação, Universidade Federal de Ouro Preto.