Resumo Método de Eliminação de Gauss

Prévia do material em texto

CÁLCULO NUMÉRICO 
– SISTEMAS LINEARES – 
– Método de Eliminação de Gauss – 
 
 
 
Resumo para estudos gerais de 
Cálculo Numérico feito por Mirla 
Rocha de Oliveira Ferreira. 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
SISTEMAS LINEARES .............................................................................................................. 1 
Método de Eliminação de Gauss ........................................................................................................... 1 
Exercícios .............................................................................................................................................. 3 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................ 4 
 
 
 
1 
SISTEMAS LINEARES 
 
Sistema linear com m equações e n variáveis é escrito da seguinte forma: 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + … + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
 
 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
 
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 
 
 
De tal forma que: 
 
aij são os coeficientes onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n 
xj são as variáveis onde j = 1, ..., n 
bi são as constantes onde i = 1, ..., m 
 
A representação matricial de um sistema linear é: 
 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚1
⋮
𝑎𝑚2
⋮
⋯ 𝑎3𝑛
) 
 
𝑥 = (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
) 
 
𝑏 = (
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏3
) 
 
 
A resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de xj de tal forma que 
satisfaça as m equações ao mesmo tempo. Para tais resoluções, usam-se métodos, que podem 
permitir soluções próximas da exatidão, contendo as diferenças próprias do erro de 
arredondamento. 
 
Método de Eliminação de Gauss 
 
Método de Eliminação de Gauss é um procedimento usado para resolver sistemas de 
equações lineares através de uma substituição regressiva, manipulando as equações até chegar à 
forma de triângulo superior. 
Deve–se fazer da seguinte forma: 
Eliminar os coeficientes de xn a partir da linha n+1, sendo o ann conhecido como pivô 
coluna. 
Refazer as linhas seguintes usando Ln – mn1*L1 , onde mn1 = an1 / a11 
Caso em algum linha o a seja 0, então, troca-se de linha com outra cujo a ≠ 0. 
 
Exemplo: 
O sistema linear é: 
 
2 
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 5
4𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 3
2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = −1
 
 
A matriz desse sistema é: 
 
[
2 3 −1
4 4 −3
2 −3 1
 
5
3
−1
] 
 
Deve-se então fazer: 
 
𝐿2 = 𝐿2 − 𝑚21 ∗ 𝐿1 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚21 = 
𝑎21
𝑎11
 
 
Sendo assim: 
 
𝑚21 = 
4
2
 = 2 
 
𝐿2 = [4 4 −3 3 ] – 2 ∗ [2 3 −1 5 ] = [4 4 −3 3 ] – [4 6 −2 10 ] 
𝐿2 = [(4 − 4) (4 − 6) (−3 + 2) (3 − 10) ] = [0 −2 −1 −7 ] 
 
Continuando, fazemos o mesmo para a linha 3, onde: 
 
𝐿3 = 𝐿3 − 𝑚31 ∗ 𝐿1 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚31 = 
𝑎31
𝑎31
 
 
𝑚31 = 
2
2
 = 1 
 
𝐿3 = [2 −3 1 −1 ] – 1 ∗ [2 3 −1 5 ] = [2 −3 1 −1 ] – [2 3 −1 5 ] 
𝐿2 = [(2 − 2) (−3 − 3) (1 + 1) (−1 − 5) ] = [0 −6 2 −6 ] 
 
Agora, tem-se a seguinte matriz: 
 
[
2 3 −1
0 −2 −1
0 −6 2
 
5
−7
−6
] 
 
Fazemos agora a seguinte substituição: 
 
𝐿3 = 𝐿3 − 𝑚32 ∗ 𝐿1 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚32 = 
𝑎32
𝑎22
 
𝑚32 = 
−6
−2
 = 3 
 
𝐿3 = [0 −6 2 −6 ] – 3 ∗ [0 −2 1 −7 ] = [0 −6 2 −6 ] – [0 −6 −3 −21 ] 
𝐿3 = [(0 − 0) (−6 + 6) (2 + 3) (−6 + 21) ] = [0 0 5 15 ] 
 
A matriz final fica: 
 
[
2 3 −1
0 −2 −1
0 0 5
 
5
−7
15
] 
 
E o sistema linear fica: 
 
 
3 
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 5
0 − 2𝑥2 − 𝑥3 = −7
0 − 0 + 5𝑥3 = 15
 
 
A partir daí, pode-se achar o valor de x3 e então achar o valor de x2 e depois achar o 
valor de x1. 
 
5𝑥3 = 15 → 𝑥3 = 
15
5
= 3 
−2𝑥2 − 𝑥3 = −7 ⟶ −2𝑥2 − 3 = −7 ⟶ −2𝑥2 = −7 + 3 ⟶ 𝑥2 = 
−4
−2
= 2 
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 5 ⟶ 2𝑥1 + 6 − 3 = 5 ⟶ 2𝑥1 = 2 ⟶ 𝑥1 = 1 
 
Então: 
 
𝑥1 = 1 , 𝑥2 = 2 𝑒 𝑥3 = 3 
 
 
Exercícios 
 
1. Resolva o sistema: 
 
𝑥1 + 4𝑥2 + 52𝑥3 = 57
27𝑥1 + 110𝑥2 − 3𝑥3 = 134
22𝑥1 + 2𝑥2 + 14𝑥3 = 38
 
 
2. Resolva o sistema: 
 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 4
2𝑥1 + 3𝑥2 + 1𝑥3 = 9
1𝑥1 − 1𝑥2 − 1𝑥3 = −2
 
 
3. Resolva o sistema: 
 
4𝑥1 + 3𝑥2 + 2 𝑥3 + 𝑥4 = 10
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 5
𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = −1
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 3
 
 
4 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BARROSO, Leonidas. Cálculo Numérico com Aplicações. 2ª Edição. Editora 
HARBRA Ltda. São Paulo. 
CAMPOS, Frederico Ferreira. Algoritmos Numéricos. 2ª Edição. Editora LTC. Belo 
Horizonte. 
LIRA, William Wagner Matos. Apostila de Cálculo Numérico. 
GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish. Métodos Numéricos para Engenheiros e 
Cientistas. ARTMED Editora S.A. São Paulo. 
RUGGIERO, Márcia A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo Numérico. 
Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª Edição. Editora Aplicada. São Paulo.