1ª LISTA DE EXERCÍCIOS MATEMÁTICA PARA ADMINSTRAÇÃO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO 
PROF. AROLDO FERREIRA LEÃO 
Resoluções 
 
 
1) Resolver a equação modular │ x² – 5x/2 – 1/4 │ = 5/4 
 
Equação I 
x² - 5x/2 – ¼ = 5/4 
x² -5x/2 = 5/4 + ¼ 
x² -5x/2 = 6/4 (Simplificando o 6/4 por 2, ficará 3/2) 
𝑥²
1
−
5𝑥
2
−
3
2
= 0 (Passando o 3
2
 para o outro lado, alterando o sinal) 
2𝑥2−5𝑥−3
2
= 0 (Após igualarmos os denominadores com o MMC, só dividir o denominador 
atual pelos anteriores e multiplicar com os numeradores.) 
Restando apenas: 2𝑥2 − 5𝑥 − 3 = 0 
Podemos fazer de duas formas, sendo essas, diretas ou por bhaskara. 
 
Resolução da Equação (I) (Direta) 
2𝑥2 − 5𝑥 − 3 = 0 => 𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0 
(Multiplicamos o valor do item a, com o item c. Sendo 2x3 = 6) 
𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0 
Agora só fazer a operação Soma/Produto, que consiste em achar dois números que multiplicados 
será o item c, e somados será o inverso do item b. 
Serão esses números: x’ = 6 e x’’ = -1 
Não terminamos por aqui, porque as duas raízes encontradas é em relação a equação 𝑥2 − 5𝑥 −
6 = 0, logo, para encontrarmos a da equação em questão, basta colocar o número que tiramos 
do item a (2) como denominador dos números. 
Formando: x’ = 
6
2
 = 3 e x’’ = −𝟏
𝟐
 
 
Resolução da Equação (I) (Bhaskara) 
2𝑥2 − 5𝑥 − 3 = 0 a = 2 b = -5 c = -3 
Δ = b²− 4ac Δ = (−5)² − 4.2.(-3) Δ = 25 + 24 Δ = 49 (demonstrando que teremos x’ e x’’ 
diferentes) 
 
𝒙 =
−𝒃±√∆
𝟐𝒂
 => 𝒙 =
𝟓±√𝟒𝟗
𝟐.𝟐
 => 𝒙 =
𝟓±𝟕
𝟒
 
𝒙′ =
𝟓+𝟕
𝟒
=
𝟏𝟐
𝟒
= 𝟑 𝒙′′ =
𝟓−𝟕
𝟒
=
−𝟐
𝟒
= −
𝟏
𝟐
 
 
 
Equação II 
x² - 5x/2 – ¼ = -5/4 
x² -5x/2 = -5/4 + ¼ 
x² -5x/2 = -4/4 (Simplificando o -4/4 por 4, ficará -1) 
𝑥²
1
−
5𝑥
2
+ 1 = 0 (Passando o -1 para o outro lado, alterando o sinal) 
2𝑥2−5𝑥+2
2
= 0 (Após igualarmos os denominadores com o MMC, só dividir o 
denominador atual pelos anteriores e multiplicar com os numeradores.) 
Restando apenas: 2𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0 
Podemos fazer de duas formas, sendo essas, diretas ou por bhaskara. 
 
Resolução da Equação (II) (Direta) 
2𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0 => 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0 
(Multiplicamos o valor do item a, com o item c. Sendo 2x2 = 4) 
𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0 
Agora só fazer a operação Soma/Produto, que consiste em achar dois números que 
multiplicados será o item c, e somados será o inverso do item b. 
Serão esses números: x’ = 4 e x’’ = 1 
Não terminamos por aqui, porque as duas raízes encontradas é em relação a 
equação 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0, logo, para encontrarmos a da equação em questão, 
basta colocar o número que tiramos do item “a” (2) como denominador dos 
números. 
Formando: x’ = 
4
2
 = 2 e x’’ = 
𝟏
𝟐
 
 
Resolução da Equação (II) (Bhaskara) 
2𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0 a = 2 b = -5 c = +2 
Δ = b²− 4ac Δ = (−5)² − 4.2.2 Δ = 25 - 16 Δ = 9 (demonstrando que teremos x’ e x’’ 
diferentes) 
 
𝒙 =
−𝒃±√∆
𝟐𝒂
 => 𝒙 =
𝟓±√𝟗
𝟐.𝟐
 => 𝒙 =
𝟓±𝟑
𝟒
 
𝒙′ =
𝟓+𝟑
𝟒
=
𝟖
𝟒
= 𝟐 𝒙′′ =
𝟓−𝟑
𝟒
=
𝟐
𝟒
=
𝟏
𝟐
 
 
𝑺 = {−𝟑,−
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
, 𝟐} 
 
2) Resolver a equação modular │ x² + 2x – 2 │ = │ x² – x – 1 │ 
Para resolver a equação modular proposta, precisamos nos lembrar da seguinte 
propriedade: 
|x| = |y| => x = y ou x = -y 
Sendo assim, temos: 
x² + 2x – 2 = x² - x – 1 (I) e x² + 2x – 2 = - (x² - x – 1) (II) 
 
Resolvendo a equação (I): 
x² + 2x – 2 = x² - x – 1 (Logo de cara, podemos fazer os cortes dos “x²”, porque 
um ficará positivo e o outro negativo). 
2x + x = 2 – 1 3x = 1 x = 
𝟏
𝟑
 
Resolvendo a equação (II): 
x² + 2x – 2 = - (x² - x – 1) => x² + 2x – 2 = - x² + x + 1 
2x² + 2x – x – 2 – 1 = 0 => 2x² + x – 3 = 0 
Temos uma equação definida => 2x² + x – 3 = 0 
Podemos fazer de duas formas, sendo essas, diretas ou por bhaskara. 
 
Resolvendo a Equação (II) (Direta) 
2𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0 => 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 
(Multiplicamos o valor do item a, com o item c. Sendo 2x3 = 6) 
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 
Agora só fazer a operação Soma/Produto, que consiste em achar dois números que 
multiplicados será o item c, e somados será o inverso do item b. 
Serão esses números: x’ = 2 e x’’ = - 3 
Não terminamos por aqui, porque as duas raízes encontradas é em relação a 
equação 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0, logo, para encontrarmos a da equação em questão, basta 
colocar o número que tiramos do item “a” (2) como denominador dos números. 
Formando: x’ = 
2
2
 = 1 e x’’ = 
−𝟑
𝟐
 
S = { 
−𝟑
𝟐
, 
𝟏
𝟑
 e 1) 
 
3) Resolver a equação modular │ x² + 5x – 5 │ = x² – 4x – 5 
 
Resolvendo a equação para saber o fator que precisa ser encontrado. 
x² - 4x – 5 ≥ 0 
Fazendo a operação Soma/Produto, que consiste em achar dois números que 
multiplicados será o item c, e somados será o inverso do item b. 
Serão esses números: x’ = - 1 e x’’ = 5 
Tendo essas raízes, podemos deduzir que os valores a ser considerados está < - 1 
ou > 5. 
 
Teremos duas resoluções possíveis. 
x² + 5x – 5 = x² - 4x – 5 (I) e x² + 5x – 5 = - (x² - 4x – 5) (II) 
 
Resolvendo a equação (I): 
x² + 5x – 5 = x² - 4x – 5 
(Logo de cara, podemos fazer os cortes dos “x²” e “5”, porque um ficará positivo e 
o outro negativo). 
5x + 4x = 0 9x = 0 x = 
𝟎
𝟗
 x = 0 
 
Resolvendo a equação (II): 
x² + 5x – 5 = - (x² - 4x – 5) 
x² + 5x – 5 = - x² + 4x + 5 
2x² + 5x – 4x – 5 – 5 = 0 => 2x² + x – 10 = 0 
 
Temos uma equação definida => 2x² + x – 10 = 0 
Podemos fazer de duas formas, sendo essas, diretas ou por bhaskara. 
 
Resolvendo a Equação (II) (Direta) 
2𝑥2 + 𝑥 − 10 = 0 => 𝑥2 + 𝑥 − 20 = 0 
(Multiplicamos o valor do item a, com o item c. Sendo 2x10 = 20) 
𝑥2 + 𝑥 − 20 = 0 
Agora só fazer a operação Soma/Produto, que consiste em achar dois números que 
multiplicados será o item c, e somados será o inverso do item b. 
Serão esses números: x’ = 4 e x’’ = - 5 
Não terminamos por aqui, porque as duas raízes encontradas é em relação a 
equação 𝑥2 + 𝑥 − 20 = 0, logo, para encontrarmos a da equação em questão, 
basta colocar o número que tiramos do item “a” (2) como denominador dos 
números. 
Formando: x’ = 
4
2
 = 2 e x’’ = 
−𝟓
𝟐
 
 
Resolução da Equação (I) (Bhaskara) 
2𝑥2 + 𝑥 − 10 = 0 a = 2 b = 1 c = -10 
Δ = b²− 4ac Δ = (1)² − 4.2.(-10) Δ = 1 + 80 Δ = 81 (demonstrando que teremos x’ e x’’ 
diferentes) 
 
𝒙 =
−𝒃±√∆
𝟐𝒂
 => 𝒙 =
−𝟏±√𝟖𝟏
𝟐.𝟐
 => 𝒙 =
−𝟏±𝟗
𝟒
 
𝒙′ =
𝟗−𝟏
𝟒
=
𝟖
𝟒
= 𝟐 𝒙′′ =
−𝟏−𝟗
𝟒
=
−𝟏𝟎
𝟒
=
−𝟓
𝟐
 
 
S = {
−𝟓
𝟐
} 
 
4) Resolver a inequação modular │ x² – 5x + 5 │ ˂ 1 
Resolvendo na VI Propriedade, que consiste em: 
|x| < a => -a < x < a Sendo assim, formaremos a resolução: 
-1 < x² - 5x + 5 < 1 => - 5 – 1 < x² - 5x < 1 - 5 => - 6 < x² - 5x < - 4 
- 6 + 5x < x² < 5x – 4 
 
Criando 2 inequações: 
- 6 + 5x < x² => x² - 5x + 6 > 0 (Inequação I) 
 
(Jogando todos para outo lado, deixando o x² positivo.) 
x² < 5x – 4 => x² - 5x + 4 < 0 (Inequação II) 
 
Neste caso temos a seguinte equação do segundo grau para resolvermos: 
x² - 5x + 6 = 0. 
 
Ps. No modo Soma/Produto saberíamos que as raízes dessa equação seria 3 e 2. Porque 3x2 = 
6, e 3+2 = 5 (inverso do valor “b”. 
 
Resolvendo: 
 
Δ = b²− 4ac Δ = (−5)² − 4.1.6 Δ = 25 − 24 Δ =1 (demonstrando que teremos x’ e x’’ 
diferentes) 
 
𝒙 =
−𝒃±√∆
𝟐𝒂
 => 𝒙 =
𝟓±√𝟏
𝟐.𝟏
 => 𝒙 =
𝟓±𝟏
𝟐
 
𝒙′ =
𝟓+𝟏
𝟐
= 𝟑𝒙′′ =
𝟓−𝟏
𝟐
= 𝟐 
 
Assinalamos a região positiva pois queremos a região para x² - 5x + 6 > 0 
 
 
Agora faremos o mesmo para a outra equação: 
x² - 5x + 4 = 0. 
 
Ps. No modo Soma/Produto saberíamos que as raízes dessa equação seria 4 e 1. Porque 4x1 = 
4, e 4+1 = 5 (inverso do valor “b”. 
 
Resolvendo: 
 
Δ = b² − 4ac Δ = (−5)² − 4.1.4 Δ = 25 − 16 Δ = 9 (demonstrando que 
teremos x’ e x’’ diferentes). 
 
𝒙 =
−𝒃±√∆
𝟐𝒂
 => 𝒙 =
𝟓±√𝟗
𝟐.𝟏
 => 𝒙 =
𝟓±𝟑
𝟐
 
𝒙′ =
𝟓+𝟑
𝟐
= 𝟒 𝒙′′ =
𝟓−𝟑
𝟐
= 𝟏 
 
Assinalamos a região negativa pois queremos a região para x² - 5x + 4 < 0 
 
Por fim temos que encontrar a solução que satisfaça às duas condições acima, assim podemos 
esquematizar as soluções em três retas reais, sendo as duas primeiras a solução das duas 
inequações e a última a solução (intersecção) da inequação modular. 
 
 
 
Com isso temos que a solução está para x entre 1 e 2 ou entre 3 e 4, pois nestas circunstâncias 
tanto a inequação (01) como a inequação (02) são satisfeitas. 
Ou seja: 
S = { x ϵ R | 1 < x < 2 ou 3 < x < 4 } 
5) Resolver a inequação modular │ x² – 5x │ ≥ 6 
Resolvendo na VII Propriedade, que consiste em: 
Se a > 0 e |x| ≥ a, então x ≤ -a ou x ≥ a. 
Sendo assim, criaremos as seguintes inequações: 
x² - 5x ≤ - 6 x² - 5x + 6 ≤ 0 (Inequação I) 
x² - 5x ≥ 6 x² - 5x – 6 ≥ 0 (Inequação II) 
 
Neste caso temos a seguinte equação do segundo grau para resolvermos: 
x² - 5x + 6 = 0 
 
Ps. No modo Soma/Produto saberíamos que as raízes dessa equação seria 3 e 2. Porque 3x2 = 
6, e 3+2 = 5 (inverso do valor “b”. 
 
Resolvendo: 
Δ = b² − 4ac Δ = (−5)² − 4.1.6 Δ = 25 − 24 Δ = 1 (demonstrando que 
teremos x’ e x’’ diferentes). 
 
𝒙 =
−𝒃±√∆
𝟐𝒂
 => 𝒙 =
𝟓±√𝟏
𝟐.𝟏
 => 𝒙 =
𝟓±𝟏
𝟐
 
𝒙′ =
𝟓+𝟏
𝟐
= 𝟑 𝒙′′ =
𝟓−𝟏
𝟐
= 𝟐 
 
 
Assinalamos a região negativa pois queremos a região para x² - 5x + 6 ≤ 0 
 
Agora faremos o mesmo para a outra equação: 
x² - 5x – 6 = 0 
 
Ps. No modo Soma/Produto saberíamos que as raízes dessa equação seria 6 e -1. Porque 6x(-1) 
= - 6, e 6 – 1 = 5 (inverso do valor “b”. 
 
Resolvendo: 
Δ = b² − 4ac Δ = (−5)² − 4.1.(-6) Δ = 25 + 24 Δ = 49 (demonstrando que 
teremos x’ e x’’ diferentes). 
 
𝒙 =
−𝒃±√∆
𝟐𝒂
 => 𝒙 =
𝟓±√𝟒𝟗
𝟐.𝟏
 => 𝒙 =
𝟓±𝟕
𝟐
 
𝒙′ =
𝟓+𝟕
𝟐
= 𝟔 𝒙′′ =
𝟓−𝟕
𝟐
= −𝟏 
 
 
Assinalamos a região positiva pois queremos a região para x² - 5x – 6 ≥ 0. 
 
Por fim temos que encontrar a solução que satisfaça às duas condições acima, assim podemos 
esquematizar as soluções em três retas reais, sendo as duas primeiras a solução das duas 
inequações e a última a solução (intersecção) da inequação modular. 
 
 
 
Com isso temos que a solução está para x menor/igual a -1 ou entre 2 e 3 ou x maior/igual a 6, 
pois nestas circunstâncias tanto a inequação (01) como a inequação (02) são satisfeitas. 
Ou seja: 
S = { x ϵ R | x ≤ -1 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x ≥ 6} 
 
6) Resolver a inequação modular │ x² – 4│ ˂ 3x 
Resolvendo na VI Propriedade, que consiste em: 
|x| < a => -a < x < a Sendo assim, formaremos a resolução: 
- 3x < x² - 4 < 3x => 4 – 3x < x² < 3x + 4 
Tendo duas inequações: 
4 – 3x < x² => x² + 3x – 4 > 0 (Passando tudo para um lado e trocando os sinais) 
x² < 3x + 4 => x² - 3x – 4 < 0 (Passando tudo para um lado e trocando os sinais) 
 
Assim, temos: 
x² + 3x – 4 > 0 (Inequação I) 
x² - 3x – 4 < 0 (Inequação II) 
 
Temos a seguinte equação do segundo grau para resolvermos: 
x² + 3x – 4 = 0 
 
Ps. No modo Soma/Produto saberíamos que as raízes dessa equação seria - 4 e 1. Porque - 4x1 
= - 4, e 1 – 4 = - 3 (inverso do valor “b”. 
 
Resolvendo: 
 
Δ = b² − 4ac Δ = (3)² − 4.1.(-4) Δ = 9 + 16 Δ = 25 (demonstrando que 
teremos x’ e x’’ diferentes). 
 
𝒙 =
−𝒃±√∆
𝟐𝒂
 => 𝒙 =
−𝟑±√𝟐𝟓
𝟐.𝟏
 => 𝒙 =
−𝟑±𝟓
𝟐
 
𝒙′ =
−𝟑+𝟓
𝟐
= 𝟏 𝒙′′ =
−𝟑−𝟓
𝟐
= −𝟒 
 
 
Assinalamos a região positiva pois queremos a região para x² + 3x – 4 > 0. 
 
 
 
Agora faremos o mesmo para a outra equação: 
x² - 3x – 4 = 0 
 
Ps. No modo Soma/Produto saberíamos que as raízes dessa equação seria 4 e - 1. Porque 4x(-1) 
= - 4, e 4 – 1 = 3 (inverso do valor “b”. 
 
Resolvendo: 
 
Δ = b² − 4ac Δ = (-3)² − 4.1.(-4) Δ = 9 + 16 Δ = 25 (demonstrando que 
teremos x’ e x’’ diferentes). 
 
𝒙 =
−𝒃±√∆
𝟐𝒂
 => 𝒙 =
𝟑±√𝟐𝟓
𝟐.𝟏
 => 𝒙 =
𝟑±𝟓
𝟐
 
𝒙′ =
𝟑+𝟓
𝟐
= 𝟒 𝒙′′ =
𝟑−𝟓
𝟐
= −𝟏 
 
Assinalamos a região negativa pois queremos a região para x² - 3x – 4 > 0. 
 
 
 
Por fim temos que encontrar a solução que satisfaça às duas condições acima, assim podemos 
esquematizar as soluções em três retas reais, sendo as duas primeiras a solução das duas 
inequações e a última a solução (intersecção) da inequação modular. 
Lembrando que o x tem que ser maior que 0. 
 
 
Analisando as retas descritas, podemos deduzir então, que como só queremos os 
valores maiores que 0, os únicos que servem são o 1 e 4. Sendo assim, x maior que 
1, e menor que 4. 
 
S = { x ϵ R | 1 < x < 4 } 
 
7) Os vértices de um triângulo são: A(-3;6), B(9; -10) e C(-5;4). Determinar o 
centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. 
 
8) Sejam as retas de equações 2x + 3y – 5 = 0 e 7x + 15y + 1, que se interceptam 
num ponto P. Neste caso, a reta que passa por P, e é perpendicular à reta de 
equação 12x – 5y – 1 = 0. 
 
9) Qual é a equação da reta que passa por P(3;1), intercepta (r) 3x – y = 0 em A e 
(s) x + 5y = 0, em B, tal que P é o ponto médio do segmento AB. 
 
10) Qual é a equação da reta que passa pelo ponto A(2;5) e que corta a reta de 
equação y = -x + 1 num ponto B, tal que AB = 3√𝟐 . 
 
11) Achar a equação da reta que passa pelo ponto de interseção das retas x – 3y + 
2 = 0 e 5x + 6y – 4 = 0 e é paralela à reta 4x + y + 7 = 0. 
 
12) Num sistema de eixos ortogonais xOy, escrever a equação que passa pelo 
ponto P(1;2) e determina, com os semi-eixos positivos Ox e Oy, um triângulo de 
área igual a 9/2. 
 
 
13) Seja P(a;1) um ponto da reta (r) de equação 3x + y – 7 = 0. Qual é a equação 
da reta (s) que passa por P e é perpendicular a (r). 
 
 
14) Determinar as retas paralelas a 3x – 4y + 5 = 0 e que definem com os eixos 
um triângulo de área 6. 
 
 
15) As retas y = 4x, y = 2x – 1 e a perpendicular pela origem à reta y = 
2x – 1 determinam um triângulo. Qual o valor de sua área? 
 
 
Respostas: 1) { -1/2, 1/2, 2, 3 } ; 2) { -3/2, 1/3, 1 }; 3) { -9, -2 }; 4) { x ε R / 1 ˂ x ˂ 2 ou 
3 ˂ x ˂ 4 } ; 5) { x ε R / x ≤ 1 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x ≥ 6 } ; 6) { x ε R / 1 ˂ x ˂ 4 } ; 7) Centro 
= (3, -2) e Raio = 10; 8) 5x + 12y + 6 = 0 ; 9) x + y – 4 = 0 ; 10) y = x + 3 ; 11) 12x + 
3y – 2 = 0; 12) y – 2 = - (x -1) ou y – 2 = -4. (x – 1) ; 13) x – 3y + 1 = 0 ; 14) 3x – 4y 
+ 12 = 0 e 3x – 4y – 12 = 0; 15) 9/20