Excitação senoidal e fasores

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DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Capítulo 10
Excitação Senoidal e Fasores
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
10.1 Propriedades das Senóides:
Onda senoidal:
Amplitude = Vm
Freqüência angular = ω [rad/s]
Senóide é uma função periódica:
Período: T = 2pi/ω
Freqüência: f = 1/T = ω/2pi
Expressão geral:
onde φ é o ângulo de fase.
( ) ( )tVtv m ω= sen
( ) ( )tvTtv =+
( ) ( )φ+ω= tVtv m sen
Vm
-Vm
pi/ω 2pi/ω t
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Curva de uma senóide defasada de φ radianos:
Note que:
pi/ω 2pi/ω t
( ) ( )φ+ω= tVtv m sen
( ) ( )tVtv m ω= sen
φ/ω
( )tt ω=




 pi
−ω sen
2
cos
( )tt ω=




 pi+ω cos
2
sen
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Exemplo: Determinação de quanto uma senóide antecede ou segue outra da 
mesma freqüência.
Portanto, v1 antecede v2 de 30º − 108º = −78º, ou v1 está defasada em relação a 
v2 de 78º.
Soma de uma senóide com uma cossenóide de mesma freqüência:
( )°+ω= 30cos41 tv
( )°+ω−= 18sen22 tv ( )°+°+ω= 18018sen22 tv
( )°−°+°+ω= 9018018cos22 tv
( )°+ω= 108cos22 tv
( ) ( ) ( ) ( )








ω
+
+ω
+
+=ω+ω t
BA
B
t
BA
ABAtBtA sencossencos
2222
22
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A
B
22 BA +
θ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]θω+θω+=ω+ω sensencoscossencos 22 ttBAtBtA
( ) ( ) ( )[ ]θ−ω+=ω+ω tBAtBtA cossencos 22






=θ −
A
B1tan
ou
Obs.: cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) = cos(a − b)
cos(a)cos(b) − sen(a)sen(b) = cos(a + b)
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Exemplo:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]θ−+−=+− ttt 3cos1253sen123cos5 22
°=





−
=θ − 6,112
5
12
tan 1
( ) ( ) ( )[ ]°−=+− 6,1123cos133sen123cos5 ttt
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10.2 Exemplo de um Circuito RL
Encontrar if .
Por tentativa, temos:
Então:
Lvg = Vm cos(ωt)
R
+
−
i ( )tVRi
dt
diL m ω=+ cos
( ) ( )tBtAi f ω+ω= sencos
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )tVtBtARtBtA
dt
dL m ω=ω+ω+ω+ω cossencossencos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tVtRBtRAtBLtAL m ω=ω+ω+ωω+ωω− cossencoscossen
mVRABL =+ω
0=+ω− RBAL
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Assim,
Portanto, 
mas
Portanto,
222 LR
RVA m
ω+
=
222 LR
LVB m
ω+
ω
=
( ) ( )t
LR
LV
t
LR
RVi mmf ω
ω+
ω
+ω
ω+
= sencos 222222
( ) ( ) ( )[ ]θ−ω+=ω+ω tBAtBtA cossencos 22






=θ −
A
B1tan











ω
−ω
ω+
=
−
R
L
t
LR
Vi mf 1222 tancos
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Então, podemos escrever a corrente forçada como:
onde
Resposta natural:
A corrente se estabiliza em seu valor de regime permanente c.a. dado pela 
corrente forçada.
Método muito trabalhoso para a obtenção das equações de corrente!





ω
−=φ −
R
L1tan
[ ]φ+ω= tIi mf cos
222 LR
VI mm
ω+
=






−= t
L
RAin exp1
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10.3 Método Alternativo utilizando Números Complexos
Para a análise de circuitos com excitação senoidal.
Propriedades dos números complexos:
Representação na forma retangular de um número complexo:
onde , a = parte real de A e b = parte imaginária de A.
Representação na forma polar:
onde 
1−=j
α∠== α AeAA j
22 baA +=






=α −
a
b1tan
jbaA +=
jbaA +=
Re
Im
a
b
A
α
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Exemplo: A = 4 + j 3
Exemplo: A = −5 −j 12
534 22 =+=A
( ) °== − 9,3643tan 1α
°∠= 9,365A
( ) ( ) 13125 22 =−+−=A
( ) °=
−
−+=α − 4,2475
12tanº180 1
°∠= 4,24713A
125 jA −−=
Re
Im
-12
-5
A
α
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Outras relações úteis:
Fórmula de Euler:
°∠= 901j
°∠=−= 180112j
( ) ( ) tjmmm eVtjVtV ω=ω+ω sencos
( )tVeV mtjm ω=





 ω cosRe
( )tVeV mtjm ω=





 ω senIm
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Retomando o exemplo do circuito RL:
Seja v1 = Vmejωt a excitação complexa do circuito, então
Componente forçada da corrente i1 na forma complexa deve resolver a equação:
Lvg = Vm cos(ωt)
R
+
−
i
vg = Vm cos(ωt) = Re{v1}
tj
meVvvRidt
diL ω==+ onde 1111
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Para resolver a equação vamos tentar:
Então,
Logo,
tj
meVRidt
diL ω=+ 11
tjAei ω=1
tj
m
tjtj
eVRAeLAej ωωω =+ω
( ) tjmtj eVAeRLj ωω =+ω





ω
−
−
ω+
=
ω+
=
R
Lj
m
m
e
LR
V
LjR
VA
1tan
222
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Então:
mas if = Re{i1}, assim
Portanto, se i1 é a resposta complexa para a função excitação complexa v1, 
então if = Re{i1} é a resposta para a excitação vg = Re{v1}.
tjR
Lj
mtj ee
LR
VAei ω





ω
−
ω










ω+
==
−1
tan
2221












−
−
+
=
R
L
tj
m e
LR
Vi
ω
ω
ω
1tan
2221











ω
−ω
ω+
=










ω+
=
−











ω
−ω
−
R
L
t
LR
V
e
LR
Vi mR
L
tj
mf
1
222
tan
222
tancosRe
1
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Note que:
pode ser escrita como:
e, portanto, de
temos:
Portanto, é mais fácil usar a função excitação complexa v1 para encontrar a 
resposta complexa i1.
A função excitação real é Re{v1}⇒ a resposta real é Re{i1}.






=





 +
ωtj
meVRidt
diL ReRe 11
{ }( ) { }( ) ( )tViRi
dt
dL m ω=+ cosReRe 11
( )tVRi
dt
diL m ω=+ cos
{ }1Re iii f ==
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10.4 Excitações Complexas
Sem perda da generalidade, vamos considerar a entrada como sendo uma fonte 
de tensão e a saída como sendo uma corrente através de um elemento.
Em geral, a excitação é da forma:
Enquanto que a resposta forçada é da forma:
Portanto, sabendo-se os valores de ω, θ e Vm, podemos calcular Im e φ.
( )θ+ω= tVv mg cos
( )φ+ω== tIii mf cos
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Circuito+
−
( )θ+ω= tVv mg cos
( )φ+ω= tIi m cos
Para resolver i no circuito, vamos considerar a excitação complexa:
Pois sabemos que
( )θ+ω
=
tj
meVv1
Circuito+
−
1i( )θ+ω
=
tj
meVv1
{ }1Re ii =
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A equação representativa do circuito pode ser resolvida para a resposta forçada, 
visto que
a solução tentativa é:
Comparando com , temos 
Assim,
e
tjj
m eeVv
ωθ
=1
tjAei ω=1
( )φ+ω= tIi m cos { }1Re ii =
( )






=φ+ω ωtjm AetI Recos
φ
=
j
meIA
tjj
m eeIi
ωφ
=1
Re{ } ( )φ+ω= tIi m cos
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Exemplo: Cálculo da resposta forçada if de
Troca para a excitação complexa:
Resposta complexa i1 deve satisfazer:
Então, i1 pode ter a seguinte forma:
Substituindo, obtemos
( )°+=++ 152cos212822
2
ti
dt
di
dt
id
( )°+
=
152
1 212
tj
ev
( )°+
=++ 152112
1
2
21282 tjei
dt
di
dt
id
tjAei 21 =
( ) ( ) ( ) ( )°+=++ 15222222 21282 tjtjtjtj eAeAedtdAedtd
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Assim,
Logo,
Portanto, 
E a resposta real é:
( ) tjjtj eeAej 2152 212844 °=++−
°−∠=
°∠
°∠
=
+
=
°
303
452415212
44
212 15
j
eA
j
( ) ( )°−=°−∠== 302221 3303 tjtjtj eeeAi
{ } ( ){ } ( )°−=== °− 302cos33ReRe 3021 teii tj
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Exercício: Calcular a resposta forçada v:
a) 10 Ω
+
−
[ ]V 10 8tjg ev = 1/20 F5 Ω
+
v
-
i
vi =50
20
1
10
=++
−
dt
dvi
vv g
0
20
1
510
=++
−
dt
dvvvv g
tj
ev
dt
dv 8206 =+gvvdt
dv 26 =+
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Resposta forçada:
tjAev 8=
tj
ev
dt
dv 8206 =+ tjtjtj eAeAej 888 2068 =+
( ) tjtj eAej 88 2086 =+
°−∠=
°∠
°∠
=
+
= 1,532
1,5310
020
86
20
jA
( )°−°−
==
1,53881,53 22 tjtjj eeev
b) Se vg = 10 cos(8t) [V], então: 
( ){ } ( )°−== °− 1,538cos22Re 1,538 tev tj
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10.5 Fasores
Fasores permitem colocar os resultados obtidos anteriormente em uma forma 
mais compacta.
Tensão senoidal:
Forma fasorial
Razão para a definição de fasor (fórmula de Euler):
Assim,
θθ ∠== m
j
m VeVV
( ) { }tjjmm eeVtV ωθθω Recos =+
( )θω += tVv m cos
{ }tjev ωVRe=
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Exemplo: Dado 
Representação fasorial:
Visto que ω = 4 rad/s, v é prontamente obtida de V.
Representação fasorial para corrente:
Exemplo: Dado ω = 6 rad/s, e I = 2∠15º, então temos:
( ) [ ]V 304cos10 °+= tv
[ ]V 3010 °∠=V
 φφ ∠== mjm IeII
( )φω += tIi m cos
( )°+= 156cos2 ti
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Representação fasorial para tensão e corrente é feita a partir da representação 
temporal na forma de cosseno.
Exemplo: Dada a função:
Podemos mudá-la para:
Assim, a representação fasorial é:
( ) [ ]V 303sen8 °+= tv
( )
( )°−=
°−°+=
603cos8
90303cos8
t
tv
[ ]V 608 °−∠=V
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Exemplo:
pois θ = 0 e portanto, V = Vm ∠0º. Substituindo este valor e fazendo i = i1 na 
equação representativa, temos:
onde i = Re{i1}
Lvg = Vm cos(ωt)
R
+
−
i
( )tVRi
dt
diL m ωcos=+
tjtj
m eeVv
ωω V==1
tj
eRi
dt
diL ωV=+ 11
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Tentando a solução:
obtemos:
Assim,
Substituindo na expressão de i1, obtemos
Tomando a parte real desta expressão temos:
tj
ei ωI=1
tjtjtj
eeReLj ωωωω VII =+
VII =+ RLjω






−∠
+
=





∠+
∠
=
+
=
−
−
R
L
LR
V
R
LLR
V
LjR
mm ω
ωωωω
1
2221222
tan
tan
º0VI


















−
+
=
−
R
L
tj
LR
Vi m ωω
ω
1
2221
tanexp












−
+
=
−
R
L
t
LR
Vi m ωω
ω
1
222
tancos
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Note que podemos ir da equação característica do circuito:
direto para a equação fasorial:
( )tVRi
dt
diL m ωcos=+
VII =+ RLjω
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10.6 Relações Tensão-Corrente para Fasores
Tensão-Corrente para resistores:
onde
Tensão e corrente complexas:
Substituindo na lei de Ohm e eliminando o fator ejωt:
Riv =
( )φω += tIi m cos
( )θω += tVv m cos
( )θω +
=
tj
meVv1 ( )φω += tjmeIi1
( ) ( )φωθω ++
=
tj
m
tj
m eRIeV
φθ j
m
j
m eRIeV = IV R=
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Da equação:
podemos verificar que
Portanto, a tensão e a corrente senoidais para um resistor possuem o mesmo 
ângulo de fase, isto é, estão em fase.
φθ j
m
j
m eRIeV =
mm RIV =
φθ =
v,i
t
v
i
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Exemplo: R = 5 Ω, v = 10 cos(100t + 30º) [V]
No domínio do tempo:
( ) [ ]A 30100cos2 °+= ti
v
+
−
i
R = 5 Ω V = RI
+
−
I
R = 5 Ω
[ ]V 3010 °∠=V
[ ]A 302
5
3010
°∠=°∠==
R
VI
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Tensão-Corrente para indutores:
Tensão e corrente complexas:
v = Ldi/dt
+
−
i
L V = jωLI
+
−
I
jωL
dt
diLv =
( ) ( )[ ] ( )φωφωθω ω +++ == tjmtjmtjm eLIjeIdtdLeV
( )θω +
=
tj
meVv1 ( )φω += tjmeIi1
φθ ω jmjm eLIjeV = IV Ljω=
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Se a corrente no indutor é dada pela a equação
Então, como j = 1∠90º, temos:
Portanto, no domínio do tempo temos:
Comparando com , verificamos que a corrente está atrasada da 
tensão de 90º.
( )φω += tIi m cos
( )
( )°+∠=
∠==
90φω
φωω
m
m
IL
ILjLj IV
( )°++= 90cos φωω tLIv m
( )φω += tIi m cos
v,i
t
v
i
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Tensão-Corrente para capacitores:
Tensão e corrente complexas:
dt
dvCi =
v
+
−
i = Cdv/dt
C V
+
−
I= jωCV
1/jωC
( ) ( )[ ] ( )θωθωφω ω +++ == tjmtjmtjm eCVjeVdtdCeI
( )θω +
=
tj
meVv1 ( )φω += tjmeIi1
θφ ω jmjm eCVjeI = VI Cjω=
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Se a tensão no capacitor é dada pela a equação
Então, como j = 1∠90º, temos:
Portanto, no domínio do tempo temos:
Comparando com , verificamos que a corrente está adiantada 
da tensão de 90º.
( )θω += tVv m cos
( )
( )°+∠=
∠==
90θω
θωω
m
m
CV
VCjCj VI
( )°++= 90cos θωω tCVi m
( )θω += tVv m cos
v,i
t
v i
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Exemplo: Capacitor C = 1 µF e tensão igual a
Corrente no domínio do tempo:
( ) [ ]mA 120100cos °+= ti
v
+
−
i = Cdv/dt
C = 1 µF
( ) ( ) ( ) [ ]
[ ]mA 1201
A 301010100 6
°∠=
°∠⋅⋅== −jCj VI ω
( ) [ ]V 30100cos10 °+= tv
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10.7 Impedância e Admitância
Circuito geral com grandezas fasoriais:
Impedância Z do circuito:
Circuito
Fasorial
I
+
V
_
θ∠= mVV
φ∠= mII
I
VZ =
( )φθθ −∠=∠=
m
m
z I
VZZ
m
m
I
V
=Z
φθθ −=z
[Ω]
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Impedância Z segue as mesmas regras dos resistores em circuitos.
A impedância é um número complexo mas não é um fasor.
Impedância na forma retangular:
onde R = Re{Z} = componente resistiva (resistência)
X = Im{Z} = componente reativa (reatância)
Em geral, Z = Z(jω) é uma função complexa de jω mas R = R(ω) e X = X(ω) são 
funções reais de ω.
Note que
jXR +=Z
22 XR +=Z






=
−
R
X
z
1tanθ
|Z|
X
θz
R
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Exemplo: V = 10∠56,9º e I = 2 ∠20º
Forma retangular:
Circuito
Fasorial
I
+
V
_
[ ]Ω°∠=
°∠
°∠
== 9,365
202
9,5610
I
VZ
( ) ( )[ ]
[ ]Ω+=
°+°=
 34
9,36sen9,36cos5
j
jZ
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Impedância Z de resistores, indutores e capacitores:
No caso do resistor, a impedância é puramente resistiva, sendo a reatância 
zero.
No caso do indutor e do capacitor, a impedância é reatância pura, sem 
componente resistiva.
Reatância indutiva:
Reatância capacitiva:
RR =Z
LXL ω=
°−∠=−== 90111
CC
j
CjC ωωωZ
C
XC ω
1
−=
LjL ω=Z
LL jX=Z
CC jX=Z
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A reatância indutiva é positiva e a reatância capacitiva é negativa.
No caso geral, podemos ter as seguintes situações:
• X = 0⇒ circuito resistivo.
• X > 0⇒ circuito indutivo.
• X < 0⇒ circuito capacitivo.
A recíproca da impedância é chamada de admitância:
onde G = Re{Y} é a condutância e B = Im{Y} é a susceptância.
jXR +=Z
Z
Y 1=
jBG +=Y
jXRjBG +==+=
11
Z
Y
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Relação entre as componentes de Y e Z:
Assim,
Importante: R e G (X e B) não são recíprocos!!!
jXRjBG +=+
1






−
−
× jXR
jXR
222222 XR
Xj
XR
R
XR
jXRjBG
+
−
+
=
+
−
=+
R
G 1=
22 XR
XB
+
−=
X
B 1=
22 XR
RG
+
=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Z = 4 + j 3
Então,
Portanto,
25
3
25
4
34
34
34
1
22 j
j
j −=+
−
=
+
=Y
25
4
=G
25
3
−=B
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
10.8 Leis de Kirchhoff e Associações de Impedâncias
As leis de Kirchhoff são válidas para fasores, assim como para as tensões e 
correntes correspondentes no domínio do tempo.
A lei de Kirchhoff de tensões aplicada em um laço típico resulta na equação:
Dividindo por e jω t, temos:
onde 
( ) ( ) ( ) 021 21 =+++ +++ NtjNtjtj eVeVeV θωθωθω L
021 =+++ NVVV L
NnV nnn ,,2,1 , L=∠= θV
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
A lei de Kirchhoff de correntes aplicada em um nó típico resulta na equação:
Dividindo por e jω t, temos:
onde 
Se as excitações são senoidais com freqüência comum em um circuito, 
podemos encontrar as tensões e correntes fasoriais para todos os elementos e 
utilizar as leis de Kirchhoff para a análise.
A análise em regime permanente c.a. é idêntica à análise para circuitos 
resistivos, com a impedância no lugar da resistência.
( ) ( ) ( ) 021 21 =+++ +++ NtjNtjtj eIeIeI φωφωφω L
021 =+++ NIII L
NnI nnn ,,2,1 , L=∠= φI
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo:
Lei de Kirchhoff de tensões:
NVVVV +++= L21
Z1
+ V1 −
Z2
+ V2 −
ZN
+ VN −
I
+
V
−
Zeq IZV 11 = IZV 22 = IZV NN =
( )IZZZV N+++= L21
IZV eq=
Neq ZZZZ +++= L21
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
De maneira análoga, temos para N admitâncias em paralelo:
Lei de Kirchhoff de correntes:
Neq YYYY +++= L21
I
+
V
−
Yeq 11
VYI =
YNY1 Y2
I1 I2 IN
22 VYI = NN VYI =
NIIII +++= L21
( )VYYYI N+++= L21
VYI eq=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
No caso particular de apenas dois elementos em paralelo, temos:
Obs.: Regras de divisão de tensão e de corrente também são válidas para 
circuitos fasoriais, com a impedância e as quantidades no domínio da 
freqüência.
21
21
21
11
ZZ
ZZ
YYY
Z
+
=
+
==
eq
eq
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Circuito RL.
Lei de Kirchhoff de tensões no circuito fasorial:
Lvg = Vm cos(ωt)
R
+
−
i jωLVm ∠0º
R
+
−
I
°∠=+ 0mL VR IZI
( ) °∠=+ 0mVLjR Iω





ω
−∠
ω+
=
ω+
°∠
=
−
R
L
LR
V
LjR
V mm 1
222
tan
0I
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
No domínio do tempo:
Método alternativo de solução:
Impedância vista pelos terminais da fonte é:
e a corrente:
como obtida anteriormente.






−∠
+
=
−
R
L
LR
Vm ω
ω
1
222
tanI











ω
−ω
ω+
=
−
R
L
t
LR
Vi m 1
222
tancos
LjR ω+=Z
LjR
Vm
ω+
°∠
==
0
Z
VI
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
10.9 Circuitos Fasoriais
Equação representativa de um circuito fasorial é uma equação fasorial.
Resolvendo esta equação obtemos uma resposta na forma de fasor, que é
convertida para uma resposta no domínio do tempo.
Exemplo: Cálculo de i no circuito.
vg = 5 cos(3t)
3 Ω
+
−
1 Ω
1H
1/9 F
ii1
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
5∠0º
3 Ω
+
−
1 Ω
j3 Ω
−j3 Ω
II1
Impedância vista dos terminais da fonte:
Portanto, temos:
Por divisão de corrente, temos:
Corrente no domínio do tempo:
( )( ) 34
333
3331 jjj
jj
−=
−+
−+
+=Z
°∠=
°−∠
°∠
=
−
°∠
= 9,361
9,365
05
34
05
1 jI
( ) ( ) ( ) ( ) °∠=°∠⋅°∠=°∠⋅+=
−+
+
= 9,8129,3614529,3611
333
33
1 jjj
j II
( ) [ ]A 9,813cos2 °+= ti
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Cálculo de i no circuito com fonte de tensão dependente.
Lei de Kirchhoff de correntes em a:
V1
I
+
−
4 Ω
-j2 Ω
3∠0º [A] (1/2)V1+
−
a
v1
i
+
−
4 Ω
1/8 F
3cos(4t) [A] (1/2)v1+
−
a
°∠=
−
+ 03
2
2
1
1
j
V
I°∠=
−
−
+ 03
2
2
1
11
j
VV
I
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Pela lei de Ohm, temos V1 = 4I, logo
Portanto, temos:
Obs.: O método fasorial de obter i, calculando primeiramente I = V/Z e 
trocando I por i, não funciona se Z(jω) = 0. Pois, neste caso, o circuito é
excitado na freqüência natural jω.
°∠=
−
+ 03
2
4
2
1
j
Ι
Ι
622 jj −=+− ΙΙ
°−∠=
°−∠
°−∠
=
−
−
= 45
2
3
4522
906
22
6
j
j
Ι
( ) [ ]A 454cos
2
3
°−= ti