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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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exemplos a seguir, fac¸a um desenho e explique com sı´mbolos matema´ticos o que cada teorema
quer dizer.
(a) Lei (Teorema) dos Senos:
“A medida de cada um dos lados de um triaˆngulo qualquer e´ proporcional ao seno do res-
pectivo aˆngulo oposto, e a constante de proporcionalidade e´ duas vezes a medida do raio do
cı´rculo circunscrito ao triaˆngulo”.
(b) Lei (Teorema) dos Co-senos:
“Em um triaˆngulo qualquer, o quadrado da medida de um lado e´ igual a` soma dos quadrados
das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo
co-seno do aˆngulo formado por eles”.
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Capı´tulo 5. Desvendando os teoremas-Parte II
Figura 5.1: Estudos de Leonardo da Vinci (1452-1519), onde veˆ-se desenhos de poliedros
4. Este exercı´cio e´ para voceˆ perceber que, ale´m de uma escolha pessoal, a maneira de enunciar
teoremas pode tambe´m depender da linguagem usada na e´poca em que foram demonstrados pela
primeira vez.
Como curiosidade, apresentamos alguns resultados matema´ticos escritos com a linguagem original
com a qual foram enunciados ha´ centenas de anos. Observe como e´ utilizada uma linguagem
totalmente geome´trica, e como os resultados tambe´m eram apresentados usando-se proporc¸o˜es,
um estilo que perdurou por centenas de anos na Matema´tica Grega Antiga.
Os teoremas que seguem sa˜o muito conhecidos, so´ que esta˜o escritos de uma forma diferente da
que estamos acostumados. Em cada caso, descubra qual teorema estamos enunciando e o reescreva
no estilo em que sa˜o apresentados hoje em dia.
(a) “Se um segmento de reta e´ dividido aleatoriamente em dois pedac¸os, o quadrado construı´do
sobre o segmento inteiro e´ igual aos quadrados sobre os segmentos parciais e duas vezes os
retaˆngulos construı´dos por esses segmentos”.
Euclides n’Os Elementos, II. 4; 300 a.C.
(b) “A a´rea de qualquer cı´rculo e´ igual ao triaˆngulo retaˆngulo no qual um dos lados adjacentes
ao aˆngulo reto e´ igual ao raio, e o outro lado vale a circunfereˆncia do cı´rculo.”
Arquimedes 2, 225 a.C. no Medida do cı´rculo.
2Arquimedes de Siracusa (c. 287-212 a.C.) e´ considerado um dos maiores sa´bios da Antigu¨idade. Nos seus trabalhos
pode-se encontrar as ide´ias germinais do Ca´lculo Integral. Usando me´todos surpreendentes para sua e´poca, calculou a a´rea de
figuras planas (cı´rculo, para´bola) bem como a´reas e volumes de so´lidos (esfera, por exemplo). Brilhante inventor (catapultas,
ma´quinas de guerra, Parafuso de Arquimedes), foi descobridor do Princı´pio do Empuxo e da Lei das Alavancas. Ficou
conhecido por sua frase “Da´-me um ponto de apoio e eu moverei o mundo” e por seu grito “Eureka!” (descobri!, em Grego).
Reza uma lenda que enquanto tomava banho, ele teria descoberto a Lei do Empuxo e, eufo´rico, teria saı´do a`s ruas correndo e
gritando ‘eureka!’, ‘eureka!’. So´ que no ı´mpeto da descoberta, Arquimedes teria esquecido de vestir suas roupas!!
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5.3. A famı´lia dos teoremas
(c) “A superfı´cie de qualquer esfera e´ igual a quatro vezes o maior cı´rculo que ela conte´m”.
Arquimedes, 220 a.C. no Sobre a esfera e o cilindro.
(d) “O volume da esfera esta´ para o volume do cilindro circular reto a ela circunscrito, assim
como 2 esta´ para 3”.
Arquimedes, Sec. III a.C.
5.3.1 Teoremas de existeˆncia e unicidade
Na Linguagem Matema´tica, quando dizemos “existe um elemento que satisfaz determinada pro-
priedade”, diferentemente do que ocorre na Linguagem Coloquial, deve-se entender na verdade que,
“existe pelo menos um elemento que satisfaz aquela propriedade”, nada impede que possam existir out-
ros. Ao dizer “existem dois elementos que satisfazem tal propriedade”, entenda-se, “existem pelo menos
dois elementos que satisfazem aquela propriedade”, mas podem existir mais do que dois; e assim por
diante.
Se, por acaso, for possı´vel determinar o nu´mero exato de elementos que satisfazem a propriedade em
questa˜o, o resultado, sem du´vida, e´ mais preciso. Daı´, esse nu´mero deve sempre ser enfatizado ao redigir
o teorema.
Lembre-se de enunciados de teoremas nessa linha como:
“Existem cinco e somente cinco poliedros de Plata˜o 3”.
Os teoremas que garantem a existeˆncia de qualquer objeto matema´tico sa˜o chamados teoremas de
existeˆncia. Um fato interessante e´ que, va´rias vezes, um teorema garante a existeˆncia de determinado
objeto matema´tico, mas na˜o o exibe, tampouco constro´i um exemplo desse objeto.
Em muitos casos, diante da natureza do problema, realmente e´ impossı´vel exibir um exemplo, mesmo
tendo sido assegurada sua existeˆncia! Muitas vezes o que importa e´ a existeˆncia do objeto e na˜o propri-
amente o objeto em si. Interessante, na˜o? Mais adiante vamos dar um exemplo de um teorema desse
tipo.
Ha´ tambe´m os resultados de unicidade (teoremas de unicidade), garantindo que, se existir algum
objeto que possua determinada propriedade, enta˜o ele e´ u´nico. Por exemplo:
“Por um ponto do espac¸o pode-se trac¸ar um u´nico plano perpendicular a uma determinada reta”
Conve´m registrar que, em certos casos, pode-se deduzir alguns resultados apenas usando a unicidade,
independente de estar assegurada a existeˆncia do objeto!
Outros teoremas asseguram a existeˆncia e a unicidade de objetos matema´ticos. Estes teoremas, com
muita raza˜o, sa˜o chamados teoremas de existeˆncia e unicidade. Por exemplo:
3Plata˜o (c.428-348 a.C) era um filo´sofo grego ateniense, discı´pulo de So´crates (469-399 a.C) e mestre de Aristo´teles
(c.384-322 a.C). Na˜o contribuiu com descobertas matema´ticas, entretanto, seu entusiasmo e sua maneira de tratar a
Matema´tica, dando-lhe importaˆncia como parte vital do pensamento filoso´fico e da Educac¸a˜o, contribuiu para que a
Matema´tica alcanc¸asse a grande reputac¸a˜o que obteve no mundo Ocidental. Dois de seus famosos Dia´logos teˆm como
personagem Teeteto, que era um matema´tico. Inspirados pelo mestre, alguns discı´pulos de Plata˜o tornaram-se destacados
matema´ticos, sobressaindo-se Eudoxo de Cnido (408-355? a.C.). Sobre os po´rticos da Academia de Plata˜o estava escrito:
“Que ningue´m que ignore a geometria entre aqui”.
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Capı´tulo 5. Desvendando os teoremas-Parte II
UMA PROPRIEDADE DOS NU´MEROS INTEIROS CONSECUTIVOS:
“Dada uma sequ¨eˆncia qualquer de n nu´meros inteiros consecutivos k, k+1, k+2, . . . , k+n− 1, existe
um, e apenas um deles, que e´ divisı´vel por n.”
Observe que o resultado acima assegura a existeˆncia e a unicidade de determinado nu´mero de uma
sequ¨eˆncia de n nu´meros consecutivos, mas na˜o o exibe, tampouco informa qual deles seja.
EXERCI´CIOS:
1. Analise e deˆ as interpretac¸o˜es de como a frase abaixo e´ concebida na Linguagem Coloquial e na
Linguagem Matema´tica:
“Ha´ 21 alunos na sala-de-aula”.
2. Que outras opc¸o˜es voceˆ daria para reescrever a frase:
“Existem cinco e somente cinco poliedros de Plata˜o”,
ressaltando a existeˆncia de exatamente cinco desses poliedros.
3. Considere o seguinte teorema de unicidade:
“A equac¸a˜o x2 + x− 6 = 0 possui uma u´nica raiz positiva”.
Como justificar o fato acima, sem usar as raı´zes do trinoˆmio?
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CAPI´TULO 6
Desvendando as demonstrac¸o˜es
“Senhor, perdoai que a Verdade esteja confinada a`s demonstrac¸o˜es matema´ticas!”
William Blake (1757-1827) in Notes on Reynold’s Discourses, c. 1808.
“Nenhuma investigac¸a˜o feita pelo homem pode ser chamada realmente de cieˆncia se na˜o
puder ser demonstrada matematicamente.”
Leonardo da Vinci (1452-1519)
6.1 O que e´ uma demonstrac¸a˜o?
(O raciocı´nio dedutivo)
“Senhoras e senhores, vamos apresentar uma sensacional e maravilhosa ma´gica, ou melhor, uma
MATEMA´GICA, que ha´ de lhes deixar surpresos! Precisamos de sua ajuda para essa surpreendente
e incrı´vel fac¸anha da Matema´tica, que nos intriga com seus miste´rios! Primeiramente, escolha quan-
tos dias da semana voceˆ gosta de sair para passear. Multiplique esse nu´mero por 2. Adicione 5. Mul-