Combinações ELU ELS Aulas 25 28 II

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PILARES 
Prof. Almir Barros da S. Santos Neto 
Exemplo de Dimensionamento das Armaduras 
ELU – Solicitações Normais 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA (UFSM) 
Departamento de Estruturas e Construção Civil 
ECC 1008 – Estruturas de Concreto 
INTRODUÇÃO 
Aproximação para apoios extremos (item 14.6.6) 
Só é permitida para CARGAS VERTICAIS!!! 
Contém limitações 
Justificável quando não se tem auxílio computador 
Antigamente... 
Classificava-se pilares (canto, extremo; interno) para obtenção dos esforços 
Não era obrigatória a consideração das ações de vento (“brechas”) 
Havendo apenas cargas verticais, montava-se apenas uma combinação de 
ações para a obtenção dos esforços em pilares: 
sob,qqggd FFF 
Com a atual NBR 6118... 
(deve-se ter certeza que ações vento são desprezíveis...) 
Substituir modelos de viga contínua por modelos de pórticos 
Substituir ábacos por aplicativos para flexão oblíqua 
Classificar pilares (canto, extremo; interno) apenas para identificação 
(não recomendado para definir os momentos solicitantes) 
(incapaz de capturar deslocamentos horizontais) 
(impossibilita a avaliação dos efeitos globais de 2° ordem) 
(softwares livres e comerciais) 
Atualização da NBR 6118: 1978 para 2003; 2007 
Realizar combinações de ações (incluindo horizontais em diversas direções) 
Criação da norma de sismos: NBR 15421 (2006) 
Ações horizontais (vento; sismo; desaprumo) 
(dimensionamento: verificação para todas as combinações) 
Utilização necessária e crescente dos recursos computacionais 
Alterações na maneira de tratar o dimensionamento de pilares 
EDIFÍCIO ANALISADO 
Planta de formas estruturais – adaptado de FUSCO (1981) 
Pilar escolhido: P4 
Materiais estruturais: 
Concreto C25 
Aço CA-50 
(barras longitudinais) 
Cobrimento: 3,0 cm 
Diâmetro máximo agregado 
= 19 mm 
Ações atuantes: 
Já calculadas e combinadas 
Distância entre pisos: 4,60 m 
(entre Térreo e 1° piso) 
Combinações do ELU analisadas 
Combinação 1: 
1vento,qsob,qgd F84,0F4,1F4,1F 
Combinação 2: Vento à 90 graus como ação variável principal 
1vento,qsob,qgd F4,1F98,0F4,1F 
Vento à 90 graus como ação variável secundária 
Combinação 3: 
2vento,qsob,qgd F84,0F4,1F4,1F 
Combinação 4: Vento à 0 grau como ação variável principal 
2vento,qsob,qgd F4,1F98,0F4,1F 
Vento à 0 grau como ação variável secundária 
Processadas em modelo de pórtico com posterior amplificação pelo z 
(Efeitos globais de 2° ordem) 
kN2338NSd 
kN2108NSd 
My Mx 
My Mx 
Combinação 1: 
Combinação 2: 
kN2420NSd 
Combinação 3: 
kN2357NSd 
My Mx 
My Mx 
Esforços extraídos do modelo de pórtico (já inclui amplificação com z) 
Combinação 4: 
Qual é a combinação mais crítica para o 
dimensionamento do pilar? 
E os esforços de 2° ordem locais? 
Por isso é que o dimensionamento é na realidade uma verificação para cada 
combinação... 
d,hid,iWM  
Ponto indeslocável
Ponto indeslocável
VIGA
VIGA
i A
PILAR
e
A
e
2
i Be
B
Efeitos globais de 2° ordem Efeitos locais de 2° ordem 
2Sd eNM 
(na estrutura como um todo) 
(no elemento isolado) 
EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO EM SALA DE AULA 
Esforços da Combinação 1 
Proceder de forma similar para as demais combinações 
COMPRIMENTO EQUIVALENTE 
e
Flexão em torno do eixo y: 
cmo 39862460 


 

cm 460
cm 42325398
menore
Seção do pilar P4 


 




h
menor
o
e
cm460
cme 423No plano da estrutura (pórtico) analisada(o) 
Analogamente, para flexão em torno do eixo x: cmo 40852460  





cm
cmh
menor
o
e
 460
 47870408



cme 460
MOMENTOS MÍNIMOS DE 1 ORDEM 
Flexão em torno do eixo y: 
 h03,0015,0NM Sdmin,d1    mkNM yyd . 61,5225,003,0015,02338min,,1 
Flexão em torno do eixo x: 
  mkNM xxd . 17,8470,003,0015,02338min,,1 
Envoltória mínima de 1 ordem 
Mx
My
84,17
M1d,min,xx
52,61
M1d,min,yy
-52,61
-84,17
(Valores em kN.m) 
COEFICIENTES 
b
40,0
M
M
40,060,0
A
B
b 
Flexão em torno do eixo y: 
xM
yM
0,1b 
momentos fletores menores que o momento mínimo 
mkNM yyd . 61,52min,,1 
mkNM A . 93,28
Flexão em torno do eixo x: 
631,0
43,210
42,16
40,060,0b 
mkNM B . 82,16
mkNM A . 43,210
Positivo se tracionar mesma face que 
AM
ÍNDICES DE ESBELTEZ 
61,58
25
12423
h
12e 



Flexão em torno do eixo y: 
b
sdA
b
1
1
h
N/M
5,1225
h
e
5,1225






62,25
0,1
25,0
2338/93,28
5,1225
1 


1
Como Consideração obrigatória dos efeitos locais de 2 ordem 
locais em torno deste eixo 
351 9035 1 
Lembrando que 
76,22
70
12460
h
12e 



Flexão em torno do eixo x: 
17,42
631,0
70,0
2338/43,210
5,1225
h
N/M
5,1225
b
sdA
1 





1
Como Podem ser desprezados os efeitos locais de 2 ordem locais 
em torno deste eixo 
MOMENTO DE CÁLCULO DE 1 ORDEM 
Flexão em torno do eixo y: 
mkNMM AAd . 93,28,1 
(Diagrama de momentos – modelo estrutural) 
Momento usado nas amplificações dos métodos aproximados 
Flexão em torno do eixo x: 
mkNMM AAd . 43,210,1 
(Diagrama de momentos – modelo estrutural) 
É o valor de cálculo de 1 ordem do momento A
M
MOMENTO TOTAL PARA DIMENSIONAMENTO 
Ponto indeslocável
Ponto indeslocável
VIGA
VIGA
i A
PILAR
e
A
e
2
i Be
B
Na seção crítica: ponto intermediário entre A e B 
Efeitos locais de 2 ordem são máximos 
Nas seções A e B: efeitos locais de 2 ordem podem ser desprezados 
Porém lembrar que os momentos nas extremidades já devem incluir os efeitos globais 
de 2 ordem (ex: coeficiente z; P-Delta global, etc) 
 A,d1tot,Sd MãoamplificaçM 
Métodos aproximados da NBR 6118 (2014): 
(1ordem + 2ordem) (1ordem) 
Pilar Padrão com curvatura aproximada 
Pilar Padrão com rigidez k aproximada 
A,d1tot,Sd MM 
(apenas 1ordem) 
Método do pilar padrão com curvatura aproximada 
Método do pilar padrão com rigidez k aproximada 
A seção crítica é a que comanda o dimensionamento segundo 
os métodos acima 
Segundo os itens 15.8.3.3.2 e 15.8.3.3.3 da NBR 6118:2014 
Flexão em torno do eixo y: 
61,58 351 
> 
 
748,0
4,1
5,2
7025
2338









  h
005,0
cm1060,1
5,0748,025
005,0
r
1 14 






 
14cm1000,2
25
005,0
h
005,0 
(ok!) 
MOMENTOS TOTAIS PARA DIMENSIONAMENTO (SEÇÃO CRÍTICA) 
Método do pilar padrão com curvatura aproximada 
  h
005,0
5,0h
005,0
r
1








cdc
Sd
fA
N

Curvatura (1/r): 
Momento total máximo no pilar: 
(1ordem + 2ordem) 
Obrigatório considerar 
efeitos locais de 2ordem 
A,d1
2
e
SdA,d1btot,Sd M 
r
1
10
NMM 







Parcela de 2ordem 
0,1b  cm423e 
Flexão em torno do eixo y (continuação): 
A,d1
2
e
SdA,d1btot,Sd M
r
1
10
NMM 







cmkNM Ad . 2893,1    cmkNM totSd . 95861060,1
10
423
233828930,1 4
2
, 

Flexão em torno do eixo x: 
76,22 17,421 
< Pode-se desprezar 
efeitos locais de 2ordem 
A,d1A,d1btot,Sd MMM 
631,0b 
cme 460 cmkNM Ad . 21043,1  cmkNM totSd . 1327821043631,0,  cmkNM totSd . 21043, 
Envoltória mínima com 2 ordem 
yymin,,d1
2
e
Sdyymin,,d1byymin,,tot,Sd M
r
110
NMM 







Flexão em torno do eixo y: 
  cmkNM yytotSd . 119541060,1
10
423
233852610,1 4
2
min,,, 

cmkNM yyd . 5261min,,1 
Flexão em torno do eixo x: xxmin,,d1xxmin,,d1bxxmin,,tot,Sd MMM  cmkNM xxtotSd . 53118417631,0min,,,  cmkNM xxtotSd . 8417min,,, 
cm.kN 8417M xxmin,,d1 
Mx
My
84,17
MSd,tot,min,xx
119,54 MSd,tot,min,yy
-84,17
-119,54
Mx
My
84,17
M1d,min,xx
52,61
M1d,min,yy
-52,61
-84,17
(Valores em kN.m) 
Envoltória mínima de 1ordem 
Envoltória mínima com 2ordem 
(Seção crítica) 
Resumo da 
Combinação 1 
Modelo de pórtico (incluindo z) Total para o dimensionamento 
Flexão em torno 
do eixo x (Mx): 
Flexão em torno 
do eixo y (My): 
Momentos mínimos 
Efeitos locais de 2ordem 
Flexão em torno do eixo y: Flexão em torno do eixo x: 
mkNM y . 54,119 mkNM x . 43,210
kNN 2338
Neste caso específico, analisando-se os momentos totais no pilar: 
Confirmando: seção crítica (entre A e B) é a que comanda o dimensionamento 
Esforços solicitantes a serem 
utilizados no dimensionamento 
à flexão composta oblíqua da 
Combinação 1 
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 
Taxa de armadura longitudinal sugerida (pré-dimensionamento da seção): 
%2
c
s
A
A
  7025
A
02,0 s


2 35 cmAs 
Escolhendo  = 20mm para as barras longitudinais 
barras 15,11
14,3
35

mm 20 12
Escolhido t = 5 mm 
Diâmetro das barras longitudinais: 8
dim 
 10
menor
mm   mmmm 25,31
8
250

) 14,3 20 1( 2cmmm 
Diâmetro dos estribos: 



4/
 5


mm
t
mmmm 54/ 20 
cmcd t 5,4
2
0,2
5,00,3
2
` 

Espaçamento livre entre as barras: mmcm 1022,100,22,12 






agregmáxd
mm
NBR
,2,1
 20
6118 
(ok!) 
(ok!) 
(ok!) 
mmmm 8,22 192,1 
Espaçamento máximo entre eixos das barras: mmcm 160 16 
mm 5002502  

 

mm 400
dim 2
6118
menor
NBR
(ok!) 
(ok!) 
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA: Envoltória resistente x solicitações 
Será necessário aumentar resistência da seção (dimensões, armadura, fck) 
Seção não resiste! 
mm 20 14
Aumentando um pouco a área de armadura longitudinal 
%0,4%33,2 
(ok!) Combinação 1: ok!!! 
Seção resiste! 
Combinação 2: 
Momentos extraídos do modelo 
de pórtico (incluindo z) 
Momentos totais para o 
dimensionamento 
Com a seção obtida 
anteriormente 
Verificar segurança: 
envoltória resistente x solicitações da combinação 2 
Observação: a rigor, cada combinação possui uma envoltória resistente 
Dependente do valor da força normal 
Se não houver 
resistência suficiente 
Aumentar resistência da seção 
(dimensões, armadura, fck) 
Combinação 3, Combinação 4, ..... 
Mesmos procedimentos: 
Segurança deve ser atendida em todas as combinações do ELU 
Otimização (economia) também é desejável 
Qual é a seção do pilar “que deve ir para a obra”? 
(dimensões, armaduras, concreto fck) 
É a seção que satisfizer todas as combinações do ELU 
LEITURA SUGERIDA 
NBR 6118:2014 
Item 15 
Item 18.4 
(instabilidade e efeitos de 2° ordem) 
(detalhamento das armaduras de pilares) 
Artigo da Revista Ibracon de Estruturas e Materiais – RIEM (v.3; n.2) 
Desenvolvimento de uma ferramenta didática para o estudo da flexão 
composta oblíqua em seções quaisquer de concreto armado 
http://www.ibracon.org.br/publicacoes/revistas_ibracon/riem/home.asp