Apostila Matlab - 5

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MATLAB Básico – Autoria: Família Carielo 
Escola Técnica LEIAUT Cariele 
Av. Governador Carlos de Lima Cavalcante, nº 168 – Derby / Recife - PE 
Rua Joaquim Felipe, nº 119 – Boa Vista/ Recife - PE 
 
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SISTEMAS LINEARES 
Considere o sistema linear abaixo: 
 
Esse sistema pode ser escrito na forma de matrizes, como Ax = b. Frequentemente, precisamos 
resolver problemas na forma Ax = b, em que A é uma matriz quadrada, formada pelos coeficientes a11 até 
ann. Além disso, x e b são vetores coluna, em que x é um vetor formado pelas variáveis a serem 
determinadas x1,x2,...,xn e b é o vetor de termos independentes b1, b2, ..., bn. 
 Será explicado agora uma forma de resolver um sistema linear, através do exemplo abaixo. 
X1+4x2+3x3 = 1 
2x1+5x2+4x3 = 4 
X1-3x2-2x3 = 5 
 Lembre-se que esse sistema linear pode ser representado do seguinte modo: 
1 4 3
2 5 4
1 −3 −2
 . 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
 = 
1
4
5
 
 Matriz A Vetor x Vetor b 
Para isso, siga os passos abaixo: 
1º Passo: Na Janela de Comandos, digite A = [1 4 3; 2 5 4; 1 -3 -2]; e pressione Enter. 
2º Passo: Digite b = [1;4;5]; e pressione Enter. 
3º Passo: Digite x= inv(A)*b e pressione Enter. 
 
 
5º Módulo do MATLAB Básico 
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Observe que apareceu x = 3.0000 
 -2.0000 
 2.0000 
Assim, pode-se calcular a solução do sistema diretamente, usando os comandos x = A\b ou x = 
inv(A)*b. Ambos os comandos fazem a multiplicação da matriz inversa de A por b. 
Para treinar ainda mais, siga os passos abaixo: 
1º Passo: Na Janela de Comandos, digite A = [ 5 1 -2; 3 -9.4 1.8; 1 2.2 4.6] e pressione Enter. 
Observe que apareceu A = 5.0000 1.0000 -2.0000 
 3.0000 -9.4000 1.8000 
 1.0000 2.2000 4.6000 
2º Passo: Digite b = [ 10; 22; 10] e pressione Enter. 
 Observe que apareceu b = 10 
 22 
 10 
 3º Passo: Digite x = inv(A)*b e pressione Enter. 
Observe que apareceu x = 3 
 -1 
 2 
4º Passo: Digite x = A\b e pressione Enter. 
Observe que apareceu o mesmo resultando de x = inv(A)*b, já que é apenas outra forma de se 
calcular essa operação. 
Observação: Não apague a sua lista de variáveis, pois continuaremos utilizando-as. 
 
 
 
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DECOMPOSIÇÃO LU 
 Em álgebra linear, a decomposição LU (do inglês, lower e upper) é uma forma de fatoração de 
uma matriz invertível como o produto de uma matriz triangular inferior (lower), em que todos os 
elementos acima da diagonal principal são nulos, e uma matriz triangular superior (upper), em que todos os 
elementos abaixo da diagonal principal são nulos. 
 Sabe-se ainda, da álgebra linear, que se for possível encontrar a decomposição LU de uma matriz A, é 
possível resolver o sistema Ax = b da seguinte forma: 
Ax = b 
Como A = LU, temos que: 
LUx = b 
Sendo y = Ux, obtemos: 
 Ly = b 
Para encontrarmos a decomposição LU de uma matriz A no MATLAB, devemos primeiramente 
utilizar o comando [L U] = lu(A). Para treinar a decomposição LU no MATLAB, siga os passos abaixo: 
1º Passo: Na Janela de Comandos, digite [L U] = lu(A) e pressione Enter. 
 
Observe que apareceu L = 1.0000 0 0 
 0.6000 1.0000 0 
 0.2000 -0.2000 1.0000 
Perceba o resultado de L. Todos os elementos acima da diagonal principal são nulos. 
U = 5.0000 1.0000 -2.0000 
 0 -10.0000 3.0000 
 0 0 5.6000 
 
Perceba o resultado de U. Todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. 
 
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2º Passo: Digite y = L\b e pressione Enter. 
Observe que apareceu y = 10.0000 
 16.0000 
 11.2000 
3º Passo: Digite x = U\y e pressione Enter. 
 Observe que apareceu x = 3 
 -1 
 2 
Observação: Perceba que o resultado foi o mesmo que o encontrado no 3º e no 4º passo da 
página 62. 
Observação: Não apague sua lista de variáveis, pois continuaremos usando-as. 
 
FUNÇÃO “linsolve” 
 
1º Passo: Digite x = linsolve(A,b) e pressione Enter. 
Observe que apareceu x = 3 
 -1 
 2 
 Perceba que você obteve o mesmo resultado que no caso anterior. 
EXERCÍCIO 
 
Sabe-se que Ax = b, em que A é uma matriz quadrada 3x3 e tanto b, quanto x, são vetores coluna, 
sendo b um vetor dos termos independentes e x, das incógnitas. Assim, aplique o método LU para 
encontrar a solução do sistema linear. 
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Matriz A: 5 2 1 
 3 6 -2 
 2 -4 10 
 Vetor b: 8 
 7 
 8 
1º Passo: Na Janela de Comandos, digite A = [ 5 2 1; 3 6 -2; 2 -4 10]; e pressione Enter. 
2º Passo: Digite B = [ 8; 7; 8]; e pressione Enter. 
3º Passo: Digite [ L U] = lu (A) pressione Enter. 
L = 1.0000 0 0 
 0.6000 1.0000 0 
 0.4000 -1.0000 1.0000 
U = 5.0000 2.0000 1.0000 
 0 4.8000 -2.6000 
 0 0 7.0000 
4º Passo: Digite x = U\(L\b) e pressione Enter. 
x = 1.0000 
 1.0000 
 1.0000 
 
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EXERCÍCIO 
 
Resolva a questão anterior, utilizando “inv”, a fim de encontrar o mesmo resultado. Em seguida, 
encontre o mesmo resultado usando A\b. 
 
EXERCÍCIO 
 
1- Sabe-se que Ax = b, em que “A” é uma matriz quadrada 3x3 e “b” e “x” são vetores coluna, 
sendo “b” um vetor dos termos independentes e “x”, das incógnitas. 
Matriz A = 1.0001 1 
1 1 
 
Vetor b = 2 
 2 
 
Teste a solução com: 
a) inv(A)*b 
Resposta encontrada: 
 
b) A\b 
Resposta encontrada: 
 
c) Método LU 
Resposta encontrada: 
 
d) Função linsolve 
Resposta encontrada: 
 
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2- Mantenha o valor da matriz A, mas modifique o valor da matriz b para b = 2.0001 
 2 
Teste a solução com: 
a) inv(A)*b 
Resposta encontrada: 
 
 
b) A\b 
Resposta encontrada: 
 
c) Método LU 
Resposta encontrada: 
 
d) Função linsolve 
Resposta encontrada: 
Observação: Você deve ter percebido que uma mudança pequena no valor de b da primeira 
questão para a segunda mudou completamente a solução.