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Professores: 
Glauber Marcio Silveira Pereira
Erica Boizan Batista
Matrizes e Determinantes
Unidade 1. Matrizes
1.1 Definição e tipos especiais de matrizes
TÓPICOS
Definição do conceito de Matriz
Matrizes especiais
Notação
Uma Matriz com m linhas e n
colunas é na verdade uma forma de
representar uma tabela retangular
com elementos distribuídos em m
linhas e n colunas, como podemos
ver na representação ao lado.
As matrizes são muitas vezes
delimitadas por parênteses ou
colchetes, e seus elementos podem
ser números, funções etc.
Neste curso trataremos
especificamente de matrizes cujos
elementos são números reais.
jan fev mar abr mai jun
10 10 14 8 7 11
21 15 12 9 14 10
5 14 7 11 9 12
10 10 14 8 7 11
21 15 12 9 14 10
5 14 7 11 9 12
Matrizes
Fonte: Autoria própria
Notação
Matriz linha é toda matriz que possui
apenas uma linha. No exemplo acima
a matriz A é uma matriz linha de
ordem 1x5.
Há matrizes que recebem nomes
especiais, geralmente como
consequência de seu formato ou por
causa de seus elementos.
Matriz coluna é toda
matriz que possui
apenas uma coluna. No
exemplo ao lado a matriz
B é uma matriz coluna
de ordem 4x1.
Tipos de Matrizes
Matriz nula é toda
matriz cujos
elementos são todos
iguais a zero.
Matriz quadrada
Dizemos que uma matriz é
quadrada se a quantidade de suas
linhas coincide com a quantidade
de colunas que ela possui.
No exemplo ao lado a matriz A é
uma matriz quadrada, pois possui
3 linhas e 3 colunas.
Além disso, toda matriz quadrada
possui duas diagonais:
1- diagonal principal
2- diagonal secundária
Matriz diagonal
Dizemos que uma matriz quadrada
é diagonal se todos os elementos
fora da diagonal principal são zero.
No exemplo ao lado a matriz D é
uma matriz diagonal.
Obs.: Os elementos da diagonal
principal podem ou não ser zero,
como vemos no exemplo ao lado.
Matriz identidade
Matriz triangular
Dizemos que uma matriz quadrada é
triangular superior se todos os
elementos abaixo da diagonal
principal são zero. Analogamente,
dizemos que uma matriz quadrada é
triangular inferior se todos os
elementos acima da diagonal
principal são zero.
Obs.: A matriz identidade é uma
matriz que é triangular superior e
inferior ao mesmo tempo.
Matriz transposta
Matriz A 
transposta
Matriz simétrica 
Matriz anti-simétrica
Matrizes e Determinantes
Matrizes: Definição e Propriedades
Resumo da apresentação
Apresentamos aqui as noções
iniciais relacionadas ao conceito
de Matrizes e principais tipos de
Matrizes.
CRÉDITOS
Autor 
Autores 
Glauber Marcio Silveira Pereira 
Graduado em Matemática
Mestre em Bioestatística
Doutor em Estatística
Erica Boizan Batista
Graduada em Matemática 
Mestre em Matemática 
Doutora em Matemática
REFERÊNCIAS
ANTON, H. A.; BUSBY, R. Álgebra Linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman,
2006. 610p
BOLDRINI, J. L.; COSTA, S.I.R.; RIBEIRO, V.L.F.F., WETZLER, H.G. Álgebra Linear.
3.ed. São Paulo: Harbra, 1986. 412p.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Introdução à Álgebra Linear. 2.ed. São Paulo:
Makron, 1990. 246p.
O material Matrizes e Determinantes – Matrizes: definição e tipos especiais de matrizes de Glauber Márcio 
Silveira Pereira e Erica Boizan Batista está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-
NãoComercial 4.0 Internacional.
http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/
Professores: 
Glauber Marcio Silveira Pereira
Erica Boizan Batista
Matrizes e Determinantes
Unidade 1. Matrizes
1.2 Operações com Matrizes
TÓPICOS
Adição de Matrizes
Multiplicação por escalar
Multiplicação de Matrizes
Igualdade de Matrizes
Operações básicas entre 
matrizes
Assim como é possível realizar
operações com números reais
também podemos definir
operações entre matrizes. Em
particular, como estamos
trabalhando com matrizes cujos
elementos são números reais
essas operações serão muito
semelhantes às operações que já
conhecemos como operações
básicas.
Fonte: Imagem disponível no site Pixabay
https://pixabay.com/pt/photos/cor-escola-n%C3%BA
meros-cubos-4503279/; Autor(a): na_photos
https://pixabay.com/pt/photos/cor-escola-n%C3%BAmeros-cubos-4503279/
https://pixabay.com/pt/photos/cor-escola-n%C3%BAmeros-cubos-4503279/
Igualdade de Matrizes
Exemplo:
Adição de Matrizes
Exemplo:
Dadas duas matrizes A, B e O de mesma
ordem, onde O representa a matriz formada
apenas por elementos nulos, então temos
as seguintes propriedades:
i) A + B = B + A (comutatividade)
ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
iii) A + O = O + A = A (elemento neutro)
iv) A + (-A) = O = (-A) + A (elemento oposto)
Propriedades
Exemplo:
Multiplicação por escalar
Propriedades:
Exemplo:
Multiplicação de Matrizes
Exemplo:
Exemplo:
Propriedades
Exemplo:
Propriedades
Exemplo:
Propriedades
Exemplo:
Propriedades
Exemplo:
Propriedades
Resumo das Propriedades de Multiplicação de Matrizes
Matriz Inversa
Exemplo:
Pois,
e
Matriz Inversa
Exemplo:
Observação
Nem toda matriz quadrada é invertível!
Matrizes e Determinantes
Operações Matriciais
Resumo da apresentação
Nesta apresentação abordamos as
principais operações matriciais e suas
propriedades.
CRÉDITOS
Autor 
Autores 
Glauber Marcio Silveira Pereira 
Graduado em Matemática
Mestre em Bioestatística
Doutor em Estatística
Erica Boizan Batista
Graduada em Matemática 
Mestre em Matemática 
Doutora em Matemática
REFERÊNCIAS
ANTON, H. A.; BUSBY, R. Álgebra Linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman,
2006. 610p
BOLDRINI, J. L.; COSTA, S.I.R.; RIBEIRO, V.L.F.F., WETZLER, H.G. Álgebra Linear.
3.ed. São Paulo: Harbra, 1986. 412p.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Introdução à Álgebra Linear. 2.ed. São Paulo:
Makron, 1990. 246p.
O material Matrizes e Determinantes – Operações com matrizes de Glauber Márcio Silveira Pereira e Erica 
Boizan Batista está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial 4.0 
Internacional.
http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/
Professores: 
Glauber Marcio Silveira Pereira
Erica Boizan Batista
Matrizes e Determinantes
Unidade 2. Determinantes
2.1 Conceito e propriedades operatórias
TÓPICOS
O conceito de determinantes
Propriedades dos Determinantes
Teorema de Laplace
Definição: A toda matriz quadrada associa-se um
número, denominado determinante da matriz, que é
obtido por meio de operações entre os elementos da
matriz.
A teoria dos determinantes teve origem em meados do
século XVII, e seu uso no Ocidente começou dez anos
depois em um trabalho de Leibniz sobre sistemas
lineares, onde ele estabeleceu a condição de
compatibilidade de um sistema de três equações a duas
incógnitas em termos do determinante de ordem 3,
formado pelos coeficientes e pelos termos
independentes.
Determinantes 
Determinantes da matriz de 1ª ordem:
O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento
da matriz .
Cálculo de determinantes
Ex: det( 3 ) = 3
Ex: 3 = 3
Ambas as notações são utilizadas
Determinantes da matriz de 2ª ordem:
O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da
matriz .
Cálculo de determinantes
Ex:
1 2
0 −1
= 1 ⋅ −1 − (0 ⋅ 2) = −1
Determinantes da matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus):
1) Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas.
2) Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da
diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua
direita.
3) Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os
elementos das outras duas filas à sua direita.
4) O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3.
Cálculo de determinantes
Determinantes da matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus):
Cálculo de determinantes
Ex:
1 −1 0
0 3 2
1 1 1
1 −1
0 3
1 1
= 1∙3∙1 + 0∙1∙0 + −1 ∙2∙1
−[1∙3∙1+( − 1)∙2∙1+0∙1∙0]= − 1
Menor principal
Considere
𝐴 =
1 2 −1
3 2 1
0 1 0
,
Então:
𝐴11 =
2 1
1 0
, 𝐴12 =
3 1
0 0
, 𝐴13 =
3 2
0 1
𝐴21 =
2 −1
1 0
, 𝐴22 =
1 −1
0 0
, 𝐴23 =
1 2
0 1
𝐴31
=
2 −1
2 1
, 𝐴32 =
1 −1
3 1
, 𝐴33 =
1 2
3 2
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de 
ordem 𝑛 ≥ 2. 
Chama-se o menor principal 𝐴ij
associado a um elemento 𝑎𝑖𝑗
de 𝐴, a matriz obtida da matriz 
𝐴 quando se eliminam a linha e 
a coluna em que se encontram 
o elemento 𝑎𝑖𝑗 .
Teorema de Laplace
Ex: Considere a matriz A, tomando a terceira linha temos:
𝐴 =
1 2 −1
3 2 1
0 1 0
O determinante de uma matriz 𝐴, de ordem 𝑛 ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos 
de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos determinantes das seus respectivos menores 
principais multiplicados por -1 elevado à soma de seus índices, ou seja, (−1)𝑖+𝑗 ⋅ |𝐴𝑖𝑗 |.
1 2 −1
3 2 1
0 1 0
= 0 ⋅ −1 3+1 ⋅ |𝐴31 +1 ⋅ −1
3+2 ⋅ 𝐴32 + 0 ⋅ −1
3+3 ⋅ |𝐴33 = −4
Propriedades dos Determinantes
1) Fila nula: Se todos os elementos de uma fila de uma matriz 𝐴 forem nulos, então
det 𝐴 = 0 .
Ex:
1 3 1 2 1
2 3 3 3 2
0 0 0 0 0
1 2 3 −1 5
3 7 2 −2 1
= 0
1 0 1 2 1
2 0 3 3 2
1 0 2 9 −1
1 0 3 −1 5
3 0 2 −2 1
= 0
Propriedades dos Determinantes
2) Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais: Se duas filas paralelas de uma matriz A
forem iguais ou proporcionais, então det 𝐴 = 0 .
Ex:
1 1 1
1 1 1
1 3 1
= 0 ⅇ
1 2 1
1 2 2
1 2 3
= 0
Propriedades dos Determinantes
3) Matriz Transposta: O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta.
Ex:
1 1 −1
−1 2 1
1 3 0
= 3 ⅇ
1 −1 1
1 2 3
−1 1 0
= 0
Propriedades dos Determinantes
4) Teorema de Binet: Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes quadradas de mesma ordem 𝑛, então
det 𝐴. 𝐵 = det 𝐴 det 𝐵 .
𝐴 =
1 0
1 2
, 𝐵 =
3 1
−1 0
ⅇ 𝐴 ∙ 𝐵 =
1 0
1 2
∙
3 1
−1 0
=
3 1
−1 1
1 0
1 2
= 2 ,
3 1
−1 0
= 1 ⅇ
3 1
−3 1
= 2
Então:
Propriedades dos Determinantes
5) Matriz triangular: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal.
Ex:
1 1 −1
0 2 −1
0 0 3
= 6 ⅇ
−2 0 0
1 1 0
−1 1 2
= −4
6) Troca de Filas Paralelas: Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz
𝑀, obteremos uma outra matriz 𝑀´, tal que det𝑀´ = −det𝑀 .
1 1 −1
1 2 −1
−1 2 3
= 2 ⅇ
1 1 −1
2 1 −1
2 −1 3
= −2
Propriedades dos Determinantes
Ex:
7) Produto de uma Fila por uma Constante: Se todos os elementos de uma fila de uma
matriz forem multiplicados por um mesmo número real 𝑘, o determinante da matriz assim
obtida fica multiplicado por 𝑘.
Obs.: Se uma matriz 𝐴, de ordem 𝑛, e 𝑘 um número real, temos det 𝑘𝐴 = 𝑘𝑛 det 𝐴.
1 1 −1
1 2 −1
−1 2 3
= 2 ⅇ
3 ∙ 1 1 −1
3 ∙ 1 2 −1
3 ∙ (−1) −2 3
= 3 ∙ 2 = 6
Propriedades dos Determinantes
Ex:
8) Determinante da Matriz Inversa: Seja 𝐴 uma matriz e 𝐴−1 sua inversa, então
det 𝐴−1 =
1
det 𝐴
.
1 1 −1
1 2 −1
−1 2 3
= 2 ⅇ
4
−5
2
1
2
−1 1 0
2
−3
2
1
2
=
1
2
𝐴−1
𝐴
Propriedades dos Determinantes
Uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é 
diferente de zero. 
9) Adição de Determinantes: Um determinante pode ser decomposto na soma de
outros determinantes. Para isso decompomos uma das colunas em uma soma, e
mantemos fixas as demais colunas.
1 0 −1
1 2 −1
−1 1 3
+
1 1 −1
1 0 −1
−1 1 3
=
1 1 −1
1 2 −1
−1 2 3
= 2
Propriedades dos Determinantes
Propriedades dos Determinantes
10) Teorema de Jacobi: Adicionando-se a uma fila de uma matriz 𝐴 , de ordem 𝑛, uma
outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova
matriz 𝑀′ , tal que det𝑀′ = det𝑀 .
1 3 −1
1 5 −1
−1 −2 3
=
1 1 −1
1 2 −1
−1 2 3
3x
Matrizes e Determinantes
Determinantes: Definição e 
Propriedades
Resumo da apresentação
Apresentamos aqui as noções
iniciais relacionadas a
determinantes e algumas de suas
principais propriedades.
CRÉDITOS
Autor 
Autores 
Glauber Marcio Silveira Pereira 
Graduado em Matemática
Mestre em Bioestatística
Doutor em Estatística
Erica Boizan Batista
Graduada em Matemática 
Mestre em Matemática 
Doutora em Matemática
REFERÊNCIAS
ANTON, H. A.; BUSBY, R. Álgebra Linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman,
2006. 610p
BOLDRINI, J. L.; COSTA, S.I.R.; RIBEIRO, V.L.F.F., WETZLER, H.G. Álgebra Linear. 3.ed.
São Paulo: Harbra, 1986. 412p.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Introdução à Álgebra Linear. 2.ed. São Paulo:
Makron, 1990. 246p.
O material Matrizes e Determinantes – Determinantes: conceito e propriedades operatórias de Glauber Márcio 
Silveira Pereira e Erica Boizan Batista está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-
NãoComercial 4.0 Internacional.
http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/
Professores: 
Glauber Marcio Silveira Pereira 
Erica Boizan Batista 
Matrizes e Determinantes 
Unidade 2. Determinantes 
2.2 Aplicações 
TÓPICOS 
Aplicação em Sistemas Lineares 
Aplicação na Criptografia 
 
Aplicação no Controle de Tráfego 
Aplicação na Computação Gráfica 
 
Os estudos sobre as matrizes vêm desde o século XIX 
e trazem uma nova experiência ao campo da 
matemática. As matrizes possuem grande 
aplicabilidade em nosso dia a dia, mesmo sem 
percebermos, o sistema matricial está envolvido nas 
mais diversas áreas, dentre elas estão a informática, 
a computação gráfica, a engenharia civil, engenharia 
de produção, dentre tantos outros exemplos. 
Introdução 
Representação matricial: 
Considere um sistema de 
equações lineares com m 
equações e n incógnitas. 
Sistemas Lineares 
 
𝑎11. 𝑥1 + 𝑎12. 𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21. 𝑥1 + 𝑎22. 𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏2
 ⋮   ⋮     ⋮  ⋮
𝑎𝑚1. 𝑥1 + 𝑎𝑚2. 𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
 , 
Podemos reescrever este sistema como 
uma equação de matrizes da forma 
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵, onde 
𝑋 =
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
 𝐵 =
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
 e 
Este método é empregado para resolver um sistema linear em que o número de 
equações é igual ao número de incógnitas. Para isso considere um sistema com 
n equações e n incógnitas, então a matriz A formada pelos coeficientes 𝑎𝑖𝑗 do 
sistema é uma matriz quadrada. Se det(𝐴) ≠ 0 temos pelo método de Cramer 
que 𝑥1 é dado por: 
Método de Cramer 
𝑥1 =
Δ11𝑏1+. . . +Δ𝑛1𝑏𝑛
det   𝐴
=
𝑏1 𝑎12 … 𝑎1𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑏𝑛 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
=
Δ1
Δ
 
Para encontrar 𝑥𝑖 basta substituir a 𝑖-ésima coluna da matriz A pelos números 
𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛. 
Exemplo 
 
 2𝑥 − 3𝑦 + 7𝑧 = 1
 𝑥 + 3𝑧 = 5
 2𝑦 − 𝑧 = 0
⇒ 𝐴 =
2 −3 7
1 0 3
0 2 −1
 e 𝐵 =
1
5
0
 
Note que det 𝐴 = −1 ≠ 0, logo podemos aplicar o método de Cramer, então: 
𝑥 =
1 −3 7
5 0 3
0 2 −1
det 𝐴
 = −49 , 𝑦 =
2 1 7
1 5 3
0 0 −1
det 𝐴
 = −9 𝑒 𝑧 =
2 −3 1
1 0 5
0 2 0
det 𝐴
 = 18 
Considere um cruzamento de duas 
ruas de mão dupla, com três 
conjuntos de semáforo controlando 
o fluxo de automóveis nos pontos A, 
B e C, e o tempo em que os 
semáforos ficam ao mesmo tempo 
abertos é indicado pelas matrizes 
𝑆1, 𝑆2 𝑒 𝑆3 conforme a sequência em 
que aparecem. 
Controle de tráfego 
Fonte: Imagem do site Pixabay 
 https://pixabay.com/pt/photos/tr%C3%AAs-%C3%B4nibus-cidade-aldeia-de-
%C3%B4nibus-2701353/ 
https://pixabay.com/pt/photos/tr%C3%AAs-%C3%B4nibus-cidade-aldeia-de-%C3%B4nibus-2701353/
https://pixabay.com/pt/photos/tr%C3%AAs-%C3%B4nibus-cidade-aldeia-de-%C3%B4nibus-2701353/
https://pixabay.com/pt/photos/tr%C3%AAs-%C3%B4nibus-cidade-aldeia-de-%C3%B4nibus-2701353/
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𝑆1 = 
0 1 1
1 0 0
0 0 0
 ⇒ 
A 
De 
B 
C 
Para A B C 
𝑆2 = 
0 0 0
1/2 0 1/2
0 1/2 0
 ⇒ 
A 
B 
C 
Para A B C 
𝑆3 = 
0 0 1/2
0 0 0
1/2 1/2 0
 ⇒ 
A 
B 
C 
Para A B C 
Ficam abertos os semáforos de A para B, de B para 
C e de C para A durante 1 minuto. 
Ficam abertos os semáforos de B para A, de B 
para C e de C para B durante 1/2 minuto. 
Ficam abertos os semáforos de C para A, de C 
 para B e de A para C durante 1 minuto. 
De 
De 
Controle de tráfego 
𝑀 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 = 
0 1 1 + 1/2
1 + 1/2 0 1/2
1/2 1 0
 
Então, somando as matrizes 𝑆1 , 𝑆2 e 𝑆3 obtemos uma matriz que indica no 
tempo de 2 minutos quanto tempo cada semáforo permaneceu aberto. 
Se multiplicarmos a matriz M por 30, obteremos o tempo em minutos em 
que cada semáfora fica aberto durante 1 hora. 
𝑁 = 30 ∙
0 1 1 +
1
2
1 +
1
2
0
1
2
1
2
1 0
=
0 30 45
45 0 15
15 30 0
 
Controle de tráfego 
Por fim, supondo que nessas ruas passam 20 carros por minuto cada vez que 
os semáforos abrem, se multiplicarmos a matriz N por 20 obteremos a 
quantidade máxima de carros que passam nesse cruzamento no período de 
hora. 
20 ∙ 𝑁 =
0 600 900
900 0 300
300 600 0
 
A criptografia é o estudo dos 
princípios e técnicas pelas quais a 
informação pode ser transformada da 
sua forma original para outra ilegível, 
de forma que possa ser conhecida 
apenas por seu destinatário. 
Uma forma bastante interessante de 
ensinar matrizes inversas e 
multiplicação de matrizes é utilizando 
a criptografia. Vamos utilizar um 
método bastante simples que envolve 
matrizes inversas. Sejam A e B, tal que 
B é a matriz inversa de A. 
Criptografia 
Fonte: Imagem do site Pixabay 
https://pixabay.com/pt/photos/pirataria-cyber-hacker-crime-2964100/ 
https://pixabay.com/pt/photos/pirataria-cyber-hacker-crime-2964100/
https://pixabay.com/pt/photos/pirataria-cyber-hacker-crime-2964100/
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https://pixabay.com/pt/photos/pirataria-cyber-hacker-crime-2964100/
Controle de tráfego 
Considere A e B duas matrizes quadradas, tal que B é a matriz inversa de A. 
𝐴 =
1 0
−1 2
 𝑒 𝐵 =
1 0
1
2 
1
2 
 
Vamos utilizar essas duas matrizes como ‘chaves’ para codificar e decodificar a 
mensagem. O remetente vai usar a matriz A para codificar a mensagem e o 
destinatário vai usar a matriz B para decodificar a mensagem. Para codificar uma 
mensagem o primeiro passo é convertê-la da forma alfabética para uma forma 
numérica. 
Controle de tráfego 
Considere a tabela abaixo: 
A B C D E F G H I J 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
K L M N O P Q R S T 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
U V W X Y Z . ! * 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
O remetente e o destinatário devem conhecer essa tabela alfa-numérica e 
também pode fazê-la usando outras correspondências entre números e letras. 
Controle de tráfego 
Vamos codificar a seguinte mensagem: MATRIZES E DETERMINANTES. 
Para isso vamos fazer a correspondência entre as letras e os números usando a 
tabela dada: 
M A T R I Z E S E D E T E R M I N A N T E S 
13 1 20 18 9 26 5 19 30 5 30 4 5 20 5 18 13 9 14 1 14 20 5 19 
Como temos a matriz decodificadora A de ordem 2, vamos colocar a 
sequência de números dispostos em uma matriz de duas linhas. Se o número 
de elementos da mensagem for impar, podemos acrescentar um caractere 
vazio pois não vai alterar a mensagem. 
M =
13 1 20 18 9 26 5 19 30 5 30 4
5 20 5 18 13 9 14 1 14 20 5 19
 
Controle de tráfego 
Para codificar a mensagem , multiplicamos a matriz A por M , tal que N =AxM. 
Assim, 
N = AxM = 
1 0
−1 2
 ⨯
13 1 20 18 9 26 5 19 30 5 30 4
5 20 5 18 13 9 14 1 14 20 5 19
 
N= 
13 1 20 18 9 26 5 19 30 5 30 4
−3 39 −10 18 17 −8 23 −17 −2 35 −20 34
 
Quando a mensagem codificada chegar ao destinatário, ele usará a matriz B 
decodificadora para ler a mensagem. Sabendo que BxN= (BxA)xM = IxM = M. 
No nosso exemplo: 
BxN = 
13 1 20 18 9 26 5 19 30 5 30 4
5 20 5 18 13 9 14 1 14 20 5 19
 = M 
Representar um objeto em várias 
posições no espaço é fundamental 
para a Computação Gráfica. A 
possibilidade de realizar diversas 
transformações (rotacionar, encolher, 
esticar etc.) é importante em diversas 
aplicações da computação gráfica e as 
matrizes são ferramentas que 
possibilitam isso através das chamadas 
operações ou transformações de 
corpos rígidos. 
Computação Gráfica 
Fonte: Imagem do site Pixabay 
https://pixabay.com/pt/illustrations/fractais-plano-de-fundo-
matem%C3%A1tica-1800242/ 
https://pixabay.com/pt/illustrations/fractais-plano-de-fundo-matem%C3%A1tica-1800242/
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Translação 
A Translação é a operação que equivale a movimentar o objeto sem alterar a sua forma. 
Quando dizemos que um objeto foi transladado, quer dizer que cada um de seus pontos foi 
alterado de mesma forma, alterando o seu local no plano, como vemos na imagem ao lado. 
Note que a figura da esquerda foi translada “movida” de acordo com a direção e tamanho do 
vetor u indicado na figura da direita. 
Fonte: Autoria própria 
Translação 
Se o vetor que queremos usar para fazer a translação de uma figura do plano é do tipo 
𝑢 = 𝑢1, 𝑢2 então precisamos tomar cada um dos pontos (𝑥, 𝑦) da figura e fazer uma 
simples operação de soma, como vemos abaixo: 
Os novos pontos (𝑥′, 𝑦′) são os pontos da nova figura obtida, ou seja, da figura depois de 
transladada. 
 
𝑥′ = 𝑥 + 𝑢1
𝑦′ = 𝑦 + 𝑢2
 ⇒ 
𝑥′
𝑦′
=
𝑥
𝑦 +
𝑢1
𝑢2
 
Escala 
Escalonar um objeto significa mudar as dimensões desse objeto, ou seja, alterar seu 
tamanho. A transformação de escala é realizada através da operação de multiplicação em 
cada uma das coordenadas dos pontos do objeto pelo fator de escala, que nada mais é que 
um número real 𝛼1 que multiplica a primeira coordenada e 𝛼2 que multiplica a segunda 
coordenada. 
Para obter os pontos 𝑥′, 𝑦′ da nova figura 
escalonada basta multiplica cada um dos pontos 
𝑥, 𝑦 da figura original pela matriz acima. 
𝑥 𝑦
𝛼1 0
0 𝛼2
=
𝑥′
𝑦′
 
Fonte: Autoria própria 
Reflexão 
A operação Reflexão aplicada a um objeto tem um efeito semelhante ao de usar um espelho 
para criar um novo objeto. No caso de uma reflexão 2D, o espelho pode ser considerado 
sobre o eixo vertical ou horizontal, como mostrado na figura abaixo: 
Para obter os pontos 𝑥′, 𝑦′ da nova figura 
refletida com relação ao eixo vertical basta 
multiplicar cada um dos pontos 𝑥, 𝑦 da figura 
original pela matriz acima. 
𝑥 𝑦
−1 0
0 1
=
𝑥′
𝑦′
 
Fonte: Autoria própria 
Rotação 
A rotação é a operação que gira um 
objeto em torno de um ponto, como 
pode-se ver na figura. Se um ponto de 
coordenada (𝑥, 𝑦), a uma distância r>0 da 
origem tem suas coordenadas definidas 
por
𝑥 = 𝑟 ∙ cos 𝜑 , 𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜑 . 
Rotacionado de um ângulo θ em torno da 
origem, suas coordenadas passam a ser 
dadas por: 
 
Fonte: Autoria própria. 𝑥 𝑦
cos (θ) sen (θ)
−sen (θ) cos (θ)
=
𝑥′
𝑦′
 
Matrizes e Determinantes 
Aplicações 
 
Resumo da apresentação 
 
Apresentamos aqui algumas 
aplicações de matrizes e 
determinantes que podem ser 
observadas no dia a dia. 
Autor 
CRÉDITOS 
Autores 
Glauber Marcio Silveira Pereira 
Graduado em Matemática 
Mestre em Bioestatística 
Doutor em Estatística 
 
Erica Boizan Batista 
Graduada em Matemática 
Mestre em Matemática 
Doutora em Matemática 
 
REFERÊNCIAS 
ANTON, H. A.; BUSBY, R. Álgebra Linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
610p 
SMOLE, K. S.; DINIZ, M.I. Matemática – Ensino Médio. Vol. 1. ed. 9. São Paulo: Saraiva 
Didáticos, 2019. 304p. 
FIARRESGA, V. M. C. Criptografia e Matemática .2010. 161 f. Dissertação (Mestrado em 
matemática) – Faculdade de ciências da Universidade de Lisboa. Setembro 2010. 
 
 
 
O material Matrizes e Determinantes – Aplicações de Glauber Márcio Silveira Pereira e Erica Boizan Batista 
está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial 4.0 Internacional. 
http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/
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http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/
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28/10/2022 10:50 Questionário: Revisão da tentativa
https://cursos.poca.ufscar.br/mod/quiz/review.php?attempt=625828&cmid=3547 1/7
Página inicial Meus cursos Matrizes_Determinantes Atividade Questionário
Iniciado em sexta-feira, 30 set 2022, 15:04
Estado Finalizada
Concluída em sexta-feira, 30 set 2022, 15:08
Tempo
empregado
3 minutos 30 segundos
Avaliar 10,00 de um máximo de 10,00(100%)
Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere as matrizes A e B, assinale a alternativa que apresenta a matriz onde I é a matriz identidade de ordem 2.
 e 
Escolha uma opção:

2
A = [ ]1
0
2
1
B = [ ]−1
0
−2
−1
[ ]−1
0
−4
−1
[ ]1
0
0
1
[ ]1
0
2
1
[ ]1
0
0
0
Sua resposta está correta.
https://cursos.poca.ufscar.br/
https://cursos.poca.ufscar.br/course/view.php?id=87&section=0
https://cursos.poca.ufscar.br/course/view.php?id=87&section=3
https://cursos.poca.ufscar.br/mod/quiz/view.php?id=3547
28/10/2022 10:50 Questionário: Revisão da tentativa
https://cursos.poca.ufscar.br/mod/quiz/review.php?attempt=625828&cmid=3547 2/7
Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere as matrizes A e B, qual é a matriz resultante de A+2B?
 e 
Escolha uma opção:

A =
⎡
⎣
⎢
1
1
0
2
2
1
−1
1
0
⎤
⎦
⎥ B =
⎡
⎣
⎢
1
0
0
2
−1
1
−1
1
0
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
2
1
0
4
1
2
−2
2
0
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
3
1
0
6
0
3
−3
3
0
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
0
1
3
0
3
6
1
0
0
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
1
3
0
2
2
1
−1
1
0
⎤
⎦
⎥
Sua resposta está correta.
Qual das alternativas apresenta uma matriz invertível?
Escolha uma opção:

⎡
⎣
⎢
3
1
0
6
0
3
−3
−1
0
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
−1
1
0
6
0
3
−3
3
0
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
3
1
0
6
0
3
−3
3
0
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
3
1
0
0
0
0
−3
3
0
⎤
⎦
⎥
Sua resposta está correta.
28/10/2022 10:50 Questionário: Revisão da tentativa
https://cursos.poca.ufscar.br/mod/quiz/review.php?attempt=625828&cmid=3547 3/7
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2, com det(A)=2 e det(B)=3, então qual é o resultado de ?
Escolha uma opção:
-6
3
6
2
Sua resposta está correta.
Qual das alternativas apresenta uma matriz triangular superior?
Escolha uma opção:

A =
⎡
⎣
⎢
1
0
0
2
2
0
−1
1
0
⎤
⎦
⎥
A =
⎡
⎣
⎢
1
3
30
27
21
1
−11
1
10
⎤
⎦
⎥
A =
⎡
⎣
⎢
1
3
0
0
2
1
0
0
0
⎤
⎦
⎥
A =
⎡
⎣
⎢
1
30
0
30
22
11
0
11
0
⎤
⎦
⎥
Sua resposta está correta.
28/10/2022 10:50 Questionário: Revisão da tentativa
https://cursos.poca.ufscar.br/mod/quiz/review.php?attempt=625828&cmid=3547 4/7
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere a matriz .
Essa matriz é do tipo:
Escolha uma opção:
Linha
Simétrica
Coluna
Diagonal
A =
⎡
⎣
⎢
1
30
0
30
22
11
0
11
0
⎤
⎦
⎥
Sua resposta está correta.
Considere os determinantes
 e 
Então qual é o valor do determinante abaixo?
Escolha uma opção:
8
6
-5
5
= 2
∣
∣
∣
∣
x
y
z
2
2
1
z
y
x
∣
∣
∣
∣ = 3
∣
∣
∣
∣
x
y
z
2
0
−1
z
y
x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x
y
z
4
2
0
z
y
x
∣
∣
∣
∣
Sua resposta está correta.
28/10/2022 10:50 Questionário: Revisão da tentativa
https://cursos.poca.ufscar.br/mod/quiz/review.php?attempt=625828&cmid=3547 5/7
Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere uma matriz com ordem 1x3, então essa matriz é do tipo:
Escolha uma opção:
Coluna
Linha
Simétrica
Diagonal
Sua resposta está correta.
Qual o valor do seguinte determinante?
 
 
 
Escolha uma opção:
0
-1
1
2
A =
∣
∣
∣
∣
1
0
0
−2
2
−1
−1
1
0
∣
∣
∣
∣
Sua resposta está correta.
28/10/2022 10:50 Questionário: Revisão da tentativa
https://cursos.poca.ufscar.br/mod/quiz/review.php?attempt=625828&cmid=3547 6/7
Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Qual das alternativas apresenta uma matriz identidade?
Escolha uma opção:

A =
⎡
⎣
⎢
1
1
1
1
1
1
1
1
1
⎤
⎦
⎥
A =
⎡
⎣
⎢
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⎤
⎦
⎥
A =
⎡
⎣
⎢
0
0
1
0
1
0
1
0
0
⎤
⎦
⎥
A =
⎡
⎣
⎢
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎤
⎦
⎥
Sua resposta está correta.
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28/10/2022 10:50 Questionário: Revisão da tentativa
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