04. Aula Potencial Elétrico

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Prof. José Elisandro de Andrade
e-mail: elisandro_andrade@yahoo.com.br
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ
INSTITUTO DE GEOCÊNCIAS E ENGENHARIAS
FACULDADE DE ENGENHARIA DE MATERIAIS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
3.1 – Energia Potencial Elétrica
Revisando alguns pontos:
1°) Quando uma força Ԧ𝐹 atua sobre uma partícula que se move de um
ponto 𝑎 até um ponto 𝑏, o trabalho 𝑊𝑎→𝑏 é:
𝑊𝑎→𝑏 = න
𝑎
𝑏
Ԧ𝐹𝑑Ԧ𝑙 = න
𝑎
𝑏
𝐹𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑑𝑙
Onde: 𝑑Ԧ𝑙 é o deslocamento e 𝜙 é o ângulo entre Ԧ𝐹 e 𝑑Ԧ𝑙.
2°) A força Ԧ𝐹 é conservativa.
O trabalho realizado por Ԧ𝐹 pode ser sempre expresso em função da
energia potencial elétrica 𝑈.
𝑊𝑎→𝑏 = 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 = − 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = −∆𝑈
Se 𝑊𝑎→𝑏 é positivo, ∆𝑈 é negativo e a energia potencial diminui.
A mesma relação é feita para o trabalho negativo. (∆𝑈 > 0, aumenta)
3– POTENCIAL ELÉTRICO
3º) Energia mecânica total
𝐸𝑚 = 𝐾𝑎 + 𝑈𝑎 = 𝐾𝑏 + 𝑈𝑏
É conservada.
3.2 – Energia potencial elétrica em um campo uniforme
𝑊𝑎→𝑏 = 𝐹. 𝑑 = 𝑞0. 𝐸. 𝑑
A força é conservativa. Com isso, o
trabalho 𝑊𝑎→𝑏 realizado pelo campo
elétrico não depende da trajetória
descrita pela partícula para ir de um
ponto 𝑎 até um ponto 𝑏.
Associando trabalho a energia potencial 𝑈, temos: 𝑈 = 𝑞0. 𝐸. 𝑦
𝑊𝑎→𝑏 = −∆𝑈 = − 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = − 𝑞0. 𝐸. 𝑦𝑏 − 𝑞0. 𝐸. 𝑦𝑎 = −𝑞0. 𝐸. 𝑦𝑎 − 𝑦𝑏
3.3 – Energia Potencial Elétrica de Duas Cargas
Puntiformes
𝐹𝑟 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞. 𝑞0
𝑟2
Se 𝑞 e 𝑞0 possuem mesmo sinal, a força é 
repulsiva e 𝐹𝑟 é positiva. Quando o sinal é 
contrário, a força é atrativa e 𝐹𝑟 é negativa.
𝑊𝑎→𝑏 = න
𝑟𝑎
𝑟𝑏
𝐹𝑟 𝑑𝑟 = න
𝑟𝑎
𝑟𝑏 1
4𝜋𝜖0
𝑞. 𝑞0
𝑟2
𝑑𝑟
𝑊𝑎→𝑏 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞. 𝑞0
1
𝑟𝑎
−
1
𝑟𝑏
O trabalho realizado é sempre o mesmo para todas as possíveis trajetórias
entre 𝑎 e 𝑏.
𝑊𝑎→𝑏 = න
𝑟𝑎
𝑟𝑏
𝐹 𝑐𝑜𝑑 𝜙 𝑑𝑙 = න
𝑒𝑎
𝑟𝑏 1
4𝜋𝜖0
𝑞. 𝑞0
𝑟2
cos𝜙 𝑑𝑙
𝑑𝑟
Resolvendo, temos que a energia potencial elétrica de duas cargas
puntiformes é:
𝑈 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞. 𝑞0
𝑟
3.1 – Uma carga puntiforme 𝑞1 = +2,40 𝜇𝐶 é mantida em repouso na
origem. Uma segunda carga puntiforme 𝑞2 = −4,30 𝜇𝐶 se desloca do
ponto 𝑥 = 0,150 𝑚, 𝑦 = 0 até o ponto 𝑥 = 0,250 𝑚, 𝑦 = 0,250 𝑚. Qual é o
trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga 𝑞2?
3.2 – O pósitron (a antipartícula do elétron) possui massa igual a 9,11 ×
10−31𝐾𝑔 e carga 𝑒 = 1,60 × 10−19𝐶. Suponha que um pósitron esteja se
movendo nas vizinhanças de uma partícula alfa, que possui carga +2𝑒.
A partícula alfa possui massa aproximadamente 7000 vezes maior do
que a massa do pósitron, de modo que vamos considerar a partícula alfa
em repouso em algum sistema de referência inercial. Quando o pósitron
está a uma distância igual a 1,0 × 10−10 𝑚 da partícula alfa, ele se afasta
da partícula alfa com uma velocidade igual a 3,0 × 106 𝑚/𝑠. (a) Qual é a
velocidade do pósitron quando ele está a uma distância de 2,0 × 10−10 𝑚
da partícula alfa? (b) Qual é a velocidade do pósitron quando ele está a
uma distância muito grande da partícula alfa? (c) Qual seria a alteração
da situação supondo que a partícula que se desloca fosse, em vez de
um pósitron, um elétron (de mesma massa do pósitron, mas de carga
contrária)?
EXEMPLOS
3.4 – Energia Potencial Elétrica com Diversas Cargas
Puntiformes
Suponha que o campo elétrico 𝐸, no qual uma carga 𝑞0 se move, seja
produzido por um conjunto de cargas puntiformes 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, ⋯, separadas
de 𝑞0 pelas distâncias 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, ⋯.
𝑈 =
𝑞0
4𝜋𝜖0
𝑞1
𝑟1
+
𝑞2
𝑟2
+
𝑞3
𝑟3
+⋯
𝑈 =
𝑞0
4𝜋𝜖0
෍
𝑖
𝑞𝑖
𝑟𝑖
Podemos considerar também a energia potencial total 𝑈 para duas cargas 
quaisquer, onde,
𝑈 =
𝑞0
4𝜋𝜖0
෍
𝑖<𝑗
𝑞𝑖𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗
3.3 – Três cargas puntiformes, cada uma delas com carga igual a
+ 1,20𝜇𝐶, são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero, de lado
0,500 𝑚. Qual é a energia potencial do sistema? (Considere 𝑈 igual a
zero quando a distância entre as cargas for infinita.)
3.4 – Duas cargas puntiformes estão localizadas sobre o eixo 𝑂𝑥, 𝑞1 =
− 𝑒 no ponto x = 0 e 𝑞2 = +𝑒 no ponto 𝑥 = 𝑎. (a) Calcule o trabalho
realizado por uma força externa para trazer uma terceira carga
puntiforme 𝑞3 = +𝑒 do infinito até o ponto 𝑥 = 2𝑎. (b) Calcule a energia
potencial total do sistema constituído pelas três cargas.
EXEMPLOS
3.5 – Potencial Elétrico
Denomina-se potencial elétrico a energia potencial por unidade de carga
𝑉 =
𝑈
𝑞0
𝑜𝑢 𝑈 = 𝑞0𝑉
A energia potencial e a carga são escalares, de modo que o potencial
elétrico é uma grandeza escalar.
A unidade SI é o volt (1V)
1𝑉 = 1 𝑉𝑜𝑙𝑡 = 1
𝐽
𝐶
= 1
𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒
𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏
Se 𝑊𝑎→𝑏 = −∆𝑈, então:
𝑊𝑎→𝑏
𝑞0
= −
∆𝑈
𝑞0
= −
𝑈𝑏
𝑞0
−
𝑈𝑎
𝑞0
= − 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝑉𝑎𝑏
Em que 𝑉𝑎 = ൗ
𝑈𝑎
𝑞0 é a energia potencial por unidade de carga no ponto 𝑎
e 𝑉𝑏 é definido de modo análogo.
3.6 – Calculo do Potencial Elétrico
Dividindo a equação
𝑈 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞. 𝑞0
𝑟
Por 𝑞0, temos:
𝑉 =
𝑈
𝑞0
=
1
4𝜋𝜖0
𝑞
𝑟
Que é o potencial de uma carga puntiforme.
Analogamente para a equação:
𝑈 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞0෍
𝑖
𝑞𝑖
𝑟𝑖
Temos
𝑉 =
𝑈
𝑞0
=
1
4𝜋𝜖0
෍
𝑖
𝑞𝑖
𝑟𝑖
Se a distribuição é contínua
𝑉 =
1
4𝜋𝜖0
න
𝑑𝑞
𝑟
3.7 – Como Determinar o Potencial Elétrico a Partir do
Campo Elétrico
Tendo o trabalho
𝑊𝑎→𝑏 = න
𝑎
𝑏
Ԧ𝐹. 𝑑Ԧ𝑙 = න
𝑎
𝑏
𝑞0𝐸. 𝑑Ԧ𝑙
Dividindo por 𝑞0, temos:
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = න
𝑎
𝑏
𝐸. 𝑑Ԧ𝑙 = න
𝑎
𝑏
𝐸 cos𝜙 𝑑𝑙
3.5 – Um próton (carga +𝑒 = 1,602 × 10−19𝐶) se move ao longo de uma
linha reta de um ponto 𝑎 até um ponto 𝑏 no interior de um acelerador
linear, sendo 𝑑 = 0,50 𝑚 a distância percorrida. O campo elétrico é
uniforme ao longo dessa linha e possui módulo 𝐸 = 1,5 × 107 Τ𝑉 𝑚 =
1,5 × 107 Τ𝑁 𝐶 no sentido de 𝑎 para 𝑏. Determine (a) a força sobre o
próton; (b) o trabalho realizado sobre ele pelo campo elétrico; (c) a
diferença de potencial 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏.
EXEMPLOS
3.6 – Um dipolo elétrico é constituído por duas
cargas puntiformes 𝑞1 = +12 𝑛𝐶 e 𝑞2 = −12 𝑛𝐶,
sendo a distância entre elas igual a 10 𝑐𝑚 (figura
ao lado). Calcule os potenciais produzidos pelas
cargas individuais como na equação
𝑉 =
𝑈
𝑞0
=
1
4𝜋𝜖0
෍
𝑖
𝑞𝑖
𝑟𝑖
3.7 – calcule a energia potencial associada à 
carga puntiforme de +4 𝑛𝐶 quando ela é 
colocada nos pontos 𝑎, 𝑏 e 𝑐, indicados na figura 
ao lado.
3.8 – Gradiente de potencial
Sabemos que
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = න
𝑎
𝑏
𝐸. 𝑑Ԧ𝑙
Podemos considerar também que:
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = න
𝑏
𝑎
𝑑𝑉 = −න
𝑎
𝑏
𝑑𝑉
Então
−න
𝑎
𝑏
𝑑𝑉 = න
𝑎
𝑏
𝐸𝑑Ԧ𝑙
Sendo
𝐸 = 𝐸𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐸𝑦 Ƹ𝑗 + 𝐸𝑧 ෠𝑘 𝑒 𝑑Ԧ𝑙 = 𝑑𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑑𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑑𝑧෠𝑘
Então
−𝑑𝑉 = 𝐸𝑥𝑑𝑥 + 𝐸𝑦𝑑𝑦 + 𝐸𝑧𝑑𝑧
Utilizando a definição de derivada parcial
𝐸𝑥 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
; 𝐸𝑦 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑦
; 𝐸𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝐸 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
Ƹ𝑖 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦
Ƹ𝑗 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
෠𝑘 = −𝛻𝑉 (𝛻 → 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒)
3.8 – Pela equação
𝑉 =
𝑈
𝑞0
=
1
4𝜋𝜖0
𝑞
𝑟
que é o potencial de uma carga puntiforme 𝑞 a uma distância radial 𝑟.
Calcule o vetor do campo elétrico a partir dessa expressão de 𝑉
EXEMPLOS