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de anos, as posic¸o˜es re-
lativas entre as estrelas fixas acabam mudando. Mas esse movimento e´ ta˜o lento
para os nossos interesses que podemos considerar as chamadas estrelas fixas como
se fossem realmente fixas.
Tambe´m vemos, no ce´u noturno, alguns poucos pontinhos brilhantes que,
em um perı´odo de alguns dias, movem-se perceptivelmente em relac¸a˜o a`s estrelas
fixas. Esses pontinhos mo´veis sa˜o os planetas, que os antigos chamavam estrelas
errantes. Mas voltemos a`s estrelas fixas, que sa˜o os objetos de nosso interesse
no momento.
A palavra planeta e´ de origem
grega; planes, -etos ou planetes
significa vagabundo, errante.
As estrelas fixas que vemos no firmamento sa˜o, talvez, os objetos concre-
tos que mais se aproximam da definic¸a˜o de partı´cula isolada. Cada uma dessas
estrelas esta´ a distaˆncias inimaginavelmente grandes das outras estrelas e corpos
do universo. Desse modo, para muitos propo´sitos e´ razoa´vel considerar cada uma
delas como uma partı´cula e, ale´m disso, uma partı´cula isolada. Na verdade, a esco-
lha de uma estrela fixa como um exemplo pra´tico de partı´cula isolada e´ acertada.
A mecaˆnica newtoniana sempre se baseou nessa escolha para obter resultados
excelentes no estudo de uma imensa variedade de fenoˆmenos.
CEDERJ 10
Partı´cula isolada, referencial inercial e forc¸as
M ´ODULO 2 - AULA 13
Referencial inercial
De posse da definic¸a˜o de partı´cula isolada, e tendo visto alguns exemplos
concretos de partı´culas do universo, que podemos considerar como isoladas, va-
mos definir um tipo especial de referencial. Para essa definic¸a˜o, vamos precisar
de treˆs partı´culas isoladas na˜o-colineares, isto e´, que na˜o estejam ao longo de uma
mesma reta. Na˜o e´ difı´cil encontrar uma trinca como essa. Na constelac¸a˜o do
Cruzeiro do Sul, por exemplo, podemos escolher va´rias trincas que na˜o sa˜o co-
lineares. Consideremos agora as acelerac¸o˜es, em relac¸a˜o a um dado referencial,
das partı´culas isoladas que formam uma trinca na˜o-colinear. Se as acelerac¸o˜es
forem sempre iguais a zero, o referencial e´ chamado inercial. Se na˜o forem sem-
pre iguais a zero, o referencial e´ chamado na˜o-inercial. Essa e´ a definic¸a˜o de
referencial inercial, que vamos repetir a seguir.
Referencial inercial e´ um referencial em relac¸a˜o ao qual sa˜o nulas
as acelerac¸o˜es de uma trinca de partı´culas isoladas na˜o-colineares.
Sabemos que uma partı´cula com acelerac¸a˜o nula em relac¸a˜o a um referen-
cial esta´ em repouso ou em MRU em relac¸a˜o a este referencial. Desse modo, cada
partı´cula de uma trinca de partı´culas isoladas na˜o-colineares esta´ em repouso ou
em MRU em relac¸a˜o a um referencial inercial.
No momento, tal definic¸a˜o pode parecer um tanto arbitra´ria, pois na˜o foi
explicitado o motivo pelo qual usamos partı´culas isoladas para definir um tipo
especial de referencial, nem o motivo pelo qual temos de usar na definic¸a˜o treˆs
partı´culas isoladas na˜o-colineares. Por ora, basta entender que essa definic¸a˜o serve
de fundamento apropriado para formular as leis ba´sicas da dinaˆmica. `A medida
que formos avanc¸ando em nossos estudos da Mecaˆnica, ficara˜o claros os motivos
lo´gicos e histo´ricos que levaram a essa definic¸a˜o de referencial inercial. Vamos
agora considerar dois referenciais importantes e verificar se sa˜o ou na˜o inerciais.
As estrelas indicadas por α, β e
γ na Figura 13.2 sa˜o chamadas
Acrux, Mimosa e Gacrux,
respectivamente. Na Bandeira
Nacional, elas representam os
estados de Sa˜o Paulo, Rio de
Janeiro e Bahia.
Primeiramente, seja um referencial fixo na superfı´cie da Terra, digamos um
sistema de eixos OXYZ fixo nas paredes de uma sala. Para verificar se esse
referencial e´ ou na˜o inercial, vamos tomar como trinca de partı´culas isoladas na˜o-
colineares as treˆs estrelas do Cruzeiro do Sul indicadas na Figura 13.2 pelas letras
α, β e γ.
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Partı´cula isolada, referencial inercial e forc¸as
Fig. 13.3: As estrelas fixas teˆm movimento circular em relac¸a˜o a um referencial fixo na Terra.
Perguntamos agora: essas treˆs estrelas teˆm acelerac¸o˜es nulas em relac¸a˜o a
OXYZ? ´E fa´cil responder a essa pergunta. Em relac¸a˜o a OXYZ , elas, como
as demais, realizam um movimento circular uniforme em um perı´odo aproxi-
mado de 24 horas. Esse movimento foi mencionado anteriormente e ilustrado
na Figura 13.3. Todo movimento circular tem uma acelerac¸a˜o diferente de zero,
que chamamos centrı´peta. Portanto, em relac¸a˜o a OXYZ, as partı´culas isola-
das α, β e γ na˜o teˆm acelerac¸a˜o nula. A conclusa˜o e´ que OXYZ na˜o e´ um
referencial inercial. Na verdade, qualquer referencial fixo na Terra na˜o e´ inercial.
Para concluir que o referencial na˜o e´ inercial, basta verificar que pelo menos uma
das partı´culas da trinca tem acelerac¸a˜o diferente de zero, pois para ser inercial e´
necessa´rio que todas as partı´culas da trinca tenham acelerac¸a˜o nula.
Consideremos agora um sistema de eixosO′X ′Y ′Z ′ em repouso em relac¸a˜o
a`s estrelas fixas. Podemos considerar a origem O′ no Sol, pois tambe´m o Sol se
mante´m praticamente imo´vel em relac¸a˜o ao conjunto das estrelas fixas. ´E claro
que, em relac¸a˜o a O′X ′Y ′Z ′, todas as estrelas fixas esta˜o em repouso e, portanto,
teˆm velocidades e acelerac¸o˜es nulas. Escolhendo uma trinca qualquer de estrelas
fixas na˜o-colineares, chegaremos a` conclusa˜o de que elas teˆm acelerac¸o˜es nulas
em relac¸a˜o a O′X ′Y ′Z ′. Consequ¨entemente, concluı´mos que O′X ′Y ′Z ′ e´ um
referencial inercial. A Figura 13.4 ilustra os eixos O′X ′Y ′Z ′ fixos em relac¸a˜o a`s
estrelas fixas e com origemO′ no Sol. Essa figura tambe´m mostra quatro vetores-
posic¸a˜o. Treˆs deles da˜o as posic¸o˜es de treˆs estrelas do Cruzeiro do Sul, escolhidas
para verificar se O′X ′Y ′Z ′ e´ inercial. O quarto vetor-posic¸a˜o e´ o da Terra.
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Partı´cula isolada, referencial inercial e forc¸as
M ´ODULO 2 - AULA 13
Z ′ Cruzeiro do Sul
↙ Terra
Y ′
X ′
↖
Sol
rT
O′
Fig. 13.4: As estrelas fixas esta˜o em repouso em relac¸a˜o ao referencial
O′X ′Y ′Z′, pois este e´ intencionalmente escolhido como fixo em relac¸a˜o a elas.
Note que os vetores-posic¸a˜o das estrelas teˆm uma parte pontilhada para in-
dicar que possuem mo´dulos muito maiores do que o mo´dulo do vetor-posic¸a˜o da
Terra. De fato, as estrelas sa˜o ta˜o mais distantes do Sol do que a Terra que, se
desenha´ssemos os quatro vetores em escala, o vetor-posic¸a˜o da Terra teria um
tamanho imperceptı´vel no desenho.
Usando-se a definic¸a˜o de referencial inercial, podemos, em princı´pio, deter-
minar se e´ ou na˜o inercial qualquer referencial que quisermos considerar. Esco-
lhemos uma trinca qualquer de partı´culas isoladas na˜o-colineares e examinamos
os movimentos que elas teˆm em relac¸a˜o ao referencial considerado. Se cada uma
delas esta´ em repouso ou em MRU em relac¸a˜o ao referencial, este e´ inercial. Caso
contra´rio, na˜o e´ inercial ou, como se costuma dizer, e´ um referencial na˜o-inercial.
Os dois referenciais considerados anteriormente sa˜o de extrema importaˆncia.
O referencial O′X ′Y ′Z ′, fixo nas estrelas e com origem no Sol, e´ chamado refe-
rencial copernicano, pois foi proposto por Cope´rnico para descrever o movi-
mento dos planetas. Em relac¸a˜o ao referencial copernicano, os planetas realizam
movimentos de uma simplicidade nota´vel. Suas trajeto´rias, por exemplo, sa˜o elip-
ses com um elevado grau de precisa˜o. Voltaremos a esse to´pico quando estudar-
mos a teoria da gravitac¸a˜o. ´E claro que qualquer referencial fixo em relac¸a˜o a`s
estrelas e´ um referencial inercial, mesmo que a origem dos eixos na˜o seja esco-
lhida no Sol. No entanto, e´ a escolha da origem do referencial copernicano no Sol
que permite uma descric¸a˜o simples do movimento planeta´rio.
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Partı´cula isolada, referencial inercial e forc¸as
Um referencial fixo na Terra,