Apostila Cálculo Diferencial Integral - FAVENI

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
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SUMÁRIO 
1  INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 3 
2  DERIVADA E COEFICIENTE ANGULAR ............................................................... 4 
3  DEFINIÇÃO DE DERIVADA ................................................................................... 8 
4  TAXA DE VARIAÇÃO ........................................................................................... 13 
5  DERIVADA COMO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE A UMA 
CURVA EM UM DADO PONTO ................................................................................ 15 
6  TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO ................................................................................ 19 
6.1 Regra da constante ............................................................................................. 19 
6.2 Regra da potência ............................................................................................... 20 
6.3 Regra da linearidade: soma e diferença ............................................................. 20 
6.4 Regra do produto e do quociente ........................................................................ 21 
6.5 Regras de derivação em problemas aplicados ................................................... 22 
7  O QUE É UMA FUNÇÃO? .................................................................................... 24 
7.1 Derivada de funções ........................................................................................... 27 
7.2 Técnicas de diferenciação .................................................................................. 31 
7.3  Integral de funções ............................................................................................. 34 
8  DERIVAÇÃO IMPLÍCITA ...................................................................................... 38 
8.1 Funções definidas explícita ou implicitamente .................................................... 38 
8.2 Derivadas implícitas de funções ......................................................................... 41 
9  DERIVADA EM GRÁFICOS E APLICAÇÕES ....................................................... 46 
9.1 Análise dos pontos críticos de uma função ......................................................... 46 
9.2 Valor mínimo ou máximo absoluto ...................................................................... 46 
9.3 Valor mínimo ou máximo local ............................................................................ 47 
9.4 Teorema do valor extremo .................................................................................. 47 
9.5 Teorema de Fermat ............................................................................................ 47 
3 
 
9.6 Número crítico ..................................................................................................... 49 
10 REMODELANDO O TEOREMA DE FERMAT A PARTIR DA DEFINIÇÃO DE 
NÚMERO CRÍTICO ................................................................................................... 50 
11 INTERVALOS EM QUE UMA FUNÇÃO É CRESCENTE OU DECRESCENTE... 50 
11.1  Teorema de Rolle ............................................................................................. 51 
11.2  Teorema do valor médio ................................................................................... 51 
11.3  Teste crescente/decrescente (C/D) .................................................................. 52 
11.4  Teste da primeira derivada ............................................................................... 54 
12 A CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO ................................................................. 57 
12.1  CÔNCAVA PARA BAIXO OU PARA CIMA ...................................................... 57 
12.2  Teste da concavidade ....................................................................................... 59 
12.3  Ponto de inflexão .............................................................................................. 59 
12.4  Teste da segunda derivada .............................................................................. 60 
13 QUOCIENTE ENTRE FUNÇÕES ......................................................................... 62 
14 REGRA DE L’HÔPITAL ........................................................................................ 63 
14.1  Produtos indeterminados .................................................................................. 67 
14.2  Calcular limites indeterminados ........................................................................ 69 
15 ANTIDERIVADAS DE FUNÇÕES ......................................................................... 73 
16 ANTIDERIVADA OU PRIMITIVA COMO INTEGRAL INDEFINIDA ...................... 79 
16.1  Problemas aplicados a partir das propriedades das antiderivadas ................... 82 
17 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ...................................................................... 86 
17.1  Bibliografia Básica ............................................................................................ 86 
17.2  Bibliografia Complementar ................................................................................ 86 
 
 
3 
 
1 INTRODUÇÃO 
Prezado aluno! 
 
O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante 
ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um 
aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma 
pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é 
que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a 
resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas 
poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em 
tempo hábil. 
Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa 
disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à execução das 
avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora 
que lhe convier para isso. 
A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser 
seguida e prazos definidos para as atividades. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
2 DERIVADA E COEFICIENTE ANGULAR 
De acordo com a geometria analítica, uma reta descrita em um plano cartesiano 
é definida pelos seus coeficientes linear e angular. O coeficiente linear trata da 
translação vertical de uma reta, ao passo que o coeficiente angular mostra o grau de 
inclinação de uma reta (STEWART, 2013). Veja um exemplo da equação de uma reta: 
 
y = a ∙ x + b 
 
Onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Em uma reta, o 
coeficiente angular pode ser dado pelo valor da tangente do ângulo dessa reta (Figura 
1): 
 
Perceba que a diferença se trata do cateto oposto, enquanto 
é o cateto adjacente. Dessa forma, a divisão entre eles gera a tangente do 
ângulo α. Esse ângulo está entre o eixo x e a reta f(x), o que pode ser visto porque o 
cateto adjacente é paralelo ao eixo x, indicado na Figura 1. 
 
 
 
5 
 
A partir de dois pontos pertencentes à reta f(x), é possível determinar o valor 
do coeficiente angular de uma reta. Veja, no exemplo a seguir, a obtenção desse valor. 
 
No entanto, nem todas as funções são lineares. Assim, o coeficiente linear para 
uma função que não é uma reta passa a ser um valor instantâneo (STEWART, 2013). 
Por isso, podemos utilizar a equação de uma reta como uma reta tangente à função 
não linear para determinar seu grau de inclinação naquele ponto (Figura 2). 
 
 
 
Ao escolher os pontos para determinar o coeficiente angular da reta, se esses 
pontos foremdistantes, um falso valor do coeficiente angular da reta tangente pode 
emergir, pois a reta tangente toca a curva em um único ponto (ponto P). Se a reta 
tocar em dois pontos da mesma curva, teremos um coeficiente angular de uma reta 
chamada de secante (reta que contém P e Q). 
 
6 
 
 Veja, na Figura 2, que a reta tangente toca unicamente em P quando ; já 
a reta secante toca em P e Q. Temos, então, de aproximar os pontos P e Q para o 
mais perto possível e, assim, ter o valor do coeficiente angular dessa reta 
(HOFFMANN, 2018). Por isso, a equação deve ser atribuída ao operador-limite para 
diminuir a diferença da distância entre os pontos: 
 
 
 
Deixando de uma forma mais simples, vamos aplicar esse cálculo do 
coeficiente angular em cima da função no exemplo a seguir. 
 
Calcule o coeficiente angular da função a seguir no ponto P (2,1): 
 
 
Onde: 
 
Substituindo o ponto P (2,1): 
 
Aplicando no limite: 
 
7 
 
 
 
Analisando a função dada e a equação tangente no ponto P (2,1), (STEWART, 
2013). 
O resultado é visto na Figura 3. 
 
 
 
 
 
8 
 
3 DEFINIÇÃO DE DERIVADA 
A inclinação da reta tangente apresentada anteriormente pode ser interpretada 
como variação instantânea da função f(x) em relação à variável x (STEWART, 2013). 
Com base na formulação, a derivada pode ser conceituada como: 
 
 
 
Onde que f′ representa a derivada. Outras formas de representação de 
derivadas são apresentadas abaixo (STEWART, 2013): 
 
 
A primeira derivada também é conhecida como notação de Lagrange, e a 
segunda, como notação de Leibniz. A terceira, por fim, é conhecida como notação de 
Newton. Veja, a seguir, um exemplo de cálculo de derivada de uma função polinomial 
de 3º grau. 
 
Exemplo: 
 
Calcule a derivada da função a seguir: 
 
 
 
Aplicando o limite com h tendendo a zero: 
 
 
Onde: 
 
9 
 
 
Substituindo no limite: 
 
 
 
Agrupando os limites: 
 
 
 
Simplificando e dividindo o que sobrou por h: 
 
 
 
Analisando o resultado, perceba que a inclinação da reta tangente a função f(x) 
agora é uma função e vai variar em função do ponto escolhido. Por isso, o resultado 
de uma derivada será na forma de uma expressão matemática. Veja, na Figura 4, a 
função original f(x) e a derivada f′(x). (STEWART, 2013) 
 
10 
 
 
 
Se percebemos bem, o resultado da derivada em comparação com a função 
original podemos já definir uma regra de como aplicar derivada em funções 
polinomiais. A técnica de derivação em polinômios é chamada de regra da potência e 
se baseia a seguir (STEWART, 2013): 
 
 
 
Em um polinômio, portanto devemos olhar para o seu expoente e “descer” ele 
ao lado da variável, diminuindo o valor de um (HOFFMANN, 2018). Vale ressaltar que 
se houver um número constante a derivada é nula, pois uma reta constante não tem 
grau de inclinação e logo não terá derivada. Veja a seguira um exemplo de aplicação 
dessa técnica. 
 
Exemplo: 
 
Calcule a derivada da função polinomial a seguir: 
 
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Aplicando a regra da potência para cada parcela do polinômio acima: 
 
 
 
Também é possível realizar derivadas sucessivas, ou seja, após o cálculo de 
uma derivada, realizar nova derivada. (STEWART, 2013) 
Para isso, a nomenclatura desse tipo de derivada passa a ter algumas 
modificações, por exemplo: 
 
 
Perceba que os índices aumentam à medida que os números de derivadas 
aumentam. Veja, no exemplo a seguir, o cálculo de derivada sucessiva de um 
polinômio. 
 
Exemplo: 
 
Calcule a derivada sucessiva de terceira ordem da função polinomial a seguir: 
 
 
Derivando pela primeira vez: 
 
 
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Derivando pela segunda vez: 
 
 
 
Derivando pela terceira vez: 
 
 
 
Após vermos a definição da derivada a partir da formulação aplicada à 
inclinação de retas tangentes, estudamos as diferentes representações matemáticas. 
(STEWART, 2013). Também apresentamos a técnica de derivação de funções 
polinomiais e derivações sucessivas, junto com exemplos. Veja, a seguir, mais sobre 
o que é a taxa de variação e sua aplicação em alguns campos. 
 
13 
 
4 TAXA DE VARIAÇÃO 
A taxa de variação é um ponto de observação que é aplicado a diversas áreas, 
como na biologia, para medir a taxa de crescimento de bactérias de uma colônia em 
função do tempo, na engenharia, para obter a taxa de dilatação de um material em 
função da temperatura, na economia, para descobrir a taxa do custo de produção em 
função da quantidade de produtos, e na medicina, para obter taxa de dilatação da 
artéria em função da pressão sanguínea. Sua obtenção matemática passa pela 
aplicação da derivada sobre uma função determinada (STEWART, 2013). Um 
exemplo clássico é a taxa de variação aplicada para descobrir a velocidade de um 
automóvel (Figura 5). Quando utilizamos dois pontos de um trajeto e anotamos a 
diferença do tempo para percorrer os dois pontos, obtemos uma velocidade média, 
visto que há um valor de delta entre os pontos. Logo, a velocidade média é dada pela 
função. 
 
Quando desejamos saber a velocidade instantânea, devemos aproximar a 
diferença de tempo tendendo a zero. Assim, a velocidade no momento será: 
 
 
14 
 
Na Figura 5, a curva representa a função f(t), enquanto x + Δx é o ponto superior 
do cateto oposto, x é o ponto inferior do cateto oposto, t é o ponto mais à esquerda do 
cateto adjacente e t + Δt é o ponto mais à direita do cateto adjacente. A divisão entre 
o cateto oposto e o adjacente levam a obter o valor da tangente do ângulo α de 
inclinação da taxa de variação. (STEWART, 2013) 
 Veja, a seguir, o exemplo de aplicação do cálculo de taxa de variação de 
evolução de uma bactéria em função do tempo. 
 
Exemplo: 
 
Dada a equação que trata da evolução do crescimento de uma bactéria em 
função do tempo: 
 
 
 
1) Encontre a taxa de variação média em relação ao intervalo [3,5] s; 
2) Encontre a taxa de variação instantânea quando t = 1 s 
3) Encontrando os valores de bactérias nos tempos fornecidos: 
 
 
A taxa de variação média será: 
 
 
 
Para encontrar a taxa de variação instantânea, aplicamos a derivada na função 
f(t): 
 
 
15 
 
 
 
No instante t igual 1 s, a taxa de variação instantânea será: 
 
 
 
5 DERIVADA COMO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE A UMA 
CURVA EM UM DADO PONTO 
Ao definir a derivada, podemos utilizar três conceitos igualmente importantes. 
A derivada pode ser entendida como a inclinação da reta tangente a uma curva, como 
uma taxa de variação e como o limite de uma razão incremental (ROGAWSKI; 
ADAMS, 2018). 
A derivada é definida como a inclinação de uma reta tangente à curva, ou seja, 
o coeficiente angular da reta tangente, e podemos iniciar o cálculo com base nessa 
definição. Dadas uma curva f(x) e uma reta r tangente a essa curva que passe pelo 
ponto temos a seguinte ilustração (Figura 1). 
 
 
16 
 
 
 
Apenas com uma única informação da reta tangente, o ponto P, não 
conseguiremos definir o coeficiente angular dessa reta. Para chegarmos ao valor do 
coeficiente angular da reta tangente, precisamos de, ao menos, dois pontos. 
(ROGAWSKI; ADAMS, 2018). 
Então, vamos considerar um segundo ponto, o ponto Q, pertencente à curva 
Ao traçar uma nova reta, a reta s, que 
passe pelo ponto P e pelo ponto Q, encontrando a inclinação dessa reta, 
conseguiremos, por meio do conceito de limite, chegar à inclinação da reta r. 
As etapas para o cálculo da inclinação da reta r são: 
 
1) Traçar uma reta secante, a reta s; 
2) Calcular a inclinação da reta s; 
3) Chegar à inclinação da reta r. 
 
Ao escolher um ponto Q sobre a curva e traçar uma nova reta, temos a seguinte 
configuração (Figura 2). 
 
17 
 
 
 
Observe que a reta s, que passa pelos pontos P e Q, é uma reta secante à 
curva y = f(x). (ROGAWSKI; ADAMS, 2018). 
Para obter a inclinação da reta s, basta calcular o coeficiente angular dessa 
reta, dada por: 
 
Podemos reescreveressa equação em função da variação de x da seguinte 
maneira: 
 
 
 
 
18 
 
Assim, definimos o coeficiente angular da reta s, a reta secante à curva. Não 
podemos esquecer de que o nosso objetivo é chegar à inclinação da reta tangente. 
Avalie o seguinte: entre o ponto P e o ponto Q, temos uma variação em x de 
∆x. Se movimentarmos o ponto Q aproximando-o do ponto P, o ∆x entre esses pontos 
será menor. Se movimentarmos o ponto Q para uma distância cada vez menor do 
ponto P, o ∆x tenderá a diminuir cada vez mais, fazendo com que a reta secante se 
aproxime progressivamente da reta tangente (ROGAWSKI; ADAMS, 2018). Observe 
a Figura 3. 
Se calcularmos ∆x tendendo a zero e aplicarmos na fórmula da inclinação da 
reta s, chegaremos ao valor da inclinação da reta r. Isso se define da seguinte 
maneira: 
 
Podemos observar que, ao calcular a inclinação da reta tangente, estamos 
utilizando o conceito de derivada. 
 
 
19 
 
 
Entendendo o ∆x como um incremento no x1 , essa definição também é 
conhecida como limite da razão incremental. 
Para representar a derivada y = f(x), as seguintes notações são comumente 
utilizadas: 
 
 
6 TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO 
Existem algumas técnicas de derivação que facilitam o cálculo da derivada. 
Essas técnicas são facilmente demonstradas a partir da definição de derivada 
utilizando o conceito de limites. Contudo, a partir da definição de derivada, também é 
possível deduzir regras de derivação para as funções trigonométricas, exponenciais e 
logarítmicas. (ROGAWSKI; ADAMS, 2018). 
 
6.1 Regra da constante 
Dada uma função constante f(x) = constante, a derivada dessa função é zero. 
Avalie que a derivada representa a inclinação de uma reta. Se uma função é 
constante, ela é paralela ao eixo das abscissas, logo, não há inclinação. 
Teorema: dada uma função constante y = c, c representa um número real 
qualquer, e a derivada de y é o 0. 
f´(c)= 0 
 
Exemplos: 
 
 
 
20 
 
6.2 Regra da potência 
Dada uma função, onde x é um expoente qualquer, a regra de derivação para 
esses casos é a seguinte: 
Teorema: dada uma função f(x) = xn, a derivada dessa função será: 
 
Exemplos: 
 
 
6.3 Regra da linearidade: soma e diferença 
Vamos supor que f e g sejam duas funções diferenciáveis. (ROGAWSKI; 
ADAMS, 2018). 
 Há uma regra de soma e diferença que propõe o seguinte. 
Regra da soma e diferença: f + g e f – g são deriváveis de: 
 
 
 
Regra constante vezes uma função: sendo f uma função diferençável e c um 
número real qualquer, temos que: 
 
Exemplos: 
 
21 
 
 
 
6.4 Regra do produto e do quociente 
Vamos supor que f e g sejam duas funções diferenciáveis. (ROGAWSKI; 
ADAMS, 2018). 
Há uma regra de produto e quociente que propõe o seguinte. 
Regra do produto: sendo (f . g): 
 
Regra do quociente: sendo, 
 
 
Exemplos: 
 
Y = x³ (2x + 9), entendo como f(x) = x³ e g(x) = (2x + 9) 
f´(x) = 3x² 
G´(x) = 2 
 
Aplicando a regra temos: 
 
Y´= 3x² (2x + 9) + x³ . 2 = 6x³ + 27x² + 2x³ = 8x³ + 27x² 
 
 
22 
 
 
6.5 Regras de derivação em problemas aplicados 
O conceito de derivada pode ser aplicado em diversas situações. Sempre que 
conseguirmos estabelecer uma função e quisermos avaliar a variação de uma 
variável, à medida que outra varia, utilizamos o conceito de derivação. (ROGAWSKI; 
ADAMS, 2018). 
 
Exemplo: 
 
Um corpo tem sua temperatura medida em Fahrenheit em função do tempo, 
em minutos. A função que descreve essa relação é a seguinte: 
 
 
 
A taxa de resfriamento, em um dado tempo t, é dada por meio da derivação da 
função T em relação ao tempo. Observe: 
 
T(t) = 2t² - 15t + 250 
 
 
Calculando para t = 10 minutos, temos: 
 
 
23 
 
 
 
O corpo resfria em 25º F a cada minuto. 
 
Exemplo: 
 
A Terra exerce uma força gravitacional de (em newtons) sobre 
um objeto com uma massa de 75 kg, onde r é a distância (em metros) do centro da 
Terra. Encontre a taxa de variação da força em relação à distância r na superfície da 
Terra, supondo que o raio da Terra seja de. Ao falar em taxa de 
variação, estamos falando de derivada. Logo, a questão quer saber qual é a derivada 
da função F em relação a r, no ponto r . 
 Vamos derivar a função: 
 
 
 
Utilizando o teorema da derivada de um quociente: 
 
 
Temos: 
 
 
24 
 
 
 
Assim definimos a força F a uma distância de 
 
7 O QUE É UMA FUNÇÃO? 
De maneira geral, uma função é uma relação entre duas ou mais grandezas. 
Suponha duas delas, x e y. A grandeza y é uma função da grandeza x se a cada valor 
de x existir um único valor de y associado, o que você pode escrever como y = f(x), 
cujo termo f representa a função (ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDI, 2015). 
Dessa maneira, a grandeza x é chamada de variável independente, e a grandeza y, 
de variável dependente. Além disso, se diz que y é uma função de x. 
Como exemplos de funções, você pode considerar: a quantidade de 
determinado produto desenvolvido em uma indústria em função do tempo, o número 
de habitantes de uma região em função do tempo, a altura de uma árvore em função 
dos nutrientes disponíveis e assim por diante. Você mesmo pode pensar em diversos 
exemplos encontrados em seu dia a dia. 
As funções podem ser representadas de diversas formas: verbalmente, com o 
uso de uma tabela de valores, com o uso de uma fórmula e graficamente. A seguir, 
você pode ver exemplos dessas representações utilizando a lei da gravitação 
universal de Newton. 
 
 
25 
 
 Representação verbal: a lei da gravitação universal afirma que a força 
de atração gravitacional entre duas esferas homogêneas é diretamente 
proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional 
ao quadrado da distância entre seus centros. 
 Representação por fórmula: a fórmula correspondente à lei enunciada é: 
 
Onde: G é a constante gravitacional, m1 e m2 são as massas das 
esferas e r é a distância entre seus centros. Considere que G, m1 e m2 
são constantes. Assim, a força F é uma função da distância r. 
 Representação por tabela de valores: a função pode ser representada 
numericamente com o uso de uma tabela. O Quadro 1, a seguir, mostra 
a força F dada a distância r, considerando: 
(ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDI, 2015) 
 
 Representação gráfica: os gráficos são uma representação visual das 
funções. A Figura 1 apresenta os dados do Quadro 1, com o eixo x 
representando a distância r e o eixo y representando a força F. Além de 
serem construídos a partir de valores tabelados, os gráficos também 
podem ser construídos a partir da fórmula. Dessa maneira, você pode 
atribuir valores para r e encontrar valores para a força F correspondente. 
 
26 
 
Após esse passo, a partir dos pares (r, F(r)) encontrados, você pode 
desenhar os pontos em gráficos. Assim, cada eixo representará uma 
variável. 
 
 
Existem também alguns conceitos fundamentais no contexto de funções, como 
os conceitos de domínio, contradomínio e imagem. A seguir, você vai ver a definição 
desses três termos (ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDI, 2015). 
 
 Domínio: o domínio de uma função f é o conjunto dos possíveis valores 
da variável independente. 
 Contradomínio: o contradomínio de uma função f é o conjunto que 
contém os valores da variável dependente que podem ser relacionados 
a valores de domínio. 
 Imagem: o conjunto imagem de uma função é o conjunto dos valores da 
variável dependente que são efetivamente assumidos pela função. O 
conjunto imagem pode ser o próprio contradomínio ou um subconjunto 
dele. 
 
Com as funções, você pode descrever muitos fenômenos observados, como a 
velocidade de um carro, o tamanho de uma população, o volume de chuva e assim 
por diante. Mas as funções utilizadas para modelar os fenômenos de seu interesse 
 
27 
 
podem ser diferentes umas das outras. Na verdade, existem muitas funções que 
podem ser utilizadas. A seguir, veja exemplos de algumas delas (ADAMI; 
DORNELLESFILHO; LORANDI, 2015). 
 
 
 
7.1 Derivada de funções 
A derivada de uma função está relacionada à taxa de variação entre grandezas. 
Os fenômenos modelados por funções geralmente apresentam grandezas que 
variam. Por exemplo: a aceleração de um carro, o número de células em uma cultura, 
o volume de água em um reservatório e assim por diante. (ADAMI; DORNELLES 
FILHO; LORANDI, 2015) A ferramenta matemática usada para descrever a taxa de 
variação dessas grandezas é a derivada, como você vai ver a seguir. 
Primeiramente, você vai ver como encontrar taxas de variação. Suponha que o 
gráfico da Figura 2 representa uma população de bactérias em uma cultura por tempo, 
dada pela equação: 
 
 
28 
 
 
Observando a Figura 2, você pode ver que a cultura se inicia com 4 milhões de 
bactérias, aumentando a população até um pico em torno de 8,5 milhões, e depois 
diminuindo a população para valores menores do que o inicial. Nesse contexto, você 
poderia perguntar: qual é a taxa de variação da população nas primeiras duas horas? 
A taxa de variação é calculada pela razão entre a variação da população nas primeiras 
duas horas e a variação do tempo. (ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDI, 2015) 
 
 
 
Ou seja, nas primeiras duas horas, houve um crescimento de 1,85 milhões de 
bactérias. Você pode observar esse crescimento graficamente. A Figura 3 mostra um 
zoom da Figura 2 na região de interesse. Os dois pontos no gráfico são os pontos de 
interesse, ou seja, são os pares (t, P(t)) para t = 0 e t = 2 horas. A reta que passa por 
esses dois pontos, reta secante, define um triângulo retângulo. 
 
 
29 
 
 
 
Note que a tangente do ângulo indicado, chamado de α, tem valor similar ao da 
taxa de variação, ou seja: 
 
 
Assim, a tangente do ângulo α é a inclinação ou o coeficiente angular da reta 
formada pelos pontos (0, 4) e (2, 7, 7). (ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDI, 
2015). Ela tem valor igual ao da taxa de variação entre esses pontos. Então, de modo 
geral, você pode escrever que a taxa de variação média de uma variável y, dado que 
y = f (x), entre os pontos x e x + ∆x é dada pela Figura 4a: 
 
 
30 
 
 
 
A derivada de uma função é definida como taxa instantânea de variação de 
uma variável y, dado que y = f(x), no ponto x. Ou seja, se você diminuir gradativamente 
o ∆x da taxa média até o valor de zero, vai obter a derivada da função. Graficamente, 
à medida que o ∆x é diminuído, a reta secante se aproxima mais de uma reta tangente 
(Figura 4b). A reta tangente é aquela que toca em apenas um ponto da curva. (ADAMI; 
DORNELLES FILHO; LORANDI, 2015) 
A derivada normalmente é indicada com um apóstrofo: f'(x). Você pode 
escrever da seguinte maneira: 
 
 
 
Ou seja, a derivada de função f (x) é igual ao limite de ∆x dividido por ∆x, com 
∆x tendendo a zero. 
 
31 
 
 
 
Existem algumas notações para indicar a derivada. Entre elas: 
 
 
7.2 Técnicas de diferenciação 
As principais técnicas de diferenciação são as listadas a seguir (ANTON; 
BIVENS; DAVIS, 2014). 
Derivada de uma constante: 
 
 
 
32 
 
Regra da potência: 
 
 
Regra do múltiplo constante: 
 
 
Regras da soma e da diferença: 
 
 
Regra do produto: 
 
 
Regra do quociente: 
 
 
A Figura 5 mostra um exemplo de função quadrática e sua derivada. Lembre-
se de que a derivada é similar à inclinação da reta tangente a cada ponto de x. Assim, 
a inclinação começa negativa, chegando a zero no mínimo da função, e depois se 
torna positiva. Note que sempre que houver um ponto de máximo ou mínimo na 
função, a derivada será zero. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
 
 
 
33 
 
 
 
Com base nas técnicas de diferenciação, você pode reanalisar o exemplo inicial 
da população de bactérias mostrado na Figura 1. A partir da regra do quociente, é 
possível encontrar a derivada da função: . Primeiramente, você deve 
encontrar a derivada das funções do numerador e do denominador. Assim: 
 
 
 
Dessa maneira, pela regra do quociente, a derivada de P(t) é: 
 
 
 
A Figura 6 mostra a curva da derivada comparada com a função. Esta se inicia 
diminuindo até chegar em um mínimo e depois cresce novamente. (ANTON; BIVENS; 
DAVIS, 2014). 
 
34 
 
 Note que o ponto máximo da função equivale ao ponto onde a derivada é igual 
a zero. Mais um ponto importante é o mínimo da derivada. Esse ponto ocorre onde a 
função muda a concavidade, ou seja, ela passa de uma região em que estava 
diminuindo para uma região em que volta a crescer. Esse ponto é chamado de ponto 
de inflexão. 
 
 
 
7.3 Integral de funções 
A integral de uma função está relacionada à área abaixo da curva de uma 
função. Observe a Figura 7. Nela, há a imagem de uma função y = f(x) entre o intervalo 
[a, b] de x. A região hachurada é a área embaixo da curva e também é a integral da 
função entre o intervalo dado. Nesta seção, você vai conhecer o significado da integral 
e ver como calcular áreas. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
 
 
35 
 
 
 
O cálculo da área de polígonos, como quadrados, retângulos, triângulos e 
trapézios, já era dominado pelas civilizações primitivas (ANTON; BIVENS; DAVIS, 
2014). Mas o cálculo da área para estruturas curvilíneas, como círculos, arcos, 
parábolas, entre outras, era ainda desafiador para os matemáticos. Foi o matemático 
grego Arquimedes (287 a.C.–212 a.C.) que desenvolveu o método da exaustão para 
resolver a questão das áreas. O método consiste basicamente em inscrever uma 
sucessão de polígonos regulares na estrutura curvilínea desejada, até que as áreas 
dos polígonos se aproximem da área da estrutura (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
Veja a Figura 8. 
 
 
 
Foi só no século XVII que houve avanços nessa questão. Isaac Newton e 
Gottfried Leibniz, de maneira independente, descobriram que havia uma relação entre 
 
36 
 
derivadas e áreas. Essa relação pode ser descrita como: se f é uma função contínua 
e não negativa entre o intervalo [a, b], e se A(x) é a área sob o gráfico de f acima do 
intervalo [a, x], onde x é um ponto qualquer no intervalo [a, b], então A'(x) = f(x). 
 
 
Embora nem sempre seja fácil encontrar A(x), sabendo a sua derivada, que é 
a própria função, você pode inferir qual é a área. Esse método é chamado de método 
de antiderivação. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
Por exemplo, se você tiver a função A'(x) = x², pode tentar encontrar A(x) por 
adivinhação. Observando novamente as regras de diferenciação, você pode notar que 
uma possível candidata seria uma função do tipo x³, pois sua 
derivada é 3x². Assim, o primeiro palpite seria: 
 
Lembre-se de que a derivada de uma constante é zero, então não há como 
saber se existe alguma constante em A(x). Dessa maneira, deixe indicado: 
 
 
37 
 
 
 
Se você derivar A(x), chegará em A'(x) = x² , como era a intenção. Pronto! 
A antiderivação também é chamada de integração. Ou seja, dado que F é a 
antiderivada de f, então F'(x) = f(x). Você pode escrever como: 
 
 
 
Integrando, ou antiderivando, a função f(x), você vai obter a antiderivada F(x) + 
c, onde c é uma constante arbitrária. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
A notação para a integral é dada por: 
 
 
Por exemplo: 
 
 
 
A expressão ∫ f(x)dx é chamada de integral indefinida. Há uma integral definida, 
quando o intervalo de integração é definido. Por exemplo: . Nesse caso, 
você deve resolver a integral como antes e substituir o intervalo de integração 
posteriormente. Note que não é mais necessária a constante c. Ou seja: 
 
 
 
Observe mais uma vez o exemplo dado anteriormente. A função dada foi f(x) = 
2. A integral dessa função entre os intervalos [1, 2] é F(2) – F(1). Sabe- -se que a 
integral de f(x) = 2 é F(x) = 2x. Assim, a integral entre o intervalo dado é: 
 
 
38 
 
 
 
A antiderivação, então, é basicamente um processo de “desfazer” a 
diferenciação. A Figura 9 mostra alguns exemplos de diferenciação e integração. 
 
 
8 DERIVAÇÃOIMPLÍCITA 
8.1 Funções definidas explícita ou implicitamente 
As funções podem ser definidas de duas maneiras, explicita ou implicitamente. 
(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
Quando a função é escrita da forma y = f(x), dizemos que ela é definida 
explicitamente. Isso porque a variável y aparece isolada em um lado da equação, com 
exceção de algumas que são mais complexas. Por exemplo, veja a equação a seguir: 
 
yx + 2y + 5 = 10x 
 
Nela, não temos a variável y isolada de um lado da equação. Assim, podemos 
dizer que essa equação define y implicitamente em função de x. Nesse caso, podemos 
reescrevê-la da seguinte maneira: 
 
39 
 
 
Ou seja, podendo escrever y de maneira explícita. 
 
Uma equação pode definir implicitamente mais de uma função de x. (ANTON; 
BIVENS; DAVIS, 2014). 
Por exemplo, é o caso da equação de um círculo: 
X² + y² = 1. 
 
Resolvendo, obtemos: Ou seja, existem duas funções 
definidas implicitamente pela equação do círculo: 
 
 
Observe que os gráficos dessas funções, são o semicírculo superior e inferior 
do círculo, conforme a Figura 1, a seguir. 
 
 
40 
 
 
Esse exemplo nos leva à definição de função implícita (ANTON; BIVENS; 
DAVIS, 2014). 
Dizemos que uma dada equação em x e y define a função f implicitamente, se 
o gráfico de y = f(x) coincidir com alguma porção do gráfico da equação. 
Embora os exemplos dados tenham sido fáceis de serem resolvidos para 
encontrar f(x), isso nem sempre acontece. Muitas equações podem ser bastante 
complicadas e, até mesmo, impossíveis de se resolver. Por exemplo, é o caso da 
equação: 
X³ + y³ = 6 x y 
 
Para esses casos, você pode utilizar softwares que plotem gráficos 
implicitamente, como os softwares Mathematica e Maple. A Figura 3, a seguir, mostra 
o plote do gráfico da equação e três funções definidas implicitamente. 
 
 
41 
 
 
8.2 Derivadas implícitas de funções 
Para encontrarmos a derivada de uma função, ela não precisaria 
necessariamente estar escrita explicitamente. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
Considere a seguinte função como exemplo: 
xy = 10. 
 
Para encontrarmos a derivada de y em relação a x, poderíamos reescrever a 
equação a seguinte maneira: 
 
Cuja derivada seria: 
 
 
Também poderíamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação: 
 
 
42 
 
 
 
Substituindo y, na equação, ficamos com: 
 
 
Que é o mesmo resultado obtido anteriormente, explicitamente. Esse método é 
conhecido como derivação implícita. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
 
Exemplo: 
 
Encontre a derivada de y em relação a x da seguinte função: 
 
10y²+ cos(y) = 2 x² 
 
Derivando os dois lados da equação, temos que: 
 
43 
 
 
 
Note que foi utilizada a regra da cadeia, afinal, y é uma função de x. A equação 
final da derivada de y envolve tanto a variável x como a y. Se quiséssemos uma 
equação apenas em relação a x, precisaríamos resolver a equação inicial e encontrar 
y em relação a x. Mas isso é impossível de ser feito. Portanto, a equação de dy/dx 
pode ser deixada em termos de y e x. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
Agora, em um novo exemplo, encontre a derivada de y em relação a x da função 
dada como exemplo na seção anterior: 
 
X³ + y³ = 6 x y. 
 
Derivando os dois lados da equação, temos que: 
 
 
44 
 
 
 
Exemplos resolvidos: 
 
1) Certo veículo apresenta velocidade v igual a: 
v = k v² t, 
 
Onde k é uma constante, e t é o tempo. Qual é a aceleração desse veículo? 
A aceleração do carro é dada por: 
 
 
Para encontrá-la, precisamos derivar a equação dada. (ANTON; BIVENS; 
DAVIS, 2014). 
Assim: 
 
 
45 
 
 
 
Portanto, a aceleração é dada por: 
 
 
 
2) O preço p de um produto está ligado à sua quantidade q disponível no 
mercado. A função que descreve essa dependência é dada por: 
 
P² – p q + q² = 400. 
 
Encontre a expressão de como o preço p varia com a quantidade q, ou seja: 
 
 
 
 
46 
 
Para resolver essa questão, diferenciaremos implicitamente a equação dada. 
Assim, ficamos com: 
 
 
9 DERIVADA EM GRÁFICOS E APLICAÇÕES 
9.1 Análise dos pontos críticos de uma função 
Antes de analisar os pontos críticos de uma função w, vamos relembrar alguns 
teoremas e definições importantes. 
9.2 Valor mínimo ou máximo absoluto 
Segundo Anton (2014), seja c um número no domínio A de uma função w, então 
w(c) pode se configurar como máximo ou mínimo absoluto a partir das condições 
descritas a seguir. 
 
 Será um valor mínimo absoluto quando w no domínio A apresentar a 
condição w(c) ≤ w(x), para qualquer x que pertencer ao domínio A. 
 Será um valor máximo absoluto quando w no domínio A apresentar a 
condição w(c) ≥ w(x) para qualquer x que pertencer ao domínio A. 
 
47 
 
 
Salienta-se que a terminologia para máximo ou mínimo de um valor em um 
domínio pode ser denominada de mínimo ou máximo global. Já quando esses valores 
estão associados a uma função, são denominados de valores extremos de w. 
9.3 Valor mínimo ou máximo local 
O número que representa w(c) se configura como: 
 
 Valor mínimo local de w, na condição de w(c) ≤ w(x), quando x está 
próximo do número c; 
 Valor máximo local de w, na condição de w(c) ≥ w(x), quando x está 
próximo do número c. 
9.4 Teorema do valor extremo 
Se w for uma função no intervalo fechado [a, b], então apresenta um valor 
máximo absoluto no número w(c) e um valor mínimo absoluto w(d) nos números c e d 
do intervalo fechado [a, b]. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
A Figura 1 representa graficamente o teorema. 
 
 
9.5 Teorema de Fermat 
Se w possuir um mínimo ou máximo local no número c, e se a derivada desse 
número na função aplicada, w'(c), existir, então w'(c) = 0. Essas definições e teoremas 
 
48 
 
são importantes para definir o que é um número crítico. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 
2014). 
 Mas, antes de apresentar a sua definição, vamos explorar a limitação do 
teorema de Fermat a seguir. 
Exemplo 1: 
 
Considerando a função w(x) = x³ , a sua derivada é dada por w'(x) = 3x² ; então 
w'(0) = 0. Observe o gráfico apresentado na Figura 2, a seguir. 
 
 
 
Observe que w não apresenta mínimo ou máximo em 0, pois x³ > 0 para x > 0; 
porém, x³ < 0 para x < 0. Outro fato a se observar é que w'(0) = 0 indica que a curva 
y = x³ apresenta uma tangente horizontal no ponto (0,0). Nesse caso, em vez de a 
função avaliada possuir mínimo ou máximo no ponto (0,0), a curva cruza sua tangente 
horizontal nesse ponto. 
 
Exemplo 2: 
 
A função modular mais simples, w(x) = |x|, apresenta valor mínimo absoluto e 
local em zero. Porém, w'(0) = 0 não existe, já que os limites laterais não são iguais, 
como observado na Figura 3, a seguir. 
 
49 
 
 
 
Ao observar os casos dos exemplos 1 e 2, percebemos que devemos ter 
cautela ao utilizar o teorema de Fermat, pois, mesmo que w'(c) = 0, isso não é 
condição para a existência de um máximo ou mínimo no número c; assim, a recíproca 
do teorema de Fermat não é verdadeira, de modo geral. Outro ponto a ser observado 
é o fato de existir um valor extremo quando w'(c) = 0 não existir. 
 O teorema de Fermat indica que, inicialmente, podemos investigar os valores 
extremos da função w nos números c nos quais a condição de que w'(c) = 0 ou que 
w'(c) não existe. Os números que apresentam essa característica são denominados 
números críticos. (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
 
9.6 Número crítico 
Consideramos como número crítico de uma função w um número c pertencente 
ao domínio dessa função, de forma que seja atendida pelo menos uma destas 
condições: w'(c) = 0 ou w'(c) não existe. 
 
Exemplo 3: 
 
Determine os números críticos da função: 
 
Solução: 
 
50 
 
Inicialmente, vamos derivar a função apresentada, para verificar as condições 
propostas na definição de números críticos. Assim, temos: 
 
 
 
10 REMODELANDO O TEOREMA DE FERMAT A PARTIR DA DEFINIÇÃO DE 
NÚMERO CRÍTICO 
Se w possuir um mínimo ou máximo local no número c,então c é um número 
crítico da função w. Para determinar um mínimo ou um máximo absoluto de uma 
função contínua em um intervalo fechado, observamos se este é local; ou seja, se 
acontecem as condições de um número crítico. Isso é feito por meio da remodelagem 
do teorema de Fermat a partir da definição de número crítico; então, verificamos o que 
ocorre em uma extremidade do intervalo, conforme leciona Stewart (2013). 
Nas próximas seções, vamos apresentar como as derivadas afetam a forma de 
um gráfico (crescente/decrescente, pontos de inflexão e concavidade para cima ou 
para baixo), além das condições para verificar quando uma função é crescente ou 
decrescente, por meio de um teste que utiliza o conceito de derivadas 
11 INTERVALOS EM QUE UMA FUNÇÃO É CRESCENTE OU DECRESCENTE 
Antes de apresentar a condição para uma função w ser crescente ou 
decrescente (teste crescente/decrescente e teste da primeira derivada), vamos 
relembrar dois teoremas fundamentais: o teorema de Rolle e o teorema do valor médio 
para derivadas. 
 
51 
 
11.1 Teorema de Rolle 
Em uma função w contínua no intervalo [a, b] e diferenciável no intervalo (a, b), 
com w(a) = w(b), existe um número c em (a, b), tal que w'(c) = 0. (STEWART, 2013) 
 
 
 Caso 1: w(x) = k, uma constante. Dessa forma w'(x) = 0, isto é, qualquer 
número no intervalo (a, b) pode ser utilizado, de acordo com o primeiro 
gráfico da Figura 4. 
 Caso 2: w(x) > w(a) para algum x no intervalo (a, b), de acordo com o 
segundo ou terceiro gráfico da Figura 4. 
 Caso 3: w(x) < w(a) para algum x no intervalo (a, b), de acordo com o 
segundo ou o terceiro gráfico da Figura 4. 
 
 
Em situações nas quais a localização gráfica não se apresenta de forma 
satisfatória, utilizamos o teorema de Rolle, método para localizar raízes de equações 
algébricas. De forma mais objetiva, podemos afirmar pelo teorema que há no máximo 
um zero contido em dois zeros consecutivos da derivada de uma função apresentada. 
11.2 Teorema do valor médio 
Dada uma função w que atenda às duas condições a seguir: 
 
a) w é uma função contínua no intervalo fechado [a, b]; 
 
52 
 
b) w é derivável no intervalo aberto (a, b), de forma que: 
 
 
 
Esse teorema permite determinar o número c se a função for contínua no 
intervalo [a, b] e derivável no intervalo (a, b), com f(b) – f(a) = f'(c)(b – a) ou f'(c) = [f(b) 
– f(a)]/b – a. (STEWART, 2013) 
 A maioria das aplicações do cálculo diferencial está associada à habilidade de 
elaborar e deduzir conjecturas de uma função w por meio de informações 
apresentadas pelas suas derivadas. Para ilustrar, tomemos como exemplo o gráfico 
da função w apresentado na Figura 5, a seguir. 
 
Observando a figura, verificamos que, entre A e B e entre C e D, as retas 
tangentes apresentam inclinação positiva; logo, w'(x) > 0. Já entre B e C, as retas 
tangentes têm inclinação negativa; logo, w'(x) > 0. Com isso, a função decresce 
quando w'(x) é negativa, e quando w'(x) é positiva, a função cresce. Para verificar 
quando uma função é decrescente ou crescente, utilizamos o teste 
crescente/decrescente (C/D), descrito a seguir. 
11.3 Teste crescente/decrescente (C/D) 
Veja a seguir como avaliar o teste C/D. 
 
53 
 
 Se w'(x) < 0 em um intervalo avaliado, então w é decrescente nesse 
intervalo. 
 Se w'(x) > 0 em um intervalo avaliado, então w é crescente nesse 
intervalo. 
 
Exemplo 4: 
 
Determine os intervalos nos quais a função: 
 
Solução: 
Inicialmente, derivamos a função. 
 
 
Para utilizar o teste C/D, é importante avaliar os locais nos quais as condições 
w'(x) > 0 ou w'(x) < 0 são atendidas. (STEWART, 2013) 
Estudando o sinal da função w'(x) com três fatores, 12x, (x – 2) e (x + 1), 
dividimos a reta real em intervalos com as extremidades associadas aos números 
críticos −1, 0 e 2. Vamos descrever esse processo por meio do Quadro 1. 
 
Nesse esquema do Quadro 1, o sinal de mais indica que a expressão é positiva, 
e o sinal de menos indica que a expressão é negativa. Já a última coluna do esquema 
 
54 
 
indica o resultado do teste C/D, isto é, para w'(x) < 0, com 0 < x < 2, a função é 
decrescente no intervalo (0, 2). A representação gráfica da função, apresentada na 
Figura 6, a seguir, confirma os intervalos nos quais a função é crescente ou 
decrescente pelo teste C/D. 
 
 
Pelo teorema de Fermat, se w possui um mínimo ou um máximo local no 
número c, então c se configura como um número crítico da função w. Porém, nem 
todo número crítico indica a origem de um mínimo ou máximo. Dessa forma, é 
importante um teste que indique um máximo ou mínimo local em um determinado 
número crítico. O teste da primeira derivada surge como consequência do teste C/D 
e responde a indicação descrita anteriormente. (STEWART, 2013) 
11.4 Teste da primeira derivada 
Supondo que c seja um número crítico de uma função w contínua, então temos 
três condições, apresentadas a seguir: 
 
a) Se w' não alterar o sinal de c, ou seja, em ambos os lados de c, w' é positivo 
ou negativo, então w não apresenta máximo ou mínimo locais em c. 
b) Se o sinal de w' for alterado de negativo para positivo em c, então w tem 
um mínimo local em c. 
c) Se o sinal de w' for alterado de positivo para negativo em c, então w tem um 
máximo local em c. 
 
55 
 
A interpretação gráfica do teste da primeira derivada é apresentada na Figura 
7. 
 
 
Exemplo 5: 
 
Solução: 
Inicialmente, derivamos a função w para encontrar os números críticos: 
w(x) = x + 2 sen x → w'(x) = 1 + 2 cos x 
 
Portanto, para g'(x) = 0, temos , e as soluções dessa equação 
são, respectivamente, 2π/3 e 4π/3. Sabendo também que g é diferenciável nos reais, 
então os únicos números críticos são os da própria solução da equação. Logo, 
utilizamos o esquema de estudo do sinal para aplicar o teste da primeira derivada. 
(STEWART, 2013) 
 
 
56 
 
 
 
Observe que os sinais positivos no esquema são justificados pela condição de 
que, quando w'(x) > 0, cos x > –1/2, a partir do gráfico de y = cos x, nos intervalos 
utilizados no esquema. (STEWART, 2013) 
Sabendo também que o sinal de w'(x) se altera de positivo para negativo em 
2π/3, o teste da primeira derivada nos indica a existência de um máximo local em 
2π/3, e esse valor é dado por: 
 
 
Analogamente, o sinal de w'(x) se altera de negativo para positivo em 4π/3. 
Com isso, temos: 
 
 
Isto é, um valor de mínimo local. O gráfico da função w gerado em computador 
assegura essas afirmações (Figura 8). 
 
57 
 
 
Nesta seção, discutimos e apresentamos como as derivadas de primeira ordem 
afetam o gráfico de uma função por meio do teste C/D, para avaliar os intervalos nos 
quais as funções são crescentes e decrescentes, e do teste da primeira derivada, para 
avaliar quando a função apresenta máximos ou mínimos locais a partir dos números 
críticos. (STEWART, 2013) 
 
12 A CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO 
Uma função pode apresentar a característica de concavidade para cima ou 
para baixo a partir das retas tangentes traçadas em seu gráfico. Vejamos as definições 
dessas concavidades. 
12.1 Côncava para baixo ou para cima 
Se o gráfico de uma função w estiver acima de todas as suas tangentes em um 
intervalo A, então w é denominada côncava para cima nesse intervalo A. Já se o 
gráfico de uma função w estiver abaixo de todas as suas tangentes em um intervalo 
A, então w é denominada côncava para baixo nesse intervalo A. O gráfico apresentado 
na Figura 9 ilustra as concavidades. 
 
 
58 
 
 
 
Ao observar e avaliar o gráfico, percebemos que, nos intervalos (a, b), (c, d) e 
(p, q), a concavidade é para baixo, já nos intervalos (b, c), (d, e) e (e, p), a concavidade 
é para cima. O teste da concavidade que utiliza a derivada de segunda ordem indica 
quando os gráficos das funções w e z apresentam concavidade para baixo ou para 
cima. (STEWART, 2013) 
A Figura 10, a seguir, indica graficamenteessa observação. 
 
 
A derivada de segunda ordem auxilia a determinar quais intervalos apresentam 
concavidade para baixo ou para cima. Ao observar o gráfico de (w) da Figura 10, 
percorrendo um caminho da esquerda para a direita, a inclinação da reta tangente 
cresce, ou seja, a derivada w' é uma função crescente e, dessa forma, a sua derivada 
w'' é positiva. Já ao observar o gráfico de (z) da Figura 10, percorrendo um caminho 
da esquerda para a direita, a inclinação da reta tangente decresce, ou seja, a derivada 
z' é uma função decrescente, e, dessa forma, a sua derivada w'' é negativa. 
 
59 
 
12.2 Teste da concavidade 
Veja a seguir como avaliar o teste da concavidade. 
 
 Se w''(x) < 0 para todo o valor de x de um intervalo, então o gráfico de w 
é côncavo para baixo nesse intervalo. 
 Se w''(x) > 0 para todo o valor de x de um intervalo, então o gráfico de 
w é côncavo para cima nesse intervalo. 
 
Consequentemente, podemos definir um ponto de inflexão a partir do teste da 
concavidade. 
12.3 Ponto de inflexão 
Um ponto P na curva y = w(x) é denominado ponto de inflexão se w é contínua 
no ponto, e a curva se alterar de côncava para baixo para côncava para cima, ou vice-
versa, no ponto P. Observando a Figura 9, os pontos de inflexão são: B, C, D e P. De 
fato, pelo teste da concavidade, toda vez que a derivada de segunda ordem alterar 
seu sinal, haverá um ponto de inflexão. (STEWART, 2013) 
Vamos aplicar esses testes e definições, veja a seguir. 
 
 
 
Solução: 
Avaliando a condição (1), entendemos que w cresce no intervalo (–∞, 1) e 
decresce no intervalo (1, ∞). Já na condição (2), entendemos que w é côncava para 
baixo no intervalo (–2, 2) e côncava para cima no intervalo (–∞, –2) e (2, ∞). Para a 
condição (3), entendemos que o gráfico de w apresenta duas assíntotas horizontais: 
y = −2 e y = 0. 
As derivadas de segunda ordem também podem ser utilizadas para determinar 
mínimos ou máximos locais, como consequência do teste da concavidade. 
 
60 
 
12.4 Teste da segunda derivada 
Supondo que w'' é uma função contínua na vizinhança de c, então: 
 
 Se w'(c) = 0 e w''(c) < 0, w tem um máximo local em c; 
 Se w'(c) = 0 e w''(c) > 0, w tem um mínimo local em c; 
 Se w'(c) = 0 e w''(c) = 0, o teste é inconclusivo, e precisamos usar o teste 
da primeira derivada. 
 
Exemplo 7: 
Avalie a curva em relação aos pontos de inflexão, à 
concavidade e aos mínimos e máximos locais. 
 
Solução: 
Inicialmente, calculamos a primeira e a segunda derivadas da função 
apresentada; com isso, temos: 
 
 
Para determinar os números críticos, verificamos os valores de x em que w'(x) 
= 0; com isso, encontramos x = 0 e x = 3. A fim de utilizar o teste da segunda derivada, 
obtemos w'' nesses dois pontos críticos encontrados e, com isso, temos: w''(0) = 0 e 
w''(3) = 36 > 0. 
A partir das condições w'(3) = 0 e w''(3) > 0, sabemos que w(3) = −27 é um 
mínimo local, já que w''(0) = 0. Apesar de o teste da segunda derivada não apresentar 
informações sobre 0 como número crítico, o teste da primeira derivada nas condições 
w'(x) < 0 para x < 0 e 0 < x < 3 nos indica que w não apresenta nem mínimo nem 
máximo local em 0. (STEWART, 2013) 
Para verificar os pontos de inflexão, dividimos a reta real nos números críticos 
0 e 2 nas extremidades e estudamos o sinal da função w'', conforme o esquema a 
seguir. 
 
 
61 
 
 
 
Além desses pontos de inflexão, temos (0, 0), pois a curva se altera de côncava 
para cima para côncava para baixo; no ponto (2, −16) também há alteração da 
concavidade. (STEWART, 2013) 
Usando as informações de mínimo local e pontos de inflexão, podemos esboçar 
o gráfico dessa função, como mostra a Figura 11, a seguir. 
 
 
Dependendo da situação, é possível utilizar o teste da primeira ou segunda 
derivada para determinar os máximos ou mínimos locais. 
 
62 
 
13 QUOCIENTE ENTRE FUNÇÕES 
Uma função pode ser escrita a partir de outras funções, como uma função 
criada a partir da soma de outras funções. Um caso em particular refere-se ao 
quociente entre funções. As funções racionais são definidas como: 
 
 
Onde p e q são funções polinomiais, com q(x) ≠ 0 (ADAMI; DORNELLES 
FILHO; LORANDIL, 2015). Por exemplo: 
 
Olhando uma dessas funções mais de perto com o objetivo de encontrar o valor 
dela para um x escolhido, chegamos à Figura 1, que mostra o gráfico da função em 
preto, de em azul e q(x) = x + 2 em magenta 
 
Para encontrarmos o valor das funções em, por exemplo, x = 2, linha preta 
pontilhada, podemos simplesmente substituir o valor de x em p e q e dividir o valor a 
fim de encontrar o valor de f. Em outras palavras, 
 
 
 
 
63 
 
 
Uma maneira de estudar o comportamento de uma função f(x) ao redor de um 
x específico se dá por meio do emprego do limite. (ADAMI; DORNELLES FILHO; 
LORANDIL, 2015). Assim, 
 
 
Embora as leis dos limites sejam bastante úteis para calcular limites de funções, 
os casos nos quais ocorrem indeterminações, como 0/0 ou ∞/∞, são mais difíceis de 
resolver. (ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDIL, 2015). Nessas situações, o ideal 
é utilizar uma regra chamada de L’Hôpital, conforme mostrado a seguir. 
14 REGRA DE L’HÔPITAL 
Ao calcularmos o limite de funções com quocientes, podemos nos deparar com 
certas indeterminações, como 0/0 ou ∞/∞, conforme o caso a seguir. Suponha a 
função: 
 
64 
 
 
 
Essa função não é definida em x = 1, mas queremos investigar seu 
comportamento em torno desse ponto. Para encontrarmos o seu limite para x → 1, 
poderíamos olhar separadamente os limites do numerador e do denominador. Para o 
numerador, temos que: 
 
 
E para o denominador: 
 
 
Dessa maneira, teríamos uma indeterminação do tipo 0/0, ou seja 
Assim, não podemos usar a lei apresentada anteriormente para quociente de funções. 
Para esses casos, usamos uma metodologia chamada de regra de L’Hôpital 
(Figura 2). (STEWART, 2008). Assim, quando temos indeterminações do tipo 0/0 ou 
∞/∞, para encontrar o limite, derivamos separadamente o numerador e o 
denominador. 
 
65 
 
 
A Figura 2 ilustra como a regra de L’Hôpital funciona: no primeiro gráfico, há 
duas funções diferenciáveis, f e g, com valor 0 quando x = a. Se déssemos um zoom 
na função, para valores de x bem próximos de a, veríamos a função 
quase como uma reta. O segundo gráfico mostra as funções como funções lineares, 
com coeficientes angulares . (ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDIL, 2015). 
Supondo que as funções sejam de fato lineares, a razão entre elas seria: 
 
Que é a razão entre as próprias derivadas. Assim, podemos escrever que: 
 
 
 
66 
 
 
Voltemos ao caso da função Para encontrarmos o seu limite 
quando x → 1, devemos aplicar a regra de L’Hôpital. Assim: 
 
 
 
Portanto, o limite da função quando x se aproxima de 1 é 1, mesmo se a função 
não for definida nesse ponto (Figura 3). (ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDIL, 
2015) 
 
67 
 
 
14.1 Produtos indeterminados 
Suponha duas funções f e g. Se o valor 
do não é claro. Haverá uma competição entre as duas funções, em que 
ambas podem vencer, levando o limite a ser 0 ou ∞, chamado de forma indeterminada 
do tipo 0 ∙ ∞. (ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDIL, 2015) 
Podemos lidar com esse tipo de indeterminação escrevendo o produto f ∙ g 
como um quociente, ou seja, 
 
Dessa maneira, o limite é convertido para os casos de indeterminação do tipo 
0/0 ou ∞/∞, o que nos leva a poder usar a regra de L’Hôpital, como mostra o Exemplo 
(1). 
Exemplo 1: 
 
Encontre o 
 
Nesse caso, o limite é indeterminado do tipo 0 ∙ ∞, já que o limite de x tende a 
0 e o limite de ln(x) tende a –∞. 
 
68 
 
 Para podermos usar a regra de L’Hôpital, devemos reescrever a função. 
(ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDIL, 2015) 
Assim, podemos escrever que: 
 
Desse modo, . Agora, podemos aplicar a regra de 
L’Hôpital: 
 
 
Na Figura 4, você pode visualizar um esquema da função:69 
 
 
14.2 Calcular limites indeterminados 
Anteriormente, você viu como usar a regra de L’Hôpital. Agora, verá alguns 
exemplos de uso dessa regra para a solução de limites. (ADAMI; DORNELLES FILHO; 
LORANDIL, 2015) 
Exemplo 2: 
 
Suponha a seguinte função e encontre o 
 
 
 
Olhando inicialmente o limite do numerador e do denominador, podemos ver 
que ambos tendem a 0: 
 
E: 
 
70 
 
 
Assim, temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de 
L’Hôpital. (ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDIL, 2015) 
Portanto: 
 
 
A Figura 5 mostra um esquema da função. 
 
 
Exemplo 3: 
 
Dada a função seguir, encontre 
 
71 
 
 
 
Nesse caso, temos uma indeterminação do tipo ∞/∞, já que os limites do 
numerado e do denominador dão ∞. (ADAMI; DORNELLES FILHO; LORANDIL, 2015) 
Assim, aplicando a regra de L’Hôpital, temos que: 
 
 
A Figura 6 mostra o gráfico da função. 
 
 
 
Exemplo 4: 
 
Dada a função a seguir, determine 
 
 
72 
 
 
Nesse caso, temos uma indeterminação do tipo 0 ∙ ∞, já que: 
 
E: 
 
 
Podemos convertê-la para uma indeterminação do tipo 0/0 reescrevendo a 
equação: 
 
 
Aplicando a regra de L’Hôpital, encontramos que: 
 
 
 
O gráfico da função pode ser visto na Figura 7. 
 
73 
 
 
 
15 ANTIDERIVADAS DE FUNÇÕES 
Em problemas aplicados que envolvem o uso de derivadas, é importante 
conhecer as funções anteriores à diferenciação, também chamadas de antiderivadas 
ou primitivas. Exemplos dessa relação estão associados a problemas físicos, no qual 
são desenvolvidos modelos matemáticos que, consequentemente, resultam em 
equações diferenciais, como a descrição de um movimento retilíneo a partir da 
aceleração determinando a velocidade e, em seguida, a posição de um objeto 
(processo inverso da diferenciação). (STEWART, 2013) 
Outra situação-problema consiste no estudo do crescimento populacional de 
microrganismos, como bactérias ou fungos a partir da taxa de reprodução em segundo 
e se há o desejo de saber o crescimento da população. E, ainda, em problemas de 
Engenharia, como a determinação de máximos ou mínimos de áreas e volumes ou na 
frequência de descargas eletromagnéticas em dispositivos eletrônicos ou até mesmo 
a vazão associada à taxa de tempo em relação ao escoamento de líquidos. Em cada 
situação apresentada, é importante na resolução do problema aplicado encontrar uma 
função W em que a derivada é uma função que conhecemos w. Nos casos em que 
 
74 
 
existir a função W, denomina-se antiderivada ou primitiva de w. Nesse sentido, 
podemos definir o que é antiderivada da seguinte forma: uma função W é chamada 
de antiderivada de w sobre um intervalo A se W’(u) = w(u) para todo u pertencente ao 
intervalo A. 
Aplicando a definição a função w(u) = 2u, percebemos que a antiderivada é 
W(u) = u² a partir da Regra da Potência pensada de maneira inversa, já que temos: 
 . Se derivarmos a função W’(u) = 2u = w (u), obteremos a função 
inicial. Naturalmente, outras funções satisfarão essa condição, por exemplo: H(u) = u² 
+ 5, pois H’(u) = 2u. De modo geral, trata-se de funções da forma F(u) = u² + C, no 
qual C é uma constante. Após essa interpretação, observamos que, pelo Teorema do 
Valor Médio, se duas funções apresentam a mesma derivada em um intervalo dado, 
estas serão diferentes por uma constante (STEWART, 2013). 
 
 
Com isso, se W e H se configuram como antiderivadas de w, concluímos que 
W'(u) = w(u) = H’(u), pois H(u) – W(u) = C, no qual C se caracteriza como uma 
constante. Reescrevendo essa relação isolando H, temos: H(u) = W (u) + C, resultado 
do qual surge o seguinte teorema: se W se caracterizar como uma antiderivada de w 
em um intervalo A, então concluímos que sua antiderivada mais geral é W(u) + C, no 
qual C é uma constante arbitrária. 
A Figura 1 descreve um grupo de funções antiderivadas da função w(u) = 2u. 
 
75 
 
 
 
As leis de formação das funções g, h, q e p são descritas, respectivamente, por: 
g(u) = u² + 1; h(u) = u² + 1; p(u) = u² – 2; q(u) = u² + 2. Ao observarmos o gráfico 
apresentado na Figura 1, percebemos que as antiderivadas do grupo destacado são 
translações da parábola u². (STEWART, 2013) 
A seguir, você observará alguns exemplos de antiderivadas gerais de algumas 
funções. 
Exemplo 1: 
 
Determine a antiderivada geral das funções a seguir: 
 
a) w(u) = sen u; 
b) w(u) = 1/u; 
c) w(u) = un , n ≠ –1. 
 
Solução: 
 
76 
 
Se W(u) = – cos u, pois W'(u) = sen u. Dessa forma, uma antiderivada de w(u) 
= sen u é – cos u e, de modo geral, F(u) = – cos u + C se caracteriza como antiderivada 
geral de w(u). (STEWART, 2013) 
Lembrando que a derivada de ln u = 1/u. No intervalo (0, ∞), concluímos que ln 
x + C se caracteriza como uma antiderivada geral de w(u), observando que zero não 
está definido nessa função, ou seja, não está no domínio dessa função. Avaliando 
essa interpretação especificamente, temos: 
 
 
A partir da Regra da Potência de diferenciação utilizada de forma inversa, 
temos: 
 
 
Com isso, . A validade dessa relação para n ≥ 0. 
 
Adotando W’ = w e H’ = h, é possível elaborar um quadro com a função e sua 
respectiva antiderivada particular, como apresentado no Quadro 1. 
 
 
77 
 
 
Observando o quadro, temos basicamente algumas formas básicas de 
antiderivadas. No exemplo a seguir, vamos determinar a antiderivada de uma função, 
que corresponde a uma composição de uma função trigonométrica, polinomial e 
racional. 
Exemplo 2: 
 
Determine a antiderivada mais geral da função a partir de sua derivada: 
 
 
Solução: 
Inicialmente, ajustamos a expressão a qual a derivada está associada: 
 
 
 
Após realizar esse procedimento de ajuste, aplicamos os conhecimentos de 
antiderivadas desenvolvidos anteriormente. (STEWART, 2013) 
 
78 
 
Com isso, temos: 
 
 
Nos estudos de equações diferenciais, são comuns expressões de funções em 
problemas aplicados que envolvam o cálculo de antiderivadas. Agora, 
apresentaremos exemplos em que são dadas a derivada de uma função e uma 
localização ou relação dessa função para determinar o valor de C (constante) da 
antiderivada. (STEWART, 2013) 
No caso, vamos determinar a função particular que atende as condições 
enunciadas nos dados. 
Exemplo 3: 
 
Sabendo que w se 
 
Solução: 
Inicialmente, calculando a antiderivada geral de w'(u), temos: 
 
 
Agora, fazemos u = 0 em w(0) = –2; com isso, temos: 
 
 
Dessa forma, a antiderivada procurada é 
 
Exemplo 4: 
Dados w''(u) = 12u² + 6u – 4u, w(0) = 4 e w(1) = 1. Determine a função w no 
caso específico das condições apresentadas. 
 
Solução: 
Calculando a antiderivada de w''(u) = 12u2²+ 6u – 4u, temos: 
 
79 
 
 
 
Repetindo o procedimento, temos: 
 
 
Para encontrar as constantes C e D, aplicamos as condições descritas no 
problema w(0) = 4 e w(1) = 1. Da relação w(0) = 4, temos: w(0) = 0 + D = 4, o que 
implica que D = 4. Da relação w(1) = 1, temos: w(1) = 1 + 1 – 2 + C + 4 = 1 → C = 1 – 
4 = –3. Substituindo os valores de C e D em w(u): 
 
 
Avaliando os exercícios apresentados nos exemplos 3 e 4, observamos que a 
quantidade de relações informadas está associada à ordem de diferenciação. Com a 
primeira derivada, precisamos de uma relação da função, com a segunda precisamos 
de duas relações da função, e assim sucessivamente. (STEWART, 2013) 
16 ANTIDERIVADA OU PRIMITIVA COMO INTEGRAL INDEFINIDA 
Anteriormente, definimos a antiderivada a partir da relação W'(u) = w(u) com 
W, denominada antiderivada ou primitiva de w. A notação ∫ w(u) du se caracteriza 
como qualquer antiderivada de w(u). Nessa notação w(u) é denominada de 
integrando, e essa terminologia nomeia ∫ w(u) du como integral indefinida. Assim, 
quando desejamos calcular, encontrar ou determinar uma antiderivada de uma 
função, na verdade estamos querendo obter a sua integral indefinida. Os exemplos 5 
e 6 apresentados a seguir ilustram esse conceitoe a definição de notação e de 
terminologia. 
Exemplo 5: 
 
Determine a integral indefinida das funções a seguir. 
 
80 
 
 ∫ u du; 
 ∫ – sen u du. 
Solução: 
 
 (Utilizando a Regra da Potência de forma inversa 
como a situação aplicada no exemplo 1). (STEWART, 2013) 
∫ – sen u du = cos u + C (utilizando o quadro das antiderivadas particulares 
descritas anteriormente, observamos que a antiderivada de sen u é – cos u, mas, 
como há a multiplicação pelo escalar –1, a integral indefinida fica com sinal positivo). 
As leis de diferenciação aplicadas de forma inversa descrevem fórmulas de 
antidiferenciação que agora podem ser associadas ao cálculo de integrais indefinidas. 
 
 
 
 
81 
 
Com essas leis, podemos calcular as integrais indefinidas descritas no exemplo 
6. 
Exemplo 6: 
Calcule as integrais indefinidas das funções a seguir: 
 
 
 
A Figura 2 descreve as formas básicas de integração indefinidas. 
 
 
82 
 
 
 
A seguir, apresentaremos problemas aplicados que utilizam propriedades, 
conceitos e definições desenvolvidos anteriormente de antiderivadas ou integrais 
indefinidas. 
16.1 Problemas aplicados a partir das propriedades das antiderivadas 
Nas investigações de Cinemática relacionadas ao movimento retilíneo de 
objetos, os procedimentos de determinação de antiderivadas (integral indefinida) são 
bastante importantes, visto ser possível relacionar os modelos matemáticos das 
grandezas físicas posição (espaço), velocidade e aceleração. (STEWART, 2013) 
As notações e terminologias a seguir são relacionadas: 
p = w(t) → v(t) = p' (t); a(t) = v' (t) 
 
v = ∫ a dt; s = ∫ p dt 
 
A partir da função que está associada à posição com a antidiferenciação, 
podemos determinar as funções da velocidade e derivada. Se, particularmente, são 
dadas condições, por exemplo, os valores iniciais p(0) e v(0), conseguimos encontrar 
as possíveis constantes que se apresentariam no processo de antidiferenciação. Nos 
 
83 
 
exemplos 7 e 8, vamos apresentar problemas aplicados que envolvem essas relações, 
descritas anteriormente. 
 
Exemplo 7: 
 
Uma partícula tem o seu movimento descrito por uma reta e apresenta 
aceleração, sendo representada pela equação a(t) = 6t + 4. Sabendo que sua 
velocidade inicial é v(0) = –6 cm/s e o seu deslocamento inicial dado por p(0) = 9 cm, 
determine a função da posição p(t) 
Solução: 
 
Como v'(t) = a(t) = 6t + 4, a sua antidiferenciação é: 
 
 
Sabendo que v(0) = C e que v(0) = –6, temos C = –6. Então: 
v(t) = 3t ² + 4t – 6 
 
Usando a relação v(t) = p’(t), p é a antiderivada de v; dessa forma, temos: 
 
 
Sabendo que p(0) = D e que p(0) = 9, temos D = 9. (STEWART, 2013) 
Então: 
p(t) = t³ +2t² – 6t +9 
 
Assim, encontramos a função da posição solicitada no exemplo. 
 
Exemplo 8: 
 
Uma esfera é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 
15 m/s a partir da borda de uma colina 140 m acima do solo. Determine: 
 
 
84 
 
 Qual a função da posição? 
 Quando a esfera atinge sua altura máxima? 
 Quando a esfera atinge o solo? 
 
Solução: 
Ao observarmos as informações apresentadas no problema, concluímos que o 
movimento é vertical. Adotamos o sentido positivo para cima para associar a 
aceleração a= –9,8 m/s². Ainda, realizamos as seguintes considerações: no instante 
t, a distância acima do solo é p(t) e a velocidade está decrescendo, pois há uma 
desaceleração. Assim, uma vez que a aceleração é negativa, temos: 
 
 
 
Calculando sua antiderivada: 
 
v(t) = –9,8t + C 
 
Para encontrarmos C, usamos a relação v(0) = 15. E, assim, 15 = 0 + C, isto é, 
C = 15. Substituindo o valor de C na equação da velocidade, temos: 
 
v(t) = –9,8t + 15 
 
No caso do lançamento vertical para cima, a altura máxima é alcançada quando 
v(t) = 0. Assim, 0 = –9,8t + 15 => 9,8t = 15 = > t = 15/9,8 ≅ 1,53 segundo. 
Respondemos ao segundo item, pois no instante 1,53 segundo a esfera atinge a altura 
máxima. (STEWART, 2013) 
Sabendo que p'(0) = v(0) e repetindo o procedimento de antiderivada, temos: 
 
p(t) = –4,9t² +15t +D 
 
 
 
85 
 
Para encontrarmos D, usamos a relação p(0) = 140. E, assim, 140 = 0 + D, isto 
é, D = 140. Substituindo o valor de D na equação da posição, temos p(t) = –4,9t² + 15t 
+140. Com isso, respondemos ao primeiro item. 
A condição em que a esfera atinge o solo é p(t) = 0. Dessa forma, temos: –
4,9t²+15t +140 = 0. Aplicando o método analítico para a resolução de equações do 2º 
grau, temos: 
 
 
Escolhemos apenas o valor positivo, pois não existe tempo negativo. Quando 
um objeto está próximo à superfície terrestre, está sujeito à força gravitacional 
denominada g. Nos movimentos de objetos que estão associados a essa condição, g 
é constante e tem valor numérico de 9,8 metros por segundo ao quadrado (STEWART, 
2013). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
86 
 
17 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
17.1 Bibliografia Básica 
THOMAS, G. B.; WEIR, M.D.; HASS, J. Cálculo 1. Volume1, 1ª ed. São Paulo: 
Addison Wesley, 2009. 
 
 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo um Novo Horizonte. Volume 1. 8 ª ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2007. 
 
 
STEWART, J. Cálculo. Volume 1, 5 ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 
2008. 
17.2 Bibliografia Complementar 
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto 
Alegre: Bookman, 2015 
 
 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 
1. 
 
 
AYRES JUNIOR, F.; MENDELSON, E. Cálculo. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. 
 
 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, 
integração. 6. ed. São Paulo: Prentice Hall Brasil, 2006. 
 
 
HOFFMANN, L. D. et al. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2018. 
 
 
KILHIAN, K. Velocidade instantânea. In: O BARICENTRO da mente. [S. l.], 2009. 
Disponível em: https://www.obaricentrodamente.com/2009/05/velocidade-
instantanea.html. Acesso em: 23 abril 2021. 
 
 
KOLMAN, B.; HILL, D. R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2006. 
 
 
 
87 
 
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Cálculo: função de uma e várias 
variáveis. 2. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2010. 
 
PROFESSOR FERRETO. Relações métricas na circunferência. [2018]. Disponível 
em: . Acesso em: 23 abril 2021. 
 
 
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 1. 
 
 
SAFIER, F. Pré-cálculo: mais de 700 problemas resolvidos. 2. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2011. 
 
 
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
 
 
STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1. 
 
 
THOMAS, G. B. et al. Cálculo. 11. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008. v. 1