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IFBA Ca´lculo 1 Versa˜o 1 Allan de Sousa Soares Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG Vito´ria da Conquista - BA 2013 Aula 3 Objetivos - Entender o conceito de limite infinito; - Calcular limites infinitos; - Entender o conceito de limite no infinito; - Calcular limites no infinito. 0.1 Limites Infinitos Quando consideramos limx→af(x) pode ser que este nem ao menos exista. Pore´m, se, mesmo na˜o existindo, ao tendermos a a por ambos os lados pode acontecer que a func¸a˜o f(x) cresc¸a indefinidamente (ou decresc¸a indefinida- mente). Isso nos motiva a seguinte definic¸a˜o. Definic¸a˜o 1. Seja f definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em a. Enta˜o limx→af(x) =∞ significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes tomando x suficientemente pro´ximo de a, mas na˜o igual a a. De maneira ana´loga define-se limx→af(x) = −∞. Exemplo 2. Mostre que limx→0 1x2 =∞. Soluc¸a˜o: Considere a tabela a seguir: x f(x) −0, 1 100 −0, 01 10000 −0, 001 1000000 −0, 0001 100000000 x f(x) 0, 1 100 0, 01 10000 0, 001 1000000 0, 0001 100000000 Pela tabela anterior, e´ poss´ıvel notar que, ao se aproximar de x tanto pela esquerda quanto pela direita de a, f cresce indefinidamente, isto e´, limx→0 1x2 =∞. Geometricamente, temos (1) Exemplo 3. Mostre que limx→1 1x−1 na˜o existe. Soluc¸a˜o: Considere a tabela a seguir: x f(x) 0, 9 −10 0, 99 −100 0, 999 −1000 0, 9999 −10000 x f(x) 1, 1 10 1, 01 100 1, 001 1000 1, 0001 10000 1 Pela tabela, temos que limx→1− 1x−1 = −∞ e limx→1+ 1x−1 =∞, isto e´, o limite na˜o existe. Geometricamente, temos (2) Definic¸a˜o 4. A reta x = a e´ chamada de ass´ıntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das condic¸o˜es estiver satisfeita: limx→af(x) =∞, limx→a−f(x) =∞, limx→a+f(x) =∞ limx→af(x) = −∞, limx→a−f(x) = −∞, limx→a+f(x) = −∞ Exemplo 5. Encontre, se existirem, assintotas verticais de y = 2xx−3 . Soluc¸a˜o: Observe que uma assintota vertical em uma func¸a˜o racional e´ conseguida, em geral, anulando-se o denomi- nador desta func¸a˜o. Assim, x− 3 = 0⇒ x = 3. De fato, x = 3 e´ uma assintota vertical pois, na˜o e´ dif´ıcil ver que limx→3− 2xx−3 = −∞ e limx→3+ 2xx−3 =∞. Geometricamente, temos (3) Exemplo 6. Calcule os seguintes limites infinitos: (i) limx→4 x4−x ; (ii) limx→9+ 1√x−3 ; (iii) limx→2 x−2x2−4x+4 ; (iv) limx→1 x−1x3−3x2+3x−1 ; (v) limx→3 2−xx2−5x+6 . Soluc¸a˜o: (i) Devemos calcular os limites laterais, limx→4− xx−4 e limx→4+ x 4−x . limx→4− x x− 4 = ” 4 −0” = −∞ limx→4+ x x− 4 = ” 4 +0 ” =∞. Logo, na˜o existe limx→4 xx−4 . (ii) limx→9+ 1√x−3 = ” 1 +0” =∞. 2 (iii) Para facilitar, podemos pensar em escrever o denominador em fatores do primeiro grau ja´ que 22 − 4.2 + 4 = 0. Assim, limx→2 x− 2 x2 − 4x+ 4 = limx→2 x− 2 (x− 2)2 = limx→2 1 x− 2 . Usando limites laterais, temos limx→2− 1 x− 2 = ” 1 −0” = −∞ limx→2+ 1 x− 2 = ” 1 +0 ” =∞. Logo, na˜o existe limx→4 x−2x2−4x+4 . (iv) Par facilitar, podemos reescrever o limite limx→1 x− 1 x3 − 3x2 + 3x− 1 = limx→1 x− 1 (x− 1)3 = limx→1 1 (x− 1)2 . Usando limites laterais, temos limx→1− 1 (x− 1)2 = ” 1 (−0)2 ” = ” 1 +0 =∞ limx→1+ 1 (x− 1)2 = ” 1 (+0)2 ” = ” 1 +0 =∞. Logo, limx→1 x−1x3−3x2+3x−1 =∞. (v) Para facilitar, podemos reescrever o limite limx→3 2− x x2 − 5x+ 6 = limx→3 2− x (x− 2)(x− 3) . Usando limites laterais, temos limx→3− 2− x (x− 2)(x− 3) = ” 2− 3 (3− 2)(−0)” = ” −1 1.(−0)” = ” −1 −0” =∞ limx→3+ 2− x (x− 2)(x− 3) = ” 2− 3 (3− 2)(+0)” = ” −1 1.(+0) ” = ” −1 +0 ” = −∞. Logo, na˜o existe limx→3 2−xx2−5x+6 . Exerc´ıcio 1. Calcule os seguintes limites: a) limx→3 −1(x−1)4 b) limx→3 x2−9 x2−6x+9 c) limx→−1 x−1 x2−1 d) limx→2 1 x2−4 e) limx→1 x+2 x2−2x+1 f) limx→2 1x4−8x2+16 Respostas: a) −∞, b) na˜o existe, c) na˜o existe, d) na˜o existe, e) ∞, f) ∞. 0.2 Limites no Infinito As vezes necessitamos estudar o comportamento de uma func¸a˜o f(x) para valores de x cada vez maiores, isto e´, quando x→∞ (ou para valores de x cada vez menores, x→ −∞). Isso nos motiva a apresentar a seguinte definic¸a˜o. Definic¸a˜o 7. Seja f definida em um intervalo aberto da forma (α,∞), isto e´, f esta´ definida para valores arbitrari- amente grandes. Enta˜o limx→∞f(x) = L significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbtrariamente pro´ximos de L tomando x suficientemente grande. De maneira ana´loga define-se limx→−∞f(x) = L. 3 Exemplo 8. Consideremos a func¸a˜o f(x) = 2 + 1x . Estudemos o comportamento quando x → ∞ cresce indefinida- mente. Para tanto, observemos a tabela a seguir: x f(x) 100 2, 01 1000 2, 001 10000 2, 0001 100000 2, 00001 Com base na tabela podemos notar que f(x) se aproxima de 2 quando x→∞. Geometricamente, temos (4) O teorema a seguir e´ bastante u´til para o ca´lculo de limites no infinito. Teorema 9. Se k e´ um nu´mero racional qualquer e c um nu´mero real arbitra´rio, enta˜o limx→∞ c xk = 0 e limx→−∞ c xk = 0. Vejamos o ca´culo de alguns limites usando o Teorema 9. Exemplo 10. Calcule os seguintes limites no infinito: (i) limx→−∞ 2x 2−5 3x2+x+2 ; (ii) limx→∞ 2x 2−5 3x4+2x+1 ; (iii) limx→−∞ 2x 3+5x+2 x2+3x+10 ; (iv) limx→∞ √ 9x2+2 4x+3 ; (v) limx→∞ 3√27x6+2+√x2+1 x2+2 . Soluc¸a˜o: (i) A ide´ia e´ por, tanto no merador quanto no denominador o termo de maior grau em evideˆncia para que possa ser cancelado. Vejamos: limx→−∞ 2x2 − 5 3x2 + x+ 2 = limx→−∞ x2(2− 5/x2) x2(3 + 1/x+ 2/x2) limx→−∞ 2− 5/x2 3 + 1/x+ 2/x2 = 2− 0 3 + 0 + 0 = 2 3 . (ii) limx→∞ 2x2 − 5 3x4 + 2x+ 1 = limx→∞ x2(2− 5/x2) x4(3 + 2/x3 + 1/x4) = limx→∞ 2− 5/x2 3 + 2/x3 + 1/x4 limx→∞ 2− 5/x2 x2(3 + 2/x3 + 1/x4) = limx→∞ 2 3x2 = ” 2 ∞” = 0. (iii) limx→−∞ 2x3 + 5x+ 2 x2 + 3x+ 10 = limx→−∞ 2x3 x2 = limx→−∞3x = −∞. 4 (iv) limx→∞ √ 9x2 + 2 4x+ 3 = limx→∞ √ x2(9 + 2/x2) x(4 + 3/x) limx→∞ |x|√9 + 2/x2 x(4 + 3/x) = limx→∞ |x|√9 4x = 3 4 . (v) limx→∞ 3 √ 27x6 + 2 + √ x2 + 1 x2 + 2 = limx→∞ 3 √ x6(27 + 2/x6) + √ x2(1 + 1/x2) x2(1 + 2/x2) limx→∞ x2 3 √ 27 + 2/x6 + |x|√1 + 1/x2 x2(1 + 2/x2) = limx→∞ x2 3 √ 27 + |x|√1 x2 = limx→∞ 3x2 + x x2 limx→∞ x2(3 + 1/x) x2 = limx→∞ 3x2 x2 = 3. Exerc´ıcio 2. Calcule os seguintes limites: a) limx→∞ 3x 3+2x+3 4x3+1 b) limx→−∞ 4x4+2x+1 x2+6x−3 c) limx→−∞ 4x5+3 x2−4x−1 d) limx→∞ 3x+5 7x3+2x−1 e) limx→∞ 3√x3+x2−1−√12x6+4x x+1 f) limx→∞ √ x2+ 4 √ x10+12x+1−√x2+2 x3+ 3 √ x10+x5+3x Respostas: a) 34 , b) ∞, c) −∞, d) 0, e) −∞, f) 0 5
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