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Limite infinito

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IFBA
Ca´lculo 1
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 3
Objetivos
- Entender o conceito de limite infinito;
- Calcular limites infinitos;
- Entender o conceito de limite no infinito;
- Calcular limites no infinito.
0.1 Limites Infinitos
Quando consideramos limx→af(x) pode ser que este nem ao menos exista. Pore´m, se, mesmo na˜o existindo, ao
tendermos a a por ambos os lados pode acontecer que a func¸a˜o f(x) cresc¸a indefinidamente (ou decresc¸a indefinida-
mente). Isso nos motiva a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1. Seja f definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em a. Enta˜o
limx→af(x) =∞
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes tomando x suficientemente pro´ximo de
a, mas na˜o igual a a. De maneira ana´loga define-se limx→af(x) = −∞.
Exemplo 2. Mostre que limx→0 1x2 =∞.
Soluc¸a˜o: Considere a tabela a seguir:
x f(x)
−0, 1 100
−0, 01 10000
−0, 001 1000000
−0, 0001 100000000
x f(x)
0, 1 100
0, 01 10000
0, 001 1000000
0, 0001 100000000
Pela tabela anterior, e´ poss´ıvel notar que, ao se aproximar de x tanto pela esquerda quanto pela direita de a, f cresce
indefinidamente, isto e´, limx→0 1x2 =∞.
Geometricamente, temos
(1)
Exemplo 3. Mostre que limx→1 1x−1 na˜o existe.
Soluc¸a˜o: Considere a tabela a seguir:
x f(x)
0, 9 −10
0, 99 −100
0, 999 −1000
0, 9999 −10000
x f(x)
1, 1 10
1, 01 100
1, 001 1000
1, 0001 10000
1
Pela tabela, temos que limx→1− 1x−1 = −∞ e limx→1+ 1x−1 =∞, isto e´, o limite na˜o existe.
Geometricamente, temos
(2)
Definic¸a˜o 4. A reta x = a e´ chamada de ass´ıntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das condic¸o˜es
estiver satisfeita:
limx→af(x) =∞, limx→a−f(x) =∞, limx→a+f(x) =∞
limx→af(x) = −∞, limx→a−f(x) = −∞, limx→a+f(x) = −∞
Exemplo 5. Encontre, se existirem, assintotas verticais de y = 2xx−3 .
Soluc¸a˜o: Observe que uma assintota vertical em uma func¸a˜o racional e´ conseguida, em geral, anulando-se o denomi-
nador desta func¸a˜o. Assim,
x− 3 = 0⇒ x = 3.
De fato, x = 3 e´ uma assintota vertical pois, na˜o e´ dif´ıcil ver que limx→3− 2xx−3 = −∞ e limx→3+ 2xx−3 =∞.
Geometricamente, temos
(3)
Exemplo 6. Calcule os seguintes limites infinitos:
(i) limx→4 x4−x ;
(ii) limx→9+ 1√x−3 ;
(iii) limx→2 x−2x2−4x+4 ;
(iv) limx→1 x−1x3−3x2+3x−1 ;
(v) limx→3 2−xx2−5x+6 .
Soluc¸a˜o:
(i) Devemos calcular os limites laterais, limx→4− xx−4 e limx→4+
x
4−x .
limx→4−
x
x− 4 = ”
4
−0” = −∞
limx→4+
x
x− 4 = ”
4
+0
” =∞.
Logo, na˜o existe limx→4 xx−4 .
(ii) limx→9+ 1√x−3 = ”
1
+0” =∞.
2
(iii) Para facilitar, podemos pensar em escrever o denominador em fatores do primeiro grau ja´ que 22 − 4.2 + 4 = 0.
Assim,
limx→2
x− 2
x2 − 4x+ 4 = limx→2
x− 2
(x− 2)2 = limx→2
1
x− 2 .
Usando limites laterais, temos
limx→2−
1
x− 2 = ”
1
−0” = −∞
limx→2+
1
x− 2 = ”
1
+0
” =∞.
Logo, na˜o existe limx→4 x−2x2−4x+4 .
(iv) Par facilitar, podemos reescrever o limite
limx→1
x− 1
x3 − 3x2 + 3x− 1 = limx→1
x− 1
(x− 1)3 = limx→1
1
(x− 1)2 .
Usando limites laterais, temos
limx→1−
1
(x− 1)2 = ”
1
(−0)2 ” = ”
1
+0
=∞
limx→1+
1
(x− 1)2 = ”
1
(+0)2
” = ”
1
+0
=∞.
Logo, limx→1 x−1x3−3x2+3x−1 =∞.
(v) Para facilitar, podemos reescrever o limite
limx→3
2− x
x2 − 5x+ 6 = limx→3
2− x
(x− 2)(x− 3) .
Usando limites laterais, temos
limx→3−
2− x
(x− 2)(x− 3) = ”
2− 3
(3− 2)(−0)” = ”
−1
1.(−0)” = ”
−1
−0” =∞
limx→3+
2− x
(x− 2)(x− 3) = ”
2− 3
(3− 2)(+0)” = ”
−1
1.(+0)
” = ”
−1
+0
” = −∞.
Logo, na˜o existe limx→3 2−xx2−5x+6 .
Exerc´ıcio 1. Calcule os seguintes limites:
a) limx→3 −1(x−1)4 b) limx→3
x2−9
x2−6x+9 c) limx→−1
x−1
x2−1 d) limx→2
1
x2−4 e) limx→1
x+2
x2−2x+1
f) limx→2 1x4−8x2+16
Respostas: a) −∞, b) na˜o existe, c) na˜o existe, d) na˜o existe, e) ∞, f) ∞.
0.2 Limites no Infinito
As vezes necessitamos estudar o comportamento de uma func¸a˜o f(x) para valores de x cada vez maiores, isto e´,
quando x→∞ (ou para valores de x cada vez menores, x→ −∞). Isso nos motiva a apresentar a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 7. Seja f definida em um intervalo aberto da forma (α,∞), isto e´, f esta´ definida para valores arbitrari-
amente grandes. Enta˜o
limx→∞f(x) = L
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbtrariamente pro´ximos de L tomando x suficientemente
grande. De maneira ana´loga define-se limx→−∞f(x) = L.
3
Exemplo 8. Consideremos a func¸a˜o f(x) = 2 + 1x . Estudemos o comportamento quando x → ∞ cresce indefinida-
mente. Para tanto, observemos a tabela a seguir:
x f(x)
100 2, 01
1000 2, 001
10000 2, 0001
100000 2, 00001
Com base na tabela podemos notar que f(x) se aproxima de 2 quando x→∞.
Geometricamente, temos
(4)
O teorema a seguir e´ bastante u´til para o ca´lculo de limites no infinito.
Teorema 9. Se k e´ um nu´mero racional qualquer e c um nu´mero real arbitra´rio, enta˜o
limx→∞
c
xk
= 0 e limx→−∞
c
xk
= 0.
Vejamos o ca´culo de alguns limites usando o Teorema 9.
Exemplo 10. Calcule os seguintes limites no infinito:
(i) limx→−∞ 2x
2−5
3x2+x+2 ;
(ii) limx→∞ 2x
2−5
3x4+2x+1 ;
(iii) limx→−∞ 2x
3+5x+2
x2+3x+10 ;
(iv) limx→∞
√
9x2+2
4x+3 ;
(v) limx→∞
3√27x6+2+√x2+1
x2+2 .
Soluc¸a˜o:
(i) A ide´ia e´ por, tanto no merador quanto no denominador o termo de maior grau em evideˆncia para que possa ser
cancelado. Vejamos:
limx→−∞
2x2 − 5
3x2 + x+ 2
= limx→−∞
x2(2− 5/x2)
x2(3 + 1/x+ 2/x2)
limx→−∞
2− 5/x2
3 + 1/x+ 2/x2
=
2− 0
3 + 0 + 0
=
2
3
.
(ii)
limx→∞
2x2 − 5
3x4 + 2x+ 1
= limx→∞
x2(2− 5/x2)
x4(3 + 2/x3 + 1/x4)
= limx→∞
2− 5/x2
3 + 2/x3 + 1/x4
limx→∞
2− 5/x2
x2(3 + 2/x3 + 1/x4)
= limx→∞
2
3x2
= ”
2
∞” = 0.
(iii)
limx→−∞
2x3 + 5x+ 2
x2 + 3x+ 10
= limx→−∞
2x3
x2
= limx→−∞3x = −∞.
4
(iv)
limx→∞
√
9x2 + 2
4x+ 3
= limx→∞
√
x2(9 + 2/x2)
x(4 + 3/x)
limx→∞
|x|√9 + 2/x2
x(4 + 3/x)
= limx→∞
|x|√9
4x
=
3
4
.
(v)
limx→∞
3
√
27x6 + 2 +
√
x2 + 1
x2 + 2
= limx→∞
3
√
x6(27 + 2/x6) +
√
x2(1 + 1/x2)
x2(1 + 2/x2)
limx→∞
x2 3
√
27 + 2/x6 + |x|√1 + 1/x2
x2(1 + 2/x2)
= limx→∞
x2 3
√
27 + |x|√1
x2
= limx→∞
3x2 + x
x2
limx→∞
x2(3 + 1/x)
x2
= limx→∞
3x2
x2
= 3.
Exerc´ıcio 2. Calcule os seguintes limites:
a) limx→∞ 3x
3+2x+3
4x3+1 b) limx→−∞
4x4+2x+1
x2+6x−3 c) limx→−∞
4x5+3
x2−4x−1 d) limx→∞
3x+5
7x3+2x−1
e) limx→∞
3√x3+x2−1−√12x6+4x
x+1 f) limx→∞
√
x2+ 4
√
x10+12x+1−√x2+2
x3+ 3
√
x10+x5+3x
Respostas: a) 34 , b) ∞, c) −∞, d) 0, e) −∞, f) 0
5