equacao schroedinger qq

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1
Equação de Schrödinger e 
Suas Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
André Luis Bonfim Bathista e Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituto de Física de São Carlos – Universidade de São Paulo 
São Carlos – 2003 
 
 
 
 2
 
1 Introdução 
 
Em 1926, o físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961) publicou quatro trabalhos 
nos Annales de Physique Leipzig (1) nos quais desenvolveu a sua famosa Mecânica Quântica 
Ondulatória, cujo resultado principal é a equação para as órbitas estacionárias dos elétrons 
atômicos, a igualmente famosa equação de Schrödinger: 
 
( ) ( )[ ] ( ) 02 ,,,,
2
,,
2 =Ψ−+Ψ∇ zyxzyxzyx VEm
h [1] 
 
Em relação ao trabalho de Bohr, o trabalho de Schrödinger foi bem mais completo. Uma 
vez que prevê também o seguinte: 
 
• As autofunções são correspondentes a cada autovalor. 
• Prevê o cálculo da probabilidade de um determinado estado. 
• Prevê o cálculo da probabilidade de transição de um estado para outro. 
• Calcula os momentos angulares orbitais. 
 
A equação de Schrödinger nada mais é que uma equação diferencial de segunda ordem,a 
qual podemos aplicar para um sistema como o átomo de 1H e calcularmos os seus níveis de 
energias correspondentes. Historicamente foi o primeiro sistema que Schrödinger tratou, onde os 
autovalores de energia são os mesmos que previstos por Bohr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
2 Construção da Equação de Schrödinger 
 
Primeiramente temos que resolver um problema de dois corpos. Neste caso, podemos 
reduzir o sistema de dois corpos a um sistema de um corpo (2), considerando a massa reduzida 
do sistema: 
21
21
mm
mm
+=µ [2] 
 
Este é o termo que é introduzido na equação Schrödinger e podemos adquiri-lo através do 
cálculo do centro de massa e para acharmos o centro de massa temos que fazer a seguinte 
igualdade m1r1=m2r2 e se variarmos r logo teremos o centro de massa. Considerando m2>>m1 
2211 rmrm = [3] 
21 rrr += [4] 
21 rrr −= ; 12 rrr −= [4.1] 
Substituindo [4.1] em [3] obtemos, 
 
r
mm
mr
12
2
1 += e rmm
mr
21
1
2 += [5] 
 
Como o próton e o elétron estão translacionando e girando com velocidades próprias. Podemos 
obter a expressão da energia cinética total do sistema e a velocidade angular. 
 
22
2
22
2
11 vmvmEK += [6] 
 
1
1
r
v=ω e 
2
2
r
v=ω 
 
( )2222221121 ωω rmrmEK += [7] 
 
( ) 222221121 ωrmrmEK += 
 4
 
sendo ( )22221121 rmrmI += [8] 
Substituindo [5] em [8] 
 
2
21
21
2
1 r
mm
mmI 



+= [9] 
 
21
21
mm
mm
+=µ [10] 
 
22
2
1 ωµrEK = [11] 
 
No átomo de 1H o núcleo é massivo e o elétron tem massa reduzida µ dada pela eq. [10] 
de tal maneira que gira em torno do núcleo estacionário. 
 
 
Figura 1: representação do átomo de hidrogênio 
 
O potencial de interação (coulombiano) do elétron-próton é dado pela relação 
 
( ) 2/1222
0
2
,, )(4
.
zyx
eZV zyx ++−= πε [12] 
 
Onde e- = carga do elétron, Z = carga do núcleo ( para o 1H, Z = 1) 
 
A eq. de Schroedinger dependente do tempo para este sistema é a seguinte relação, 
conforme mostrado abaixo: 
elétron
 5
 
t
iV
zyx
tzyx
tzyxzyxtzyx ∂
Ψ∂=Ψ+Ψ

 ∂+∂+∂− ),,,(),,,(),,(),,,(2
2
2
2
2
22
2
hhµ [13] 
 
ou numa notação mais compacta: onde se consideramos o operador laplaciano 
 
2
2
2
2
2
2
2
zyx
∂+∂+∂=∇ [14] 
 
Assim a eq. de Schroedinger pode ser reescrita assim: 
 
 
2
2
2
t
iV ∂
Ψ∂=Ψ+Ψ∇ hhµ [15] 
 
Cuja solução é dada: 
 
 e-iEt/z)y,(x,t)z,y,(x,
hϕ=Ψ [16] 
 
Onde ψ(x,y,z) é a função onda independente do tempo dada pela resolução da eq. de Schroedinger 
independente do tempo a seguir: 
 
),,(),,(),,(),,(
2
2
2 zyxzyxzyxzyx
EV Ψ=Ψ+Ψ∇− µ
h [17] 
ou 
 
Ψ=Ψ+Ψ

 ∂+∂+∂− EV
zyx zyxzyxzyx ),,,(),,(),,,(2
2
2
2
2
22
2µ
h
(x,y,z) [18] 
 
Para resolvermos a equação acima é melhor escreve-la em coordenadas esféricas e usar o 
método de separação de variáveis 
 
 6
elétron
φ
θ
Próton y
x
z
 
Figura 2: representação da interação coulômbiana entre o próton e o elétron, 
aplicando as notações de coordenadas esféricas para resolver a equação de 
Schrödinger. 
 
De acordo com a Figura 2, r é o raio vetor posição do elétron, 
 
222 zyxr ++= [19] 
 
θ é o angulo polar, o qual cresce a partir do eixo z para o plano xy 
 
222 yx 
arccos
z
z
++=
θ [20] 
 
e φ é o ângulo azimutal, o qual cresce de x para y. 
 
x
yarctg=ϕ [21] 
 
onde temos 



=
=
=
θ
φθ
φθ
rcosz
senrseny
cossenrx
 
 
E o laplaciano em coordenadas esféricas é dado assim: 
2
2
222
2
2
2
sen
1)(sen
sen
1)(1 ϕθθθθθ ∂
∂+∂
∂
∂
∂+∂
∂
∂
∂=∇
rrr
r
rr
 [22] 
 
A equação de Schroedinger em coordenadas esféricas fica assim após aplicarmos o operador 
laplaciano esférico: eq. [18] 
 7
 
),,(),,(),,(2
2
222
2
2
2
sen
1sen
sen
11
2 φθφθϕθϕθθθθθµ rrr EVrrrrrr Ψ=Ψ+


∂
Ψ∂+


∂
Ψ∂
∂
∂+


∂
Ψ∂
∂
∂− h [23
] 
 
Nota importante: Podemos escrever a função de onda ),,( φθrΨ Como um produto de três funções 
(3) tal que 
 
( ) )()()(,, θφθφ ΘΦ=Ψ rRr 
 
1. A primeira R(r) = dependência em r ( radial afastamento do elétron) 
2. A segunda Θ(θ) = dependência em θ (mostra a posição polar do elétron) 
3. A outra função Φ(ϕ) = mede a posição azimutal do elétron na sua trajetória 
 
Podemos realizar esta representação porque há um campo de força central na equação. 
Aplicando agora a separação de variáveis. A equação [23] pode ser reescrita (veja notação da 
derivada e o que deriva parte constante fica fora da derivada) 
 
ΘΦ=ΘΦ+

 ΦΘ+

 ΘΦ+

ΘΦ− ER 
sen
1sen
sen
11
2 ),,(2
2
222
2
2
2
RV
d
d
r
R
d
d
d
d
r
R
dr
dRr
dr
d
r r ϕθϕθθθθθµ
h 
 
ΘΦ=ΘΦ+

 ΦΘ+

 ΘΦ+

ΘΦ− ER )(
sen
1sen
sen
11
2 2
2
222
2
2
2
RrV
d
d
r
R
d
d
d
d
r
R
dr
dRr
dr
d
r ϕθθθθθµ
h
 [24] 
Substituindo o potencial V(r )=- ΘΦRpor divindo e 
4 0
2
r
e
πε a equação [23] fica: 
 
2
2
2
0
2
22
2
2
2
2
 
1
4
sen2sen
 
sensen m
d
d
r
eEr
d
d
d
d
dr
dRr
dr
d
R
−=ΦΦ−=


 ++

 

 Θ
Θ+


ϕπεθ
µ
θθθ
θθ
h
 [25] 
 
 )(constante 
 
1 2
2
2
m
d
d −=ΦΦ− ϕ 
 8
 
2
0
2
22
2
2
2
2
4
sen2sen
 
sensen m
r
eEr
d
d
d
d
dr
dRr
dr
d
R
−=


 ++

 

 Θ
Θ+


πεθ
µ
θθθ
θθ
h
 [26] 
 
Multiplicando por r2sen2 θ todos os membros fica 
 
 0
4
sen2
 
1sen
 
sen1sen
0
2
22
22
22
2
2
=


 ++

 Φ
Φ+

 Θ
Θ+


r
eEr
d
d
d
d
d
d
dr
dRr
dr
d
R πεθ
µ
ϕθθθ
θθ
h
 
 
Ou 
 
0
4
sen2
sen 
sensen
sen 
sen
 
sen
0
2
22
22
2
22
22
2
22
2
2
22
=


 ++

 Φ
Φ+

 Θ
Θ+


r
eEr
d
d
r
r
d
d
d
d
r
r
dr
dRr
dr
d
rR
r
πεθ
µ
ϕθ
θ
θθθθ
θθ
h
 
Isolando os termos em ϕ (passando ao segundo membro) 
 
Note : do lado direitoa equação depende só de ϕ e do lado esquerdo a dependência é em θ e r. 
Como temos uma igualdade a constante de separação (-m2) deve ser a mesma para ambas as 
equações. 
 
2
2
2
0
2
22
2
2
2
2
 
1
4
sen2sen
 
sensen m
d
d
r
eEr
d
d
d
d
dr
dRr
dr
d
R
−=ΦΦ−=


 ++

 

 Θ
Θ+


ϕπεθ
µ
θθθ
θθ
h
 
 
)(constante 
 
1 2
2
2
m
d
d −=ΦΦ− ϕ 
2
0
2
22
2
2
2
2
4
sen2sen
 
sensen m
r
eEr
d
d
d
d
dr
dRr
dr
d
R
−=


 ++

 

 Θ
Θ+


πεθ
µ
θθθ
θθ
h
[27] 
 
2
2
0
2
22
2
2
2
2
 
1
4
sen2sen
 
sen1sen
ϕπεθ
µ
θθθ
θθ
d
d
r
eEr
d
d
d
d
dr
dRr
dr
d
R
Φ
Φ−=


 ++

 

 Θ
Θ+


h
 9
imraizes cujas 0dou 1 2
2
2
2
2
2
±==+Φ−=ΦΦ λϕϕ mdmd
d 
 
logo a solução é 
 Ne)( imϕϕ ±=Φ [28] 
 
que é a solução particular, sendo m número quântico magnético. Φ(ϕ) é a função onda átomo de 
1H que contém toda a dependência em função do Potencial ϕ. Onde ϕ varia de 0 a 2π. 
Normalizando a função Φ(ϕ) 
 
1=ΦΦ 
∫ ==ΦΦ
π
ϕϕ ϕ
2
0
im- 1Ne * deN im 
∫ ==ΦΦ
π
ϕϕ ϕ
2
0
im-2 1e deN im [29] 
ou ππ 2
1N 1]2[2 =⇒=N 
logo a função vale 
ϕ
πϕ
ime
2
1)( =Φ [30] 
como única é )2()( ela⇒+Φ=Φ πϕϕ 
 
mimeeee imimimim ππππϕϕ 2sen2cos11 22 +=⇒=⇒= 
 
 magnético) quântico número ( inteirom 3...210 m se satisfaz =±±±=queveja escolhe a 
solução λ = im (movimento de giro elétron sentido horário). 
 
Assim temos até o momento 
 
)()(
2
1),,( ϕπϕθ
ϕ Φ=Ψ rRer im [31] 
 
 10
Tomando a equação [27] (5.15), 
 
2
0
2
22
2
2
2
2
4
sen2sen
 
sensen m
r
eEr
d
d
d
d
dr
dRr
dr
d
R
−=


 ++

 

 Θ
Θ+


πεθ
µ
θθθ
θθ
h
 
 
Dividindo por θ2sen fica 
 
 
sen4
2sen
 
11
2
2
0
2
2
2
2
θπε
µ
θθθ
m
r
eEr
d
d
d
d
dr
dRr
dr
d
R
−=


 ++

 

 Θ
Θ+


h
 [32] 
 
Separando os termos da R(r ) da função Θ(θ) fica 
 
 sen
 
1
sen4
21
2
2
0
2
2
2
2 

 Θ
Θ−−=


 ++


θθθθπε
µ
d
d
d
dm
r
eEr
dr
dRr
dr
d
R h
 [33] 
 
mesma a é separação de constante a igualdade a devido 
 
 )1(sen
 
1
sen4
21
2
2
0
2
2
2
2 +=

 Θ
Θ−−=


 ++

 ll
d
d
d
dm
r
eEr
dr
dRr
dr
d
R θθθθπε
µ
h
 [34] 
 
 )1(
4
21
0
2
2
2
2 +=


 ++

 ll
r
eEr
dr
dRr
dr
d
R πε
µ
h
 [35] 
 
Ou 
)1(sen
 
1
sen 2
2
+=

 Θ
Θ−− lld
d
d
dm
θθθθ [36] 
 
Divide a [35] (5.19) por r2 e arrumando fica 
 
 11
 0)1(
4
21
)1(
4
21
0
22
2
2
2
0
22
2
2
2
=



 ++


 ++


+=


 ++


Rll
r
eE
dr
dRr
dr
d
r
ou
RllR
r
eE
dr
dRr
dr
d
r
πε
µ
πε
µ
h
h
 [37] 
 
Esta é a equação Radial – cujas soluções são as funções de Laguerre. Apresentaremos a solução 
que é: Solução particular: 
 
 )(2)( 12 12
12/3 ξξξ ++−

−= lnln LenarR [38] 
Sendo [ ]∑−−
=
++
+ ++−−−
+−



+
−−=
1
0
2
1
2/1
3
12
!)!12()!1(
)!()1(. 
 ])![(2
!)1()(
ln
p
p
pl
ln pplpln
ln
lnn
lnL ξξ 
 
Com 
na
r2=ξ 
 n = 1,2,3..., l = 0,1,2,3..., m = l,-l+1,...l-1,l 
 
Se n=1, l=0, are
a
rR /
2/3
10 2
1)( −

= 
 
Veja que se n=2, l=1 temos dois l=o e l=1, Nota 
2
2
mq
a h= 
 
ar
l
ar e
a
r
a
rRee
a
r
a
rR 2/
2/3
2
2/
2/3
20 32
1)()2(
2
1)( −− 

=−

= 
A outra equação: 
( ) 0
sen
1sen
sen
1
2
2
=Θ

 −++

 Θ
θθθθθ
mell
d
d
d
d 
 
 12
As soluções desta equação são as funções associadas de Legendre. Os harmônicos esféricos – 
são soluções das equações diferenciais: )().( θϕ ΘΦ representadas por 
 
[ ]
θξ
ξ
ξξ
θ
ξθθ
θπϕθ
ϕ
cos 
)1(
!2
1)( 
)(cos
)(
sen)( 
)(
)!(4
)!(12
),(
2
2/1
=
−=
=




+
−+=
onde
d
d
l
P
d
Pd
Ponde
eP
ml
mll
Y
l
ll
ll
m
l
m
mm
l
imm
llm
 
 
A solução geral para o átomo de Hidrogênio é : ),()(),,( ϕθϕθ lmnnlm YrRr =Ψ e-(i/h)Et 
 
Que pode ser escrita assim: 
 
 
Com 
na
r2=ξ 
 n =1,2,3... número quântico principal 
 l =0,1,2,3... número quântico de momento angular 
 m = l,-l+1,...l-1,l número quântico magnético 
 
 
 
 
 
 
 
[ ] tnEi
lm
ln
p
p
pl
ln
l
nlm eYpplpln
ln
lnn
lnLe
na
r )/(
1
0
2
1
2/1
122
1
2/3 ),(.
!)!12()!1(
)!()1(. 
! ][2
!)1()()2(),,( h−
−−
=
++
+
− ∑ ++−−− +−



+
−−−=Ψ ϕθξξξϕθ ξ
 13
3 Números Quânticos 
 
 Cada conjunto de n, l, m define uma função de onda – que é um estado eletrônico do 
átomo. 
 
n = 1 camada k 
n = 2 camada l 
n = 3 camada m 
n = 4 camada n 
n = 5 camada o 
 
 As funções de onda de cada camada são chamadas de orbitais. 
 
a) para cada valor de n, há n-1 valor de l 
n = 1 l = 0 
n = 2 l = 1 
n = 3 l = 2 
 
n define o estado de energia 
 
b) para cada valor de l há (2l+1) valor de m. -l< m < l 
 
l = 0 m = 0 
 
l = 1 



=
=
−=
1
0
1
m
m
m
 
 
c) para cada valor de n há n2 autofunções. Exemplo, se n = 3, há 9 autofunções 
 
 14
l = 2 -l<m<l 







=
=
=
−=
−=
2
1
0
1
2
m
m
m
m
m
 
 
l = 1 -l<m<l 



=
=
−=
1
0
1
m
m
m
 
 
l = 0 m = 0 
 
 Concluindo, quando resolvemos a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio, 
obtemos as energias para os níveis energéticos (En) e os orbitais atômicos (Ψn,l,m). Temos então 
um diagrama de níveis energéticos no interior do átomo, i. e., dizemos que um átomo se constitui 
de um sistema energético quantizado. 
 
Foi no Annales 80, que Schrödinger estudou o efeito Stark através de sua Mecânica Quântica 
Ondulatória (1). 
 
 
 
 
 15
4 Função de Onda na Concepção de Max Born 
 
 Born (1928) deu um passo a esta dificuldade propondo uma interpretação estatística das 
funções de ondas do elétron, à qual, devido às inúmeras vantagens apresentadas, tem sido 
amplamente aceita. Born supôs que as ondas não têm existência real, e assim, as define como 
ondas de probabilidade. 
 O produto Ψ*Ψ ou 2Ψ em um ponto representa a densidade de probabilidade de 
encontrar o elétron, ou um outro corpúsculo qualquer, em um ponto x, y, z, num dado instante t e 
igualdade 
dvdxdydz 22 Ψ=Ψ 
 
Representando a densidade de probabilidade de encontrar o mesmo elétron em um 
elemento de volume dv, e também o número de elétrons dentro do mesmo volume. Esta 
interpretação teve um pleno acordo com as condições de Schrödinger (5). 
Em processos vibratórios o conhecimento da amplitude é importante como o 
conhecimento da freqüência própria; analogamente, é de se esperar que, em mecânica 
ondulatória, esteja ligado um importante significado físico à função de onda Ψ ou antes,ao 
quadrado do seu módulo, visto ser evidente que o valor instantâneo da própria função oscilatória 
não pode desempenhar qualquer papel em virtude da sua alta freqüência. O motivo por que se 
toma o quadrado do módulo é que a própria função de onda (devido ao coeficiente imaginário da 
derivada em ordem ao tempo da equação diferencial) é uma quantidade complexa, enquanto as 
grandezas suscetíveis de interpretação física devem evidentemente ser reais (6). 
 Suponhamos que no estado caracterizado pela função de onda Ψ1 se efetua uma medição 
que conduz com certeza a um determinado resultado, e que o mesmo fazendo o estado no estado 
Ψ2, conduz ao resultado 2. Admite-se então a combinação linear de Ψ1 e Ψ2, o que significa que 
toda função de forma CΨ1 + CΨ2 (C1 e C2 , constantes) representa um estado em que a mesma 
medição pode dar um resultado 1 ou o resultado 2. Podendo afirmar, que se conhecemos a 
dependência dos estados com respeito ao tempo, dependência a qual é dada pela função Ψ1 (x,t) 
e em outro, por Ψ2 (x,t), pode-se notar que qualquer combinação linear destas dá também a 
possível dependência de um estado do tempo. Estas afirmações constituem o conteúdo do 
princípio de superposição dos estados – um princípio positivo fundamental de mecânica quântica 
(7). 
 16
5 Valor Esperado da Função de Onda 
 
Consideramos uma partícula e onda associada, a função Ψ(r,t) e se essa função não se 
anula num intervalo entre r e r + dr, na medida de sua posição há uma probabilidade finita dessa 
partícula ser encontrada. Não podemos, atribuir a coordenada um valor bem definido, no entanto, 
é possível especificarmos uma posição média da partícula. 
Imaginemos a medida da posição da partícula no instante t, a probabilidade de encontrá-
la entre r e r + dr é dada pela equação. 
 
),(),(),( trtrtrP ψψ ∗= (16) 
 
onde P(r,t) é a probabilidade de encontramos a partícula. Repetindo essa experiência a uma certa 
freqüência no mesmo instante e registrando os valores de P(r,t), podemos usar a média dos valores 
observados para caracterizar a posição da partícula no instante t. 
Este valor é representado por <r>, valor esperado da coordenada r. Veja abaixo como 
podemos demonstrar matematicamente este cálculo. 
 
∫
+∞
∞−
>=< drrPr tr ),( (17) 
como: ),(),(),( trtrtrP ψψ ∗= , 
substituímos (16) em (17) temos que: ∫
+∞
∞−
∗>=< drrr trtr ),(),( ψψ (18) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17
6 Aplicação da Equação de Schrödinger 
 
Tabela 1: Exemplos do operador Hamiltoniano para o movimento de uma partícula de massa m em 
diferentes campos de força definidos pela função (operador) potencial V. 
 Operador 
(a) Partícula livre V=0
x
 
2
22
2
ˆ
dx
d
m
H h−= 
(b) barreira de 
potencial 
V=V0
x0 a
 
2
22
2
ˆ
dx
d
m
H h−= (x<0; x>0) 
02
22
2
ˆ V
dx
d
m
H +−= h (0<x<a) 
(c) Oscilador 
harmônico 
V=(1/2)Kx2
x
K
 
2
2
22
2
1
2
ˆ Kx
dx
d
m
H +−= h 
 
Tabela 3: Exemplos do operador para átomos e moléculas.[4.A] 
 Operador H 
(a) Átomos de 
um elétron r
Ze
m
H
2
2
2
2
ˆ −∇−= h 
(b) Átomos de 
muitos elétrons 
∑∑∑∑
>==
+−∇−=
i ij ij
n
j j
n
i r
e
r
Ze
m
H
2
1
2
1
2
2
2
ˆ h 
(c) moléculas ∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑
> >==
++−∇−∇−=
i ij ij
n
i i i
i
n
i r
eZZ
r
e
r
eZ
mm
H
α αβ αβ
αα
β α
αα
α
22
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
ˆ hh 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18
6.1 Poço de Potencial não relativístico 
 
Considerando um potencial degrau unidimensional definido por 
 
( ) 0,0 <= xxV 
( ) 0,0 >= xVxV 
 
ΨΙ ΨΙΙV0
x (0)= 0 x 
 
 
Supor que uma energia incidente da esquerda para a direita tem energia E = 4V0. Neste exemplo 
podemos calcular a probabilidade de que a onda será refletida (coeficiente de reflexão). 
Analisando o contorno do problema, para 0)( =xV quando x<0, o potencial na região I é nulo e 
consideramos a partícula livre. A equação de Schrödinger se reduz à. 
 
I
I E
xm
Ψ=∂
Ψ∂− 2
22
2
h 
I
I Em
x
Ψ=∂
Ψ∂− 22
2 2
h
 
02
22
2
=Ψ+∂
Ψ∂
I
I Em
x h
 
sendo 
2
2
1
2
h
mEk = 
 
0212
2
=Ψ+∂
Ψ∂
I
I Ek
x
 
 
As raízes da equação: 
 19
021
2 =+ kλ , 212 k−=λ , 1ik±=λ 
xikxik
I BeAe 11
−+=Ψ 
 
sendo 



→
→
− refletidaondaBe
incidenteondaAe
xik
xik
1
1
 
 
Solução geral 
 
h/iEt
II e
−Ψ=Ψ 
( ) h/11 iEtIxikxikI eBeAe −− Ψ+=Ψ 
( ) ( )hh /1/1 EtxkiiEtxki
I BeAe
+−− +=Ψ 
 
Na região II há um potencial )(xV , sendo assim a partícula sofre uma ação do potencial. 
 
IIIIII EVm
Ψ=Ψ+Ψ∇− 02
2
2
h 
[ ] IIII VEm Ψ−=Ψ∇− 02
2
2
h 
[ ] 02 022 =Ψ−+Ψ∇ IIII VEmh 
Considerando [ ]022 2 VEmk II −= h 
022 =Ψ+Ψ∇ IIIIII k 
 
Achando as raízes da equação 
 
022
2 =+ kλ , 222 k−=λ , 2ik±=λ 
 
( )xikxikII DeCe 22 −+=Ψ 
A solução aceitável é 
xik
II Ce 2=Ψ 
 20
 
Solução geral 
 
h/iEt
IIII eΨ=Ψ 
h/2 iEtxik
II eCe=Ψ 
( )h/2 Etxki
II Ce
−=Ψ 
 
logo temos as duas funções para as duas regiões I e II 
 
xikxik
I BeAe 11
−+=Ψ para 0≤x 
xik
II Ce 2=Ψ para 0≥x 
 
Analisando as condições de contorno 
 
a) 00 || == Ψ=Ψ xIIxI xikxikxik CeBeAe 211 =+ − 
A+B=C deve ser contínua no ponto x=0 
 
b) A sua derivada também 
 
00 || == ∂
Ψ∂=∂
Ψ∂
x
II
x
I
xx
 xikxikxik CeikBeikAeik 221111 =− − 
( ) CikBAik 21 =− 
( ) C
k
k
BA
1
2=− 
 
 
 
 
Montando o sistema 
 
 
 
 21
 Achando B Achando C 



=−
=+
+
C
k
k
BA
CBA
1
2 
CC
k
k
A +=
1
22 



 +=
1
21
2 k
kCA 



−⋅=−
=+
+
)1(
1
2 C
k
k
BA
CBA
 



 −=
1
212
k
k
CB 



 −=
1
21
2 k
kkCB 
CB
k
kkC =+


 +
1
21
2
 
0
2
1
1
21 =


 ++
k
kk
C
B 



 +−=
1
212
k
kk
BC 
 
Substituindo os valores de A, B e C em IΨ e IIΨ 
 
( ) ( )hh /1
1
21/1
1
21
22
EtxkiEtxki
I ek
kkCe
k
kkC −−− 


 −+


 +=Ψ x<0 
( ) ( )







 −+


 +=Ψ −−− hh /1
1
21/1
1
21
2
EtxkiEtxki
I ek
kke
k
kkC x<0 
 
( )h/2
1
212 EtxkiII ek
kkB −


 −−=Ψ 
 
Obedecendo ao princípio da complementaridade temos a combinação linear do dois estados da 
função de onda 
 
IIITotal Ψ+Ψ=Ψ 
 
( ) ( ) ( )hhh /2
1
21/1
1
21/1
1
21 2
2
EtxkiEtxkiEtxki
Total ek
kkBe
k
kke
k
kkC −−−− 


 −−





 −+


 +=Ψ 
 
 
 
 
 
 
 22
BIBLIOGRAFIA: 
 
(1) Bassalo, J. M. F. Nascimentos da Física (1901-1950), Belém: EDUFPA, 2000. 503 p 
(2) Peixoto, E.M.A. Química Nova, (1978) 
(3) Eisberg, R. Resnick, R. Física Quântica, Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979. 15ª Edição. 
(4) Bathista, A.L.B.S., Nogueira, J. S. Uma Breve Discussão da Mecânica Quântica IX Encontro 
de Iniciação Científica, Cuiabá, UFMT. 2001. 
(5) Rey, A.B. Mecânica Quântica e Ondulatória, In: Fisica/Química Modernas. V. 3, SP, Ed. 
Fortaleza, 1970. 
(6) Born, M., Física Atômica, 1962, 4ª Edição. Ed: Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa. 
(7) Landau, L. Lifshitz, E. Mecânica Quântica, Teoria não relativista, 1985. Mir, Moscou. Vol.1.