calculo dominio

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Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 5a Aula Derivadas de funções
Prof. Amintas Paiva Afonso Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral I
Cálculo 1
8ª Lista de Exercícios – Revisão de Conteúdos
NÚMEROS, VARIÁVEIS E FUNÇÕES
Números reais: O conjunto de números reais é normalmente associado a uma reta. Esse conjunto infinito é representado pelo símbolo 
, eles podem ser racionais ou irracionais.
Números racionais: São números que podem ser positivos, negativos, inteiros ou fracionários e podem ser expressos na forma 
, onde 
 e 
 são inteiros positivos ou negativos.
Exemplos: 
, etc. 
Números irracionais: São números que não exatos e portanto podem ser postos na forma anterior 
.
Exemplos: 
 , etc.
Variável real: Denomina-se variável real a um símbolo capaz de representar qualquer número de um conjunto de números reais e representado por símbolos genéricos como 
, etc.
Variável independente é uma variável que não depende de outra variável e pode assumir qualquer valor real. 
Exemplo: 
Variável dependente é uma variável que depende de outra variável, e portanto obedece a alguma lei de formação.
Exemplo: 
Constante: Denomina-se a um símbolo que represente sempre um mesmo número e representado por símbolos genéricos como 
, etc., enquanto os específicos são sempre os mesmos, tais como 
, etc.
Exemplos: 
 ou 
Intervalo: Denomina-se a um conjunto de valores que uma variável pode assumir, eles podem ser abertos, fechados, ou abertos de um lado e fechados do outro, e são representados como a segue:
O intervalo aberto de 
 até 
, representado por 
, é o conjunto de todos os números reais 
, tais que 
, onde os pontos extremos não pertencem ao intervalo.
Exemplos: 
 significa que 
 ou 
 significa que 
.
Intervalo fechado de 
 até 
, representado por 
 é o conjunto de números reais 
, tais que 
. Onde os extremos 
 e 
 pertencem ao intervalo.
Exemplo: 
 significa que 
.
Intervalo aberto à direita ou fechado à esquerda de 
 até 
, representado por 
 é o conjunto de números reais 
, tal que 
, onde o extremo 
 pertence ao intervalo, mas o extremo 
 não pertence.
Exemplos: 
 significa que 
 ou 
 significa que 
.
Intervalo aberto à esquerda ou fechado à direita de 
 até 
, representado por
 é o conjunto de números reais 
, tal que 
, onde o extremo 
 não pertence ao intervalo, mas o extremo 
 pertence.
Exemplos: 
 significa que 
 ou 
 significa que 
.
Definição: Função 
 é uma lei, formada por variáveis independentes e parâmetros que fornecem uma variável dependente.
Definição: Domínio de uma função (ou campo de existência de uma função) 
 é o conjunto de valores da variável independente 
 para os quais a função é definida ou existe, isto é, possui valor finito e real, ou o conjunto de todas as abcissas, no gráfico,
para os quais a função é definida.
Definição: Imagem de uma função 
 é o conjunto de valores que a variável dependente 
 pode assumir, ou o conjunto de todas as ordenadas da função no gráfico.
Definição: Gráfico de uma função de uma função 
 é o conjunto de todos os pontos do conjunto
 no plano 
, onde 
 pertence ao domínio de 
 e 
 é a imagem de 
.
Exemplo:	Analisar a função 
Dada a função 
 (Condição de existência 
) já que 
é definido somente para 
, então o domínio de 
 é 
 e a sua imagem é 
.
LISTA DE EXERÍCIOS:
1o Exercício: Estudar a função abaixo 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
2o Exercício: Estudar a função abaixo 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
3o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
4o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico). 
5o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
6o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
7o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
8o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
9o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico). 
10o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
11o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico). 
12o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
13o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
14o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
15o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
16o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
17o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
18o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
19o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
20o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
21o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
22o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
23o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
24o Exercício: Estudar a função 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
LIMITES DE FUNÇÕES
	Seja 
 uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número 
, exceto possivelmente no próprio
. Então, diz-se que o limite de 
 quando 
 tende a 
 
 é 
, e representa-se por 
. 
Exemplo: Obter o limite da função 
 quando 
 tende a 
, isto é, 
	
 	a substituição direta anula o denominador
	
 
					
		 		 
				 
		 
								
								
					
Propriedades dos Limites
Indeterminações de limites: 
Limites determinados: 
 
 
 e 
.
	
 e 
 é uma constante
LISTA DE EXERÍCIOS:
25o Exercício: Resolver o limite 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
26o Exercício: Resolver o limite 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
27o Exercício: Resolver o limite 
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
28o Exercício: Resolver o limite 
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
29o Exercício: Resolver o limite 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
30o Exercício: Resolver o limite 
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico).
Limite do seno 
Exemplo: 
 
 
Limite que define o número “e ”
Exemplo:
 põe-se 
 para 
Limites infinitos de funções racionais
	Se a função for do tipo 
, isto é, 
,
.
Assim, se 
, se 
 e se 
.
Exemplo:
1)	
, o resultado daria 
 (indeterminação)
	
	
 
LISTA DE EXERÍCIOS:
31o Exercício: Resolver o limite 
32o Exercício: Resolver o limite 
33o Exercício: Resolver o limite 
34o Exercício: Resolver o limite 
35o Exercício: Resolver o limite 
36o Exercício: Resolver o limite 
DERIVADAS
A derivada, por definição é: 
.
Primeira fórmula de derivação
Para 
 função de 
 e 
 constante
Para 
 funções de 
 e 
 e 
 constantes
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERÍCIOS:
37o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
38o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
39o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
40o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
41o Exercício: Calcular a derivada da função.
42o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
43o Exercício: Calcular a derivada da função 
 
44o Exercício: Calcular a derivada da função 
45o Exercício: Calcular a derivada da função 
46o Exercício: Calcular a derivada da função 
47o Exercício: Calcular a derivada da função 
48o Exercício: Calcular a derivada da função 
49o Exercício: Calcular a derivada da função 
 
50o Exercício: Calcular a derivada da função 
51o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
52o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
53o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
54o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
55o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
56o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
57o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
58o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
59o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
60o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
61o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
62o Exercício: Calcular a derivada da função 
.
RESPOSTAS DOS EXERÍCIOS
1o Exercício: 
; 
2o Exercício: 
; 
3o Exercício: 
; 
4o Exercício: 
; 
5o Exercício: 
; 
6o Exercício: 
; 
7o Exercício: 
; 
8o Exercício: 
; 
9o Exercício: 
; 
10o Exercício: 
�� EMBED Equation.3 
11o Exercício: 
; 
12o Exercício: 
; 
13o Exercício: 
; 
14o Exercício: 
; 
15o Exercício: 
; 
16o Exercício: 
; 
17o Exercício: 
; 
18o Exercício: 
; 
19o Exercício: 
; 
20o Exercício: 
; 
21o Exercício: 
; 
22o Exercício: 
; 
23o Exercício: 
; 
24o Exercício: 
; 
�
25o Exercício: 8
26o Exercício: 3
27o Exercício: 3
28o Exercício: -5
29o Exercício: 6
30o Exercício: 
31o Exercício: 3
32o Exercício: 
33o Exercício: 0
34o Exercício: 
35o Exercício: 0
36o Exercício: 
37o Exercício: 
38o Exercício: 
39o Exercício: 
40o Exercício: 
41o Exercício: 
42o Exercício: 
43o Exercício: 
 
44o Exercício: 
 
45o Exercício: 
46o Exercício: 
47o Exercício: 
48o Exercício: 
49o Exercício: 
50o Exercício: 
51o Exercício: 
52o Exercício: 
53o Exercício: 
54o Exercício: 
55o Exercício: 
56o Exercício: 
57o Exercício: 
58o Exercício:
 
59o Exercício: 
60o Exercício: 
61o Exercício: 
62o Exercício:
 
�
� EMBED Equation.3 ���
2
O
4 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x�
y�
�
4�
0�
�
8�
2�
�
13�
3�
�
20�
4�
�
29�
� EMBED Equation.2 ��� = 1,73 �
�
� EMBED Equation.3 ���, o ponto
� EMBED Equation.3 ���deve ser excluído do gráfico, pois � EMBED Equation.3 ��� Porque o domínio de � EMBED Equation.3 ���é: � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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