Primeira Prova com Gabarito

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Correção da Prova 
1- Construir a tabela verdade da fórmula ((𝑝 ∧ ¬𝑞) ∨ 𝑟) → ((𝑟 ∧ ¬𝑞) → ¬𝑝) e diga se 
ocorre tautologia, contingência ou contradição. 
p q r ¬q 𝒑 ∧ ¬𝒒 (𝒑 ∧ ¬𝒒) ∨ 𝒓 (𝒓 ∧ ¬𝒒) ¬𝒑 
 
(𝒓 ∧ ¬𝒒) → ¬𝒑 
 
 ((𝒑 ∧ ¬𝒒) ∨ 𝒓) → ((𝒓 ∧ ¬𝒒) → ¬𝒑) 
V V V F F V F F V V 
V V F F F F F F V V 
V F V V V V V F F F 
V F F V V V F F V V 
F V V F F V F V V V 
F V F F F F F V V V 
F F V V F V V V V V 
F F F V F F F V V V 
Resposta: Ocorre contingência 
2- Sejam Γ e Δ conjuntos finitos de fórmulas da lógica proposicional e X uma fórmula 
qualquer da lógica proposicional. Se Γ ⊨ 𝑋 e Δ ⊆ Γ então Δ ⊨ 𝑋 ? 
 
Resposta: Não 
 
Seja { 𝑝 → 𝑞, 𝑝} ⊨ 𝑞. Neste caso, Γ = { 𝑝 → 𝑞, 𝑝} e X = q. Segue-se que para toda 
valoração proposicional 𝑣, 𝑠𝑒 𝑣(𝐴) = 𝑉 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐴 𝜖 Γ 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑣(𝑋) = 𝑉. 
Seja ∆⊆ Γ , ∆= {p} 𝑒 𝑋 = 𝑞. Neste caso não se tem que Δ ⊨ 𝑋 . a tabela abaixo 
mostra que, na segunda lina, ocorre de se ter que o valor verdade de p é V e o valor 
verdade de q é F. 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
𝑣(𝑝) = 𝑉 𝑒 𝑣(𝑞) = 𝐹 ⟹ p ⊭ 𝑞 
3- Demonstre os seguintes sequentes no cálculo proposicional: 
a) 𝑃 → (𝑄 ∧ 𝑅) ⊢ (𝑃 → 𝑄) ∧ (𝑃 → 𝑅) 
 
1 (1) 𝑃 → (𝑄 ∧ 𝑅) 𝐻 
2 (2)𝑃 𝐻 
1,2 (3)𝑄 ∧ 𝑅 𝑀𝑃 1,2 
1,2 (4) 𝑄 𝑆3 
1 (5) 𝑃 → 𝑄 𝐶𝑃 2,4 
1,2 (6)𝑅 𝑆3 
1 (7) 𝑃 → 𝑅 𝐶𝑃 2,6 
1 (8) (𝑃 → 𝑄) ∧ (𝑃 → 𝑅) 𝐴 3,7 
 
 
b) (𝑃 → 𝑄) ⊣⊢ ¬(𝑃 ∧ ¬𝑄) 
 
 (𝑃 → 𝑄) ⊢ ¬(𝑃 ∧ ¬𝑄) 
 
1 (1) 𝑃 → 𝑄 𝐻 
2 (2) 𝑃 ∧ ¬𝑄 𝐻 
2 (3) 𝑃 𝑆2 
1,2 (4) 𝑄 𝑀𝑃 1,3 
2 (5) ¬𝑄 𝑆2 
1,2 (6) 𝑄 ∧ ¬𝑄 𝐴 4,5 
1 (7) ¬(𝑃 ∧ ¬𝑄) 𝑅𝐴𝐴 2,6 
 
 ¬(𝑃 ∧ ¬𝑄) ⊢ 𝑃 → 𝑄 
1 (1) ¬(𝑃 ∧ ¬𝑄) 𝐻 
2 (2) 𝑃 𝐻 
3 (3) ¬𝑄 𝐻 
2,3 (4) 𝑃 ∧ ¬𝑄 𝐴 2,3 
1,2,3 (5) (𝑃 ∧ ¬𝑄) ∧ ¬(𝑃 ∧ ¬𝑄) 𝐴 1,4 
1,2 (6) ¬¬𝑄 𝑅𝐴𝐴 3,5 
1,2 (7) 𝑄 𝐷𝑁6 
1 (8) 𝑃 → 𝑄 𝐶𝑃 2,7 
4- Sejam (∀𝑥)(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) → ((∀𝑥)𝑃(𝑥) ∧ (∀𝑥)𝑄(𝑥)) uma fórmula do cálculo de 
quantificadores. Verifique se é uma fórmula válida. Elabore uma interpretação ¹ 
(modelo) para justificar a resposta. 
 
 Modelo: 
𝑃(𝑥): “x é um número par” 
𝑄(𝑥): “x é um número ímpar” 
 Dominio: ℕ 
x é um número natural 
a0=0 
a1=1 
a2=3 
... 
(∀𝑥)(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) Cada número natural é par ou ímpar 
(∀𝑥)𝑃(𝑥): Cada número natural é par 
(∀𝑥)𝑄(𝑥): cada número natural é ímpar 
(∀𝑥)𝑃(𝑥) ∧ (∀𝑥) 𝑄(𝑥): Cada número natural é par e ímpar 
 
(∀𝑥)(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) → [(∀𝑥)𝑃(𝑥) ∧ (∀𝑥)𝑄(𝑥)] 
V F 
 F 
5- Transforme a fórmula ((𝑝 → 𝑞) → 𝑝) → 𝑝 em uma fórmula na Forma Natural 
Conjuntiva (FNC). 
 
((𝑝 → 𝑞) → 𝑝) → 𝑝 
¬(¬(¬𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑝) ∨ 𝑝 
((¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬𝑝) ∨ 𝑝 
((¬𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑝) ∧ (¬𝑝 ∨ 𝑝) 
(¬𝒑 ∨ 𝒒 ∨ 𝒑) ∧ (¬𝒑 ∨ 𝒑) 𝑭𝑵𝑪