Eletrônica digital unidade 3

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E 
TECNOLOGIA DO PARÁ
CAMPUS BELÉM
COORDENAÇÃO DE ELETRÔNICA
ALGEBRA BOOLEANA E MAPA DE 
KARNAUGH 
Eletrônica Digital
Profs. Raimundo Nonato M. Machado
e Selma Cristina de F. Freire
ÁLGEBRA BOOLEANA E MAPA DE 
KARNAUGH 
Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas de uma variável.
- Os teoremas da álgebra Booleana são usados para simplificar 
expressões e circuitos lógicos.
IFPA - Profs. Raimundo Nonato Machado
e Selma Cristina F. Freire
Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas de uma variável.
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e Selma Cristina F. Freire
Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas de uma variável.
- A variável x pode, na verdade, representar uma expressão que 
contenha mais de uma a variável.
- Exemplo:
)( BABA BAx  0)( BABA
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas com mais de uma variável.
- Os teoremas (9) e (10) são conhecidos como leis da 
comutatividade. Estas leis determinam que a ordem na qual 
realizamos as operações AND e OR não é importante. O 
resultado é o mesmo.
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e Selma Cristina F. Freire
Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas com mais de uma variável.
- Os teoremas (11) e (12) são conhecidos como leis da 
associatividade elas afirmam que podemos agrupar as variáveis 
de expressões do tipo AND ou OR do modo que desejarmos.
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e Selma Cristina F. Freire
Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas com mais de uma variável.
- O teorema (13) é a lei da distributividade, que afirma que uma 
expressão pode ser expandida multiplicando-se termo a termo, do 
mesmo modo que é feito na álgebra comum.
- Este teorema também afirma que podemos fatorar uma expressão. 
Caso tenhamos a soma de dois (ou mais) termos, cada um 
contendo uma variável comum, podemos fatorar essa variável 
como fazemos na álgebra comum.
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas com mais de uma variável.
- Exemplo: 
- Podemos fatorar B
- Na expressão CBACBA 
)( CAACBCBACBA 
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas com mais de uma variável.
- Exemplo: 
- Na expressão ABDABC 
- Podemos fatorar AB
)( DCABABDABC 
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas com mais de uma variável.
- Demonstração para o teorema (14).
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas com mais de uma variável.
- Demonstração para o teorema (14).
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas com mais de uma variável.
- Demonstração para o teorema (14).
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas com mais de uma variável.
- Demonstração para o teorema (14).
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas com mais de uma variável.
- Demonstração para o teorema (14) usando fatoração.
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Exemplo
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Exemplo
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Exemplo
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Exercício
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas de DeMorgan
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas de DeMorgan
• Exemplo
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas de DeMorgan
• Exemplo
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas de DeMorgan
• Exemplo
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Teoremas de DeMorgan
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Implicações dos Teoremas de DeMorgan
• Teorema 16
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Implicações dos Teoremas de DeMorgan
• Teorema 17
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Implicações dos Teoremas de DeMorgan
• Exemplo
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Implicações dos Teoremas de DeMorgan
• Exercícios
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Universalidade das portas NAND e NOR
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Universalidade das portas NAND e NOR
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Universalidade das portas NAND e NOR
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Teoremas da Álgebra Booleana
• Exercício 
Implemente a expressão x=(A+B)(C+D) usando portas AND e OR. 
Em seguida implemente esta expressão utilizando apenas portas 
NOR. 
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Circuitos Lógicos Combinacionais
Circuitos lógicos combinacionais são aqueles em que qualquer 
instante de tempo, o nível lógico na saída do circuito depende da 
combinação dos níveis lógicos presentes na entrada.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Forma de soma de produtos
- Exemplo
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Forma de soma de produtos
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Simplificação algébrica.
- Usa os teoremas da álgebra Booleana, e consiste de dois 
passos essenciais.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Simplificação algébrica.
-Exemplo
-Simplifique o circuito
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Simplificação algébrica.
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Circuitos Lógicos Combinacionais• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Simplificação algébrica.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Simplificação algébrica.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Simplificação algébrica.
-Exemplo
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Simplificação algébrica.
-Exemplo
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Projeto de Circuitos lógicos combinacionais
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Projeto de Circuitos lógicos combinacionais
Considere a tabela-verdade
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Projeto de Circuitos lógicos combinacionais
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Projeto de Circuitos lógicos combinacionais
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Projeto de Circuitos lógicos combinacionais
Considere a tabela-verdade
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Procedimento de projeto
• Passos do projeto
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Procedimento de projeto
• Passos do projeto
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Procedimento de projeto
-Exemplo:
-Projete um circuito lógico que tem três entradas, A, B e C, e cuja
saída vai para ALTO somente quando a maioria das entradas está
emALTO.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Procedimento de projeto
- Passo 1 (Tabela-verdade) - Passo 2 (Obter os termos AND
para cada caso onde a saída é 1)
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Procedimento de projeto
- Passo 3 (Expressão da soma-de-produtos para a saída)
- Passo 4 (Simplificar a expressão de saída).
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
• Procedimento de projeto
- Passo 6 (Implementar o circuito para a expressão simplificada)
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Circuitos Lógicos Combinacionais
- Exercício
- Na figura um conversor analógico-digital está monitorando a tensão
de uma bateria de 12 V. A saída do conversor é um número binário de
quatro bits, ABCD, que corresponde à tensão da bateria em degraus
de 1 V, sendo A o MSB. As saídas binárias do conversor são ligadas
em um circuito digital que deve produzir uma saída em ALTO
sempre que o valor binário for maior do que 01102 = 610, ou seja,
quando a tensão da bateria for maior do que 6 V. Projete este circuito
lógico.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
- Tabela-verdade
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
- Expressão
- Simplificação
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
- Simplificação
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Simplificação de circuitos lógicos combinacionais
- Circuito
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Circuitos Lógicos Combinacionais
- Numa máquina copiadora, um sinal de parada, S, deve ser gerado
para interromper a operação da máquina e energizar uma luz
indicadora, sempre que uma das seguintes condições existir: (1) a
bandeja de alimentação de papel estiver vazia; ou (2) as duas chaves
na trajetória do papel estiverem ativadas, indicando um
congestionamento no caminho do papel. A presença de papel na
bandeja de alimentação é indicada por um sinal lógico P em ALTO.
Cada chave produz um sinal lógico (Q e R) que vai para ALTO
sempre que o papel passa sobre a chave para ativá-la. Projete o
circuito lógico para produzir um nível ALTO no sinal de saída S para
as condições estabelecidas, e implemente-o usando o chip 7400.
• Exercício
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Exercício
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Mapa de Karnaugh (mapa K)
- O mapa de Karnaugh é um método gráfico usado para simplificar
uma expressão ou para converter uma tabela-verdade no seu
circuito lógico correspondente, de um modo simples e ordenado.
• Formato do mapa de Karnaugh 
- O mapa K, como uma tabela-verdade, é um meio de mostrar a
relação entre as entradas lógicas e a saída desejada.
- A tabela-verdade fornece o valor da saída X para cada combinação
de valores da entrada. O mapa K fornece a mesma informação
num formato diferente
- Cada linha na tabela-verdade corresponde a um quadrado no mapa
K.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Formato do mapa de Karnaugh 
- Duas variáveis
- Três variáveis
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Formato do mapa de Karnaugh 
- Quatro 
variáveis
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Formato do mapa de Karnaugh 
- Os quadrados do mapa K são identificados de modo que
quadrados adjacentes, horizontalmente e verticalmente diferem
apenas em uma variável.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Formato do mapa de Karnaugh 
- Cada quadrado na linha superior é considerado adjacente ao
quadrado correspondente na linha inferior, e os quadrados da
coluna mais à esquerda são adjacentes aos quadrados
correspondentes da coluna mais à direita.
DCBA DBCA
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Formato do mapa de Karnaugh 
- Paraque os quadrados adjacentes, tanto na horizontal quanto na
vertical, difiram em apenas uma variável, a identificação de cima
para baixo e da esquerda para a direita deve ser feita na seguinte
ordem.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Formato do mapa de Karnaugh 
- Uma vez que um mapa K foi preenchido com 0’s e 1’s, a
expressão da soma-de-produtos para a saída X pode ser obtida
juntando- se com OR os quadrados que contêm 1.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Agrupamento de termos no mapa K
- A expressão para a saída X pode ser simplificada combinando-se
adequadamente os quadrados adjacentes no mapa K que contêm
1. O processo de combinar estes 1s é chamado de agrupamento.
• Agrupando dois termos
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Agrupamento de termos no mapa K
• Agrupando dois termos
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Agrupando dois termos
• Agrupamento de termos no mapa K
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Agrupando quatro termos
• Agrupamento de termos no mapa K
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Agrupando quatro termos
• Agrupamento de termos no mapa K
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Agrupando quatro termos
• Agrupamento de termos no mapa K
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Agrupando oito termos
• Agrupamento de termos no mapa K
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Agrupando oito termos
• Agrupamento de termos no mapa K
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Agrupando oito termos
• Agrupamento de termos no mapa K
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Processo completo de simplificação
1-Construa o mapa K e coloque 1’s nos quadrados que
correspondem aos 1s na tabela-verdade. Coloque 0’s nos outros
quadrados.
2-Examine o mapa para detectar 1’s adjacentes e agrupe aqueles 1’s
que não são adjacentes a quaisquer outros 1s. Estes são
denominados 1s isolados.
3-Em seguida, procure por aqueles 1’s que são adjacentes a
somente um outro 1. Agrupe todo par que contém tal 1.
4-Agrupe qualquer octeto, mesmo que ele contenha alguns 1s que
já tenham sido combinados.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Processo completo de simplificação
5-Agrupe qualquer quarteto que contém um ou mais 1’s que ainda
não tenham sido combinados, certificando-se de usar o número
mínimo de agrupamentos.
6-Agrupe quaisquer pares necessários para incluir quaisquer 1’s
que ainda não tenham sido combinados, certificando-se de usar
o número mínimo de agrupamentos.
7-Forme a soma OR de todos os termos gerados por cada
agrupamento.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Processo completo de simplificação
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Processo completo de simplificação
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Processo completo de simplificação
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Processo completo de simplificação
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Processo completo de simplificação
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Exercício
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Exercício
- Use o mapa K para simplificar a expressão.
- Use o mapa K para simplificar a expressão.
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Condições don’t care
- Em alguns circuitos lógicos existem certas condições de entrada
para as quais não existem níveis de saída especificados,
usualmente porque estas condições de entrada nunca ocorrerão.
Em outras palavras, existem certas combinações de níveis de
entrada em que "não importa" ("don't care” ) se a saída está em
ALTO ou BAIXO.
- Uma condição don' t care pode surgir por várias razões; a mais
comum é a existência de algumas situações nas quais certas
combinações de entrada não podem nunca ocorrer, e portanto
não existe saída especificada para estas condições.
- Toda vez que condições don’t care ocorrem, devemos decidir
qual valor a saída deve assumir 0 ou 1 para produzir o melhor
grupo no mapa K (isto é, a expressão mais simples).
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Condições don’t care
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Circuitos OR-Exclusivo (Ex-OR) e NOR-Exclusivo (Ex-NOR)
• OR-Exclusivo
- Um circuito EX-OR tem saída ALTA apenas quando as entradas A
e B estiverem em níveis lógicos opostos.
- Tabela-Verdade - Circuito
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Circuitos OR-Exclusivo (Ex-OR) e NOR-Exclusivo (Ex-NOR)
• OR-Exclusivo
- Símbolo
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Circuitos OR-Exclusivo (Ex-OR) e NOR-Exclusivo (Ex-NOR)
• OR-Exclusivo
- Circuito Integrado
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Circuitos OR-Exclusivo (Ex-OR) e NOR-Exclusivo (Ex-NOR)
• NOR-Exclusivo
- Um circuito EX-NOR tem saída ALTA apenas quando as entradas
A e B estiverem em um mesmo nível lógico.
- Tabela-Verdade - Circuito
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Circuitos OR-Exclusivo (Ex-OR) e NOR-Exclusivo (Ex-NOR)
• NOR-Exclusivo
- Símbolo
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Circuitos OR-Exclusivo (Ex-OR) e NOR-Exclusivo (Ex-NOR)
• NOR-Exclusivo
- Circuito Integrado
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Circuitos OR-Exclusivo (Ex-OR) e NOR-Exclusivo (Ex-NOR)
• Exercício
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Circuitos Lógicos Combinacionais
• Exercício
• Exercício
- Montar o circuito e verificar
o funcionamento
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