Cap2 (Semântica da Lógica Proposicional)

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Capítulo 2 
 
A semântica da Lógica 
Proposicional 
Introdução 
Existe uma diferença entre os objetos e seu 
significado 
Existe um mundo sintático e um mundo 
semântico 
Sintático – símbolos do alfabeto e fórmulas 
(consideradas apenas como concatenações de 
símbolos) 
Semântico – significado dos símbolos e fórmulas 
Em Lógica, semântica é a associação entre 
um objeto sintático e seu significado, de 
forma a, num nível de representação, 
garantir inferências. 
Semântica da Lógica Proposicional 
P (símbolo sintático) representa 
 “Está chovendo” 
 
Q representa 
 “A rua está molhada” 
 
Quando a fórmula (P^Q ) é 
Verdadeira? 
Semântica da Lógica Proposicional 
Depende das condições climáticas e se a 
rua é coberta, ou seja, depende da 
interpretação de P e Q 
I[P]=T ou I[P]=F (e também I[Q]) 
 
A fórmula (P^Q ) é Verdadeira, quando 
 I[P]=T e I[Q]= T 
 
Se I[P]=T ou I[Q]=F então, como ^ é 
interpretado como a conjunção da 
interpretação dos fatos P e Q, 
 I[P^Q]=F 
Interpretação 
Definição 2.1 (função binária) Uma função 
binária se seu contradomínio possui apenas 
dois elementos. 
 
Definição 2.2 (função total) Uma função é 
total se é definida em todos os elementos de 
seu domínio. 
Interpretação 
Definição 2.3 (função interpretação) Uma 
Interpretação I, em Lógica Proposicional, é 
uma função binária total na qual: 
O domínio de I é o conjunto de fórmulas 
proposicionais 
A imagem é o conjunto {T,F} 
O valor da interpretação I, tendo como 
argumentos os símbolos de verdade true e false, é 
dado por I[true]=T e I[false]=F 
Dado um símbolo proposicional P, I[P] pertence a 
{T,F} 
Interpretação de Fórmulas 
Definição 2.4 (interpretação de fórmulas) 
Dadas uma fórmula E e uma interpretação I, 
então o significado de E (I[E]) é dado pelas 
seguintes regras: 
Se E=P, onde P é um símbolo proposicional, 
I[E]=I[P] e I[P] {T,F}; 
 Se E=true, então I[E]=I[true] =T, e se E=false, 
então I[E]=I[false]=F; 
Se H é uma fórmula e E=H, então 
I[E]=I[H]=T se I[H]=F e 
I[E]=I[H]=F se I[H]=T; 
 
Interpretação de Fórmulas 
Se H e G são fórmulas, e E=(HvG), então 
I[E]=I[HvG]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e 
I[E]=I[HvG]=F se I[H]=F e I[G]=F 
Se H e G são fórmulas, e E=(H^G), então 
I[E]=I[H^G]=T se I[H]=T e I[G]=T e 
I[E]=I[H^G]=F se I[H]=F e/ou I[G]=F 
Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então 
I[E]=I[HG]=T se I[H]=F e/ou I[G]=T e 
I[E]=I[HG]=F se I[H]=T e I[G]=F 
Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então 
I[E]=I[HG]=T se I[H]=I[G] 
I[E]=I[HG]=F se I[H]=I[G] 
Construção de sentenças 
Uma sentença ou proposição é uma 
expressão de uma dada linguagem que 
pode ser classificada como verdadeira ou 
falsa, de maneira exclusiva, em um 
contexto. 
Exemplo 1. As expressões a seguir são 
sentenças. 
Teresina é uma cidade quente. 
A Amazônia é um deserto. 
O Papa é romano ou não. 
George Bush é e não é americano. 
Sentenças atômicas 
Uma sentença é chamada atômica se 
ela não tem qualquer conectivo. 
As sentenças seguintes são atômicas: 
5 é primo. 
O rio Parnaíba é perene. 
João Pessoa é a capital da Paraíba. 
A terra é um planeta. 
Sentenças moleculares 
Uma sentença é molecular se ela não for 
atômica, ou seja, se tiver pelo menos um 
conectivo. 
As sentenças a seguir são moleculares: 
5 não é primo. 
João Pessoa é a capital da Paraíba e a terra é 
um planeta. 
O sol é uma estrela ou a terra é um planeta. 
Se a terra é um planeta então o sol é uma 
estrela. 
Conectivos lógicos 
Um conectivo é uma expressão de uma 
dada linguagem, utilizada para formar 
sentenças a partir de sentenças dadas. 
Não ou NOT (negação) 
E ou AND (conjunção) 
OU ou OR (disjunção) 
Se ... Então (implicação) 
Se e somente se (biimplicação) 
 
Conectivo Não (¬) 
Essa expressão prefixa uma sentença para 
formar uma nova sentença, a negação da 
primeira. 
Exemplo: ‘Não é o caso que ele é fumante‘ 
 é a negação da sentença 
 ‘Ele é fumante'. 
 
Variações gramaticais dessa negação: 
 ´Ele é não-fumante’, 
 ´Ele não é fumante’ 
 ´Ele não fuma’. 
Conectivo E () 
 Uma composição constituindo-se de duas 
sentenças ligadas por 'e' chama-se conjunção. 
 Exemplo: Chove e faz calor 
 
 Obs: em linguagem natural, ‘e’ às vezes sugere 
sequencia temporal 
 Ele ganhou na loto e enriqueceu. 
 
 A conjunção também pode ser expressa por 
palavras como: 'mas', 'todavia', 'embora', 'contudo', 
‘além do mais’, ‘no entanto’, ‘apesar disso’... 
 Chove mas faz calor 
 
Conectivo Ou (v) 
Um enunciado composto consistindo 
de duas sentenças ligadas por 'ou' 
chama-se disjunção. 
 
 Exemplo: Chove ou faz calor 
 
Conectivo Se ... então... () 
Enunciados do tipo se... então ... chamam-
se condicionais ou implicações . 
 
O enunciado subsequente ao 'se' chama-se 
o antecedente e o subsequente ao 'então' 
chama-se o consequente. 
 
Forma do condicional: 
 Se antecedente então consequente 
 Ex: Se sinto frio então visto o casaco 
Conectivo Se ... então... () 
Uma implicação também pode ser 
expressa na ordem inversa. 
 
 Visto o casaco se sentir frio 
 
 mantém a semântica de 
 
 Se sentir frio, visto o casaco 
 Se sentir frio então visto o casaco 
Conectivo Se ... então... () 
Variações gramaticais da implicação: 
 
Se P então Q 
P implica em Q; P, logo Q 
P só se Q; P somente se Q 
P apenas se Q; P só quando Q 
Q se P ; Q segue de P 
Conectivo ...se e somente se... () 
Os enunciados formados com a 
expressão ...se e somente se... são 
chamados bicondicionais ou 
biimplicações . 
 
 Exemplo: 
 T é um triângulo se e somente se T é 
um polígono de três lados 
Conectivo ...se e somente se... () 
Um bicondicional pode ser considerado 
uma conjunção de dois condicionais: 
P se e somente se Q 
P se Q e P somente se Q 
Se Q então P e P somente se Q 
Se Q então P e Se P então Q 
que equivale a: 
Se P então Q e Se Q então P 
 
Tabelas-verdade 
Tabelas verdade associada a conectivos 
 
 
 
 
 
Tabelas verdade associada a fórmulas 
Como fazer para obter a tabela verdade 
associada à fórmula H=((P)vQ)(Q^P)? 
Colunas intermediárias: P,Q,P, PvQ e Q^P 
H G H H VG H ^G H  G H  G 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
F 
V 
V 
V 
V 
V 
F 
V 
F 
F 
F 
V 
F 
V 
V 
V 
F 
F 
V 
Tabelas-verdade 
P Q P PQ QP H 
T 
T 
F 
F 
T 
F 
T 
F 
F 
F 
T 
T 
T 
F 
T 
T 
T 
F 
F 
F 
T 
T 
F 
F 
H=((P)vQ)(Q^P) 
Interpretação de uma fórmula 
Exemplo: Considere a fórmula H = ((P)  
(Q)) R e uma interpretação I dada por: 
 I[P] = T, I[Q] = F, I[R] = T 
P Q R P Q PQ H 
T F T F T T T