Capitulo 3 - teoria dos potenciais

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3) Teoria dos 
Potenciais 
 
Introdução 
Potenciais são funções do espaço e do tempo associadas aos campos 
eletromagnéticos. A utilização dos potenciais na teoria eletromagnética se deve ao 
fato de, na maioria das situações, ser mais simples calcular potencial do que 
campo. Alem disso, os potenciais têm uma relação muito estreita com a energia 
armazenada nos campos eletromagnéticos e isso lhes confere uma importância 
destacada na análise física de sistemas reais. O potencial elétrico, por exemplo, é 
uma grandeza fundamental na descrição de circuitos elétricos. Trata-se de uma 
grandeza escalar, e por isso de fácil manipulação algébrica. Já o potencial vetorial 
desempenha papel fundamental na descrição de campos alternados e ondas 
eletromagnéticas geradas por fontes variáveis no tempo. Apresentaremos 
inicialmente os conceitos e métodos para os potenciais de fontes estáticas e logo 
a seguir as extensões para as fontes variáveis no tempo. Esta última descrição é 
mais abrangente, porém, consideravelmente mais complexa. Por isso, neste 
capítulo, ela será tratada apenas como uma introdução a um tema que será 
melhor desenvolvido em capítulos posteriores. 
 
Potencial Elétrico Estático 
Na parte da teoria eletromagnética denominada de eletrostática e magnetostática, 
as distribuições de carga e corrente não dependem do tempo, ou variam muito 
lentamente, de modo que a aproximação para campos estáticos é considerada 
válida. No caso de uma distribuição estática de carga, concluímos no Capítulo 2 
que o rotacional do campo elétrico é nulo e que esse fato nos permite associar à 
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distribuição de carga uma função escalar da posição no espaço, chamada de 
potencial elétrico, de tal modo que o campo elétrico seja calculado como o 
gradiente dessa função. 
(3.1) )r()r(e
rrr ϕ−∇= 
Como vimos no exemplo 2.7, existe um significado físico muito importante no 
potencial elétrico. Para entendê-lo melhor neste ponto, podemos realizar a 
seguinte análise. Suponha que estamos deslocando uma carga de prova (carga 
pontual de pequeno valor) com velocidade constante entre duas posições do 
espaço sob a influência do campo elétrico produzido por uma dada distribuição de 
carga. Em virtude da força elétrica aplicada na carga de prova, a fim de manter 
sua velocidade constante, será necessário exercer uma força externa sobre ela, 
de modo que em cada posição ocupada pela carga, a força resultante seja nula. 
Portanto, o trabalho realizado por essa força externa em um deslocamento 
incremental é: rd
r
(3.2) rdeqrdf
rrrr ⋅−=⋅ 
Assim, o trabalho total realizado no deslocamento entre as posições 1r
r
 e 2r
r
 é dado 
pela seguinte integral: 
(3.3) ∫∫∫ ⋅ϕ∇=⋅−=⋅=Δ 2
1
2
1
2
1
r
r
r
r
r
r
rdqrdeqrdfW
r
r
r
r
r
r
rrrrr
 
Mas, de acordo com a definição de gradiente de uma função escalar, o último 
integrando em (3.3) pode ser escrito na forma ϕ=⋅ϕ∇ drdr . Então, o trabalho 
realizado pode ser calculado por: 
(3.4) ( ) ( )[ ]12 rrqW rr ϕ−ϕ=Δ 
o que nos leva a conclusão de que a diferença de potencial elétrico entre dois 
pontos do espaço é igual ao trabalho necessário que um agente externo deve 
realizar para movimentar uma carga unitária do ponto inicial ao final com 
velocidade constante. Obviamente a exigência de velocidade constante implica em 
que não haja variação de energia cinética da carga e, por isso, todo o trabalho 
realizado deve estar armazenado no sistema carga-campo. Potencial elétrico é 
 103
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medido em Volts (V) no Sistema Internacional de unidades, o que corresponde a 
Joule / Coulomb. 
Definindo arbitrariamente que o potencial elétrico produzido por uma distribuição 
localizada de cargas se anula no infinito, podemos obter uma expressão geral 
para o potencial elétrico em qualquer posição finita do espaço na forma: 
(3.5) ∫
∞
⋅=ϕ
r
rde)r(
rrr
 
Para uma carga pontual na origem do sistema de coordenadas, por exemplo, 
podemos seguir uma trajetória radial para a integral de linha em (3.5) e obter o 
potencial elétrico na forma: 
(3.6) 
r4
qrd
r
r
4
q)r(
or
3o πε
=⋅πε=ϕ ∫
∞ rrr
 
Para uma distribuição de cargas descrita por uma densidade de cargas )r(v ′ρ r , 
podemos generalizar o resultado anterior somando a contribuição de cada 
elemento de carga vd)r(dq v ′′ρ= r para obter: 
(3.7) ∫∫∫
′ ′−
′ρ
πε=ϕ Vo
dV
rr
)r(
4
1)r( rr
rr
 
Para distribuições superficiais ou lineares de carga, podemos reescrever (3.7) de 
maneira conveniente nas respectivas formas: 
(3.8) ∫∫
′ ′−
′σ
πε=ϕ So
dS
rr
)r(
4
1)r( rr
rr
 
(3.9) ∫
′ ′−
′λ
πε=ϕ Lo
dL
rr
)r(
4
1)r( rr
rr
 
 
Exemplo 3.1 – Potencial elétrico para uma distribuição retilínea de carga com 
densidade uniforme e comprimento L. Usando o sistema cilíndrico com eixo z 
coincidindo com a direção da linha de cargas e com a origem posicionada no 
ponto médio dessa linha, temos: 
(Ex.1) zddL ′=
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(Ex.2) 22 )zz(srr ′−+=′− rr 
(Ex.3) 
2L
2L
22o
2L
2L 22o )zz(s)zz(
sln
4)zz(s
zd
4
+
−
+
− ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
′−++′−
=∫ ′−+
′= πε
λ
πε
λϕ 
(Ex.4) ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−++−
++++=
22
22
o )2Lz(s)2Lz(
)2Lz(s)2Lz(
ln
4πε
λϕ 
Podemos calcular o campo elétrico usando (3.1): 
(Ex.5) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
−
−+
=∂
∂−=
2222o
z
)2Lz(s
1
)2Lz(s
1
4z
e πε
λϕ 
(Ex.6) ⋅=∂
∂−=
o
s 4
s
s
e πε
λϕ 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−+−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++++++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++−−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++++
22222222
2222
)2Lz(s)2Lz()2Lz(s)2Lz(s)2Lz()2Lz(s
)2Lz(s)2Lz()2Lz()2Lz(s)2Lz()2Lz(
 
Estas expressões se simplificam consideravelmente para um fio longo e posições 
longe das extremidades, de tal modo que 2Lz << . Nesse caso, temos: 
(Ex.7) 0ez =
(Ex.8) ( )22os 2Ls
L
s4
e
+
⋅= πε
λ 
Além disso, para pontos bem próximos do fio, tal que 2Ls << , obtemos: 
(Ex.9) 
s2
e
o
s πε
λ= 
Este foi exatamente o resultado obtido no Capítulo 1 e capítulo 2 usando 
respectivamente a lei de Coulomb e a lei de Gauss para um fio infinito. O 
importante caso de dois fios paralelos carregados com cargas opostas é 
representado na Figura 3.1. Para a geometria indicada nessa figura, podemos 
estender o resultado (Ex.4) para obter: 
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(Ex.10) 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++++
=
22
2
22
2
22
1
22
1
o )2Lz(s)2Lz(
)2Lz(s)2Lz(
)2Lz(s)2Lz(
)2Lz(s)2Lz(
ln
4πε
λϕ 
A Figura 3.2 mostra uma família de linhas equipotenciais no plano transversal dos 
fios para 2Lz << . 
 
λ+ λ−
1s
r 2s
r
2
L
2
L
λ+ λ−
1s
r 2s
r
2
L
2
L
 
Figura 3.1 – Linha de fios paralelos carregados com cargas opostas. 
 
 
O método das Imagens 
Sistemas constituídos por distribuições de carga próximas a superfícies de 
contorno com potenciais fixos não podem ser analisados, em geral, por meio da 
abordagem mostrada acima, uma vez que não podemos obter corretamente as 
distribuições de carga nessas superfícies sem conhecer o campo elétrico 
superficial. Consideremos o sistema mostrado na Figura 3.3a, onde uma carga 
pontual está localizada próximaa uma superfície condutora de potencial nulo. 
Embora o potencial em qualquer lugar da superfície seja independente da posição 
da carga pontual, o mesmo não ocorre com a carga distribuída na superfície. 
Quanto mais próxima a carga pontual estiver, maior é a densidade de carga na 
área da superfície correspondente à posição da carga pontual. Uma vez que o 
potencial é constante na superfície, o campo elétrico superficial é perpendicular 
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em qualquer posição (ver Apêndice 3.5) e todo o fluxo elétrico produzido pela 
carga pontual “penetra” na superfície como se existisse uma carga pontual de 
sinal contrário localizada na posição exatamente simétrica à carga original. Esta 
carga pontual fictícia é denominada de carga imagem e podemos obter o potencial 
elétrico em qualquer posição do espaço acima do plano considerando a soma dos 
potenciais da carga original com sua carga imagem. Segundo o esquema 
mostrado na Figura 3.3b e usando a equação (3.6), o potencial para é dado 
por: 
0z >
(3.10) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −πε=ϕ 21o r
1
r
1
4
q 
 
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0 -0.5
-1
-1.5
-2.0
-2.5
0.5
1
1.5
2.0
2.5
2
( cm )
( cm )
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0 -0.5
-1
-1.5
-2.0
-2.5
0.5
1
1.5
2.0
2.5
2
( cm )
( cm )
2
 
Figura 3.2 – Equipotenciais no plano transversal de dois fios paralelos de comprimento infinito, 
carregados uniformemente. O valor indicado nas linhas é o potencial normalizado para o4πελ . 
Entre linhas consecutivas, a diferença de potencial é de 0.5. 
 
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0=ϕ
+q
0=ϕσ
+q
-q
z
z
z)
1r
r
2r
r
θ
( carga imagem )
0
( a )
( b )
0=ϕ
+q
0=ϕσ
+q
-q
z
z
z)
1r
r
2r
r
θ
( carga imagem )
0
( a )
( b )
 
Figura 3.3 – Uma carga pontual acima de um plano condutor aterrado. (a) a carga induzida no 
plano é indicada pela linha tracejada. (b) A carga imagem representa o efeito da carga distribuída 
no plano. 
 
onde θ−+= coszr4z4rr 12212 . O campo elétrico em qualquer posição do espaço 
para pode ser calculado como o negativo do gradiente desse potencial: 0z >
(3.11) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−πε=ϕ−∇= 3
2
2
3
1
1
o r
r
r
r
4
qe
rrr
 
na superfície do plano aterrado, temos 21 rr = e zcosr2rr 121 )rr θ−=− . Assim, o 
campo na superfície do plano é dado por: 
(3.12) z
r
cos
2
qe
2
1o
)r θ
πε−= 
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Como sabemos (exemplo 2.3), a densidade de carga superficial em um condutor é 
igual ao módulo da indução elétrica na superfície. Assim, a carga distribuída na 
superfície do plano aterrado é dada por: 
(3.13) 2
1
o
r
cos
2
qe θπ−=ε=σ 
A Figura 3.4 mostra um gráfico tridimensional desta distribuição de carga. 
 
 
Figura 3.4 – Distribuição de carga no plano condutor aterrado para uma partícula com carga q 
posicionada no centro a uma altura de 1cm. 
 
Exemplo 3.2 - A Figura 3.5 ilustra uma outra situação na qual o método das 
imagens pode ser aplicado. Uma carga pontual próxima a uma superfície esférica 
condutora aterrada. A carga imagem deve ser posicionada de tal maneira que o 
potencial total seja nulo em qualquer posição da superfície da esfera. A escolha 
natural para a posição da carga imagem é algum ponto sobre o eixo que liga a 
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carga externa ao centro da esfera. De acordo com os símbolos usados na Figura 
3.4, podemos escrever o potencial na superfície da esfera na forma: 
(Ex.11) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′+=
21o r
q
r
q
4
1
πεϕ 
 
0 z´ z
r1
r2
a
qq´
ϕ=0
0 z´ z
r1
r2
a
qq´
ϕ=0
 
Figura 3.5 – Análise do potencial criado pela carga pontual próxima de uma esfera condutora 
aterrada. 
 
onde as distâncias e 1r 2r são dadas por: 
(Ex.12) θcosaz2zar 221 −+= 
(Ex.13) θcosza2zar 222 ′−′+= 
Mas, se o potencial na superfície da esfera é sempre nulo, então devemos ter: 
(Ex.14) 0
r
q
r
q
21
=′+ → k
r
r
q
q
2
1 −=−=′ 
onde k é uma constante a ser determinada. Podemos determinar o seu valor 
substituindo (Ex.12) e (Ex.13) em (Ex.14): 
(Ex.15) 22
22
1 kkr = → θθ coszak2zkakcosaz2za 2222222 ′−′+=−+
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Ignorando o resultado trivial k=1 que não interessa, podemos obter de (Ex.15) as 
seguintes relações: 
(Ex.16) zzk,azk,zka 2 =′=′=
de onde obtemos: 
(Ex.17) 
a
zk = 
e 
(Ex.18) 
z
az
2
=′ 
Segundo (Ex.14) a imagem tem carga proporcional à carga externa, sendo dada 
por: 
(Ex.19) q
z
a
k
qq −=−==′ 
O potencial elétrico para qualquer ponto fora da esfera, exceto a posição da carga 
pontual, pode ser calculado pela superposição dos potenciais da carga externa e 
da carga imagem. Usando os resultados obtidos acima, podemos escrever a 
seguinte expressão para esse potencial em função da distância r ao centro da 
esfera: 
(Ex.20) ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−
−+
=
θθπε
ϕ
coszar2arz
a
coszr2zr
1
4
q
242222o
 
A Figura 3.6 mostra algumas curvas equipotenciais obtidas de (Ex.20). 
 
Exemplo 3.3 – Um condutor cilíndrico longo é posicionado paralelamente a um 
plano aterrado e está ligado a uma fonte de potencial fixo Vo. A Figura 3.7 mostra 
este esquema. Vamos calcular o potencial elétrico em todo o espaço acima do 
plano e em torno do condutor. Se o condutor estivesse isolado, sua carga estaria 
distribuída uniformemente em sua superfície e a carga imagem correspondente 
estaria posicionada em seu centro geométrico. Contudo, em virtude da 
proximidade com o plano aterrado, a carga superficial no cilindro está concentrada 
na face mais próxima do plano e, como mostra a Figura 3.7, a carga imagem está 
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0 
0.1 
0.15 0.2 
0.3 
0.5 
0.7 
1 
2 
5 
10 ( x a )
( x a ) 0 1 2 3 4
2
1
0
-1
-2
0 
0 
0.1 
0.15 0.2 
0.3 
0.5 
0.7 
1 
2 
5 
10 ( x a )
( x a ) 0 1 2 3 4
2
1
0
-1
-2
0 
 
Figuras 3.6 – Equipotenciais para o problema da carga pontual próxima da esfera aterrada no 
plano que contém a carga e o centro da esfera. As distâncias são normalizadas para o raio da 
esfera. Os potenciais são normalizados para 
a4
q
oπε . 
 
deslocada para a posição z1. Definimos esta carga pela densidade linear λ. 
Existem duas condições de contorno a satisfazer: potencial na superfície do 
cilindro igual a Vo e potencial nulo no plano aterrado. A fim de satisfazer a 
segunda, devemos ter uma carga imagem -λ na posição simétrica em relação ao 
plano. Esta posição medida em relação ao centro geométrico do cilindro é dada 
por 12 zh2z −= . Para o cálculo do potencial de uma distribuição retilínea e 
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uniforme de cargas, vamos utilizar a aproximação para uma linha de cargas de 
comprimento infinito. Este resultado foi obtido no Capítulo 1 na equação (1.17): 
(Ex.21) s
s2
e
o
)r
πε
λ= 
oV=ϕ
0=ϕ
λ
λ−
h
a
r
1s
2s
1z
2z
+ + +
_ _ _ _ 
oV=ϕ
0=ϕ
λ
λ−
ha
r
1s
2s
1z
2z
+ + +
_ _ _ _ 
 
Figura 3.7 – Esquema geométrico para cálculo do potencial e campo elétrico no problema do 
condutor cilíndrico sobre um plano condutor aterrado usando o método das imagens. 
 
A linha de carga na Figura 3.7 está a uma distância d do plano. Assumindo que o 
potencial nessa distância é nulo, obtemos o potencial para outra posição qualquer 
integrando a equação (Ex.21): 
(Ex.22) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=∫−=∫−=− s
dln
2s
ds
2
sd.e)s()d(
o
d
so
d
s πε
λ
πε
λϕϕ rr 
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Substituindo 0)d( =ϕ , obtemos: 
(Ex.23) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
s
dln
2
)s(
oπε
λϕ 
Com base neste resultado podemos escrever o potencial em uma posição 
qualquer acima do plano aterrado na forma: 
(Ex.24) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
1
2
o2o1o
21 s
sln
2s
dln
2s
dln
2
)s,s( πε
λ
πε
λ
πε
λϕ 
Onde s1 e s2 são as distâncias em relação às cargas imagens λ e -λ, 
respectivamente. De acordo com a Figura 3.7, essas distâncias podem ser 
escritas em relação ao centro geométrico do cilindro na forma: 
(Ex.25) θcoszr2zrs 12121 −+= 
(Ex.26) θcoszr2zrs 22222 −+= 
A equação (Ex.24) mostra que a condição de contorno no plano aterrado é 
satisfeita, pois para qualquer posição no plano, 21 ss = , e com isso, (Ex.24) 
resulta em potencial nulo. Na superfície do cilindro o potencial é Vo. Então 
podemos escrever: 
(Ex.27) 
ar1
2
o
o s
sln
2
V
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= πε
λ 
Isso nos leva à condição: 
(Ex.28) K
s
s
ar1
2 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
 
onde K é uma constante a determinar. Substituindo (Ex.25) e (Ex.26) em (Ex.28), 
resulta: 
(Ex.29) θθ coszak2zkakcosza2za 12212222222 −+=−+ 
de onde obtemos as seguintes relações: 
(Ex.30) → 
21
2
1
2
zzk
akz
zka
=
=
=
a
z
z
ak
azz
2
1
2
21
==
=
 
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A fim de determinar o valor de z1 podemos substituir 
1
2
2 z
az = obtido acima na 
equação 12 zh2z −= . Fazendo isso, resulta: 
(Ex.31) 0ahz2z 21
2
1 =+−
A solução válida para z1 é: 
(Ex.32) 221 ahhz −−= 
Com isso, substituindo nas relações (Ex.30), obtemos também z2 e k: 
(Ex.33) 22
22
2
2 ahh
ahh
az −+=
−−
= 
(Ex.34) 1
a
h
a
h
ahh
ak
2
22
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
−−
= 
A densidade da carga imagem é obtida de (Ex.27) com a substituição de (Ex.28): 
(Ex.35) ( ) o2
o
o
o V
1
a
h
a
hln
2
V
kln
2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
πε=πε=λ 
Voltando a expressão (Ex.24) do potencial em uma posição qualquer acima do 
plano e substituindo a densidade de carga imagem, teremos: 
(Ex.36) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=ϕ
1
2
2
o
21 s
sln
1
a
h
a
hln
V
)s,s( 
onde s1 e s2 são dadas em (Ex.25) e (Ex.26). A Figura 3.8 mostra a distribuição de 
campo elétrico no espaço em torno do condutor cilíndrico para um potencial 
unitário aplicado. Note que o campo é perpendicular às superfícies do cilindro e do 
plano aterrado. 
 
 
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-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
a
( x a )
( x
 a
 )
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
a
( x a )
( x
 a
 )
 
Figura 3.8 – Linhas equipotenciais e vetores de campo elétrico no problema do cilindro condutor 
sobre um plano condutor aterrado. As distâncias estão normalizadas para o raio do cilindro. 
 
Equação de Laplace 
Um dos problemas centrais da eletrostática é o cálculo do potencial elétrico 
quando a distribuição de cargas não é conhecida a priori, mas o potencial em 
certas regiões de contorno do espaço é especificado. Como vimos nos exemplos 
anteriores, o método das imagens é uma abordagem possível para sistemas com 
geometrias relativamente simples. Um método de aplicação mais geral é baseado 
na obtenção de soluções para o sistema de equações diferenciais formado pela lei 
de Gauss e pela equação (3.1). Substituindo o campo elétrico na lei de Gauss 
pela sua expressão como o gradiente do potencial elétrico, obtemos: 
(3.10) 
o
2
ε
ρ−=ϕ∇ 
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onde o operador Laplaciano é obtido como ( )ϕ∇⋅∇=ϕ∇2 . Esta equação é 
denominada de equação de Poisson. Na ausência de cargas livres no meio, ou 
seja, onde a densidade macroscópica de cargas seja nula, obtemos um caso 
particular de grande importância, denominado de equação de Laplace: 
(3.11) 02 =ϕ∇
As condições de contorno para a obtenção de soluções particulares para o 
potencial elétrico em todos os pontos internos de um volume são definidas pelos 
potenciais nas suas superfícies limítrofes. A forma geométrica dessas superfícies 
determina, em geral, o sistema de coordenadas mais adequado a ser usado na 
representação do operador laplaciano. Como (3.11) é uma equação diferencial 
linear, suas soluções particulares podem ser combinadas linearmente para obter 
novas soluções, ou seja: se ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., são soluções da equação de Laplace, 
então, a combinação linear dessas funções na forma: 
(3.12) n
n
na ϕ∑=ϕ
também é uma solução. Os coeficientes an são constantes. Por outro lado, pode-
se demonstrar que uma solução da equação de Laplace que satisfaça as 
condições de contorno especificadas é única, ou seja, não existe duas soluções 
diferentes para o mesmo conjunto de condições de contorno. 
 
Equação de Laplace em coordenadas retangulares: 
Em coordenadas retangulares a equação de Laplace é dada por: 
(3.13) 0
zyx 2
2
2
2
2
2
=
∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂ 
Uma solução geral em coordenadas retangulares pode ser obtida com o método 
de separação de variáveis. Supondo que podemos encontrar três funções 
independentes X(x), Y(y) e Z(z), tal que: 
(3.14) )z(Z)y(Y)x(X)z,y,x( =ϕ
seja uma solução da equação de Laplace, podemos substituir esta expressão em 
(3.13) para obter: 
 117
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(3.15) 0
dz
ZdXY
dy
YdXZ
dx
XdYZ
2
2
2
2
2
2
=++ 
Dividindo toda a expressão por XYZ, obtemos: 
(3.16) 0
dz
Zd
Z
1
dy
Yd
Y
1
dx
Xd
X
1
2
2
2
2
2
2
=++ 
Como cada termo nesta equação depende apenas de uma coordenada, para que 
a soma seja nula em qualquer posição do espaço, cada termo deve ser igual a 
uma constante, isto é, podemos separar (3.16) em três outras equações 
independentes: 
(3.17) 
2
z2
2
2
y2
2
2
x2
2
k
dz
Zd
Z
1
k
dy
Yd
Y
1
k
dx
Xd
X
1
=
=
=
 
onde kx, ky e kz são denominadas de constantes de separação e devem satisfazer 
a seguinte relação: 
(3.18) 0kkk 2z
2
y
2
x =++
Consideremos a equação na coordenada x e vamos avaliar as possibilidades de 
solução. Uma solução geral pode ser obtida pelo método habitual, substituindo 
. Fazendo isso, encontramos que o coeficiente α deve satisfazer a 
relação . Assim, temos as seguintes possibilidades: 
x
oeXX
α=
2
x
2 k=α
Se , α é nulo mas a solução geral é: 0k2x =
(3.19) bxaX +=
onde a e b são constantes; 
Se , α é um número real que admite dois valores: 0k2x > xk±=α . Então, a 
solução geral é dada por: 
(3.20) xxk2
xxk1 eXeXX
−+=
 118
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Se , α é um número imaginário que admite dois valores: , onde 0k2x < xjβ±=α
xx k=β . Então,a solução geral é dada por: 
 (3.21) xxj2
xxj1 eXeXX
β−β +=
Esta última equação pode ser reescrita em uma forma mais conveniente usando a 
equação de Euler: . Fazendo isso, obtemos: φ+φ=φ senjcose j
(3.22) ( ) ( ) )x(senXXj)xcos(XXX x21x21 β−+β+= 
Uma vez que X representa uma grandeza física, esta equação deve fornecer um 
valor real. Para que isso ocorra, os coeficientes X1 e X2 devem ser números 
complexos conjugados. Então, (3.22) pode ser escrita na forma: 
(3.23) )x(senA)xcos(AX x2x1 β+β= 
onde A1 e A2 são coeficientes reais. 
Para que (3.18) seja satisfeita, devemos ter um ou dois termos negativos. 
Digamos que e . Neste caso . As soluções 
possíveis são: 
0k2x < 0k2y < 0kkk 2y2x2z >−−=
(3.24) )x(senA)xcos(AX x2x1 β+β= 
(3.25) )y(senB)ycos(BY y2y1 β+β= 
(3.26) z2
z
1 eCeCZ
α−α +=
onde xx k=β , yy k=β e 2y2x β+β=α . 
 
Exemplo 3.4 – Dois planos condutores infinitos e paralelos em 2
zz o−= e 
2
zz o= estão ligados a potenciais fixos e 1V 2V . O potencial entre os planos é 
independente das coordenadas x e y. Assim, a solução de (3.18) é 
 e a solução da equação de Laplace é: 0kkk 2z
2
y
2
x ===
(Ex.37) baz +=ϕ
 119
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Aplicando as condições de contorno 1o V2
z =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−ϕ e 2o V2
z =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ϕ , obtemos 
o
12
z
)VV(a −= e 2
)VV(b 12 += . Assim, o potencial em todos os pontos entre os 
planos é dado por: 
(Ex.38) 
2
)VV(z
z
)VV( 12
o
12 ++−=ϕ 
O campo elétrico neste espaço é uniforme e perpendicular aos planos: 
(Ex.39) 
( )z
z
VVe
o
12 )r −−=ϕ−∇= 
 
Exemplo 3.5 – Na Figura 3.9 os planos 0x = e ax = estão no potencial nulo e o 
plano está no potencial . Uma vez que o volume se estende a infinito na 
direção z, o termo exponencial crescente em (3.26) deve ser eliminado pela 
escolha de . Os planos são infinitos na direção y, por isso o potencial não 
varia nessa direção e . Assim, a solução geral para o potencial assume a 
forma: 
0z = oV
0C1 =
0y =β
(EX.40) [ ] zx2x1 e)x(senA)xcos(A α−β+β=ϕ 
onde xβ=α . As condições de contorno restantes são: 0)0z,0x( =≥=ϕ , 
 e 0)0z,ax( =≥=ϕ oV)0z,ax0( ==≤≤ϕ . Para que o potencial se anule no 
plano x=0, o coeficiente A1 deve ser nulo. Por outro lado, para que o potencial se 
anule no plano x=a, devemos ter: 
(Ex.41) 0)a(sen x =β → a
n
x
π=β 
onde ‘n’ é qualquer número inteiro. Esta equação mostra que existem infinitas 
soluções particulares que satisfazem as condições de contorno nos planos x=0 e 
x=a. Uma solução geral, então, pode ser obtida pela superposição dessas 
soluções particulares na forma (3.12): 
(Ex.42) ∑ π=ϕ π−
n
a
zn
n e)xa
n(sena 
 120
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x
z
a
0
oV=ϕ
0=ϕ
0=ϕ
x
z
a
0
oV=ϕ
0=ϕ
0=ϕ
 
Figura 3.9 – Cálculo do potencial no espaço entre três planos condutores. Os planos são infinitos 
na direção y. Não há contato entre o plano z=0 e os planos x=0 e x=a. 
 
A fim de satisfazer a última condição de contorno, devemos ter: 
(Ex.43) ∑ π=
n
no )xa
n(senaV 
Para obter os coeficientes an que satisfazem esta equação, podemos utilizar o 
método da série de Fourier (Apêndice 3.1). Neste caso, basta multiplicar ambos os 
lados de (Ex.43) por )x
a
m(sen π , onde ‘m’ é um número inteiro, e integrar na 
variável x nos limites de 0 a ‘a’: 
(Ex.44) ∑ ∫ ππ=∫ π
n
a
0
n
a
0
o dx)xa
m(sen)x
a
n(senadx)x
a
m(senV 
Para integral no lado direito temos: 
(Ex.45) 
⎩⎨
⎧=∫ ππ =≠
mnse2
a
mnse0
a
0
dx)x
a
m(sen)x
a
n(sen 
Com isso, o coeficiente an é dado por: 
(Ex.46) 
n
)ncos(1V2dx)x
a
n(senV
a
2a o
a
0
on
π−
π=∫
π= 
Vemos que apenas os termos pares são não nulos nesta série, ou seja: 
(Ex.47) 
,..,.4,2,0npara0a
,...5,3,1npara
n
V4
a
n
o
n
==
=π= 
 121
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Assim, a solução para o potencial é obtida na forma: 
(Ex.48) ∑ ππ=ϕ
π−
ímparn
a
zno e)x
a
n(sen
n
1V4 
A Figura 3.10 mostra um conjunto de linhas equipotenciais normalizadas obtidas a 
partir desta equação. 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
210− 310− 410− 510−010 110−x 
( a
 )
z ( a )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
210− 310− 410− 510−010 110−x 
( a
 )
z ( a ) 
Figura 3.10 – Linhas equipotenciais normalizadas para π
oV4 obtidas na análise dos planos 
condutores. As distâncias estão normalizadas para a separação ‘a’ entre os planos 
perpendiculares ao eixo x. Foram usadas apenas as funções com índice de 1 a 11. 
 
 Exemplo 3.6 – A Figura 3.11 mostra uma situação mais realista do que a análise 
anterior. Neste caso os planos são limitados na direção y e existem planos de 
potencial nulo em y=0 e y=b. A solução geral neste caso é semelhante a (Ex.40) 
mas devemos acrescentar a dependência na coordenada y: 
(EX.49) [ ][ ] zy2y1x2x1 e)y(senB)ycos(B)x(senA)xcos(A α−β+ββ+β=ϕ 
A fim satisfazer as condições de contorno: 0)0z,by0,0x( =≥≤≤=ϕ e 
, devemos ter 0)0z,0y,ax0( =≥=≤≤ϕ 0A1 = e 0B1 = . De modo análogo ao 
 122
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que foi feito no exemplo anterior, a fim satisfazer as condições de contorno: 
 e 0)0z,by0,ax( =≥≤≤=ϕ 0)0z,by,ax0( =≥=≤≤ϕ , devemos ter: 
 
x
y
z0
a
b
0=ϕ
0=ϕ
0=ϕ
0=ϕ
oV=ϕ
x
y
z0
a
b
0=ϕ
0=ϕ
0=ϕ
0=ϕ
oV=ϕ
 
Figura 3.11 – Cálculo do potencial entre 5 planos condutores. Não há contato entre os planos em 
x=0, x=a, y=0, y=b e o plano z=0. 
 
 (Ex.50) π=β n)a(sen x → a
n
x
π=β 
(Ex.51) → π=β m)b(sen y b
m
y
π=β 
onde n e m são inteiros. De acordo com (3.18), a constante α é dada por: 
(Ex.52) 
22
2
y
2
x b
m
a
n ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛π=β+β=α 
Como vimos antes, a solução geral pode ser escrita na forma de uma série. Neste 
caso temos uma série dupla nas variáveis x e y: 
(Ex.53) ∑∑ ππ=ϕ α−
n m
z
nm e)yb
m(sen)x
a
n(sena 
Finalmente, para satisfazer a condição de contorno final, 
 devemos ter: 0)0z,by0,ax0( ==≤≤≤≤ϕ
(Ex.54) ∑∑ ππ=
n m
nmo )yb
m(sen)x
a
n(senaV 
 123
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Usando o mesmo método aplicado anteriormente, devemos multiplicar ambos os 
lados da equação anterior por )y
b
q(sen)x
a
p(sen ππ e integrar nos limites 0 a ‘a’ em 
x e 0 a ‘b’ em y. Fazendo isso, obtemos: 
(Ex.55) 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∫ ππ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∫ ππ∑∑
=∫ ∫ ππ
b
0
a
0n m
nm
b
0
a
0
o
dy)y
b
q(sen)y
b
m(sendx)x
a
n(sen)x
a
p(sena
dxdy)y
b
q(sen)x
a
p(senV
 
As integrais têm os seguintes resultados: 
(Ex.56) 
⎩⎨
⎧=∫ ππ =≠
npse2
a
npse0
a
0
dx)x
a
n(sen)x
a
p(sen 
(Ex.57) 
⎩⎨
⎧=∫ ππ =≠
mqse2
b
mqse0
b
0
dy)y
b
m(sen)y
b
q(sen 
(Ex.58) [ ] [ ]
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=π−π−π
=∫ ∫ ππ
π
ímparmense
nm2
ab4
oV
parmounse02o
b
0
a
0
o
m
)mcos(1
n
)ncos(1abV
dxdy)y
b
m(sen)x
a
n(senV
 
Com estes resultados em (Ex.55), obtemos os valore de anm na forma: 
(Ex.59) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= π
ímparmenpara
nm2
16
oV
parmounpara0nma 
E o potencial em todos os pontos internos do volume definido na Figura 3.11 é 
dado por: 
(Ex.60) ∑ ∑ πππ=ϕ
α−
ímpar
n
ímpar
m
z
2o e)yb
m(sen)x
a
n(sen
nm
116VAs Figuras 3.12 e 3.13 mostram as distribuições de potencial em dois planos neste 
volume: o plano z=0 e o plano z=a, sendo a=b. Nos cálculos referentes a estas 
figuras, a série (Ex.60) foi truncada no termo com n=11 e m=11. Observe que, 
devido ao truncamento, o potencial uniforme Vo no plano z=0 é aproximado por 
 124
ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos 
 
uma função oscilatória no plano xy. Aumentando o número de termos na série 
truncada, a resposta obtida deve se aproximar cada vez mais de um potencial 
uniforme no valor Vo. 
x ( a )
y ( a )
)0z,y,x( =ϕ
x ( a )
y ( a )
)0z,y,x( =ϕ
 
Figura 3.12 – Distribuição de potencial no plano z=0 representada pelos termos de n=1 e m=1 a 
n=11 e m=11 na série (Ex.60). As distâncias estão normalizadas para a largura a (a=b) dos planos 
x e y. O potencial está normalizado para . oV
x ( a )
y ( a )
)a1.0z,y,x( =ϕ
x ( a )
y ( a )
)a1.0z,y,x( =ϕ
 
Figura 3.13 – Distribuição de potencial no plano z=0.1a representada pelos termos de n=1 e m=1 a 
n=11 e m=11 na série (Ex.60). As distâncias estão normalizadas para a largura a (a=b) dos planos 
x e y. O potencial está normalizado para . oV
 125
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Equação de Laplace em coordenadas cilíndricas 
Em coordenadas cilíndricas, a equação de Laplace é descrita pela expressão: 
(3.27) 0
zs
1
s
s
ss
1
2
2
2
2
2
=
∂
ϕ∂+
φ∂
ϕ∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
ϕ∂
∂
∂ 
Procedendo à separação de variáveis, teremos: 
(3.28) )z(Z),s(F)z,,s( φ=φϕ
Substituindo em (3.27) e dividindo todos os termos por FZ, obtemos: 
(3.29) 0
dz
Zd
Z
1F
s
1
s
Fs
ss
1
F
1
2
2
2
2
2
=+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
φ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ 
O segundo termo deve ser igual a uma constante. Temos então: 
(3.30) Zk
dz
Zd 2
2
2
= 
e o primeiro termo pode ser reescrito na forma: 
(3.31) 0FskF
s
Fs
s
s 22
2
2
=+
φ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ 
Aplicando novamente a separação de variáveis, substituímos )()s(S),s(F φΦ=φ e 
obtemos: 
(3.32) 0sk
d
d1
ds
dSs
ds
ds
S
1 22
2
2
=+
φ
Φ
Φ+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
O segundo termo deve ser uma constante. Por conveniência, em virtude da 
necessária periodicidade em relação ao ângulo azimutal, podemos atribuir a esta 
constante um valor negativo a priori. Com isso, temos as equações separadas: 
(3.33) Φ−=
φ
Φ 2
2
2
n
d
d 
(3.34) 0S)nsk(
ds
dSs
ds
Sds 222
2
2
2 =−++ 
onde, a fim de haver periodicidade na coordenada azimutal, n deve ser real e 
inteiro. Vamos obter agora as soluções para as funções S, Φ e Z. As soluções 
 126
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para (3.30) e (3.33) são bem conhecidas. Neste estudo, iremos tratar apenas de 
situações nas quais a constante k é real. Então, para as funções Φ e Z, temos: 
(3.35) 
0kseeAeAZ
0ksebzaZ
2kz
2
kz
1
2
>+=
=+=
−
(3.36) ( ) ( )φ+φ=Φ nsenBncosB 21 
Por outro lado, a solução de (3.34) tem três possibilidades: 
1) k=0 e n=0; Neste caso (3.34) pode ser reescrita na forma: 
(3.37) 0
ds
dSs
dt
d0
ds
dS
ds
Sds
2
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛→=+ 
cuja solução geral é: 
(3.38) ( ) 21 CslnCS +=
2) Se k=0 mas n≠0, temos: 
(3.39) 0Sn
ds
dSs
ds
Sds 2
2
2
2 =−+ 
Cuja solução geral é dada por: 
(3.40) n2
n
1 sCsCS
−+=
E, finalmente, para k diferente de zero, (3.34) é a equação diferencial de Bessel 
(Apêndice 3.2), cujas soluções são e , as funções de Bessel de 
primeira e segunda espécie de ordem n, respectivamente. A solução geral de 
(3.34) pode, então, ser escrita na forma: 
)ks(Jn )ks(Nn
(3.41) )ks(NC)ks(JC)s(S nn2nn1n +=
 
Exemplo 3.7 – Um cabo coaxial tem seu condutor externo (raio b) aterrado e seu 
condutor interno (raio a) ligado a um potencial Vo (Figura 3.15). Se o cabo é muito 
longo e estamos interessados no potencial longe das extremidades, definindo o 
eixo z como sendo o eixo de simetria axial dos condutores, podemos verificar que 
o potencial não depende das coordenadas z e φ. Assim, temos k=0 e n=0. A 
solução para o potencial é, então, dada por: 
(Ex.61) ( ) 21 CslnC)s( +=ϕ 
 127
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Vo
2a
2b
Vo
2a
2b
 
Figura 3.15 – Análise de um cabo coaxial longo. 
 
Aplicando as condições de contorno oV)a( =ϕ e 0)b( =ϕ , teremos: 
(Ex.62) 
( )
( ) 21
21o
CblnC0
CalnCV
+=
+=
Resolvendo para os coeficientes C1 e C2, obtemos: 
(Ex.63) 
( )
( )baln
)bln(V
C
b
aln
V
C
o
2
o
1
−=
=
 
Com isso, a solução para o potencial dentro do cabo coaxial é dada por: 
(Ex.64) ( ) ( ) ( ) )bsln(baln
V
b
aln
)bln(V
)sln(
b
aln
V
)s( ooo =−=ϕ 
 
Exemplo 3.8 – A Figura 3.16 mostra uma calha semi-cilíndrica condutora de 
comprimento infinito ligada a um potencial fixo Vo e apoiada, mas sem contato 
elétrico, em um plano condutor aterrado. Se posicionarmos o eixo z paralelamente 
ao comprimento da calha saberemos que o potencial elétrico não dependerá da 
coordenada z. Portanto temos k=0. Uma vez que o potencial é finito em qualquer 
 128
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posição do espaço, a solução da equação de Laplace dentro da calha deve 
envolver apenas as potências positivas da coordenada s e para fora da calha 
apenas as potências negativas de s. Temos então: 
(Ex.65) para ( ) ( )[ ]∑ φ+φ=φϕ ∞
=1n
n
nn snsenbncosc),s( as ≤ 
(Ex.66) para ( ) ( )[ ]∑ φ+φ=φϕ ∞
=
−
1n
n
nn snsenbncosc),s( as ≥ 
 
a
0=ϕ
oV=ϕ
s
φ
a
0=ϕ
oV=ϕ
s
φ
 
Figura 3.16 – Calha semicircular condutora ligada a um potencial fixo sobre um plano condutor 
aterrado. 
 
Aplicando agora as condições de contorno para o potencial sobre o plano: 
 e 0)0,as0( ==φ≤≤ϕ 0),as0( =π=φ≤≤ϕ , verificamos que os coeficientes cn 
devem ser nulos. Aplicando a condição para a calha, oV)0,as( =π<φ<=ϕ , 
obtemos as relações: 
(Ex.67) para ( )∑ φ= ∞
=1n
n
no nsenabV as ≤ 
(Ex.68) para ( )∑ φ= ∞
=
−
1n
n
no nsenabV as ≥
Usando o método da série de Fourier, os coeficientes bn podem ser calculados 
pelas expressões: 
 129
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(Ex.69) ∫ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=φφπ=
π π
0
ímparnse
n
1
na
oV2
parnse0n
o
n d)n(sen
a
V
b para as ≤ 
(Ex.70) ∫ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=φφπ=
π −π
− 0
ímparnse
n
1
na
oV2
parnse0n
o
n d)n(sen
a
V
b para as ≥
Com isso, as soluções na forma de série de Fourier são dadas por: 
(Ex.71) ( )∑ φ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
π=φϕ ímparn
n
o
n
nsen
a
sV2),s( para as ≤ 
(Ex.72) ( )∑ φ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
π=φϕ
−
ímparn
n
o
n
nsen
a
sV2),s( para as ≥ 
A Figura 3.17 mostra uma distribuição de linhas equipotenciais no plano 
transversal à calha, obtidas a partir das equações acima com truncamento da 
série no termo n=99. 
 
 
-1 0 1 2
1
2
-2
0
0.1
0.2
0.3
0.3
0.4
0.4
1
( x a )
( x
 a
 )
-1 0 1 2
1
2
-2
0
0.1
0.2
0.3
0.3
0.4
0.4
1
( x a )
( x
 a
 )
 
Figura 3.17 – Linhas equipotenciais no problema da calha semicircular. Os potenciais estão 
normalizados para Vo e as distâncias para ‘a’. 
 
 
 130
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Exemplo 3.9 – A Figura 3.18 mostra uma cavidade cilíndrica condutora na qual 
todas as superfícies menos a tampa superior estão aterradas. A tampa superior, 
porsua vez, está no potencial Vo. Usando convenientemente a simetria azimutal 
em torno do eixo do cilindro, verificamos que a solução geral deve assumir o valor 
n=0 para a função da coordenada φ. Além disso, como a região de análise envolve 
a origem, s=0, a função radial deve conter apenas funções de Bessel de primeira 
espécie. A expressão para o potencial tem, então, a forma geral: 
(Ex.73) ( ) )ks(JeAeA)z,s( okz2kz1 −+=ϕ 
0z =←
Lz =←
0=ϕ
0=ϕ
oV=ϕ
s
z
0z =←
Lz =←
0=ϕ
0=ϕ
oV=ϕ
s
z
 
Figura 3.18 – Condições de contorno para cálculo do potencial dentro de uma cavidade cilíndrica 
 
Aplicando a condição de contorno 0)0z,as0( ==≤≤ϕ , teremos: 
(Ex.74) → ( ) )ks(JAA0 o21+= 12 AA −= 
Então, o potencial pode ser escrito na forma: 
(Ex.75) ( ) )ks(J)kz(senhA)ks(JeeA)z,s( ookzkz1 =−=ϕ − 
Aplicando a condição de contorno 0)Lz0,as( =<≤=ϕ , teremos: 
 131
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(Ex.76) → )ka(J)kz(senhA0 o= a
x
k omm = 
Como existem infinitas funções que satisfazem as condições de contorno 
anteriores, podemos propor que a solução geral é a combinação linear dessas 
funções: 
(Ex.77) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=ϕ ∞
=
s
a
x
Jz
a
x
senhc)z,s( om
1m
o
om
m 
Aplicando agora a condição oV)Lz,as0( ==≤≤ϕ , teremos: 
(Ex.78) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∞
=
s
a
x
JL
a
x
senhcV om
1m
o
om
mo 
Comparando com a expressão geral da expansão em série de funções de Bessel 
(A.100) e (A.101) no Apêndice 3.2, concluímos que os coeficientes cm devem ser 
calculados por: 
 (Ex.79) dss
a
x
Js
)x(Ja
V2
L
a
x
senhc
a
0
om
o
om
2
1
2
oom
m ∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
Consultando uma tabela de integrais de funções de Bessel verificamos que: 
. Com isso, temos: ∫ = )x(Jxdx)x(Jx 1o
(Ex.80) ( )om1
om
2a
0
om
1
om
a
0
om
o xJx
as
a
x
sJ
x
adss
a
x
Js =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
Assim, substituindo este último resultado em (Ex.79), obtemos cm na forma: 
(Ex.81) 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= L
a
x
senh)x(Jx
V2
c
om
om1om
o
m 
e a solução para o potencial em (Ex.77) torna-se: 
(Ex.82) ∑
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=ϕ ∞
=1m om
om1om
om
o
om
o
L
a
x
senh)x(Jx
s
a
x
Jz
a
x
senh
V2)z,s( 
A Figura 3.19 mostra a superposição dos 10 primeiros termos da série acima na 
composição do potencial na tampa superior da cavidade. 
 
 132
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Figura 3.19 – Representação do potencial na tampa superior da cavidade cilíndrica por meio da 
série (Ex.82) truncada no termo m=10. O potencial está normalizado para Vo. 
 
Equação de Laplace em coordenadas esféricas 
Em coordenadas esféricas a equação de Laplace é escrita na forma: 
(3.42) 0
sen
1sen
sen
1
r
r
r 2
2
2
2 =φ∂
ϕ∂
θ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
θ∂
ϕ∂θθ∂
∂
θ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
ϕ∂
∂
∂ 
Aplicaremos a separação de variáveis em duas etapas. Inicialmente, escrevemos 
o potencial na forma: 
(3.43) ),(F)r(R),,r( φθ=φθϕ
Substituindo em (3.42), teremos: 
(3.44) Rk
dr
dRr
dr
d 22 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
 133
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(3.45) θ−=
φ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
θ∂
∂θθ∂
∂θ 22
2
2
senkFFsensen 
Agora, substituímos a função F em (3.45) por: φθ=φθ FF),(F . Obtemos com isso: 
(3.46) φφ −=φ Fmd
Fd 2
2
2
 
(3.47) ( ) 0Fmsenk
d
dF
sen
d
dsen 222 =−θ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
θθθθ θ
θ 
A equação radial (3.44) pode ser reescrita na forma: 
(3.48) 0Rk
dr
dRr2
dr
Rdr 2
2
2
2 =−+ 
e sua solução é dada por: 
(3.49) )1n(2
n
1 rArA)r(R
+−+=
onde . Esta solução pode ser facilmente verificada por substituição 
em (3.48). 
)1n(nk2 +=
A equação na coordenada azimutal tem uma solução bem conhecida e já utilizada 
anteriormente. Em virtude da periodicidade nessa coordenada, o valor de m é 
necessariamente real e a solução é obtida como a soma de funções sen(mφ) e 
cos(mφ). Contudo, neste estudo, trataremos apenas de problemas que 
apresentam simetria azimutal. Nesse caso, m=0 e .cteF =φ 
A equação na coordenada polar pode ser reescrita em uma forma geral bem 
conhecida com a seguinte substituição em (3.47): 
(3.50) → xcos =θ 2x1sen −=θ → 
dx
dx1
d
d 2−−=θ 
Com isso, obtemos a equação na coordenada polar na forma: 
(3.50) ( ) 0F
x1
mk
dx
dFx1
dx
d
x2
2
2x2 =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ − 
com substituído por 2k )1n(n + , esta equação é denominada de equação 
diferencial associada de Legendre e suas soluções são as funções associadas de 
 134
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Legendre. Contudo, trataremos apenas de casos em que m=0, e assim, (3.50) 
pode ser escrita na forma mais simples: 
 (3.50) ( ) 0F)1n(n
dx
dFx2
dx
Fdx1 xx2
x
2
2 =++−− 
cujas soluções são os polinômios de Legendre (Apêndice 3.3). 
 
Exemplo 3.10 – A Figura 3.20 mostra dois hemisférios ligados a potenciais 
opostos. Evidentemente, com o ângulo φ sendo medido da forma indicada, a 
figura apresenta simetria azimutal. Neste caso, a solução geral para o potencial 
em todo o espaço é dada pelo produto da função radial R(r) com o polinômio de 
Legendre: 
(Ex.83) [ ] )(cosPrArA),r( n)1n(2n1 θ+=θϕ +− 
Mas, como o potencial é finito em qualquer posição do espaço, esta equação deve 
ser separada em uma solução interna e noutra solução externa aos hemisférios: 
(Ex.84) para )(cosPrA),r( n
n
n θ=θϕ ar ≤ 
(Ex.85) para )(cosPrA),r( n
)1n(
n θ=θϕ +− ar ≥
A condição de contorno sobre os hemisférios é descrita por: 
(Ex.86) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧=θ=θ=ϕ π<θ≤
π≤θ<π−
20paraoV
2parao
V)(f),ar( 
Para a solução interna satisfazer esta condição de contorno é necessário 
combinar linearmente infinitas soluções do tipo (Ex.84). Assim, para , temos: ar ≤
(Ex.87) ∑ θ=θ ∞
0
n
n
n )(cosPaA)(f
De acordo com (A.119) e (A.120) no Apêndice 3.3, podemos obter os coeficientes 
An desta série 
Pela expressão: 
(Ex.88) ∫+=
−
1
1
nnn dx)x(P)x(fa2
1n2A 
onde a função escrita na variável x é dada por: )(f θ
 135
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(Ex.89) ⎩⎨
⎧= <≤−− ≤<
0x1paraoV
1x0paraoV
)x(f
Como f(x) é ímpar, apenas os termos ímpares da série (Ex.87) de polinômios de 
Legendre tem coeficientes diferentes de zero. Assim, a equação (Ex.88) resulta 
em: 
(Ex.90) ∫+=
1
0
nonn dx)x(PVa
1n2A para n ímpar 
θ
r
φ
oV=ϕ
oV−=ϕ
θ
r
φ
oV=ϕ
oV−=ϕ
 
Figura 3.20 – Hemisférios condutores ligados a potenciais opostos. Solução em coordenadas 
esféricas. 
 
Consultando uma tabela de integrais, obtemos: 
(Ex.91) 
1n2
)x(P)x(Pdx)x(P 1n1nn +
−=∫ −+ 
Com isso e considerando que 1)1(Pn = , (Ex.90) resulta em: 
(Ex.92) [ )0(P)0(P
a
V
A 1n1nn
o
n +− −= ] para n ímpar 
Assim, obtemos a solução para ar ≤ na forma: 
(Ex.93) [ ]∑ θ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=θ≤ϕ ∞ +−
ímparn
n1n1n
n
o )(cosP)0(P)0(Pa
rV),ar( 
 136
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De maneira análoga pode-se mostrar que para a solução é dada por: ar ≥
(Ex.94) [ ]∑ θ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=θ≥ϕ ∞ +−
+−
ímparn
n1n1n
)1n(
o )(cosP)0(P)0(Pa
rV),ar( 
A Figura 3.21 mostra algumas curvas de potencial em função do ângulo polar para 
diferentes valores do quociente a
r usando as expansões (Ex.93) e (Ex.94) até o 
termo de ordem 19. 
 
Exemplo 3.11 – Umaesfera metálica ligada a um potencial nulo é colocada em 
um campo elétrico inicialmente uniforme. Evidentemente, o campo induz cargas 
superficiais na esfera e essas cargas produzem um campo adicional que distorce 
o campo elétrico. Podemos calcular o potencial final fora da esfera, considerando 
as condições de contorno na superfície da esfera e no infinito. Uma vez que o 
potencial produzido pela carga superficial se anula no infinito, a condição de 
contorno no infinito é a mesma do campo elétrico uniforme, a qual é dada por: 
(Ex.95) θ−=∫ ⋅−=θ∞→ϕ
∞
cosrErdzE),r( o
0
o
r)
onde escolhemos o eixo z coincidindo com a direção do campo e definimos o 
centro da esfera como a posição de potencial nulo. A solução geral para o 
potencial fora da esfera é dada por: 
(Ex.96) [ ] )(cosPrArA),r( n)1n(2n1 θ+=θϕ +− 
No infinito, esta expressão se transforma em: 
(Ex.97) )(cosPrA),r( n
n
1 θ=θ∞→ϕ
Para satisfazer a condição expressa em (Ex.95), devemos ter n=1 e o1 EA −= . 
Além disso, sabemos que θ=θ cos)(cosP1 . Assim, a solução que satisfaz a 
condição de contorno no infinito é dada por: 
(Ex.98) [ ] θ+−=θϕ − cosrArE),r( 22o 
Aplicando agora a condição de contorno na superfície: 0),ar( =θ=ϕ , temos: 
(Ex.99) [ ] θ+−= − cosaAaE0 22o 
 137
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o que resulta em . Assim, a solução final para o potencial é dada por: 3o2 aEA =
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
a
r
0.1
0.5
2
1
oV
ϕ
θ ( rad )0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
a
r
0.1
0.5
2
1
oV
ϕ
θ ( rad ) 
Figura 3.21 – Curvas de potencial normalizado em função do ângulo polar para quatro raios 
constantes obtidas na análise dos hemisférios da Figura 3.20 usando a expansão em série de 
Legendre até o termo de ordem 19. 
 
(Ex.98) θ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=θϕ cos
a
r
r
aaE),r( 2
2
o 
A partir daí, podemos obter as componentes radial e polar do campo elétrico fora 
da esfera pelas expressões: 
(Ex.99) θ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=∂
ϕ∂−= cos1
r
a2E
r
e 3
3
or 
(Ex.100) θ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=θ∂
ϕ∂−=θ sen1
r
aE
r
1e 3
3
o 
Podemos também obter a distribuição de carga na esfera aplicando a lei de 
Gauss. De acordo com outros exemplos já analisados, isto nos leva à relação 
 138
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noeε=σ , onde en é o campo perpendicular na superfície do condutor, o qual, no 
caso da esfera corresponde ao campo radial. Assim, a carga na superfície da 
esfera é dada por: 
(Ex.101) θε==ε=σ cosE3)ar(e ooro 
Quando a geometria de um problema é muito complexa para cálculo do potencial 
elétrico segundo os métodos apresentados nesta seção e nas seções anteriores, 
existe uma alternativa geral baseada na solução da equação de Laplace por 
métodos numéricos. O Apêndice 3.4 apresenta os fundamentos do método das 
diferenças finitas, uma das abordagens mais utilizadas para este tipo de análise. 
 
Potencial magnético 
Analogamente ao que ocorre entre o potencial e o campo elétrico, também o 
campo magnético pode ser representado por uma função da posição espacial que 
está relacionada a alguma propriedade intrínseca deste campo. Segundo a Lei da 
Gauss para o campo magnético, o divergente da indução magnética é sempre 
nulo. De acordo com a identidade vetorial 0F =×∇⋅∇ r , válida para qualquer 
campo , podemos sempre encontrar uma função vetorial da posição espacial tal 
que a indução magnética seja obtida como o rotacional dessa função, ou seja: 
F
r
(3.51) ab
rr ×∇= 
Esta função é denominada de potencial magnético e sua unidade no Sistema 
Internacional é Tesla x metro [Tm] . O seu significado físico é muito menos óbvio 
do que o significado do potencial elétrico e por ora aceitaremos que o potencial 
magnético é apenas uma forma de simplificar o cálculo do campo magnético a 
partir de uma distribuição de corrente. Por exemplo, a partir da equação (2.34), 
podemos verificar que uma expressão geral para o potencial magnético de uma 
distribuição de corrente estática é dada por: 
a
r
(3.52) ∫∫∫ ′′−
′
π
μ=
′V
o vd
rr
)r(j
4
)r(a rr
rrrr
 
Além disso, podemos aplicar o rotacional em ambos os lados de (3.51) e obter 
com o uso da Lei de Ampere a seguinte expressão: 
 139
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(3.53) 
t
eja)a(ab 2 ∂
∂με+μ=∇−⋅∇∇=×∇×∇=×∇
rrrrrr
 
Contudo, a relação (3.51) não determina univocamente o potencial magnético, 
pois de acordo com a identidade 0=ϕ∇×∇ , é sempre possível acrescentar o 
gradiente de uma função escalar arbitrária à equação (3.52) e ainda continuar 
obtendo o valor correto para a indução magnética, ou seja: 
(3.54) ( ) aaab rrrr ×∇=φ∇×∇+×∇=φ∇+×∇= 
A não unicidade na definição do potencial magnético permite que se arbitre um 
valor conveniente para o a fim de simplificar o cálculo do próprio potencial 
magnético. No caso de campos estáticos (
a
r⋅∇
0
t
e =∂
∂r ), se escolhermos na 
equação (3.53), obteremos a seguinte expressão para o laplaciano do potencial 
magnético: 
0a =⋅∇ r
(3.55) ja o
2
rr μ−=∇ 
Em termos das componentes retangulares, esta equação se desdobra nas 
seguintes três equações: 
(3.56) 
zz
2
yy
2
xx
2
ja
ja
ja
μ−=∇
μ−=∇
μ−=∇
Convém ressaltar as semelhanças entre as equações (3.10) e (3.56). Cada 
componente ortogonal do potencial magnético depende da correspondente 
componente da densidade de corrente, do mesmo modo que o potencial elétrico 
depende da densidade de cargas. Assim, não é de se estranhar que as soluções 
para essas equações de Poisson para os potenciais elétrico e magnético não 
dependentes do tempo, dadas em (3.7) e (3.52), sejam complemente análogas. 
Uma extensão simples e muito útil da equação (3.52) para uma corrente em um fio 
com seção transversal muito pequena é obtida pela substituição . Assim, 
para uma corrente filamentar, o potencial magnético pode ser calculado por: 
Ldidvj
rr =
(3.57) ∫ ′−
′
π
μ=
′L
o
rr
Ldi
4
)r(a rr
r
rr
 
 140
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Exemplo 3.12 – Consideremos uma corrente circulando em uma espira quadrada. 
Vamos calcular o potencial magnético no plano da espira. A Figura 3.22 mostra a 
espira no plano z=0 e um sistema de referência onde a origem coincide com o 
centro geométrico do quadrado. Consideremos inicialmente o ramo em 2
cx −= . 
Os valores de , e r
r
r ′r Ld ′r são dados por: 
(Ex.102) yyxxr
))r += 
(Ex.103) yyx
2
cr ))r ′+−=′ 
(Ex.104) ( ) ( )22 yy2cxrr ′−++=′− rr 
(Ex.105) yydLd )
r ′=′ 
x
y
i2
c−
2
c
r ′r
rr ′− rr
Ld ′r
2
c
2
c−
r
r
)y,x(
x
y
i2
c−
2
c
r ′r
rr ′− rr
Ld ′r
2
c
2
c−
x
y
i2
c−
2
c
r ′r
rr ′− rr
Ld ′r
2
c
2
c−
y
i2
c−
2
c
r ′r
rr ′− rr
Ld ′r
2
c
2
c−
r
r
)y,x(
 
Figura 3.22 – Elementos para cálculo do potencial magnético da corrente em uma espira 
quadrada. 
 
Levando esses valores em (3.57), teremos: 
(Ex.106) ( ) ( )∫ ′−++
′
π
μ=
−
2
c
2
c 22
o
yy2
cx
ydyi
4
a )r 
 141
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A solução desta integral pode ser obtida com o uso de uma Tabela de integrais. O 
resultado fornece uma componente y do potencial vetorial da espira: 
(Ex.107) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+++−
+++++
π
μ=
22
22
o
y
2
cy2
cx2
cy
2
cy2
cx2
cy
Lni
4
aPara o ramo em 2
cx = , basta trocar o sinal da corrente e substituir o termo 
( )2cx + por ( )2cx − , isto é: 
(Ex.108) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+−+−
++−++
π
μ−=
22
22
o
y
2
cy2
cx2
cy
2
cy2
cx2
cy
Lni
4
a 
 O potencial total na direção y é a soma dos potenciais desses ramos. Portanto, a 
componente total do potencial magnético na direção y é dada por: 
(Ex.109) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++−++
−+−+−⋅
−+++−
+++++
π
μ=
22
22
22
22
o
y
2
cy2
cx2
cy
2
cy2
cx2
cy
2
cy2
cx2
cy
2
cy2
cx2
cy
Lni
4
a 
O potencial na direção x pode ser obtido de modo análogo. Para o ramo em 
2
cy = teremos: 
(Ex.110) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+−+−
++−++
π
μ=
22
22
o
x
2
cx2
cy2
cx
2
cx2
cy2
cx
Lni
4
a 
e para o ramo em 2
cy −= teremos: 
(Ex.111) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+++−
+++++
π
μ−=
22
22
o
x
2
cx2
cy2
cx
2
cx2
cy2
cx
Lni
4
a 
Com isso, o potencial total na direção x é dado por: 
 142
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(Ex.112) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+++++
−+++−⋅
−+−+−
++−++
π
μ=
22
22
22
22
o
x
2
cx2
cy2
cx
2
cx2
cy2
cx
2
cx2
cy2
cx
2
cx2
cy2
cx
Lni
4
a 
Uma vez obtido o potencial magnético no plano z=0, podemos calcular a 
componente z da indução magnética neste plano através da equação (3.51): 
(Ex.113) ( )
y
a
x
a
ab xyzz ∂
∂−∂
∂=×∇= r 
Este cálculo é deixado como exercício para o leitor. 
 
Exemplo 3.13 – Vamos obter agora o potencial magnético de uma espira circular 
plana. Os detalhes geométricos deste exemplo são mostrados na Figura 3.23. 
Temos então: 
(Ex.114) zzyyxxr
)))r ++= 
(Ex.115) ysenaxcosar
))r φ+φ=′ 
(Ex.116) zzy)senay(x)cosax(rr
)))rr +φ−+φ−=′− 
(Ex.117) )senycosx(a2azyxrr 2222 φ+φ−+++=′− rr 
(Ex.118) φφ=φφ+φ−=φφ
′=′ )))
rr
dada)ycosxsen(d
d
rdLd 
levando essas expressões na equação (3.57), teremos: 
(Ex.119) ∫ φ+φ−+++
φφπ
μ= π2
0 2222
o
)senycosx(a2azyx
d
4
ai
a
)r
 
Vemos que o potencial está sempre orientado na direção azimutal. A integral não 
tem solução analítica, mas é facilmente resolvida pelo método de integração 
numérica apresentado no Apêndice 1.2. 
 
Exemplo 3.14 – Consideremos um cabo coaxial transportando a corrente 
constante e vamos calcular a distribuição de potencial magnético no interior do 
cabo. A Figura 3.24 mostra o dispositivo. A corrente circula em um sentido no 
condutor interno e a mesma corrente circula no sentido inverso no condutor 
oi 
 143
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externo. Como a corrente é constante, ela se distribui uniformemente na área da 
seção transversal dos condutores. Portanto, a densidade de corrente no cabo é 
dada por: 
 
r
r
r′r
rr ′−r
φ φφ= )r daLd
)z,y,x(
x
y
z
r
r
r′r
rr ′−r
φ φφ= )r daLd
)z,y,x(
x
y
z
 
Figura 3.23 – Elementos para cálculo do potencial magnético de uma espira circular. 
 
(Ex.120) 
( ) csbparazbc ij
bsapara0j
asparaz
a
i
j
22
o
2
o
≤≤−π−=
≤≤=
≤π=
)r
r
)r
 
A fim de obter o potencial magnético, devemos resolver a equação de Poisson 
(3.55). Escrevendo o potencial em coordenadas cilíndricas zaasaa zs
)))r +φ+= φ e 
aplicando o operador laplaciano, teremos: 
(Ex.121) ( ) ( ) z22s22 azasaa ∇+φ∇+∇=∇ φ )))r 
O vetor unitário axial ( )z
)
 é constante e portanto pode sair do operando. O mesmo 
não ocorre com os vetores unitários radial e azimutal, que são variáveis com a 
posição. Mas, a densidade de corrente tem componente apenas na direção z. Por 
isso, podemos considerar nulas as componentes radial e azimutal do potencial 
magnético. Neste caso, a equação (3.55) pode ser escrita na forma escalar: 
(Ex.122) ja oz
2 μ−=∇
 144
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Substituindo o Laplaciano coordenadas cilíndricas, conforme dado no Apêndice 
2.1, termos: 
(Ex.123) j
z
aa
s
1
s
as
ss
1
o2
z
2
2
z
2
2
z μ−=∂
∂+φ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ 
a
b
c
oi z
s
a
b
c
oi z
s
 
Figura 3.24 – Cabo coaxial transportando corrente constante. Esquema para cálculo do potencial 
magnético. 
 
Contudo, uma vez que estejamos considerando um cabo longo e posições longe 
das extremidades, o potencial não varia com z. Além disso, em virtude da simetria 
azimutal, o potencial também não varia com o ângulo φ. Assim, a equação anterior 
pode ser reescrita na forma: 
(Ex.124) j
s
as
ss
1
o
z μ−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ 
Duas integrações em seqüência fornecem a seguinte solução geral para esta 
equação: 
(Ex.125) ( ) 212oz KsLnKs4
j
a ++μ−= 
Onde K1 e K2 são constantes a determinar. A fim de obter o potencial em cada 
região do cabo, devemos substituir o valor correspondente da densidade de 
corrente e as condições de contorno adequadas. 
Na região as ≤ o potencial se anula para s=0. Com isso, K1 e K2 são nulos. 
Substituindo o valor correto da densidade de corrente para esta região, obtemos: 
(Ex.126) 22
oo
z sa4
ia π
μ−= 
 145
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Na região , a densidade de corrente é nula. Sabendo que o potencial é 
contínuo através da superfície do condutor interno, podemos escrever a solução 
neste caso em uma forma um pouco diferente: 
bsa <<
(Ex.127) )a(a
a
sLnKa zz +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 
Onde é obtido de (Ex.126). A determinação da constante K deve atender a 
condição de continuidade do campo magnético tangencial à superfÍcie do 
condutor. No Apêndice 3.5, que trata das condições de continuidade em 
interfaces, demonstra-se que em uma interface que não contenha uma corrente 
superficial concentrada, o campo magnético tangencial é contínuo. No caso atual, 
a corrente no condutor está distribuída em toda a área da seção transversal, por 
isso esta condição de continuidade é válida. O campo magnético dentro do 
condutor pode ser calculado pelo rotacional do potencial dada em (Ex.126). 
Usando a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas dado no Apêndice 2.1 
e verificando que o potencial depende apenas da coordenada radial, teremos: 
)a(az
(Ex.128) φπ=φ∂
∂
μ−=×∇μ=
))rr
s
a2
i
s
a1a1h 2
oz
oo
1 
Fazendo o mesmo para o campo no espaço entre os condutores, usando a 
expressão (Ex.127), teremos: 
(Ex.129) φμ−=φ∂
∂
μ−=×∇μ=
))rr
s
K1
s
a1a1h
o
z
oo
2 
A condição de continuidade exige que )a(h)a(h 21 = . Desse modo, obtemos a 
constante K igualando (Ex.128) e (Ex.129): 
(Ex.130) π
μ−=
2
i
K oo 
Portanto, o potencial na região bsa << é dado por: 
(Ex.131) π
μ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
π
μ−=
4
i
a
sLn
2
i
a ooooz 
Na região , com a substituição do valor correto da densidade de corrente, 
e com o valor de dado por (Ex.131), podemos escrever o potencial 
magnético na forma: 
csb ≤≤
)b(az
 146
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(Ex.132) ( ) )b(a
b
sLnKbs
)bc(4
i
a z
22
22
oo
z +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛′+−−π
μ= 
Novamente, devemos aplicar a condição de continuidade do campo magnético na 
interface em s=b. O campo magnético na região bsa << é obtido a partirde 
(Ex.131): 
(Ex.133) φπ=φ∂
∂
μ−=×∇μ=
))rr
s2
i
s
a1a1h oz
oo
2 
e na região o campo magnético é calculado a partir de (Ex.132): csb ≤≤
(Ex.134) φ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
μ
′+−π−=φ∂
∂
μ−=×∇μ=
))rr
s
Ks
)bc(2
i
s
a1a1h
o
22
oz
oo
3 
Aplicando a condição , obtemos o valor da constante : )b(h)b(h 32 = K ′
(Ex.135) 22
2
oo
bc
c
2
i
K −π
μ−=′ 
Com isso, o potencial magnético na região csb ≤≤ é dado por: 
(Ex.136) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−−
−
π
μ= 1
a
bLn2
b
sLn
bc
c2
)bc(
bs
4
ia 22
2
22
22
oo
z 
Substituindo-se (Ex.135) em (Ex.134) e simplificando-se a expressão, obtemos o 
campo magnético na região csb ≤≤ : 
(Ex.137) φ−
−
π=
)r
22
22
o
3 bc
sc
s2
i
h 
A Figura 3.25 mostra os gráficos das distribuições radiais de densidade de 
corrente, potencial magnético e campo magnético no cabo coaxial. 
 
 
Potenciais Variáveis no Tempo 
Trataremos agora dos potenciais associados às fontes que variam com o tempo. 
De imediato devemos entender que nem as equações de Poisson nem as 
soluções (3.7) e (3.52) descrevem corretamente os potenciais dependentes do 
tempo. Para chegar a essa descrição, consideremos o caso geral de uma 
distribuição de carga e uma distribuição de corrente em um certo volume do 
 147
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espaço, ambas dependentes do tempo e correlacionadas pela equação de 
continuidade. A cada uma dessas distribuições podemos associar uma parcela do 
campo elétrico total em cada ponto do espaço. Se chamamos essas parcelas de 
, para a parcela associada a Lei de Coulomb e qe
r
ae
r
, a parcela associada a Lei de 
Faraday, o campo elétrico total será aq eee
rrr += . O campo é um campo 
conservativo e pode ser escrito na forma do gradiente do potencial escalar, ou 
seja, . O campo , por sua vez, tem rotacional não nulo, e de acordo 
com a Lei de Faraday, se relaciona com o potencial magnético pela expressão: 
qe
r
ϕ−∇=qer aer
(3.58) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂×−∇=×∇∂
∂−=∂
∂−=×∇
t
aa
tt
bea
rrrr
 
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014
-6
-4
-2
0
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014
0
50
100
150
200
)
Tm
10 (
a
7
z
−
)
m/
A(
h φ
a b c s (m)
s (m)
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014
-6
-4
-2
0
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014
0
50
100
150
200
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014
-6
-4
-2
0
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014
0
50
100
150
200
)
Tm
10 (
a
7
z
−
)
Tm
10 (
a
7
z
−
)
m/
A(
h φ
)
m/
A(
h φ
a b c s (m)
s (m) 
Figura 3.25 – Distribuições de potencial magnético e campo magnético em um cabo coaxial 
(a=1mm, b=10mm e c=11mm) onde circula uma corrente constante de valor 1A. 
 
 
 148
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Então, a menos do gradiente de um escalar arbitrário, que pode ser simplesmente 
anulado sem maiores implicações, vemos que o campo elétrico induzido pela 
variação de fluxo magnético é dado por: 
(3.59) 
t
aea ∂
∂−=
rr
 
Assim, o campo elétrico total pode ser escrito na forma: 
(3.60) 
t
ae ∂
∂−ϕ−∇=
rr
 
Voltemos agora à expressão (3.53) e substituímos o campo elétrico dado por 
(3.60) para obter: 
(3.61) 2
2
ooooo
2
t
a
t
ja)a( ∂
∂εμ−ϕ∇∂
∂εμ−μ=∇−⋅∇∇
rrrr
 
Como temos a possibilidade de arbitrar o valor do a
r⋅∇ , uma escolha que simplifica 
consideravelmente a equação anterior é a chamada condição de Lorentz: 
(3.62) 
t
a oo ∂
ϕ∂εμ−=⋅∇ r 
Esta condição aplicada em (3.61) elimina os termos dependentes do e a
r⋅∇ ϕ∇ , 
de modo que obtemos uma equação desacoplada para o potencial vetorial 
magnético na forma: 
(3.63) j
t
aa o2
2
oo
2
rrr μ−=∂
∂εμ−∇ 
Podemos também obter uma equação para o potencial elétrico substituindo (3.60) 
na equação da Lei de Gauss. 
(3.64) 
o
v2 a
tt
a
ε
ρ=⋅∇∂
∂−ϕ−∇=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−ϕ∇−⋅∇ r
r
 
Usando agora a condição de Lorentz para substituir o a
r⋅∇ , obtemos para o 
potencial elétrico uma equação equivalente à (3.63): 
(3.65) 
o
v
2
2
oo
2
t ε
ρ−=∂
ϕ∂εμ−ϕ∇ 
Portanto, as equações (3.63) e (3.65) determinam as distribuições espacial e 
temporal dos potenciais magnético e elétrico criados pelas fontes e j
r
vρ 
 149
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dependentes do tempo. Trata-se de equações de onda e por isso suas soluções 
bem como os campos elétrico e magnético que devem ser obtidos a partir dos 
potencias, de acordo com (3.51) e (3.60), são ondas que se propagam no espaço. 
Neste ponto, não estamos em condições de obter as soluções dessas equações. 
Esta questão será analisada mais tarde junto com o estudo das ondas 
eletromagnéticas. A Tabela 3.1 mostra um resumo das relações entre campos e 
potenciais. 
 
Tabela 3.1 – Quadro resumo das relações entre campos e potenciais 
 
Campos 
Estáticos 
 
ϕ−∇=er 
ab
rr ×∇= 
∫∫∫ ′′−
′ρ
πε=ϕ ′V
v
o
vd
rr
)r(
4
1)r( rr
rr
 
∫∫∫ ′′−
′
π
μ=
′V
o vd
rr
)r(j
4
)r(a rr
rrrr
 
 
Campos 
Variáveis 
t
ae ∂
∂−ϕ−∇=
rr
ab
rr ×∇= 
o
v
2
2
oo
2
t ε
ρ−=∂
ϕ∂εμ−ϕ∇ 
j
t
aa o2
2
oo
2
rrr μ−=∂
∂εμ−∇ 
 
 
Energia Eletromagnética 
As cargas interagem entre si através das forças elétrica e magnética, por isso, 
estabelecer uma distribuição de cargas e/ou de corrente no espaço envolve a 
realização de trabalho. Se o sistema considerado é globalmente não dissipativo, 
ou seja, se não existem forças de atrito modificando o movimento das cargas, toda 
a energia transferida durante a criação dessas distribuições de carga e corrente é 
armazenada no sistema formado pelos campos e pelas cargas. 
 
Densidade de energia elétrica 
Consideremos inicialmente o trabalho necessário para formar uma configuração 
espacial de cargas com determinada densidade volumétrica especificada. 
Suponha que estamos construindo essa configuração de cargas trazendo do 
 150
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infinito até a região do espaço em questão, quantidades incrementais de cargas 
 e espalhando no volume correspondente com uma densidade incremental qδ δρ 
(Figura 3.26). Como essas quantidade são muito pequenas, podemos considerar 
que a cada passo desse processo, o potencial elétrico em todo o espaço varia 
apenas de uma quantidade infinitesimal e, assim, o trabalho realizado para variar 
a densidade de carga no elemento de volume localizado na posição dv r
r
 do 
espaço, pode ser calculado pela expressão: 
(3.66) dv)r()r()W(d
rr δρϕ=δ 
A integração desta equação resulta no trabalho infinitesimal realizado para 
distribuir a carga dq em todo o espaço. 
(3.67) dv)r()r(W
V
∫∫∫ δρϕ=δ rr
r
r
V
dvδρ
)r(
rϕrr
V
dvδρ
)r(
rϕ
 
Figura 3.26 – Representação do processo de construção de uma distribuição de cargas trazendo 
quantidades infinitesimais de uma distância infinita para um volume especificado. 
 
Note que a carga total pode estar distribuída em um volume finito. Isso não 
impede de escrever a integral acima como sendo calculada em todo o espaço, 
uma vez que na região externa ao volume efetivamente ocupado pelas cargas a 
integral (3.67) se anula. Desde que a carga é continuamente trazido do infinito 
para o volume considerado, o trabalho total para construir a distribuição final de 
cargas é obtido pela integração de (3.67) nodomínio do tempo. Mas, como a 
densidade de carga é uma função do tempo, podemos realizar essa integração na 
própria variável ρ . Assim, temos: 
 151
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(3.68) dvW
V 0
∫∫∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∫ δρϕ=
ρ
O integrado nesta equação pode ser então considerado uma densidade 
volumétrica de energia armazenada no sistema de cargas e campo. Para uma 
distribuição de cargas no vácuo, o potencial é proporcional à densidade de carga. 
Assim, o integrando em (3.68) tem um resultado simples: 
(3.69) ρϕ=∫ δρϕ
ρ
2
1
0
 
 e, com isso, a energia total armazenada no sistema é dada por: 
(3.70) dv
2
1W
V
∫∫∫ ϕρ= 
Esta expressão nos faz pensar que a energia é armazenada apenas nas regiões 
do espaço onde existem cargas. Contudo, isso não é correto. Podemos obter uma 
expressão equivalente em termos do campo elétrico estabelecido pelas cargas 
que nos permite reinterpretar esse resultado. Usando a Lei de Gauss e a 
identidade vetorial ( ) ddd rrr δ⋅∇ϕ+δ⋅ϕ∇=ϕδ⋅∇ , podemos reescrever (3.70) na 
forma: 
(3.71) ( ) ∫∫∫ ϕ∇⋅δ−∫∫∫ δϕ⋅∇=∫∫∫ δ⋅∇ϕ=δ
VVV
dvd
2
1dvddvdW
rrr
 
Aplicando agora o teorema de Gauss para transformar a primeira integral em uma 
integral de superfície e substituindo a relação ϕ−∇=er , válida para campos 
estáticos, no segundo integrando, obtemos: 
(3.72) ∫∫∫ δ⋅+∫∫ ⋅δϕ=δ
VS
dvdesddW
rrrr
 
Mas, a superfície de integração deve conter todo o volume que, a princípio, é todo 
o espaço. Como não pode haver fluxo para fora de uma superfície infinita e, além 
disso, como o potencial deve se anular no infinito, a primeira integral é nula. 
Assim, obtemos a expressão da energia em todo o espaço como uma integral de 
volume dada por: 
(3.73) ∫∫∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∫ δ⋅=
V
d
0
dvdeW
rr
 
 152
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Esta energia está distribuída em todo o espaço, sendo mais concentrada onde o 
campo é mais intenso. O integrando nesta equação pode ser interpretado como a 
densidade volumétrica de energia elétrica armazenada no sistema: 
(3.74) ∫ δ⋅=
d
0
e dew
rr
No vácuo, o campo e a indução elétrica são proporcionais e (3.74) tem uma 
solução simples na forma: 
(3.75) 2o
o
2
e e2
1d
2
1ed
2
1w
r
r
rr ε=ε=⋅= 
 
Exemplo 3.15 – Uma esfera metálica isolada no ar, de raio R, é conectada a uma 
bateria de tensão Vo. Vamos calcular a energia total acumulada no carregamento 
da esfera. Por se tratar de um condutor, sabemos que a carga se acumula na 
superfície. Se a esfera está isolada, esta carga se distribui uniformemente em sua 
superfície e toda a carga está sujeita a um mesmo potencial. Assim, (3.70) tem um 
resultado simples dado por: 
(Ex.138) oe VQ2
1)R(Q
2
1W =ϕ= 
Trataremos de obter agora uma relação entre a carga total e o potencial na 
superfície da esfera. Esta relação define a capacitância da esfera e pode ser 
obtida como segue. Como sabemos, a carga distribuída uniformemente na 
superfície produz campo elétrico fora da esfera como se ela estivesse toda 
concentrada no centro geométrico da esfera. O potencial de uma carga pontual é 
dado pela equação (3.6). Assim, o potencial na superfície da esfera condutora 
carregada é dado por: 
(Ex.139) 
R4
QV)R(
o
o πε==ϕ → R4V
QC o
o
πε== 
Onde C é a capacitância da esfera (A relação entre a carga total e o potencial da 
esfera). Substituindo em (Ex.138), obtemos: 
(Ex.140) 2oo
2
oe VR2CV2
1W πε== 
 153
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Exemplo 3.16 – Um cabo coaxial é carregado por uma diferença de potencial Vo 
entre os condutores interno e externo. Vamos calcular a energia acumulada por 
unidade de comprimento do cabo. O potencial elétrico entre os condutores em um 
cabo coaxial foi calculado no exemplo (3.7), e é repetido aqui por conveniência: 
(Ex.141) ( ) )bs(LnbaLn
V
)s( o=ϕ 
onde a e b são os raios dos condutores interno e externo, respectivamente. O 
campo elétrico entre os condutores pode ser calculado a partir da relação 
ϕ−∇=er . Isto resulta em: 
(Ex.142) ( )ssbaLn
V
s
s
e o
))r −=∂
ϕ∂−= 
Com isso, a densidade de energia armazenada no cabo, segundo (3.75), é dada 
por: 
(Ex.143) ( ) 22
2
oo2
oe
sb
aLn2
V
e
2
1w
ε=ε= r 
onde supomos que o isolante no cabo tenha permissividade igual à do vácuo. Isto 
é apenas uma aproximação, e sempre será necessário calcular uma parcela de 
energia adicional devido à polarização do material, mas isto será considerado 
apenas no próximo capítulo. Para obter a energia armazenada por unidade de 
comprimento do cabo devemos fazer uma integração de (Ex.143) no volume 
correspondente a um comprimento unitário. O volume diferencial neste caso pode 
ser descrito por , onde L é um comprimento arbitrário. A energia é 
então dada por: 
dsLs2dV π=
(Ex.144) ( ) ( ) LbaLn
V
s
dsL
b
aLn
VdsLws2W
2
oo
b
a2
2
oo
b
a
ee
πε=∫πε=∫ π= 
Então, a energia por unidade de comprimento no cabo coaxial é dada por: 
(Ex.145) ( )baLn
V
W
2
oo
e
πε= 
 154
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Exemplo 3.17 – Na expressão (Ex.140) a energia total armazenada foi expressa 
em função da capacitância do condutor. Este não é um resultado particular. De 
fato, em qualquer sistema de dois condutores é possível definir a relação entre a 
carga acumulada na superfície e a diferença de potencial entre os condutores 
através da capacitância. Como a superfície dos condutores é equipotencial, 
qualquer variação de carga está associada a uma variação de potencial dV , 
por meio de: 
dq
(Ex.146) dVCdq =
e a variação da energia acumulada é dada por: 
(Ex.147) dVVCdqVdWe ==
A integração desta equação no intervalo de tempo no qual o potencial varia de seu 
valor inicial 0 até o valor final Vo leva ao resultado bem conhecido para a energia 
armazenada em um capacitor: 
(Ex.148) oe CV2
1W = 
Este resultado é completamente geral e independente da forma dos condutores. 
 
Densidade de energia magnética 
Consideremos agora o trabalho que as fontes externas realizam para estabelecer 
uma distribuição de corrente. Ao se estabelecer uma distribuição de corrente no 
espaço, a variação do fluxo magnético produzido gera força eletromotriz que se 
opõem à variação da corrente. Assim, as fontes externas realizam trabalho para 
superar o campo elétrico induzido. Consideremos uma distribuição de corrente 
representada por espiras elementares conforme mostrado na Figura 3.27. Se, em 
uma espira de volume infinitesimal está circulando uma carga durante um 
intervalo de tempo e, em virtude da indução magnética, existe uma força 
eletromotriz nos extremos do circuito, o trabalho infinitesimal realizado pode 
ser calculado por: 
qδ
tδ
ϕd
 
 155
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ϕd
mφ
i
)r(j
rr
r
r
V
ϕd
mφ
i
)r(j
rr
r
r
ϕd
mφ
i ϕd
mφ
i
)r(j
rr
r
r
V
 
Figura 3.27 – Representação do processo de construção de uma distribuição de corrente em um 
volume especificado. 
 
(3.76) )d(itdidq)dW( mφδ=δϕ=ϕδ=δ 
onde i é a corrente na espira infinitesimal e ( )mdφδ é a variação do fluxo 
magnética nessa espira no intervalo de tempo considerado. Mas, usando o 
teorema de Stokes podemos escrever o fluxo magnético como função do potencial 
magnético: 
(3.77) ∫ ⋅=∫∫ ⋅×∇=∫∫ ⋅=φ
CSS
m Ldasdasdb
rrrrrr
 
e um fluxo infinitesimal pode, então, ser dado por: 
(3.78) Ldad m
rr ⋅=φ
Com isso em (3.76) e considerando