Unidade 1 e 2 Conjuntos e Relaes(1)

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Unidades 1 e 2 
Conjuntos e Relações 
 
 
1.1 Noção intuitiva de conjuntos 
 
A noção de conjuntos, fundamental na Matemática de nossos dias, não é suscetível 
de definição precisa a partir de noções mais simples, ou seja, é uma noção primitiva, 
introduzida pelo matemático russo GEORG CANTOR (1845 – 1918). 
 
Intuitivamente, sob a designação de conjunto entendemos toda coleção bem definida 
de objetos (chamados os elementos do conjunto), não importa de que natureza, 
considerados globalmente. 
 
Segundo GEORG CANTOR: “Chama-se conjunto o grupamento num todo de 
objetos, bem definidos e discerníveis, de nossa percepção ou de nosso entendimento, 
chamados os elementos do conjunto”. 
 
Em Matemática definem-se e estudam-se conjuntos de números, de pontos, de retas, 
de curvas, de funções, etc. Exemplos de conjuntos: 
 
• O conjunto dos livros da área de contabilidade de uma biblioteca, 
• O conjunto dos pontos de um plano, 
• O conjunto das letras da palavra “Contabilidade”, 
• O conjunto dos conselhos regionais de contabilidade (CRC) existentes no 
Brasil, 
• O conjunto dos escritórios de contabilidade da região sul, 
• O conjunto dos professores, alunos e servidores técnicos administrativo do 
Departamento de Ciências Contábil da UFSC. 
 
� Notação dos conjuntos 
 
Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a seguinte notação: 
a) Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: , , ,..., , ,A B C X Y Z ; 
b) Os elementos são indicados por letras minúsculas: , , ,..., , ,a b c x y z . 
 
O conjunto A cujos elementos são , , ,...a b c representa-se pela notação: 
{ }, , ,...A a b c= 
que se lê: “ A é o conjunto cujos elementos são , , ,...a b c ”. Por exemplo, 
 
(i) Conjunto dos nomes dos dias da semana que começam pela letra s: 
{ }, ,segunda sexta sábado 
 
 2
(ii) Conjunto das disciplinas da segunda fase do curso de ciências contábeis da 
UFSC, conforme novo currículo: 
{ }, , ,matemática financeira direito comercial estatística contabilidade II . 
 
(iii) Conjunto dos nomes dos cursos do Centro Sócio Econômico da UFSC: 
{ }, , ,admistração ciências contábeis ciências econômicas serviço social . 
 
� Conjuntos numéricos fundamentais 
 
a) Conjunto dos naturais 
Notação: { }0,1,2,...=� . 
 
b) Conjunto dos inteiros 
Notação: { }..., 3, 2, 1,0,1, 2,3,...= − − −� . 
 
c) Conjunto dos racionais 
Notação: , 0
p
p q e q
q
 
= ∈ ≠ 
 
� � . 
 
d) Conjunto dos irracionais 
Notação: Ι . 
 
e) Conjunto dos reais. 
Notação: � , onde = Ι� � U . 
 
 
� Relação de pertinência 
 
Para indicar que um elemento x pertence ou não a um conjunto A , escreve-se 
simbolicamente: x A∈ e x A∉ e que se lê: x pertence a A e x não pertence a A . Esta 
notação é devida ao matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932). 
 
 
� Determinação de um conjunto 
 
Um conjunto é bem determinado quando se sabe quais são os elementos que o 
constituem. Um conjunto pode ser definido por um dos seguintes modos: 
 
a) Por extensão – Consiste em enumerar ou listar os seus elementos, colocados entre 
chaves. Por exemplo, { }, , , ,A a e i o u= e { }1,3,5,7B = . 
 
b) Por compreensão – Consiste em mencionar uma propriedade característica de 
seus elementos. Por exemplo, { }A x x é positivo= ∈� . 
 3
 
c) Diagrama de Euler-Venn – A fim de facilitar o entendimento de certas definições 
e demonstrações da Teoria dos Conjuntos, é muito útil a representação de um 
conjunto por um recinto plano delimitado por uma linha fechada qualquer. Uma 
tal representação recebe o nome de diagrama de Eule-Venn. 
 
Exemplo 1. A figura abaixo é o diagrama de Euler-Venn dos conjuntos: 
 
{ } { }1,2,3, 4 1, 2,5,7A e B= = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.1 
 
� Conjuntos: Vazio, unitário, finito e infinito 
 
a) Conjunto vazio. É todo conjunto que não possui nenhum elemento. 
Notação: { } ou φ . 
Exemplo 2. 
(i) { }homem e é mulherA x x é x φ= = . 
(ii) { }9 10B x x φ= ∈ < < =� . 
 
b) Conjunto unitário. É todo conjunto constituído de um único elemento. 
 
Exemplo 3. 
1) O conjunto das raízes da equação 2 1 7x + = : Resposta: { }3 . 
2) { } { }3 5 4A x x= ∈ < < =� . 
 
Observação. Uma correspondência entre dois conjuntos A e B é dita biunívoca se cada 
elemento do conjunto A está associado a um só elemento do conjunto B e vice-versa. 
 
Exemplo 4. 
{ }
{ }
, , ,
1, 2, 3, 4
A x t y z
B
=
=
bb bb 
c) Conjunto finito. Um conjunto A é dito finito quando existe n∈� tal pode-se 
estabelecer uma correspondência biunívoca entre os elementos do conjunto A e 
os elementos do conjunto { }1,2,3,...,B n= . 
3 
4 1 
2 5 
7 
A 
B 
 4
 
Exemplo 5. O conjunto { }0,2,4,6A = é finito, pois, 
{ }
{ }
0, 2, 4, 6
1, 2, 3, 4 .
A
B
=
=
bbbb 
 
d) Conjunto infinito. É todo conjunto que contém um número infinito de elementos. 
Por exemplo, { }0,2, 4,6,8,...M = é um conjunto infinito. 
 
e) Conjunto universo. É o conjunto que contém todos os elementos utilizados num 
determinado assunto. 
 
Notação: U 
 
Exemplo 6. Seja U = � . Ao procurarmos as raízes reais de algumas equações temos: 
 
Equação raíz real 
2 0x − = 2 
2 1 0x + = Não tem raiz 
real 
2 2 3 0x x+ − = 1 e 3− 
 
 
� Igualdade entre dois conjuntos 
 
O conjunto A é igual ao conjunto B , se e somente se A está contido em B e B está 
contido em A . 
 
Simbolicamente: 
A B A B e B A= ⇔ ⊂ ⊂ . 
 
� Família de conjuntos ou coleção de conjuntos 
 
É um conjunto cujos elementos também são conjuntos, por exemplo, o conjunto 
 
{ } { } { }{ }3,4 , 1, 2 , 1D = − − , 
Observe que { }3,4 D− ∈ , { }1, 2 D− ∈ e { }1 D∈ . 
 
 
� Relação de inclusão 
 
Dizemos que um conjunto A está contido em um conjunto B , se, e somente se, todo 
elemento de A é também elemento de B . 
 5
Notação: A B ou B A⊂ ⊃ . 
 
Simbolicamente: A B x A x B⊂ ⇔∀ ∈ ⇒ ∈ . 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 
 
Observação: 
(i) ,A Aφ∀ ⊂ . 
(ii) Quando A B⊂ , dizemos que A é um subconjunto de B . 
 
 
� Conjunto das partes de um conjunto 
 
É o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A . 
 
Notação: ( )P A . 
 
Exemplo 7. Seja o conjunto { }2,3,4A = , logo 
{ } { } { } { } { } { }{ }( ) , 2 , 3 , 4 , 2,3 , 2,4 , 3,4 ,P A Aφ= . 
 
O número de elementos de ( )P A é 8. 
 
Observação. Todo conjunto finito A com n elementos tem 2n subconjuntos. 
 
 
1.2 Operações com conjuntos. 
 
� Intersecção de conjuntos 
 
Dados dois conjunto A e B , chamamos de intersecção de A com B , e anotamos por 
A BI , ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem 
simultaneamente a A e a B . 
 
Simbolicamente: 
A 
B 
 6
{ }A B x x A e x B= ∈ ∈I . 
 
Exemplo 8. Sejam os conjuntos { }2,3,6,8A = , { } { }2 7 3,4,5,6B x x= ∈ < < =� e 
{ }5C = . Assim, 
{ }3,6A B =I , A C φ=I e { }5B C =I . 
 
Observação: Quando A B φ=I , dizemos que A e B são disjuntos. 
 
� Propriedades 
 
Dados os conjuntos A e B , temos as seguintes propriedades da intersecção. 
 
P1 - A φ φ=I . 
P2 - A U A=I . 
P3 - A B B A=I I . (comutativa) 
P4 - ( ) ( )A B C A B C=I I I I . (associativa) 
P5 - A B A B A⊂ ⇔ =I . 
 
� União de conjuntos 
 
Dados dois conjunto A e B , chamamos de união ou reunião de A com B , e 
anotamos por A BU , ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a 
A ou a B . 
 
Simbolicamente: 
{ }A B x x A ou x B= ∈ ∈U . 
 
Exemplo 9. Sejam os conjuntos 
{ } { }4 0,1, 2,3,4A x x= ∈ ≤ =� , 
{ } { }2 7 2,3, 4,5,6B x x= ∈ ≤ < =� e 
{ }10,12C = . 
 
Assim, 
{ } { }0,1, 2,3,4,5,6 6A B x x= = ∈ ≤U � . 
{ }0,1, 2,3,4,10,12A C =U . 
{ }2,3, 4,5,6,10,12B C =U . 
 
� Propriedadesda união 
 
Dados os conjuntos ,A B e C , temos as seguintes propriedades da união. 
 
 7
P1 - A Aφ =U . 
P2 - A U U=U . 
P3 - A B B A=U U . (comutativa) 
P4 - ( ) ( )A B C A B C=U U U U . (associativa) 
P5 - A A B ou B A B⊂ ⊂U U . 
P6 - A B A B B⊂ ⇔ =U . 
P7 - ( ) ( ) ( )A B C A B A C=U I U I U . 
P8 ( ) ( ) ( )A B C A B A C=I U I U I . 
 
Observação. O número de elementos de ( ), ,A B n A BU U é dado por 
( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B= + −U I . 
 
� Conjunto complementar 
 
Seja A U⊂ . O conjunto complementar de A em relação U , é o conjunto dos 
elementos de U que não pertencem a A . 
 
Notação: 
( ) ', ( ), CUC A C A A e A . 
Simbolicamente: 
{ }CA x x U e x A= ∈ ∉ . 
 
Exemplo 10. Sejam os conjuntos 
 
{ } { }7 0,1, 2,3,4,5,6,7U x x= ∈ ≤ =� ; 
{ }0,1, 2,3A = e 
{ }2,4,6,7B = . 
Assim. 
{ }4,5,6,7CA = e { }0,1,3,5CB = . 
 
� Propriedades de complementação 
 
Dados os conjuntos A e B , temos as seguintes propriedades: 
 
P1 - ( )C Uφ = . 
P2 - ( )CU φ= . 
P3 - ( )( )
C
C
A A= . 
P4 - CA A φ=I . 
P5 - CA A U=U . 
 8
P6 - ( )C C CA B A B=I U . 
P7 - ( )C C CA B A B=U I . 
 
As propriedades P6 e P7 são conhecidas como Leis de De Morgam. 
 
 
� Diferença de conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A e B , chamamos de diferença entre A e B , e anotamos por 
A B− , ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A e que não 
pertence a B . 
 
Simbolicamente: 
{ }A B x x A e x B− = ∈ ∉ . 
 
Usando o diagrama de Euler-Venn, vem 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 
 
Exemplo 11. 
(i) Sejam os conjuntos { }1,2,3, 4,5,6A = e { }4,5,6,7,8B = , assim 
{ }1,2,3A B− = e { }7,8B A− = . 
(ii) { } { } { }, , , ,a b c b c d a− = . 
(iii) { } { } { }, , , , , ,d e f a b c d e f− = . 
 
 
� Propriedades da diferença 
 
Dados os conjuntos A e B , temos as seguintes propriedades: 
 
P1 - A B A− ⊂ e B A B− ⊂ . 
P2 - CA B A B− = I . 
P3 - C CA B B A− = − . 
P4 - ( ) ( )CA B C A B C− =U I U . 
 
A B− 
A 
B 
 9
Observação: Dados os conjuntos A e B temos que 
( ) ( ) ( )n A B n A n A B− = − I . 
 
 
1.3 Reta numérica 
 
Uma maneira prática de representar os números reais é através da reta real. 
 
Observe que essa representação começa com a escolha de um ponto arbitrário, 
denominado origem ou ponto zero, e um outro ponto arbitrário a sua direita, o ponto 
1. A distância entre esses pontos (distância unitária) serve como escala por meio da 
qual é possível associar pontos da reta a números inteiros positivos ou negativos, 
como ilustrado na figura 1.4, e também a números racionais. Todos os números 
positivos estão à direta do zero, no “sentido positivo”, e todos os números negativos 
estão à sua esquerda. 
 
 
 
 
 Figura 1 
Figura 1.4 
 
� Intervalos 
 
São particularmente importantes alguns subconjuntos de � , denominados 
intervalos. Os intervalos podem ser limitados ou ilimitados. 
 
o Intervalos limitados 
 
(i) Fechado [ ] { },a b x a x b= ∈ ≤ ≤� . 
 
(ii) Aberto ( ) ] [ { }, ,a b a b x a x b= = ∈ < <� . 
 
(iii) Semi-abertos ( ] ] ] { }, , a b a b x a x b= = ∈ < ≤� ; 
[ ) [ [ { }, ,a b a b x a x b= = ∈ ≤ <� . 
 
o Intervalos ilimitados 
 
(i) Fechados [ ) [ [ { }, ,a a x x a+ ∞ = +∞ = ∈ ≥� ; 
( ] ] ] { } , ,b b x x b− ∞ = −∞ = ∈ ≤� . 
 
(ii) Abertos ( ) ] [ { }, ,a a x x a+ ∞ = +∞ = ∈ >� ; 
-3 -2 -1 0 1 2 3
 
3 2 
 10
 ( ) ] [ { } , ,b b x x b− ∞ = −∞ = ∈ <� . 
 
(iii) Aberto e fechado ] [( , ) ,−∞ +∞ = −∞ +∞ = � . 
 
Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender 
aos exercícios propostos. 
 
Exercícios propostos - 1 
 
1) Observe as seguintes definições: 
(a) Triângulo é todo polígono de três lados; vamos chamar de T o conjunto 
dos triângulos. 
(b) Triângulo isósceles é todo triângulo que possui pelo menos dois lados de 
mesma medida; vamos chamar de I o conjunto dos triângulos isósceles. 
(c) Triângulo eqüilátero é todo triângulo que possui os três lados iguais; 
vamos chamar de E o conjunto dos triângulos eqüiláteros. 
(d) Triângulo retângulo é todo triângulo que possui um ângulo reto 90o ; 
vamos chamar de R o conjunto dos triângulos retângulos. 
 
Complete então com ⊂ ou ⊄ : 
 
(a) T ___ R 
(b) E ____ I 
(c) R _____ I 
(d) I ____ E 
(e) E ____ T. 
 
2) Observe as seguintes definições: 
 
• Quadrilátero é todo polígono de 4 lados; vamos chamar de U o conjunto dos 
quadriláteros. 
• Quadrado é todo quadrilátero que possui os 4 lados iguais e também os 4 
ângulos iguais; vamos chamar de Q o conjunto dos quadrados. 
• Retângulo é todo quadrilátero que possui os 4 ângulos retos; vamos chamar 
de R o conjunto dos retângulos. 
• Losango é todo quadrilátero que possui 4 lados congruentes; vamos chamar 
de L o conjunto dos losangos. 
• Trapézio é todo quadrilátero que possui pelo menos um par de lados 
paralelos; vamos chamar de T o conjunto dos trapézios. 
• Paralelogramo é todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos; 
vamos chamar de P o conjunto dos paralelogramos. 
 
Complete então com ⊂ ou ⊄ : 
(a) R ___ L 
(b) P ____ R 
 11
(c) L ____ U 
(d) U ____ T 
(e) T ____ Q 
(f) Q ___ P. 
 
3) Sejam os seguintes conjuntos: U dos quadriláteros; Q dos quadrados: R dos 
retângulos; L dos losangos; T dos trapézios e P dos paralelogramos. Determinar 
os seguintes conjuntos: 
a) Q U T; 
 b) L U Q; 
 c) P U U ; 
d) R I L. 
 
4) Dados dois conjuntos A e B , e sabendo-se que ( ) 23n A = , ( ) 37n B = e 
( ) 8n A B =I , determine ( )n A BU . 
 
5) Dois clubes A e B têm juntos 141 sócios. O clube B possui 72 sócios e os clubes 
possuem em comum 39 sócios. Determinar o número de sócios de A . 
 
6) Sendo { }, ,A x y z= , { }, ,B x w v= e { }, ,C y u t= , determinar os seguintes conjuntos: 
a) A B− ; 
b) B A− ; 
c) A C− ; 
d) C A− ; 
e) B C− ; 
f) C B− . 
 
7) Dados os conjuntos A e B , ( ) 18n A = , ( ) 21n B = e ( ) 7n A B =I . Determinar 
( ) ( )n A B e n B A− − . 
 
8) Sejam os conjuntos: { }é inteiro positivoA x x= , { }é par positivoB x x= e 
{ }é ímpar positivoC x x= . Determinar os conjuntos. 
a) B CU ; 
b) B CI ; 
c) B C− ; 
d) C B− ; 
e) ( )AC B ; 
f) ( )AC A . 
 
9) Dados os intervalos [ )1,4A = e ( ]2,8B = , determinar os seguintes conjuntos: 
a) A BU ; 
b) A BI ; 
c) A B− ; 
 12
d) B A− ; 
e) ( )C A� . 
 
10) Sejam os conjuntos { }1,2,3, 4A = e { }2,4,6,8B = . Determine o conjunto 
( ) ( )A B A B−U I . 
 
11) Sejam os conjuntos { }1,2,...,9U = , { }1,2,3, 4A = , { }2,4,6,8B = e { }3,4,5,6C = . 
Determinar: 
a) CA ; 
b) ( )CA CI ; 
c) B C− . 
 
12) Sejam { }, , , ,U a b c d e= , { }, ,A a b d= e { }, ,B b d e= , determinar: 
a) CA BI ; 
b) C CA BI ; 
c) C CB A− . 
 
13) Em cada caso, escreva o conjunto resultante com a simbologia de intervalo. 
a) { } { }1 3 2x x x x≥ − − < <I . 
b) { } { }2 0x x x x< ≥U . 
c) { } { }3 1 2x x x x− < ≤ >I . 
d) { } { }2 3 1x x x x− < ≤ <U . 
e) { } { }3 0 2 3x x x x− ≤ ≤ − < <I . 
 
Respostas: 
1) a) ⊄ b) ⊂ c) ⊄ d) ⊄ e) ⊂ . 
2) a) ⊄ b) ⊄ c) ⊂ d) ⊄ e) ⊄ f) ⊂ . 
3) a) T b) L c) U d) Q. 
4) 52. 
5) 108. 
6) a) { },y z b) { },w v c) { },x z d) { },u t e) { }, ,x w v f) { }, ,y u t . 
7) ( ) ( )11 14n A B e n B A− = − = . 
8) a) A b) φ c) B d) C e) C f) B . 
9) a) [ ]1,8 b) ( )2,4 c) [ ]1,2 d) [ ]4`,8 e) { }1 4x x ou x∈ < ≥� . 
10) { }1,3,6,8 . 
11) a) { }5,6,7,8,9 b) { }1,2,5,6,7,8,9 c) { }2,8 . 
12) a) { }e b) { }c c) { }a . 
13) a) [ )1,2− b) ( ),−∞ +∞ = � c) φ d) ( ],3−∞ e) ( ]2,0− . 
 
 13
 
1.4 Plano Cartesiano ou sistema de coordenadas cartesianas 
 
O plano cartesiano ou sistema de coordenadascartesianas é constituído de duas retas 
perpendiculares no plano uma é escolhida como sendo horizontal e outra como 
vertical. Essas retas interceptam num ponto 0 , chamado de origem. A reta horizontal 
é chamada eixo x e, a reta vertical é chamada eixo y . Uma escala numérica é 
colocada ao longo dos eixos x e y . Um ponto no plano pode ser representado de 
modo único no sistema de coordenadas por um par ordenado ( ),x y , onde x é o 
primeiro número e y é o segundo. 
 
 
Figura 1.5: O sistema de coordenadas cartesianas. 
 
O primeiro número é representado no eixo x e o segundo no eixo y . No par 
ordenado ( ),x y , x é chamado de abscissa ou coordenada x , y é chamado de 
ordenada ou coordenada de y , x e y conjuntamente são chamados de coordenadas 
do ponto P . O leitor está famializado com o plano cartesiano, conforme figura acima. 
 
Figura 1.6: Um par ordenado ( ),x y . 
 
A figura abaixo, mostra alguns pontos no plano cartesiano. 
 14
 
 
 
Figura 1.7: Alguns pontos do plano cartesiano. 
 
Observação. De um modo geral, se x e y são números reais distintos então ( ) ( ), ,x y y x≠ 
e ( ) { }, ,x y x y≠ . 
 
De tudo que vimos acima nos motiva a seguinte definição. 
 
Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A 
por B o conjunto A B× cujos elementos são todos os pares ordenados ( ),x y em que o 
primeiro elemento A e o segundo pertence a B . 
 
Simbolicamente: 
( ){ },A B x y x A e y B× = ∈ ∈ . 
 
O símbolo A B× lê-se: “ A cartesiano B ”. 
 
Exemplo 12. Dados os conjuntos { }1,3A = e { }2,4B = , temos 
( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 1,4 , 3, 2 , 3, 4A B× = . 
 
A representação gráfica de A B× no plano cartesiano é mostrada na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
 
1 3 
2 
4 
x 
y 
( )1, 4• 
( )1, 2• ( )3,2• 
( )3, 4• 
 15
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.8 
 
Exemplo 13. Dados os conjuntos { }1 5A x x= ∈ ≤ ≤� e { }2 4B x y= ∈ ≤ ≤� temos 
( ){ },A B x y x A e y B× = ∈ ∈ e a representação gráfica de A B× é representado pelo 
conjunto dos pontos de um retângulo conforme figura 1.9. 
 
Note que ( ){ },B A y x y B e x A× = ∈ ∈ é representado por um retângulo diferente 
do anterior, veja figura 1.10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
 
1 5 
2 
4 
x
 
y
 
A B×
 
0
 
2
1 
4 
1 
5 
x 
y 
B A× 
 16
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.10 
 
� Propriedades do produto cartesiano 
 
Dados os conjuntos ,A B e C , temos as seguintes propriedades do produto 
cartesiano. 
 
P1 - A relação A B φ× = é equivalente a A φ= ou B φ= . 
P2 - A relação A B B A× = × é equivalente a A φ= ou B φ= ou A B= . 
P3 - ( ) ( ) ( )A B C A B A C× = × ×I I e ( ) ( ) ( )A B C A C B C× = × ×I I . 
P4 - ( ) ( ) ( )A B C A B A C× = × ×U U e ( ) ( ) ( )A B C A C B C× = × ×U U . 
P5 - ( ) ( ) ( )A B C A B A C× − = × − × e ( ) ( ) ( )A B C A C B C− × = × − × . 
 
Observação. Se An é o número de elementos do conjunto A , Bn é o número de elementos do 
conjunto B então o número de elementos de A B× é dado por A Bn n× , ou seja, 
( ) A Bn A B n n× = × . 
 
1.4 Relação 
 
Consideremos os conjuntos { }1,2,3, 4A = e { }1,2,3,4,5,6,7,8B = . Sabemos que o 
produto cartesiano de A por B é o conjunto ( ){ },A B x y x A e y B× = ∈ ∈ , ou seja, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1, 2 ,..., 2,1 , 2, 4 ,..., 3,1 ,..., 3,6 , 4,1 ,..., 4,8A B× = . 
 
Vamos considerar agora o conjunto dos pares ( ),x y de tal que x é o dobro de y , e 
temos o seguinte conjunto 
 
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 2 1, 2 , 2, 4 , 3,6 , 4,8R x y A B y x= ∈ × = = 
 
que é chamado uma relação entre os elementos de A e B , ou, uma relação R de A 
em B . 
 
O conjunto R está contido em A B× e é formado pelos pares ( ),x y em que o 
elemento x A∈ é “associado” ao elemento y B∈ mediante certo critério de 
“relacionamento”. 
 17
 
Isto nos motiva a seguinte definição. 
 
Definição. Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B todo subconjunto R 
de A B× . O conjunto A é chamado conjunto de partida da relação R e o conjunto B é 
chamado conjunto de chegada da relação R . 
 
Quando o par ordenado ( ),x y pertence à relação R , anotamos por 
 x R y , que se lê “ x erre y ”, simbolicamente, vem ( ),x y R x R y∈ ⇔ . 
 
Exemplo 14. Sejam os conjuntos { }1,2,5,7A = e { }0,2,4,6,8B = . Escreva a relação 
( ){ },R x y A B x y= ∈ × > de A em B . 
 
Resolução: Os elementos de R são todos os pares ordenados de A B× nos quais o 
primeiro elemento é maior que o segundo, ou seja, são todos pares formados pela 
“associação” de cada elemento x A∈ com cada elemento y B∈ tal que x y> . 
Portanto, a relação pedida é 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,0 , 2,0 , 5,0 , 5, 2 5, 4 , 7,0 , 7,2 , 7, 4 , 7,6R = . 
 
Exemplo 15. Sejam os conjuntos { }2, 1,0,1,2A = − − e { }0,1, 2,3,4,5B = . Determine o 
número de elemento de A B× e escreva a relação ( ){ }2 2,R x y A B x y= ∈ × = . 
 
Resolução: Como o número de elementos de A é 5 e o número de elementos de B é 
6, logo o número de elementos de A B× é 5 6 30× = elementos. 
 
Agora, os elementos de R são todos pares ordenados de A B× no qual o quadrado 
do primeiro elemento é igual ao quadrado do segundo, ou seja, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,2 , 1,1 , 0,0 , 1,1 , 2,2R = − − . 
 
Exemplo 16. Sejam os conjuntos { }6,8,10,12,14A = e ( ){ }, 4R x y A A y x= ∈ × = + . 
Escreva a relação R acima. 
 
Resolução: Os elementos de R são todos pares ordenados de A A× no qual o 
segundo elemento é quatro unidades maior que o primeiro, portanto, a relação 
pedida é 
 
( ) ( ) ( ){ }6,10 , 8,12 , 10,14R = . 
 
Exemplo 17. Dados os conjuntos { }0,4,9,16A = e { }1,2,3, 4B = . Escreva a relação R 
definida por ( ){ },R x y A B y x= ∈ × = + . 
 18
 
Resolução: Os elementos de R são todos pares ordenados de A B× no qual o 
segundo elemento é a raiz quadrada positiva do primeiro, portanto, a relação pedida 
é 
 
( ) ( ) ( ){ }4,2 , 9,3 , 16, 4R = . 
 
� Domínio e imagem de uma relação 
 
Definição: Seja R uma relação de A em B . Chama-se domínio de R , anotamos por 
( )D R , o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R . 
Chama-se imagem de R , anotamos por ( )Im R , o conjunto de todos os segundos elementos 
dos pares ordenados pertencentes a R . 
 
Exemplo 18. Dados os conjuntos { }3,4,7,8A = e { }4,5,6,8, 20, 21, 23B = . Determine 
( )D R e ( )Im R onde ( ){ }, é múltiplo de R x y A B y x= ∈ × . 
 
Resolução: Você escreve os elementos da relação R que são todos pares ordenados 
de A B× no qual o segundo elemento é múltiplo do primeiro, assim 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,6 , 3,21 , 4, 4 , 4,8 , 4,20 , 7, 21R = . 
 
Agora pela definição acima, vem 
( ) { }3,4,7D R = e ( ) { }Im 4,6,8, 20, 21R = . 
 
Exemplo 19. Dados os conjuntos { }1,2,3A = e { }2,3B = . Determine ( )D R e ( )Im R para 
a relação ( ){ }, 4R x y A B x y= ∈ × + > . 
 
Resolução: Calculando inicialmente A B× você tem 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 1,3 , 2, 2 , 2,3 , 3, 2 , 3,3A B× = . 
Assim, 
( ) ( ) ( ){ }2,3 , 3, 2 , 3,3R = . 
 
Portanto, 
( ) { }2,3D R = e ( ) { }Im 2,3R = . 
 
Exemplo 20. Seja o conjunto { }0 50A x x= ∈ ≤ ≤� . Determinar o ( )D R e ( )Im R onde 
( ){ }2 2,R x y A A A y x= ∈ × = = . 
 
Resolução: Calculando inicialmente 2A A A× = você tem 
 19
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){
( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
0,0 ,..., 0,50 , 1,0 ,..., 1,50 , 3,0 ,...
3,9 ,..., 3,50 ,..., 7,0 ,..., 7,49 , 7,50
A A× =
. 
 
Agora, você escreve os elementos da relação R que são todos pares ordenados de 
A A× no qual o segundo elemento é o quadrado do primeiro,assim 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,1 , 2,4 , 3,9 , 4,16 , 5,25 , 6,36 , 7, 49R = . 
 
Agora pela definição acima, vem 
( ) { }0,1,2,3, 4,5,6,7D R = 
e 
( ) { }Im 0,1, 4,9,16, 25,36, 49R = . 
 
� Relação inversa 
 
Definição: Dada uma relação R de A em B , consideremos o conjunto 
 
( ) ( ){ }1 , ,R y x B A x y R− = ∈ × ∈ . 
Como 1R− é subconjunto de B A× , então 1R− é uma relação de B em A à qual 
definimos por relação inversa de R . 
 
Dessa definição decorre que 1R− é o conjunto dos pares ordenados de R invertendo-
se a ordem dos termos de cada par. 
 
Observação: O par ( ),x y R∈ , se e somente se ( ) 1,y x R−∈ . 
 
Exemplo 21. Dados os conjuntos { }2,3, 4,5A = e { }1,3,5,7B = e a relação R definida por 
( ){ },R x y A B x y= ∈ × < . 
Determine: 
(i) ( ) ( ), ImR D R e R . 
(ii) ( ) ( )1 1 1, ImR D R e R− − − . 
 
Resolução: Você calcula inicialmente A B× , assim 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,1 , 2,3 ,..., 2,7 , 3,1 , 3,3 ,..., 4,1 ,..., 4,7 , 5,1 ,..., 5,7A B× = 
e 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 3, 2 ,..., 7,2 , 1,3 , 3,3 ,..., 1, 4 ,..., 7,4 , 1,5 ,..., 7,5B A× = . 
 
Agora, para responder a letra (i), os elementos da relação R são todos pares 
ordenados de A B× no qual o primeiro elemento é menor que o segundo, assim 
 
 20
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,3 , 2,5 , 2,7 , 3,5 , 3,7 , 5,7R = . 
Logo, 
( ) { }2,3,5D R = e ( ) { }Im 3,5,7R = . 
 
Para responder a letra (ii), vem 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 3,2 , 5,2 , 7,2 , 5,3 , 7,3 , 7,5R− = ; 
 
( ) { } ( )1 3,5,7 ImD R R− = = ; 
e 
( ) { } ( )1Im 2,3,5R D R− = = . 
 
Exemplo 22. Sejam os conjuntos { }0,1, 2,5A = e { }2, 1,0,1,2B = − − e a relação R definida 
por 
( ){ }, 1R x y A B y x= ∈ × = + − . 
Determine: 
(i) ( ) ( ), ImR D R e R . 
(ii) ( ) ( )1 1 1, ImR D R e R− − − . 
Resolução: (i) Para cada elemento x A∈ você associa o elemento y B∈ , tal que 
1y x= + − , ou seja, 
para 0x = vem 0 1 1y = + − = + − e ( )0, 1 R+ − ∉ ; 
para 1x = vem 1 1 0 0y = + − = + = e ( )1,0 R∈ ; 
para 2x = vem 2 1 1 1y = + − = + = e ( )2,1 R∈ ; 
para 5x = vem 5 1 4 2y = + − = + = e ( )5,2 R∈ . 
 
Assim, para responder a letra a, vem 
 
( ) ( ) ( ){ }1,0 , 2,1 , 5,2R = , 
( ) { }1,2,5D R = 
e 
( ) { }Im 0,1,2R = . 
 
Agora, para responder (ii), você tem 
 
( ) ( ) ( ){ }1 0,1 , 1, 2 , 2,5R− = , 
( ) { } ( )1 0,1, 2 ImD R R− = = 
e 
( ) { } ( )1Im 1,2,5R D R− = = . 
 21
 
Exemplo 23. Sejam { }1 5A x x= ∈ ≤ ≤� e { }2 10B y y= ∈ ≤ ≤� e a relação R definida 
por ( ){ }, 2R x y A B y x= ∈ × = . Representar, graficamente, no plano cartesiano R e 1R− . 
 
Resolução: Você tem o gráfico de que é o retângulo da figura 1.11 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.11 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico de 1R− é o retângulo da figura 1.12 abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
 
1 5 
2 
10 
x
 
y
 
0
 
2
1 
10 
1 
5 
x 
y 
 22
 
 Figura 1.12 
 
 
� Propriedades da relação inversa 
 
É fácil verificar as seguintes propriedades. 
 
P1 - ( ) ( )1 ImD R R− = . 
P2 - ( ) ( )1Im R D R− = . 
P3 - ( ) 11R R−− = . 
 
Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender 
aos exercícios propostos. 
 
Exercícios propostos – 2 
 
1. Dados os conjuntos { }1,3,5,7A = e { }1,5B = . Determinar: 
a) A BI , b) A B− , 
c) ( ) ( )A B A B× −I . 
 
2. O produto 2A A A× = é formado por 16 pares ordenados. Dois desses pares são 
( )0,5 e ( )2,3 . Determinar os outros 14 pares. 
 
3. Dados os conjuntos: { },A a b= , { }2,3B = e { }3,4C = . Determinar: 
a) ( )A B C× U , 
b) ( )A B C× I , 
c) ( )A B C× − , 
d) ( ) ( )A B A C× ×U , 
e) ( ) ( )A B A C× ×I . 
 
4. Calcular o produto cartesiano 
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 3 0 2 3 0x x x x x x∈ − ⋅ − = × ∈ − ⋅ − =� � . 
 
5. Calcular o produto { } { } { }1,2 2,3 4,5× × . 
 
6. Dado o conjunto { }1,0,1, 2,3,4A = − e a relação R definida por 
( ){ }, 3R x y A A x y= ∈ × + = . 
Determinar: 
a) R , 
 23
b) ( )D R , 
c) ( )Im R 
 
7. Sejam os conjuntos { }0,1, 2,3, 4A = e { }1,2,4,8,16B = . Escreva simbolicamente a 
relação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,1 , 1, 2 , 2, 4 , 3,8 , 4,16R = de A em B . 
 
8. Consideremos as relações 
( ){ }, 5R x y x y= ∈ × + =� � e ( ){ }, 2 7S x y x y= ∈ × + =� � . 
Determinar R SI . 
 
9. Sejam os conjuntos { }1,4,9A = e { }2,2,3B = − e a relação 
( ){ }, 6R x y A B x y= ∈ × + ≤ . 
Determine: 
a) R , 
b) ( )D R , 
c) ( )Im R . 
d) ( ) ( )1 1 1, ImR D R e R− − − . 
 
10. Consideremos a relação ( ){ },R x y B A x y= ∈ × = + e os conjuntos { }1,4,9A = e 
{ }2,2,3B = − . 
 
11. Determine: 
a) R , 
b) ( )D R , 
c) ( )Im R . 
 
12. Escreva a relação R , ( )D R e ( )Im R de 
a) ( ){ }2,R x y y x= ∈ × = =� � � . 
b) ( ){ }2 2,R x y y x= ∈ =� . 
 
13. Represente simbolicamente cada uma das relações abaixo definidas em 
2× =� � � através de uma lei que relacione ou associe x e y . 
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,3 , 2,6 , 3,9 , 4,12 ,...R = , 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,0 , 3,1 , 4,2 , 5,3 , 6, 4 ,...R = 
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,1 , 2,8 , 3, 27 , 4,64 ,...R = . 
 
14. Sejam os conjuntos [ )2,A = − +∞ e ( ]1,5B = . Determine graficamente A B× . 
 
 24
15. Dados os conjuntos { }1,1,3,5A = − e { }4, 2,0, 2,4B = − − a relação definida por 
( ){ }, 0R x y A B x y= ∈ × + < . 
Determine: 
a) R , ( )D R e ( )Im R . 
b) ( ) ( )1 1 1, ImR D R e R− − − . 
 
Respostas: 
 
1. a) { }1,5 , b) { }3,7 , c) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,7 , 5,3 , 5,7 . 
 
2. 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0,0 2,0 3,0 5,0
0, 2 2,2 3, 2 5, 2
0,3 2,3 3,3 5,3
0,5 2,5 3,5 5,5
. 
 
3. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 2 , ,3 , , 4 , , 2 , ,3 , , 4a a a b b b . b) ( ) ( ){ },3 , ,3a b . 
c) ( ) ( ){ }, 2 , , 2a b . d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 2 , ,3 , , 4 , , 2 , ,3 , , 4a a a b b b . e) ( ) ( ){ },3 , ,3a b . 
 
4. ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 1,3 , 3,2 , 3,3 . 
 
5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2,4 , 1, 2,5 , 1,3,4 , 1,3,5 , 2,2,4 , 2,2,5 , 2,3, 4 , 2,3,5 . 
 
6. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,4 , 0,3 , 1, 2 , 2,1 , 3,0 , 4, 1− − . b) A . c) A . 
 
7. ( ){ }, 2xR x y A B y= ∈ × = . 
 
8. ( ){ }2,3 . 
 
9. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 2 , 1, 2 , 1,3 , 4, 2 , 4,2R = − − . 
b) ( ) { }1,4D R = .c) ( ) { }Im 2,2,3R = − . 
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2,1 , 2,1 , 3,1 , 2, 4 , 2,4R− = − − , ( ) { }1 2,2,3D R− = − e ( ) { }1Im 1,4R− = . 
 
10. a) ( ) ( ) ( ){ }2,4 , 2,4 , 3,9R = − . b) ( ) { }2,2,3D R = − . c) ( ) { }Im 4,9R = . 
 
11. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 ,..., , ,...R x x= ; ( ) ( )ImD R R= = � . 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }20,0 , 1,1 , 2,4 , 3,9 , 4,16 , 5, 25 ,..., , ,...R x x= ; ( )D R = � e 
( ) { }2Im 0,1,4,9,25,..., ,...R x= . 
 
 25
12. a) ( ){ }2, 3R x y y x= ∈ =� , 
b) ( ){ }2, 2R x y y x= ∈ = −� , 
c) ( ){ }2 3,R x y y x= ∈ =� . 
 
13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.13 
 
14. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 4 , 1, 2 , 1,0 , 1, 4 , 1, 2 , 3, 4R = − − − − − − − − ; ( ) { }1,1,3D R = − e 
( ) { }Im 4, 2,0R = − − . 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 4, 1 , 2, 1 , 0, 1 , 4,1 , 2,1 , 4,3R− = − − − − − − − − ; ( ) { }1 4, 2,0D R− = − − e 
( ) { }1Im 1,1,3R− = −
0
 
1
5 
x
 
y
 
A B× 
2− 
 26