OBTENÇÃO DO MÁXIMO MOMENTO DISPONÍVEL DE PRIMEIRA ORDEM EM PILARES ESBELTOS

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CELSO AUGUSTO PISSINATTI CARDOSO 
 
 
 
 
OBTENÇÃO DO MÁXIMO MOMENTO DISPONÍVEL DE 
PRIMEIRA ORDEM EM PILARES ESBELTOS DE SEÇÃO 
CIRCULAR E ANELAR COM 𝐟𝐜𝐤 ATÉ 90 MPa, 
COMPARANDO MÉTODOS APROXIMADOS COM 
MÉTODOS EXATOS 
 
 
 
 
 
 
 
Londrina 
2017 
 
 
 
 
 
 
CELSO AUGUSTO PISSINATTI CARDOSO 
 
 
 
OBTENÇÃO DO MÁXIMO MOMENTO DISPONÍVEL DE 
PRIMEIRA ORDEM EM PILARES ESBELTOS DE SEÇÃO 
CIRCULAR E ANELAR COM 𝐟𝐜𝐤 ATÉ 90 MPa, 
COMPARANDO MÉTODOS APROXIMADOS COM 
MÉTODOS EXATOS 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado 
ao curso de Engenharia Civil da Universidade 
Estadual de Londrina, como requisito parcial à 
obtenção do título de Bacharel em Engenharia 
Civil. 
Orientador: Prof. Dr. Roberto Buchaim 
 
 
 
 
 
 
Londrina 
2017 
 
 
CELSO AUGUSTO PISSINATTI CARDOSO 
 
 
OBTENÇÃO DO MÁXIMO MOMENTO DISPONÍVEL DE 
PRIMEIRA ORDEM EM PILARES ESBELTOS DE SEÇÃO 
CIRCULAR E ANELAR COM 𝐟𝐜𝐤 ATÉ 90 MPa, 
COMPARANDO MÉTODOS APROXIMADOS COM 
MÉTODOS EXATOS 
 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado 
ao curso de Engenharia Civil da Universidade 
Estadual de Londrina, como requisito parcial à 
obtenção do título de Bacharel em Engenharia 
Civil. 
BANCA EXAMINADORA 
 
_____________________________________ 
Orientador: Prof. Dr. Roberto Buchaim 
Universidade Estadual de Londrina - UEL 
 
 
 
 
_____________________________________ 
Prof. Dr. Luiz Antônio S. de Sousa 
Universidade Estadual de Londrina - UEL 
 
 
 
 
_____________________________________ 
Prof. Dr. Paulo Sérgio Bardella 
Universidade Estadual de Londrina - UEL 
 
 
Londrina, 20 de Janeiro de 2017 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
Em primeiro lugar, agradeço a Deus pelo dom da vida, e a tudo que 
me proporcionou. 
Sou muito grato a meus pais Celso Cardoso e Vera Lucia Pissinatti, 
principalmente pela paciência e pela parte de suas vidas que foi dedicada ao meu 
desenvolvimento. 
Agradeço toda minha família, que fazem minha vida melhor do que 
eu seria capaz de fazer por mim mesmo. 
Agradeço ao professor Dr. Roberto Buchaim, principalmente pela 
paciência, dedicação, disponibilidade e por todo o conhecimento que foi transmitido. 
E, por fim, agradeço todos meus professores e amigos que 
contribuíram ou me influenciaram neste trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Os meios qualificam os fins” 
(Autor desconhecido) 
 
 
PISSINATTI, A. Celso. Obtenção do máximo momento disponível de primeira 
ordem em pilares esbeltos de seção circular e anelar com 𝐟𝐜𝐤 até 90 MPa, 
comparando métodos aproximados com métodos exatos. 2017. 74 p. Trabalho 
de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Civil) – Universidade Estadual 
de Londrina, Londrina, 2017. 
 
RESUMO 
 
Este trabalho trata do dimensionamento de pilares de concreto armado, biarticulados 
ou em balanço, com seções circulares cheias e vazadas, em flexão composta 
normal. Contemplam-se concretos C20 a C90. O pilar é destacado do pórtico 
espacial e reduzido equivalentemente ao pilar-padrão, tendo sua curvatura de 
primeira ordem corrigida, levando-se em consideração cada um dos casos de 
carregamento a que está submetido, isso para uma análise mais precisa da parcela 
de segunda ordem do momento solicitante total. Com esse propósito, 
desenvolveram-se planilhas em Microsoft Excel que possibilitam: (1) O 
dimensionamento de pilar esbelto biarticulado; (2) O dimensionamento de pilar 
esbelto em balanço; (3) Diagramas de interação no ELU Momento Fletor versus 
Força Normal na flexão composta normal pra concretos Grupos 1 e 2; (4) Diagramas 
Momento de Primeira Ordem Disponível em função da Força Normal de 
Compressão em Pilar Esbelto, para Deformada Senoidal. 
 
Palavras-chave: Seção circular. Seção anelar. Dimensionamento. Diagramas. Pilar. 
Efeito de segunda ordem. Concreto Armado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PISSINATTI, A. Celso. Maximum first order available moment in slender 
columns with circular and ring cross-sections. Normal and high strength 
concrete Groups. Comparisons between approximate and more precise 
methods. 2017. 74 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia 
Civil) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2017. 
 
ABSTRACT 
 
The present work deals with local analysis and dimensioning of either short and 
slender columns of circular and ring cross-sections, under combined axial load and 
bending. The range of concrete strength considered is fck = 20 − 90MPa. After the 
global analysis is concluded, each segment of the column, corresponding to a stock, 
is considered for local analysis and dimensioning using equivalently the model 
column. As a first approximation for the deformed shape of the column a sinusoidal 
curve is usually assumed. The real deformed shape of the column is considered for 
the most frequent load cases, such as imperfections of the longitudinal column axis, 
applied moments at its ends, uniform and concentrated transversal loads, which 
allow a more precise value of the second order moments due to slenderness of the 
column. Using EXCEL software, the results of this work are displayed in four parts, 
assuming constant cross-section and reinforcement: (1) columns with simply 
supported ends; (2) columns with clamped and free ends; (3) interactions diagrams 
moment-axial load in Ultimate Limit State; (4) interaction diagrams for maximum 
available first order moment–axial load in slender columns. 
 
Key-Words: Circular cross-section. Ring cross-section. Dimensioning. Diagrams. 
Column. Second order effect. Reinforced concrete. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
Figura 1 - Seção transversal esquemática, em flexão composta normal, submetida 
ao esforço normal e momento fletor .......................................................................... 17 
Figura 2 - Domínios de deformação das seções transversais no estado limite último
 .................................................................................................................................. 20 
Figura 3 - Estado de deformação nos domínios 1,2 e 3 ........................................... 21 
Figura 4 - Estado de deformação nos domínios 4, 4a e 5 ........................................ 22 
Figura 5 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas ........... 23 
Figura 6 - Diagrama tensão-deformação idealizado do concreto ............................. 25 
Figura 7 - Seção transversal, deformações e esforços na seção circular ou anelar. 28 
Figura 8 - Seção metálica, deformações e esforços na seção circular ou anelar ..... 29 
Figura 9 - Transformação do lance em pilar padrão e deformações ........................ 32 
Figura 10 - Imprecisões geométricas locais ............................................................. 33 
Figura 11 - Principais tipos de carregamento ........................................................... 35 
Figura 12 - Exemplo de dimensionamento de pilar biapoiado de seção circular cheia
 .................................................................................................................................. 40 
Figura 13 - Convenção das medidas da seção ........................................................ 41 
Figura 14 - Convenção dos esforços para cada condição de apoio, biapoiado e 
engastado-livre respectivamente ............................................................................... 42 
Figura 15 - Verificaçãodo dimensionamento do pilar proposto, pelo programa PCalc 
1.4 ............................................................................................................................. 43 
Figura 16 – Dados para geração de ábaco de dimensionamento de seções ........... 46 
Figura 17 - Ábaco de dimensionamento da seção do pilar proposto ........................ 47 
Figura 18 - Dados de entrada para verificação da seção cheia, fck = 40 MPa ......... 48 
Figura 19 - Verificação da seção cheia, fck = 40 MPa, 40 ∅ 10 mm ........................ 48 
Figura 20 - Verificação da seção cheia, fck = 40 MPa, 40 ∅ 12,5 mm ...................... 49 
Figura 21 - Verificação da seção cheia, fck = 40 MPa, 40 ∅ 16 mm ........................ 49 
Figura 22 - Verificação da seção cheia, fck = 40 MPa, 40 ∅ 20 mm ........................ 50 
Figura 23 - Verificação da seção cheia, fck = 40 MPa, 40 ∅ 25 mm ........................ 50 
Figura 24 - Dados de entrada para verificação da seção vazada, fck = 40 MPa ...... 51 
Figura 25 - Verificação da seção vazada, fck = 40 MPa, 40 ∅ 6,25 mm .................. 51 
Figura 26 - Verificação da seção vazada, fck = 40 MPa, 40 ∅ 8 mm ....................... 52 
Figura 27 - Verificação da seção vazada, fck = 40 MPa, 40 ∅ 10 mm ..................... 52 
Figura 28 - Verificação da seção vazada, fck = 40 MPa, 40 ∅ 12,5 mm .................. 53 
Figura 29 - Verificação da seção vazada, fck = 40 MPa, 40 ∅ 16 mm ..................... 53 
Figura 30 - Máximo momento de primeira ordem ..................................................... 55 
Figura 31 - Máximo momento de primeira ordem disponível do pilar proposto ........ 56 
Figura 32 - Dados de entrada para verificação da seção cheia, fck = 80 MPa ......... 60 
Figura 33 - Verificação da seção cheia, fck = 80 MPa, 40 ∅ 10 mm ........................ 60 
Figura 34 - Verificação da seção cheia, fck = 80 MPa, 40 ∅ 12,5 mm ...................... 61 
Figura 35 - Verificação da seção cheia, fck = 80 MPa, 40 ∅ 16 mm ........................ 61 
Figura 36 - Verificação da seção cheia, fck= 80 MPa, 40 ∅ 20 mm .......................... 62 
Figura 37 - Verificação da seção cheia, fck = 80 MPa, 40 ∅ 25 mm ........................ 62 
Figura 38 - Dados de entrada para verificação da seção vazada, fck = 80 MPa ...... 63 
Figura 39 - Verificação da seção vazada, fck = 80 MPa, 40 ∅ 6,25 mm .................. 63 
Figura 40 - Verificação da seção vazada, fck = 80 MPa, 40 ∅ 8 mm ....................... 64 
Figura 41 - Verificação da seção vazada, fck = 80 MPa, 40 ∅ 10 mm ..................... 64 
Figura 42 - Verificação da seção vazada, fck = 80 MPa, 40 ∅ 12,5 mm .................. 65 
Figura 43 - Verificação da seção vazada, fck = 80 MPa, 40 ∅ 16 mm ..................... 65 
 
 
Figura 44 - Ábaco de dimensionamento, seção cheia, fck 20-50 MPa ..................... 66 
Figura 45 - Ábaco de dimensionamento, seção cheia, fck = 60 MPa ....................... 67 
Figura 46 - Ábaco de dimensionamento, seção cheia, fck = 70 MPa ....................... 68 
Figura 47 - Ábaco de dimensionamento, seção cheia, fck = 80 MPa ....................... 69 
Figura 48 - Ábaco de dimensionamento, seção cheia, fck = 90 MPa ....................... 70 
Figura 49 - Ábaco de dimensionamento, seção vazada, fck = 20-50 MPa ............... 71 
Figura 50 - Ábaco de dimensionamento, seção vazada, fck = 80 MPa .................... 72 
Figura 51 - Máximo momento de primeira ordem disponível x força normal 
adimensionais, seção circular, fck = 20 – 50 MPa .................................................... 73 
Figura 52 - Máximo momento de primeira ordem disponível x força normal 
adimensionais, seção anelar, fck = 20 - 50 MPa ....................................................... 74 
Figura 53 - Máximo momento de primeira ordem disponível x força normal 
adimensionais, seção circular cheia, fck = 80 MPa ................................................... 75 
Figura 54 - Máximo momento de primeira ordem disponível x força normal 
adimensionais, seção anelar, fck = 80 MPa .............................................................. 76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1 - Verificação do pilar de seção circular, biarticulado, com rotinas de 
Buchaim .................................................................................................................... 44 
Tabela 2 - Verificação do pilar de seção anelar, biarticulado, com rotinas de Buchaim
 .................................................................................................................................. 44 
Tabela 3 - Verificação do pilar de seção circular, biarticulado, com rotinas de 
Buchaim .................................................................................................................... 44 
Tabela 4 - Verificação do pilar de seção anelar, biarticulado, com rotinas de Buchaim
 .................................................................................................................................. 45 
Tabela 5 - Verificação do pilar de seção circular, em balanço, com rotinas de 
Buchaim .................................................................................................................... 45 
Tabela 6 - Verificação do pilar de seção anelar, em balanço, com rotinas de 
Buchaim .................................................................................................................... 45 
 
 
 
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS 
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas 
NBR Norma Brasileira 
ELS Estado-limite de serviço 
ELU Estado-limite último 
LN Linha neutra 
FS Fator de segurança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 13 
2. OBJETIVO ................................................................................................................................... 14 
3. ESTRUTURA DO TRABALHO ................................................................................................. 15 
4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..................................................................................................... 16 
4.1. ESTADOS-LIMITES ........................................................................................................... 16 
4.2. FLEXÃO COMPOSTA NORMAL ..................................................................................... 16 
4.3. HIPÓTESES ADOTADAS ................................................................................................. 17 
4.4. ADIMENSIONAIS ............................................................................................................... 18 
4.5. DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO ...................................................................................... 19 
4.6. CARACTERÍSTICAS DOS MATERIAIS ......................................................................... 23 
4.6.1. AÇO .............................................................................................................................. 23 
4.6.2. CONCRETO ................................................................................................................ 24 
4.7. SEÇÕES CIRCULAR E ANELAR .................................................................................... 27 
4.8. ESFORÇOS RESISTENTES DA SEÇÃO DE CONCRETO ....................................... 28 
4.9. ESFORÇOS RESISTENTES DA SEÇÃO METÁLICA ................................................. 29 
4.10. ESFORÇOS RESISTENTES DA SEÇÃO COMPLETA ........................................... 31 
4.11. PILAR PADRÃO .............................................................................................................31 
4.12. CONSIDERAÇÕES CONSTRUTIVAS ....................................................................... 32 
4.13. DETALHAMENTO .......................................................................................................... 33 
4.14. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM .............................................................................. 34 
5. METODOLOGIA ......................................................................................................................... 37 
5.1. DIMENSIONAMENTO DO PILAR BIAPOIADO OU EM BALANÇO .......................... 37 
5.2. ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL NO ELU ........... 38 
5.3. GRÁFICOS DE MÁXIMO MOMENTO DISPONÍVEL DE PRIMEIRA ORDEM ........ 39 
6. PROGRAMA COMPUTACIONAL ............................................................................................ 40 
6.1. DIMENSIONAMENTO ....................................................................................................... 40 
6.2. ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO ............................................................................... 46 
6.3. MÁXIMO MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM .............................................................. 55 
7. CONCLUSÃO ............................................................................................................................. 57 
8. BIBLIOGRAFIAS ........................................................................................................................ 58 
9. ANEXO A – Verificação dos ábacos de dimensionamento da seção transversal, fck = 80 
MPa....................................................................................................................................................... 60 
10. ANEXO B – Ábacos de dimensionamento da seção transversal ................................... 66 
11. ANEXO C – Ábacos de máximo momento de primeira ordem disponível x força 
normal adimensionais ........................................................................................................................ 73 
13 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
O concreto armado é o material construtivo mais utilizado no Brasil, 
gerando a maior demanda de trabalho entre os engenheiros estruturais. Além disso, 
com a revisão da norma ABNT NBR 6118:2014, passou-se a admitir concretos do 
grupo II, com classe de resistência característica fck na faixa de 55 MPa até 90 MPa. 
Um trabalho que contemple este segundo grupo de classes de resistência é 
considerado recente no contexto nacional. 
Além disso, o aumento da capacidade resistente do concreto 
possibilitou pilares cada vez mais esbeltos. Portanto, é imprescindível que o 
processo de dimensionamento destes elementos considere o estado limite último de 
instabilidade. Com isso, maior atenção deve ser dada à deformabilidade da 
estrutura, para o correto cálculo dos esforços solicitantes e resistentes decorrentes 
dos deslocamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
2. OBJETIVO 
O objetivo geral deste trabalho é determinar a capacidade portante 
de pilares esbeltos de seção circular ou anelar, com fck entre 20 MPa e 90 MPa. 
Objetiva-se desenvolver programas computacionais práticos e 
seguros para o dimensionamento desse tipo de elemento estrutural, contribuindo 
para acelerar o trabalho do engenheiro. 
Incluiu-se neste objetivo a construção de ábacos de 
dimensionamento da seção e de ábacos de momento de primeira ordem disponível. 
Além da análise do momento fletor resistente último, observam-se os 
respectivos resultados e comparam-se os métodos aproximados com os métodos 
exatos, contribuindo com o trabalho dos futuros pesquisadores desta área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
3. ESTRUTURA DO TRABALHO 
No capítulo 4, apresentam-se hipóteses adotadas, características 
dos materiais e outras prerrogativas normativas para o desenvolvimento deste 
trabalho. 
No capítulo 5, apresenta-se a metodologia para criação de cada uma 
das abas da planilha. 
No capítulo 6, apresentam-se o funcionamento, assim como 
exemplos aplicados em cada uma das planilhas, a fim de validar os resultados 
obtidos com a ferramenta computacional e compará-los com programas como o 
PCalc 1.4 e com as rotinas de cálculo desenvolvidas por Roberto Buchaim. 
No capítulo 7, apresentam-se as considerações finais e as 
discussões sobre as análises feitas na comparação entre os programas. 
No capítulo 9, apresenta-se a verificação dos ábacos de 
dimensionamento da seção transversal construídos através da ferramenta 
computacional desenvolvida neste trabalho em comparação com o programa PCalc 
1.4, para o fck 80 MPa. 
No capítulo 10, apresentam-se ábacos de dimensionamento da 
seção transversal construídos através da ferramenta computacional desenvolvida 
neste trabalho. São ábacos adimensionais, para seções transversais circulares e 
anelares, com fck entre 20 MPa e 90 MPa. 
No capítulo 11, apresentam-se ábacos de momento de primeira 
ordem disponível, com deformada senoidal, construídos através da ferramenta 
computacional desenvolvida neste trabalho. São ábacos adimensionais, para seções 
transversais circulares e anelares, com fck entre 20 MPa e 80 MPa. 
 
 
 
 
 
16 
 
4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
Apresenta-se a seguir diversos conceitos e definições necessárias 
para o entendimento do assunto abordado. 
4.1. ESTADOS-LIMITES 
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, o estado-limite de serviço (ELS) 
está relacionado a deformações, ao conforto do usuário, durabilidade, aparência e 
boa utilização da estrutura, sendo necessária a verificação destas condições, 
principalmente em obras de grande vulto. 
Já o estado-limite último (ELU) está relacionado à segurança da 
estrutura, como qualquer forma de ruína, colapsos ou esgotamento da capacidade 
resistente das seções, levando a paralisação do uso, deixando de atender as 
finalidades para qual foi projetada. 
4.2. FLEXÃO COMPOSTA NORMAL 
Um elemento está sujeito à flexão composta normal quando o plano 
de ação do momento fletor resultante for ortogonal à seção transversal, e contiver 
um de seus dois eixos principais de inércia. 
Em suas seções transversais, atuam combinadamente, força normal 
e momento fletor, resultantes no centro de gravidade, o que confere à seção apenas 
tensões normais solicitantes. 
É possível representar de modo estaticamente equivalente o efeito 
mecânico interno de um elemento sujeito à flexão composta normal utilizando 
apenas uma carga axial excêntrica. 
17 
 
Figura 1 - Seção transversal esquemática, em flexão composta normal, submetida 
ao esforço normal e momento fletor 
Fonte: o próprio autor 
4.3. HIPÓTESES ADOTADAS 
O dimensionamento e a verificação dos elementos estruturais 
podem ser feitos através das seguintes hipóteses da mecânica das estruturas 
descritas abaixo: 
 Equações de equilíbrio, onde os esforços solicitantes são iguais aos 
esforços resistentes; 
 Hipótese de Bernoulli, as seções planas permanecem planas após a 
deformação; 
 Aderência perfeita entre o aço e concreto. Onde a deformação das 
barras da armadura passiva em tração (antes da fissuração) e em 
compressão é a mesma do concreto ao seu entorno. Esta é a condição de 
compatibilidade de deformações entre ambos os materiais; 
 Leis constitutivas estabelecidas para o concreto e o aço. Sendo que o 
concreto tem resistência nula à tração e o aço tem resistência idêntica tanto 
na tração como na compressão; 
 Desconsidera-se a ação da força cortante na análise e no 
dimensionamento do pilar. 
O estado limite último por solicitações normais é fundamentado 
convencionalmente em deformaçõeslimites. No caso dos concretos do grupo I de 
resistência (C20 a C50) o encurtamento máximo na flexão é εcu = 3,5‰ e na 
compressão uniforme é igual a εcu = 2,0‰. 
18 
 
Para os concretos pertencentes ao grupo II de resistência, C55 a 
C90, conforme classificação da ABNT NBR 8953:2015, suas respectivas 
deformações passam a ser função direta da resistência característica fck. Os valores 
serão descritos em 4.6.2. 
4.4. ADIMENSIONAIS 
 Curvatura adimensional da seção, multiplicada por mil: 
 
κ = 
De
r
103 
(4.1) 
Onde: 
De é o diâmetro externo da seção circular; 
r é o raio da seção considerada, ou o inverso da curvatura; 
 Cobrimento adimensional da armadura: 
 
δ′ =
d′
De
 
(4.2) 
Onde: 
d′ é o cobrimento da armadura em relação ao perímetro externo da seção 
transversal; 
 Profundidade da LN: 
 ξ = 
x
De
 (4.3) 
Onde: 
x é a altura da linha neutra, conforme a convenção proposta; 
 Força normal adimensional de cálculo: 
 
ν = 
Nd
0,85fcdπ(Re
2 − Ri
2)
 
(4.4) 
Onde: 
Nd é a força normal de cálculo que atua no pilar; 
fcd é a resistência de cálculo do concreto; 
19 
 
Re é o raio externo do pilar; 
Ri é o raio da seção vazada; 
 Momento fletor adimensional de cálculo: 
 
μ = 
Md
0,85fcdπ(Re
2 − Ri
2)2Re
 
(4.5) 
Onde: 
Md é o momento fletor de cálculo que atua no pilar; 
 Taxa mecânica de armadura 
 
ωd = 
Asfyd
0,85fcdπ(Re2 − Ri
2)
 
(4.6) 
Onde: 
As é a área de aço da seção transversal; 
fyd é a resistência de cálculo do aço; 
 Taxa geométrica de armadura: 
 
ρs = 
As
π(Re2 − Ri
2)
 
(4.7) 
4.5. DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO 
Segundo a hipótese de Bernoulli, a distribuição de deformações na 
seção transversal se dá linearmente ao longo da altura da seção. A linha neutra 
correspondente à solicitação dada é medida a partir da borda comprimida ou menos 
tracionada. 
 
20 
 
Figura 2 - Domínios de deformação das seções transversais no estado limite último 
Fonte: adaptação da figura 17.1 da NBR 6118:2014 
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, caracteriza-se o ELU quando a 
reta de distribuição de deformações passa por pelo menos um dos polos A, B ou C 
da Figura 2, caracterizados por uma deformação limite, no aço (polo A) ou no 
concreto (polos B e C). 
Em cada um dos domínios de deformação, temos os seguintes 
comportamentos dos materiais: 
No domínio 1, a seção transversal está sujeita a tração pura ou 
flexo-tração, o concreto não é solicitado, isto quer dizer que ele não participa da 
resistência da seção. O aço trabalha com alongamento máximo igual a 𝜀𝑠 = 𝜀𝑠,𝑙𝑖𝑚 =
 −10‰. 
Este caso ocorre quando a linha neutra está variando entre −∞ até 
0, a seção transversal está toda tracionada. 
Para a linha neutra 𝑥 → ∞ , tem-se um estado uniforme de 
deformação na seção transversal, e se a armadura se distribui assimetricamente na 
seção, há força normal de tração e momento fletor resistente não nulo. Este 
momento só é nulo se a armadura tiver distribuição simétrica na seção. Neste caso, 
se a linha neutra se aproximar de 0, a seção passa a estar sujeita a uma flexo-
tração, com pequena excentricidade. 
21 
 
No domínio 2, a seção transversal está sujeita a flexão simples ou 
composta, o concreto em compressão trabalha com deformação igual a 0 ≤ 𝜀𝑐 ≤ 𝜀𝑐𝑢 
e o aço trabalha com deformação igual a 𝜀𝑠 = 𝜀𝑠,𝑙𝑖𝑚 = −10‰. 
Este caso ocorre quando a linha neutra entra na seção, sem que o 
concreto atinja seu encurtamento limite. O aço tem o seu máximo alongamento. 
Pode-se dizer que a seção transversal está submetida à flexo-tração 
com grande excentricidade se a força resultante do banzo tracionado for maior do 
que a do banzo comprimido. 
No domínio 3, a seção transversal está sujeita a flexão simples ou 
composta, o concreto em compressão trabalha com deformação 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢 e o aço 
trabalha com deformação igual a −10‰ ≤ 𝜀𝑠 ≤ 𝜀𝑦𝑑. 
Com a linha neutra na seção, o concreto atinge sua deformação 
limite. O aço já atingiu seu alongamento máximo e passa a escoar. 
Quando a força resultante do banzo comprimido é maior que a do 
tracionado, pode-se dizer que a seção transversal está sujeita a flexo-compressão 
com grande excentricidade. 
Quando as forças resultantes em cada um dos dois banzos forem 
iguais, pode-se dizer que a seção transversal está sujeita a flexão pura. 
Figura 3 - Estado de deformação nos domínios 1,2 e 3 
Fonte: Notas de aula de Concreto I de Roberto Buchaim 
No domínio 4, a seção transversal está sujeita a flexão simples ou 
composta, o concreto em compressão trabalha com deformação igual a 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢 e o 
22 
 
aço tracionado trabalha com deformação igual a 𝜀𝑠 ≤ 𝜀𝑦𝑑, ou seja, não escoa, mas o 
aço comprimido pode escoar. 
No domínio 4a, a seção transversal está sujeita a flexão composta, o 
concreto em compressão trabalha com de deformação de 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢 e ambos os aços 
estão em compressão, com escoamento ou não da armadura de maior 
encurtamento. 
Com a linha neutra variando de ℎ − 𝑑2 até +∞, podemos dizer que a 
seção está sujeita a flexo-compressão com pequena excentricidade, ou seja, as 
armaduras estão todas comprimidas, e a seção tem apenas banzo comprimido. 
Domínio 5, a seção transversal está sujeita a compressão uniforme 
ou não uniforme, o concreto em compressão trabalha com deformação igual a 
𝜀𝑐2 ≤ 𝜀𝑐 ≤ 𝜀𝑐𝑢 e ambos os aços estão em compressão, escoando ou não a 
armadura. 
Com a linha neutra em +∞, não há curvatura da seção transversal, e 
pode-se dizer que esta se encontra em flexo-compressão, se não houver simetria da 
armadura em relação ao eixo principal, ortogonal ao plano dos esforços e passante 
pelo CG da seção. Do contrário, a seção encontra-se em compressão simples. 
Figura 4 - Estado de deformação nos domínios 4, 4a e 5 
Fonte: Notas de aula de Concreto I de Roberto Buchaim 
Nos domínios 1 e 2, temos uma ruptura dúctil, por deformação 
plástica excessiva, ou seja, a ruptura é pelo lado do aço tracionado, enquanto nos 4, 
4a e 5 temos uma ruptura brusca, pelo encurtamento limite do concreto. 
No domínio 3, há rompimento do concreto, mas sua ruptura é 
antecedida pelo escoamento do aço, de modo que há uma transição entre as duas 
23 
 
formas de ruptura, dependendo de quão grande ou pequeno é o alongamento 
plástico do aço nesse domínio. 
4.6. CARACTERÍSTICAS DOS MATERIAIS 
4.6.1. AÇO 
O aço obtido através do processo de laminação a frio apresenta um 
patamar de escoamento, logo, quando o mesmo atinge a tensão máxima que pode 
suportar, passa a sofrer deformação plástica, liberando deslocamentos e produzindo 
deformações acentuadas. Essa característica é de grande importância para se 
identificar quando a estrutura está próxima da ruína por flexão, nos domínios 1 a 3. 
Para o aço, que tem valores de resistência iguais tanto na tração 
como na compressão, adota-se a lei constitutiva indicada na Figura 5, válida para 
intervalos de temperatura entre -20°C e 150°C: 
Figura 5 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas 
 
Fonte: Figura 8.4 da ABNT NBR 6118:2014 
Para o CA-50, adota-se as seguintes propriedades físicas: 
 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 (4.8) 
 𝐸𝑆 = 210 𝐺𝑃𝑎 (4.9) 
A resistência de cálculo do aço é definida por: 
 
𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
 
(4.10) 
 
𝐸𝑠 = 210𝐺𝑃𝑎 
24 
 
O coeficiente de minoração da resistência do aço, conforme a ABNT 
NBR 6118:2014 na Tabela 12.1, é dada por: 
Para combinações normais, 𝛾𝑠 = 1,15; 
Para combinações excepcionais 𝛾𝑠 = 1,00; 
A deformação de início de escoamento de cálculo do aço é definida 
por: 
 𝜀𝑦𝑑= 𝑓𝑦𝑑 𝐸𝑆⁄ (4.11) 
 
𝜀𝑦𝑑 =
500/1,15
210
= 2,07% 
(4.12) 
4.6.2. CONCRETO 
Admite-se no ELU, a lei constitutiva do concreto dada pelo diagrama 
parábola-retângulo, cf. item 8.2.10.1 da ABNT NBR 6118:2014, com isso, tem-se 
melhores resultados nas análises de deformações e curvaturas, possibilitando a 
utilização de concretos com resistência até 90 MPa. 
Nesta lei, a resistência do concreto apresentará dois valores de 
cálculo, um menor, para o estado limite último, e outro maior, para a deformabilidade 
da seção, como se indica a seguir. 
A tensão de pico, de acordo com o diagrama parábola-retângulo, 
para o ELU, é igual à 𝑓𝑐𝑑1 = 0,85
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐⁄ , com 𝛾𝑐 = 1,40. Para o aço, admite-se a lei 
bilinear, 𝑓𝑦𝑑 = 
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
⁄ , com 𝛾𝑠 = 1,15. 
Para a deformabilidade do concreto, altera-se a resistência para um 
valor maior, igual a 𝑓𝑐𝑑0 = 
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐0⁄ , com 𝛾𝑐0 = 1,20 e 𝛾𝑓3 = 1,00. 
Essa redução do coeficiente de segurança do concreto para a 
deformabilidade é admitida pelo MC-90, no item 1.6.3.4: 
25 
 
“... o fator de conversão da resistência de um corpo de prova padrão 
a um elemento estrutural de forma qualquer, incluído em 𝛾𝑐, não se 
aplica a deformabilidade...”. 
“... uma resistência média baixa para toda a estrutura ou elemento é 
menos provável do que para a seção transversal...”. 
“... os deslocamentos têm de ser determinados usando diagramas 
tensão-deformação do concreto, que sejam caracterizados por pelo 
menos três parâmetros mutuamente independentes: 
(a) a resistência 𝑓𝑐𝑑; 
(b) a deformação correspondente ao ponto máximo desse diagrama; 
(c) a inclinação na origem, que é o módulo de elasticidade tangente 
𝐸𝑐𝑖. Os valores de 𝑓𝑐𝑑 e 𝐸𝑐𝑖 podem ser determinados 
dividindo-se os valores característicos por um coeficiente de 
segurança 𝛾𝑐0 = 1,2”. 
Com relação ao comportamento mecânico, a ABNT NBR 6118:2014 
apresenta a seguinte simplificação da relação tensão-deformação do concreto 
(Figura 6), considerando uma distribuição de tensões segundo um diagrama 
parábola-retângulo: 
Figura 6 - Diagrama tensão-deformação idealizado do concreto 
 
Fonte: Figura 8.2 da ABNT NBR 6118:2014 
26 
 
 𝜎𝑐 = 𝑓𝑐𝑑1 [1 − (
𝜀𝑐
𝜀𝑐2
)
𝑛
] se 𝜀𝑐 ≤ 𝜀𝑐2 
(4.13) 
 𝜎𝑐 = 𝑓𝑐𝑑1 se 𝜀𝑐𝑢2 ≤ 𝜀𝑐 ≤ 𝜀𝑐𝑢2 (4.14) 
Onde: 
 𝑓𝑐𝑑1 = 0,85
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐⁄ 
(4.15) 
 𝛾𝑐 = 1,4 (4.16) 
 Para 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎 → 𝑛 = 2 (4.17) 
 
Para 𝑓𝑐𝑘 > 50 𝑀𝑃𝑎 → 𝑛 = 1,4 + 23,4 (
90−𝑓𝑐𝑘
100
)
4
 
(4.18) 
O coeficiente de 0,85 é produto de três fatores referentes aos 
seguintes efeitos: 
(1) O Efeito Rüsch, está relacionado à velocidade de deformação do 
concreto em compressão, como efeito do carregamento permanente, aplicado ao 
concreto pouco a pouco; 
(2) O concreto ganha resistência com o passar do tempo; 
(3) Fator de conversão da resistência de um corpo de prova padrão 
(cilíndrico) em um elemento estrutural de forma prismática. 
Para concretos da classe I (20𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎) as deformações 
limites são: 
 𝜀𝑐2 = 2 ‰ (4.19) 
 𝜀𝑐𝑢 = 3,5 ‰ (4.20) 
E para concretos da classe II (50𝑀𝑃𝑎 < 𝑓𝑐𝑘 ≤ 90𝑀𝑃𝑎): 
 𝜀𝑐2 = 2‰ + 0,085‰ (𝑓𝑐𝑘 − 50)
0,53 (4.21) 
 
𝜀𝑐𝑢 = 2,6‰ + 35‰ (
90 − 𝑓𝑐𝑘
100
)
4
 
(4.22) 
O valor do módulo de elasticidade inicial pode ser estimado segundo 
as expressões: 
 Para 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎 → 𝐸𝑐𝑖 = 𝛼𝐸5600√𝑓𝑐𝑘; (4.23) 
 
Para 𝑓𝑐𝑘 > 50𝑀𝑃𝑎 → 𝐸𝑐𝑖 = 21,5. 10
3𝛼𝐸 √
𝑓𝑐𝑘
10
+ 1,25
3
 
(4.24) 
27 
 
Onde: 
𝛼𝐸 = 1,2 , para basalto e diabásio; 
𝛼𝐸 = 1,0 , para granito e gnaisse; 
𝛼𝐸 = 0,9 , para calcário; 
𝛼𝐸 = 0,7 , para arenito; 
Onde 𝐸𝑐𝑖 e 𝑓𝑐𝑘 são dados em MPa; 
Estes módulos são utilizados na análise global da estrutura, para 
análise de elementos estruturais ou seção transversal. Para isso, usa-se a rigidez 
secante (𝐸𝐼)𝑠𝑒𝑐, para tração e para compressão. 
4.7. SEÇÕES CIRCULAR E ANELAR 
Os esforços resistentes da seção anelar podem ser obtidos através 
da subtração da resistência da seção circular definida por 𝑅𝑖 da resistência da seção 
definida por 𝑅𝑒. 
Segundo BUCHAIM (2015), para considerar os círculos interno e 
externo das seções, conectando as deformações a curvatura, com expressões 
válidas para ambos os círculos, introduz-se o adimensional 𝛿𝑗. 
 
𝛿𝑗 = 
𝑅𝑗
𝑅𝑒
= (𝑗 − 1)(𝛿𝑖 − 1) + 1 
(4.25) 
Onde: 
𝑗 = 1; 2 
 
𝛿𝑖 = 
𝑅𝑖
𝑅𝑒
 
(4.26) 
 Se 𝑗 = 1, logo 𝑅1 = 𝑅𝑒 e 𝛿𝑖 = 1, correspondendo ao círculo externo. 
 Se 𝑗 = 2, logo 𝑅2 = 𝑅𝑖 e 𝛿2 = 𝛿𝑖, correspondendo ao círculo interno. 
 Se 𝑅𝑖 = 0, a seção é circular. 
28 
 
Figura 7 - Seção transversal, deformações e esforços na seção circular ou anelar 
 
Fonte: Buchaim (2015) 
A deformação do concreto comprimido é função da ordenada z, 
medida positivamente para cima, a partir da LN, e é ligada a curvatura (1 𝑟⁄ ), sendo 
definida pela equação: 
 𝜀𝑐(𝑧) = 
𝑧
𝑟
 (4.27) 
 
O ângulo 𝛽(𝑧) e a largura 𝑏(𝑧), correspondentes à ordenada z, em 
termos adimensionais, são dados por: 
 η = 
z
De
 (4.28) 
 
 
cosβj(η) = 
2(ξ − η) − 1
δj
 
(4.29) 
 
Segundo BUCHAIM (2015), aplicando-se a profundidade relativa da 
LN, descrita na equação 3.2 do item 3.4, tem-se: 
 b(z)
De
= δj sin[π − βj(η)] = δj sin [βj(η)] 
(4.30) 
 
4.8. ESFORÇOS RESISTENTES DA SEÇÃO DE CONCRETO 
Os esforços do concreto na seção de raio Rj resultam das integrais: 
 
Rcj = ∫ σcd
z2
z1
(z)b(z)dz 
(4.31) 
 
29 
 
 
Mcj = ∫ σcd
z2
z1
(z)b(z)(z − x − Re)dz 
(4.32) 
 
Segundo BUCHAIM (1984), novas integrais podem ser obtidas pelo 
polinômio de Chebyschev. Logo, os esforços resistentes na seção de raio Rj 
resultam iguais a: 
 
νcj =
Ncj
π(Re2 − Ri
2)fc
=
4δj
π(1 − δi
2)
I1(j) 
(4.33) 
 
 
μcj =
Mcj
2π(Re2 − Ri
2)Refc
= 
4δj
π(1 − δi
2)
I2(j) 
(4.34) 
 
Onde j = 1, 2 
Fazendo-se j = 1, 2 obtêm-se os esforços totais da seção de 
concreto pelas seguintes subtrações: 
 νc = νc1 − νc2 (4.35) 
 μc = μc1 − μc2 (4.36) 
Nestas equações, faz-se fc igual a fcd1 no ELU, e igual a fcd0 = 
fck
γc0
 
com γc0 = 1,2 para a deformabilidade do concreto. 
4.9. ESFORÇOS RESISTENTES DA SEÇÃO METÁLICA 
Figura 8 - Seção metálica, deformações e esforços na seção circular ou anelar 
Fonte: Buchaim (2015) 
30 
 
Na seção transversal da Figura 8, tem-se um número par de barras, 
de mesma área, uniformemente espaçadas no círculo de raio Rs. As barras estão 
dispostas simetricamente em relação ao plano de flexão. 
Considerando as 2k ≥ 8 barras deste círculo, tem-se, para a i-ésima 
barra, o ângulo que define sua posição e a correspondente ordenada adimensional 
dados por: 
 
βsi =
π
2
+
π
2
[2i − (k + 1)] =
π
2
(
2i − 1
k
) 
(4.37) 
 
Onde i = 1, 2,..., k 
Segundo BUCHAIM (2015), considerando-se a curvatura 
adimensional da seção e a profundidade da LN, tem-se a posição e a deformação da 
i-ésima barra: 
 
ηsi = 
zsi
2Re
= 
x − Re − Rs cos(βsi)
2Re
= ξ − 0,5(1 + δs cos(βsi)) 
(4.38) 
Onde: 
 
δs = 
Rs
Re
 
(4.39) 
Da lei constitutiva do aço, resulta a tensão relativa nessa barra: 
 σsdi
fyd
=
εsi
εyd
 se εs < εyd 
(4.40) 
 σsdi = fyd se εs ≥ εyd (4.41) 
Considerando as k barras e suas simétricas, tem-se a área e a taxa 
mecânica da armadura, em que ∅ é o diâmetro das k barras. 
 
As =
2kπ∅2
4
 
(4.42) 
 
ωd = 
Asfyd
π(Re2 − Ri
2)fc
 
(4.43) 
Segundo BUCHAIM (2015), os esforçosresistentes da seção 
metálica são iguais a: 
31 
 
 
νs = 
ωd
k
∑
σsdi
fyd
k
1
 
(4.44) 
 
μs = −δs
ωd
k
∑
σsdi
fyd
k
1
cos(βsi) 
(4.45) 
4.10. ESFORÇOS RESISTENTES DA SEÇÃO COMPLETA 
Somando os esforços resistentes das seções parciais, resultam os 
esforços resistentes da seção completa: 
 νd = νc + νs = νc1 − νc2 + νs (4.46) 
 μd = μc + μs = μc1 − μc2 + μs (4.47) 
4.11. PILAR PADRÃO 
Pilares destacados de um pórtico espacial (edifícios, galpões 
industriais, pontes), biarticulados, com momentos diferentes nas duas extremidades, 
ou em balanço, com ou sem momento na sua extremidade livre, já examinados para 
o efeito global de segunda ordem, sujeitos a ações de desaprumo ou falta de 
retilineidade, cargas gravitacionais, de vento, pontuais ou distribuídas, podem ser 
reduzidos equivalentemente ao pilar-padrão. A equivalência refere-se à obtenção 
(aproximadamente) do mesmo momento fletor solicitante total e da armadura, 
incluindo os efeitos de segunda ordem. 
Para essa transformação, introduzem-se novos valores para os 
momentos nas extremidades, segundo um coeficiente transformador ∝b. 
 
∝b= 0,6 + 0,4
MB
MA
 
(4.48) 
Onde: 
 0,4 ≤∝b≤ 1,0 (4.49) 
32 
 
Figura 9 - Transformação do lance em pilar padrão e deformações 
 
Fonte: o próprio autor 
 
MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, 
obtidos na análise de 1ª ordem no caso de estruturas de nós fixos e os momentos 
totais (1ª ordem + 2ª ordem global) no caso de estruturas de nós móveis. 
Adota-se MA como o momento de maior valor absoluto, com sinal 
positivo. O momento MB, de menor valor absoluto que MA, portanto, recebe valor 
positivo se produzir deslocamentos do eixo do pilar de mesmo sentido que os de MA 
pilar, e negativo em caso contrário. 
Para em pilares em balanço, adotou-se ∝b= 1 . Isto porque se 
considera a distribuição de curvaturas de primeira ordem e a força normal no lance 
do pilar (ver equação do coeficiente c no item 4.14). 
4.12. CONSIDERAÇÕES CONSTRUTIVAS 
Dentre alguns defeitos construtivos, destacam-se o desaprumo e a 
falta de retilineidade no eixo dos elementos. Levando em consideração tais 
imperfeições construtivas, a ABNT NBR 6118: 2014 fixa excentricidades acidentais 
mínimas e máximas a serem consideradas no cálculo estrutural. O ângulo de 
desaprumo, considerando um lance de pilar, é 
 
θ1 = 
1
100√Hi
 
(4.50) 
Onde: 
Hi = Altura do lance; 
33 
 
Para um lance de pilar θ1 é limitado aos valores extremos: θ1 mín = 1/300: e θ1 máx =
1/200. 
Com isso, calcula-se a excentricidade ea, indicada na Figura 10.b: 
 
ea = θ1
Hi
2
 
(4.51) 
Figura 10 - Imprecisões geométricas locais 
 
Fonte: Adaptação da figura 11.2 da ABNT NBR 6118:2014 
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, substitui-se o efeito das 
imperfeições locais pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem, dado como: 
 M1d,mín = Nd(0,015 + 0,03De) (4.52) 
Neste trabalho, considera-se a excentricidade por falta de 
retilineidade, com variação senoidal no lance, tomando o maior valor dentre os dois 
seguintes: 
 ea = max (θ1
le
2
, 
De
30
) (4.53) 
 
4.13. DETALHAMENTO 
A seção transversal não deve ter área inferior a 360 cm². Logo, o 
pilar deve ter diâmetro superior a 22 cm. A espessura da seção anelar é limitada 
pelo aspecto construtivo, onde se considera o diâmetro da barra, os cobrimentos e 
estribos (eventualmente com camadas externa e interna de armaduras) e as 
características do concreto utilizado. 
Como armadura longitudinal, as barras devem ter pelo menos 10 
mm de diâmetro. Em seções circulares e anelares, a quantidade de barras deve ser 
34 
 
par, com valor mínimo de 6 barras, e, segundo MacGregor, J. G. e Wight J. K., 
recomenda-se no mínimo 8 barras 
Os máximos e mínimos valores de armadura longitudinal são 
calculados a partir das equações abaixo: 
 As,máx = (0,04 ou 0,08)A0 (4.54) 
 4% se houver emendas por traspasse e 8% em caso contrário 
 
As,mín1 = 0,15
Nd
fyd
 
(4.55) 
 As,mín2 = 0,004A0 (4.56) 
 Se As,mín1 > As,mín2 então As,mín = As,mín1 (4.57) 
 Se As,mín1 < As,mín2 então As,mín = As,mín2 (4.58) 
 
4.14. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM 
A constante c , que em primeira aproximação recebe o valor de 
π2 ≅ 10, pode ser corrigida para levar em consideração cada caso de carregamento 
que atua no pilar. Segundo BUCHAIM (2015), os valores dos coeficientes ci para os 
principais tipos de carregamento são: 
Para o pilar em balanço e engastado na base: 
 Falta de retilineidade, com a excentricidade máxima ea da deformada 
senoidal: ci = π
2; 
 Carga uniformemente distribuída qd em toda altura equivalente: ci =
 16; 
 Força horizontal Hd concentrada no topo do pilar: ci = 12; 
 Momento M0d, concentrado no topo do pilar: ci = 8; 
 
Para o pilar biapoiado: 
 Falta de retilineidade, com a excentricidade máxima ea da deformada 
senoidal: ci = π
2; 
 Carga uniformemente distribuída qd em toda altura equivalente: 
ci = 9,6; 
 Força horizontal Hd concentrada na seção média do pilar: ci = 12; 
35 
 
 Momentos αbMad iguais nas extremidades, tracionando a mesma face 
do pilar: ci = 8; 
Figura 11 - Principais tipos de carregamento 
 
Fonte: o próprio autor 
Segundo BUCHAIM (2015), o coeficiente c é corrigido através de 
poucas iterações, e é definido pela equação: 
 
c = αd π
2 + (1 − αd)
∑ M1d,i
n
i=1
∑
M1d,i
ci
n
i=1
 
(4.59) 
Onde: 
 
Nd,cr = 
π2EIsec
le2
 
(4.60) 
EIsec é a inércia secante do pilar; 
le é o comprimento equivalente do lance; 
 
αd =
Nsd
Nd,cr
 
(4.61) 
Nsd é a força normal solicitante de cálculo; 
36 
 
M1d,i
ci
 é a soma de frações de cada momento solicitante dividido pelo seu respectivo 
coeficiente ci. 
Com os parâmetros αd e coeficiente 𝑐, pela equação de BUCHAIM 
(2015), calcula-se o momento solicitante total com a parcela do efeito de segunda 
ordem corrigido. 
Msd,tot = 
∑ M1d,i
n
i=1
1 − αd
π2
c
 
(4.62) 
M2d = Msd,totαd
π2
c
 
(4.63) 
 
 
37 
 
5. METODOLOGIA 
Com base na revisão bibliográfica do método apresentado, serão 
desenvolvidos programas utilizando-se do software Microsoft Excel como plataforma 
intermediária da linguagem de programação Visual Basic (VBA). 
5.1. DIMENSIONAMENTO DO PILAR BIAPOIADO OU EM BALANÇO 
Este programa receberá os dados, definindo as características 
físicas, geométricas, o carregamento do pilar e seguirá as seguintes etapas: 
 O programa calcula os valores de taxas de armadura máxima e mínima. 
Divide-se o intervalo entre as taxas extremas em 6 partes iguais, com o que 
ficam definidos, no total, 7 valores de taxas; 
 Para o valor menor de taxa de armadura, constrói-se o diagrama momento-
curvatura para o ELU, consideram-se os valores de cálculo das resistências 
do concreto e do aço respectivamente iguais a 0,85
 fck
1,4
,
fyk
1,15
, encontrando o 
valor do momento resistente último Mdu; 
 Com a mesma armadura, constrói-se o diagrama momento-curvatura, neste 
caso considera-se, para a deformabilidade do pilar, os valores de cálculo das 
resistências do concreto e do aço respectivamente iguais a 
 fck
1,2
,
fyk
1,15
. Neste 
diagrama, em correspondência ao momento Mdu, obtém-se a curvatura, e do 
quociente destas duas grandezas, encontra-se o valor da rigidez secante à 
flexão (EI) sec. Com esta rigidez, calcula-se o momento solicitante total Msd,tot; 
o Caso a taxa de armadura mínima seja suficiente para resistir ao 
momento solicitante Mdu , o programa indica que a seção e/ou aresistência do concreto podem ser reduzidas e é encerrado; 
 Caso a taxa de armadura não seja suficiente para resistir ao momento 
solicitante, o programa repete o procedimento anterior com o valor seguinte 
da taxa de armadura. 
o Neste procedimento, pode ocorrer que para a sétima taxa (a máxima) o 
momento resistente seja inferior ao solicitante, com o que a seção e/ou 
a resistência do concreto devem ser obrigatoriamente aumentadas. 
 Se esta possibilidade não ocorrer, então haverá um intervalo da taxa em que 
ocorre mudança de sinal da diferença entre os momentos solicitante e 
38 
 
resistente. Com isto, têm-se novos valores inicial e final do intervalo da taxa 
de armadura, no qual se encontra a resposta. Com o refinamento do intervalo, 
o processo é repetido até obter-se erro desprezível entre os valores inicial e 
final da taxa. Com isto, têm-se momentos solicitante e resistente praticamente 
iguais. 
 Com a taxa de armadura definida, o programa emite as respostas e é 
encerrado. 
 
5.2. ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL NO ELU 
 
Este programa receberá os dados da seção transversal que definem 
as características físicas, geométricas, a quantidade de curvas e a quantidade de 
pontos em cada curva, e seguirá as seguintes etapas: 
 O programa calcula os valores de taxas de armadura máxima e mínima, e 
divide este intervalo pela quantidade de curvas desejadas pelo usuário. 
 Para cada uma das taxas, o programa calcula a força normal resistente 
máxima e mínima. 
 Fixando-se uma taxa de armadura, o intervalo entre força normal máxima e 
mínima é dividido de acordo com o número de pontos no gráfico, definido pelo 
usuário. 
 Para cada valor de força normal, o programa constrói o diagrama momento-
curvatura para o ELU, com as resistências de cálculo do concreto e do aço 
iguais a 0,85
 fck
1,4
,
fyk
1,15
, encontrando o valor do momento resistente último Mdu. 
 Como neste caso a esbeltez é igual à zero, o programa não precisa 
considerar a deformabilidade do concreto. 
 Repete-se o processo, para cada um dos valores de taxa de armadura, com 
os pares Nd e Mdu adimensionalizados, constroem-se os diagramas de 
interação Normal relativa (νd) x Momento relativo (μd). 
 
 
 
39 
 
5.3. GRÁFICOS DE MÁXIMO MOMENTO DISPONÍVEL DE PRIMEIRA ORDEM 
 
O programa receberá os dados, definindo as características físicas, 
geométricas, e desta vez inclusive a esbeltez, a quantidade de curvas e a 
quantidade de pontos em cada curva, e seguirá as seguintes etapas: 
 O programa calcula os valores de taxas de armadura máxima e mínima, e 
divide este intervalo pela quantidade de curvas desejadas pelo usuário. 
 Para cada uma das taxas, o programa calcula a força normal resistente 
máxima, que é o valor para o qual o momento disponível de primeira ordem é 
nulo. Neste caso, a força normal mínima é igual a zero. 
 Este intervalo entre força normal máxima e mínima é dividido de acordo com 
o número de pontos no gráfico, definido pelo usuário. 
 Para cada valor de força normal, o programa constrói o diagrama momento-
curvatura para o ELU, com a resistência do concreto igual a 0,85
 fck
1,4
, 
encontrando o valor do momento resistente último Mdu. 
 Com a mesma armadura, constrói-se o diagrama momento-curvatura, neste 
caso considera-se, para a deformabilidade do pilar, os valores de cálculo das 
resistências do concreto e do aço respectivamente iguais a 
 fck
1,2
,
fyk
1,15
. Neste 
diagrama, em correspondência ao momento Mdu, obtém-se a curvatura, e do 
quociente destas duas grandezas encontra-se o valor da rigidez secante à 
flexão (EI)sec. 
 Com a rigidez (EI)sec , subtrai-se do momento resistente do ELU, igual ao 
solicitante, a parcela do momento de segunda ordem e obtém-se o máximo 
momento de primeira ordem disponível (M1d). 
 Repete-se o processo diversas vezes, e com os pares adimensionais de Nd e 
M1d para cada um dos valores de taxa de armadura, constroem-se os 
diagramas de interação do Máximo momento de primeira ordem (μ1d) versus 
força normal (νd) adimensionais, para a deformada senoidal. 
 
 
 
40 
 
6. PROGRAMA COMPUTACIONAL 
6.1. DIMENSIONAMENTO 
Figura 12 - Exemplo de dimensionamento de pilar biapoiado de seção circular cheia 
 
Fonte: o próprio autor 
41 
 
Duas abas do programa permitem o dimensionamento de pilares de 
seções circular cheia e vazada, biapoiados ou em balanço. A figura 12 exemplifica o 
dimensionamento de um pilar biapoiado, de seção circular cheia. As imagens 13 e 
14 informam as convenções adotadas para geometria da seção, armadura e 
esforços para cada condição de apoio. 
As células brancas devem ser preenchidas pelo usuário, enquanto 
as células cinza são títulos ou células preenchidas automaticamente pelo programa. 
Escolhendo a aba pelo o tipo de vinculação, e com o preenchimento 
do fck, dados da geometria da seção e do pilar, quantidade de barras, a armadura 
máxima e característica do carregamento, o programa é iniciado após o click no 
botão “CALCULAR”. 
Figura 13 - Convenção das medidas da seção 
 
Fonte: o próprio autor 
42 
 
Figura 14 - Convenção dos esforços para cada condição de apoio, biapoiado e 
engastado-livre respectivamente 
 
Fonte: o próprio autor 
Quanto às convenções de sinais, todos os dados de entrada do 
programa são positivos, exceto o momento de extremidade MBd do pilar biarticulado, 
que é positivo se produzir deslocamento de mesmo sentido que MAd, ou negativo, 
em caso contrário. 
Quando o cálculo é efetuado com sucesso, o programa emite um 
aviso e é encerrado, preenchendo todas as células em cinza. 
Quando o cálculo não é efetuado com sucesso, o programa indica o 
respectivo erro, como restrições quanto ao preenchimento da seção (Seção mínima, 
fck mínimo e máximo, Ri < Rs < Re , quantidade mínima e máxima de barras), ou 
quanto ao preenchimento do carregamento (valores das cargas e MAd > |MBd|). 
O programa também indica erros pós-processamento. É o caso em 
que a armadura mínima é suficiente para resistir ao momento solicitante, ou quando 
a armadura máxima não é suficiente para resistir ao momento solicitante. O 
programa também indica se MAd > MSd,total, e neste caso, o pilar é dimensionado 
para a pior condição de momento (MAd). 
43 
 
Figura 15 - Verificação do dimensionamento do pilar proposto, pelo programa PCalc 
1.4 
Fonte: o próprio autor 
 
O pilar proposto foi verificado de acordo com o programa PCalc 1.4. 
Onde o método de dimensionamento selecionado foi o “Pilar padrão acoplado com 
os diagramas N, M, 1/r”, sempre verificando o momento mínimo e os efeitos de 
segunda ordem, com o coeficiente γf3 = 1,0. Para este caso desconsiderou-se o 
efeito da fluência. 
Essa diferença no fator de segurança ocorreu devido às 
considerações de cálculo do programa PCalc 1.4, que, para o cálculo do valor da 
rigidez secante à flexão (EI)sec, segue a ABNT NBR6118/2014, que considera na 
deformabilidade o coeficiente γf3 = 1,1, onde, 1,1fck/1,4. Portanto γc0 = 1,27, contra 
γc0 = 1,20, que foi o valor adotado neste trabalho. 
Outra maneira de validar este trabalho é comparar os resultados 
obtidos com rotinas de cálculo desenvolvidas por Buchaim. As tabelas abaixo 
identificam o tipo, dimensões e resistência do concreto, a vinculação, e esbeltez do 
pilar. Quanto à célula variação, a proximidade do resultado com 0% indica 
concordância total dos resultados. 
44 
 
Tabela 1 - Verificação do pilar de seção circular, biarticulado, com rotinas de 
Buchaim 
Fonte: o próprio autor 
Tabela 2 - Verificação do pilar de seção anelar, biarticulado, com rotinas deBuchaim 
Fonte: o próprio autor 
Tabela 3 - Verificação do pilar de seção circular, biarticulado, com rotinas de 
Buchaim 
Fonte: o próprio autor 
 
45 
 
Tabela 4 - Verificação do pilar de seção anelar, biarticulado, com rotinas de Buchaim 
Fonte: o próprio autor 
Tabela 5 - Verificação do pilar de seção circular, em balanço, com rotinas de 
Buchaim 
Fonte: o próprio autor 
Tabela 6 - Verificação do pilar de seção anelar, em balanço, com rotinas de 
Buchaim 
Fonte: o próprio autor 
 
46 
 
6.2. ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO 
Figura 16 – Dados para geração de ábaco de dimensionamento de seções 
 
Fonte: o próprio autor 
47 
 
O programa tem uma aba que permite a construção de ábacos para 
o dimensionamento da seção, que é bastante similar à aba de dimensionamento de 
pilares, excluindo-se a parte do carregamento e a esbeltez do pilar. 
Assim como na aba dimensionamento, as células brancas devem 
ser preenchidas, enquanto as cinzas são títulos e células preenchidas 
automaticamente pelo programa. 
No caso dos ábacos, fixaram-se as dimensões do exemplo proposto 
no dimensionamento do pilar biapoiado. A quantidade de curvas é igual a 5 (pode 
variar entre 3 e 12), a quantidade de pontos do gráfico é igual a 40 (pode variar entre 
6 e 50) e exclui-se o tipo de vinculação e o comprimento do pilar, já que neste caso 
a esbeltez é igual a le = 0. 
Figura 17 - Ábaco de dimensionamento da seção do pilar proposto 
 
Fonte: o próprio autor 
 
Vale lembrar que este ábaco é válido para concretos do grupo I, com 
classe de resistência fck = 20 MPa − 50MPa. 
Os ábacos de dimensionamento foram verificados de acordo com o 
programa PCalc 1.4. Onde o método de dimensionamento selecionado foi o “Pilar 
48 
 
padrão acoplado com os diagramas N, M, 1/r”, sem a verificação do momento 
mínimo e dos efeitos de segunda ordem. 
Para a seção circular cheia, fck = 40 MPa, Re = 400 mm, Ri = 0 mm, 
Rs = 350 mm, fixou-se a quantidade de barras igual a 40 e alteraram-se as bitolas 
até atingir a armadura máxima estabelecida em 4%. 
Figura 18 - Dados de entrada para verificação da seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 = 40 MPa 
Fonte: o próprio autor 
Figura 19 - Verificação da seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 = 40 MPa, 40 ∅ 10 mm 
Fonte: o próprio autor 
49 
 
Figura 20 - Verificação da seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 = 40 MPa, 40 ∅ 12,5 mm 
Fonte: o próprio autor 
 
Figura 21 - Verificação da seção cheia, fck = 40 MPa, 40 ∅ 16 mm 
Fonte: o próprio autor 
50 
 
Figura 22 - Verificação da seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 = 40 MPa, 40 ∅ 20 mm 
Fonte: o próprio autor 
Figura 23 - Verificação da seção cheia, fck = 40 MPa, 40 ∅ 25 mm 
 
Fonte: o próprio autor 
51 
 
Para a seção circular cheia, fck = 40 MPa, Re = 500 mm, Ri = 400 
mm, Rs = 450 mm, fixou-se a quantidade de barras igual a 40 e alteraram-se as 
bitolas até atingir a armadura máxima estabelecida em 4%. 
 
Figura 24 - Dados de entrada para verificação da seção vazada, fck = 40 MPa 
Fonte: o próprio autor 
 
Figura 25 - Verificação da seção vazada, fck = 40 MPa, 40 ∅ 6,25 mm 
Fonte: o próprio autor 
52 
 
Figura 26 - Verificação da seção vazada, 𝑓𝑐𝑘 = 40 MPa, 40 ∅ 8 mm 
Fonte: o próprio autor 
Figura 27 - Verificação da seção vazada, 𝑓𝑐𝑘 = 40 MPa, 40 ∅ 10 mm 
Fonte: o próprio autor 
53 
 
Figura 28 - Verificação da seção vazada, 𝑓𝑐𝑘 = 40 MPa, 40 ∅ 12,5 mm 
 
Fonte: o próprio autor 
 
Figura 29 - Verificação da seção vazada, fck = 40 MPa, 40 ∅ 16 mm 
 
Fonte: o próprio autor 
54 
 
Em comparação com o PCalc 1.4, na maioria dos casos, 
encontraram-se valores de FS maiores que 0,9. Os maiores valores de FS, próximos 
a 1,0, são nos casos de tração pura, e os menores valores estão no final do ramo 
descendente, no domínio 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
6.3. MÁXIMO MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM 
Figura 30 - Máximo momento de primeira ordem 
 
Fonte: o próprio autor 
56 
 
O programa tem uma aba que permite o cálculo do máximo 
momento disponível de primeira ordem, em um primeiro nível de aproximação 
(deformada senoidal), que é bastante similar às abas anteriores, na qual exclui-se a 
parte do carregamento, porém considera-se a esbeltez do pilar (le ≠ 0), ou seja, esta 
parte do programa inclui internamente o efeito de segunda ordem dos pilares. 
No caso do máximo momento disponível de primeira ordem, a 
quantidade de curvas é igual a 6 (pode variar entre 3 e 12), a quantidade de pontos 
do gráfico é igual a 40 (pode variar entre 6 e 50) 
Figura 31 - Máximo momento de primeira ordem disponível do pilar proposto 
 
Fonte: o próprio autor 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
7. CONCLUSÃO 
Após a comparação com as rotinas de cálculo desenvolvidas por 
BUCHAIM (2015) e com programas como o PCalc 1.4, conclui-se que as 
ferramentas computacionais desenvolvidas nesse trabalho são seguras. 
Em comparação com o PCalc 1.4, na maioria dos casos, 
encontraram-se valores do fator de segurança superiores a 0,9 (a proximidade com 
1 indica concordância total), já aplicados os coeficientes de segurança parciais nas 
ações e nas resistências. 
As diferenças de resultados dos programas deste trabalho e do 
PCalc 1.4 podem ser atribuídas aos seguintes fatos: 
(a) Consideração da área líquida de concreto comprimido, 
descontadas as áreas de barras comprimidas no PCalc 1.4; neste caso, as maiores 
diferenças ocorrem para grandes forças normais relativas (domínio 5) e grandes 
taxas de armaduras. 
(b) Diferença conceitual na obtenção da rigidez secante pelo 
diagrama momento-curvatura: na deformabilidade do concreto o PCalc 1.4 
considera, cf. a NBR 6118: 2014, a resistência 1,1fcd =
fck
(
1,4
1,1
)
=
fck
1,27
 e as solicitações 
resistentes últimas divididas por γf3 = 1,1 , enquanto neste trabalho, a 
deformabilidade do concreto é obtida com 
fck
1,2
 e γf3 = 1. 
(c) Nos métodos aproximados associados ao pilar padrão, o 
presente trabalho corrige a deformada senoidal, através da obtenção iterativa do 
coeficiente c, cf. Equação (3.58), ao passo que o PCalc 1.4 considera c = π2 ≅ 10. 
Foram plotados diversos ábacos de dimensionamento e de máximo 
momento disponível de primeira ordem em função da força normal, ambos 
adimensionais, com o intuito de acelerar e facilitar os dimensionamentos para os 
profissionais da área, e com função didática para os futuros pesquisadores. Além de 
validar as equações que foram utilizadas. 
Para trabalhos futuros, recomenda-se adicionar rotinas de cálculo 
para o dimensionamento de pilares com seção circular variável e que considerem o 
efeito da fluência, o que possibilitaria uma gama maior de aplicações práticas. 
58 
 
8. BIBLIOGRAFIAS 
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), Projeto de estruturas de 
Concreto, NBR 6118:2014 – Rio de Janeiro, 2014. 
BUCHAIM, R. Concreto estrutural: fundamentos e projetos: flexão simples e 
composta normal: pilares esbeltos C20 a C90 – Londrina: EDUEL,2015. 240p. 
BUCHAIM, R. Construções em concreto estrutural – Notas de aula. Londrina: 
Universidade Estadual de Londrina. 
BUCHAIM R.: Seções circulares e anelares. Universidade Estadual de Londrina, 
2015. 
BUCHAIM R.: Extensão do método da curvatura aproximada a seções 
circulares. Universidade Estadual de Londrina, 2015. 
BUCHAIM R.: Análise de Seções Anelares, Revista Estrutura No. 99, 1984, p. 98-
124. 
CARDOSO JÚNIOR, S. D.; KIMURA, A. E. . “Sistema computacional para análise 
não linear de pilares de concreto armado”. In: 55CBC 55º Congresso Brasileirodo Concreto, 2013, Gramado. 
CARDOSO JÚNIOR, S. D. Sistema computacional para análise não linear de 
pilares de concreto armado. Monografia (Especialista em Gestão de Projetos de 
Sistemas Estruturais) - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (2014). 
 
Eurocode 2 [2004] EN 1992-1-1: Eurocode 2: Design of concrete structures – 
Part 1-1: General rules and rules for buildings, CEN, Brussels - Belgium, 2004 
GONÇALVES, Denis Nader. Pilares Esbeltos de Concreto Armado – Concretos 
C20 a C90: Dimensionamento Segundo Métodos Aproximados e Por 
Diferenças Finitas – Validação Do Método Da Curvatura Aproximada Com 
Expressão Da Curvatura Melhorada. 2013. Trabalho de Conclusão de Curso 
(Graduação em Engenharia Civil) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 
2013. 
59 
 
KOMARCHESQUI, F., Solicitações normais em seções de concreto armado e 
protendido – Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de 
Estruturas da Universidade estadual de Londrina. Londrina – 2012. 
GAION, T. Vitor. Dimensionamento de pilares de seções retangulares cheia e 
vazadas em flexão composta normal, concretos C20 a C90. 2016. 65 p. Trabalho 
de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Civil) – Universidade Estadual 
de Londrina, Londrina, 2016. 
GALGOUL, N.S., Método prático para o dimensionamento à flambagem de 
colunas de concreto armado submetidas à flexão composta oblíqua – XX 
Jornada Sul Americana de Engenharia Estrutural. Cordoba –1979 
SOUZA, Y. T., Momento-Curvatura em flexo-compressão de seção duplo T com 
um eixo de simetria e armadura passiva – Trabalho de Conclusão de Curso 
apresentado ao Departamento de Estruturas da Universidade estadual de Londrina. 
Londrina – 2012 
MacGregor, J. G., e Wight J. K., Reinforced Concrete: Mechanics and Design, Ê, 
Chapter 1, page 524, 2009). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
9. ANEXO A – Verificação dos ábacos de dimensionamento da seção transversal, 
𝑓𝑐𝑘 = 80 MPa 
Verificação dos ábacos de dimensionamento da seção transversal 
para a seção circular cheia, fck = 80 MPa, Re = 400 mm, Ri = 0 mm, Rs = 350 mm, 
fixou-se a quantidade de barras igual a 40 e alteraram-se as bitolas até atingir a 
armadura máxima estabelecida em 4%. 
Figura 32 - Dados de entrada para verificação da seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 = 80 MPa 
Fonte: o próprio autor 
Figura 33 - Verificação da seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 = 80 MPa, 40 ∅ 10 mm 
 
Fonte: o próprio autor 
61 
 
Figura 34 - Verificação da seção cheia, fck = 80 MPa, 40 ∅ 12,5 mm 
Fonte: o próprio autor 
Figura 35 - Verificação da seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 = 80 MPa, 40 ∅ 16 mm 
Fonte: o próprio autor 
 
62 
 
Figura 36 - Verificação da seção cheia, fck= 80 MPa, 40 ∅ 20 mm 
Fonte: o próprio autor 
Figura 37 - Verificação da seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 = 80 MPa, 40 ∅ 25 mm 
Fonte: o próprio autor 
 
63 
 
Para a seção circular vazada, fck = 80 MPa, Re = 500 mm, Ri = 400 
mm, Rs = 450 mm, fixou-se a quantidade de barras igual a 40 e alteraram-se as 
bitolas até atingir a armadura máxima estabelecida em 4%. 
Figura 38 - Dados de entrada para verificação da seção vazada, fck = 80 MPa 
Fonte: o próprio autor 
 
Figura 39 - Verificação da seção vazada, 𝑓𝑐𝑘 = 80 MPa, 40 ∅ 6,25 mm 
Fonte: o próprio autor 
 
64 
 
Figura 40 - Verificação da seção vazada, fck = 80 MPa, 40 ∅ 8 mm 
Fonte: o próprio autor 
Figura 41 - Verificação da seção vazada, 𝑓𝑐𝑘 = 80 MPa, 40 ∅ 10 mm 
Fonte: o próprio autor 
 
65 
 
Figura 42 - Verificação da seção vazada, fck = 80 MPa, 40 ∅ 12,5 mm 
Fonte: o próprio autor 
Figura 43 - Verificação da seção vazada, 𝑓𝑐𝑘 = 80 MPa, 40 ∅ 16 mm 
Fonte: o próprio autor
66 
 
10. ANEXO B – Ábacos de dimensionamento da seção transversal 
Figura 44 - Ábaco de dimensionamento, seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 20-50 MPa 
 
Fonte: o próprio autor 
67 
 
Figura 45 - Ábaco de dimensionamento, seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 = 60 MPa 
Fonte: o próprio autor 
68 
 
Figura 46 - Ábaco de dimensionamento, seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 = 70 MPa 
Fonte: o próprio autor 
69 
 
Figura 47 - Ábaco de dimensionamento, seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 = 80 MPa 
Fonte: o próprio autor 
70 
 
Figura 48 - Ábaco de dimensionamento, seção cheia, 𝑓𝑐𝑘 = 90 MPa 
Fonte: o próprio autor 
71 
 
Figura 49 - Ábaco de dimensionamento, seção vazada, 𝑓𝑐𝑘 = 20-50 MPa 
Fonte: o próprio autor 
72 
 
Figura 50 - Ábaco de dimensionamento, seção vazada, 𝑓𝑐𝑘 = 80 MPa 
Fonte: o próprio autor 
73 
 
11. ANEXO C – Ábacos de máximo momento de primeira ordem disponível x força normal adimensionais 
Figura 51 - Máximo momento de primeira ordem disponível x força normal adimensionais, seção circular, 𝑓𝑐𝑘 = 20 – 50 MPa 
 
Fonte: o próprio autor 
74 
 
Figura 52 - Máximo momento de primeira ordem disponível x força normal adimensionais, seção anelar, 𝑓𝑐𝑘 = 20 - 50 MPa 
 
Fonte: o próprio autor 
75 
 
Figura 53 - Máximo momento de primeira ordem disponível x força normal adimensionais, seção circular cheia, fck = 80 MPa 
 
Fonte: o próprio autor 
76 
 
Figura 54 - Máximo momento de primeira ordem disponível x força normal adimensionais, seção anelar, 𝑓𝑐𝑘 = 80 MPa 
 
Fonte: o próprio autor